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$S^n$的基本群首先给出一个命题，这个命题的推论告诉我们$S^n$的基本群是平凡的（$n{\ge}2$）命题：首先有条件$X_1,X_2{\subset}X$为开覆盖，也就是分别为开集并且有$X_1{\cup}X_2=X$。$X_2$单连通$X_1{\cap}X_2=\varnothing$道路连通则$i_{\pi}:\pi_1(X_1,x_0){\to}\pi_1(X,x_0)$满同态，...
基本群首先我们要指出道路乘法是没有结合律的，并且道路乘法有意义是需要条件的。于是我们导出了“道路类”，然后选定基点$p_0$，从而实现这些运算，这是为之后引出基本群中运算做好铺垫。定端同伦定义：$a,b:[0,1]{\to}X$是连续的，若$a{\simeq}b\;rel\left\{0,1\right\}$称为$a$与$b$定端同伦。定义：$a:[0,1]{\to}X$是连续的，且$<...
基础拓扑学8同伦与基本群思想首先这个概念是来自于庞加莱，庞加莱使用了基本群工具来刻画不同胚的各个拓扑图形的性质。拓扑不变量，通过群这个代数工具，可以展现出来。而基本群实际上对应的就是同论群（不可交换的运算），而对于可以交换的运算，则是同调群，对应的是上同调群。graph LR A[拓扑空间] -->|连续f|B[拓扑空间]-->|连续g|C[拓扑空间]-->|连续gof|...
基础拓扑学7今天具体介绍一下怎么用数学来严格定义某些拓扑对象：诸如平环，莫比乌斯带，克莱因瓶等对象。商拓扑设$X$为拓扑空间，$A{\subset}X$，$X/A$是将$A$揉为一点成为商空间。定义拓扑锥$CX{\triangleq}X{\times}I/X{\times}\left\{1\right\}$，其中$I=[0,1]$。举个例子：当$X=S^1$时，实际上就是一个圆柱，将上面的圆...
基础拓扑学6在引入商空间之前，我们需要对商映射做出一定的解释。也就是我们先从商映射的几何意义：粘连对应点。从直观上感受商映射是什么。同时，由于是商空间，仅仅定义一个映射过去是不够的，还需要刻画映射完的集合的拓扑空间。所以一个商映射需要导出一个强拓扑空间，并且实现这个粘连，最后才用等价类的数学定义，合理定义出商空间。基础铺垫参考书目：《点集拓扑与代数拓扑引论》曲面的拓扑分类在近百年前已经有了完...