基础拓扑学6
在引入商空间之前,我们需要对商映射做出一定的解释。
也就是我们先从商映射的几何意义:粘连对应点。从直观上感受商映射是什么。
同时,由于是商空间,仅仅定义一个映射过去是不够的,还需要刻画映射完的集合的拓扑空间。所以一个商映射需要导出一个强拓扑空间,并且实现这个粘连,最后才用等价类的数学定义,合理定义出商空间。
基础铺垫
参考书目:《点集拓扑与代数拓扑引论》
曲面的拓扑分类在近百年前已经有了完全的结论,而根据代数拓扑的分法,则是根据基本群来细分。而这个流派实际上来自于庞加莱。而对于这方面的思考,引导出现了动力系统,同调群,同论群的出现。
我们考虑一个正方形$[0,1]{\times}[0,1]$通过一个映射,映射为柱面(平环)。
其对应法则如下:
$$ f(u,v)=(cos2{\pi}u,sin2{\pi}u,v),\quad u{\in}(0,1),v{\in}[0,1]为1-1映射\\ f(0,v)=f(1,v) $$
而第二个式子则展示了粘连性质。将正方形的左右两端粘连起来,成为圆柱面的一条直线。
商映射
定义:强拓扑的定义——设$(X_{\lambda},\tau_{\lambda})$为一族拓扑空间,$f_{\lambda}:X_{\lambda}{\to}f$,则$Y$上满足条件(*)
$$ (*)每个f_{\lambda}都连续 $$
的最大拓扑$\tau$,称为由$\left\{f_{\lambda}\right\}$决定的强拓扑。
其中最大拓扑的意思是指:若$ \widetilde{\tau}$满足(*)$\Rightarrow \widetilde{\tau}{\subset}\tau$。
刻画这个强拓扑
设$(X_{\lambda},\tau_{\lambda}),f_{\lambda}:X_{\lambda}{\to}Y$,则$(Y,\tau)$,其中
$$ \tau:=\left\{u{\subset}Y|f^{-1}(U){\in}\tau_{\lambda},\forall{\lambda}\right\} $$
其中$f^{-1}(U)$为$X_{\lambda}$中开集。
接下来仅需证明这是一个拓扑
证明:
(1)$\varnothing{\in}\tau,Y{\in}\tau$,因为$f^{-1}_{\lambda}(\varnothing)=\varnothing,\forall {\lambda};f^{-1}_{\lambda}(Y)=X_{\lambda},\forall{\lambda}$。
(2)证明可数并还在里面:$\left\{U_{\alpha}\right\}{\subset}\tau$,则由定义推出$f^{-1}(U_{\alpha}){\in}\tau_{\lambda}$,于是乎将这些并起来,因为$\tau_{\lambda}$是一个拓扑,这些并还是在拓扑里面,具体如下
$$ f^{-1}_{\lambda}({\bigcup}_{\alpha}U_{\alpha})={\bigcup}_{\alpha}f^{-1}_{\lambda}(U_{\alpha}){\in}\tau_{\lambda} $$
于是可以知道${\bigcup}_{\alpha}U_{\alpha}{\in}\tau$,这是由定义可知的。
(3)最后证明有限交还是在里面:$\left\{U_1,\cdots,U_n\right\}{\subset}\tau$,则
$$ f^{-1}_{\lambda}({\bigcap}_i^nU_{i})={\bigcap}_{i}^nf^{-1}_{\lambda}(U_{i}){\in}\tau_{\lambda} $$
于是可以推出${\bigcap}_i^nU_{i}{\in}\tau$,于是证明完毕
最后说明一下这个是最大的拓扑,满足强拓扑定义:假设$(Y, \widetilde{\tau})$满足(*),则可以推出,有任意的$U{\in} \widetilde{\tau}$,由强拓扑定义,$f^{-1}_{\lambda}(U){\in}\tau_{\lambda},\forall \lambda$,于是推出$U{\in}\tau$,从而有$\widetilde{\tau}{\subset}\tau$
商映射定义
设$(X,\tau_{X}),(Y,\tau_{Y})$并且满足下列俩条件,则称$f$为商映射。
- $f:X{\to}Y$是满射
- $\tau_Y$为$f$决定的强拓扑,也就是任意的$U{\in}Y,U{\in}\tau_{Y} \Leftrightarrow f^{-1}(U){\in}\tau_{X}$,其中的$ \Leftarrow $是通过强拓扑定义,而$ \Rightarrow $则是通过连续定义得到。
于是我们可以知道条件是:满射,连续与强拓扑定义的开映射。
于是有了以下命题。
一,$f:X{\to}Y$为一个满射,$f$为商映射$\iff$任意一个$U{\subset}Y$,$U$为闭集当且仅当$f^{-1}(U)$为闭集。
二,$f:X{\to}Y$为一个商映射,$g:Y{\to}Z$为一个商映射,则$g{\circ}f:X{\to}Z$为商映射。
证明:任意取$w{\in}Z$,则$w{\in}\tau_z \Leftrightarrow(g{\circ}f)^{-1}(w){\in}\tau_x$。这是要证明的,因为$g^{-1}(w){\in}\tau_Y$,这是强拓扑定义,于是有$f^{-1}(g^{-1}(w)){\in}\tau_x$,再用一次强拓扑定义即可证明。
三,$f:X{\to}Y$为连续的满射,若$f$为开或者闭映射,则$f$为商映射。
这个命题自然成立,因为这就是用一个强拓扑定义的事情,例子是两个三角形粘连为一个正方形。
四,$f:X{\to}Y$连续,并且$X$有有限的闭覆盖$\left\{C_1,\cdots,C_n\right\}$,且使得:
- $f(C_i)$为闭集
- $f|_{C_i}$为嵌入
则$f$是一个商映射。
首先说明一个嵌入,指的是$f:X{\to}Y$,但是$X$在$f$下同胚于$f(X),f(X){\subset}Y$。
证明:首先因为是闭覆盖,我们取到$A{\subset}X$为一个闭集,而$A=A{\cap}X=A{\cap}({\bigcup}_{i=1}^nC_i)={\bigcup}^n_{i=1}(A{\cap}C_i)$,于是推出$A{\cap}C_i$为闭集,而由于2,可以知道$f(A{\cap}C_i)$为$f(C_i)$中的闭集,于是因为嵌入,所以也就是$Y$中的闭集与$f(C_i)$的交集,进一步因为1,可以知道$f(A{\cap}C_i)$为$Y$中的闭集,于是$f(A)={\bigcup}^{n}_{i=1}f(A{\cap}C_i)$为$Y$中的闭集。于是证明了$f$是闭映射,从而由于命题三可以证明这就是商映射。
商映射与连续映射复合
设$p:X{\to}Y$为商映射,则$\forall f:Y{\to}Z$的映射连续,当且仅当$f{\circ}p$连续
证明,其实这里最好花交换图表,容易看清楚
首先证明必要性,也就是从左到右:
设$f$连续,则因为商映射$p$也是连续的,于是因为连续映射的复合也是连续的,容易证明。
其次,证明充分性也就是从右到左,那么前提条件是一个复合映射连续,还有一个商映射。对于$f{\circ}p$连续,可以知道对任意的$U{\subset}Z$开集,则有$(f{\circ}p)^{-1}(U){\subset}X$为开集(连续定义),也就是得到了$p^{-1}(f^{-1}(U))$是开集,然后再用一下强拓扑定义,$p$为商映射,于是$f^{-1}(U)$是开集,从而证明了$f$是一个连续映射。
两个商映射与同胚
设$p:X{\to}Y, \widetilde{p}:X{\to}Z$均为商映射,若$\forall x, \widetilde{x}{\in}X$,$p(x)=p(\widetilde{x})$当且仅当$ \widetilde{p}(x)= \widetilde{p}( \widetilde{x}) $,则$Y$与$Z$同胚。
这个最好画交换图表比较好表示。
证明:思路首先是证明两个集合之间有一个良定的映射(确定是一个映射),然后再根据同胚的性质,证明其为双射且为连续映射,于是推出两个集合同胚。
良定:定义$f:X{\to}Y,y{ \longmapsto}f(y)$,使得对任意的$x{\in}p^{-1}(y),f(y):=\widetilde{p}(x)$为一个良定的映射。
设$\widetilde{x}{\in}p^{-1}(y)$,可以推出$\widetilde{p}(\widetilde{x})=p(x)$,又因为$p(x)=p(\widetilde{x})=y$,推出$\widetilde{p}(\widetilde{x})=p(x)$。
其实根据这个可以了解到,良定就是同一个自变量不会映射到两个不同的因变量。这里是通过因变量$y$的原像决定了$x$与$\widetilde{x}$,而它们根据良定必须映射回$y$。
$f$为双射:同理可以定义$\widetilde{f}:Z{\to}Y$,于是有$f{\circ}\widetilde{f}=\widetilde{f}{\circ}f=Id$,进一步推出$\widetilde{f}=f^{-1}$,于是找到了逆映射,所以$f$为双射。
最后证明$f$连续,已经知道$\widetilde{p}=f{\circ}p$连续,于是根据“商映射与连续映射复合”的相关定理,可以推出$f$连续。同理,可以通过$p=\widetilde{f}{\circ}\widetilde{p}$连续,推出逆映射连续。
接下来给一个在空间上比较有用的定理,因为之前做的都是在一般集合上做的。
紧空间到豪斯托夫空间的连续映射
设$X$紧,$Y$为豪斯托夫空间,$f:X{\to}Y$为连续映射,若$f$是满射,则$f$为商映射。
证明:任意的$A{\subset}X$为闭集,因为紧空间的闭子集为紧集,于是$A$为紧集,因此可以推出$f(A){\subset}Y$,且$f(A)$为$Y$的紧集(因为连续映射保证了紧到紧,$Y$为豪斯托夫空间),于是乎因为$Y$为豪斯托夫空间$f(A)$为闭集,所以$f$实际上是一个闭映射。根据前面的命题三,直接可以证明$f$为商映射。
实射影平面
定义实射影平面$RP^2$
考虑$E^3$中过原点的直线为中心直线。
$$ PR^2=\left\{E^3中的中心直线\right\}=\left\{E^3中一维线性子空间\right\} $$
这里的拓扑指的是度量拓扑,两条直线的距离变成球面上弧的长度。
例如取$l_1,l_2{\in}P^2R^2,d(l_1,l_2)=$夹角弧度,这里的球取为$S^2(1)$。
首先我们提出$RP^2$不能嵌入到$E^3$,
这个很显然,因为确实无法在三维空间内表示或者刻画。
然后我们指出一个映射$f:S^2(1){\to}RP^2$为连续映射,并且我们有以下结论:
$f:S^2(1){\to}RP^2,(x,y,z) \mapsto \left\{(tx,ty,tz)|t{\in}R\right\}$,而这实际上可以证明$f$是一个商映射
任意取$P{\in}S^2(1)$,对于它这个点的开集(邻域)$B_{\delta}(P){\subset}S^2(1)$,可以有$B_{\delta}(f(P)){\subset}RP^2$是开集,并且对与对径点$A$,有$d(A,A')=\pi$>
且满足粘连性质:$f(P)=f(Q){ \Leftrightarrow P={\pm}Q}$.
于是可以知道$RP^2$为$S^2(1)$通过粘连对径点得到的。
最后指出一点是该实射影平面可以恰当地嵌入到$E^4$。
$$ (x,y,z)\mapsto(y^2-x^2,xy,yz,zx) $$
是满足$f(P)=f(-P)$的满的商映射。
且满足粘连性质:$f(P)=f(Q){ \Leftrightarrow P={ \pm}Q}$.
而显然$S^2(1)$为紧的,而$E^4$为豪斯托夫空间,根据上面的定理“紧空间到豪斯托夫空间的连续映射
”,可以证明$f:S^2(1){\to}RP^2$为一个商映射,并且有$f(S^2(1))=RP^2$在$E^4$为紧集。
商空间
考虑商空间首先得定义等价类,但是这么引入等价类没有机动性,很突兀。于是我们来讲一下引入等价类的必要性。
等价类引入
首先我们知道最后做出商空间是为了严格化讲述所谓的商映射,所以需要等价类,根据我们商映射的引入是通过粘连的性质直观体现,我们这边等价类引入也刻画了这种性质。
对于$x{\in}{\bigcup}_{y{\in}Y}f^{-1}(y)$,我们对于不同的$y_1\neq y_2$,有$\varnothing=f^{-1}(y_1){\cap}f^{-1}(y_2)$。这是显然的,也就是虽然映射到商拓扑上的点有些是单射,有些则是多个点映射到同一个值,但是,对于这些不同的值,其原像是没有交集的。也就是良定。
等价关系
定义:$R{\in}Z^*{\backslash}\left\{\varnothing\right\}$中,之所以去掉空集是因为商映射需要满射,所以不能是空集。
而这个关系使得对任意的$x{\in}X$,存在唯一的$A{\in}R$,$x{\in}A{\subset}X$,则称$R$在$X$上定义了一个等价关系$\mathcal{R}$。
于是任意的$A{\in}\mathcal{R}$,$A$为一个等价类:即$\forall x{\in}X,x{\in}A,<x>_{\mathcal{R}}=A$。
也记为$x \sim^{\mathcal{R}} y$也就是$<x>_{\mathcal{R}}=<y>_{\mathcal{R}}$也就是$x,y{\in}A{\subset}{\mathcal{R}}$。
接下来举两个例子来刻画这个关系:
一,$E^3{\backslash}\left\{0\right\}$为所有中心直线的并集,而$A=l,\forall P{\in}E^3{\backslash}\left\{0\right\}$,则有$P{\in}A$,点在线上并且对于$P\sim Q$也就是$P,Q{\in}A=l$,也即是两点共线。
所以$RP^2$实射影平面实际上就是这些直线的并集,也就是这些等价类之并。
二,$f:X{\to}Y$为映射,$R_{f}:=\left\{f^{-1}(y)|y{\in}Y\right\}{\backslash}\left\{\varnothing\right\}$。则$R_f$在$X$上定义了一个等价类关系$\sim^f$,于是有$x{\sim^f} \widetilde{x}$等价于$f(x)=f( \widetilde{x})$。
对于等价关系我们知道有自反,对称,和传递性。
给出一个命题:设$X,R{\subset}X{\times}X$,若$R$满足
- $(x,x){\in}R$
- $(x,y){\in}R \Rightarrow (y,x){\in}R$
- $(x,y),(y,z){\in}R \Rightarrow (x,z){\in}R$
则$X$上存在唯一等价关系$\sim^{\mathcal{R}}$。$x{\sim^{\mathcal{R}}}y$等价于$(x,y){\in}R$。
而$R=\left\{Ax|Ax=\left\{y{\in}X|(x,y){\in}\mathcal{R}\right\}\right\}$。
商空间
现在可以刻画商空间了,我们进行商空间的等价关系和之前定义的商拓扑的一个融合。
定义:设$\sim^{\mathcal{R}}$为$X$上的等价关系,则所有$X$的等价类构成一个集合$\mathcal{R}=X{\backslash}{\sim}=\left\{<x>_{\mathcal{R}}|x{\in}X\right\}$,称为$X$关于$\sim^{\mathcal{R}}$的商集。
于是有一个映射$p:X{\to}X{\backslash}{\sim}=\mathcal{R},x\mapsto <x>_{\mathcal{R}}$,是一个粘连引射。
$X{\backslash}{\sim^{\mathcal{R}}}={\mathcal{R}}$上拓扑为使得$p$连续的强拓扑,记为$\tau{/}{\sim}$
而$\mathcal{P}:X{\to}X{/}{\sim^{\mathcal{R}}}$。这就是一个商映射。
则$(X{/}{\sim},\tau{/}{\sim})$称为$(X,\tau)$的商空间,记为$(X,\tau)/{\sim}$。
粘合映射为商映射
$f:X{\to}Y$为商映射,$\sim^f$为等价关系,且$ \widetilde{x}{\sim^f}x$等价于$f(x)=f( \widetilde{x})$则$Y$同胚于$X/{\sim^f}$。
证明:$f$和$p$均为商映射,且$f(x)=f( \widetilde{x})$等价于$p(x)=p(\widetilde{x})$,于是根据"两个商映射与同胚"定理,可以证明$Y$同胚于$X/{\sim^f}$。
例子:根据莫比乌斯圈和平环的例子。
对于平环来说
$$ \mathcal{R}/A=\left\{\left\{(x,y)|x{\in}(0,1),y{\in}[0,1]\right\},\left\{(0,y),(1,y)|y{\in}[0,1]\right\}\right\} $$
定义了$[0,1]{\times}[0,1]$上的一个等价关系,于是推出$X/{\sim}=A$为平环。
对于莫比乌斯圈来说
$$ \mathcal{R}/M=\left\{\left\{(x,y)|x{\in}(0,1),y{\in}[0,1]\right\},\left\{(0,y),(1,1-y)|y{\in}[0,1]\right\}\right\} $$
定义了$[0,1]{\times}[0,1]$上的一个等价关系,于是推出$X/{\sim}=M$为莫比乌斯圈。