从点列收敛问题看泛函分析的内容二
从点列收敛问题看泛函分析的内容接着上一次没讲完的地方继续1.收敛的通用表达（4）函数列的p方平均收敛就是赋范线性空间 $L^p[E,u]$上的函数列按照范数收敛，这时的距离就是两个函数的差的范数，也就是下面定义的距离：$$ p(f_n(x),f(x))=\|f_n(x)-f(x)\|_p=(\int_E|f_n(x)-f(x)|^pdu)^{\frac{1}{p}} $$上面这个距离的定义是满足距离的非负性，三角不等式等条件的，所以平均收敛只要记住这个距离定义就可以记住$p$方收敛的含义了。这种函数列收敛的空间是$L^p[E,u]$，这是一个赋范线性空间，范数定义见上面。（5）函数列以测度收敛我们给出以测度收敛的定义：设$(X,R,\mu)$是测度空间，$E{\subset}X$，$\left\{f_n(x)\right\}$是$E$上的一列可测函数。假如有一个有限的函数$f(x)$，它和$\left\{f_n(x)\right\}$满足下面的关系：对任何$\varepsilon>0$以及任何$\delta>0$，存在（只依赖于$\varepsilon$和$\delta$的）自然数$N$，使得当$n{\ge}N$时，成立着$\mu(E(|f_n-f|>\varepsilon))<\delta$，就称$\left\{f_n(x)\right\}$（在$E$上）以测度$\mu$收敛于$f(x)$。现在设$\mu(E)<\infty$，我们建立一个度量空间$S$，它是实值或者复值可测函数全体，规定$E$上几乎处处相等的两个函数是同一个函数，距离具体定义如下：$$ p(f,g)=\int_E\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}d{\mu} $$由于$\mu(E)<\infty$，可以验证上面定义的距离有确定的意义，而且满足距离的条件。于是这个度量空间$(S,p)$建立起来了。显然我们有$$ \frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}{\le}|f_n(x)-f(x)| $$故对于${\forall}\sigma>0,{\forall}\varepsilon>0$，如果有$$ \frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}{\ge}\sigma $$则必有$|f_n(x)-f(x)|>\sigma$，故有下面的集合关系$$ E(\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}>\sigma){\subset}E(|f_n(x)-f(x)|>\sigma) $$因此有$$ \mu(E(\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}>\sigma)){\le}\mu(E(|f_n(x)-f(x)|>\sigma)) $$因此当$\mu(E|f_n(x)-f(x)|>\sigma)<\varepsilon$时，必有$$ \mu(E(\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}>\sigma))<\varepsilon $$由于$\left\{f_n(x)\right\}$以测度$\mu$收敛于$f(x)$，故可知$\left\{\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}\right\}$以测度$\mu$收敛于0。又因为$$ \frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}{\le}1 $$由积分控制收敛定理可以知道：$$ \lim_{n{\to}\infty}\int_E\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}=0 $$也就是$p(f_n,f){\to}0(n{\to}\infty)$，这就表明只要$\mu(E)<\infty$，函数列如果以测度收敛，那么必然就按照上面定义的距离收敛；反过来如果函数列按照上面的距离收敛，就有$$ p(f_n,f){\ge}\int_{E(|f_n-f|{\ge}\sigma)}\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}d{\mu}{\ge}\int_{E(|f_n-f|{\ge}\sigma)}\frac{\sigma}{1+\sigma}d{\mu}=\frac{\sigma}{1+\sigma}\mu(E(|f_n-f|{\ge}\sigma)) $$显然，当$n{\to}\infty$时，$p(f_n,f){\to}0$，那么$\mu(E(|f_n-f|{\ge}\sigma)){\to}0$，也就是函数列以测度收敛。这说明函数列按上面定义的距离收敛，那么就以测度收敛。这样一来，我们可以看到以测度收敛和按照上面定义的距离收敛可以互相推导，因此以测度收敛也可以转换到度量空间的以距离收敛来理解。我们为什么按照上面定义距离呢？如果距离通过$p(f,g)=\|f-g\|_p$定义，会怎么样？上面的证明过程已经看出来，只要$\left\{f_n(x)\right\}$在$E$上$p$方平均收敛于$f(x)$，那么该函数列必然在$E$上以测度收敛于$f(x)$。但是反过来不行，这有两个原因：（1）需要满足条件$\mu(E)<\infty$，否则在$E$上求积分可能无意义，也即$\int_E|f_n-f|^pd{\mu}$不存在。如果要求$E$的测度是$\sigma$有限的，那么也无法确定上面的积分是否存在，因此必须给出$E$的测度是有限的；（2）$|f_n-f|^p$的积分是否收敛无法确定，因为无法使用控制收敛定理等，但是我们前面定义的度量空间的距离恰好小于等于1，故可用控制收敛定理，因此$p$平均收敛则一定以测度收敛，反过来不行。也就是二者不等价。这种函数列收敛的空间是$L(R,E,\mu)$或者是$(R(X),p(f,g))$，距离定义见上述。（6）几种函数列收敛的关系我们看到处处收敛无法转化为度量空间的以距离收敛，那么能用以距离收敛的函数列必然和函数列的处处收敛互相转化描述。这样看来：均匀收敛，$p$方平均收敛和以测度收敛都可以用度量空间的以距离收敛描述，唯独处处收敛不可以。我们很容易发现均匀收敛一定$p$方平均收敛和以测度收敛，$p$方平均收敛一定可以测度收敛，反之都不可以，由此我们得出一个收敛强弱关系：均匀收敛$>p$方平均收敛$>$以测度收敛我们都把它们放到到度量空间来描述，会发现它们的距离定义，当根据距离收敛时候，对函数的要求越来越弱：$$ p_1(f_n(x),f(x))=\max_{x{\in}[a,b]}|f_n(x)-f(x)|{\to}0（均匀收敛） $$$$ p_2(f_n(x),f(x))=(\int_E|f_n(x)-f(x)|^pd{\mu})^{\frac{1}{p}}{\to}0(p{\ge}1,p方收敛) $$$$ p_3(f_n(x),f(x))=\int_E\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}d{\mu}{\to}0（以测度收敛） $$可以明显的看出第一个距离定义要求条件最强，最后一个最弱，因为最后这个距离定义中积分里面这个分式本身蕴含更多的已知信息，自然对函数列和极限之间的关系要求就低了，因此属于上一个收敛就必然属于下一个，但是反过来不行，这是我们直观分析。从距离公式更容易看出它们有不等式关系，即$p_3(f_n,f){\le}p_2(f_n,f){\le}p_1(f_n,f)$，此处略去常数$\mu(E)$。注意我们此处讲的"处处"指的是"几乎处处"。处处收敛对函数列要求使用的函数信息太多以至于使用一个实数距离根本无法描述，因此才放在拓扑空间里面，定义拓扑来描述，具体就是定义环境基来描述。既然处处收敛要求函数信息最多，那么均匀收敛和$p$方平均收敛应该处处收敛，显然反过来不可以，但是它和以测度收敛什么关系呢？它们之间很显然不能互相推出，原因是以测度收敛只是关注测度，没有直接讲函数列收敛，也就是以测度收敛和函数列收敛只是间接关系，而且以测度收敛可以用度量空间的以距离收敛描述，因此它们之间不可能互相推出。它们之间具体关系在实变函数中有详细的说明，那就是：（1）函数列处处收敛，只要$\mu(E)<\infty$，也就是测度有限的，那么必然在$E$上以测度收敛。（2）如果在$E$上以测度收敛，那么必然有子函数列在$E$上几乎处处收敛。第一种情况直观上是容易看出来的，因为处处也就是每一个点收敛，包含它的集合的测度也应该越来越小，除非$\mu(E)<\infty$不成立，第二种情况，我们只要在不可列点函数列不收敛，但是包含该点的集合越来越小，也就是L测度收敛即可，这实际上是存在的。（7）有界线性算子序列的一致收敛，强收敛，弱收敛上面谈到的几种收敛都是函数列的收敛问题，也可以看作度量空间或者赋范空间中的点列收敛问题，我们现在谈有界线性算子序列的收敛问题，对应的就是函数列的收敛问题，当然也可以看作是有界线性算子空间中的点列收敛问题，这对应的就是度量空间的点列收敛问题。我们下面主要将它和函数列收敛对照看。下面给出有界线性算子序列的一致收敛的定义（1）一致收敛（以范数收敛）设$X,Y$都是赋范线性空间，如果$A_n,A{\in}\mathfrak{B}(X{\to}Y)(n=1,2,{\cdots})$，而且有$\|A_n-A\|{\to}0$，称序列$\left\{A_n\right\}$是按算子范数收敛于$A$，或者称为一致收敛于$A$。上面有界线性算子序列收敛和一般微积分中的函数列收敛非常相似，如果$X$中每一点作归一化处理，将有界线性算子列$\left\{A_n\right\}$和$A$看作是空间$\mathfrak{B}(X{\to}Y)$的元素，现在在这个空间中定义距离：$$ p(A_n,A)=\sup_{x{\in}X}\|A_nx-Ax\| $$当这个距离趋于0时就是有界线性算子列的一致收敛。我们不从空间的角度看收敛的话，那么函数列和有界线性算子列收敛具有很大区别，第一个区别是前者是$E^1{\to}E^1$的映射，后者是两个赋范空间的映射$X{\to}Y$。第二个区别是$f_n,f$是实数域上的函数，大多数不是线性的，线性的只是 $f(x)=ax$这么个简单函数，而后者是有界线性函数，因此区别巨大。但是从空间的角度上看，它们具有形式上完全一致的优美。这种有界线性算子一致收敛或者按范数收敛的赋范线性空间是$(\mathfrak{B}(X{\to}Y),\|{\cdot}\|)$，其中范数的定义是算子范数。当然距离定义就是两个算子差的范数。（2）强收敛在上面相同的符号标记意义下，如果对每一个$x{\in}X$，如果有下面的公式成立$$ \|(A_n-A)x\|{\to}0 $$就称算子序列$\left\{A_n\right\}$强收敛于$A$。这种强收敛和函数列的处处收敛类似，因此，我们无法在有界线性算子集合中定义范数或者距离来描述这种收敛，特别注意$\|(A_n-A)x\|$不能作为有界线性算子集合中的距离定义空间的，至于原因是因为这个范数值随着$x$的不同而不同，因此无法描述两个算子之间的关系。那么是不是也要仿照函数列处处收敛那样定义拓扑结构来描述呢？这种类比方便我们记忆算子的强收敛的定义，也有助于我们怎样考察这个收敛。这个类比中，一个需要注意的问题是函数列收敛是不可以写为$|(f_n-f)x|{\to}0$，因为这两个函数一般不是线性函数，当然如果是线性函数是可以的。另外强收敛定义中一个要注意的问题就是$A_n,A$都属于$\mathfrak{B}(X{\to}Y)$，，也就是我们考察收敛性是在同一个算子空间中考察的，就是有界线性算子空间考察。我们知道强收敛的定义其实是确定一个有界线性算子序列是否处处收敛一个有界线性算子。对于一个有界线性算子序列，除了定义以外，我们也可以考虑使用共鸣定理来考查一个算子序列是否能够强收敛一个算子。一个容易混淆的事实是${\forall}x,\left\{A_nx\right\}$收敛，以及${\forall}x,\left\{A_nx\right\}$收敛于$Ax$是两个不同的概念。前者是$Y$中的点列收敛于$Y$中的一个点，后者是对任何元素，算子映射后的点列收敛于同一个算子对于该元素映射后的点。它的区别就是算子序列对任何一个元素映射后的点一个没有讨论规律性，一个讨论了规律性，也就是用一个确定的算子进行描述。（3）弱收敛记号保持上面的不变。对${\forall}x{\in}X$以及${\forall}f{\in}Y^*,f(A_nx){\to}f(Ax)$，记为$A_n\stackrel{W}{\to}A$。我们记住这个定义是对$X$中任意元素和$Y^*$中任何有界线性算子都收敛。现在怎样在有界线性算子中定义拓扑来描述这种弱收敛呢？的确需要好好考虑，定义范数或者距离是无法描述这种收敛了，我们还发现这种弱收敛在微积分的函数列收敛中找不到原型，这是因为函数列处处收敛中，在每一个点的函数列值和极限值都是实数，因此其线性算子就是最多乘以一个实数，没有任何意义，而弱收敛之所以存在就是因为有界线性算子的像空间是一般的赋范线性空间，故存在共轭空间。另外，我们很容易看到，强收敛必弱收敛，这是因为有界线性算子必然连续，而强收敛其实就是像空间点列收敛。算子的弱收敛不仅仅是算子列对$X$中的元素处处收敛，而且对$Y^*$中的元素也是处处收敛，两个处处收敛，不过看着复杂，因为$Y^*$中的元素是有界线性算子，故强收敛必然弱收敛，而定义弱收敛的原因就是，弱收敛可以存在，但是弱收敛不一定强收敛，强收敛不一定一致收敛，因此其存在意义就是考查一个算子序列，它不一致收敛，但是可能强收敛，它不强收敛但是可能弱收敛。（8）赋范线性空间的点列强收敛和弱收敛这个概念其实挺奇怪的，我们看点列强收敛和弱收敛的概念。设$X$是赋范线性空间，点列$\left\{x_n\right\}{\subset}X,x_0{\in}X$，如果$\|x_n-x_0\|{\to}0$时，称$\left\{x_n\right\}$强收敛于$x_0$，如果对于${\forall}f{\in}X^*,f(x_n){\to}f(x_0)$，称$\left\{x_n\right\}$弱收敛于$x_0$。我们看上面的强收敛的概念，其实就是赋范线性空间中的点列依范数收敛的概念，现在又重新给个新的名称：强收敛，这实在是无趣，那么点列的弱收敛很有意思了。我们定义一个泛函的集合$\overline{X}$，对泛函$\overline{x}$定义具体是：$\overline{x}:f{\to}f(x),f{\in}Y^*$，那么$\overline{x}(f)=f(x)$，而$\left\{\overline{x}_n\right\}$收敛于$\left\{\overline{x}_0\right\}$，就是在$Y^*$中处处收敛，因此这个弱收敛实质是处处收敛。那么这个点列的强收敛的定义没有任何意义吗？其实我们观察有界线性算子强收敛的定义，我们看$\|(A_n-A)x\|{\to}0$，其实就是$Y$中的点列按范数收敛，因此干脆我们借用算子强收敛的概念也就是点列强收敛了，这大概为了保持名称的一致性，也就是同样一个点列的收敛，从算子角度看是算子强收敛，从像空间的元素看，就是点列的强收敛。注意这里面的点列强收敛仅仅是点列按范数收敛，而算子的强收敛要求对任意一个元素，经过算子序列映射以后都强收敛，算子序列才能说是强收敛，也就是处处收敛。同样弱收敛也是一回事。（9）泛函序列的强收敛和弱$*$收敛泛函序列的强收敛就是有界线性算子的一致收敛，而算子的强收敛和弱收敛都相等于泛函的弱$*$收敛。泛函的强收敛和弱$*$ 收敛是有界线性算子强收敛和弱$*$收敛的特例，因为泛函和一般有界线性算子的区别就是像空间是一维实数空间，因此有界线性算子的强收敛和弱收敛对应的就是泛函的弱$*$收敛。具体假设$f_n,f$都是泛函，那么由有界线性算子的强收敛定义可知$\|(f_n-f)x\|=|f_n(x)-f(x)|{\to}0$，因为泛函的值为实数，因此可以看到算子的强收敛对应的就是泛函的弱$*$收敛。既然算子的强收敛对应的是泛函的弱$*$收敛，那么泛函的强收敛只能是算子的一致收敛对应了。这样一来泛函序列的强收敛可以看作下面空间的点列收敛：$(\mathfrak{B}(X{\to}E^1),\|{\cdot}\|)$，而弱$*$收敛就是在$X$中处处收敛了，因此无法定义距离来描述。（10）收敛问题总结我们看出来，几乎所有的收敛问题都可以归为度量空间的点列以距离收敛问题，而微积分学习的实数列收敛或者函数列收敛，以及实变函数的以测度收敛和泛函分析中的算子序列收敛等等仅仅是其中的特列而已。对大多数收敛的定义，我们仅仅需要记住的是它讨论的收敛属于哪个空间以及这个空间的距离如何定义的即可。从这一点，我们应该充分认识到了，泛函分析目的就是建立空间的概念，将微积分和实变函数等等讨论的分析问题统一到泛函分析的空间里面来研究。当然对于处处收敛以及算子的弱收敛等等都属于拓扑空间的收敛问题，需要构造拓扑来描述这些收敛问题。如果要最通用的描述收敛问题，那就是所有的收敛问题都可以归结为拓扑空间的点列收敛问题，而赋范线性空间的点列收敛问题只是拓扑空间中点列收敛的特列。2.收敛问题研究的目的高等数学中有关集合的各种开集，闭集等等概念，极限和积分微分的概念，级数展开的概念，线性代数的向量，线性变换以及特征值的概念等等都要推广到泛函分析的空间中并成为其一个特列。这些内容归一到空间中研究，具体只有两个方面的研究，一个是空间中点之间关系的研究，一个就是空间上映射的研究，也就是所有的问题分析都从这两个方面考虑，更进一步精确的说是研究由点组成的空间结构，研究空间上映射的结构。终极目的就是简化问题，即将复杂的分析问题简单化，标准化，统一化。（1）空间结构研究的需要我们看空间的结构就是空间里面点与点之间的关系。点与点的关系具有哪些基本研究内容呢？我们看空间中集合的概念，也就是将空间中的一些点进行归类，比如开集，闭集，致密集，稠密集，集合的完备性，线性子空间，特征子空间，不变子空间等等这些集合的概念就是将空间中点进行归类，归类就是一种关系的研究，实质上归类就是研究哪些点具有共同的特征，不同类的点具有哪些不同的特征。归类了，空间的点和其它点之间有了明显的区别和联系，比如一个点的领域或者环境，就体现了这些领域内的点和领域外的点与该点之间的亲疏关系，这样一来其它点和该点既有区别，也有联系，如果对于一点$x_0$，使用$O(x_0,r)$来描述$x_0$点的环境，那么这些空间的点与$x_0$的远近亲疏甚至可以定量化了，不像普通的集合那样所有的点之间没有任何关系。既然研究点之间的关系，那就有静态关系和动态关系。静态关系实质就是两个点之间的关系，这是比较容易确定而且明确的，比如两个点之间的距离，一个点是否属于几个集合，两个集合之间的交集或者距离关系等等；而动态关系就是无数多个点之间的关系，这就涉及到不停的变化的关系，怎样描述这种变化关系呢？比如基本序列就是一种动态关系，我们都知道使用序列收敛于极限来描述这种动态关系，实质上极限的定义体现的就是这样一种关系，也就是一个点列趋于某一个点，也就是通过极限将这种动态关系和静态关系统一起来，预示动态变化的终极状态，即体现了基本点列的极端状态，使用极限描述就是统领这种基本点列的发展规律性，尤其是我们对空间一点无法把握的时候，我们可以使用动态关系来近似描述和认识该点，也就是逼近它，这是基本的思路，这就体现了静态关系依靠动态关系的逼近来描述，比如迭代求解方程等。空间中集合的考察几乎离不开这种动态关系的描述，比如开集，闭集，致密集，稠密集，完备性都需要依靠这种动态关系才能完整准确的描述。比如闭集就是该集合中所有点列的极限点都在该集合中，开集就是所有的点都是内点，内点的定义就是集合中该点的任何一个领域都包含在该集合中。至于致密集，稠密集和完备性等等几乎都依靠关于极限的这种点列动态关系描述集合的性质。对空间结构的研究就是便于操控，这种操控的术语就是映射，即将一个点按照一定规则映射到另外一个点，这种映射对有结构的一些点映射以后得到的点有什么规律呢？其实我们能够自动知道映射以后得到的点的结构，这样就做到了预测，节省了对映射以后点的结构研究，这就需要对映射的结构进行研究了。（2）空间上映射结构研究的需要空间上映射结构的研究就是映射的特点，第一个特点就是映射的连续性，也就是研究映射是否连续，如果连续，那么就有完备空间中点列收敛和连续映射之间的符号次序可以互换。这就是收敛点列的映射极限等于点列极限的映射。研究空间结构中的点列收敛性的意义就体现出来了，这个特点很有使用价值，这在积分极限定理和共鸣定理等等几乎处处得到充分应用；第二个特点就是映射的同构性，也就是两个空间通过一个映射同构，我们通过研究一个空间的性质，就能自动得到另外一个空间的性质。例如同构映射(连续映射)将闭集映射成闭集，将开集映射为开集，这就实现了通过映射的特点将一组有结构的点映射到另外一组有结构的点，我们仅仅知道原像点和连续映射就能预测像空间的结构；第三个特点就是有界线性算子，可以通过谱分析完全把握，也就是只要是Banach空间上的有界线性算子，那么我们就可以得出一系列的线性算子的结构特点，尤其是特征值点谱，就将线性算子通过几个有限的复数完全表达出来，实现同一个空间中点的映射简化，谱分析将复杂的映射问题可视化，几个复数就体现出来。我们发现映射的结构特点分析都需要原像空间的结构特点相配合才能对像空间进行预测和把握。事实上人类的一切苦恼都是由于无法准确预测未来造成的，如果解决了预测问题，人类就没有任何烦恼了，人类科学研究正式通过研究空间结构，建立空间映射模型来预测，认识进而把握未知世界，那么泛函分析，甚至整个数学的研究都是这个目的。
从点列收敛问题看泛函分析的内容一
从点列收敛问题看泛函分析的内容在微积分、实变函数和泛函分析中，有大量涉及到收敛问题的讨论，十分有必要进行总结，否则会将各种收敛的概念，定理交织在一起，难以搞清楚它们到底有什么区别，最后的目的是什么。下面我们先讨论各种收敛的概念并进行比较，主要从他们的本质特征出发进行讨论，然后讨论收敛的意义和作用，进而概括一下泛函分析研究的主要内容。1.收敛的通用表达学习完泛函分析以后，只要看到收敛，首先要考虑的不是函数列或者数列，而是首先想到空间的概念，然后考虑空间的点特征属性，将所有的收敛问题，统统放到空间的概念里面考察。具体说，首先是分析点列中点的属性，收敛具体的含义，然后需要确定的是：（1）什么空间的收敛问题：具体的空间有测度空间，度量空间，赋范线性空间，Banach空间，内积空间，希尔伯特空间，拓扑空间等等；度量空间为一般普遍空间，需要首先分析其距离的定义。（2）这个空间的距离定义问题：如果是一般的度量空间，就需要立刻弄明白怎样定义距离才能保证具体问题的收敛和依距离收敛相一致，如果是赋范线性空间以及其它特殊赋范线性空间，就要立刻弄清楚怎样定义范数，事实上赋范线性空间的距离可以通过范数计算出来，因此可以统一的说成空间的距离怎样定义。（3）将具体的收敛问题转化为空间的点列按照距离收敛问题。所谓按照距离收敛，就是一个点列和一个点的距离趋于零。一般度量空间的点列收敛最具有普遍性，因此我们将收敛的严格定义摘抄一下：设$R$为一个度量空间，$x_n,x{\in}R(n=1,2,{\cdots})$，当$n{\to}\infty$时，数列$p(x_n,x){\to}0$，就说点列$\left\{x_n\right\}$以距离$p(x,y)$收敛于$x$，记作$x_n{\to}x$，或者$\lim_{n{\to}\infty}x_n=x$，这个时候称$\left\{x_n\right\}$为收敛点列，$x$为$\left\{x_n\right\}$的极限。这个定义的关键是要找到$\left\{x_n\right\}$和$x$的距离公式。只需要把握住上述三个步骤，就不会被各种各样的收敛说法搞晕头。我们下面看一些具体的收敛问题。（1）实数点列的收敛问题具体表达为实数点列$\left\{x_n\right\}$收敛于实数点$x$，按照上面的步骤分析，此处点列和收敛的点都是实数，这是它们共同的特征，因此他们属于一维实数空间，这是最简单的度量空间，而这个空间的距离定义就是$p(x_n,x)=|x_n-x|$，也即两个实数的绝对值大小，这和实数列收敛相一致。我们只要套用度量空间点列收敛定义立刻就可以写出实数点列$\left\{x_n\right\}$收敛于实数点$x$的具体定义，其实就是将$p(x_n,x)$换成$|x_n-x|$即可，也就是将距离公式具体取为绝对值。这是微积分课程中最基本的点列收敛问题，很容易接受，因为和生活最为相关。我们分别用微积分中的实数列收敛定义和上面的度量空间的点列收敛定义相比较就一目了然了。这种收敛所在的空间是$(E^1,|x-y|)$。（2）连续函数列一致收敛(均匀收敛)这是微积分初学者接触到的又一个函数收敛问题，这种收敛的具体定义如下：设连续函数列$\left\{f_n(x)\right\}$和连续函数$f(x)$都定义在一个闭区间$[a,b]$上，如果对于任意$\varepsilon>0$，总存在一个自然数$N$，使得对于任何自然数$n_0(n_0{\ge}N)$和该闭区间任意一个$x_0$，都有下面式子成立：$$ |f_{n_0}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon $$这种定义如果仔细分析一下还是能够理解的，问题是会很快忘记。一直很难将函数列一致收敛和逐点收敛区分开来。现在我们使用上面的方法来分析这种收敛。首先将函数列和收敛的函数看作一个点，由于是连续函数，立刻可以确定是全体连续函数构成的空间，这时需要定义空间的距离，由于对于${\forall}x_0$，都有$|f_{n_0}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon$，显然可以这么定义距离$p(f_n(x),f(x))=\max_{x{\in}[a,b]}|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$，因为这样定义的距离和上面一致连续定义的等价，而这个距离定义可以由$\|f(x)\|_{\infty}=\max_{x{\in}[a,b]}|f(x)|$导出，于是该函数列收敛问题归纳为$(C[a,b],\|{\cdot}\|_{\infty})$赋范线性空间点列的收敛问题，这一下子就彻底理解了，和上面度量空间的点列收敛定义一样，就是点列和收敛点之间的按照范数定义的距离趋于无穷小。很显然只要记住空间的距离定义，那么点列收敛，函数列一致收敛就变得极其自然和容易理解了。我们很容易分析这种理解变得简洁，统一和标准化的原因就是考虑收敛问题的时候，将复杂的函数列收敛定义封装到距离的定义上面，使得问题一下子从宏观上变得清晰了。在赋范线性空间里面的这种以距离收敛，我们称之为以范数收敛(强收敛) 。我们这里举出一个不一致收敛的例子，也就是$f_n(x)=x^n$在$[0,1]$上不一致收敛于任何函数。其实从$C[a,b]$赋范线性空间上考虑，点列$\left\{f_n(x)\right\}$在该空间根本就不是基本点列，自然不会收敛了，根据度量空间基本点列的定义，这种定义当然和点列收敛定义一致，而且也是简洁，明晰的。可见基本点列定义很有用，因为当我们不知道它是否收敛的时候，我们可以使用基本点列的定义来判断。当然不是连续函数列也可以转化为空间点列的一致收敛问题，只不过这个空间不是连续函数空间，而是一般函数空间了。这种收敛所在的空间是$(C[a,b],\|{\cdot}\|_{\infty})$。（3）函数列的逐点收敛逐点收敛就是函数列取定某一个区间内的点得到的函数值数列都收敛，也就是对于${\forall}x_0$都有$f_n(x_0){\to}f(x_0)$，所有的这些收敛的点作为因变量就构成一个函数，就是函数列逐点收敛于该函数，估计所有微积分的初学者对这个概念都完全理解和接受，因为本质上就是实数列收敛，只不过可以看成一个实数列的集合收敛于一个实数集，而实数列用一个函数列表达出来，实数集用一个函数表达出来而已。但是一个问题来了，我们怎样才能将这种逐点收敛也归于一个空间的点列，然后使用距离来描述这种收敛，以达到标准，统一和简洁的效果呢？这个问题的本质完全取决于如何定义距离，使得基于定义距离的收敛和所有基于函数值绝对值的逐点收敛等同，只要找到这个距离定义就可以了。我们先给出逐点收敛的一般定义：设$X$是一个集合，$R(X)$表示$X$上的实函数全体。又设$\left\{f_n\right\}{\subset}R(X),f{\in}R(x)$，如果对${\forall}x{\in}X$，有$\lim_{x{\to}\infty}f_n(x)=f(x)$，那么称函数列$\left\{f_n\right\}$在$X$上处处（逐点）收敛于$f$。现在我们可以分两种情况讨论，一种情况是 $f_n(x)$的定义域是可数集合，当然可以是有限集合，也即是$X=\left\{x_n|n=1,2,3,{\cdots}\right\}$，这个时候，我们将$f_n(x)$看做空间$R(X)$中的点，那么距离定义如下：$$ p(f_n(x),f(x))=\sum^{\infty}_{i=1}\frac{1}{2^i} \frac{|f_n(x_i)-f(x_i)|}{1+|f_n(x_i)-f(x_i)|} $$我们很容易验证上面的定义的距离和逐点收敛中所有点函数值数列收敛是保持一致的：假设对任意一个正数$\varepsilon<\frac{1}{2}$，在点$x_i$上满足$|f_n(x_i)-f(x_i)|<\varepsilon$，则有$$ p(f_n(x),f(x))<\lim_{n{\to}\infty}(1-\frac{1}{2^n})\varepsilon=\varepsilon $$同样若有$p(f_n(x),f(x))<\varepsilon$，则根据定义的距离公式，对于$$ {\forall}x_i,|(f_n(x_i),f(x_i)|<\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}<2\varepsilon $$由此立刻明白，这种定义域为可列集的函数列$\left\{f_n(x)\right\}$ 逐点收敛问题的确可以转化为依据以上距离的度量空间的点列收敛来研究。这也称为以坐标收敛。第二种情况是当$X$不是可数集，即对于一般的实数区间，就无法定义 $R(X)$中的距离$p(f_n,f)$，使得$\left\{f_n\right\}$在$X$上处处收敛于$f$等价于$p(f_n,f){\to}0$。这个证明的基本思想是假如存在某个距离定义可以描述任何函数列处处收敛一个函数，记这个距离为$p(f,g)$，那么构建非连续函数列$$ \varphi_k(x)=\begin{cases}1,x=r_1,{\cdots},r_n\\0,x{\neq}r_i(i=1,2,{\cdots},n)\end{cases} $$其中$r_i$是全体有理点。处处收敛于Dirichlet函数，显然可以用$p(\varphi_k,D){\to}0$来描述这种收敛；接着寻找连续函数列$f_{k,n}(x)$处处收敛于$\varphi_k(x)$，这样的连续函数显然存在，因此我们一样可以用$p(f_{k,n},\varphi_k){\to}0$来描述这种收敛，于是显然有$p(f_{n,k}(x),D){\to}0$，也即连续函数收敛于Dirichlet函数，而这是不可能的。主要是如果可以收敛的话，那么就存在无理数全体可以用可列个闭集的和来表示，也就是可列集，这当然和无理数不可列矛盾。故对于定义域不是可列集时，是无法使用距离来描述收敛的，也就是不能转化为度量空间的点列考察收敛性。注意第一种情况定义的距离只能用来描述定义域是可列集的函数列收敛，此处的 $f_{k,n}(x),\varphi_k(x),D$三个函数的定义域都不是可列集。通过这个特例也说明了度量空间定义的距离解决不了一类点列的特殊收敛问题，也就是这种函数列的处处收敛问题，于是要拓展空间的概念，这个概念必须将度量空间作为拓展后的空间特例，也就是概念扩展以后要兼容拓展前的概念，于是引入了拓扑空间的概念，这个概念引入以后，给出了拓扑收敛的概念，函数列的处处收敛就是用拓扑空间的拓扑收敛来描述，而函数列就是拓扑空间的一个点列。这样就将函数的处处收敛也纳入到了空间的点列收敛的大概念里面去了，实现了收敛问题的统一化，标准化和简洁化。事实上拓扑空间概念的提出扩大的研究范围。设$(S,\mathfrak{E})$是一个拓扑空间，$x_n$是$S$中的点列，$x{\in}S$，如果对于$x$的任何环境$O$,有自然数$N$，使得当$n{\ge}N$时，$x_n{\in}O$，则称$x_n$按照拓扑$\mathfrak{E}$收敛于$x$，我们将这种收敛记为$x_n\stackrel{\mathfrak{E}}{\to}x$，有时略写为$x_n{\to}x$，这就是拓扑收敛，简单来说：就是极限点的任何环境都含有点列中的点。那么点的环境(领域)是什么意思呢？我们都知道度量空间中点的环境定义，拓扑空间中点的环境是从这种环境推广而来的，度量空间中把球$O(x_0,r)$称为点$x_0$的$r-$环境，同时把包含$x_0$的任何开集称为$x_0$的一个环境或者邻域。极限点的概念与拓扑敛在形式上完全一样。目前最大不同就是环境怎样定义的。度量空间中一个点的环境只能根据点与点之间的距离定义，因为开集中的内点就是根据距离定义的，因此度量空间的开集归根结底是由度量空间中的距离定义的。那么拓扑空间中的开集是怎样定义的呢？拓扑空间的定义是：对于一个不空的集合 $S$，将一些$S$中的子集组成一个集类，这个集类中的集合只要满足3个条件就称为是拓扑，同时称这些子集为开集，开集也称为其包含任何一点的环境。空间是有结构的集合，而拓扑定义的这个集类满足3个条件，这就是子集之间有关系，那么点之间也有关系了，因此是可以称为空间了。我们注意的一点是度量空间，赋范空间中点与点之间的关系是通过和一个实数联系起来度量它们之间的关系的，而拓扑空间是通过点与点之间是否属于某一个开集来度量它们之间的关系的，不再通过一个实数来衡量。当然拓扑的概念包含度量空间的概念，即度量空间可以根据距离定义一个拓扑，也就是集类，也就是一些开集的集合。那么拓扑空间中的拓扑和度量空间的距离相比较，提供的概念更为宽泛，因为距离的定义必须满足非负性，三角不等式，条件还是太严格了，而拓扑只是说一些开集的集合组成集类，这些集类的并集和通集还在在这个集类中，这些条件相对宽泛了许多，那么这些开集怎么确定呢？这要具体问题具体分析，给的概念抽象了，那么自然研究的对象范围就扩大了，现在就可以给出一个更具体的拓扑空间，也就是一个集合，如果该集合中所有点的环境基组成的集类就构成一个拓扑，这个意思是明显的，就是这个集类就满足拓扑的三个条件，也即是空集和全集在这个集类中，交集和并集也在这个基类中，其实这也是显然的。那么什么是环境基呢？这个一句话就可以说清楚，那就是点的环境基里面的任何一个环境都包含该点的无穷多个环境，一个形象的例子就是平面上一个点，以它为圆心由很多圆组成一个圆的集合，如果任何一个圆里面都包含这个集合中的一个圆，那么所有的这些圆的集合就称为该点的环境基。其实就是无穷多个同心圆组成的集合，只不过这些同心圆半径要趋于0而已。这种通过环境基建立的拓扑空间最为常用，因此很多性质都是基于这种拓扑空间讨论的。现在我们讨论函数列的逐点收敛就是这种拓扑空间的拓扑收敛。现在我们建立一个函数的环境基，然后再建立拓扑空间。考察集 $R(X)$中的任何一个子集$S$，对于每一个$f{\in}S$，每一个正数$a$和任意有限个$x_1,x_2,{\cdots},x_n{\in}X$，定义$$ U(f;x_1,{\cdots},x_n,a)=\left\{g|g{\in}S,|g(x_v)-f(x_v)|<a,v=1,2,{\cdots},n\right\} $$令$\mathscr{U}(f)=\left\{U(f;x_1,{\cdots}x_n,a)|n{\in}N,x_v{\in}X,a>0\right\}$，那么将$S$看成函数的集合，集合里面的函数$f(x)$看成点，那么定义的$\mathscr{U}(f)$就是点$f(x)$的环境基，这是容易根据环境基的定义验证的。容易得出$S$中所有函数对应的环境基组成的集合就是一个拓扑$\mathfrak{E}$，于是$(S,\mathfrak{E})$就是一个拓扑空间，而函数就是空间的点。我们看看$\mathscr{U}(f)$究竟是什么？仔细分析一下，就是 $S$中和$f(x)$在定义域中任意多个点的函数值绝对值小于任意给定一个正数的所有函数的集合。如果要进一步看明白的话，可以取一个具体函数，然后 取定$x_1$为一个具体值，$a$取定一个正数，满足该条件的函数有很多，然后再取$x_1,x_2$两个具体值，再这样做又得出一系列的函数，这样下去得到的所有函数组成的集合，就会发现它们合在一起形成的环境族满足环境基的概念。现在再转回来看，如果存在函数列$\left\{f_n(x)\right\},f(x)$都属于这个$(S,\mathfrak{E})$空间，我们就会发现$f_n(x)$处处收敛于$f(x)$就是$f_n(x)$以拓扑收敛于$f(x)$。我们只要直观的想一想就可以看到，这样定义的环境基就使得对于每一个$x_0{\in}X$，只要拓扑收敛于$f(x)$，就会有$|f_n(x_0)-f(x_0)|$越来越小。其实这里面理解的关键是$U(f;x_1,a),U(f;x_2,a),U(f;x_1,x_2,a),{\cdots}$，等等这些都是开集，它们是否包含$f$点呢？也就是是否包含$f(x)$，我们容易看到是包含的。如果$a$再取大于0的实数，我们发现这些开集总是存在一系列开集形成一个类似的闭球套，将点$f(x)$套在里面，而且越来越小，类似闭球套定理。现在我们发现函数处处收敛实质上就是定义一系列的开集套套住收敛的点，同时也套住了$\left\{f_n(x)\right\}$中的一些点，使用这个套子衡量函数列的点和收敛点的关系，进而给出收敛定义。我们看度量空间以距离收敛其实也是根据距离的大小生成一系列的开集套子，也是一层层的套住函数列的函数和极限函数，最后实现收敛定义的，那么直观上看为什么函数列处处收敛无法使用度量空间中的距离来定义这些套子呢？课就是度量空间是满足第一可列公里的，而函数列处处收敛不满足第一可列公里。进一步解释的话，就是度量空间中的每一点存在一个可列集作为环境基，而处处收敛函数构建的拓扑空间不存在这种环境基，进一步讲是因为$f(x)$，这个$x$是实数区间，故是不可列的，而定义环境基的时候，要为每一个实数点定义一个对应的环境也就是开集，显然这些环境或者开集当然不可能是可列的了。说到底，一个点列收敛能否放在度量空间里面描述其收敛性，就要看这个极限点和点列中的点之间的关系能否用是有限个实数或者可列个实数来描述，不能的话就只能通过构建拓扑空间，构建极限点的环境基来实现了。一个题外话就是极限点的环境基包含许多环境，只要其中存在一个层层具有包含关系，而且越来越紧的环境套就可以了，当然这个环境套定义的时候要根据具体点列收敛给出的概念描述来进行，越来越紧还是要借助其中的数值来定义。这种函数列收敛的空间是$(R(X),\mathfrak{E})$，拓扑$\mathfrak{E}$定义见上面。
谱分析我们在前面对线性算子的谱概念进行了详细的说明。下面我们针对有界线性算子进行谱分析。也就是确定一个线性算子的谱点或者正则点时，需要满足两个条件：（1）是同一个线性空间上的线性算子；（2）该线性算子是有界的。谱分析主要涉及：有界线性算子的一些谱的确定问题，也包括正则点的确定。谱分析主要告诉我们如何使用复数来简化线性算子，从而认识和了解该线性算子。对于一般线性算子的谱分析，根据定义，即$X$是复的赋范空间，$B$是$X$的线性算子空间$D(B)$到$X$中的线性算子，${\lambda}$是复数。如果$({\lambda}I-B)$是正则算子，那么${\lambda}$是正则点，此处正则算子就是满射且逆算子存在且有界，否则${\lambda}$就是谱点。当然根据定义也可以确定特征值点（不可逆）。下面主要讨论不根据定义对有界线性算子进行谱分析：一般赋范线性空间（一），一般赋范线性空间中的有界线性算子基本记号：$B{\in}\mathfrak{B}(X{\to}X)$，$X$是一般的赋范空间，${\lambda}$是复数。1.正则点确定（1）对于任何$y{\in}X$，方程$({\lambda}I-B)x=y$都有解，并且存在常数$m$使得下面不等式成立：$\|x\|{\le}m\|y\|$。可以简化为$({\lambda}I-B)$满射，并且$\|y\|/\|x\|$都有下确界。（2）如果$X$是有限维空间，并且不存在非零$x{\in}X$，使得$Bx={\lambda}x$，也即${\lambda}$不是特征值，那么${\lambda}$就是正则点。也就说明了在有限维赋范空间，有界线性算子是没有连续谱的。2.谱点确定设$p(t)=\sum^n_{i=0}a_it^i$是$t$的多项式，记$p(B)=\sum^n_{i=0}a_iB^i$。（$B^0=I$），如果又记作$$ p(\sigma(B))=\left\{p({\lambda}|{\lambda}{\in}\sigma(B))\right\} $$则$\sigma(p(B))=p(\sigma(B))$。该公式提供一个确定谱点的方法：就是知道$B$的谱点，我们就可以计算$p(B)$的谱点。反之已知$\sigma(p(B))={\lambda}$，就可以考虑计算$B$的谱点。假设该谱点为$\overline{\lambda}$，则有$p(\overline{\lambda})=\lambda$，解该多项式等式即可知道$B$的谱点。也就说明了：在有限维赋范空间中，这个谱点只能是特征值点，因此就只有特征值点具有这个性质。Banach空间（二），Banach空间上的有界线性算子基本记号：$X$是复的Banach空间，$A{\in}\mathfrak{B}(X{\to}X)$，$$ r=\lim_{n{\to}+\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|} $$此处需要说明这个极限是存在的。此处的线性算子$A$可以看做赋范代数$\mathfrak{B}(X{\to}X)$的元素，特别注意只有$X$是复Banach空间的时，有界线性算子的集合形成的赋范线性空间才能看做Banach代数。另外$r(A)$表示谱半径。注意：如果$X$是有限维赋范空间，自然是Banach空间，因此此时的所有有界线性算子都是Banach空间上算子。都可以用下面的方法进行谱分析。结合有限维空间线性算子没有连续谱，于是对于有限维空间来说，下面的${\lambda}$要么是正则点，要么是特征值点。1.正则点及其范围的确定（1）若${\lambda}$满足$|{\lambda}|>r$，那么${\lambda}$是正则点，而且还有$({\lambda}I-A)^{-1}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{A^n}{{\lambda}^{n+1}}$。而且当$|{\lambda}|>\|A\|$时，有$\|({\lambda}I-A)^{-1}\|{\le}(|\lambda|-\|A\|)^{-1}$。注意需要这个条件的原因是等比数列求和公式要求公比小于1才存在求和公式。注意如果$|{\lambda}|<r$时，这个$\lambda$可能是正则点，或者不是正则点而是谱点。这是要注意的，$|\lambda|>r$只是正则点的充分条件，而不是必要条件。（2）$p(A)$是开集，假设$\lambda_0{\in}p(A)$，记$$ r_{\lambda_0}=\lim_{n{\to}\infty}\sqrt[n]{\|({\lambda_0}I-A)^{-n}\|} $$则满足不等式$|{\lambda}-\lambda_0|<\frac{1}{r_{\lambda_0}}$的$\lambda$是正则点。2.谱点及其范围的确定（1）$\sigma(A)$是闭集，而且如果$\lambda{\in}\sigma(A)$，则$\lambda{\le}r$。这个谱点的性质显然可以从正则点的性质直接推出，因为谱点与正则点的并集是复平面，大于$r$的复数一定是正则点。（2）$\sigma(A){\neq}\varnothing$，而且$r(A)=r$。这就是著名的盖勒范德定理。该定理明确指出$r$一定是某一个谱点的模，而且$A$的谱不为空。这个定理明确给出一个谱点的模的直接计算方法，但是绝对值小于$r$的复数不一定都是谱点，这一点特别要注意。$r$是一个实数，$r(A)=r$，这只是意味着$A$的一个谱点的模为$r$。当然如果这个谱点是实数，则$r$就是$A$的最大谱点。如果是复数，那么虽然知道其模为$r$，但是无法确定具体是哪一个复数。现在我们看一个例子，二维平面上的旋转变换$A$，显然旋转变换是有限维空间上的有界线性算子，因此根据前面的性质$\sigma(A){\neq}\varnothing$，而且没有连续谱，因此必有特征值点。容易知道谱半径就是1，这个很容易计算，因为此时 $\|A^n\|=1$，这也是可以想象的，因为一个线性算子范数的几何意义就是一切方向伸张系数的上确界，显然旋转变换只是旋转，并没有拉伸任何一点，故算子范数为1，当然该算子的任何次方的范数也为1。现在看这个谱点的模是1，但是这个谱点究竟是多少呢？显然只能是$e^{-i\alpha}$。其中$\alpha$是是逆时针旋转的角度。这也就是旋转变换的特征值，也就是一旦确定了$\alpha$，这个旋转变换就确定了，那么对于复平面任何一个点$x+iy$，都有$A(x+iy)=e^{-i\alpha}(x+iy)$，我们展开即得旋转变换的坐标公式：$x'=xcos{\alpha}+isin{\alpha},y=-xsin{\alpha}+iycos{\alpha}$。么这个特征值是怎么计算的？很显然就是根据特征值计算公式$$ |{\lambda}I-\begin{vmatrix} cos{\alpha} & sin{\alpha} \\ -sin{\alpha} & cos{\alpha} \end{vmatrix}|=0 $$我们很容易求出上面的方程，解出$\alpha$的值为$e^{-i\alpha}$，取负号是因为旋转变换，我们看作逆时针旋转的$\alpha$角度，同时我们应该注意，如果在实数域，旋转变换是没有特征值的，另外还有一个有意思的事情，该特征值对应的特征向量空间是整个复平面。现在一个有趣的问题出现了，怎么求三维旋转变换的特征值以及对应的特征向量呢？其实这就归结为怎样使用复数表示三维空间的一个点。可以考虑使用单位基向量的线性组合表示，也就是$x(1,0,0)+iy(0,0,1)$，当然$z$保持不变，这是饶$z$轴的旋转变换。为什么$\sigma(A){\neq}A$？对一般的向量空间来说，可从两个角度看：从代数角度看，任何一个特征多项式方程都有复数解，也就是有特征值，即谱集不为空；从几何角度看，有界线性算子作用在向量空间上如果没有对空间的元素进行拉伸变换，那么必然就发生了旋转变换，而这两个变换都可以求出特征值。对一般Banach空间，有界线性算子可能不存在特征值，但是存在连续谱。例如$C[a,b]$上有界线性算子$Ax=\int^t_ax(t)dt$就没有特征值，而由于它的谱集不为空集，因此它的谱点只能是连续谱。事实上，该算子是广义幂零算子，其谱只含一个谱点，就是0。3.A没有第二类连续谱点因为$A$是有界线性算子，$X$是复Banach空间，故$({\lambda}I-A)^{-1}$必然是有界线性算子，因此$\lambda$不可能是第二类连续谱点。全连续算子基本记号：$X$是复Banach空间，$A$是$X$上的全连续算子（下面讨论的全连续算子默认都是线性的），$\lambda$是复数。1.正则点及其范围的确定（1）如果$({\lambda}I-A)X=X$，那么$\lambda$是正则点。这个条件也就是算子$({\lambda}I-A)$满射；这个定理之所以成立，是因为全连续算子没有除了0之外的连续谱，因此$({\lambda}I-A)$满射必然是正则点，不存在$({\lambda}I-A)^{-1}$无界的问题。（2）$p(A)=p(A^*)$。2.谱点及其范围的确定（1）对于无限维空间，0一定是 $A$的谱点，但不一定是特征值；对有限维空间，当然没有这个问题，因为有限维空间没有连续谱，只有特征值。（2）如果有非零谱点$\lambda$，那么它一定是特征值。上面两条说明了全连续算子没有非零的连续谱，也即$\sigma(A)=0{\cup}\sigma_p(A)$；由此我们可以得出一个结论，那就是谱半径就是特征值的大小，因为没有连续谱，因此谱半径只能是特征值的的模。这对于我们认识一些全连续算子的结构很有帮助。比如求解线性方程组，我们是否可以通过计算$\sqrt[n]{\|A^n\|}$的极限求得特征值，进而给出对应特征向量作为方程组的解呢？（3）$\sigma(A)=\sigma(A^*)$。（4）$\sigma(A)$的极限点只可能为0，也就是$\sigma(A)$是有限集或者可列集，不可能为致密集，稠密集等等。总结无限维复Banach空间的全连续算子，除了零以外，它们没有连续谱点如果有谱点就一定是特征值点。有限维复赋范空间的有界线性算子没有连续谱点，但是一定有特征值点。有限维赋范空间必然是Banach空间。
谱定义我们本节的目的是理解连续谱的定义。于是我们首先要理解正则算子。正则算子设$X,Y$是两个赋范线性空间，设$B$是线性算子，$D(B){\subset}X,R(B){\subset}Y$。如果逆算子$B^{-1}$存在，且$R(B)=Y$且$B^{-1}$是有界线性算子，则称$B$为正则算子。我们记忆一下：设$X,Y$为两个赋范线性空间，设$B$为线性算子，$D(B){\subset}X,R(B)=Y$，若逆算子$B^{-1}$存在且是有界线性算子，则称$B$是正则算子。也即关键信息是：满射，逆算子存在且有界。（反过来思考）显然有$B$为$B^{-1}$从$Y$到$D(B)$的逆算子，那么根据逆算子定理，$B$是否为有界线性算子？这其实是不对的，因为逆算子定理要求其定义域与值域都是Banach空间，但是正则算子的定义中并没有要求是Banach空间。所以逆算子定理条件不满足，$B$不要求一定是有界的也能符合正则算子的定义。但是其逆算子必须是有界线性算子。另外因为线性算子的定义，$D(B)$一定是线性子空间，而不仅仅是$X$的子集。正则点设$X$为复的线性空间，$B$是$X$的线性子空间$D(B)$到$X$中的线性算子，又设${\lambda}$是一个复数，如果$({\lambda}I-B)$是正则算子，即${\lambda}I-B$是$D(B)$到$X$上一对一的线性算子，而且它的逆算子$({\lambda}I-B)^{-1}$是$X$到$X$中的有界线性算子，那么称${\lambda}$是$B$的正则点。首先这个定义告诉我们正则点实际上是一个复数，对应的正则算子是$({\lambda}I-B)$，而不是$B$。另外看到对于正则算子的解释：正则算子是定义域到$X$上的算子，它的逆算子是到$X$中的算子。“上”指的是满射，“中”则指的是可以小于线性空间$X$。这里指出，正则点是要求了$({\lambda}I-B)$是满射，而对于$B$则无要求是满射。对于复数$\lambda$的讨论下面我们考虑一下，对于任何一个复数${\lambda}$，就对应一个线性算子$({\lambda}I-B)$。如果该算子是正则的，则${\lambda}$称之为正则点。如果不是正则算子，那么就有下面几种可能：一，可能$({\lambda}I-B)$不可逆，也就是存在至少一个非零元素$x$，使得$({\lambda}I-B)x=0$，那么这时候线性算子$({\lambda}I-B)$就不存在逆算子，这时的${\lambda}$称之为谱点。也就是特征值点。二，可能$({\lambda}I-B)$可逆，但是不是正则算子，也就是可能$({\lambda}I-B)$不是满射，或者其逆算子不是有界的。总结一下，对于任何一个复数${\lambda}$，对应的线性算子$({\lambda}I-B)$，只能有下面四种情况：（1）$({\lambda}I-B)$不可逆，也即存在非零元素，使得$({\lambda}I-B)x=0$，那么对应的$\lambda$称为特征值谱点。（2）$({\lambda}I-B)$可逆且为满射，并且逆算子是有界的，那么对应的${\lambda}$称为正则点。（3）$({\lambda}I-B)$可逆且为满射，但是其逆算子不是有界的，那么对应的${\lambda}$称之为非特征值谱点。（4）$({\lambda}I-B)$可逆但是不是满射，那么对应的$\lambda$称之为非特征值谱点。这里给出第（4）种情况的一个例子，就是不是满射：比如$ctg\alpha,\alpha{\in}(-\infty,\infty)$，显然$ctg\alpha$取值为$(-\pi/2,\pi/2)$，该函数就不是实数域上的满射函数。当然该函数不是线性函数，这里只是为了说明不是满射。现在对于任何一个线性算子，可以将整个复数域中的复数划分为上述四种情况中的点，这是因为任何一个复数对应一个线性算子$({\lambda}I-B)$，而该算子可以将$D(B)$中所有元素映射到$X$空间。于是就有了下面的概念。第（2）中情况中得到的所有正则点的集合称之为正则集或者预解集，记为$p(B)$。而第（1）（3）（4）种情况对应的复数为谱点，所有的谱点的集合称之为谱集，也即复数域上除去正则集剩下的复数集合就是谱集，或者会直接称之为谱，记为$\sigma(B)$。可以对谱再细划分：那就是对所有特征值谱点的集合称之为点谱（不可逆的情况），记为$\sigma_p(B)$。所有非特征值谱点的集合称之为连续谱（非满射或逆算子不是有界的情况），记为$\sigma_c(B)$。上述划分最后称为：预解集（2）+谱点（点谱（1）+连续谱（3，4））另一种划分而这个谱点还可以做另一种划分，分为近似谱点和剩余谱点。近似谱点：设$A$是赋范线性空间$X$到$X$的有界线性算子，${\lambda}$是一个复数，如果存在一列单位向量$x_n{\in}X$，使得$({\lambda}I-A)x_n{\to}0$，就称${\lambda}$是$A$的近似谱点。$A$的近似谱点全体记为$\sigma_a(A)$。所谓的剩余谱点：就是非近似谱点的谱点，记为$\sigma_r(A)$。也就是$$ \sigma_a(A){\cup}\sigma_r(A)=\sigma(A) $$也就是近似谱点会包括特征值谱点，因为特征值对应的特征向量可以看做一列单位向量，而这个是满足近似谱点的定义的，当然除了包含特征值外，一定还包含连续谱中的一些点。实际上，从$({\lambda}I-A)x_n{\to}0$，可以立刻发现$({\lambda}I-A)^{-1}$是无界的，也就是说近似谱点包含的是（1）（3）对应的谱点集合。这么说：对应（3）的谱点是属于近似谱点的，也就是剩余谱点包含的是（4）。于是这种划分为：预解集（2）+近似谱点（1，3）+剩余谱点（4）但是这里还要注意：近似谱点是只有有界线性算子才有的概念！而一般的正则点和谱点是一般线性算子都有的概念。（所以有界无界要分清楚）我们这么记忆：不是预解集就是谱集，而谱集中的点称为谱点，谱集也称为谱，它又分为点谱和连续谱，而这个命名是因为特征点是可数的，有可数个点组成的谱，因此为点谱。而非特征值谱点是不可数的，因此是连续谱。谱点是与正则点相对应的概念，而点谱是和连续谱相对应的概念。谱点重在点上，而点谱重在谱上。最后补充最后强调一下预解集和谱本来是线性算子的概念，后来推广到具有幺元的复Banach代数，于是就有了该代数中元素的正则点，谱点等概念。将线性变换看做线性变换集合中的元素。这里面特别要小心的是复Banach代数中元素对应的是$\mathfrak{B}(X{\to}X)$中的线性算子（$X$为Banach空间）。于是需要小心一点：预解集和谱的性质，只有有界线性算子才有，不是有界线性算子是没有的，也就是不能用到谱半径的计算，对于预解算子的展开式。还需要注意的是，如果要使用这些性质，则必须满足Banach空间才行。还有正则点和谱点都是线性算子在同一个复的线性空间才具有的概念，是$X{\to}X$的线性算子。
泛函分析关于度量空间这一章，主要讲述了关于度量空间的结构是怎么来的，并且讲解了拓扑结构和代数结构构造而成的内积空间，从而诱导出范数。其中有一些比较好的性质——凸性质和紧性质。关于这些空间——内积、范数空间，都有一个完备性的问题：也就是按照范数收敛后的元素是否还在集合中，若在则称该空间是完备的，于是定义了巴拿赫空间（赋范线性空间完备空间）与希尔伯特空间（具有内积的完备空间）。具体的应用定理则是：压缩映像原理——可以用来证明常微分方程解的存在唯一性。其实对于泛函分析这一章来说，抽丝剥茧就是将范数（模）、内积给抽象定义出来，然后给一些抽象空间上建立起度量的概念，什么是收敛，怎么收敛，收敛到哪里（完备）。总之这章就是构建了一个结构，这个结构上可以对无穷维，对抽象空间中的元素建立起极限，收敛的概念。距离空间一个距离要求：正定性，对称性，三角不等式。引入距离（距离趋于0则可以定义收敛），是为了刻画收敛，因为收敛于是也有了极限的概念。同时也可以引入基本列的概念了。这里因为完备性的问题会出现这样的结果：收敛列必定是基本列，但是基本列未必在空间内收敛。例子：有理数基本列在有理数域内不一定有极限——特别是那些收敛到无理数的。于是可见引入完备化的意义：每个基本列就是收敛列。巴拿赫不动点定理（压缩映像原理）设$(X,p)$是一个完备距离空间，$T$为$(X,p)$到其自身的一个压缩映射，则在$X$中存在唯一的$T$的不动点。压缩映射一定连续：这个可以用定义证明。所以不连续映射绝对不是压缩映像。完备化每一个度量空间有一个完备化空间，且其完备化空间在等距同构的意义下是唯一的。稠密性：直观上就是一个逼近与嵌入的感觉，实际上就是一个逼近，该集合中任意元素按距离逼近全集中的元素。列紧集豪斯托夫定理（完全有界与列紧性质）设$(X,p)$是距离空间，$M{\subset}X$。若$M$在$X$中列紧，则$M$完全有界。若$X$是完备空间，$M$完全有界，则$M$列紧。$Arzela-Ascoli$定理（列紧的充要条件）连续函数空间上列紧集的刻画：集合$F{\subset}C(M)$是一个列紧集的充要条件是：$F$一致有界与$F$等度连续。其中$C(M)$表示$M$上一切实值连续函数全体。紧的概念是很有用的，例如我们看到列紧空间必然是完备空间，对于某些性质来讲，紧致深层次刻画了有界这个概念。而且自列紧的概念则和有界闭集相关，而我们知道闭集是一个收敛点的逼近问题，而这个和完备又极为相似。在局部上可以讲列紧，而在全体上我们讲的是紧集（开覆盖有有限子覆盖）引入列紧？实际上讲，我们为什么要引入紧、列紧、子列紧的概念？为了将连续函数的一些好的性质推广到一般的空间上去。为什么要推广呢？其实一般的度量空间和实数直线空间有很大差别，比如实数直线的闭区间天然的列紧，稠密，有界，完全有界，也是紧的，但是一般的度量空间，其元素千差万别，因此必须给出相应的约束条件来定义那些集合类似实数直线的闭区间。其实问题在于一般的度量空间中：列紧和紧是等价的，但是不再和有界闭集等价（无穷维巴拿赫空间内的单位闭球）。一般的拓扑空间中：列紧和紧也不等价了，而且对有界这个概念也没有了定义。（列紧和有界闭是基于度量的概念，而紧集是拓扑概念）。这些好的性质有：有界性质，最值可取性质、介值定理、连续等价于一致连续性。举个反例：考虑有界闭集$Q{\cap}[0,2]$，距离定义为$d(p,q)=|p-q|$。函数$f$定义为$$ f(x)=\begin{cases}0,x{\in}[0,\sqrt{2})\\1,x{\in}(\sqrt{2},2]\end{cases} $$则这个函数是连续的，但是非一致连续。(汪林的《泛函分析中的反例》)这就是因为虽然是有界闭，但是在这个空间内减弱了性质，需要紧才能保证其一致连续性。（1）先从$R$推广到$R^n$，由于任何有限维赋范线性空间都与同维数的$R^n$代数同构、拓扑同胚，也相当于推广到任意有限维赋范线性空间。（2）推广到无穷维巴拿赫空间，或者一般距离空间。这时候因为空间条件降低了，只有“有界和闭”是不够用的，需要加强的条件，就引出了自列紧的概念。（而在距离空间中，自列紧和列紧是一样的）其实，自列紧的定义就是任意无穷点列都有收敛子列(列紧)，且子列的极限点在集合中(闭)，而这也是保证连续映射具有那些好的性质所需要的根本条件。为什么在有限维赋范线性空间，"有界+闭"就能够用（有界等价于列紧），也是因为它已经能保证任意无穷点列都有收敛子列，且子列的极限在集合中。进一步，列紧在拓扑空间是不能这么说的，因为拓扑空间里有的结构是拓扑结构，只有开集邻域语言。好在，距离空间中自列紧，也有另一种等价描述：任意的开覆盖都存在子覆盖(紧集)。这种描述才是紧集根本的，拓扑空间也适用，于是就推广到拓扑空间中的紧集上去。实际上列紧的要求是比完备要强的。完备要求的是对基本点列的一个收敛，但是列紧要求的是所有点列都有收敛子列。不过完备要求基本点列收敛的极限点必须在空间中，而列紧要求的收敛点可以在列紧集中也可以不在列紧集中，但是必须在空间中。（这也就说明了为什么列紧空间必定是完备空间），而完备空间却不一定都列紧（例如取$R$上的一个点列(1,2,3,$\cdots$,n)这个点列没有收敛子列。因为完备性对一般点列根本没有要求收敛）完备空间：所有基本点列收敛，列紧集：所有点列有收敛于所在空间的子点列；完全有界集：所有点列必有基本子点列。我们立刻得到这三个集合之间的关系，完备空间中的完全有界集一定满足任何点列都有基本子点列，而基本点列收敛，因此完备空间的完全有界集就是任何点列都有收敛的子点列，这正是列紧集的概念，因此在完备空间中的完全有界集是列紧集。而列紧集的定义中点列有收敛于空间的子点列，这意味着点列有基本子点列，因此列紧集必然是完全有界集，另一方面如果度量空间的每一个完全有界集是列紧集，那么这个空间是完备空间。我们总结一下三者关系就是：列紧集一定是完全有界集；完备空间中的完全有界集是列紧集；如果度量空间中的每一个完全有界集是列紧集，那么空间就是完备空间。列紧和稠密：稠密集指的是在度量空间全体中的分布，而列紧指的是在某一个局部区间的分布问题。研究稠密集目的是通过研究其中的可列集就可以代替研究整个集合，达到研究少数点就了解整个集合的目的；而研究紧集的目的是为了研究函数的，也就在紧集上的连续函数一定有最大值和最小值，对应的是实数上的闭区间；当然紧集上的连续映照，它的像也是紧集，这样就有利于研究映照的性质。泛函分析研究的就是(1)集合，(2)空间，(3)空间上的映照。而空间上的映照就要研究有界性，连续性，可测性以及收敛点列的映照。为了研究映照的这些性质，就要研究空间的完备性以及空间中集合的列紧性以及稠密性等特征。换句话就是说，之后要研究的东西会尽量抛开有界闭的条件，而使用列紧或者紧去保证这些连续函数或者连续映照的良好性质。