我的java开发测试 - 拓扑学
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基础拓扑学10
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date: 2019-12-20T17:40:00+08:00
description: $S^n$的基本群首先给出一个命题，这个命题的推论告诉我们$S^n$的基本群是平凡的（$n{\ge}2$）命题：首先有条件$X_1,X_2{\subset}X$为开覆盖，也就是分别为开集并且有$X_1{\cup}X_2=X$。$X_2$单连通$X_1{\cap}X_2=\varnothing$道路连通则$i_{\pi}:\pi_1(X_1,x_0){\to}\pi_1(X,x_0)$满同态，$i:X_1{\subset}X$为包含映射。推论：$\pi_1(S^n)=\left\{1\right\}$。证明这个推论：$S^n={X_1}{\cup}{X_2},X_1=S^n{\backslash}\left\{N\right\}{\cong}E^n,X_2=S^n{\backslash}\left\{S\right\}{\cong}E^n$，而$X_1,X_2$为开，$X_1{\cup}X_2=S^n$，而$X_1{\cap}X_2{\cong}E^n{\backslash}\left\{0\right\}$道路连通。于是由于命题${\forall}x_0{\in}S^n{\backslash}\left\{N\right\}=X_1,\pi_1(X_1,x_0)=\left\{1\right\}$。$$ i_{\pi}:\pi_1(X_1,x_0){\to}\pi(S^n,x_0)满{\Rightarrow}\pi_1(S^n,x_0){\cong}\left\{1\right\},S^n连通，故S^n单连通 $$而基本群$\pi_1(S^1){\cong}Z$这是上一次讲的。证明命题：一，$$ {\forall}\alpha{\in}\pi_1(X,x_0),\alpha=,a{\in}C(I,X),a(0)=a(1)=x_0\\{\exists}\widetilde{a}{\in}C(I,X_1),\widetilde{a}(0)=\widetilde{a}(1)=x_0,\\\widetilde{a}{\simeq}a $$我们接下来就是找到这个$\widetilde{a}$的构造。二，$U_i=a^{-1}(X_i)$为$I$的一个开覆盖，记$\delta$为勒贝格数，取$m=[\frac{1}{\delta}]+2$，把$I$等分为$m$段，则每一小段都落在$U_1$或者$U_2$中，若分割点不在$U_1{\cap}U_2$中，则它在$U_i$中且$U_i$中包含与它相连接的两段，把这样的分割点去掉，于是做出了$I$的一个新分割$\hat{I_i}$，此时分割点都在$U_1{\cap}U_2$中，于是推出对于${\forall}\hat{I_i},\hat{I_i}{\subset}U_1$或者$\hat{I_i}{\subset}U_2$。取$\hat{I_i},i=1,\cdots,k$为所有不在$U_1$中的区间，则$\hat{I_i}=[t_i,t_i'],{\forall}i,a(I_i){\subset}X_2$，且$a(t_i),a(t_i'){\in}X_1{\cap}X_2=X_0$。作$b_i:\hat{I_i}{\to}X_0,b_i(t_i)=a(t_i),b_i(t_i')=a(t_i')$，由于$X_2$单连通。$$ H_i:b_i{\simeq}a|_{\hat{I_i}}{\quad}rel\left\{t_i,t_i'\right\} $$作道路$\widetilde{a}:I{\to}X_1$。$$ \widetilde{a}(t)=\begin{cases}b_i(t),{\quad}t{\in}\hat{I_i}\\a(t),{\quad}t{\notin}\hat{I_i}\end{cases} $$于是推出$\widetilde{a}$为$X_1$中在$x_0$点的闭道路，仅需证明$\widetilde{a}{\simeq}a{\;}rel\left\{x_0\right\}$。$$ \widetilde{H}=\begin{cases}H_i(t,s){\quad}t{\in}I_i\\a(t){\quad}t{\notin}I_i\\\end{cases} $$推出$b(I){\subset}X_1,\widetilde{a}{\simeq}a{\quad}rel\left\{x_0\right\}$。于是命题证明完毕。$T^2$的基本群定理：$x_0{\in}X,y_0{\in}Y$，则有群同态$$ \pi_1(X{\times}Y,(x_0,y_0)){\cong}\pi_1(X,x_0){\times}\pi_1(Y,x_0) $$推论：$T^2=S^1{\tim…

基础拓扑学9
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date: 2019-12-14T23:16:32+08:00
description: 基本群首先我们要指出道路乘法是没有结合律的，并且道路乘法有意义是需要条件的。于是我们导出了“道路类”，然后选定基点$p_0$，从而实现这些运算，这是为之后引出基本群中运算做好铺垫。定端同伦定义：$a,b:[0,1]{\to}X$是连续的，若$a{\simeq}b\;rel\left\{0,1\right\}$称为$a$与$b$定端同伦。定义：$a:[0,1]{\to}X$是连续的，且$=\left\{b|b{\simeq}a\right\}$称为道路，且$[X]=\left\{,a为X中道路\right\}$。当$a(0)=a(1)$时候称为闭道路，$$称为闭路类，而所谓的$a(0)=a(1)$叫做基点。道路类的运算（逆、乘法、性质）命题2.1：$a{\simeq}b$则有$\overline{a}{\simeq}\overline{b}$，其中$\overline{a}(t)=a(1-t)$为逆道路$a{\simeq}b$且$c{\simeq}d$，并且有$a(1)=a(0)$，则推出$ac{\simeq}bd$。证明如下：对于1的证明：首先我们有$H(s,t):I{\times}I{\to}X,H(s,0)=a(s),H(s,1)=b(s)$。$$ \begin{cases} H(0,t)=a(0)=b(0)\\ H(1,t)=a(1)=b(1) \end{cases} $$于是有$\widetilde{H}(s,t)=H(1-s,t)$，而这满足$\overline{a}{\simeq}\overline{b}$。对于2的证明，首先我们有$a{\simeq}b$且$c{\simeq}d$，也就是有$H(s,t),\widetilde{H}(s,t)$，从而只需要取到$$ H'=\begin{cases} H(2s,t),\;0{\le}s{\le}\frac{1}{2}\\ H(2s-1,t),\;\frac{1}{2}{\le}s{\le}1 \end{cases} $$则有$H'(0,t)=a(0),H'(1,t)=c(1),H'(s,0)=ac,H'(s,1)=bd$。道路类的定义$\alpha{\in}[X]$，特别地${\alpha}=,\alpha^{-1}=<\overline{a}>,a{\in}\alpha({\iff}{\alpha}=)$，接下来会证明这是个良定的。$\alpha,\beta{\in}[X],\alpha=,\beta=,a(1)=a(0),{\alpha}{\beta}=<ab>$，同样要证明是良定的。1良定：$a,a'{\in}\alpha$，则推出$a{\simeq}a',\overline{a}{\simeq}\overline{a'}$，于是就有$<\overline{a}>=<\overline{a'}>$2良定：$a,a'{\in}\alpha,b,b'{\in}\beta$，且有$ab{\simeq}a'b'$则推出$<ab>=<a'b'>$。同时有下面的性质$$ \begin{cases} (\alpha^{-1})^{-1}=\alpha\\ (\alpha\beta)^{-1}=\beta^{-1}\alpha^{-1} \end{cases} $$连续映射作用于道路上$f:X{\to}Y$为连续映射，并且$a,b$为$X$上的两条道路，则推出$f{\circ}a,f{\circ}b$为$Y$上的两条道路。$a{\simeq}b$推出$f(a){\simeq}f(b)$。连续映射把道路类映为道路类$a(1)=a(0)$推出$f{\circ}a(1)=f{\circ}b(0)$, $$ (f{\circ}a)(f{\circ}b)=f{\circ}(ab) $$连续映射保持道路乘法$\overline{f{\circ}a}=f{\circ}\overline{a}$。证明：1，$a{\simeq}b$则推出存在$H(s,t)$，于是令$\widetilde{H}=f{\circ}H(s,t)$即可2，$$ (f{\circ}a)(f{\circ}b)=\begin{cases} f{\circ}a(2s){\quad}0{\le}s{\le}\frac{1}{2}\\ f{\circ}b(2s){\quad}\frac{1}{2}{\le}s{\le}1 \end{cases} $$而这个实际上则是$f{\circ}ab(s)$的定义。3，$\overline{f{\circ}a}=f{\circ}a(1-s)=f{\circ}\overline{a}$。推论：$f$将道路类映为道路类，并且保持道路类的乘法和逆运算。于是我们可以给出这样的连续映射，并且确认它的性质…

基础拓扑学8
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date: 2019-12-06T19:47:41+08:00
description: 基础拓扑学8同伦与基本群思想首先这个概念是来自于庞加莱，庞加莱使用了基本群工具来刻画不同胚的各个拓扑图形的性质。拓扑不变量，通过群这个代数工具，可以展现出来。而基本群实际上对应的就是同论群（不可交换的运算），而对于可以交换的运算，则是同调群，对应的是上同调群。graph LR A[拓扑空间] -->|连续f|B[拓扑空间]-->|连续g|C[拓扑空间]-->|连续gof|A同理则有：graph LR A[群] -->|f*|B[群]-->|g*|C[群]-->|g*f*|A首先我们给出庞加莱的大概思想：通过刻画一个等价条件就是同伦，取定$P$点，考虑起点与终点均为$P$的道路的全体，再模掉这个同伦条件，从而成为一个集合，在这个集合上给出乘法运算（复合映射），从而成为基本群。例子圆盘$D,{\pi}_1(D)=\left\{e\right\}$，圆盘上所有道路都坍缩为一点。圆环$S,{\pi}_1(S)=Z$,也就是整数自由循环群。一些后面的讲述内容与框架基本群保持了同胚不变，同伦则是取环道（闭道路），从而形成环道类，对上面定义乘法，从而形成1阶同伦群，而同伦不变性：$a$与$\widetilde{a}$等价（指的是形变下变为同一条道路）然后我们用基本群来研究拓扑不变性质，最后举一些计算基本群的例子与应用。（van-Kanpen定理）在$S$上$a$可以连续性变到$\widetilde{a}$，其中$a:S^1{\to}S$连续，$\widetilde{a}:S^1{\to}S$连续。映射的同伦定义$X,Y$为拓扑空间，$C(X,Y)=\left\{f:X{\to}Y|f连续\right\}$。设$f,g{\in}C(X,Y)$，若存在一个连续映射$H(x,t):X{\times}I{\to}Y$，使得$\forall{x},H(X,0)=f(x),H(X,1)=g(x)$，则称$f$与$g$同伦。$H$称为从$f$到$g$的伦移（同伦），$h_t:X{\to}Y,x{\mapsto}H(x,t)$称为切片，${\eta}_x:[0,1]{\to}Y,t{\mapsto}{\eta}_x(t)=H(x,t)$，其中$\eta_x$称为$H$在$x$处的踪。从这里可以看出如果要确定一个同伦，可以从切片角度看，或者从踪角度看待。例子$Y{\subset}E^n$，或者说是一个凸子集，则有直线伦移（同伦）：$f(x){\to}g(x),h_t:(1-t)f(x)+tg(x)$。这表示将$f(x)$匀速移动到$g(x)$。并且满足$H$是连续的与两个性质。$f,g{\in}C(X,Y)$，设$f(x){\neq}-g(x),{\forall}x$，其中$$ H(x,t)=\frac{(1-t)f(x)+tg(x)}{\|(1-t)f(x)+tg(x)\|} $$这是一个中心投影，所以要去掉对径点，这是因为每个道路都是单位化到一条弧上。$S^1,f(x):X{\to}S^1,g(x)=-f(x)={\tau}{\circ}f(x):X{\to}S^1{\subset}C$，其中$\tau:S^1{\to}S^1$。$$ f(x){\simeq}_Hg(x) $$其中$H(x,t)=e^{i{\pi}t}f(x)$是定向的，$H(x,0)=f(x),H(x,1)=-f(x)=g(x)$。$S^n$做不到，$S^2$对径映射是反定向的，于是有$f(x)$与${\tau}{\circ}f(x)$不同伦，其中$\tau:S^2{\to}S^2$是反定向的，不存在同伦将正定向变为反定向，所以$S^n$做不到，可以用同调证明。同伦是$C(X,Y)$上的一个等价关系$f{\simeq}_Hf$。$f{\simeq}_Hg{\Rightarrow}g{\simeq}_Hf$。$f{\simeq}_Hg,g{\simeq}_Hh{\Rightarrow}f{\simeq}_Hh$证明很简单：1，$H(x,t)=f(x)$是连续的，并且$H(x,0)=f(x),H(x,1)=f(x)$。2，$f{\simeq}_Hg$，也就是存在$H(x,t)$连续，$H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)$，令$\widetilde{H}(x,t)=H(x,1-t)$即可。3，$f{\simeq}_Hg,g{\simeq}_Hh$，定义$$ \widetilde{H}(x,t)=\begin{cases}H(x,2t),t{\in}[0,\frac{1}{2}]\\G(x,2t),t{\in}[\frac{1}{2},1]\end{cases} $$则$\widetilde{H}(x,t)$连续，于是有$f{\simeq}_{\widetilde{H}}h$。映射…

基础拓扑学7
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date: 2019-11-15T20:43:00+08:00
description: 基础拓扑学7今天具体介绍一下怎么用数学来严格定义某些拓扑对象：诸如平环，莫比乌斯带，克莱因瓶等对象。商拓扑设$X$为拓扑空间，$A{\subset}X$，$X/A$是将$A$揉为一点成为商空间。定义拓扑锥$CX{\triangleq}X{\times}I/X{\times}\left\{1\right\}$，其中$I=[0,1]$。举个例子：当$X=S^1$时，实际上就是一个圆柱，将上面的圆揉为一个点，所以成为了圆锥。几何锥：取$X{\subset}E^n,a{\in}E^{n+1}{\backslash}E^n$。$$ aX{\triangleq}\left\{ta+(1-t)x|t{\in}I,x{\in}X\right\} $$称为$X$上以$a$为顶点的几何锥。这个容易看出来，实际上我们取到$X{\subset}E^n$，则有$CX{\cong}aX$。做的商映射是:$(x,t){\to}ta+(1-t)x$。曲面例子莫比乌斯带：$I^2/{\sim}{\cong}M$平环$\sum$:$I^2/{\sim}{\cong}\sum$通过连接对径点的方式，平环也可以做到成为莫比乌斯带还有球面与克莱因瓶的例子，具体后面会加入图片更新。粘合映射的结论这里我们先通过粘合映射引入，直接给出本章最后的结论。但是还是要引入一些定义和概念。两个带边曲面沿边缘粘合得到的新曲面，称之为连通和$M{\#}N$。环面挖去一个开圆盘，称之为一个环柄。球面加上一个环柄是环面，也就是有$S^2{\#}T^2{\cong}T^2$。具有$n$个环柄的球面记为$nT^2$，称之为亏格为$n$的可定向闭曲面。（亏格个数可以看环柄个数或者是数洞的个数）球面上挖去一个开圆盘，然后粘合上一个莫比乌斯带，称之为叫安交叉帽，并且有$S^2{\#}P^2{\cong}P^2$。安装有$m$个交叉帽的球面记为$mP^2$，称为亏格为$m$的不可定向闭曲面。于是我们有闭曲面分类定理：$nT^2$和$mP^2$不重复地列出了闭曲面的所有拓扑类型。拓扑流形接下来我们严格定义一些数学对象首先定义:在拓扑空间$(X,\tau)$中，$X$被称为$n$维拓扑流形，指的是：若$\forall p{\in}X$，$\exists p$的开领域$U{\subset}X$以及其同胚映射:$\phi:U{\to}\phi(U){\subset}E^n$为开集。也就是说首先是任意取点，然后对该点的开邻域，要找到一个同胚映射，该映射在$E^n$下把开领域映为一个开集。这称之为无边流形。对于$n$维带边流形，我们有定义:在拓扑空间$(X,\tau)$中，$X$被称为$n$维拓扑流形，指的是：若$\forall p{\in}X$，$\exists p$的开领域$U{\subset}X$以及其同胚映射:$\phi:U{\to}\phi(U){\subset}E^n_{+}$为开集。$$ E^n_{+}=\left\{(x_1,\cdots,x_n){\in}E^n|x_n{\ge}0\right\} $$其实这意味着每个局部上与$E^n$开集是同胚的。我们可以给出一些例子：$E^n$为无边的$n$维流形$E^n_{+}$为带边的$n$维流形。$\overline{D^2}={(x,y)|x^2+y^2{\le}1}$为带边的2维流形证明一下这个先：首先$\overline{D^2}$中的点$(rcos{\theta},rsin{\theta}),0{\le}r{\le}1,0{\in}[0,2\pi)$，我们取到$p{\in}\overline{D^2}$，取到$U= \mathring{D^2}{\to}\mathring{D^2}$。我们知道后面的$\mathring{D^2}{\subset}E^2_{+}$。对应情况为$(x,y){\to}(x,y+1)$。若$p{\in}{\partial{D}},p=(cos{\theta_0},sin{\theta_0})$。我们取 $$ U_p=\left\{(x,y)|\frac{1}{2}<r<1,\theta{\in}(-\frac{\pi}{2}+\theta_0,\theta_0+\frac{\pi}{2})\right\} $$对应情况为$(x,y){\to}(\theta,1-r)$。球面球面简单就取到球极投影即可。$S^2$为2维的拓扑流形，$S^n{\subset}R^{n+1}$为$n$维的拓扑流形。坐标系这里我们指出有一个局部坐标卡，因为我们发现拓扑流行的定义，其映射是跑到了$E^n$中的，所以可以用$E^n$中的坐标，换而言之，如果有一个坐标和一个同胚映射，我们可以唯一确定这个拓扑流形。$p{\in}U{\subset}X{\…

基础拓扑学6
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date: 2019-11-08T18:28:04+08:00
description: 基础拓扑学6在引入商空间之前，我们需要对商映射做出一定的解释。也就是我们先从商映射的几何意义：粘连对应点。从直观上感受商映射是什么。同时，由于是商空间，仅仅定义一个映射过去是不够的，还需要刻画映射完的集合的拓扑空间。所以一个商映射需要导出一个强拓扑空间，并且实现这个粘连，最后才用等价类的数学定义，合理定义出商空间。基础铺垫参考书目：《点集拓扑与代数拓扑引论》曲面的拓扑分类在近百年前已经有了完全的结论，而根据代数拓扑的分法，则是根据基本群来细分。而这个流派实际上来自于庞加莱。而对于这方面的思考，引导出现了动力系统，同调群，同论群的出现。我们考虑一个正方形$[0,1]{\times}[0,1]$通过一个映射，映射为柱面（平环）。其对应法则如下：$$ f(u,v)=(cos2{\pi}u,sin2{\pi}u,v),\quad u{\in}(0,1),v{\in}[0,1]为1-1映射\\ f(0,v)=f(1,v) $$而第二个式子则展示了粘连性质。将正方形的左右两端粘连起来，成为圆柱面的一条直线。商映射定义：强拓扑的定义——设$(X_{\lambda},\tau_{\lambda})$为一族拓扑空间，$f_{\lambda}:X_{\lambda}{\to}f$，则$Y$上满足条件(*)$$ (*)每个f_{\lambda}都连续 $$的最大拓扑$\tau$，称为由$\left\{f_{\lambda}\right\}$决定的强拓扑。其中最大拓扑的意思是指:若$ \widetilde{\tau}$满足(*)$\Rightarrow \widetilde{\tau}{\subset}\tau$。刻画这个强拓扑设$(X_{\lambda},\tau_{\lambda}),f_{\lambda}:X_{\lambda}{\to}Y$，则$(Y,\tau)$，其中$$ \tau:=\left\{u{\subset}Y|f^{-1}(U){\in}\tau_{\lambda},\forall{\lambda}\right\} $$其中$f^{-1}(U)$为$X_{\lambda}$中开集。接下来仅需证明这是一个拓扑证明：(1)$\varnothing{\in}\tau,Y{\in}\tau$，因为$f^{-1}_{\lambda}(\varnothing)=\varnothing,\forall {\lambda};f^{-1}_{\lambda}(Y)=X_{\lambda},\forall{\lambda}$。(2)证明可数并还在里面：$\left\{U_{\alpha}\right\}{\subset}\tau$，则由定义推出$f^{-1}(U_{\alpha}){\in}\tau_{\lambda}$，于是乎将这些并起来，因为$\tau_{\lambda}$是一个拓扑，这些并还是在拓扑里面，具体如下$$ f^{-1}_{\lambda}({\bigcup}_{\alpha}U_{\alpha})={\bigcup}_{\alpha}f^{-1}_{\lambda}(U_{\alpha}){\in}\tau_{\lambda} $$于是可以知道${\bigcup}_{\alpha}U_{\alpha}{\in}\tau$，这是由定义可知的。(3)最后证明有限交还是在里面：$\left\{U_1,\cdots,U_n\right\}{\subset}\tau$，则$$ f^{-1}_{\lambda}({\bigcap}_i^nU_{i})={\bigcap}_{i}^nf^{-1}_{\lambda}(U_{i}){\in}\tau_{\lambda} $$于是可以推出${\bigcap}_i^nU_{i}{\in}\tau$，于是证明完毕最后说明一下这个是最大的拓扑，满足强拓扑定义：假设$(Y, \widetilde{\tau})$满足(*)，则可以推出，有任意的$U{\in} \widetilde{\tau}$，由强拓扑定义，$f^{-1}_{\lambda}(U){\in}\tau_{\lambda},\forall \lambda$，于是推出$U{\in}\tau$，从而有$\widetilde{\tau}{\subset}\tau$商映射定义设$(X,\tau_{X}),(Y,\tau_{Y})$并且满足下列俩条件，则称$f$为商映射。$f:X{\to}Y$是满射$\tau_Y$为$f$决定的强拓扑，也就是任意的$U{\in}Y,U{\in}\tau_{Y} \Leftrightarrow f^{-1}(U){\in}\tau_{X}$，其中的$ \Leftarrow $是通过强拓扑定义，而$ \Rightarrow $…

基础拓扑学5
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date: 2019-10-25T20:16:46+08:00
description: 基础拓扑学5连通性定义：一个拓扑空间是连通的：$(X,\tau),X{\neq}\varnothing$，若$X$不能分解为两个非空的不相交的开集之并，则称拓扑空间$X$是连通的。例子$E^1$是连通的。证明：用反证法：$E^1=A{\cup}B,A{\cap}B=\varnothing$，那么我们考虑$c=\sup\left\{x{\in}A|x<b\right\}$，那么我们有$$ b{\ge}c{\ge}a $$若$c{\in}A$，于是有$\varepsilon>0,(c-\varepsilon,\varepsilon+c){\subset}A,A{\cap}B=\varnothing$，于是乎则$(c-\varepsilon,\varepsilon+c){\cap}B=\varnothing$，这个与$c$的定义相矛盾，于是$c$不在$A$中，那么$c{\in}B$，而这样的话就会出现$(c-\varepsilon_1,\varepsilon_1+c){\subset}B$，而进一步又有下面的结论：$(c-\varepsilon_1,\varepsilon_1+c){\cap}A=\varnothing$，于是乎这个和$c$的存在性矛盾，则推出$E^1$是连通的。命题（连通的等价条件）若$X$连通，则相当于：$X$不能分解为两个不相交的非空的闭集之并（闭集与开集是对偶的概念）。$X$不含既开又闭的非空的真子集。设$A{\subset}X,A$既开又闭，则可推出$A=\varnothing$或者是$A=X$。同胚下保持连通性不变有$X{\cong}Y$的情况下，若$X$是连通的，则$Y$是连通的。证明：首先有$f:X{\to}Y$是一一在上的连续开映射，于是同时也有$f^{-1}:Y{\to}X$中，取$Y=A{\cup}B$均为开集，则可以推出$X=f^{-1}(A){\cup}f^{-1}(B),f^{-1}(A){\cap}f^{-1}(B)]=\varnothing$，则$f^{-1}(A)=\varnothing$或者$f^{-1}(A)=X$。进一步有$A=\varnothing$或者$A=X$。应用的例子$S^1{\subset}E^2$，但是与$E^1$不同胚。反证法：设$S^1{\cong}E^1$，则可以推出$f:S^1{\backslash}(1,0){\cong}E^1{\backslash}f(0,1)$。而后者连通性显然，前者与$R$同胚，而后者则是两条射线，显然不同胚。单连通可以用拓扑语言刻画对于$S^2=E^2{\cup}\left\{\infty\right\}$，而$U$为连通的。则有以下的命题：$U$单连通的充分必要条件是$U$与$S^2{\backslash}P^{-1}(U)$都连通。黎曼映射定理$U{\subseteq}E^2$是单连通的开区域，一定可以全纯同胚于单位开圆盘$D^2$。这个定理很深刻了揭示了单连通的分类情况：必定为$S^2,C=E^2,D^2$这三种，当然从黎曼几何的曲率来分类也可以。连通空间在连续映射下的像依旧连通证明：$X$连通，那么也就是任意$A{\subset}f(X)$，设$A$既开又闭，则推出$f^{-1}(A)$既开又闭，于是因为$X$连通，可以推出$f^{-1}(A)$要么是空集要么是全集，于是通过连续映射则有$A$是空集，要么$A$是全集$f(X)$。例子$S^1{\subset}E^2$连通证明：$f:E^1{\to}S^1$，仅需取特殊的映射函数$t{\to}(cost,sint)=e^{it}$，则可以做到。因为$E^1$是连通的，而这个映射是连续的，根据连通空间在连续映射下的像依旧连通，于是$S^1$是连通的。$A{\subset}E^1$，为$E^1$的连通子集，其充要条件为：$A$为区间。证明：先证明充分性：首先有区间四种：$(a,b),(a,b],[a,b),[a,b]$。一种一种看待，首先对于$(a,b){\cong}E^1$，这个显然通过同胚保持连通性质可以证明，接下来对于$(a,b],[a,b){\cong}[0,\infty)$，我们仅需取到特殊映射$f:x{\to}|x|$，则这个映射连续性显然，而后者连通，于是前者也连通。对于闭区间$[a,b]$，当$a=b$时，也就是单点集，那么集合中只有空集和它自己，显然是连通集。而对于$[a,b]{\cong}[0,1]$，因为$f((-1,1))=[0,1]$，还是用到之前的连续映射，于是可以推出闭集也是连通的。接下来证明必要性：设$A$不是区间，则存在$a>b>c$，而$c,a{\in}A,b{\notin}A$。于是乎$$ A=((-\infty,b){\cap}A){\…

基础拓扑学4
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date: 2019-10-19T11:13:00+08:00
description: 基础拓扑学4Tietze扩张定理设$X$为normal space，则对任意$X$中的闭集$A$，任意的连续函数$f:A{\to}E$，存在$F:X{\to}E$是连续的，并且有限制$F|_A=f$。该定理对应于实变函数论中的延拓定理：设$f:A{\to}E$是有界连续函数，并且$A{\subset}E$是闭集，则可以推出，延拓到$E$上的连续函数$F$，$F:E{\to}E$，并且有限制$F|_A=f$。其证明思路是通过序列去逼近，而且从有界连续函数，再推广到一般连续函数。定义$(X,\tau)$是regular space，指的是：单点集是闭集任意的$a{\in}X$，任意的$X$中的闭集$A$，有$a{\in}A$，则存在开集$U,V$，并且两个开集相交为空集。也就是说一个点和一个闭集，可以分别为两个开集包住，并且这两个开集不相交。推论：$X$是regular space则可以推出$X$是豪斯托夫空间。Normal space 是 regualr space 是 豪斯托夫空间，反向不行。乌雷松度量化定理设$(X,\tau)$是regular space 和 有可数拓扑基${\Rightarrow}$存在$X$上度量$d,\tau_d=d$，称这个空间是可度量化的。给一个例子：$$ Z,\mathcal{B}=\left\{B_{a,b}\right\},B_{a,b}=\left\{a+nb,n{\in}Z|a,b{\in}Z,b\neq 0\right\} $$$\tau=\overline{\mathcal{B}}{\Rightarrow}(X,\tau)$可度量化。证明：任意$z{\in}Z$，要证明$\left\{z\right\}$闭。即证明单点集是闭集，$a{\in}Z,a\neq z,$存在一个$B_{a,b},s.t.\quad z{\notin}B_{a,b}$。于是乎${z}$的补集是开集，从而证明了单点集是闭集。接下来仅需证明满足不相交的开集包，取$z{\in}Z$，取到$Z$中的闭集$A$，而且$z{\notin}A$。于是可以推出$z{\in}Z{\backslash}A$，可以推出存在$B_{a,b}$是开集，$z{\in}B_{a,b}{\subset}Z{\backslash}A$，若$B_{a,b}$是闭集，那么只要取到$U=B_{a,b},V=Z{\backslash}B_{a,b}$是开集，则有$A{\subset}V,{z}{\subset}U$，于是有$V{\cap}U=\varnothing$。那么我们仅需证明$B_{a,b}$是闭集。从$Z$的构造，$Z={\bigcup}^b_{k=1}B_{k,b},Z{\backslash}B_{a,b}$为有限个$B_{a,b}$的并，于是可以推出$Z{\backslash}$有限多个$B_{a,b}$的并，于是有$B_{a,b}$是闭集。紧致性首先定义一个覆盖：存在一个覆盖$\mathcal{U}$，对于$(X,\tau)$的拓扑空间，$\mathcal{U}{\subset}2^X$并且是$X$的覆盖是指：$X={\bigcup_{u{\in}\mathcal{U}}}u$，其中$u$指的是$\mathcal{U}$这个集族的成员。其次定义一个有限覆盖的概念：${\mathcal{U}}<{\infty}$指的是这个集族是有限的（成员个数）。定义子覆盖的概念：$\mathcal{U}^1{\subset}\mathcal{U}$也是$X$的覆盖，则$\mathcal{U}^1$被称为是一个子覆盖。定义开覆盖的概念：在覆盖的基础上，有$\mathcal{U}{\subset}{\tau}$。于是，我们可以给出拓扑空间紧致性的定义：$(X,\tau)$是紧致的（compact）：指的是$X$的任何一个开覆盖都存在有限子覆盖。例子1，$(R,\tau_f)$是紧致的。证明：若有开覆盖$\mathcal{U}$，则有$U_1{\in}{\mathcal{U}}$，而$R{\backslash}{U_1}=\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}$，这是由于余有限拓扑的定义。于是则对$\forall x_i$存在$U_i{\subset}{\mathcal{U}},x_i{\in}U_i$，进一步推出$R={U_1}{\cup}{U_2}{\cup}\cdots{\cup}U_n$。这个思路是首先找到一个子覆盖，覆盖了某个集合，则由于余有限拓扑的定义，该集合之外的只剩下有限个点，那么肯定可以从开覆盖中找到有限个覆盖这些有限点的覆盖，通过和最早的那个子覆盖做并集，就能得到有限子覆盖。2，$(R,\tau_c)$非紧致…

基础拓扑学3
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date: 2019-10-12T19:29:00+08:00
description: 基础拓扑学3乘积空间与拓扑基这里先讲述拓扑基，因为乘积空间可以用拓扑基来表达，这种表达更为简单。拓扑基给定空间集合$X$，取$\mathcal{B}{\subset}2^X$，而$\overline{\mathcal{B}}:\left\{U{\subset}X|U为\mathcal{B}中若干成员的并集\right\}$$\overline{\mathcal{B}}$称为$\mathcal{B}$所生成的子集族，特别地有，$\mathcal{B}{\subset}\overline{\mathcal{B}}，\varnothing{\subset}\overline{\mathcal{B}}$。这是显然的，因为取得是$\mathcal{B}$中若干成员的并集，那么取到$\mathcal{B}$与$\varnothing$也是可以的。定义拓扑基：$\mathcal{B}$称为集合$X$的一个拓扑基，若$\overline{\mathcal{B}}$为$X$的一个拓扑称$\mathcal{B}$为$(X,\tau)$的一个拓扑基，若$\overline{\mathcal{B}}=\tau$其中1与2其实有区别的，一个是集合的拓扑基，是由$\mathcal{B}$生成了拓扑$\overline{\mathcal{B}}$，而2指的是对于已经有了的拓扑空间，$\overline{\mathcal{B}}=\tau$指出了拓扑基。注：$U{\in}\overline{\mathcal{B}}\iff u=\varnothing或\forall x{\in}U,\exists U_x{\in}\mathcal{B},x{\in}U_x{\subset}U$也就是在$\overline{\mathcal{B}}$中的集合，要么是空集，要么包含一个$\mathcal{B}$的成员。那么什么时候$\overline{\mathcal{B}}$可以成为一个拓扑？怎么用拓扑基来刻画一个拓扑？成为集合的拓扑基设$\mathcal{B}{\subset}2^X$，$\mathcal{B}$为$X$的一个拓扑基，则充分必要条件是满足下列两个：$\bigcup_{U{\in}\mathcal{B}}U=X$$\forall {B}_1,{B}_2{\in}\mathcal{B},B_1{\cap}B_2{\in}\overline{\mathcal{B}}{\iff}\mathcal{B}中有限成员之交属于\overline{\mathcal{B}}$证明：${\Rightarrow}\overline{\mathcal{B}}$是拓扑，则显然有$X{\in}\overline{\mathcal{B}}$也就是1成立，而$\forall {B}_1,{B}_2{\in}\mathcal{B}{\in}\overline{\mathcal{B}},B_1{\cap}B_2{\in}\overline{\mathcal{B}}$。于是2就成立了。（因为拓扑有限交还是在拓扑中）。$\Leftarrow$要证明$\overline{\mathcal{B}}$是拓扑，于是要证明拓扑三公理，（1）$\varnothing,X{\in}\overline{\mathcal{B}}$成立。（2）可数并集还是在里面，根据$\overline{\mathcal{B}}$的定义直接可以得到。（3）有限交集还是属于$\overline{\mathcal{B}}$。首先$\forall U_1,U_2{\in}\overline{\mathcal{B}}$，$U_1{\cap}U_2{\in}\overline{\mathcal{B}}$，因为$U_i=U_{\alpha_i{\in}N}B_{\alpha_i},B_{\alpha_i}{\in}{\mathcal{B}},i=1,2.$，于是$U_1{\cap}U_2=({\cup}_{\alpha_1}B_{\alpha_1}){\cap}({\cup}_{\alpha_2}B_{\alpha_2})$，而式子$={\cup}_{\alpha_1,\alpha_2}(B_{\alpha_1}{\cap}B_{\alpha_2})$，由于（2），可以得到$B_{\alpha_1}{\cap}B_{\alpha_2}{\in}\overline{\mathcal{B}}$，再由定义，于是可以推出$U_1{\cap}U_2{\in}\overline{\mathcal{B}}$。例子：1，$R,\mathcal{B}=\left\{(a,b)|a<b\right\}$满足1，2$R={\bigcup}_{i{\in}Z}(i,i+…

基础拓扑学2
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date: 2019-10-05T20:03:10+08:00
description: 基础拓扑学2子空间子空间拓扑实则是一个诱导拓扑，显然我们拥有一个拓扑$(X,\tau)$，而子空间首先要满足子集的概念，其拓扑建立在集合$A$上，有$A{\subset}X$，而其拓扑是诱导拓扑：$\tau_A:=\left\{U{\cap}A|U{\in}\tau\right\}$。实则就是一个拓扑限制在集合$A$上形成的子拓扑。连续映射与同胚映射一点处连续$X,Y$均为拓扑空间，映射$f:X{\to}Y$，如果对于$Y$中$f(x)$的任一个邻域$V$，$f^{-1}(V)$总是$X$中$x$的一个邻域，则称$f$于$x$处连续。这里注意，邻域可以不是开集，$U_x{\subset}U$。连续若$f$在$X$上的每一点都连续，则称$f$为连续映射。连续映射性质若存在$f:X{\to}Y$的一个映射，以下三个条件等价，用于证明。$f$是连续映射$Y$中任何一个开集$V$，在$f$下的原像$f^{-1}(V)$为$X$的开集$Y$中任何一个闭集$F$，在$f$下的原像$f^{-1}(F)$为$X$的闭集证明：1证2——我们已经得到一个$V{\subset}Y$为$Y$的开集，要证明$f^{-1}(V){\subset}X$为$X$中的开集。（已经知道$f$是连续映射）令$U=f^{-1}(V)$，任取$y{\in}U$，则显然由映射定义，知道$f(y){\in}V$，而我们知道$V$为$f(y)$的一个邻域，由于连续映射定义，显然有$f^{-1}(V)=U$为$y$的一个邻域。于是乎，存在$U_y{\subset}U,y{\in}U_y{\subset}X$是一个开集，并且由于$y$的任意性，$U={\cup}_{y{\in}U}U_y$，于是可以知道$U$是开集。2证3——已经知道$F{\subset}Y$是个闭集，$F^c{\subset}Y$是开集，因此有$f^{-1}(F^c){\subset}X$是开集，于是乎$(f^{-1}(F^c))^c{\subset}X$是闭集，于是推出$f^{-1}(F)$是闭集，从而证毕。3证1——任意取$x{\in}X$，设$V$是$f(x)$的一个邻域，则显然有$f(x){\in}\mathring{V}$。令$U=f^{-1}(V)$，考虑到$(\mathring{V})^c$闭，于是$(f^{-1}(\mathring{V})^c)$是闭集，于是乎可以推出$(f^{-1}(\mathring{V})^c)^c$是开集，于是$f^{-1}(\mathring{V})$是开集，从而推出$x{\in}f^{-1}(\mathring{V}){\subset}f^{-1}(V)=U$是邻域。覆盖设$\mathcal{C}{\subset}2^X$，若${\cup}_{v{\in}\mathcal{C}}U=X$，称$\mathcal{C}$为$X$的一个覆盖，若$\mathcal{C}$中元素都为开（闭）集，则称$\mathcal{C}$为开（闭）覆盖。粘连引理$\left\{A,\cdots,A_n\right\}$为$X$的一个有限闭覆盖，若$f:X{\to}Y$在每个$A_i$上的限制都是连续映射，则$f$为连续映射。同胚映射定义:$f:X{\to}Y$为一一的连续映射（连续双射）。$f^{-1}:Y{\to}X$为连续映射。则称$f$为同胚映射，或者称呼拓扑变换，在一定程度下可称为同胚。

基础拓扑学
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date: 2019-09-27T20:01:16+08:00
description: 基础拓扑学1 引言从一笔画问题谈起，到所谓的戈尼斯堡七桥问题，四色问题，到欧拉示性数，到所谓的不定向流形（莫比乌斯圈，克莱因瓶）。其中均揭示了拓扑学的思考方式，从连续变换的角度去考虑问题，而不再基于所谓的长度等度量角度。这里简要提及一下欧拉示性数。Euler多面体定理这个定理适用于立体几何学：凸多面体的面数$f$，棱数$l$和顶点数$v$满足Euler公式$$ f-l+v=2 $$定理1：球面上一个连通的图的节点数$v$，枝数$l$以及它分割球面所成的面块数$f$满足公式$$ f-l+v=2 $$定理2：环面上一个连通图若分割环面称为一些简单面块（即没有洞的面块），则面块数$f$，图的枝数$l$和节点数$v$满足公式$$ f-l+v=0 $$这个示性数完全的表示了曲面的一种几何性质。研究目的研究拓扑学，实际上就是研究物体在连续变换下不变的几何性质。埃尔朗根纲领论述了变换群在几何中的主导作用，把所有几何统一在变换群论的观点之下。将几何定义为一个变换群之下的不变性质。换言之，就是有多少种不同的变换群，就有多少种不同的几何学。2 拓扑空间与连续映射实际上我们经常接触到的欧式空间，其满足代数结构和度量结构还有拓扑结构，是一个非常完美的对象。但是因为太完美，所以这些结构平常无法区分，而研究拓扑，则需要将拓扑结构抽离出来。映射的连续性映射的连续性是用来刻画拓扑变换的关键概念，所以拓扑结构必须能够刻画连续性概念。通过与我们之前学过的连续函数的一个对比，我们能够感受到脱离度量之后，只有开集能够刻画连续性的本质性质，而这个就是拓扑空间该具有的性质；拓扑空间就是那些具有开集结构的空间。拓扑空间的定义因为需要开集来刻画连续性，所以拓扑空间中的元素必然是开集，那么就需要对拓扑空间的刻画由开集来决定，我们定义拓扑空间$(X,\tau)$：$X,\varnothing$都包含在$\tau$中$\tau$中任意多个成员的并集都在$\tau$中$\tau$中有限多个成员的交集都在$\tau$中于是乎这就赋予$X$一个拓扑结构，从而成为拓扑空间，其中的元素均为开集。不同的拓扑我们知道，对于一个集合$X$上实际上可以定义不同的拓扑，这里举几个例子：平凡拓扑：$\left\{X,\varnothing\right\}$。离散拓扑：$2^X$。余有限拓扑：$\tau_f=\left\{A^c|A是X的有限子集\right\}{\cup}{\varnothing}$。余可数拓扑：$\tau_c=\left\{A^c|A是X的可数子集\right\}{\cup}{\varnothing}$欧式拓扑：$\tau_e=\left\{U|U是若干个开区间的并集\right\}$但是我们知道对于两个拓扑：如果有$\tau_1{\subset}\tau_2$，则称呼$\tau_2$比$\tau_1$精细，实则就是分的子集更多。赋予度量诱导拓扑度量拓扑实则是给集合赋予了度量之后自然诱导出来的拓扑空间。首先给与度量定义：集合$X$上的一个度量$d$是一个映射$d:X{\times}X{\to}R$，满足：正定性：$d(x,x)=0,\forall x{\in}X$，$d(x,y)>0,x\neq y$。对称性：$d(x,y)=d(y,x),\forall x,y{\in}X$。三角不等式：$d(x,z){\le}d(x,y)+d(y,z),\forall x,y,z{\in}X$。当集$X$上赋予了度量之后，称为度量空间$(X,d)$。这里需要根据这个度量给定一个开集的定义：设$x_0{\in}X$，$\varepsilon$是一个正数，称$X$的子集$$ B(x_0,\varepsilon):=\left\{x{\in}X|d(x_0,x)<\varepsilon\right\} $$为以$x_0$为心，以$\varepsilon$为半径的球形邻域。对于这个结构的若干并集定义为拓扑，那么要产生拓扑则必须要满足三大法则：显然，空集和全集都在这个拓扑里面，而对于若干个开集之并也在这个拓扑里面，所以只需要证明交在拓扑里即可。这个证明推导到后面，实则就是该度量空间中的任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的并集。而这个可以通过取交集中的任意点，从两个半径到两个圆心之间作差，取最小做半径即可包含这个点，得到一个开集。所以给与了度量必然可以诱导出一个度量拓扑。拓扑空间中的几个基本概念闭集：闭集就是开集的余集。实则拓扑空间也能用闭集刻画，但是由于是从连续映射概念引入，所以开集刻画拓扑已经深入人心，也没必要用闭集刻画。而闭集的刻画结构直接通过德摩根定理可以得到。邻域，内点和内部设$A$是拓扑空间$X$的一个子集，点$x{\in}A$。如果存在开集$U$，使得$x{\in}U{\subset}A$，则…