我的java开发测试 - 实分析
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items: 积空间上的积分
items: 勒贝格积分的微分推广
items: 复测度
items: 哈恩-巴拿赫定理
items: 詹森不等式
items: 开映像定理与其应用
items: 阿尔泽拉-阿斯科特（续）
items: 阿尔泽拉-阿斯科特
items: 一致有界与连续函数的傅立叶展开
items: Banach空间技巧

积空间上的积分
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date: 2020-04-07T17:10:04+08:00
description: 积空间上的积分这一章节主要讨论用抽象积分的形式来证明关于二元函数积分的富比尼定理。笛卡尔积上的可测性首先给出一些定义：矩形若$X$和$Y$是两个集，其笛卡尔积$X{\times}Y$是所有$x{\in}X,y{\in}Y$的序对$(x,y)$组成的集，如果$A{\subset}X$和$B{\subset}Y$，得到$A{\times}B{\subset}X{\times}Y$，则称$A{\times}B$的集为$X{\times}Y$内的矩形。若$(X,\mathscr{S}),(Y,\mathscr{F})$是可测空间，也即$\mathscr{S}$为$X$的$\sigma-$代数，而$\mathscr{F}$为$Y$的$\sigma-$代数，在可以在$A{\in}\mathscr{S},B{\in}\mathscr{F}$条件下成为可测矩形。基本集类$$ Q=R_1{\cup}{\cdots}{\cup}R_n $$其中$R_i$为可测矩形，且互不相交，则记$Q{\in}\mathscr{E}$，也即为所有基本集的类。我们定义$\mathscr{S}{\times}\mathscr{F}$为所有的可测矩形的$X{\times}Y$的最小$\sigma-$代数。单调类单调类$\mathfrak{M}$是具有下列性质的集族：若$A_i{\in}\mathfrak{M},B_i{\in}\mathfrak{M},A_i{\subset}A_{i+1},B_i{\supset}B_{i+1}$，对于$i=1,2,3,{\cdots}$成立，且若$$ A=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i,B=\bigcap_{i=1}^{\infty}B_i $$则$A{\in}\mathfrak{M},B{\in}\mathfrak{M}$。也即单调类首先有单调性质，且对单调性质的极限是封闭的。截口若$E{\subset}X{\times}Y,x{\in}X,y{\in}Y$，定义$$ E_x=\left\{y:(x,y){\in}E\right\},E^y=\left\{x:(x,y){\in}E\right\} $$分别称$E_x$和$E^y$为$E$的$x-$截口和$y-$截口。注意到$E_x{\subset}Y,E^y{\subset}X$。定理8.2若$E{\in}\mathscr{S}{\times}\mathscr{F}$，则对每一个$x{\in}X$和$y{\in}Y$，$E_x{\in}\mathscr{F}$和$E^y{\in}\mathscr{S}$。这个定理主要告诉我们可测矩形的最小$\sigma-$代数中，其截口分别属于各自的$\sigma-$代数。这个的证明是倒过来的，它从截口开始，构造出一个$\sigma-$代数的集合，然后通过每个可测矩形属于该集合，最后证明其是可测矩形的最小$\sigma-$代数（两个截口双边给出证明）定理8.3$\mathscr{S}{\times}\mathscr{F}$是包含所有基本集的最小的单调类。这个的证明首先给出一个最小的单调类，然后去证明它就是$\mathscr{S}{\times}\mathscr{F}$。通过推导其是一个$\sigma-$代数，再用定义确定其最小的性质。定义8.4对于$X{\times}Y$上的每一个函数$f$和每一个$x{\in}X$，我们对应一个用$f_x(y)=f(x,y)$定义的$Y$上的函数$f_x$。同样的，对于$X{\times}Y$上的每一个函数$f$和每一个$y{\in}Y$，我们对应一个用$f^y(x)=f(x,y)$定义的$Y$上的函数$f^y$。定理8.5设$f$是一个$X{\times}Y$上的$(\mathscr{S}{\times}\mathscr{F})-$可测函数，则：（a）对于每一个$x{\in}X,f_x$是一个$\mathscr{F}-$可测函数。（b）对于每一个$y{\in}Y,f^y$是一个$\mathscr{S}-$可测函数。这个证明直接用定理8.2的截口推出可测即可。积测度定理8.6设$(X,\mathscr{S},\mu)$和$(Y,\mathscr{F},\lambda)$都是$\sigma-$有限的测度空间。假定$Q{\in}\mathscr{S}{\times}\mathscr{F}$。若对每一个$x{\in}X$和$y{\in}Y$，$$ \varphi(x)=\lambda(Q_x),\psi(y)=\mu(Q^y)\tag{1} $$则$\varphi$是$\mathscr{S}-$可测的，$\psi$是$\mathscr{F}-$可测的，且$$ \int_X{\varphi}d{\m…

勒贝格积分的微分推广
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date: 2020-03-21T14:01:44+08:00
description: 微分本章的结构是通过研究测度的导数和相伴的极大函数（定义），容易得到勒贝格积分上的微分和导数的积分的重要性质（结果与目的），而上一节的拉东-妮柯迪姆定理与勒贝格分解定理在本章起相当重要的结果。（工具）测度的导数定义这一节主要是给出定义和一些性质，结果在下一节给出。定理7.1给出了复博雷尔测度的可微和导数的等价定义（与勒贝格测度相关）定义7.2告诉我们：$\mu$在$x$的导数，可以定义为区间$I$的长度收缩至$x$点时商$\frac{\mu(I)}{m(I)}$的极限，其中$m$表示$R^1$上的勒贝格测度。并且下面给出了多变量的定义。定义商$$ (Q_r\mu)(x)=\frac{\mu(B(x,r))}{m(B(x,r))} $$且当在点$x{\in}R^k$处极限$\lim_{r{\to}0}(Q_r{\mu})(x)$存在时，定义$\mu$在$x$处的对称导数为$$ (D{\mu})(x)=\lim_{r{\to}0}(Q_r{\mu})(x) $$极大函数然后我们用极大函数$M{\mu}$来研究测度的导数$D{\mu}$。极大函数的定义分为两种情况：（1）$\mu>0$，定义极大函数$M{\mu}$为：$$ (M{\mu})(x)=\sup_{0<r<\infty}(Q_r\mu)(x) $$（2）$\mu$为复博雷尔测度，定义极大函数$M{\mu}$为全变差$|\mu|$：$$ |\mu|(E)=\sup\sum^{\infty}_{i=1}|\mu(E_i)|{\quad}(E{\in}\mathfrak{M}) $$然后研究极大函数的性质：性质一：函数$M{\mu}:R^k{\to}[0,\infty]$为下半连续的，从而是可测的。主要证明下半连续，而可测是推论。证明$E=\left\{M{\mu}>\lambda\right\}$为开集即可，主要通过证明$B(x,\delta){\subset}E$即可得到，技巧是通过一个不等式放缩加上极大函数的定义。然后是引入一个重要的覆盖引理，这个引理在下面的极大定理的证明时候要用到。覆盖引理若$W$为有限个球$B(x_i,r_i)(1{\le}i{\le}N)$的并，则存在集$S{\subset}\left\{1,2,{\cdots},N\right\}$使得下面三个结果：（1）对于$i{\in}S$，球$B(x_i,r_i)$是不相交的。（2）$W{\subset}\bigcup_{i{\in}S}B(x_i,3r_i)$。（3）$m(W){\le}3^k\sum_{i{\in}S}m(B(x_i,r_i))$。其证明：根据归纳不断把相交的球给割舍掉，从而达成结果1，然后知道割舍掉的球都包含在3倍半径的球内，实现结果2，而结果3实际上是结果2的定量估计不等式。下面的极大定理告诉我们：在一个很大的集合上，一个测度的极大函数不会很大。极大定理（性质二）若$\mu$为$R^k$上的复博雷尔测度且$\lambda>0$，则$$ m\left\{M{\mu}>\lambda\right\}{\le}3^k{\lambda}^{-1}\|\mu\| $$这里的$\|\mu\|=|\mu|(R^k)$，且上式左边是下式的缩写$$ m\left\{x{\in}R^k:(M\mu)(x)>\lambda\right\} $$其证明：首先给出开集$\left\{M{\mu}>\lambda\right\}$的紧子集，然后通过有限覆盖加上上面的覆叠引理，直接通过结果3得到结论。弱$L^1$引入弱$L^1$空间，是为了配合极大定理：将“极大算子”$M$是有界的，将$L^1$映射到弱$L^1$。并且实际上弱$L^1$是严格大于$L^1$的空间。若$f{\in}L^1(R^k)$且$\lambda>0$，则$$ m\left\{|f|>\lambda\right\}{\le}\lambda^{-1}\|f\|_1 $$实际上是因为$E=\left\{|f|>\lambda\right\}$则有$$ \lambda{m(E)}{\le}\int_{E}|f|dm{\le}\int_{R^k}|f|dm=\|f\|_1 $$上面实际上是将$E$放大到$R^k$上做出的不等式放大。因此，对任何可测函数$f$，如果它使得关于$\lambda$的函数$$ \lambda{\cdot}m\left\{|f|>\lambda\right\} $$在$(0,\infty)$上是有界的，则称$f$是属于弱$L^1$的。从这里可以知道极大函数$Mf$实际上就是弱$L^1$的。实际上弱$L^1$是严格大于$L^1$的空间，这个可以从例子$(0,1)$区间上的函数$\frac{1}{x}$看出。相伴极大函数每一个$f{…

复测度
type: item
date: 2020-03-09T11:15:20+08:00
description: 复测度本章主要内容是给出一个复测度的快速概括，各个定理的理解和命题的使用，以便拿到书后能对该章的思路给出一定的理解，并且把精力投入到对于细节的把握上。全变差首先我们是对一个复测度的引入，复测度首先是一个$\sigma-$代数上的复函数，并且定义为级数形式。$$ \mu(E)=\sum^{\infty}_{n=1}\mu(E_i){\quad}(E{\in}\mathfrak{M}) $$其中$E=\bigcup{E_i}$，且$i{\neq}j$时，有$E_i{\cap}E_j{=}\varnothing$。（划分）接下来我们需要考虑一个问题：前面我们学习过正测度，现在推广到复测度，那么这个复测度首先要存在，也就是级数必须要收敛（且调换顺序也收敛——重排收敛）。然后要证明这个复测度必须满足测度的定义。正测度的控制：接下来我们考虑取一个正测度$\lambda$来控制这个复测度$\mu$，使得这个正测度尽可能小，接近这个复测度：也就是对$E{\in}\mathfrak{M}$的每一个划分，都满足$$ \lambda(E)=\sum^{\infty}_{i=1}\lambda(E_i){\ge}\sum^{\infty}_{i=1}|\mu(E_i)| $$从而启发我们定义一个集函数$|\mu|$为：$$ |\mu|(E)=\sup\sum^{\infty}_{i=1}|\mu(E_i)|{\quad}(E{\in}\mathfrak{M}) $$于是这个$|\mu|$为我们所能取到的最小的$\lambda$（正测度）。我们称这个集函数$|\mu|$为$\mu$的全变差，称为全变差测度。接下来是要证明这个全变差测度确实是一个测度。并且探讨其拥有的性质。定理6.2指出：在$\sigma-$代数$\mathfrak{M}$上的复测度$\mu$的全变差$|\mu|$是$\mathfrak{M}$上的一个正测度。其主要难点是在于可数可加性的证明：关键在于该等式的成立，从一个特殊划分和任意划分两个方向证明。引理6.3告诉我们在有限集上复数的级数的一个平均值估计。（这个可以应用在定理6.4的证明中）定理6.4告诉我们：全变差测度是有界的。（所以有时候称其为有界变差）这个证明是从反证法的思路开始，用到引理6.3，且不断分割为两个不相交集合，从而利用可数可加性得到矛盾。命题6.5是给出了复测度的线性性质（线性相加与数乘），并且给定范数，直接构成复测度的赋范线性空间。命题6.6是针对实测度的全变差测度，定义了正负变差，根据前面的定理6.2，正负变差都是正测度，且根据定理6.4知道是有界变差。而正负变差则为这个正测度的若尔当分解。绝对连续性绝对连续性质中，首先给出了$\sigma-$代数$\mathfrak{M}$的一个正测度$\mu$，和$\mathfrak{M}$上的任意测度$\lambda$（可以是正测度或者是复测度）绝对连续性指的是，对于每一个正测度$\mu(E)=0$的$E{\in}\mathfrak{M}$，我们都有$\lambda(E)=0$成立，记作$\lambda{\ll}\mu$，称作$\lambda$关于$\mu$绝对连续。其蕴意指的是：任意测度$\lambda$在正测度$\mu$为0的集合上，其测度也为0。然后给出了集中函数的定义：存在一个集合$A{\in}\mathfrak{M}$，使得$\lambda(E)=\lambda(A{\cap}E)$对于每一个$E{\in}\mathfrak{M}$成立，称呼$\lambda$集中于$A$上。直观上可以理解为：拿一个集合$A$去不断交上这些划分，发现任意测度$\lambda$关于这个划分的测度，完全可以用交集部分的测度来代替。且等价于$E{\cap}A=\varnothing$时，$\lambda(E)=0$。最后给出一个互相奇异的测度关系：首先有$\mathfrak{M}$上两个测度$\lambda_1$和$\lambda_2$，存在不相交的集合$A$和$B$，使得$\lambda_1$集中在$A$上，$\lambda_2$集中在$B$上，则记为$$ \lambda_1{\perp}\lambda_2 $$命题6.8给出了这些概念的一些性质。其证明也很详细。最后我们说明一些很重要的定理：（是在$\sigma-$有限测度上进行的）引理6.9告诉我们：对于一个正$\sigma-$有限测度，存在对集合$X$上每一点的一个函数$w{\in}L^1(\mu)$，其范围为$0<w(x)<1$。这个关键是可以用有限测度来代替任意测度，本质上两个测度是有一样的零测度集。（这个和绝对连续性一致）定理6.10告诉我们：针对正$\sigma-$有限测度$\mu$和复测度$\lambda$，有两个结果：…

哈恩-巴拿赫定理
type: item
date: 2019-12-24T19:57:00+08:00
description: 哈恩-巴拿赫定理在介绍哈恩-巴拿赫定理之前，需要给定一些补充说明，并且证明一些命题。补充说明$V$是复（实）的线性空间，指的是$$ x,y{\in}V,x+y{\in}V,{\alpha}{\in}\mathbb{C},\alpha{x}{\in}V $$设$\varphi$是复线性空间$V$上的复线性泛函：$$ {\forall}x{\in}V,\varphi(x){\in}\mathbb{C},\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y);\\ \varphi(\alpha{x})={\alpha}\varphi(x),\alpha{\in}\mathbb{C} $$若上式对${\forall}\alpha{\in}R^1$，则称$\varphi$是实的线性泛函。（其线性空间还是复的）若$u$是复线性泛函$f$的实部，$u$为实的线性泛函。命题设$V$是复线性空间。（1），若$u$是$V$上的复线性泛函$f$的实部，则$$ f(x)=u(x)-iu(ix)\tag{1} $$（2），若$u$是$V$上的一个实线性泛函，且$f$由（1）式定义，则$f$为$V$上的一个复线性泛函。（3），若$V$为赋范线性空间，而$u$与$f$有（1）式关系，则$\|f\|=\|u\|$。（1）证明：设$\alpha,\beta{\in}R^1,z=\alpha+i{\beta},iz=-\beta+i{\alpha},Re(iz)=-\beta$。故有$z=Re(z)-izRe(iz)$，又因为$Re(if(x))=Ref(ix)=u(ix)$。故有$f(x)=u(x)-iu(ix)$，仅需令$z=f(x)$即可证明。（2）证明：由于$f$为线性泛函，$f(x+y)=f(x)+f(y),f({\alpha}x)={\alpha}f(x){\quad}({\forall}\alpha{\in}R^1)$。$$ f(ix)=u(ix)-iu(-x)=u(ix)+iu(x)=i(-iu(ix)+u(x))=if(x) $$故$f$为复的线性泛函。（3）证明：因为$|u(x)|{\le}|f(x)|$，于是有$\|u\|{\le}\|f\|$，由$\|u\|$的定义。$$ {\forall}x{\in}U,{\exists}\alpha{\in}\mathbb{C},|\alpha|=1,{\quad}s.t.{\alpha}f(x)=|f(x)|\\ z=re^{i{\theta}},取{\alpha}=e^{ir{\theta}},|\alpha|=1\\ |f(x)|=f(\alpha{x})=u(\alpha{x}){\le}\|u\|{\cdot}\|{\alpha}x\|=\|u\|{\cdot}\|x\|,\|f\|{\le}\|u\|(算子范数定义) $$于是有$\|f\|=\|u\|$。哈恩-巴拿赫定理给定上面的命题和相关补充内容，于是我们可以开始证明Hahn-Banach定理。若$M$是赋范线性空间$X$的子空间，$f$为$M$上的有界线性泛函，则$f$可以延拓成$X$上的有界线性泛函$F$，且$\|F\|=\|f\|$（保范延拓）。注意：这里的$M$不必是闭子空间。$F$为$f$的延拓是指：$f$的定义域包含于$F$的定义域，并且$F|_{M}=f$，且两者的范数为：$$ \|F\|=\sup_{x{\neq}0,x{\in}X}\frac{|F(x)|}{\|x\|},\|f\|=\sup_{x{\neq}0,x{\in}M}\frac{|f(x)|}{\|x\|} $$下面我们证明这个定理：第一步我们先证明：设$X$是赋范线性空间，$M$为$X$的子空间，$f$为$M$上实有界线性泛函，当$\|f\|=0$，则令$F=0$；若$\|f\|{\neq}0$，不妨设$\|f\|=1$。取$x_0{\in}X{\backslash}M$，令$M_1=\left\{x+{\lambda}x_0|x{\in}M,{\lambda}{\in}R^1\right\}$，这里扩展至加1维空间，令$f_1(x+{\lambda}x_0)=f(x)+{\lambda}\alpha$，其中这个$\alpha$之后会指定，限定该数可以保范。首先证明这个$f_1$是$M_1$上的线性泛函。$$ \begin{align*} f_1(x_1+{\lambda}x_0+x_2+{\lambda}x_0)&=f_1(x_1+x_2+(\lambda_1+\lambda_2)x_0)\\ &=f(x_1+x_2)+(\lambda_1+\lambda_2)\alpha\\ &=f(x_1)+{\lambda_1}\alpha+f(x…

詹森不等式
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date: 2019-12-19T10:06:44+08:00
description: 凹凸函数与詹森不等式凸函数课本是凸函数的定义：设$\varphi$是定义在开区间$(a,b)$上的是函数，其中$-\infty{\le}a<b{\le}\infty$。如果对任意的$a<x<b,a<y<b$和$0{\le}{\lambda}{\le}1$，恒有不等式$$ \varphi((1-{\lambda})x+{\lambda}y){\le}(1-{\lambda})\varphi(x)+{\lambda}\varphi(y) $$则称$\varphi$为凸函数。等价于$$ \frac{\varphi(t)-\varphi(s)}{t-s}{\le}\frac{\varphi(u)-\varphi(t)}{u-t} $$对$a<s<t<u<b$成立。用微分中值定理与上式等价条件容易证明，$\varphi$在$(a,b)$上是凸函数，其充分必要条件是其二阶导数恒大于0。凹函数凹函数又称为上凸函数，实则是将凸函数形式改变一下：设$\varphi$是定义在开区间$(a,b)$上的是函数，其中$-\infty{\le}a<b{\le}\infty$。如果对任意的$a<x<b,a<y<b$和$0{\le}{\lambda}{\le}1$，恒有不等式$$ \varphi((1-{\lambda})x+{\lambda}y){\ge}(1-{\lambda})\varphi(x)+{\lambda}\varphi(y) $$则称$\varphi$为凹函数。等价于$$ \frac{\varphi(t)-\varphi(s)}{t-s}{\ge}\frac{\varphi(u)-\varphi(t)}{u-t} $$对$a<s<t<u<b$成立。用微分中值定理与上式等价条件容易证明，$\varphi$在$(a,b)$上是凹函数，其充分必要条件是其二阶导数恒小于0。詹森不等式对于$\Omega$集合，$\mathfrak{M}$为$\Omega$上的$\sigma$代数，$\mu$为正测度，$\mu(\Omega)=1$。其一般形式：$f:\Omega{\to}R^1,f{\in}L^1(\mu)$，若$\varphi(x)$为$(a,b)$上凸函数，$x{\in}\Omega,a<f(x)<b$，则有$$ \varphi(\int_{\Omega}fd{\mu}){\le}\int_{\Omega}(\varphi{\circ}f)d{\mu} $$证明：令$t=\int_{\Omega}fd{\mu}$，则$a<t<b$（实际上，若$t=b$，则$\int_{\Omega}(b-f){\mu}=0,b=f=0,a.e.$于$\Omega$，而这个与$f(x)<b,{\forall}x{\in}\Omega$矛盾），于是$a<s<t<b$，令$$ \beta=\sup_{a<s<t}\frac{\varphi(t)-\varphi(s)}{t-s},a<s<t,\beta{\ge}\frac{\varphi(t)-\varphi(s)}{t-s} $$$$ \beta{\le}\frac{\varphi(v)-\varphi(t)}{v-t},t<v<b $$两个式子可以推出$$ \varphi(s){\ge}\varphi(t)+\beta(s-t){\quad}(a<s<b) $$于是有令$s=f(x)$，因为$s{\in}(a,b)$$$ \varphi(f(x))-\varphi(t)-\beta(f(x)-t){\ge}0{\quad}{\forall}x{\in}\Omega $$由于$\varphi$连续，所以$\varphi{\circ}f$可测。若$\varphi{\circ}f{\in}L^1{\mu}$，则$$ \int_{\Omega}\varphi{\circ}fd{\mu}-\varphi(\int_{\Omega}fd{\mu})-\beta(\int_{\Omega}fd{\mu}-t){\ge}0 $$因为$t=\int_{\Omega}fd{\mu}$，于是推出詹森不等式：$$ \int_{\Omega}\varphi{\circ}fd{\mu}{\ge}\varphi(\int_{\Omega}fd{\mu}) $$但是若$\varphi{\circ}f=\infty{\notin}L^1(\mu)$，则有$\varphi{\circ}f=(\varphi{\circ}f)^+-(\varphi{\circ}f)^-$。其中$$ (\varphi{\circ}f)^-=-\min\left\{0,\varphi{\circ}f\right\} $$定义一个$g(x)$为下述所示：$$ \varphi(…

开映像定理与其应用
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date: 2019-12-17T18:27:49+08:00
description: 开映像定理与其应用开映像定理设$X,Y$是巴拿赫空间，有界线性算子$\Lambda:X{\to}Y$是满射，则存在$\delta>0$，使得$$ {\Lambda}(B_X(0,1)){\supset}{\delta}B_Y(0,1)=B_Y(0,\delta)\\ B_X(0,1)=\left\{x{\in}X;\|x\|_X{\le}1\right\} $$（开映像定理将开集映为开集）证明分为两步：断言1：在定理条件下，$\exists{\delta}>0$，使得$\overline{\Lambda(B_X(0,1))}{\supset}2{\delta}B_Y(0,1)$。证明断言1：$\forall{y}{\in}Y$，因为$\Lambda$是满射，故$\exists{x}{\in}X$，使得$y=\Lambda{x}$，若$\|x\|<k$，则$y{\in}B_X(0,k)=k{\Lambda}B_x(0,1)$。因为是连续线性算子。令$X_n=\overline{n{\Lambda}B_X(0,1)}$，而$Y={\bigcup}^{\infty}_{n=1}X_n$，由Baire定理，则${\exists}n_0$，使得$intX_{n_0}{\neq}\varnothing$，而实际上根据连续性，就是$int{\overline{\Lambda{B_X(0,1)}}}{\neq}\varnothing$。设$y_0$是$\overline{{\Lambda}B_X(0,1)}$中的内点，则存在$\delta>0$，使得$B_Y(y_0,4\delta){\subset}\overline{B_X(0,1)}$。这里$-y_0$也是$\overline{{\Lambda}B_X(0,1)}$的内点，因为是对称凸集。也就是$$ y_0=n_0{\Lambda}x,-y_0=n_0{\Lambda}-x_0,而x,-x{\in}B_X(0,1){\Longrightarrow}-y_0{\in}\overline{{\Lambda}B_X(0,1)} $$$$ B_Y(0,4\delta)=B_Y(y_0,4\delta)-y_0{\subset}\overline{{\Lambda}B_X(0,1)}+\overline{{\Lambda}B_X(0,1)} $$于是有$B_Y(0,4\delta){\subset}2\overline{{\Lambda}B_X(0,1)}$，进一步有$$ \overline{{\Lambda}B_X(0,1)}{\supset}B_Y(0,2\delta)=2{\delta}B_Y(0,1) $$断言2：若$\Lambda:X{\to}Y$，满足$\overline{\Lambda(B_X(0,1))}{\supset}2{\delta}B_Y(0,1)$，则$B_Y(0,\delta){\subset}{\Lambda}B_X(0,1)$。证明：要证${\forall}y{\in}B_Y(0,\delta),{\exists}x{\in}B_X(0,1)$，使得$\Lambda{x}=y$。由满足的条件，我们就可以取${\forall}\varepsilon>0,{\exists}x{\in}X,\|x\|<\frac{1}{2}$，使得$\|y-{\Lambda}x\|<\varepsilon$。取到$\varepsilon=\frac{\delta}{2}$，取${\exists}x_1$，使得$\|y-{\Lambda}x_1\|<\frac{\delta}{2}$。用$y-{\Lambda}x_1$代替前面的$y$，于是$\exists{x_2},\|x_2\|<\frac{1}{4}$，使得$\|y-{\Lambda}x_1-{\Lambda}x_2\|<\frac{\delta}{4}$，继续上面的步骤取法，这样下去。$\exists{x_n},\|x_n\|<\frac{1}{2^n}$，使得$\|y-{\Lambda}x_1-{\Lambda}x_2-{\cdots}-{\Lambda}x_n\|<\frac{\delta}{2^n}$。且有$\sum^{\infty}_{n=1}\|x_n\|$是收敛的，于是我们取$x:=\sum^{\infty}_{n=1}x_n$，由于$\Lambda$是连续的，故$y={\Lambda}x$。故此证明完毕。巴拿赫（逆算子）定理$X,Y$是巴拿赫空间，$\Lambda:X{\to}Y$是既单又满的有界线性算子，则${\exists}\delta>0$，使得$\|{\Lambda}x\|{\ge}\delta\|x\|,{\…

阿尔泽拉-阿斯科特（续）
type: item
date: 2019-12-15T23:31:00+08:00
description: 思路$Arzela-Ascoli$定理条件的改变与减弱将该定理中的闭区间$[\alpha,\beta]$上的连续函数族扩展到无穷紧空间上的连续算子族，并且给出无穷紧空间上连续算子族相对紧性判断的一个充要条件，然后将定理中一致有界减弱为在一点有界，定理结论仍旧成立。该定理对有限闭区间上连续函数族相对紧性判定的一个充要条件，故该定理应用非常广泛。张恭庆的《泛函分析讲义》将闭区间$[\alpha,\beta]$推广到紧空间$K$，指出$C(K)$的子集$F$是相对紧的当且仅当$F$等度连续且一致有界。该期刊将实值连续函数推广到向量值连续算子，也就是假设$E$为紧度量空间，$X$为巴拿赫空间，$C(E,X)$表示从$E$到$X$的连续函数的全体，给出了$C(E,X)$上任一子集相对紧的充要条件，于是大大扩展了应用范围，并且对定理要求的一致有界条件可以减弱到在一点有界，从而更为扩展适用空间。预备知识1.设$(X,\rho)$为距离空间，$A$是$X$的子集，如果$A$中的任何点列必有在$X$中的收敛子列，则称$A$为紧集。2.设$(X,\rho)$是距离空间，$A$是$X$的一个子集，$B{\subseteq}A$，如果有$\varepsilon>0$，使得以$B$中各点为中心，以$\varepsilon$为半径的开球全体覆盖$A$，也就是$A{\subseteq}{\bigcup}_{x{\in}B}O(x,\varepsilon)$，则称$B$是$A$的$\varepsilon$网。如果$B$是有限集，则称$B$是$A$的有限$\varepsilon$网。3.设$(X,\rho)$为距离空间，$A$是$B$的子集。如果对于任意$\varepsilon>0$，都存在着$A$的一个有限$\varepsilon$网，则称集合$A$是完全有界的。从下面的引理可以看出，集合的相对紧性与完全有界有着重要的联系。引理1：度量空间中相对紧集必是完全有界集；在完备度量空间中，完全有界集必是相对紧集。（其实就是豪斯多夫引理），这里给出证明：必要性：反证法！若$\exists{\varepsilon_0}>0,M$中没有有限的$\varepsilon_0$网。任取$x_1{\in}M,{\exists}x_2{\in}M{\backslash}B(x_1,\varepsilon)$；$$ 对\left\{x_1,x_2\right\}{\in}M,\exists{x_3}{\in}M{\backslash}B(x_1,\varepsilon_0){\bigcup}B(x_2,\varepsilon_0);\\{\cdots}\\对\left\{x_1,\cdots,x_n\right\}{\in}M,{\exists}x_{n+1}{\in}M{\backslash}{\bigcup}^n_{k=1}B(x_k,\varepsilon_0)\\{\cdots} $$这样产生的点列$\left\{x_n\right\}{\subset}M$显然满足$\rho(x_n,x_m){\ge}\varepsilon_0(n{\neq}m)$，它不能有收敛的子列。而这和$M$的列紧性矛盾。充分性：若$\left\{x_n\right\}$是$M$中的无穷点列，想找到一个收敛子列，对1网，$\exists{y_1}{\in}M,\left\{x_n\right\}$的子列$\left\{x_n^{(1)}\right\}{\subset}B(y_1,1)$。$$ 对\frac{1}{2}网,{\exists}y_2{\in}M,\left\{x_n^{(1)}\right\}的子列\left\{x_n^{(2)}\right\}{\subset}B(y_2,\frac{1}{2})\\{\cdots}\\对\frac{1}{k}网,{\exists}y_k{\in}M,\left\{x_n^{(k-1)}\right\}的子列\left\{x_n^{(k)}\right\}{\subset}B(y_k,\frac{1}{k})\\{\cdots} $$最后抽出对角线子列$\left\{x_n^{(k)}\right\}$，它是一个基本列。实际上，对${\forall}\varepsilon>0$，当$n>2/\varepsilon$时，对${\forall}p{\in}\mathbb{N}$有$$ \begin{align*}\rho(x^{(n+p)}_{n+p},x^{(n)}_n)&{\le}\rho(x^{(n+p)}_{n+p},y_n)+\rho(x^{(n)}_n,y_n)\\&{\le}\frac{2}{n}<\varepsilon\end{align…

阿尔泽拉-阿斯科特
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date: 2019-12-13T12:40:00+08:00
description: 阿尔泽拉-阿斯科特逐点收敛与一致收敛在此先给出逐点收敛的概念定义逐点收敛：设$f_n(n{\in}N)$为定义在集合$K$上的一族实值（或复值）函数，函数序列$\left\{f_n\right\}$称为逐点收敛于函数$f$：当$\forall{x}{\in}K,{\exists}N{\in}N,\forall{n>N}$，有$|f_n-f(x)|<\varepsilon$。一致收敛概念定义一致收敛：设$f_n(n{\in}N)$为定义在集合$K$上的一族实值（或复值）函数，函数序列$\left\{f_n\right\}$称为一致收敛于函数$f$：若${\forall}\varepsilon>0,{\exists}N{\in}N,\forall{n>N},x{\in}K$，有$|f_n-f(x)|<\varepsilon$。这里要注意到逐点收敛与一致收敛之间很重要的一个不同之处: 一般而言，逐点收敛定义中的$N$不仅与$\varepsilon$有关，还与$x$的取值有关；而一致收敛中的$N$，仅仅与$\varepsilon$有关，也就是对所有的$x$，均有$|f_n=f(x)|<\varepsilon$成立。逐点收敛是不足以保证极限函数继承函数序列中函数的连续性质的，但是一致收敛可以保证极限函数连续。这部分可以通过加一项减一项证明。而对于函数项级数收敛，也用到了一致收敛的条件。对于叶果洛夫定理：去掉一个零测集，则逐点收敛函数可以做到一致收敛。实数域上的情形为了说明后面的阿尔泽拉-阿斯科特定理需要引入一致有界定义：$f_n$是定义在集合$K{\subset}R(or\;C)$上的一族函数，称函数序列$\left\{f_n\right\}$一致有界，当$\exists{M}{\in}R,{\forall}n{\in}N,x{\in}K,\|f_n\|_{\infty}{\le}M$。等度连续定义：一个函数序列$\left\{f_n\right\}_{n{\in}N}$称为等度连续：当${\forall}\varepsilon>0,{\exists}\delta>0,{\forall}n{\in}N,x,y{\in}K,|x-y|<\delta$，则有$|f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon$。一致连续讲的是单个函数在全局上连续变化的情况而等度连续刻画了一族函数的连续情况。有了这个概念，我们可以将致密性定理进行推广为AAS（阿尔泽拉-阿斯科特）定理：给出了一个从紧度量空间映射到度量空间的函数集合，是否在关于一致收敛的拓扑意义上是紧集的充分必要条件，（应用：在常微分方程解的存在与唯一性中起作用。）实数域上的AAS定理：考虑为$R$上的一个有界闭区间$I=[a,b]$，实值函数序列${f_n}_{n{\in}N}$。若该序列一致有界且等度连续，则该函数序列必包含一个一致收敛的子序列。证明分成三部分：一：逐点利用一致有界性：考虑在$I$上取一个稠密点集，这样，任意的$x{\in}I$都可以通过这个点集的元素逼近得到。（例如，任意的一个无理数都可以通过一个有理数序列取极限得到），不妨选取序列$A=\left\{x_n\right\}^{\infty}_{n=1}=I{\cap}Q$，由一致有界性质，根据致密性（波尔查诺-维尔斯特拉斯）定理：$x=x_1$，序列$\left\{f_n(x_1)\right\}^{\infty}_{n=1}$有界，于是有收敛子列$\left\{f_{1,n}(x_1)\right\}^{\infty}_{n=1}$序列$\left\{f_{1,n}(x_2)\right\}^{\infty}_{n=1}$有界，则有收敛子列$\left\{f_{2,n}(x_2)\right\}^{\infty}_{n=1}$序列$\left\{f_{k-1,n}(x_k)\right\}^{\infty}_{n=1}$有界，则有收敛子列$\left\{f_{k,n}(x_k)\right\}^{\infty}_{n=1}$这些序列的关系为$$ \left\{f_{k,n}\right\}^{\infty}_{n=1}{\subset}\left\{f_{k-1,n}\right\}^{\infty}_{n=1}{\subset}{\cdots}{\subset}\left\{f_{2,n}\right\}^{\infty}_{n=1}{\subset}\left\{f_{1,n}\right\}^{\infty}_{n=1} $$二：取对角线构造子序列。现在取以上的这些序列中的$f_{j,j}$，构成对角线序列$\left\{f_{k,k}\right\}_{k{\in}N}$这个操作称为Cantor对角线法。于…

一致有界与连续函数的傅立叶展开
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date: 2019-12-10T21:07:53+08:00
description: 一致有界与连续函数的傅立叶展开Banach-Steinhaus定理上述巴拿赫-斯坦豪斯定理，也称为共鸣定理，一致有界定理。$X$为巴拿赫空间，$Y$为线性赋范空间，$\left\{{\Lambda}_{\alpha}\right\}_{\alpha{\in}A}$，$\Lambda_{\alpha}{\in}L(X,Y)$是一族连续线性算子，那么要么存在$M<\infty$，使得对每个$\alpha{\in}A,\|{\Lambda}_{\alpha}\|{\le}M$；要么对所有属于$X$的某个稠密$G_{\delta}$型集的$x$，有$\sup_{\alpha{\in}A}\|{\Lambda}_{\alpha}\|=\infty$。其中一致有界性质体现在：若${\forall}x{\in}M$，$\sup_{\alpha{\in}A}\|{\Lambda}_{\alpha}x\|<\infty$，则$\sup_{\alpha{\in}A}\|{\Lambda}_{\alpha}\|<\infty$。也就是对于这个线性算子作用下，每个都有界，最后可以推出这个算子有界。其几何意义如下：或者是$$ \Lambda_{\alpha}:B_X{\to}MB_Y,{\forall}{\alpha}{\in}A,\|{\Lambda_{\alpha}}x\|{\le}M\|x\| $$或者是：至少有一个$x$使$\left\{{\Lambda}_{\alpha}x\right\}$不包含于$Y$的任何一个球内。且这些$x$形成$X$上的一个稠密$G_{\delta}$集。证明该定理：令$\varphi(x)=\sup_{\alpha{\in}A}\|{\Lambda}_{\alpha}x\|\;{\forall{x}{\in}X}$，令$V_n=\left\{x|\varphi(x)>n\right\}$，则因为$\Lambda_{\alpha}$是连续线性变换，而$Y$上的范数为连续函数，故此有$\varphi$是关于$x$的下半连续函数，从而知道$V_n$为开集。一，若有$V_N$在$X$中不稠密，则存在一点$x_0{\in}X$和$r>0$，使得$\|x\|<r$时，$x_0+x{\notin}V_n$。于是则推出$\varphi(x_0+x){\le}N$，或者说$\|{\Lambda}_{\alpha}(x_0+x)\|{\le}N,\;{\forall}{\alpha}{\in}A,\|x\|<r$，$x=(x_0+x)-x_0$，$$ \|{\Lambda}_{\alpha}\|{\le}\|{\Lambda_{\alpha}(x_0+x)\|+\|{\Lambda}_{\alpha}x_0\|}{\le}2N $$取到$M=\frac{2N}{r}$，则有$\|{\Lambda}_{\alpha}x\|{\le}M\|x\|$，也就是$\|{\Lambda}\|{\le}M$。二，$\overline{V_n}=X$，则$\bigcap^{\infty}_{n=1}V_n$是一个$G_{\delta}$型集，由于Baire定理，$\overline{\bigcap^{\infty}_{n=1}V_n}=X$，则对任意的$x{\in}\bigcap^{\infty}_{n=1}V_n$，有$\varphi(x)>n\;{\forall}n$，$\varphi(x)=\infty$。推论：$X$为巴拿赫空间，$Y$为线性赋范空间，$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}$，$A_n{\in}L(X,Y)$，若$\forall{x}{\in}X$，$\left\{A_nx\right\}$在$Y$中收敛（可以知道$\sup_{n{\ge}1}\|A_nx\|<\infty$有界），则$\sup\|A_n\|<\infty$。进一步定义$A:X{\to}Y$，且由$Ax=\lim_{n{\to}\infty}A_nx$，则$A{\in}L(X,Y),\|A\|{\le}\lim_{n{\to}\infty}\inf\|A_n\|$。证明：推论的前面，由于收敛，所以有界，然后通过巴拿赫-斯坦豪斯定理就可以推出。下面的证明进一步：首先$A$是一个线性变换：$$ A_n(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2)=\alpha_1A_nx_1+\alpha_2A_nx_2 $$两边取极限，从而得到$$ A(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2)=\alpha_1Ax_1+\alpha_2Ax_2 $$然后证明其有界性质：$$ \begin{align*}\frac{\|Ax\|}{\|x…

Banach空间技巧
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date: 2019-12-03T22:06:17+08:00
description: Banach空间技巧Banach空间对于巴拿赫空间，我们知道它是一个完备的赋范线性空间。再次提及一下什么叫做范数：对于$X$是复向量空间，$\|{\cdot}\|:X{\to}[0,\infty)$。$\forall{x,y}{\in}X,\|x+y\|{\le}\|x\|+\|y\|$。（三角不等式）$\forall{x}{\in}X,{\forall}{\alpha}{\in}C,\|{\alpha}x\|=|\alpha|\|x\|$。（齐次性）$\|x\|=0{\iff}x=0$。则$(X,\|{\cdot}\|)$称为赋范线性空间，同时诱导出的度量具有三角不等式性质$$ p(x,y)=\|x-y\|{\le}\|x-z\|+\|z-y\|=p(x,z)+p(z,y) $$完备的赋范线性空间称为Banach空间Hamel基$X$为域$F$上的向量空间，$\left\{e_i\right\}_{i{\in}I}$称为线性无关，指的是该集族中任意有限个向量是线性无关的。$X=span\left\{e_i\right\}_{i{\in}I}$，称$\left\{e_i\right\}_{i{\in}I}$为$X$的一组Hamel基，也就是有$\forall{x}{\in}X$，$x$为$\left\{e_i\right\}_{i{\in}I}$中有限个向量的线性组合。定理：设$X{\neq}\left\{0\right\}$是一个向量空间，则：存在$X$的Hamel基若$E$和$F$是$X$的Hamel基，则$card(E)=card(F)$。基数相等。线性算子$X,Y$为赋范线性空间，$\Lambda{:}X{\to}Y$为线性算子（书本用的线性变换，但是我们这里统一用中国专用：线性算子）$$ \|{\Lambda}\|=\sup\left\{\|{\Lambda}x\|_{Y}:x{\in}X,\|x\|_{X}{\le}1\right\} $$上述是算子范数的定义，当$\|{\Lambda}\|<\infty$时，称$\Lambda$是有界线性算子，记为$\Lambda{\in}L(X,Y)$。有界线性算子也能组成一个线性空间，验证其线性性质，这里有$$ \|A+B\|=\sup\left\{\|(A+B)x\|{\le}\|Ax\|+\|Bx\|,\|x\|{\le}1\right\}=\|A\|+\|B\| $$$$ \|{\alpha}A\|=\sup\left\{\|{\alpha}Ax\|=|\alpha|\|Ax\|,\|x\|{\le}1\right\}=|\alpha|\|A\| $$而且显然有$\|{\Lambda}\|=\inf\left\{k;\|{\Lambda}x\|{\le}k\|x\|,\|x\|{\le}1\right\}$，并且当$F$为实数域$R$或者复数域$C$时候，成为线性泛函。并且其算子范数有等价形式，我们发现如果之考虑单位向量$x$，也就是$\|x\|=1$的那些$x$是不会改变其上确界的，这是因为$$ \|{\Lambda}(\alpha)x\|=\|{\alpha}{\Lambda}x\|=|\alpha|\|{\Lambda}x\| $$于是有其等价的算子范数定义$$ \|{\Lambda}\|=\sup\left\{\|{\Lambda}x\|_{Y}:x{\in}X,\|x\|_{X}=1\right\} $$几何解释$\Lambda$将$X$中的闭单位球，也就是集$\left\{x{\in}X;\|x\|{\le}1\right\}$映到$Y$以0为中心，半径为$\|{\Lambda}\|$的闭球之内。线性算子连续与有界定理：设$\Lambda$是线性赋范空间$X$到线性赋范空间$Y$的线性算子，则以下三个条件是等价的：$\Lambda$是有界的。$\Lambda$是连续的。$\Lambda$在某一点$x_0$是连续的。证明：若$\|{\Lambda}\|<\infty$，则有$\|{\Lambda}(x_1-x_2)\|{\le}\|{\Lambda}\|\|(x_1-x_2)\|$，这个是用了算子范数的定义，于是可以推出$\Lambda$是一致连续的。从而1可以证明2。从2证明3是显然的，所以最后就从3证明1：假设$\Lambda$在$x_0$处连续，则有$$ {\forall}{\varepsilon}>0,{\exists}{\delta}>0,\|x-x_0\|{\le}{\delta},\|{\Lambda}x-{\Lambda}x_0\|{\le}{\varepsilon} $$也就是有$$ \|h\|<{\delta},\|{\Lambda}(x+…