广义函数与Sobolev空间广义函数的基本概念、基本空间近代的偏微分方程理论在更广的函数空间讨论各类问题，因此将经典函数概念扩充，扩充概念后的函数称之为广义函数。目前最常用的扩充函数概念的方法是：利用泛函来引入广义函数。简单来说，就是找一个泛函的集合，使得所有常义函数都是这个泛函集合中的元素（兼容），并且该泛函集合中包含更多的元素，则该泛函集合就可以视为一个广义函数类——是已有的常义函数的拓广。考察$L^2[a,b]$上的函数，则由于Resiz表示定理，容易有一个泛函$$ F(\varphi)=<f,\varphi>=\int^b_af(x){\varphi(x)}dx,\quad{\forall{\varphi(x)}{\in}L^2[a,b]} $$也就是对一个$L^2[a,b]$中一个线性泛函，都会有一个函数$f(x){\in}L^2[a,b]$来对应，并且表示为上述形式。从而可以知道$L^2$函数与$L^2[a,b]$空间上的泛函是一样的。而考察$L^p[a,b]$则不一样，根据Resiz表示定理，则当$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$时，$L^q[a,b]$中的函数也可以按照内积形式定义一个$L^p[a,b]$上的泛函，而$L^p[a,b]$上的函数也可也表示为$L^q[a,b]$中的函数，又因为$L^p[a,b]{\subset}L^q[a,b],q<2<p$，则意味着$L^p[a,b]$可以用泛函导出更多的函数，从而得到一些“广义的函数”。考察性质更好的$C[a,b]$连续函数全体，这时$L^1[a,b]$中任一函数，仍然可以按照内积定义一个线性连续泛函。但是我们反过来，$C[a.b]$上的线性连续泛函却不一定可以用一个常义函数$f{\in}L^1[a,b]$表示为内积形式。设$0{\in}[a,b]$，于是对$\varphi(x){\in}C[a,b]$，可以定义一个线性连续泛函$$ F(\varphi)=\varphi(0)\tag{1.2} $$容易知道，若$\varphi_v(x){\in}C[a,b]$，满足$$ \|\varphi_v(x)\|_{C[a,b]}=\max_{x{\in}[a,b]}|\varphi_v(x)|{\to}0 $$则$F(\varphi_v(x))=\varphi_v(x){\to}0$，所以$F(\varphi)$是连续的，而关于它是线性这一点显然。（证明是一个线性连续泛函）但是，找不到一个常义函数$f(x)$，使得$$ \int^b_af(x){\varphi(x)}dx=\varphi(x),\quad{\forall}\varphi(x){\in}C[a,b]\tag{1.3} $$证明找不到，用的是积分绝对连续性导出的矛盾。其中(1.2)式中表示的泛函是无法用常义函数来表示的，所以称(1.2)式中的泛函为$\delta$函数，形式记为$<\delta,\varphi>$。定义在一些特定函数空间上的线性连续泛函称之为广义函数。将广义函数所作用的函数空间称之为基本函数空间。广义函数就是这个基本函数空间上的线性连续泛函。常用基本函数空间及其性质基本空间$C^{\infty}(R^n),C^{\infty}_c(R^n)$。定义一个函数空间不仅要给出在该空间内的元素，还必须给出其中的拓扑结构。定义空间$C^{\infty}(R^n)$。在$C^{\infty}(R^n)$中的元素是在$R^n$中任意次连续可微的复值函数，其中的拓扑规定为：若有$C^{\infty}(R^n)$中的序列$\left\{\varphi_v\right\}$，且对任一重指标$\alpha$，$$ \sup_{x{\in}K}|{\partial}^{\alpha}\varphi_v|{\to}0 $$则称$\varphi_v{\to}0(C^{\infty}(R))$。对于一个连续函数$\varphi(x)$，将$\varphi(x){\neq}0$的点$x$全体的闭包称之为$\varphi(x)$的支集，记作supp$\varphi(x)$，也就是$$ supp\;\varphi(x)=\overline{\left\{x|\varphi(x){\neq}0\right\}} $$如果$\varphi(x)$的支集是紧集，则称$\varphi(x)$有紧支集。定义空间$C^{\infty}_c(R^n)$，其中元素是无限次连续可微并且有紧支集的函数，在其中的拓扑规定为：若有$C^{\infty}_c(R^n)$中的序列$\left\{\varphi_v\right\}$，满足条件：（1）所有$\varphi_v$的支集在一个共同的紧集$K$内（2）对任何重指标$\alpha$，在上述紧集$K$内成立$$ \sup_{x{\in}K}|{\partial}^{\alpha}\varphi_v|{\to}0 $$则称$\varphi_v{\to}0(C_c^{\infty}(R))$，并且空间$C^{\infty}_c(R^n)$又记为$\mathscr{D}(R^n)$。类似地，对于$R^n$中的开集$\Omega$也可也定义相应的函数空间。例子1：令$$ \varphi(x)=\begin{cases} e^{\frac{1}{|x|^2-1}},|x|<1,\\ 0,|x|{\ge}1 \end{cases} $$易验证，$\varphi(x)$是一个无限连续可微的函数，并且其支集为$|x|{\le}1$，于是有$\varphi(x){\in}C^{\infty}_c(R)$。今后的讨论中，经常用到这个函数$\alpha(x)=\frac{1}{C}\varphi(x)$。其中$C=\int_{R^n}\varphi(x)dx$。于是对函数$\alpha(x)$，有$\int_{R^n}\alpha(x)dx=1$成立。例子2：设$R>1,g_R(x)$为球$B_R$的特征函数，也就是$$ g_R(x)=\begin{cases} 1,|x|{\le}R,\\ 0,|x|>R. \end{cases} $$作$$ \beta_R(x)={\int}g_R(x-t)\alpha(t)dt={\int}g_R(t)\alpha(x-t)dt $$其中$\alpha(x)$为例子1所定义吗，所以$\beta_R(x)$表示以$x$为中心，以1为半径的球中函数$g_R(t)$的带权平均值。注意到在$\beta_R(x)$定义中的积分是实际上仅在有界区域中进行，因此若将$\beta_R(x)$关于自变量求导就可以转移到$\alpha(x-t)$上去，从而可以证明：$\beta_R(x)$为$C^{\infty}$函数，它的支集在$|x|{\le}R+1$中，且在支集上，$\beta_R(x)=1$恒成立。根据上面函数可以做一个$\beta_v$，对任一函数$\varphi{\in}C^{\infty}(R^n)$，作$\varphi_v(x)=\beta_v(x)\varphi(x)$，则$\varphi_v(x){\in}C^{\infty}_c(R^n)$，它在$|x|{\le}v-1$时候恒等于$\varphi(x)$，在$|x|>v+1$时等于0，且当$v{\to}\infty$时在任何固定的紧集上，最终必有$\varphi_v(x)=\varphi(x)$，所以$\varphi_v(x){\to}\varphi(x)(C^{\infty}(R^n))$，所以$C^{\infty}(R^n)$中函数很多，按照$C^{\infty}(R^n)$中拓扑构成其上的稠密集。例子3：指出$C^{\infty}_c(R^n)$与$C^{\infty}(R^n)$上极限是不同的，因为拓扑不同导致极限不同。函数的正则化、平均算子设$\alpha(x)$为上述所定义，记$\alpha_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{\varepsilon^n}\alpha(\frac{x}{\varepsilon})$，则$\alpha_{\varepsilon}(x)$也是$C^{\infty}_c(R^n)$的元素，且满足supp$\alpha_{\varepsilon}(x)=\left\{x||x|<\varepsilon\right\},\int_{R^n}{\alpha}_{\varepsilon}(x)dx=1$。如果函数$u(x)$定义在区域$\Omega$中，在任意紧集$K{\subset}\Omega$中均为Lebesgue可积的，则称$u(x)$为局部可积。如果函数$u(x)$在$R^n$中局部可积，则$$ u_{\varepsilon}(x)=\int_{R^n}u(x-y)\alpha_{\varepsilon}(y)dy=\int_{R^n}u(y)\alpha(x-y)dy\tag{1.7} $$有定义，且成立下面的定理。定理1.1：设$u(x)$在$R^n$中局部可积，则按照(1.7)式定义的$u_{\varepsilon}$是一个$C^{\infty}$函数，且当$\varepsilon{\to}0$时，若$u(x){\in}C^0(R^n)$，则$u_{\varepsilon}{\to}u(C^0(R^n))$，若$u(x){\in}L^p(R^n)$，则$u_{\varepsilon}{\to}u(L^p(R^n))$。证明：首先是证明是一个$C^{\infty}$函数：因为$u_{\varepsilon}(x)$可以表示为$\int_{R^n}u(y)\alpha(x-y)dy$，而$\alpha_{\varepsilon}$是一个无限连续可微的函数，故利用导数与积分号可以交换的性质，可以得到$u_{\varepsilon}(x)$可以无限次求导的性质。若$u(x){\in}C^0(R^n)$，利用$\int_{R^n}{\alpha}_{\varepsilon}(x)dx=1$，可以得到$$ u_{\varepsilon}(x)-u(x)=\int_{R^n}(u(x-y)-u(x))\alpha_{\varepsilon}(y)dy $$当$x$属于某个紧集$K$时，由于$\alpha_{\varepsilon}(x)$的支集在球$|x|{\le}\varepsilon$中，故上式积分号下作为函数$u$的变元的$x$与$x-y$落在紧集$K_1$中，这里$K_1={\bigcup}\left\{x|d(x,K)<1\right\}$，它是把以$K$中任意点为中心，半径为1的球都包含在里面的紧集。利用$u(x)$在紧集$K_1$上的一致连续性可以知道，对于任意的$\delta>0$，当$\varepsilon$充分小有$$ \max_{x{\in}K}|u_{\varepsilon}-u|{\le}\max_{x{\in}K}\int_{|y|<\varepsilon}|u(x-y)-u(x)|\alpha_{\varepsilon}(y)dy{\le}\delta\int_{|y|{\le}\varepsilon}\alpha_{\varepsilon}(y)dy=\delta $$所以当$\varepsilon{\to}0$时，$u_{\varepsilon}{\to}u(C^0(R^n))$。上面操作根据紧集和一致连续性，还有积分形式得到。如果$u{\in}L^p(R^n)$，为证明$u_{\varepsilon}{\to}u(L^p(R^n))$，我们首先要找到一个具有紧支集的连续函数$v$，使它满足$\|u-v\|_{L^p}{\le}\frac{\delta}{3}$，利用$L^p$空间的三角不等式，有$$ \|u_{\varepsilon}-u\|_{L^p}{\le}\|u_{\varepsilon}-v_{\varepsilon}\|_{L^p}+\|v_{\varepsilon}-v\|_{L^p}+\|u-v\|_{L^p}\tag{1.8} $$由于对任意$L^p$函数$f(x)$，成立，下面有$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。$$ \begin{align*} \|f_{\varepsilon}\|_{L^p}&=(\int_{R^n_x}|f_{\varepsilon}|^pdx)^{\frac{1}{p}}\\ &=\left\{\int_{R^n_x}|\int_{R^n_y}f(x-y)\alpha_{\varepsilon}(y)dy|^pdx\right\}^{\frac{1}{p}}\\ &{\le}\left\{\int_{R^n_x}(\int_{R^n_y}|f(x-y)|\alpha_{\varepsilon}(y)dy)^pdx\right\}^{\frac{1}{p}}\\ &{\le}\left\{\int_{R^n_x}(\int_{R^n_y}|f(x-y)|^p\alpha_{\varepsilon}(y)dy)^{\frac{p}{p}}{\cdot}(\int_{R^n_y}\alpha_{\varepsilon}(y)dy)^{\frac{p}{q}}dx\right\}^{\frac{1}{p}}\\ &{\le}\left\{\int_{R^n_x}\int_{R^n_y}|f(x-y)|^p\alpha_{\varepsilon}(y)dydx\right\}^{\frac{1}{p}}\\ &{\le}\left\{\int_{R^n_y}\alpha_{\varepsilon}(y)\int_{R^n_x}|f(x-y)|^pdydx\right\}^{\frac{1}{p}}=\|f\|_{L^p} \end{align*} $$因此则有$\|u_{\varepsilon}-v_{\varepsilon}\|{\le}\|u-v\|_{L^p}$。（这里用了holder不等式）用三角不等式与一个连续函数插入一项过渡掉。但是由于$v$是具有紧支集的连续函数，所以$v_{\varepsilon}{\to}v(C^0(R^n))$，因此当$\varepsilon$充分小时，也有$\|v_{\varepsilon}-v\|_{L^p}<\frac{\delta}{3}$，所以从(1.8)式可以得到$\|u_{\varepsilon}-u\|_{L^p}<\delta$。于是得到了$u_{\varepsilon}{\to}u(L^p(R^n))$的结论。记$u_{\varepsilon}=J_{\varepsilon}u$，则$J_{\varepsilon}$可以看作是从函数$u(x)$得到一个$C^{\infty}$函数$J_{\varepsilon}u$的算子，这个算子为平均化算子或者磨光算子。从定理1.1可以知道，$J_{\varepsilon}$可以看成是$L^p(R^n){\to}C^{\infty}(R^n)$的一个映射，或者也可也看作是$C^0(R^n){\to}C^{\infty}(R^n)$的一个映射，当$\varepsilon$充分小时，$u_{\varepsilon}=J_{\varepsilon}u$与$u$是很接近的，由函数$u(x)$得到$u_{\varepsilon}(x)$的方法称之为函数的正则化。定理1.1还说明了空间$C^{\infty}(R^n)$在$C^0(R^n),L^p(R^n)$中是稠密的。值得注意的是，磨光算子不是唯一的，虽然要求是要紧支集，但是我们还可以用其他形式的具有紧支集的函数代替，之后可以加上新的要求与约束，从而使得磨光之后的函数具有一些其他性质。定理1.1的结论：$J_{\varepsilon}$是$L^p(R^n)$到$L^p(R^n)$的线性有界算子若$u{\in}C^{\infty}(R^n)$，则$u_{\varepsilon}{\to}u(C^{\infty}(R^n))$。若$u{\in}C_c^{\infty}(R^n)$，则$u_{\varepsilon}{\to}u(C_c^{\infty}(R^n))$。证明很类似，这部分就不讲了。例子4：若$\Omega$为开集，则对于任意的紧集$K{\subset}\Omega$，一定可以找到一个$C^{\infty}_c(R^n)$上的函数$\varphi(x)$，使得supp$\varphi(x){\subset}\Omega,0{\le}\varphi(x){\le}1$，且在$K$上$\varphi(x)=1$恒成立。事实上，记$d=\inf_{x{\in}K,y{\in}{\partial}\Omega}p(x,y)$，则$d>0$。以$\Omega_{h}$表示点集$\left\{x|x{\in}\Omega,p(x,\partial{\Omega}){\ge}h\right\}$，则$K{\subset}\Omega_d$。作函数$$ \psi(x)=\begin{cases} 1,x{\in}\Omega_{\frac{d}{2}},\\ 0,x{\notin}\Omega_{\frac{d}{2}}. \end{cases} $$并作$$ \varphi(x)=\int_{R^n}\psi(x-y)\alpha_{\frac{d}{4}}(y)dy $$那么当$x{\in}K$时，$\varphi(x)=1$恒成立，而当$x{\notin}\Omega{\frac{d}{4}}$时，$\varphi(x)=0$恒成立，又根据前面的探讨知道$\varphi(x){\in}C^{\infty}_c(R^n)$，于是$\varphi(x)$就是所要求的函数，且满足$0{\le}\varphi(x){\le}1$。另一个基本空间基本空间$\mathscr{S}(R^n)$称为速降空间。定义在$R^n$上的函数$\varphi(x)$满足如下性质：（1）$\varphi(x)$为$R^n$上的$C^{\infty}$函数（2）对于任意的重指标$\alpha,p$（这里均指的非负整数重指标，下面也是一样），成立$$ \lim_{|x|{\to}\infty}x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)=0\tag{1.9} $$其中$x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)$表示$x^{\alpha_1}_1{\cdots}x^{\alpha_n}_n{\partial}^{p_1}_{x_1}{\cdots}{\partial}^{p_n}_{x_n}\varphi(x)$，则称$\varphi(x)$为速降函数，记速降函数空间为$\mathscr{S}(R^n)$。由于任意两个速降函数的线性组合仍旧是速降函数，所以$\mathscr{S}(R^n)$是一个线性空间，在其上的拓扑规定为：对任意重指标$\alpha,p$成立$$ \sup_{x{\in}R^n}|x^{\alpha}{\partial}^p\varphi_v(x)|{\to}0\quad(v{\to}\infty)\tag{1.10} $$则称$\varphi_v(x){\to}0(\mathscr{S}(R^n))$。定理1.2：速降函数的条件（2）与下列俩条件之一等价：（1）对于任意重指标$\alpha,p$，函数$x^{\alpha}{\partial}^p\varphi(x)$在$R^n$上有界。（2）对任意正整数$k$与重指标$p$，函数$(1+|x|^2)^k{\partial}^p\varphi(x)$在$R^n$上有界。证明：先证明（1），由$\lim_{|x|{\to}\infty}x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x){\to}0$，就知道$x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)$在$R^n$上有界。又若对任意的$\alpha,p$，函数$x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)$有界，则在$|x|{\neq}0$处将$x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)$写成$$ \frac{1}{|x|^2}\sum^n_{i=1}x_i^2x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x) $$再从$x_i^2x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)$的有界性可以得到$|x|{\to}\infty$时，$x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x){\to}0$的结论。再证明（2），注意到当$|x|>1$时，$$ |x|^{2k}<(1+|x|^2)^k<2^k|x|^{2k} $$所以$(1+|x|^2)^k{\partial}^{p}\varphi(x)$在$R^n$上有界与$x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)$在$R^n$上有界是等价的。于是证明完毕。例子5：$C^{\infty}_{c}(R^n)$中的任一元素都属于$\mathscr{S}(R^n)$，也就是$$ C^{\infty}_c(R^n){\subset}\mathscr{S}(R^n) $$实际上，对任意的$C^{\infty}_{c}(R^n)$函数，必在一个有界集为等于0，则在自变量趋于无穷远时，它当然满足任意阶的衰减估计，从而是速降的。例子6：$e^{-|x|^2}{\in}\mathscr{S}(R^n)$实际上，对于任意的$\alpha,p$，函数$x^{\alpha}{\partial}^{p}e^{-|x|^2}$都是形为$c{\beta}x^{\beta}e^{-|x|^2}$项的和。当$x{\to}\infty$时，$e^{-|x|^2}$比$x$的任意次幂都更快趋于0，所以$e^{-|x|^2}$在无穷远处是速降的。这个例子给了一个具体函数，它是$\mathscr{S}(R^n)$的，但是不是$C^{\infty}_c(R^n)$的。例子7：若$f(x){\in}\mathscr{S}(R^n),g(x){\in}\mathscr{S}(R^n)$，则$\int_{R^n}f(x-y)g(y)dy$也是$R^n$中的速降函数。例子8：若$\beta_v(x)$为例子2中给出的函数，$\varphi(x){\in}\mathscr{S}(R^n)$。作$\varphi_v(x)=\beta_v(x){\cdot}\varphi(x)$，则$\varphi_v(x){\to}\varphi(x)(\mathscr{S}(R^n))$。实际上，对于任意的$\alpha,p$有$$ \begin{align*} &x^{\alpha}{\partial}^p(\varphi_v-\varphi)=x^{\alpha}{\partial}^p(\beta_v\varphi-\varphi)\\ &=x^{\alpha}(\beta_v-1){\partial}^p{\varphi}+\sum_{|s|+|r|=|p|,|s|{\ge}1}\frac{p!}{s!r!}x^{\alpha}{\partial}^s{\beta}_v{\cdot}{\partial}^r{\varphi} \end{align*} $$注意到$\beta_v$以及其各阶导数都有界，且$\beta_v-1$与${\partial}^s{\beta_v}$在$|x|<v-1$时都等于零，于是可以得到$$ |x^{\alpha}{\partial}^p(\varphi_v-\varphi)|{\le}C{\cdot}\sup_{|x|>v-1}\sum_{|r|{\le}p}|x^{\alpha}{\partial}^r\varphi| $$由于$\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n)$，所以当$v{\to}\infty$时$$ \sup_{|x|>v-1}|x^{\alpha}{\partial}^r\varphi|{\to}0 $$从而有$\sup_{x{\in}R^n}x^{\alpha}{\partial}^p(\varphi_v-\varphi){\to}0$，于是有$\varphi_v{\to}\varphi(\mathscr{S}(R^n))$/从例子2，例子5与例子8可以知道，空间$C^{\infty}_c(R^n),\mathscr{S}(R^n),C^{\infty}(R^n)$之间的关系为$$ C^{\infty}_c(R^n){\subset}\mathscr{S}(R^n){\subset}C^{\infty}(R^n) $$且每一个空间在其后继空间中稠密，而且这三个空间拓扑前一个比后一个要强。实际上，如果有$\varphi_v{\in}C^{\infty}_c(R^n)$，且$\varphi_v{\to}0(C^{\infty}_c(R^n))$。则所有$\varphi_v$的支集包含在一个紧集$K$里，且对任意的$p$，有$\sup_{x{\in}K}|{\partial}^p\varphi_v|{\to}0$，由于$K$的有界性，可以知道$\sup_{x{\in}K}|x^{\alpha}{\partial}^p\varphi_v|{\to}0$对一切的$\alpha,p$成立。但是因为$\varphi_v$在$K$外均为0，所以式子改写为$\sup_{x{\in}R^n}|x^{\alpha}{\partial}^p\varphi_v|{\to}0$。而这就是$\varphi_v{\to}0(\mathscr{S}(R^n))$。所以：$C^{\infty}_c(R^n)$的拓扑比$\mathscr{S}(R^n)$强。而对于$\mathscr{S}(R^n)$中的序列$\varphi_v$，若它在$\mathscr{S}(R^n)$中趋于0，则对一切的$\alpha,p$都成立$\sup_{x{\in}R^n}|x^{\alpha}{\partial}^p\varphi_v|{\to}0$，于是对任意的紧集$K$，均有$\sup_{x{\in}K}|x^{\alpha}{\partial}^p\varphi_v|{\to}0$，所以$\varphi_v$在$C^{\infty}$中也趋于0。所以：$\mathscr{S}(R^n)$的拓扑比$C^{\infty}(R^n)$强。总结本节主要引入了广义函数，对磨光算子做了介绍，并且对三大基本函数空间做了介绍，同时各个定理给出了三大基本函数空间之间的关系。
数学物理方程.辅导建议看下：齐民友——广义函数与数学物理方程；陈恕行——现代偏微分方程导论导引偏微分方程反映了有关的未知变量及其关于时间变量的导数或者关于空间变量的导数之间的关系。自然科学偏微分方程流体力学基本方程欧拉方程组与纳维-斯托克斯方程组弹性力学弹性力学方程组电动力学麦克斯韦方程组量子力学薛定谔方程相对论爱因斯坦方程相对论量子力学狄拉克方程弦振动方程与定解条件的导出固定边界、自由边界与弹性支撑边界的情形，分别对应三种边界条件，也就是$u=g,\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=g,\frac{\partial{u}}{\partial{x}}+\sigma{u}=g$。分别称为狄利克雷边界条件、诺伊曼边界条件有罗宾边界条件。达朗贝尔公式及其应用弦振动方程导出的达朗贝尔公式：用有限积分的形式得出偏微分方程定解问题。$$ u(x,t)=\frac{\varphi(x-at)+\varphi(x+at)}{2}+\frac{1}{2a}\int^{x+at}_{x-at}\psi(\alpha)d{\alpha} $$但是像这种用有限积分的形式得出偏微分方程定解问题的解是很特殊的情形。其解的表达式其实也导出了依赖区域、决定区域、影响区域的概念。（统称为扰动的有限传播速度性质）齐次化原理是求解非齐次线性偏微分方程常用的方法：实际上就是将连续变化的时间分成许多小段，每一个小段中扰动速度、外力等保持不变，然后把这些效应累积起来，再取极限，所以就是一个积分。在导出非齐次弦振动方程初值问题$$ \begin{cases} \frac{\partial^2{u}}{\partial{t^2}}-a^2{\frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2}}}=f(x,t),t>0\\ t=0:u=0,\frac{\partial{u}}{\partial{t}}=0 \end{cases} $$的解的表达式时，可以直接引入依赖于参数$\tau$的辅助初值问题$$ \begin{cases} \frac{\partial^2{w}}{\partial{t^2}}-a^2{\frac{\partial^2{w}}{\partial{x^2}}}=0\\ t={\tau}:u=0,\frac{\partial{w}}{\partial{t}}=f(x,{\tau}) \end{cases} $$然后，该辅助问题的解$w(x,t;\tau)$关于参数$\tau$的积分$\int^{t}_0w(x,t;\tau)d{\tau}$就是原初值问题的解。（这个就是累积效应）验证的必要性：实际上涉及了两个极限过程，可否交换无严格的论证，所以结果需要验证。因为上述过程是基于叠加原理，所以仅对线性偏微分方程可以有，如果方程系数仅仅依赖于$x$，还是可以用。但是如果还依赖于时间$t$，则需要更改一些运算才能实现，对于非线性完全不行。分离变量法$u(x,t)$写成$X(x)T(t)$形式的函数的叠加，因为无穷个这类函数的叠加才能同时满足方程诸定解条件的要求。分离变量法步骤归纳如下：首先确定要讨论的问题： $$ \begin{cases} \frac{\partial^2{u}}{\partial{t^2}}-a^2{\frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2}}}=0,\\ u(x,0)=\varphi(x),\frac{\partial{u}}{\partial{t}}(x,0)=\psi(x),\\ u(0,t)=u(l,t)=0 \end{cases} $$这里求的解$u(x,t)$是定义在乘积空间$(0,l){\times}(0,+\infty)$上的，用求解的分离变量法的主要步骤是将形式为$u(x,t)=X(x)T(t)$的单个函数代入方程，进行变量分离后得到 $$ \frac{T''(t)}{a^2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)} $$利用$u(x,t)$所应满足的边界条件，导出$X(x)$所应满足的边界条件，从而得到$X(x)$所应该满足的一个常微分方程特征值问题。通过解特征值问题决定特征值$\lambda_k$以及相应的特征函数，记为$X_k(x)$。在本问题中 $$ \lambda_k=\frac{k^2{\pi}^2}{l^2},X_k(x)=C_ksin\frac{k{\pi}}{l}x $$决定相应的$T_k(t)$的形式以${\sum}X_k(x)T_k(t)$的函数叠加形式给出$u(x,t)$，并将原始资料作傅立叶展开，从而决定解的无穷级数表达式中的常数。虽然不像达朗贝尔一样能用有限形式的显式表达式表达出来，但是能用一个收敛的无穷级数将解表达出来也足够了。局限性：分离变量法仅能用于线性方程，非线性不行。系数如果是变量$x$的的函数可以继续用，但是如果是依赖于$t$的话，需要进一步讨论，并且导出的常微分方程的特征值问题是否有解？初始资料是否能做傅立叶展开？即便能够展开，其决定的级数是否收敛？并且收敛到的函数是否为我们所期待的解？我们知道，在第3步导出的特征值问题解是三角函数，又因为三角函数系$\left\{sin{\frac{k\pi}{l}x}\right\}$在$(0,l)$上是正交的，任何一个在$(0,l)$上连续可微的函数，如果满足条件两端点的值相等，必定能够依照该三角函数做傅立叶展开，并且得到的三角级数收敛于原函数，于是最后建立的无穷级数也就会收敛于一个连续函数。但是要断定这个级数所收敛的极限就是原始问题的解，需要使极限函数能对方程中出现的导数有意义，这就要求初始资料要满足更多的条件。其中包括初始资料中函数的正则性要求以及在弦的两个端点的相容性条件。但是当初始资料$(\varphi,\psi)$不满足相容性条件时，用分离变量法构造的级数也可能收敛，这时收敛到的函数$u(x,t)$可以在较弱的意义下为解，也就是广义解。弦振动方程初边值问题的解可以用一个无穷级数表达，其中每一项本身也都是方程的解，也就是说这个解是由无穷个解来合成的。高维波动方程的球平均法球平均法对空间变量的个数有特别的要求，对三维波动方程特别有效，但是却不能直接应用到二维波动方程。球平均法的思路：对给定的函数$u(x_1,x_2,x_3,t)$，引入一个在不同球心$(x_1,x_2,x_3)$、不同半径$r$的球面上该函数的平均值，记为$M_n(x_1,x_2,x_3,r,t)$，也即 $$ M_n(x_1,x_2,x_3,r,t)=\frac{1}{4\pi}\iint_{S_1}u(x_1+r{\alpha_1},x_2+r{\alpha_2},x_3+r{\alpha}_3,t)d{w} $$导出$M_n(x_1,x_2,x_3,r,t)$作为$r,t$的函数所满足的偏微分方程与初始条件： $$ \begin{cases} \frac{\partial^2{M_u}}{\partial{t^2}}-a^2(\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}+\frac{2}{r}{\frac{\partial}{\partial{r}}})M_u=0\\ M_u|_{t=0}=M_{\varphi}(x_1,x_2,x_3,r),\frac{{\partial}M_{u}}{\partial{t}}=M_{\psi}(x_1,x_2,x_3,r) \end{cases} \tag{5.2} $$利用弦振动方程柯西问题求解的方法，解出第2步所诱导出来的定解问题，得出$M_n(x_1,x_2,x_3,r,t)$的表达式 $$ M_n(x_1,x_2,x_3,r,t)=\frac{1}{2r}[(at+r)M_{\varphi}(x_1,x_2,x_3,at+r)-(at-r)M_{\varphi}(x_1,x_2,x_3,a-r)]+\frac{1}{2ar}\int^{at+r}_{at-r}{\xi}M_{\psi}(x_1,x_2,x_3,\xi)d{\xi} $$这时$x_1,x_2,x_3$仅仅被看作参数根据$M_n(x_1,x_2,x_3,r,t)$与$u(x_1,x_2,x_3,t)$的关系·，导出$u(x_1,x_2,x_3,t)$的表达式 $$ u(x_1,x_2,x_3,t)=\frac{\partial}{\partial{t}}(\frac{1}{4{\pi}a^2t}\iint_{S^M_{at}}{\varphi}dS)+\frac{1}{4{\pi}a^2}\iint_{S^M_{at}}{\varphi}dS $$虽然球平均法的思路十分清晰，但是不能用于求解二维波动方程。注意到：第2步导出的关于$M_n(x_1,x_2,x_3,r,t)$所满足的柯西问题（5.2），在引入$v(x_1,x_2,x_3,r,t)=rM_n(x_1,x_2,x_3,r,t)$后，恰好可以转化为一个弦振动方程的柯西问题$$ \begin{cases} \frac{\partial^2{v}}{\partial{t^2}}-a^2\frac{\partial^2{v}}{\partial{r^2}}=0,\\ v|_{t=0}=rM_{\varphi}(x_1,x_2,x_3,r),\frac{\partial{v}}{\partial{t}}|_{t=0}=rM_{\psi}(x_1,x_2,x_3,r) \end{cases} $$但是对于二维波动方程是得不到这样的结果的，因为无法将其化为以$r,t$为变量的弦振动方程，这也就是为什么要先讨论三维波动方程柯西问题求解。这实质上是偶数空间维数的波动方程与奇数空间维数的波动方程的不同性质的反应。对于奇数空间维数的情形，球平均法还是可以做的，虽然高维是会更复杂一些，但是仍旧可以导出解。而对于偶数空间维数的，只能找其他方法。具体原因：奇数维波动方程扰动传播是在球面上进行的，存在“无后效现象”，惠更斯效应。而对偶数维波动方程，扰动不仅仅在球面上传播，在初始扰动传递后存在“后效”，弥散效应。求解二维波动方程的柯西问题的降维法：将二维问题看成三维问题的一个特殊情形。波的传播波的有限传播特性，在多个空间变数的时候，依赖区域、决定区域、影响区域但是三维波动方程与二维波动方程：例如：在三维波动方程的情形，$t=0$超平面上一点的影响区域是球面$$ (x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2=a^2t $$而不是球体$$ (x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2{\le}a^2t $$相应地在依赖区域的表示中也是如此。维数大于1的奇数维波动方程和偶数维波动方程在波的传播性质上也有这样的区别。三维波动方程所描写的扰动传播，$t=0$时刻在一点$(x_0,y_0,z_0)$发生的扰动沿着$(t,x,y,z)$空间的球面$$ (x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2=a^2t^2 $$传播。也就是说，在$(x,y,z)$空间中来看，扰动传播的位置在$(x_0,y_0,z_0)$为球心，以$a$为半径的球面上。对于与$(x_0,y_0,z_0)$距离为$d$的点$(x,y,z)$，当时间到达$\frac{d}{a}$时扰动到达，然后扰动离该点而去，在$(x,y,z)$点一切又恢复平静。惠更斯原理：在三维空间中可以用另一种方式来表达影响区域，若已知某一时刻介质扰动到达的位置，则可以将该位置上各点都视为新的发出子波的波源，其后任一时刻这些子波的包络就是扰动到达的新的位置，也就是新的波阵面。对于三维波动方程来说，除此包络面以外，就不再有介质的扰动。但是对于二维波动方程来说，在这包络面的后面，还有介质的剩余扰动，扰动传播的前阵面是清晰的，而后面留下一大批模糊区域，称为波的弥散。能量不等式偏微分方程常用能量不等式：系统内可能有摩擦、阻尼等导致的能量损失，还可能有外力对系统的作用。在偏微分方程的形式中就表现为出现未知函数的一阶导数项，以及右端项不等于零等情况。而且从数学应用的角度看，能量不等式同样能提供解的唯一性与稳定性。因此，能量不等式用得更多，用能量不等式来讨论偏微分方程的唯一性、稳定性或者其他性质的方法称为能量积分法或能量方法。柯西问题也有能量守恒式或能量不等式，因为柯西问题往往在无限区域上给定，因为初值定义在整个初始平面上，这时在全平面上的能量会无限大，从而无法直接将能量不等式写出。因此需要划定一个有限区域来考察，但是如果该区域不随着时间变化，则在区域边界上的边界条件无法确定。所以我们讨论一个随时间缩小的区域。例如在$(x,y,t)$空间上的一个圆锥体$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2{\le}(R-at)^2$，当锥体收缩得较快时，在圆的边界上能量就只能流出，从而在不断缩小的圆中的能量就是递减的，它可导致柯西问题的能量不等式$$ \iint_{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2{\le}(R-at)^2}[pu_t^2+T(u_x^2+u_y^2)]dxdy{\le}\iint_{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2{\le}(R)^2}[pu_t^2+T(u_x^2+u_y^2)]|_{t=0}dxdy $$圆锥体方程中的参数$a$应该取为微分方程中的系数，实则是波的传播速度。而对于常系数方程来说，上述圆锥体的表面可以取为特征面。热传导方程的导出热传导方程的初始条件仅有一个：因为物理问题的本性决定的，在热传导过程中，只要知道了物体的初始温度，知道了该物体与周围环境的热交换条件，就可以完全决定往后的温度分布。再谈分离变量法分离变量法对弦振动方程和热传导方程都适用，但是也有不同，导出的关于$T(t)$的方程不同。在热传导方程的情形，$T(t)$满足一个一阶的常微分方程的初值问题，它仅需满足一个初始条件，这个解通常具有指数函数的形式，它是随时间增长而衰减。在解弦振动方程的初边值问题时，为了使构造的无穷级数收敛，且其和具有方程中的各项导数，需要对初值的正则性加以限制，并要求初始线与边界的交点处满足相容性条件。而在解热传导方程的初边值问题时，其限制条件比较宽松。这个是因为在$u(x,t)$的级数表示式$$ \sum^{\infty}_{n=1}c_nX_n(x)T_n(t) $$中，$T_n(t)$一般取为$e^{-{\lambda}_nt}$的形式。当$n{\to}\infty$时，$\lambda_n$趋于无穷大，这时$e^{-{\lambda}_nt}$下降得非常快，从而级数及其逐项求导的级数都能绝对收敛，所以用级数形式表示的函数$u(x,t)$在$t>0$时将是连续并可多次求导的。在偏微分方程的不同边值问题中会导出不同的特征值问题与相应的特征函数系，然而由《现代偏微分方程导论》可以知道已经建立了一般的理论，指出在分离变量法中导出的特征函数系必定是正交的。不仅如此，这个特征函数系还是完备的。初始条件中的函数$\varphi(x)$按此函数系展开时所得的傅立叶级数将按平方可积的意义收敛于$\varphi(x)$。但是当空间变量的个数大于1时，按照分离变量法导出的特征值问题——一个偏微分方程的特征值问题。这个偏微分方程与我们接触过的波动方程、热传导方程有完全不同的性质，在空间区域恰为圆的特征情况下，也可也用分离变量法求它的解。对于更一般的情形，有专门的篇幅来研究其解。热传导方程的柯西问题与傅立叶变换研究弦振动方程的柯西问题时，我们导出了达朗贝尔公式，但是对于热传导方程，无法用这么简单的方法得出，但是可以用傅立叶积分方法来求解。这一段着重讲述了从傅立叶级数方法发展到傅立叶积分的方法的思想，而实质上两者是一回事。傅立叶级数将一个定义在有限区间上的函数变成了一个数列，即傅立叶级数中的系数构成的数列。而傅立叶逆变换则对应于将一个数列变回到有限区间上定义的函数的运算。这样将函数变来变去的过程中，我们注意到傅立叶变换将微分运算变成了乘法运算，这是很不简单的。因为微分运算是一个极限过程，有多个微分运算合在一起的偏微分方程一般不容易求解；但是乘法运算是一个有限运算，热传导方程的柯西问题经过这样的变换变成了含参数的常微分方程的柯西问题，从而容易求解。但是这样做，需要对变换后求得的常微分方程柯西问题的解做傅立叶逆变换，这是最困难的一步，因为一个函数的傅立叶逆变换不一定能够用显示表达式写出，而且有时候要通过巧妙的计算才能写出来。热传导方程柯西问题的求解公式$$ u(x,t)=\frac{1}{2a\sqrt{\pi{t}}}\int^{\infty}_{-\infty}\varphi(\xi)e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2t}}d{\xi} $$这个公式称之为泊松公式，其中的积分核$e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2t}}$称为热核。注意到，在证明热传导方程柯西问题解的存在性时，有一个$\varphi(x)$是连续有界的条件，保证了傅立叶变换可以进行。原则上傅立叶变换方法可以用于多个空间变量的热传导方程的柯西问题和波动方程。当然也有其他的变换可以将复杂的偏微分方程化为代数方程或者是简单的微分方程，如拉普拉斯变换、梅林变换、汉克尔变换等。极值原理极值原理常用来证明解的唯一性、稳定性等。故对不同方程，不同定解问题也有不同表达。对于热传导方程的初边值问题来说，其严格表述为:$u(x,t)$在矩形$\left\{{\alpha}{\le}x{\le}\beta,0{\le}t{\le}T\right\}$上连续，在举行内部满足热传导方程$u_t-a^2u_{xx}=0$，则它必定在矩形的两个侧边$\left\{x={\alpha}及x={\beta},0{\le}t{\le}T\right\}$及底边$\left\{{\alpha}{\le}x{\le}{\beta},t=0\right\}$上取到最大值和最小值。为了简洁起见，将该矩形的两个侧边及其下底边称为该矩形区域的抛物边界。极值原理可以用反证法证明，但是其中辅助函数的选取很有技巧，下面分析一下辅助函数的选取要点：选取辅助函数，首先考虑在抛物边界外的某一点取到极大值，则和热传导方程兼容，我们需要做一个辅助函数导出矛盾，因为抛物边界是闭集，而极值点在内部取到，于是可以在这个间隙中插入一个取值很小的正函数，不会改变其在内部取得极大值的性质，但是在热算子$L$应用下取值为负，于是导出矛盾。也就是只要$w{\ge}0,Lw<0,\varepsilon$充分小，则$u+{\varepsilon}w$就都可以是所需要的辅助函数。极值原理对解的性质给出了一个限制，由于热传导方程是线性偏微分方程，由其极值原理可以立刻导出解的唯一性与稳定性。在证明热传导方程柯西问题有界解的唯一性时候，也引入了一个辅助函数，我们考虑一下这个辅助函数的选取方法：这里为了说明解的唯一性，所以对于方程取零初始条件时的解，为了说明它是零解，则需指出它在任一点的值都必须是零。于是构造一个含有$\varepsilon$的函数，作用算子时候为零，并且当参数充分小的时候，其函数的值也会充分小。从而不管如何取值，这个函数在充分远的地方总能够控制住解。这样由于极值原理，则在初始点的解也被该函数控制，但是对于解来说是和$\varepsilon$无关的，于是它只能为零了。这个函数可以取$\varepsilon(\frac{(x-x_0)^2}{2}+at^2)$，注意到解是有界的，取界为$B$，则在$|x-x_0|>(\frac{2B}{\varepsilon})^{\frac{1}{2}}$处该函数可以控制住解，从而满足我们的要求。在热传导方程解的稳定性和唯一性定理中都加了“解是有界”的条件，这个条件不可以去掉。因为吉洪诺夫给过一个反例：热传导方程柯西问题存在一个非零解，它的初值为零，这个解在$x{\to}\infty$时是无界的，所以解的有界性或者较弱的关于解在$x{\to}\infty$时的增长性的限制条件是必须的。当然我们对非齐次热传导方程也有极值原理。当热传导方程的右端非零时候，表示物体内部有热源。若$f{\le}0$表示内部有吸热机制，即内部最高温度不超过抛物边界上的最高温度。若$f{\ge}0$则表示内部有产热的热源，即内部最低温度不低于抛物边界上的最低温度。以$R$记内部区域$\left\{{\alpha}{\le}{\beta},0{\le}t{\le}T\right\}$，以$\Gamma$记其抛物边界，也就是$$ f{\le}0,\max_{R}u(x,t)=\max_{\Gamma}u(x,t)\\ f{\ge}0,\min_{R}u(x,t)=\min_{\Gamma}u(x,t) $$解的渐近性质描述随时间增长而不断发展、演变的过程的偏微分方程称之为发展型方程：波动方程，热传导方程。特别是热传导方程，它的解在时间无限增长时一般会趋近于一个特定的状态，称为解的渐进性质。当然如果知道了解的表达式，只需要取$t{\to}\infty$确实可以知道解的渐近性质，但是不知道解的表达式时候呢？可以通过分析和比较来得到解的渐进性质，而且就算得到了解，可能是无穷级数或者积分，要确定其渐近性质也需要计算。热传导方程初边值问题的解要比柯西问题的解衰减得更快，如果边界条件是齐次的，相当于对区域内部的解增加了一种控制。波动方程的解在$t{\to}\infty$时候无指数衰减的性质，它的渐进性质与空间维数有关。对于一维波动方程的柯西问题，波动沿着左右两个方向传播，如果没有阻尼，波的能量在传播过程中不损失，所以没有衰减性。对于二维或者高维波动方程，波动传播过程中能量往更为广阔的空间中扩散，所以其柯西问题的解有不同速率的衰减。对于波动方程的初边值问题，能量可以通过边界流出，解可能衰减，需要根据边界条件具体分析。调和方程及其边值问题调和方程是描述稳定状态或者平衡状态的偏微分方程，所以并没有时间变量$t$。这里提一下赫尔德条件：比一般的连续性条件要强一些，但是比导数连续的条件要弱，严格表示为$$ |p(M)-p(M')|{\le}C{\overline{MM'}}^{\alpha} $$其中$M,M'$为区域$\Omega$中任意两点，$\overline{MM'}$为这两点的距离，$\alpha$为$(0,1)$区间中的一个常数，其越大函数性质越好。这个条件用在积分与导数的交换过程中，当函数在区域$\Omega$中有奇性，则验证该函数满足方程需要函数满足赫尔德条件。复解析函数虽然都满足二维调和方程，但是因为是在复数域上做的，对实数域有时候不一定有好的结果。并且我们研究的方程不一定是二维的，所以不能直接用解析函数的结论。外问题：在全空间扣除一个有界区域的无界区域中寻找调和方程解的问题。——物体的外部流场。在讨论无界区域上的边值问题时需要在无穷远处加上关于解的限制条件，具体怎么加根据实际情况而定，有时解的有界性或者对解所属的函数类的要求也是一种条件，应该根据整个边值问题而定。变分原理：将求偏微分方程边值问题的解变换成求一个泛函积分的极值，找到了一种新的处理方法。调和函数与平均值定理调和方程的解总是在区域内部无穷光滑（无穷次可导）的、解析的、它在每一点的值总是周围取值的平均值，每一点的附近的局部性态对整体性态都有影响。将奇点挖掉的操作：将$\frac{1}{r_{M_0M}}$的奇点挖掉，以$O_{\varepsilon}$记$M_0$点的邻域，则在$\Omega{\backslash}O_{\varepsilon}$中$\frac{1}{r_{M_0M}}$就不再具有奇性。于是通常的积分运算以及格林公式就可以在$\Omega{\backslash}O_{\varepsilon}$中使用。事实上，$M_0$可能落在区域的边界上，挖去的部分就可以近似为半球，因为一部分在$\Omega$外。如果边界不光滑，在应用格林公式时需要在边界上计算面积分，所以光滑性太差是不行的，但是如果有一个角还是可以做的，只是要随着夹角定一个系数。事实上复变函数论的解析函数许多性质对于调和函数是成立的。例如解析函数的平均值定理将$\Omega$取为以$M_0$为球心的球，则可以得到平均值定理$$ u(M_0)=\frac{1}{4\pi{r}^2}\iint_{B_r(M_0)}udS $$其中$B_r(M_0)$是以$M_0$为球心，以$r$为半径的球面。将上式乘以$r^2$，然后再关于$r$积分，则可以得到调和函数任一点的值等于整个球体内该函数的平均值$$ u(M_0)=\frac{1}{\frac{4}{3}\pi{R}^3}\iiint_{D_R(M_0)}udV $$其中$D_R(M_0)$是以$M_0$为球心，以$R$为半径的球体。平均值定理的逆定理也是对的：如果在区域$\Omega$内定义的连续函数对于任意的位于其中的球都满足平均值定理，则这个函数一定满足调和方程。这个结论可以用极值原理证明，首先平均值定理推出极值原理是自然的，调和函数的任一点函数值等于以该点的小球面上函数值的平均值，要在球心取值为最大或者最小自然是不可能的了。但是调和方程的极值原理是很强的形式：若调和函数在区域内部一点达到了极大值或者极小值，则该函数必定为常数。当然对于热传导方程也有强形式的极值定理，之后再讲。可以用证明热传导方程的极值原理的方式去证明调和方程的极值原理，但是形式比较弱，这里用平均值定理推出的极值原理是最强的。对于更为一般形式的方程，即便主部为拉普拉斯算子但是同时带有低阶项的偏微分方程，其平均值定理是不成立的，但是极值原理依然还有。格林函数法在上一节中可以导出调和方程解的表达形式$$ u(M_0)=-\frac{1}{4\pi}\iint_{{\partial}\Omega}[u(M)\frac{\partial}{\partial{n}}(\frac{1}{r_{M_0M}})-\frac{1}{r_{M_0M}}\frac{{\partial}u(M)}{\partial{n}}]dS_{M},\forall{M_0{\in}\Omega} $$则在$\Omega$区域中的调和函数就用其边界值和边界上导数值的积分表示。目前来看对于调和函数，需要知道它在边界上函数本身及其函数导数的值才能知道它在区域内部的值。这个和解析函数似乎不同（仅需知道函数在边界上的值）。事实上，调和函数在边界上函数值和其导数的值是有关联的，只是不容易用一个简单的关系式表达。一个较好的方法就是设法将含有未知函数导数的那一项给消去。也就是格林函数法。这里指出消除函数值那一项是不可能的，因为找不到这种函数（在满足条件情况下）格林函数有对称性，这也是找到格林函数的一种方法，如果区域是一般区域，格林函数不易求出。对称性区域：球（圆），平面和它们构成的区域，例如：半球、角状区域等。偏微分方程的解能够用积分表示的情形不多，而格林函数只是求了一次解，然后取别的边界条件的狄利克雷问题的解就都可以用有限积分形式表示了，所以是比较好的方法。调和函数的性质平均值原理，无穷次可导，在每一点邻域解析，在任意的内闭区域中都是有界的。在区域边界上有界，则在任意一个内闭区域上的界不超过一个小于1的常数乘以边界上的界。在内闭区域中导数的界可以用原区域边界上函数的界来表示。在边界上的一致收敛可以导出区域内部的一致收敛。正调和函数在一点的收敛可以导出区域内部的收敛，最小值可以控制最大值。全空间的有界调和函数必定为常数关于调和函数收敛的哈纳克定理，相当于求导与极限的交换。注意到：一个连续函数为调和函数$\iff$对每一个含在定义域中的球都满足平均值定理，可以用积分形式来定义调和函数。（哈纳克）可去奇点定理：如果调和函数在原点附近的奇性低于基本解所具有的奇性阶，则只需要通过重新定义该店的函数值这一奇点就不会再出现。反之，如果调和函数具有不可去掉的奇点，则在该奇点附近的奇性必定不低于基本解的奇性。证明该可去奇点定理也很巧妙，引入了含参数的一族函数控制所考察的函数，极值原理成立使得这种方法可以应用。强极值原理霍普夫(Hopf)极值原理：非常数的调和函数在其边界上取极小值的点的内法向导数必定为正（强极值原理）首先对调和函数在边界某一点取到极小值，则在该点邻域中的点，其函数值均大于该值，于是其内法向导数非负。但是强极值原理强调大于0。这个证明和在证明热传导方程的极值原理时一样，引入在空隙间的辅助函数，不影响性质，但是算子作用后引出矛盾。然而在整个单位球内做不到，只能在其中挖去更小的球再构造。该原理也可用极值点非切向导数来描述：非常数的调和函数在其边界上取极小值的点的非切向导数必定非零。若该方向与内法向夹角小于零，则此非切向导数为负。还可以推广到一般的椭圆型方程。物理意义：调和方程描述稳定的温度场，则极值原理断定非恒温的温度场的温度最低点必定在边界达到。而强极值原理进一步指出，在物体边界温度最低点热量必定往外面流。特别是在讨论第二第三边界问题的唯一性和稳定性时，因为边界条件涉及到了未知函数的法向导数，霍普夫极值原理会有很大的作用。且对于调和方程的极值原理的强形式：不是常值的调和函数的极大极小值只能在边界取到。这个可以用平均值原理推出。而对于一般的椭圆方程，这个极值原理的强形式，则必须使用到霍普夫原理才能证明。二阶线性偏微分方程的分类之前讨论了弦振动方程、热传导方程、调和方程，本节以之前的讨论为基础，对一般二阶线性偏微分方程进行讨论。两个自变量时，若未知函数为$u(x,y)$，则它的一、二阶导数为$u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy}$，故一般二阶线性偏微分方程形式为：$$ a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+cu=f $$其中$a_{11},a_{12},a_{22},b_1,b_2,c,f$都是$x,y$的已知函数。弦振动方程、热传导方程、调和方程实际上是上面的典型方程，其他形式的方程可以通过一些自变量变换和未知函数变换化为这三类方程。通过自变量变换和未知函数变换得到的方程，可以作出更为细致的分类。二阶线性偏微分方程也分为了双曲型、抛物型、椭圆型等类型（和二次曲线理论相类似），而从分类上来看：弦振动方程是双曲型、热传导方程是抛物型、调和方程是椭圆型。分类主要为了研究同类方程的共性，从而得到类似的解法和性质。而对于多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类，思想也是这么做。二阶线性偏微分方程的特征理论在将二阶线性偏微分方程化为标准形的讨论中$$ a_{11}\varphi_x^2+2a_{12}\varphi_x\varphi_y+a_{22}\varphi^2_y=0 $$该方程的可解性起了重要作用。如果$a_{11}a_{22}-a_{12}^2<0$，则该方程存在两个实解；$a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0$，则方程存在一个实解；$a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0$，则该方程不存在实解。$\varphi(x,y)=const$所表示的曲线称为特征线。$$ a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+cu=f $$则上面方程有两族特征线时属双曲型，只有一族特征线时属于抛物型，没有实特征线时属于椭圆型。弱间断：正则性较差的解，在全空间内一阶连续可导，而除了一些特定曲线外，函数仍有二阶直到这些特定曲线连续的偏导数。而这些特定曲线只能是特征线。弱间断可以视为一种奇性或者扰动，弱间断解的弱间断线必定是特征线。说明奇性只能是沿着特征线传播的。对于多变量的偏微分方程也有相同的结论，从特征线到特征曲面到特征超曲面。并且多个自变量的二阶偏微分方程的分类也可也用特征理论解决。但是在$n>2$时，因为过$P$点的$n-2$维流形$S$具有相当的任意性，无法用过一点有多少个特征曲面来描述双曲方程。但是注意到推广的方程中仅含有函数$\varphi(x_1,\cdots,x_n)$的导数，所以如果$\varphi(x_1,\cdots,x_n)=0$表示特征曲面，则$(\varphi_{x_1},\cdots,\varphi_{x_n})$表示特征曲面的法向。于是推广方程表示该法向所应该满足的方程。我们将特征曲面的法向称之为特征方向。偏微分方程过$P$点的所有特征方向构成一个锥面，这个锥称之为法锥。过$P$点的任一特征曲面必与法锥中的某一条母线垂直。特征方向是特征线的法方向.三类方程的比较和总结三类方程的共性线性方法：分离变量法、积分变换法、球平均法、格林函数及齐次化原理，都是基于线性性质所设定的方法。两类方程的共性双曲型方程与抛物型方程随着时间演化，是发展型方程。对于发展型方程，可以提出初值问题和初边值问题，可以讨论解在时间趋于无穷时的渐进性质等。弦振动方程的解保持波形传播，而热传导方程的解是很快衰减的。对多个自变量的波动方程来说，也有解的衰减性。由于波动往全空间扩散，所以空间维数越高，扩散的余地越大，解就衰减得越快。对于含$n$个空间变数的波动方程，其柯西问题解的衰减率是$t^{-\frac{n-1}{2}}$。但是对于热传导方程来说，都是以指数形式衰减的。这一性质可以推广到一般的双曲型和抛物型方程，而对于初边值问题的解的渐进性，则与边界条件相关。对于调和方程只有边值问题，而三种边界条件雷同，这是因为对于波动方程或者热传导方程其稳态解，就是由该波动方程或者热传导方程导出的椭圆型方程。极值原理对椭圆型和抛物型方程都有作用，且可以对应起来：极值原理弱形式，极值原理强形式，霍普夫强极值原理。调和方程的解在每个区域内点的邻域中可以展开为幂级数的解析函数，热传导方程的解未必是解析的，但是是无穷次可微的，而且有类似于解析函数一样的级数展开性质（热夫雷类）。调和方程的解一点值的变化必定会影响到解在整个求解区域中每一点值的变化，即扰动传播速度是无限的，而热传导方程中恰好就有传播速度是无限大的性质。（抛物型方程可以看成是一种退化的椭圆型方程）分离变量法所讨论的方程的定义区域是一个乘积区域，而对于发展型方程来说，在定解问题中空间区域通常不随时间变化，所以在时空的乘积空间中，定义区域正是一个乘积区域，所以可以用分离变量法。如果椭圆型方程也定义在一个乘积区域上，也可能可以用分离变量法。积分变换法需要对空间做傅立叶变换，所以一般用于处理发展型方程的柯西问题。对于椭圆型方程，如果其定义区域为带状区域，也可以使用积分变换法。齐次化原理是用齐次偏微分方程具有非齐次初始条件的解导出非齐次方程的解，这一方法只适用于发展型方程，对于椭圆型方程不适用。格林函数法应用的关键则是找到一个含有适当奇性的解，也就是基本解。由于调和方程基本解的形式比较简单，所以格林函数法得以应用，对于热传导方程也能写出相应的基本解，所以也可以用。球平均法则是对奇数维波动方程创造的方法，比较特殊，其他情况不能用。极值原理可以用于导出解的唯一性，稳定性等性质，对于各类椭圆型和抛物型方程都可以用。变形还可以用于退化椭圆型方程或者双曲型方程的一些问题中。最为常见的应当是先验估计法：也就是得到解之前，先估计解在各类函数空间中的模。这个方法适用性很广，当这个模取为最大模时，就得到解的绝对值的上界，可以视为极值原理的推广。当这个模取为平方可积空间$L^2$中的模时，通常称为能量估计。先验估计中允许常数$C$的出现往往可以简化相应的运算，使得估计的适用范围更广。对于能量估计，一般是对方程乘以一个微分表达式再进行分部积分。当然在导出能量估计时，也需要根据不同类型方程的特点来进行。设法导出对解函数本身的平方模或者是其导数的平方模的控制。
傅立叶变换分离变量法实际上是借用了傅立叶工具，通过分离变量得到常微分方程之后，解却是通过一族正交系来确定的，而在某些情况下，傅立叶天然的正交系性质，为这些解提供了帮助。故此对傅里叶变换做一些总结傅立叶变换及其基本性质设$f(x)$是定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数，它在$[-l,l]$上有一阶连续导数，则在$[-l,l]$中$f(x)$可以展开为傅立叶级数$$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncos\frac{n\pi}{l}x+b_nsin\frac{n\pi}{l}x),\\ a_n=\frac{1}{l}f(\xi)cos\frac{n\pi}{l}{\xi}d\xi,b_n=\frac{1}{l}f(\xi)sin\frac{n\pi}{l}{\xi}d\xi \quad (n=0,1,2,\cdots) $$整理两个式子可以得到$$ f(x)=\frac{1}{2l}\int^l_{-l}f(\xi)d{\xi}+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(\xi)cos\frac{n\pi}{l}(x-\xi)d{\xi} $$这里我们将所有的正弦函数全部给去掉了，是用到了正交系的性质。这里需要加上一个$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$绝对可积的条件，这样，可以让$l{\to}\infty$，从而得到$$ f(x)=\lim_{n{\to}\infty}\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(\xi)cos\frac{n\pi}{l}(x-\xi)d{\xi} $$如果记$\lambda_i=\frac{i\pi}{l},\Delta{\lambda}={\Delta}{\lambda_n}=\lambda_{n+1}-\lambda_n=\frac{\pi}{l}$，则可以得到$$ f(x)=\lim_{{\Delta}{\lambda}{\to}0}\frac{1}{\pi}\sum^{\infty}_{n=1}{\Delta}\lambda_n\int^l_{-l}f(\xi)cos{\lambda_n}(x-\xi)d{\xi}\\ =\frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{0}d{\lambda}\int^{\infty}_{-\infty}f(\xi)cos{\lambda}(x-\xi)d{\xi} $$这个积分表达式被称为$f(x)$的傅立叶积分。可以知道：若$f(x)$绝对可积，则在$f(x)$本身及其导数为连续的点，$f(x)$的傅立叶积分收敛于$f(x)$在该点的函数值当然也可以写成复数形式，因为$cos{\lambda}(x-\xi)$是$\lambda$的偶函数，而$sin{\lambda}(x-\xi)$是$\lambda$的奇函数，于是傅立叶积分可以写为$$ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}d{\lambda}\int^{\infty}_{-\infty}f(\xi)[cos{\lambda}(x-\xi)+isin{\lambda}(x-\xi)]d{\xi}\\ =\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}d{\lambda}\int^{\infty}_{-\infty}f(\xi)e^{i{\lambda}(x-\xi)}d{\xi} $$于是，若令$$ g(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f(\xi)e^{-i{\lambda}\xi}d{\xi} $$就有$$ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}g(\lambda)e^{i{\lambda}x}d{\lambda} $$称$g(\lambda)$为$f(x)$的傅立叶变换，记为$F[f]$；称$f(x)$为$g(\lambda)$的傅立叶逆变换，记为$F^{-1}[g]$。当$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续可导且绝对可积时，它的傅立叶变换存在，且其逆变换等于$f(x)$。基本性质线性性质傅立叶变换是线性变换，即对于任意复数$\alpha,\beta$以及$f_1,f_2$，成立$$ F[\alpha{f_1}+\beta{f_2}]={\alpha}F[f_1]+{\beta}F[f_2] $$如果对给定的$f_1(x),f_2(x)$，当$x{\in}(-\infty,+\infty)$时$$ f(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f_1(x-t)f_2(t)dt $$存在，则称$f(x)$为$f_1(x)$与$f_2(x)$的卷积，记为$f_1{*}f_2$，显然，，当$f_1,f_2$为绝对可积时，$f_1{*}f_2=f_2{*}f_1$，也就是卷积是可以交换的。关于卷积的傅立叶变换卷积与乘积$f_1(x)$和$f_2(x)$的卷积的傅立叶变换等于$f_1(x)$和$f_2(x)$的傅立叶变换的乘积，也就是$$ F[f_1*f_2]=F[f_1]{.}F[f_2] $$证明直接用傅立叶变换和绝对可积函数的积分可交换次序的性质即可。$f_1(x)$和$f_2(x)$的乘积的傅立叶变换等于$f_1(x)$和$f_2(x)$的傅立叶变换的卷积乘以$\frac{1}{2\pi}$，也就是$$ F[f_1.f_2]=\frac{1}{2\pi}F[f_1]*F[f_2] $$函数与导数的傅立叶性质如果$f(x),f'(x)$都是可以进行傅立叶变换的，而且当$|x|{\to}\infty,f(x){\to}0$，则成立$$ F[f'(x)]=i{\lambda}F[f(x)] $$证明用分部积分做即可。同样有：如果$f(x)$以及$xf(x)$都可以进行傅立叶变换，则有$$ F[-ixf(x)]=\frac{d}{d{\lambda}}F[f] $$多个自变量函数类似地完全可以定义多个自变量函数的傅立叶变换：$$ F[f]=g(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)=\int^{\infty}_{-\infty}{\cdots}\int^{\infty}_{-\infty}f(x_1,\cdots,x_n)e^{i(x_1{\lambda}_1+{\cdots}+x_n{\lambda}_n)}dx_1{\cdots}dx_n $$相应的傅立叶逆变换为$$ f(x_1,\cdots,x_n)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int^{\infty}_{-\infty}\cdots\int^{\infty}_{-\infty}g({\lambda}_1,{\cdots},{\lambda}_n)e^{i(x_1{\lambda}_1+{\cdots}+x_n{\lambda}_n)}d{\lambda_1}{\cdots}d{\lambda}_n $$当然对于多个自变量函数的傅立叶变换也有类似上面的性质。广义函数基础广义函数的傅立叶变换实则是对经典傅立叶变换的一个推广，但是由于广义函数有其理论支撑，可以去掉原先在定义与应用中对函数所加的一些限制，使得傅立叶变换更为灵活。而实际上，定义泛函可以得到一些不属于原来函数空间的一些函数，所以相当于拓宽了函数的范围。这里需要引入速降函数空间和其对应的广义函数空间，当然首先还得对广义函数的卷积做出定义。狄拉克函数引入为了之后卷积的运算里面方便使用狄拉克函数$\delta$，我们先给出这个函数的引入。考虑$[a,b]$上的连续函数全体$C[a,b]$，由$C[a,b]$上任一函数（也就是勒贝格可积函数）$f(x)$，可以按照以下方式定义一个$C[a,b]$上的线性连续泛函。$$ F(\varphi)=<f,\varphi>=\int^b_af(x)\varphi(x)dx \quad \forall {\varphi(x)}{\in}C[a,b]\tag{2.1} $$但是反过来，$C[a,b]$上的线性连续泛函却不一定可以用某个常义函数$f$表示为上述中的积分形式。例如：若$0{\in}(a,b)$，则对任何给定的$\varphi(x){\in}C[a,b]$，定义$$ F[\varphi]=\varphi(0)\tag{2.2} $$就得到了一个线性泛函，而且若有$\varphi_v(x){\in}C[a,b]$，当$v{\to}\infty$时满足$$ \|\varphi_v(x)\|_{C[a,b]}=\max_{x{\in}[a,b]}|\varphi_v(x)|{\to}0 $$则$F(\varphi_v)=\varphi(0){\to}0$，所以$F(\varphi)$是连续的，但是却找不到一个可积函数$f(x)$，使泛函$F(\varphi)$表示成式子(2.1)中的积分。我们称式子(2.2)中表达的泛函为狄拉克$\delta$函数，并且形式地记为$F(\varphi)=<\delta,\varphi>$。必须指出这样的狄拉克函数就是一个广义函数，因为由里斯表示定理，这个函数存在唯一，并且可以表示为式子(2.1)中的积分形式。而引入脉冲等具有物理意义的背景后，我们可以了解到$\delta(x)$是在$x\neq0$时为0，$x=0$时候为$\infty$的一个“函数”，且其积分值为1。这也就是所谓的集中在原点的单位质量的密度分布的数学表达。事实上，对比其他的函数空间，我们可以知道，对于(2.1)式积分中的$\varphi(x)$所属的函数类要求越高，则由该式子所定义的泛函也就越多。比如如果是平方可积空间$L^2[a,b]$，则其定义的泛函还是在$L^2[a,b]$中，但是以蛋我们要求是连续的函数类，则立刻定义了一个广义函数狄拉克函数出来。这里指出狄拉克函数的一个性质狄拉克函数是三个广义函数空间的广义函数$\delta$函数是$\mathscr{D’},\mathscr{S’},\mathscr{C’}$的广义函数前面关于狄拉克函数的定义已经指出，$\delta$函数作用于基本空间的任何一个给定的函数$\varphi(x)$上得到的值为$$ <\delta,\varphi>=\varphi(0) $$显然，这是一个线性连续泛函，而且无论是按照$C^{\infty}_c(R^n),\mathscr{S}(R^n),C^{\infty}(R^n)$的极限意义，当$\varphi_{\varphi'}(x){\to}0$，都有$\varphi_v(0){\to}0$，所以$\delta$函数是$\mathscr{D’},\mathscr{S’},\mathscr{C’}$的广义函数。同时给出狄拉克函数$\delta$的支集为原点$\left\{O\right\}$。广义函数的运算为了之后卷积的证明，还得引入一下对于广义函数的运算广义函数的极限这里只用弱极限，并且简称为极限。若有一列广义函数$\left\{T_k\right\}$，对于基本函数空间中任一给定的元素$\varphi(x)$，当$k{\to}\infty$时成立$$ <T_k,\varphi>{\to}0 $$则称$T_k$弱收敛于零，或者简称$T_k$收敛于零。这里给出个例子：一个函数列可以以狄拉克函数$\delta$作为极限$$ f_v(x)=\frac{1}{\pi}\frac{sinvx}{x} $$则对任一给定的$C^{\infty}_c$函数$\varphi$函数，利用黎曼-勒贝格引理可以知道，当$v{\to}\infty$时，$$ <f_v,\varphi>=\frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\frac{sinvx}{x}\varphi(x)dx{\to}\varphi(0)=<\delta,\varphi> $$因此则有$f_v{\to}\delta$。广义函数的导数设$T$为广义函数，定义$T$关于$x_k$的偏导数$\frac{\partial T}{\partial x_k}$为满足下述要求的广义函数$$ <\frac{\partial T}{\partial x_k},\varphi>=-<T,\frac{\partial \varphi}{\partial x_k}>,\quad \forall{\varphi{\in}C^{\infty}_c(R^n)} $$接下来验证这个偏导数$\frac{\partial T}{\partial x_k}$为广义函数：从${\varphi{\in}C^{\infty}_c(R^n)}$，可以推出$\frac{\partial \varphi}{\partial x_k}{\in}C^{\infty}_c(R^n)$，并且从$\varphi_v{\to}0$，可以知道$\frac{\partial \varphi}{\partial x_k}{\to}0$。于是这个式子确实定义了一个$\mathscr{D'}$上的广义函数$\frac{\partial T}{\partial x_k}$。我们这里给出性质：广义函数的任一阶导数存在，并且与求导次序无关。并且有：广义函数序列$\left\{f_v\right\}$按弱收敛的意义以$f$为极限，则对于任意重指标$\alpha$，成立$$ \partial^{\alpha}f_v{\to}\partial^{\alpha}f $$广义函数的乘子设$T$为广义函数，$\alpha(x){\in}C^{\infty}(R^n)$，则定义$\alpha$与$T$的乘积$\alpha{T}$为$$ <\alpha{T},\varphi>=<T,\alpha{\varphi}>,\quad \forall{\varphi{\in}C^{\infty}_c(R^n)} $$这里我们要验证$\alpha(x)$确实是一个广义函数：从${\varphi{\in}C^{\infty}_c(R^n)}$可以推出$\alpha{\varphi}{\in}C^{\infty}_c(R^n)$，又从$\varphi_v{\to}0$，可以知道$\alpha{\varphi_v}{\to}0$，于是这个式子确实定义了一个$\mathscr{D'}$上的广义函数$\alpha{\varphi}$。给出一个以$C^{\infty}$函数为系数的线性偏微分算子$$ P(x,\partial)=\sum_{|\alpha|{\le}m}a_{\alpha}(x){\partial^{\alpha}} $$这样我们可以在广义函数的意义下考察偏微分方程（例如波动方程、热传导方程、调和方程等）$$ P(x,\partial)u=f $$如果广义函数$u$满足上面式子（也就是$u$为上式的广义函数解），就表示对任何一个给定的$C^{\infty}_c$函数$\varphi$,成立$$ <u,P^*(x,\partial)\varphi>=<f,\varphi> $$其中$P^*(x,\partial)\varphi=\sum_{|\alpha|{\le}m}(-1)^{|\alpha|}\partial^{\alpha}(a_{\alpha}(x)\varphi)$。对照弱解的定义，偏微分方程的广义函数解可以看成是更弱意义下的弱解。广义函数的卷积若$f(x),g(x)$为两个$L^1(-\infty,\infty)$的函数，它们的卷积为$$ (f*g)(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f(x-y)g(y)dy $$当$x,y$在$R^n$中变化，$f,g$为$L^1(R^n)$中的元素时，也可也相应地定义卷积为$$ (f*g)(x)=\int_{R^n}f(x-y)g(y)dy $$如果将$f*g$视为 $\mathscr{D}’$ 广义函数，将其作用于任一给定的$C^{\infty}_c(R^n)$函数$\varphi(x)$上，就有$$ \begin{align*} <(f*g)(x),\varphi(x)>&=\int_{R^n}{\varphi(x)}\int_{R^n}f(x-y)g(y)dydx\\ &=\int_{R^n}(\int_{R^n}\varphi(x+y)f(x)g(y)dy)dx\\ &=<f(x),<g(y),\varphi(x+y))>>\\ &=<g(y),<f(x),\varphi(x+y)>> \end{align*} $$相应地，可以定义两个广义函数$S,T$的卷积为$$ <S*T,\varphi>=<S_x,<T_y,\varphi(x+y)>>,\forall {\varphi}{\in}C^{\infty}_c(R^n) $$这里$S,T$的下标$x,y$表示它们是分别作用在$C_c^{\infty}(R^n_x)$与$C_c^{\infty}(R^n_y)$上的广义函数。这里要指出两个重要的问题：一是并非任何两个广义函数都可以求卷积，但是只要两个广义函数中有一个是$\mathscr{C}’$广义函数，它们的卷积就存在。（卷积存在性条件）二是如果两个广义函数可以求卷积的话，其求卷积的次序是可以交换的。假定广义函数的卷积都存在，则有以下关于广义函数的卷积的性质。交换性$$ (R*S)*T=R*(S*T) $$证明：事实上，上式两端对任何一个$C^{\infty}_{c}(R^n)$中的函数$\varphi$的作用都可以表示为$$ <R_x,<S_y,<T_z,\varphi(x+y+z)>>> $$狄拉克卷积$$ \delta*T=T $$证明：因为对任何一个给定的$\varphi{\in}C^{\infty}_c(R^n)$，有$$ \begin{align*} <\delta*T,\varphi>&=<T_x,<\delta_y,\varphi(x+y)>>\\ &=<T_x,\varphi(x)>=<T,\varphi> \end{align*} $$卷积与微分$$ \partial_k T=(\partial_k{\delta})*T $$其中$\partial_k$表示$\frac{{\partial}}{{\partial}x_k}$，因为对任一给定的$\varphi{\in}C^{\infty}_c(R^n)$，有$$ \begin{align*} <\partial_kT_x,\varphi(x)>&=-<T_x,\partial_k{\varphi(x)>}\\ &=-<T_x,<\delta_y,\partial_k{\varphi(x+y)}>>\\ &=<T_x,<(\partial_k{\delta}),\varphi(x+y)>>\\ &=<\partial_k{\delta*T},\varphi> \end{align*} $$广义函数卷积之后的微分$$ \partial_k(S*T)=(\partial_kS)*T=S*{\partial_kT} $$证明：事实上，利用前面几个性质，可以得到$$ \begin{align*} \partial_k(S*T)&=(\partial_k{\delta})*(S*T)\\ &=(\partial_k{\delta}*S)*T\\ &={\partial_k}S*T \end{align*} $$根据上式，如果有一个常系数的线性偏微分算子$P(\partial)=\sum_{|\alpha|{\le}m}a_{\alpha}{\partial^{\alpha}}$作用于两个广义函数的卷积上，也只要将它作用在这两个中间的其中一个就可以了，也就是成立$$ P(\partial)(E*T)=(P({\partial})E)*T $$广义函数的傅立叶变换接下来可以利用上面的基础，来考察对于广义函数的傅立叶变换。首先我们考察对于速降空间的傅立叶变换（基础函数空间），然后再考察其对应的广义函数空间的傅立叶变换（真正的广义函数傅立叶变换）。速降空间上的傅立叶变换由于$\mathscr{S}(R^n)$中任一函数绝对可积，对于任何一个给定的函数$f(x){\in}\mathscr{S}(R^n)$，可以像经典方式定义傅立叶变换一样$$ F[f]=\int_{R^n}f(x)e^{-ix.\xi}dx $$同样地，对于任一给定的$g(\xi){\in}\mathscr{S}(R^n)$，可以定义其傅立叶逆变换$$ F^{-1}[g]=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{R^n}g(\xi)e^{ix.\xi}d{\xi} $$且由于$f(x)$是连续可导的，所以有$$ F^{-1}[F[f]]=f $$接下来列举$\mathscr{S}(R^n)$空间上傅立叶变换的一些性质，有些性质在一个自变量的情形已经证明，则不再作证明。线性性质傅立叶变换是线性变换，即对任意的复数$\alpha_1,\alpha_2$成立。$$ F[\alpha_1f_1+\alpha_2f_2]=\alpha_1F[f_1]+\alpha_2F[f_2] $$乘幂和微分傅立叶变换将微分运算变成乘以幂函数的运算，反过来，也将乘以幂函数的运算变为微分运算$$ F[\partial_j f]=i\xi_jF[f],\\F[\partial^{\alpha}f]=i^{|\alpha|}\xi^{\alpha}F[f],\\ F[-ix_jf]=\frac{\partial}{\partial \xi_j}F[j],\\F[(-i)^{|\alpha|x^{\alpha}}f]=\partial^{\alpha}F[f] $$卷积与乘法傅立叶变换将卷积运算变为乘法运算，反之，将乘法运算变为卷积运算$$ F[f*g]=F[f].F[g]\\ F[f.g]=(2\pi)^{-n}F[f]*F[g] $$建立同构傅立叶变换建立了一个从$\mathscr{S}(R^n)$到$\mathscr{S}(R^n)$的同构对应由于$C^{\infty}(R^n)$空间中的任一个函数不一定可以进行傅立叶变换，而$C^{\infty}_c(R^n)$中的函数经过傅立叶变换后一般又不在$C^{\infty}_c(R^n)$中，所以这个同构对于速将函数空间及其对应的广义函数空间都起着重要作用。其广义函数空间的傅立叶变换对于任一给定的$\mathscr{S'}(R^n)$广义函数$T$，定义它的傅立叶变换$F[T]$为$$ <F[T],\varphi>=<T,F[\varphi]>,\quad \forall \varphi{\in}\mathscr{S}(R^n) $$同样按照前面的步骤可以验证$F[T]$为一个广义函数：若$\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n)$，则有$F[\varphi]{\in}\mathscr{S}(R^n)$，且若$\varphi_v{\to}0$，则$F[\varphi_v]{\to}0$。同样可以定义广义函数$T$的傅立叶逆变换$F^{-1}[T]$为$$ <F^{-1}[T],\varphi>=<T,F^{-1}[\varphi]>,\quad\forall{\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n)} $$如果$T$是$R^n$上的绝对可积函数，则对任一给定的函数$\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n)$，有$$ \begin{align*} <F[T],\varphi>&=<T,F[\varphi]>\\ &=\int_{R^n_x}(\int_{R^n_{\xi}}\varphi(\xi)e^{-ix.\xi}d{\xi})T(x)dx\\ &=\int_{R^n_{\xi}}(\int_{R^n_x}T(x)e^{-ix.\xi}dx)\varphi(\xi)d{\xi} \end{align*} $$所以有$F[T]=\int_{R^n_x}T(x)e^{-ix.\xi}dx$，也就是兼容经典的傅立叶变换函数做傅立叶变换。傅立叶变换性质同构傅立叶变换建立了一个$\mathscr{S'}(R^n)$到$\mathscr{S'}(R^n)$的同构对应。证明：线性同构显然，然后证明保持极限关系不变即可逆变换和变换若$T{\in}\mathscr{S'}(R^n)$，则$$ F^{-1}[F[T]]=T $$证明：对任一给定的$\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n)$，成立$$ \begin{align*} <F^{-1}[F[T]],\varphi>&=<F[T],F^{-1}[\varphi]>\\ &=<T,F[F^{-1}[\varphi =<T,\varphi> \end{align*} $$微分与乘幂若$T{\in}\mathscr{S'}(R^n)$，则成立$$ F[\partial_j T]=i\xi_jF[T],\\F[\partial^{\alpha}T]=i^{|\alpha|}\xi^{\alpha}F[T],\\ F[-ix_jT]=\frac{\partial}{\partial \xi_j}F[T]\\ F[(-i)^{|\alpha|}x^{\alpha}T]=\partial^{\alpha}F[T] $$我们仅对第一个式子证明，其他式子类似，首先对任一给定的$\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n)$，有$$ \begin{align*} <F[\partial_jT],\varphi>&=<\partial_jT,F[\varphi]>=-<T,\partial_jF[\varphi]>\\ &=-<T,F[-i\xi_j\varphi]>=-<F[T],-i\xi_j\varphi>\\ &=<i\xi_jF[T],\varphi> \end{align*} $$卷积与乘积和$\mathscr{S}(R^n)$上的傅立叶变换类似，$\mathscr{S'}(R^n)$广义函数的傅立叶变换也将乘积运算变换为卷积运算，将卷积运算变换为乘积运算。但是由于任意两个$\mathscr{S'}(R^n)$广义函数的乘积或者卷积未必存在，所以相关等式的成立是有条件的。如果$\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n),T{\in}\mathscr{S'}(R^n)$，则$$ F[\varphi*T]=F[\varphi].F[T] $$如果$R{\in}\mathscr{C'}(R^n),T{\in}\mathscr{S'}(R^n)$，则$$ F[R*T]=F[R].F[T] $$