我的java开发测试 - 泛函
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items: 从点列收敛问题看泛函分析的内容二
items: 从点列收敛问题看泛函分析的内容一
items: 有界线性算子谱分析
items: 谱分析之谱定义
items: 列紧和紧致在泛函中的地位

从点列收敛问题看泛函分析的内容二
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date: 2020-02-12T18:15:16+08:00
description: 从点列收敛问题看泛函分析的内容接着上一次没讲完的地方继续1.收敛的通用表达（4）函数列的p方平均收敛就是赋范线性空间 $L^p[E,u]$上的函数列按照范数收敛，这时的距离就是两个函数的差的范数，也就是下面定义的距离：$$ p(f_n(x),f(x))=\|f_n(x)-f(x)\|_p=(\int_E|f_n(x)-f(x)|^pdu)^{\frac{1}{p}} $$上面这个距离的定义是满足距离的非负性，三角不等式等条件的，所以平均收敛只要记住这个距离定义就可以记住$p$方收敛的含义了。这种函数列收敛的空间是$L^p[E,u]$，这是一个赋范线性空间，范数定义见上面。（5）函数列以测度收敛我们给出以测度收敛的定义：设$(X,R,\mu)$是测度空间，$E{\subset}X$，$\left\{f_n(x)\right\}$是$E$上的一列可测函数。假如有一个有限的函数$f(x)$，它和$\left\{f_n(x)\right\}$满足下面的关系：对任何$\varepsilon>0$以及任何$\delta>0$，存在（只依赖于$\varepsilon$和$\delta$的）自然数$N$，使得当$n{\ge}N$时，成立着$\mu(E(|f_n-f|>\varepsilon))<\delta$，就称$\left\{f_n(x)\right\}$（在$E$上）以测度$\mu$收敛于$f(x)$。现在设$\mu(E)<\infty$，我们建立一个度量空间$S$，它是实值或者复值可测函数全体，规定$E$上几乎处处相等的两个函数是同一个函数，距离具体定义如下：$$ p(f,g)=\int_E\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}d{\mu} $$由于$\mu(E)<\infty$，可以验证上面定义的距离有确定的意义，而且满足距离的条件。于是这个度量空间$(S,p)$建立起来了。显然我们有$$ \frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}{\le}|f_n(x)-f(x)| $$故对于${\forall}\sigma>0,{\forall}\varepsilon>0$，如果有$$ \frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}{\ge}\sigma $$则必有$|f_n(x)-f(x)|>\sigma$，故有下面的集合关系$$ E(\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}>\sigma){\subset}E(|f_n(x)-f(x)|>\sigma) $$因此有$$ \mu(E(\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}>\sigma)){\le}\mu(E(|f_n(x)-f(x)|>\sigma)) $$因此当$\mu(E|f_n(x)-f(x)|>\sigma)<\varepsilon$时，必有$$ \mu(E(\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}>\sigma))<\varepsilon $$由于$\left\{f_n(x)\right\}$以测度$\mu$收敛于$f(x)$，故可知$\left\{\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}\right\}$以测度$\mu$收敛于0。又因为$$ \frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}{\le}1 $$由积分控制收敛定理可以知道：$$ \lim_{n{\to}\infty}\int_E\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}=0 $$也就是$p(f_n,f){\to}0(n{\to}\infty)$，这就表明只要$\mu(E)<\infty$，函数列如果以测度收敛，那么必然就按照上面定义的距离收敛；反过来如果函数列按照上面的距离收敛，就有$$ p(f_n,f){\ge}\int_{E(|f_n-f|{\ge}\sigma)}\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}d{\mu}{\ge}\int_{E(|f_n-f|{\ge}\sigma)}\frac{\sigma}{1+\sigma}d{\mu}=\frac{\sigma}{1+\sigma}\mu(E(|f_n-f|{\ge}\sigma)) $$显然，当$n{\to}\infty$时，$p(f_n,f){\to}0$，那么$\mu(E(|f_n-f|{\ge}\sigma)){\to}0$，也就是函数列以测度收敛。这说明函数列按上面定义的距离收敛，那么就以测度收敛。这样一来，我们可以看到以测度收敛和按照上面…

从点列收敛问题看泛函分析的内容一
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date: 2020-02-12T17:12:00+08:00
description: 从点列收敛问题看泛函分析的内容在微积分、实变函数和泛函分析中，有大量涉及到收敛问题的讨论，十分有必要进行总结，否则会将各种收敛的概念，定理交织在一起，难以搞清楚它们到底有什么区别，最后的目的是什么。下面我们先讨论各种收敛的概念并进行比较，主要从他们的本质特征出发进行讨论，然后讨论收敛的意义和作用，进而概括一下泛函分析研究的主要内容。1.收敛的通用表达学习完泛函分析以后，只要看到收敛，首先要考虑的不是函数列或者数列，而是首先想到空间的概念，然后考虑空间的点特征属性，将所有的收敛问题，统统放到空间的概念里面考察。具体说，首先是分析点列中点的属性，收敛具体的含义，然后需要确定的是：（1）什么空间的收敛问题：具体的空间有测度空间，度量空间，赋范线性空间，Banach空间，内积空间，希尔伯特空间，拓扑空间等等；度量空间为一般普遍空间，需要首先分析其距离的定义。（2）这个空间的距离定义问题：如果是一般的度量空间，就需要立刻弄明白怎样定义距离才能保证具体问题的收敛和依距离收敛相一致，如果是赋范线性空间以及其它特殊赋范线性空间，就要立刻弄清楚怎样定义范数，事实上赋范线性空间的距离可以通过范数计算出来，因此可以统一的说成空间的距离怎样定义。（3）将具体的收敛问题转化为空间的点列按照距离收敛问题。所谓按照距离收敛，就是一个点列和一个点的距离趋于零。一般度量空间的点列收敛最具有普遍性，因此我们将收敛的严格定义摘抄一下：设$R$为一个度量空间，$x_n,x{\in}R(n=1,2,{\cdots})$，当$n{\to}\infty$时，数列$p(x_n,x){\to}0$，就说点列$\left\{x_n\right\}$以距离$p(x,y)$收敛于$x$，记作$x_n{\to}x$，或者$\lim_{n{\to}\infty}x_n=x$，这个时候称$\left\{x_n\right\}$为收敛点列，$x$为$\left\{x_n\right\}$的极限。这个定义的关键是要找到$\left\{x_n\right\}$和$x$的距离公式。只需要把握住上述三个步骤，就不会被各种各样的收敛说法搞晕头。我们下面看一些具体的收敛问题。（1）实数点列的收敛问题具体表达为实数点列$\left\{x_n\right\}$收敛于实数点$x$，按照上面的步骤分析，此处点列和收敛的点都是实数，这是它们共同的特征，因此他们属于一维实数空间，这是最简单的度量空间，而这个空间的距离定义就是$p(x_n,x)=|x_n-x|$，也即两个实数的绝对值大小，这和实数列收敛相一致。我们只要套用度量空间点列收敛定义立刻就可以写出实数点列$\left\{x_n\right\}$收敛于实数点$x$的具体定义，其实就是将$p(x_n,x)$换成$|x_n-x|$即可，也就是将距离公式具体取为绝对值。这是微积分课程中最基本的点列收敛问题，很容易接受，因为和生活最为相关。我们分别用微积分中的实数列收敛定义和上面的度量空间的点列收敛定义相比较就一目了然了。这种收敛所在的空间是$(E^1,|x-y|)$。（2）连续函数列一致收敛(均匀收敛)这是微积分初学者接触到的又一个函数收敛问题，这种收敛的具体定义如下：设连续函数列$\left\{f_n(x)\right\}$和连续函数$f(x)$都定义在一个闭区间$[a,b]$上，如果对于任意$\varepsilon>0$，总存在一个自然数$N$，使得对于任何自然数$n_0(n_0{\ge}N)$和该闭区间任意一个$x_0$，都有下面式子成立：$$ |f_{n_0}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon $$这种定义如果仔细分析一下还是能够理解的，问题是会很快忘记。一直很难将函数列一致收敛和逐点收敛区分开来。现在我们使用上面的方法来分析这种收敛。首先将函数列和收敛的函数看作一个点，由于是连续函数，立刻可以确定是全体连续函数构成的空间，这时需要定义空间的距离，由于对于${\forall}x_0$，都有$|f_{n_0}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon$，显然可以这么定义距离$p(f_n(x),f(x))=\max_{x{\in}[a,b]}|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$，因为这样定义的距离和上面一致连续定义的等价，而这个距离定义可以由$\|f(x)\|_{\infty}=\max_{x{\in}[a,b]}|f(x)|$导出，于是该函数列收敛问题归纳为$(C[a,b],\|{\cdot}\|_{\infty})$赋范线性空间点列的收敛问题，这一下子就彻底理解了，和上面度量空间的点列收敛定义一样，就是点列和收敛点之间的按照范数定义的距离趋于无穷小。很显然只要记住空间的距离定义，那么点列收敛，函数列一致收敛就变得极其…

有界线性算子谱分析
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date: 2020-02-11T23:31:49+08:00
description: 谱分析我们在前面对线性算子的谱概念进行了详细的说明。下面我们针对有界线性算子进行谱分析。也就是确定一个线性算子的谱点或者正则点时，需要满足两个条件：（1）是同一个线性空间上的线性算子；（2）该线性算子是有界的。谱分析主要涉及：有界线性算子的一些谱的确定问题，也包括正则点的确定。谱分析主要告诉我们如何使用复数来简化线性算子，从而认识和了解该线性算子。对于一般线性算子的谱分析，根据定义，即$X$是复的赋范空间，$B$是$X$的线性算子空间$D(B)$到$X$中的线性算子，${\lambda}$是复数。如果$({\lambda}I-B)$是正则算子，那么${\lambda}$是正则点，此处正则算子就是满射且逆算子存在且有界，否则${\lambda}$就是谱点。当然根据定义也可以确定特征值点（不可逆）。下面主要讨论不根据定义对有界线性算子进行谱分析：一般赋范线性空间（一），一般赋范线性空间中的有界线性算子基本记号：$B{\in}\mathfrak{B}(X{\to}X)$，$X$是一般的赋范空间，${\lambda}$是复数。1.正则点确定（1）对于任何$y{\in}X$，方程$({\lambda}I-B)x=y$都有解，并且存在常数$m$使得下面不等式成立：$\|x\|{\le}m\|y\|$。可以简化为$({\lambda}I-B)$满射，并且$\|y\|/\|x\|$都有下确界。（2）如果$X$是有限维空间，并且不存在非零$x{\in}X$，使得$Bx={\lambda}x$，也即${\lambda}$不是特征值，那么${\lambda}$就是正则点。也就说明了在有限维赋范空间，有界线性算子是没有连续谱的。2.谱点确定设$p(t)=\sum^n_{i=0}a_it^i$是$t$的多项式，记$p(B)=\sum^n_{i=0}a_iB^i$。（$B^0=I$），如果又记作$$ p(\sigma(B))=\left\{p({\lambda}|{\lambda}{\in}\sigma(B))\right\} $$则$\sigma(p(B))=p(\sigma(B))$。该公式提供一个确定谱点的方法：就是知道$B$的谱点，我们就可以计算$p(B)$的谱点。反之已知$\sigma(p(B))={\lambda}$，就可以考虑计算$B$的谱点。假设该谱点为$\overline{\lambda}$，则有$p(\overline{\lambda})=\lambda$，解该多项式等式即可知道$B$的谱点。也就说明了：在有限维赋范空间中，这个谱点只能是特征值点，因此就只有特征值点具有这个性质。Banach空间（二），Banach空间上的有界线性算子基本记号：$X$是复的Banach空间，$A{\in}\mathfrak{B}(X{\to}X)$，$$ r=\lim_{n{\to}+\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|} $$此处需要说明这个极限是存在的。此处的线性算子$A$可以看做赋范代数$\mathfrak{B}(X{\to}X)$的元素，特别注意只有$X$是复Banach空间的时，有界线性算子的集合形成的赋范线性空间才能看做Banach代数。另外$r(A)$表示谱半径。注意：如果$X$是有限维赋范空间，自然是Banach空间，因此此时的所有有界线性算子都是Banach空间上算子。都可以用下面的方法进行谱分析。结合有限维空间线性算子没有连续谱，于是对于有限维空间来说，下面的${\lambda}$要么是正则点，要么是特征值点。1.正则点及其范围的确定（1）若${\lambda}$满足$|{\lambda}|>r$，那么${\lambda}$是正则点，而且还有$({\lambda}I-A)^{-1}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{A^n}{{\lambda}^{n+1}}$。而且当$|{\lambda}|>\|A\|$时，有$\|({\lambda}I-A)^{-1}\|{\le}(|\lambda|-\|A\|)^{-1}$。注意需要这个条件的原因是等比数列求和公式要求公比小于1才存在求和公式。注意如果$|{\lambda}|<r$时，这个$\lambda$可能是正则点，或者不是正则点而是谱点。这是要注意的，$|\lambda|>r$只是正则点的充分条件，而不是必要条件。（2）$p(A)$是开集，假设$\lambda_0{\in}p(A)$，记$$ r_{\lambda_0}=\lim_{n{\to}\infty}\sqrt[n]{\|({\lambda_0}I-A)^{-n}\|} $$则满足不等式$|{\lambda}-\lambda_0|<\frac{1}{r_{\lambda_0}}$的$\lambda$是正则…

谱分析之谱定义
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date: 2020-02-11T23:31:09+08:00
description: 谱定义我们本节的目的是理解连续谱的定义。于是我们首先要理解正则算子。正则算子设$X,Y$是两个赋范线性空间，设$B$是线性算子，$D(B){\subset}X,R(B){\subset}Y$。如果逆算子$B^{-1}$存在，且$R(B)=Y$且$B^{-1}$是有界线性算子，则称$B$为正则算子。我们记忆一下：设$X,Y$为两个赋范线性空间，设$B$为线性算子，$D(B){\subset}X,R(B)=Y$，若逆算子$B^{-1}$存在且是有界线性算子，则称$B$是正则算子。也即关键信息是：满射，逆算子存在且有界。（反过来思考）显然有$B$为$B^{-1}$从$Y$到$D(B)$的逆算子，那么根据逆算子定理，$B$是否为有界线性算子？这其实是不对的，因为逆算子定理要求其定义域与值域都是Banach空间，但是正则算子的定义中并没有要求是Banach空间。所以逆算子定理条件不满足，$B$不要求一定是有界的也能符合正则算子的定义。但是其逆算子必须是有界线性算子。另外因为线性算子的定义，$D(B)$一定是线性子空间，而不仅仅是$X$的子集。正则点设$X$为复的线性空间，$B$是$X$的线性子空间$D(B)$到$X$中的线性算子，又设${\lambda}$是一个复数，如果$({\lambda}I-B)$是正则算子，即${\lambda}I-B$是$D(B)$到$X$上一对一的线性算子，而且它的逆算子$({\lambda}I-B)^{-1}$是$X$到$X$中的有界线性算子，那么称${\lambda}$是$B$的正则点。首先这个定义告诉我们正则点实际上是一个复数，对应的正则算子是$({\lambda}I-B)$，而不是$B$。另外看到对于正则算子的解释：正则算子是定义域到$X$上的算子，它的逆算子是到$X$中的算子。“上”指的是满射，“中”则指的是可以小于线性空间$X$。这里指出，正则点是要求了$({\lambda}I-B)$是满射，而对于$B$则无要求是满射。对于复数$\lambda$的讨论下面我们考虑一下，对于任何一个复数${\lambda}$，就对应一个线性算子$({\lambda}I-B)$。如果该算子是正则的，则${\lambda}$称之为正则点。如果不是正则算子，那么就有下面几种可能：一，可能$({\lambda}I-B)$不可逆，也就是存在至少一个非零元素$x$，使得$({\lambda}I-B)x=0$，那么这时候线性算子$({\lambda}I-B)$就不存在逆算子，这时的${\lambda}$称之为谱点。也就是特征值点。二，可能$({\lambda}I-B)$可逆，但是不是正则算子，也就是可能$({\lambda}I-B)$不是满射，或者其逆算子不是有界的。总结一下，对于任何一个复数${\lambda}$，对应的线性算子$({\lambda}I-B)$，只能有下面四种情况：（1）$({\lambda}I-B)$不可逆，也即存在非零元素，使得$({\lambda}I-B)x=0$，那么对应的$\lambda$称为特征值谱点。（2）$({\lambda}I-B)$可逆且为满射，并且逆算子是有界的，那么对应的${\lambda}$称为正则点。（3）$({\lambda}I-B)$可逆且为满射，但是其逆算子不是有界的，那么对应的${\lambda}$称之为非特征值谱点。（4）$({\lambda}I-B)$可逆但是不是满射，那么对应的$\lambda$称之为非特征值谱点。这里给出第（4）种情况的一个例子，就是不是满射：比如$ctg\alpha,\alpha{\in}(-\infty,\infty)$，显然$ctg\alpha$取值为$(-\pi/2,\pi/2)$，该函数就不是实数域上的满射函数。当然该函数不是线性函数，这里只是为了说明不是满射。现在对于任何一个线性算子，可以将整个复数域中的复数划分为上述四种情况中的点，这是因为任何一个复数对应一个线性算子$({\lambda}I-B)$，而该算子可以将$D(B)$中所有元素映射到$X$空间。于是就有了下面的概念。第（2）中情况中得到的所有正则点的集合称之为正则集或者预解集，记为$p(B)$。而第（1）（3）（4）种情况对应的复数为谱点，所有的谱点的集合称之为谱集，也即复数域上除去正则集剩下的复数集合就是谱集，或者会直接称之为谱，记为$\sigma(B)$。可以对谱再细划分：那就是对所有特征值谱点的集合称之为点谱（不可逆的情况），记为$\sigma_p(B)$。所有非特征值谱点的集合称之为连续谱（非满射或逆算子不是有界的情况），记为$\sigma_c(B)$。上述划分最后称为：预解集（2）+谱点（点谱（1）+连续谱（3，4））另一种划分而这个谱点还可以做另一种划分，分为近似谱点…

列紧和紧致在泛函中的地位
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date: 2019-11-03T15:35:35+08:00
description: 泛函分析关于度量空间这一章，主要讲述了关于度量空间的结构是怎么来的，并且讲解了拓扑结构和代数结构构造而成的内积空间，从而诱导出范数。其中有一些比较好的性质——凸性质和紧性质。关于这些空间——内积、范数空间，都有一个完备性的问题：也就是按照范数收敛后的元素是否还在集合中，若在则称该空间是完备的，于是定义了巴拿赫空间（赋范线性空间完备空间）与希尔伯特空间（具有内积的完备空间）。具体的应用定理则是：压缩映像原理——可以用来证明常微分方程解的存在唯一性。其实对于泛函分析这一章来说，抽丝剥茧就是将范数（模）、内积给抽象定义出来，然后给一些抽象空间上建立起度量的概念，什么是收敛，怎么收敛，收敛到哪里（完备）。总之这章就是构建了一个结构，这个结构上可以对无穷维，对抽象空间中的元素建立起极限，收敛的概念。距离空间一个距离要求：正定性，对称性，三角不等式。引入距离（距离趋于0则可以定义收敛），是为了刻画收敛，因为收敛于是也有了极限的概念。同时也可以引入基本列的概念了。这里因为完备性的问题会出现这样的结果：收敛列必定是基本列，但是基本列未必在空间内收敛。例子：有理数基本列在有理数域内不一定有极限——特别是那些收敛到无理数的。于是可见引入完备化的意义：每个基本列就是收敛列。巴拿赫不动点定理（压缩映像原理）设$(X,p)$是一个完备距离空间，$T$为$(X,p)$到其自身的一个压缩映射，则在$X$中存在唯一的$T$的不动点。压缩映射一定连续：这个可以用定义证明。所以不连续映射绝对不是压缩映像。完备化每一个度量空间有一个完备化空间，且其完备化空间在等距同构的意义下是唯一的。稠密性：直观上就是一个逼近与嵌入的感觉，实际上就是一个逼近，该集合中任意元素按距离逼近全集中的元素。列紧集豪斯托夫定理（完全有界与列紧性质）设$(X,p)$是距离空间，$M{\subset}X$。若$M$在$X$中列紧，则$M$完全有界。若$X$是完备空间，$M$完全有界，则$M$列紧。$Arzela-Ascoli$定理（列紧的充要条件）连续函数空间上列紧集的刻画：集合$F{\subset}C(M)$是一个列紧集的充要条件是：$F$一致有界与$F$等度连续。其中$C(M)$表示$M$上一切实值连续函数全体。紧的概念是很有用的，例如我们看到列紧空间必然是完备空间，对于某些性质来讲，紧致深层次刻画了有界这个概念。而且自列紧的概念则和有界闭集相关，而我们知道闭集是一个收敛点的逼近问题，而这个和完备又极为相似。在局部上可以讲列紧，而在全体上我们讲的是紧集（开覆盖有有限子覆盖）引入列紧？实际上讲，我们为什么要引入紧、列紧、子列紧的概念？为了将连续函数的一些好的性质推广到一般的空间上去。为什么要推广呢？其实一般的度量空间和实数直线空间有很大差别，比如实数直线的闭区间天然的列紧，稠密，有界，完全有界，也是紧的，但是一般的度量空间，其元素千差万别，因此必须给出相应的约束条件来定义那些集合类似实数直线的闭区间。其实问题在于一般的度量空间中：列紧和紧是等价的，但是不再和有界闭集等价（无穷维巴拿赫空间内的单位闭球）。一般的拓扑空间中：列紧和紧也不等价了，而且对有界这个概念也没有了定义。（列紧和有界闭是基于度量的概念，而紧集是拓扑概念）。这些好的性质有：有界性质，最值可取性质、介值定理、连续等价于一致连续性。举个反例：考虑有界闭集$Q{\cap}[0,2]$，距离定义为$d(p,q)=|p-q|$。函数$f$定义为$$ f(x)=\begin{cases}0,x{\in}[0,\sqrt{2})\\1,x{\in}(\sqrt{2},2]\end{cases} $$则这个函数是连续的，但是非一致连续。(汪林的《泛函分析中的反例》)这就是因为虽然是有界闭，但是在这个空间内减弱了性质，需要紧才能保证其一致连续性。（1）先从$R$推广到$R^n$，由于任何有限维赋范线性空间都与同维数的$R^n$代数同构、拓扑同胚，也相当于推广到任意有限维赋范线性空间。（2）推广到无穷维巴拿赫空间，或者一般距离空间。这时候因为空间条件降低了，只有“有界和闭”是不够用的，需要加强的条件，就引出了自列紧的概念。（而在距离空间中，自列紧和列紧是一样的）其实，自列紧的定义就是任意无穷点列都有收敛子列(列紧)，且子列的极限点在集合中(闭)，而这也是保证连续映射具有那些好的性质所需要的根本条件。为什么在有限维赋范线性空间，"有界+闭"就能够用（有界等价于列紧），也是因为它已经能保证任意无穷点列都有收敛子列，且子列的极限在集合中。进一步，列紧在拓扑空间是不能这么说的，因为拓扑空间里有的结构是拓扑结构，只有开集邻域语言。好在，距离空间中自列紧，也有另一种等价描述：任意的开覆盖都存在子覆盖(紧集)。这种描述才是紧集根本的，拓扑空间也适用，于是就推广…