泛函分析

关于度量空间这一章，主要讲述了关于度量空间的结构是怎么来的，并且讲解了拓扑结构和代数结构构造而成的内积空间，从而诱导出范数。

其中有一些比较好的性质——凸性质和紧性质。

关于这些空间——内积、范数空间，都有一个完备性的问题：也就是按照范数收敛后的元素是否还在集合中，若在则称该空间是完备的，于是定义了巴拿赫空间（赋范线性空间完备空间）与希尔伯特空间（具有内积的完备空间）。

具体的应用定理则是：压缩映像原理——可以用来证明常微分方程解的存在唯一性。

其实对于泛函分析这一章来说，抽丝剥茧就是将范数（模）、内积给抽象定义出来，然后给一些抽象空间上建立起度量的概念，什么是收敛，怎么收敛，收敛到哪里（完备）。

总之这章就是构建了一个结构，这个结构上可以对无穷维，对抽象空间中的元素建立起极限，收敛的概念。

距离空间

一个距离要求：正定性，对称性，三角不等式。

引入距离（距离趋于0则可以定义收敛），是为了刻画收敛，因为收敛于是也有了极限的概念。

同时也可以引入基本列的概念了。

这里因为完备性的问题会出现这样的结果：收敛列必定是基本列，但是基本列未必在空间内收敛。

例子：有理数基本列在有理数域内不一定有极限——特别是那些收敛到无理数的。

于是可见引入完备化的意义：每个基本列就是收敛列。

巴拿赫不动点定理（压缩映像原理）

设$(X,p)$是一个完备距离空间，$T$为$(X,p)$到其自身的一个压缩映射，则在$X$中存在唯一的$T$的不动点。

压缩映射一定连续：这个可以用定义证明。所以不连续映射绝对不是压缩映像。

完备化

每一个度量空间有一个完备化空间，且其完备化空间在等距同构的意义下是唯一的。

稠密性：直观上就是一个逼近与嵌入的感觉，实际上就是一个逼近，该集合中任意元素按距离逼近全集中的元素。

列紧集

豪斯托夫定理（完全有界与列紧性质）

设$(X,p)$是距离空间，$M{\subset}X$。

若$M$在$X$中列紧，则$M$完全有界。

若$X$是完备空间，$M$完全有界，则$M$列紧。

$Arzela-Ascoli$定理（列紧的充要条件）

连续函数空间上列紧集的刻画：

集合$F{\subset}C(M)$是一个列紧集的充要条件是：$F$一致有界与$F$等度连续。其中$C(M)$表示$M$上一切实值连续函数全体。

紧的概念是很有用的，例如我们看到列紧空间必然是完备空间，对于某些性质来讲，紧致深层次刻画了有界这个概念。而且自列紧的概念则和有界闭集相关，而我们知道闭集是一个收敛点的逼近问题，而这个和完备又极为相似。

在局部上可以讲列紧，而在全体上我们讲的是紧集（开覆盖有有限子覆盖）

引入列紧？

实际上讲，我们为什么要引入紧、列紧、子列紧的概念？

为了将连续函数的一些好的性质推广到一般的空间上去。为什么要推广呢？

其实一般的度量空间和实数直线空间有很大差别，比如实数直线的闭区间天然的列紧，稠密，有界，完全有界，也是紧的，但是一般的度量空间，其元素千差万别，因此必须给出相应的约束条件来定义那些集合类似实数直线的闭区间。

其实问题在于一般的度量空间中：列紧和紧是等价的，但是不再和有界闭集等价（无穷维巴拿赫空间内的单位闭球）。

一般的拓扑空间中：列紧和紧也不等价了，而且对有界这个概念也没有了定义。（列紧和有界闭是基于度量的概念，而紧集是拓扑概念）。

这些好的性质有：有界性质，最值可取性质、介值定理、连续等价于一致连续性。

举个反例：考虑有界闭集$Q{\cap}[0,2]$，距离定义为$d(p,q)=|p-q|$。函数$f$定义为

$$ f(x)=\begin{cases}0,x{\in}[0,\sqrt{2})\\1,x{\in}(\sqrt{2},2]\end{cases} $$

则这个函数是连续的，但是非一致连续。(汪林的《泛函分析中的反例》)

这就是因为虽然是有界闭，但是在这个空间内减弱了性质，需要紧才能保证其一致连续性。

（1）先从$R$推广到$R^n$，由于任何有限维赋范线性空间都与同维数的$R^n$代数同构、拓扑同胚，也相当于推广到任意有限维赋范线性空间。

（2）推广到无穷维巴拿赫空间，或者一般距离空间。这时候因为空间条件降低了，只有“有界和闭”是不够用的，需要加强的条件，就引出了自列紧的概念。（而在距离空间中，自列紧和列紧是一样的）

其实，自列紧的定义就是任意无穷点列都有收敛子列(列紧)，且子列的极限点在集合中(闭)，而这也是保证连续映射具有那些好的性质所需要的根本条件。为什么在有限维赋范线性空间，"有界+闭"就能够用（有界等价于列紧），也是因为它已经能保证任意无穷点列都有收敛子列，且子列的极限在集合中。

进一步，列紧在拓扑空间是不能这么说的，因为拓扑空间里有的结构是拓扑结构，只有开集邻域语言。好在，距离空间中自列紧，也有另一种等价描述：任意的开覆盖都存在子覆盖(紧集)。这种描述才是紧集根本的，拓扑空间也适用，于是就推广到拓扑空间中的紧集上去。

实际上列紧的要求是比完备要强的。完备要求的是对基本点列的一个收敛，但是列紧要求的是所有点列都有收敛子列。不过完备要求基本点列收敛的极限点必须在空间中，而列紧要求的收敛点可以在列紧集中也可以不在列紧集中，但是必须在空间中。（这也就说明了为什么列紧空间必定是完备空间），而完备空间却不一定都列紧（例如取$R$上的一个点列(1,2,3,$\cdots$,n)这个点列没有收敛子列。因为完备性对一般点列根本没有要求收敛）

完备空间：所有基本点列收敛，列紧集：所有点列有收敛于所在空间的子点列；完全有界集：所有点列必有基本子点列。我们立刻得到这三个集合之间的关系，完备空间中的完全有界集一定满足任何点列都有基本子点列，而基本点列收敛，因此完备空间的完全有界集就是任何点列都有收敛的子点列，这正是列紧集的概念，因此在完备空间中的完全有界集是列紧集。而列紧集的定义中点列有收敛于空间的子点列，这意味着点列有基本子点列，因此列紧集必然是完全有界集，另一方面如果度量空间的每一个完全有界集是列紧集，那么这个空间是完备空间。我们总结一下三者关系就是：列紧集一定是完全有界集；完备空间中的完全有界集是列紧集；如果度量空间中的每一个完全有界集是列紧集，那么空间就是完备空间。

列紧和稠密：稠密集指的是在度量空间全体中的分布，而列紧指的是在某一个局部区间的分布问题。

研究稠密集目的是通过研究其中的可列集就可以代替研究整个集合，达到研究少数点就了解整个集合的目的；而研究紧集的目的是为了研究函数的，也就在紧集上的连续函数一定有最大值和最小值，对应的是实数上的闭区间；当然紧集上的连续映照，它的像也是紧集，这样就有利于研究映照的性质。泛函分析研究的就是(1)集合，(2)空间，(3)空间上的映照。而空间上的映照就要研究有界性，连续性，可测性以及收敛点列的映照。为了研究映照的这些性质，就要研究空间的完备性以及空间中集合的列紧性以及稠密性等特征。

换句话就是说，之后要研究的东西会尽量抛开有界闭的条件，而使用列紧或者紧去保证这些连续函数或者连续映照的良好性质。