我的java开发测试 - 数学物理方程
type: channel
link: https://www.ownsyou.cn/category/数学物理方程/
items: 广义函数的基本概念、基本空间
items: 数学物理方程综述
items: 傅立叶变换及广义傅立叶变换

广义函数的基本概念、基本空间
type: item
date: 2019-12-10T09:14:09+08:00
description: 广义函数与Sobolev空间广义函数的基本概念、基本空间近代的偏微分方程理论在更广的函数空间讨论各类问题，因此将经典函数概念扩充，扩充概念后的函数称之为广义函数。目前最常用的扩充函数概念的方法是：利用泛函来引入广义函数。简单来说，就是找一个泛函的集合，使得所有常义函数都是这个泛函集合中的元素（兼容），并且该泛函集合中包含更多的元素，则该泛函集合就可以视为一个广义函数类——是已有的常义函数的拓广。考察$L^2[a,b]$上的函数，则由于Resiz表示定理，容易有一个泛函$$ F(\varphi)=<f,\varphi>=\int^b_af(x){\varphi(x)}dx,\quad{\forall{\varphi(x)}{\in}L^2[a,b]} $$也就是对一个$L^2[a,b]$中一个线性泛函，都会有一个函数$f(x){\in}L^2[a,b]$来对应，并且表示为上述形式。从而可以知道$L^2$函数与$L^2[a,b]$空间上的泛函是一样的。而考察$L^p[a,b]$则不一样，根据Resiz表示定理，则当$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$时，$L^q[a,b]$中的函数也可以按照内积形式定义一个$L^p[a,b]$上的泛函，而$L^p[a,b]$上的函数也可也表示为$L^q[a,b]$中的函数，又因为$L^p[a,b]{\subset}L^q[a,b],q<2<p$，则意味着$L^p[a,b]$可以用泛函导出更多的函数，从而得到一些“广义的函数”。考察性质更好的$C[a,b]$连续函数全体，这时$L^1[a,b]$中任一函数，仍然可以按照内积定义一个线性连续泛函。但是我们反过来，$C[a.b]$上的线性连续泛函却不一定可以用一个常义函数$f{\in}L^1[a,b]$表示为内积形式。设$0{\in}[a,b]$，于是对$\varphi(x){\in}C[a,b]$，可以定义一个线性连续泛函$$ F(\varphi)=\varphi(0)\tag{1.2} $$容易知道，若$\varphi_v(x){\in}C[a,b]$，满足$$ \|\varphi_v(x)\|_{C[a,b]}=\max_{x{\in}[a,b]}|\varphi_v(x)|{\to}0 $$则$F(\varphi_v(x))=\varphi_v(x){\to}0$，所以$F(\varphi)$是连续的，而关于它是线性这一点显然。（证明是一个线性连续泛函）但是，找不到一个常义函数$f(x)$，使得$$ \int^b_af(x){\varphi(x)}dx=\varphi(x),\quad{\forall}\varphi(x){\in}C[a,b]\tag{1.3} $$证明找不到，用的是积分绝对连续性导出的矛盾。其中(1.2)式中表示的泛函是无法用常义函数来表示的，所以称(1.2)式中的泛函为$\delta$函数，形式记为$<\delta,\varphi>$。定义在一些特定函数空间上的线性连续泛函称之为广义函数。将广义函数所作用的函数空间称之为基本函数空间。广义函数就是这个基本函数空间上的线性连续泛函。常用基本函数空间及其性质基本空间$C^{\infty}(R^n),C^{\infty}_c(R^n)$。定义一个函数空间不仅要给出在该空间内的元素，还必须给出其中的拓扑结构。定义空间$C^{\infty}(R^n)$。在$C^{\infty}(R^n)$中的元素是在$R^n$中任意次连续可微的复值函数，其中的拓扑规定为：若有$C^{\infty}(R^n)$中的序列$\left\{\varphi_v\right\}$，且对任一重指标$\alpha$，$$ \sup_{x{\in}K}|{\partial}^{\alpha}\varphi_v|{\to}0 $$则称$\varphi_v{\to}0(C^{\infty}(R))$。对于一个连续函数$\varphi(x)$，将$\varphi(x){\neq}0$的点$x$全体的闭包称之为$\varphi(x)$的支集，记作supp$\varphi(x)$，也就是$$ supp\;\varphi(x)=\overline{\left\{x|\varphi(x){\neq}0\right\}} $$如果$\varphi(x)$的支集是紧集，则称$\varphi(x)$有紧支集。定义空间$C^{\infty}_c(R^n)$，其中元素是无限次连续可微并且有紧支集的函数，在其中的拓扑规定为：若有$C^{\infty}_c(R^n)$中的序列$\left\{\varphi_v\right\}$，满足条件：（1）所有$\varphi_v$的支集在一个共同的紧集$K$内（2）对任何重指标$\alph…

数学物理方程综述
type: item
date: 2019-11-30T20:21:24+08:00
description: 数学物理方程.辅导建议看下：齐民友——广义函数与数学物理方程；陈恕行——现代偏微分方程导论导引偏微分方程反映了有关的未知变量及其关于时间变量的导数或者关于空间变量的导数之间的关系。自然科学偏微分方程流体力学基本方程欧拉方程组与纳维-斯托克斯方程组弹性力学弹性力学方程组电动力学麦克斯韦方程组量子力学薛定谔方程相对论爱因斯坦方程相对论量子力学狄拉克方程弦振动方程与定解条件的导出固定边界、自由边界与弹性支撑边界的情形，分别对应三种边界条件，也就是$u=g,\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=g,\frac{\partial{u}}{\partial{x}}+\sigma{u}=g$。分别称为狄利克雷边界条件、诺伊曼边界条件有罗宾边界条件。达朗贝尔公式及其应用弦振动方程导出的达朗贝尔公式：用有限积分的形式得出偏微分方程定解问题。$$ u(x,t)=\frac{\varphi(x-at)+\varphi(x+at)}{2}+\frac{1}{2a}\int^{x+at}_{x-at}\psi(\alpha)d{\alpha} $$但是像这种用有限积分的形式得出偏微分方程定解问题的解是很特殊的情形。其解的表达式其实也导出了依赖区域、决定区域、影响区域的概念。（统称为扰动的有限传播速度性质）齐次化原理是求解非齐次线性偏微分方程常用的方法：实际上就是将连续变化的时间分成许多小段，每一个小段中扰动速度、外力等保持不变，然后把这些效应累积起来，再取极限，所以就是一个积分。在导出非齐次弦振动方程初值问题$$ \begin{cases} \frac{\partial^2{u}}{\partial{t^2}}-a^2{\frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2}}}=f(x,t),t>0\\ t=0:u=0,\frac{\partial{u}}{\partial{t}}=0 \end{cases} $$的解的表达式时，可以直接引入依赖于参数$\tau$的辅助初值问题$$ \begin{cases} \frac{\partial^2{w}}{\partial{t^2}}-a^2{\frac{\partial^2{w}}{\partial{x^2}}}=0\\ t={\tau}:u=0,\frac{\partial{w}}{\partial{t}}=f(x,{\tau}) \end{cases} $$然后，该辅助问题的解$w(x,t;\tau)$关于参数$\tau$的积分$\int^{t}_0w(x,t;\tau)d{\tau}$就是原初值问题的解。（这个就是累积效应）验证的必要性：实际上涉及了两个极限过程，可否交换无严格的论证，所以结果需要验证。因为上述过程是基于叠加原理，所以仅对线性偏微分方程可以有，如果方程系数仅仅依赖于$x$，还是可以用。但是如果还依赖于时间$t$，则需要更改一些运算才能实现，对于非线性完全不行。分离变量法$u(x,t)$写成$X(x)T(t)$形式的函数的叠加，因为无穷个这类函数的叠加才能同时满足方程诸定解条件的要求。分离变量法步骤归纳如下：首先确定要讨论的问题： $$ \begin{cases} \frac{\partial^2{u}}{\partial{t^2}}-a^2{\frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2}}}=0,\\ u(x,0)=\varphi(x),\frac{\partial{u}}{\partial{t}}(x,0)=\psi(x),\\ u(0,t)=u(l,t)=0 \end{cases} $$这里求的解$u(x,t)$是定义在乘积空间$(0,l){\times}(0,+\infty)$上的，用求解的分离变量法的主要步骤是将形式为$u(x,t)=X(x)T(t)$的单个函数代入方程，进行变量分离后得到 $$ \frac{T''(t)}{a^2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)} $$利用$u(x,t)$所应满足的边界条件，导出$X(x)$所应满足的边界条件，从而得到$X(x)$所应该满足的一个常微分方程特征值问题。通过解特征值问题决定特征值$\lambda_k$以及相应的特征函数，记为$X_k(x)$。在本问题中 $$ \lambda_k=\frac{k^2{\pi}^2}{l^2},X_k(x)=C_ksin\frac{k{\pi}}{l}x $$决定相应的$T_k(t)$的形式以${\sum}X_k(x)T_k(t)$的函数叠加形式给出$u(x,t)$，并将原始资料作傅立叶展开，从而决定解的无穷级数表达式中的常数。虽然不像达朗贝尔一样能用有限形式的显式表达式表达出来，但是能用一个收敛的无穷级数将解表达出来也足…

傅立叶变换及广义傅立叶变换
type: item
date: 2019-11-25T17:37:33+08:00
description: 傅立叶变换分离变量法实际上是借用了傅立叶工具，通过分离变量得到常微分方程之后，解却是通过一族正交系来确定的，而在某些情况下，傅立叶天然的正交系性质，为这些解提供了帮助。故此对傅里叶变换做一些总结傅立叶变换及其基本性质设$f(x)$是定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数，它在$[-l,l]$上有一阶连续导数，则在$[-l,l]$中$f(x)$可以展开为傅立叶级数$$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncos\frac{n\pi}{l}x+b_nsin\frac{n\pi}{l}x),\\ a_n=\frac{1}{l}f(\xi)cos\frac{n\pi}{l}{\xi}d\xi,b_n=\frac{1}{l}f(\xi)sin\frac{n\pi}{l}{\xi}d\xi \quad (n=0,1,2,\cdots) $$整理两个式子可以得到$$ f(x)=\frac{1}{2l}\int^l_{-l}f(\xi)d{\xi}+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(\xi)cos\frac{n\pi}{l}(x-\xi)d{\xi} $$这里我们将所有的正弦函数全部给去掉了，是用到了正交系的性质。这里需要加上一个$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$绝对可积的条件，这样，可以让$l{\to}\infty$，从而得到$$ f(x)=\lim_{n{\to}\infty}\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(\xi)cos\frac{n\pi}{l}(x-\xi)d{\xi} $$如果记$\lambda_i=\frac{i\pi}{l},\Delta{\lambda}={\Delta}{\lambda_n}=\lambda_{n+1}-\lambda_n=\frac{\pi}{l}$，则可以得到$$ f(x)=\lim_{{\Delta}{\lambda}{\to}0}\frac{1}{\pi}\sum^{\infty}_{n=1}{\Delta}\lambda_n\int^l_{-l}f(\xi)cos{\lambda_n}(x-\xi)d{\xi}\\ =\frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{0}d{\lambda}\int^{\infty}_{-\infty}f(\xi)cos{\lambda}(x-\xi)d{\xi} $$这个积分表达式被称为$f(x)$的傅立叶积分。可以知道：若$f(x)$绝对可积，则在$f(x)$本身及其导数为连续的点，$f(x)$的傅立叶积分收敛于$f(x)$在该点的函数值当然也可以写成复数形式，因为$cos{\lambda}(x-\xi)$是$\lambda$的偶函数，而$sin{\lambda}(x-\xi)$是$\lambda$的奇函数，于是傅立叶积分可以写为$$ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}d{\lambda}\int^{\infty}_{-\infty}f(\xi)[cos{\lambda}(x-\xi)+isin{\lambda}(x-\xi)]d{\xi}\\ =\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}d{\lambda}\int^{\infty}_{-\infty}f(\xi)e^{i{\lambda}(x-\xi)}d{\xi} $$于是，若令$$ g(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f(\xi)e^{-i{\lambda}\xi}d{\xi} $$就有$$ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}g(\lambda)e^{i{\lambda}x}d{\lambda} $$称$g(\lambda)$为$f(x)$的傅立叶变换，记为$F[f]$；称$f(x)$为$g(\lambda)$的傅立叶逆变换，记为$F^{-1}[g]$。当$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续可导且绝对可积时，它的傅立叶变换存在，且其逆变换等于$f(x)$。基本性质线性性质傅立叶变换是线性变换，即对于任意复数$\alpha,\beta$以及$f_1,f_2$，成立$$ F[\alpha{f_1}+\beta{f_2}]={\alpha}F[f_1]+{\beta}F[f_2] $$如果对给定的$f_1(x),f_2(x)$，当$x{\in}(-\infty,+\infty)$时$$ f(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f_1(…