主要讲述了Haim Brezis的《Functional Analysis,Sobolev Spaces and Partial Differential Equations》的相关内容。
弱拓扑导论Coarsest拓扑假设$X$是一个集合，$(Y_i)_{i{\in}I}$是一个拓扑空间组成的集合。我们给定一系列映射$(\varphi_i)_{i{\in}I}$使得对于每个$i{\in}I,\varphi_i$把$X$映射到$Y_i$中。问题1在$X$上构造一个拓扑，使得所有的映射$(\varphi_i)_{i{\in}I}$是连续的。如果可以的话，我们希望寻求到一个拓扑$\mathscr{T}$是有最少开集的，从而作为某种意义上最“经济”的拓扑。注意到如果我们对$X$上装备互斥的拓扑（也即，任何$X$的子集都是开集），则任意的映射$\varphi_i$都是连续的。但是这并不是最“便宜的”（具有最少开集）。事实上，这是最为昂贵的。通常来说是存在一个最经济的拓扑使得映射都是连续的，这个就称之为Coarsest弱拓扑。如果$\omega_i{\subset}Y_i$是任意开集，则$\varphi_{i}^{-1}(\omega_i)$在$\mathscr{T}$中必然是一个开集。当$\omega_i$遍历$Y_i$的开集族且$i$跑遍$I$指标集，我们得到一族$X$的子集。每个都是拓扑$\mathscr{T}$中的开集。我们将其表示为$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$。当然，这族不见得为一个拓扑，因此，我们有下面的：问题2给定一个集合$X$和一族$X$中的子集$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$，构造$X$的最便宜拓扑$\mathscr{T}$，其中$U_{\lambda}$是开集。另一方面，我们必须找到$X$的子集族$\mathscr{F}$是稳定的，关于$U_{\lambda}$的有限交和任意并是封闭的。这样的构造可以通过下面的方式得到：首先，考虑$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$的有限交，也即$\Gamma{\subset}\Lambda$是有限集，然后取$\bigcap\limits_{\lambda{\in}\Gamma}U_{\lambda}$。在这种方式下我们得到一个新的族，称之为$\Phi$，包括了原来的$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$和他们的有限交。然而，这样在任意并下未必是封闭的。因此，我们考虑下面的集合$\mathscr{F}$是由$\Phi$中元素的任意并的到的，这样显然就完成了有限交和任意并的封闭。于是我们就有下面的结果：引理3.1集族$\mathscr{F}$在有限交下是封闭的。这个用集合论的方式可以证明。并且显然上面的构造给出了我们希望得到的性质的一个最便宜的拓扑。注意到这个构造的顺序不能改变，如果改变了，则在有限交下是封闭的，但是不能得到任意并的封闭。命题3.1令$(x_n)$为$X$的一个序列。则在$\mathscr{T}$中$x_n{\to}x$当且仅当对于每个$i{\in}I$有$$ \varphi_i(x_n){\to}\varphi_i(x) $$证明：如果$x_n{\to}x$，则对于每个$i$都有$\varphi_i(x_n){\to}\varphi_i(x)$，因为对于拓扑$\mathscr{T}$每个映射$\varphi_i$都是连续的。另一方面，令$U$为$x$的一个邻域，由前面的讨论，我们可以假设$U$有这样的形式，也即$J{\subset}I$有限，$U=\bigcap\limits_{i{\in}J}\varphi_i^{-1}(V_i)$。对于每个$i{\in}J$存在某个整数$N_i$使得对于$n{\ge}N_i,\varphi_i(x_n){\in}V_i$。于是对于$n{\ge}N=\max\limits_{i{\in}J}N_i$有$x_n{\in}U$。命题3.2令$Z$为一个拓扑空间，且令$\psi$为一个映射从$Z$到$X$。则$\psi$是连续的当且仅当$\varphi_i{\circ}\psi$是从$Z$到$Y_i$是连续的，对于每个$i{\in}I$。这个就是映射复合，不予证明。弱拓扑$\sigma(E,E^*)$的定义与基本性质令$E$为一个巴拿赫空间，且令$f{\in}E^*$。我们用$\varphi_f:E{\to}\mathbb{R}$表示线性泛函$\varphi_f(x)=\left\langle{f,x}\right\rangle$。当$f$遍历$E^*$空间，我们就得到一串集合$(\varphi_f)_{f{\in}E^*}$为从$E$到$\mathbb{R}$的映射族。我们现在忽略掉$E$上的通常拓扑且定义$E$上的新拓扑如下：定义集合$E$上的弱拓扑$\sigma(E,E^*)$是与集族$(\varphi_f)_{f{\in}E^*}$相关的coarsest拓扑（其中$X=E,Y_i=\mathbb{R}$，且$I=E^*$。）注意到对于通常拓扑的每个映射$\varphi_f$是连续的，且因此弱拓扑是比通常拓扑要弱的。命题3.3弱拓扑$\sigma(E,E^*)$是豪斯多夫的。证明：给定$x_1,x_2{\in}E,x_1{\neq}x_2$，我们必然可以找到两个开集$O_1$和$O_1$使得$x_1{\in}0_1,x_2{\in}O_2,O_1{\cap}O_2=\varnothing$。由哈恩-巴拿赫定理：存在一个闭的超平面严格分开$\left\{x_1\right\},\left\{x_2\right\}$。因此，存在某个$f{\in}E^*$和某个$\alpha{\in}\mathbb{R}$使得$$ \left\langle{f,x_1}\right\rangle<\alpha<\left\langle{f,x_2}\right\rangle $$设$$ \begin{aligned} O_1=&\left\{x{\in}E;\left\langle{f,x}\right\rangle<\alpha\right\}=\varphi_f^{-1}((-\infty,\alpha))\\ O_2=&\left\{x{\in}E;\left\langle{f,x}\right\rangle>\alpha\right\}=\varphi_f^{-1}((\alpha,+\infty)) \end{aligned} $$显然，$O_1$和$O_2$都是$\sigma(E,E^*)$中的开集且满足我们需要的性质。命题3.4令$x_0{\in}E$，给定$\varepsilon>0$和一个在$E^*$中的有限集合$\left\{f_1,f_2,{\cdots},f_k\right\}$，考虑$$ V=V(f_1,f_2,{\cdots},f_k;\varepsilon)=\left\{x{\in}E;|\left\langle{f_i,x-x_0}\right\rangle|<\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k\right\} $$则$V$是一个关于$x_0$的邻域。此外，我们得到一个由多种$\varepsilon,k,f_i{\in}E^*$的$x_0$的邻域基。证明：显然$V=\bigcap\limits^k_{i=1}\varphi_{f_i}^{-1}((a_i-\varepsilon,a_i+\varepsilon))$，其中$a_i=\left\langle{f_i,x_0}\right\rangle$，是拓扑$\sigma(E,E^*)$的开集且包含了$x_0$。反过来，令$U$为$x_0$的一个邻域。从前面的讨论，我们知道存在一个开集$W$包含$x_0,W{\subset}U$，其中形式为$W=\bigcap\limits_{finite}\varphi_{f_i}^{-1}(\omega_i)$，其中$\omega_I$是$a_i=\left\langle{f_i,x_0}\right\rangle$的一个邻域。因此存在$\varepsilon>0$使得$(a_i-\varepsilon,a_i+\varepsilon){\subset}\omega_i$。于是$x_0{\in}V{\subset}W{\subset}U$。记号如果一个序列$(x_n){\in}E$在弱拓扑$\sigma(E,E^*)$中收敛到$x$，我们将记为$$ x_n{\rightharpoonup}x $$为了防止引起困惑，我们有时会记为在$\sigma(E,E^*),x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛。为了表达更清楚，我们有时候会强调强收敛为$x_n{\to}x$，意味着$\|x_n-x\|{\to}0$。命题3.5令$(x_n)$为$E$中的一个序列，则$x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛当且仅当$\left\langle{f,x_n}\right\rangle{\to}\left\langle{f,x}\right\rangle,{\forall}f{\in}E^*$。如果$x_n{\to}x$强收敛，则在$\sigma(E,E^*)$中$x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛如果$x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛，则$(\|x_n\|)$是有界的，且$\|x\|{\le}\lim\inf\|x_n\|$。如果$x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛，且如果$f_n{\to}f$在$E^*$中强收敛（也即$\|f_n-f\|_{E^*}{\to}0$），则$\left\langle{f_n,x_n}\right\rangle{\to}\left\langle{f,x}\right\rangle$。证明：由命题3.1和弱拓扑的定义我们可以得到。由1，且因为$|\left\langle{f,x_n}\right\rangle-\left\langle{f,x}\right\rangle|{\le}\|f\|\|x_n-f\|$；同时由这个事实，我们实际上知道弱拓扑是比强拓扑要弱的。由一致有界原理，因为对于每个$f{\in}E^*$，集合$(\left\langle{f,x_n}\right\rangle)_n$是有界的。在下面的不等式我们取极限 $$ |\left\langle{f,x_n}\right\rangle|{\le}\|f\|\|x_n\| $$我们得到 $$ |\left\langle{f,x}\right\rangle|{\le}\|f\|\lim\inf\|x_n\| $$这就意味着 $$ \|x\|=\sup_{\|f\|{\le}1}|\left\langle{f,x}\right\rangle|{\le}\lim\inf\|x_n\| $$由于下面不等式结合1和3可以得到： $$ |\left\langle{f_n,x_n}\right\rangle-\left\langle{f,x}\right\rangle|{\le}|\left\langle{f_n-f,x_n}\right\rangle|+|\left\langle{f,x_n-x}\right\rangle|{\le}\|f_n-f\|\|x_n\|+|\left\langle{f,x_n-x}\right\rangle| $$命题3.6当$E$是有限维的，弱拓扑$\sigma(E,E^*)$和通常拓扑是一样的。特别地，一个序列$(x_n)$弱收敛当且仅当其强收敛。我们知道弱拓扑是比强拓扑有更少的开集。于是可以查验任何强的开集是弱的开集。令$x_0{\in}E$且令$U$为$x_0$的一个邻域在强拓扑中，我们必须要找到弱拓扑$\sigma(E,E^*)$中的$x_0$的领域$V$，使得$V{\subset}U$。注解弱拓扑中的开集在强拓扑中必然是开集，然而强拓扑中的开集（闭集）在弱拓扑中不见得是开集（闭集）。例如：单位球$S=\left\{x{\in}E;\|x\|=1\right\}$，其中$E$是无限维的，是不可能在弱拓扑中是闭的。例如：单位球$U=\left\{x{\in}E;\|x\|<1\right\}$，其中$E$是无限维的，是不可能在弱拓扑中是开的。注解在无限维空间中，弱拓扑不再是可测的，也即：在$E$上没有度量可以诱导出$E$的弱拓扑。并且在无限维空间中，通常存在序列弱收敛但是不强收敛。
演化问题：热方程和波动方程10.1 热方程：存在性，唯一性和正规性记号令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个带有边界$\Gamma$的开集。设$$ Q=\Omega{\times}(0,+\infty)\\\sum=\Gamma{\times}(0,+\infty) $$$\sum$被称为圆柱$Q$的横向边界，见图7。考虑下面的问题：找到一个函数$u(x,t):\overline{\Omega}{\times}[0,+\infty){\to}\mathbb{R}$使得$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}Q\tag{1} $$$$ u=0{\quad}on{\;}\sum\tag{2} $$$$ u(x,0)=u_0(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{3} $$其中$\Delta=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}^2}{{\partial}x^2_i}$代表了在空间变量$x$的拉普拉斯，$t$是时间变量，且$u_0(x)$是给定的函数称为初始（或者柯西）数据。方程（1）被称为热方程因为它在时间$t$模拟了在区域$\Omega$中温度分布$u$。在许多扩散现象中都会出现热方程及其变形（见本章最后的评论）热方程是抛物线方程中最简单的例子。方程（2）是（齐次）狄利克雷边界条件；它可以由诺伊曼条件替换$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}n}=0{\quad}on{\;}\sum\tag{2'} $$（$n$是$\Gamma$的向外单位法向量）或者第8章和第9章中遇到的任何边界条件。条件（2）对应于边界$\Gamma$保持在0温度时的假设。条件（2‘）对应于穿过$\Gamma$的热流为0的假设。我们通过观察$u(x,t)$作为定义在$[0,+\infty)$值在空间$H$上的一个函数来解决问题（1）（2）（3）。其中$H$是一个仅仅依赖于$x$的一个函数空间：例如$H=L^2(\Omega)$或者$H=H^1_0(\Omega)$。当我们仅仅写$u(t)$，我们意味着$u(t)$是$H$的一个元素，即函数$x{\mapsto}u(x,t)$。这个观点使我们能够结合Hille-Yosida定理和第8章和第9章的结果，很容易地解决问题（1），（2），（3）。为了简化问题，我们在整个第10章中假设$\Omega$是$C^{\infty}$阶的，其中$\Gamma$是有界的（但如果我们只对弱解感兴趣，这个假设可能会被大大削弱）定理10.1假设$u_0{\in}L^2(\Omega)$，则存在唯一一个函数$u(x,t)$满足（1）（2）（3）且$$ u{\in}C([0,\infty);L^2(\Omega){\cap}C((0,\infty);H^2(\Omega{\cap}H^1_0(\Omega))\tag{4} $$$$ u{\in}C^1((0,\infty;L^2(\Omega))\tag{5} $$更甚者，$$ u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[\varepsilon,\infty)),{\forall}\varepsilon>0 $$最终，$u{\in}L^2(0,\infty;H^1_0(\Omega))$且$$ \frac{1}{2}|u(T)|^2_{L^2(\Omega)}+\int^T_0|{\nabla}u(t)|^2_{L^2(\Omega)}dt=\frac{1}{2}|u_0|^2_{L^2(\Omega)},{\forall}T>0\tag{6} $$证明：我们在$H=L^2(\Omega)$应用Hille–Yosida理论（但是其他的选择是可能的；参见定理10.2的证明）考虑无界算子$A:D(A){\subset}H{\to}H$定义为$$ \begin{cases} D(A)=H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)\\ Au=-{\Delta}u \end{cases} $$需要注意的是，边界条件（2）已经被纳入了。我们断言$A$是一个自伴极大单调算子。我们可以应用定理7.7且推断出满足（4）和（5）的问题（1），（2），（3）的唯一一个解。（i）$A$是单调的。对于任意$u{\in}D(A)$我们有$$ (Au,u)_{L^2}=\int_{\Omega}(-{\Delta}u)u=\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2{\ge}0 $$命题（ii）$A$是极大单调的，我们必须验证$R(I+A)=H=L^2$。但是我们已经知道（见定理9.25）对于任意$f{\in}L^2$，存在方程$u-{\Delta}u=f$的唯一一个解$u{\in}H^2{\cap}H^1_0$。（iii）$A$是自伴的。鉴于命题7.6，证明$A$是对称的就足够了。对于任意$u,v{\in}D(A)$我们有$$ (Au,v)_{L^2}=\int_{\Omega}(-{\Delta}u)v=\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v $$和$$ (u,Av)_{L^2}=\int_{\Omega}u(-{\Delta}v)=\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v $$于是$(Au,v)=(u,Av)$。接下来，根据定理9.25$D(A^l){\subset}H^{2l}(\Omega)$，对于任意整数$l$，带连续单射，更准确地说：$$ D(A^l)=\left\{u{\in}H^{2l}(\Omega);u={\Delta}u={\cdots}={\Delta}^{l-1}u=0{\quad}on{\;}\Gamma\right\} $$我们由定理7.7知道问题(1)(2)(3)的解满足$$ u{\in}C^k((0,\infty);D(A^l)),{\forall}k,{\forall}l $$且因此$$ u{\in}C^k((0,\infty);H^{2l}(\Omega)),{\forall}k,{\forall}l $$于是（归因于推论9.15）$$ u{\in}C^k((0,\infty);C^k(\overline{\Omega})),{\forall}k $$我们现在转向（6）的证明。形式上，我们用$u$乘上（1）且在$\Omega{\times}(0,T)$上积分。然而，还是要小心。因为$u(t)$在$(0,\infty)$是可微的，但是在$[0,\infty)$不是。考虑函数$\varphi(t)=\frac{1}{2}|u(t)|^2_{L^2(\Omega)}$。这是在$(0,\infty)$上$C^1$阶的（由于（5））且对于$t>0$，$$ \varphi'(t)=\left(u(t),\frac{du}{dt}(t)\right)_{L^2}=(u(t),{\Delta}u(t))_{L^2}=-\int_{\Omega}|{\nabla}u(t)|^2 $$因此，对于$0<\varepsilon<T<\infty$，我们得到$$ \varphi(T)-\varphi(\varepsilon)=\int^T_{\varepsilon}\varphi'(t)dt=-\int^T_{\varepsilon}|{\nabla}u(t)|^2_{L^2}dt $$最终我们令$\varepsilon{\to}0$。因为$\varphi(\varepsilon){\to}\frac{1}{2}|u_0|^2$（因为$u{\in}C([0,\infty];L^2(\Omega))$），我们发现$u{\in}L^2(0,\infty;H^1_0(\Omega))$且（6）成立。如果我们在$u_0$上做另外的假设，解$u$在$t=0$时变得更正规（回忆一下，远离$t=0$，定理10.1保证了$u$是光滑的，也即$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[\varepsilon,\infty)),{\forall}\varepsilon>0$）。定理10.2（a）如果$u_0{\in}H^1_0(\Omega)$，则问题（1）（2）（3）的解满足$$ u{\in}C([0,\infty);H^1_0(\Omega){\cap}L^2(0,\infty;H^2(\Omega)) $$且$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}{\in}L^2(0,\infty;L^2(\Omega)) $$更甚者，我们有$$ \int^T_0|\frac{{\partial}u}{{\partial}t}(t)|^2_{L^2(\Omega)}dt+\frac{1}{2}|{\nabla}u(T)|^2_{L^2(\Omega)}=\frac{1}{2}|{\nabla}u_0|^2_{L^2(\Omega)}\tag{7} $$（b）如果$u_0{\in}H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$，则$$ u{\in}C([0,\infty);H^2(\Omega){\cap}L^2(0,\infty;H^3(\Omega)) $$和$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}{\in}L^2(0,\infty;H^1_0(\Omega)) $$（c）如果$u_0{\in}H^k(\Omega),{\forall}k$且满足所谓的相容性条件$$ u_0={\Delta}u_0={\cdots}={\Delta}^ju_0={\cdots}=0{\quad}on{\;}\Gamma\tag{8} $$对于任意整数$j$，则$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$。（a）的证明：我们在空间$H_1=H^1_0(\Omega)$装备内积上工作$$ (u,v)_{H_1}=\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv $$在$H_1$考虑无界算子$A_1:D(A_1){\subset}H_1{\to}H_1$定义为$$ \begin{cases} D(A_1)=\left\{u{\in}H^3(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega);{\Delta}u{\in}H_0^1(\Omega)\right\},\\ A_1u=-{\Delta}u \end{cases} $$我们断言$A_1$是极大单调且自伴的。（i）$A$是单调的。对于任意$u{\in}D(A_1)$我们有$$ (A_1u,v)_{H_1}=\int_{\Omega}{\nabla}(-{\Delta}u){\cdot}{\nabla}u+\int_{\Omega}(-{\Delta}u)u=\int_{\Omega}|{\Delta}u|^2+\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2{\ge}0 $$（ii）$A$是极大单调的。我们知道（由定理9.25）对任意$f{\in}H^1(\Omega)$，解$u{\in}H^1_0(\Omega)$关于问题$$ \begin{cases} u-{\Delta}u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ u=0{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases} $$属于$H^3(\Omega)$。如果，额外地，$f{\in}H^1_0(\Omega)$，则${\Delta}u{\in}H^1_0(\Omega)$，且于是$u{\in}D(A_1)$。（iii）$A$是对称的。对于任意$u,v{\in}D(A_1)$，我们有$$ \begin{align*} (A_1u,v)_{H_1}&=\int_{\Omega}{\nabla}(-{\Delta}u){\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}(-{\Delta}u)v\\ &=\int_{\Omega}{\Delta}u{\Delta}v+\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v=(u,A_1v)_{H_1} \end{align*} $$应用定理7.7，我们可以看到如果$u_0{\in}H^1_0(\Omega)$，则存在一个解$u$关于问题（1）（2）（3）(与定理10.1一致，因为唯一性)使得$$ u{\in}C([0,\infty);H^1_0(\Omega)) $$最终，设$\varphi(t)=\frac{1}{2}|{\nabla}u(t)^2_{L^2(\Omega)}|$，这个函数是在$(0,\infty)$上为$C^{\infty}$阶的且$$ \varphi'(t)=\left({\nabla}u(t),{\nabla}\frac{du}{dt}(t)\right)_{L^2}=\left(-{\Delta}u(t),\frac{du}{dt}(t)\right)_{L^2}=-\left|\frac{du}{dt}(t)\right|^2_{L^2} $$于是对于$0<\varepsilon<T<\infty$，我们有$$ \varphi(T)-\varphi(\varepsilon)+\int^T_{\varepsilon}\left|\frac{du}{dt}(t)\right|^2_{L^2}dt=0 $$当$\varepsilon{\to}0,\varphi({\varepsilon}){\to}\frac{1}{2}|{\nabla}u_0|^2_{L^2}$，且我们容易总结得到。(b)的证明：我们工作在空间$H_2=H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$装备上内积$$ (u,v)_{H_2}=({\Delta}u,{\Delta}v)_{L^2}+(u,v)_{L^2} $$（对应的范数等同于通常的$H^2$范数）在$H_2$考虑无界算子$A_2:D(A_2){\subset}H_2{\to}H_2$定义为$$ \begin{cases} D(A_2)=\left\{u{\in}H^4(\Omega);u{\in}H^1_0(\Omega)和{\Delta}u{\in}H^1_0(\Omega)\right\}\\ A_2u=-{\Delta}u \end{cases} $$容易说明$A_2$是在$H_2$中的一个自伴极大单调算子。因此我们可以在$H_2$中对$A_2$应用定理7.7。最终，我们设$\varphi(t)=\frac{1}{2}|{\Delta}u(t)|^2_{L^2}$。这个函数是在$(0,\infty)$上为$C^{\infty}$阶的，且$$ \varphi'(t)=\left({\Delta}u(t),{\Delta}\frac{du}{dt}(t)\right)_{L^2}=({\Delta}u(t),{\Delta}^2u(t))_{L^2}=-|{\nabla}{\Delta}u(t)|^2_{L^2} $$因此，对于$0<\varepsilon<T<\infty$，我们有$$ \frac{1}{2}|{\Delta}u(T)|^2_{L^2}-\frac{1}{2}|{\Delta}u(\varepsilon)|^2_{L^2}+\int^T_{\varepsilon}|{\nabla}{\Delta}u(t)|^2_{L^2}dt=0 $$在极限情况，当$\varepsilon{\to}0$，我们看到$u{\in}L^2(0,\infty;H^3(\Omega))$且（因为方程（1）），$\frac{du}{dt}{\in}L^2(0,\infty;H^1(\Omega))$。（c）的证明：在空间$H=L^2(\Omega)$中，考虑算子$A:D(A){\subset}H{\to}H$定义为$$ \begin{cases} D(A)=H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)\\ Au=-{\Delta}u \end{cases} $$应用定理7.5，我们知道如果$u_0{\in}D(A^k),k{\ge}1$，则$$ u{\in}C^{k-j}([0,\infty);D(A^j)),{\forall}j=0,1,{\cdots},k $$假设（8）确切说明对于任何整数$k{\ge}1,u_0{\in}D(A^k)$。因此我们有$$ u{\in}C^{k-j}([0,\infty);D(A^j)),{\forall}k{\ge}1,{\forall}j=0,1,{\cdots},k $$于是（和定理10.1证明一样）$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$。注释1：定理10.1说明热方程在初始值$u_0$上有一个强大的光滑效应。注意到对于任意$t>0$甚至是初始值不连续的情况，解$u(x,t)$在$x$处是$C^{\infty}$阶的。这个效应蕴含着，特别地，热方程是时不可逆的。一般情况不能解决问题$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}\Omega{\times}(0,T)\tag{9} $$$$ u=0{\quad}on{\;}\Gamma{\times}(0,T)\tag{10} $$其中“终”值$$ u(x,T)=u_T(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{11} $$我们必须假设$$ u_T{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})且{\Delta}^ju_T=0{\;}on{\;}\Gamma,{\forall}j{\ge}0 $$但即使有了这个假设，也不需要解决后效问题（9），（10），（11）。这个问题不应该与问题（9‘）（10），（11）混淆，其中$$ -\frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}\Omega{\times}(0,T)\tag{9'} $$对于任何值$u_T{\in}L^2(\Omega)$都有唯一解（将$t$改为$T-t$且应用定理10.1）注释2：如果用Neumann条件代替Dirichlet条件，前面的结果也是正确的。注释3：当$\Omega$是有界的，问题(1)(2)(3)可以由在$L^2(\Omega)$的一个希尔伯特基的分解解决。为此，取$L^2(\Omega)$的一个基$(e_i(x))_{i{\ge}1}$由$-{\Delta}$的特征函数组成（具有零Dirichlet条件），也即$$ \begin{cases} -{\Delta}e_i={\lambda_i}e_i{\quad}in{\;}\Omega\\ e_i=0{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases} $$（见9.8节）我们可以看到关于（1）（2）（3）的解为以一个级数的形式$$ u(x,t)=\sum^{\infty}_{i=1}a_i(t)e_i(x)\tag{12} $$我们立即可以看出函数$a_i(t)$必须满足$$ a'_i(t)+{\lambda}_ia_i(t)=0 $$于是$a_i(t)=a_i(0)e^{-{\lambda_i}t}$。常数$a_i(0)$由以下关系决定$$ u_0(x)=\sum^{\infty}_{i=1}a_i(0)e_i(x)\tag{13} $$用另外的话说，问题（1）（2）（3）的解是由以下给定的$$ u(x,t)=\sum^{\infty}_{i=1}a_i(0)e^{-{\lambda_i}t}e_i(x)\tag{14} $$其中常数$a_i(0)$是$u_0(x)$在基$(e_i)$中的分量，也即$a_i(0)=\int_{\Omega}u_0e_i$。研究这个级数的收敛性（以及用这种方法得到的$u$的正则性）注意这个方法和求解线性微分方程组的标准方法之间的相似性$$ \frac{d\boldsymbol{u}}{dt}+M\boldsymbol{u}=0 $$其中$\boldsymbol{u}(t)$在有限维向量空间中取其值，且$M$是一个对称矩阵。当然，主要的区别在于问题（1），（2），（3）与无限维系统有关。注释4：相容性条件（8）看起来也许很神秘，但实际上它们是自然的。这些是使（1），（2），（3）的解$u$平滑到$t=0$的必要条件，也即$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$（假设$u_0{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})$且$u_0=0$在${\partial}\Omega$上，不保证$t=0$的光滑性）事实上，假设$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$满足（1），（2），（3），则显然，$$ \frac{{\partial}^ju}{{\partial}t^j}=0{\quad}on{\;}\Gamma{\times}(0,\infty),{\forall}j\tag{15} $$且由连续性，我们仍旧有$$ \frac{{\partial}^ju}{{\partial}t^j}=0{\quad}on{\;}\Gamma{\times}[0,\infty),{\forall}j\tag{15} $$另一方面$$ \frac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2}={\Delta}\left(\frac{{\partial}u}{{\partial}t}\right)={\Delta}^2u{\quad}in{\;}Q $$且由推断$$ \frac{{\partial}^ju}{{\partial}t^j}={\Delta}^ju{\quad}in{\;}Q{\;}{\forall}j $$再次由连续性质，我们有$$ \frac{{\partial}^ju}{{\partial}t^j}={\Delta}^ju{\quad}in{\;}\overline{\Omega}{\times}[0,\infty)\tag{16} $$在$\Gamma{\times}\left\{0\right\}$上比较（15）和（16），我们得到（8）。注释5：当然对于$u$接近$t=0$的正则性结果有很多变形，如果我们的假设介于定理10.2的（b）和（c）之间。10.2 极大值原理主要结果如下定理10.3假设$u_0{\in}L^2(\Omega)$且令$u$为问题(1)(2)(3)的解，则我们有，对于所有的$(x,t){\in}Q$，$$ \min\left\{0,\inf_{\Omega}u_0\right\}{\le}u(x,t){\le}\max\left\{0,\sup_{\Omega}u_0\right\} $$证明：正如在椭圆情况中我们用到Stampacchia截断方法，设$$ K=\max\left\{0,\sup_{\Omega}u_0\right\} $$且假设$K<+\infty$。正如在定理9.27的证明中固定一个函数$G$且令$$ H(s)=\int^s_0G(\delta)d{\delta},s{\in}\mathbb{R} $$容易验证函数$\varphi$定义如下$$ \varphi(t)=\int_{\Omega}H(u(x,t)-K)dx $$有如下性质：$$ \varphi{\in}C([0,\infty);\mathbb{R}),\varphi(0)=0,\varphi{\ge}0,{\quad}on{\;}[0,\infty)\tag{17} $$$$ \varphi{\in}C^1((0,\infty);\mathbb{R})\tag{18} $$且$$ \begin{align*} \varphi'(t)&=\int_{\Omega}G(u(x,t)-K)\frac{{\partial}u}{{\partial}t}(x,t)dx=\int_{\Omega}G(u(x,t)-K){\Delta}u(x,t)dx\\ &=-\int_{\Omega}G'(u-K)|{\Delta}u|^2dx{\le}0 \end{align*} $$因为$G(u(x,t)-K){\in}H^1_0(\Omega)$对于任意$t>0$。于是$\varphi{\equiv}0$且因此，对于任意$t>0,u(x,t){\le}K$在$\Omega$上几乎处处成立。推论10.4令$u_0{\in}L^2(\Omega)$。问题(1)(2)(3)的解$u$有下列性质：（i）如果$u_0{\ge}0$在$\Omega$上几乎处处成立，则在$Q$上$u{\ge}0$。（ii）如果$u_0{\in}L^{\infty}(\Omega)$，则$u{\in}L^{\infty}(Q)$且$$ \|u\|_{L^{\infty}(Q)}{\le}\|u_0\|_{L^{\infty}(\Omega)}\tag{19} $$推论10.5令$u_0{\in}C(\overline{\Omega}){\cap}L^2(\Omega)$，其中$u_0=0$在$\Gamma$。则问题(1)(2)(3)的解$u$属于$C(\overline{Q})$。推论10.5的证明：令$(u_{0n})$为在$C_c^{\infty}(\Omega)$上的一个函数序列，使得在$L^{\infty}(\Omega)$和$L^2(\Omega)$上$u_{0n}{\to}u_0$（这样的一个序列的存在是容易建立的）。由于定理10.2，问题(1)(2)(3)的解$u_n$对应于初始值$u_{0n}$属于$C^{\infty}(\overline{Q})$。另一方面（定理7.7），我们知道$$ |u_n(t)-u(t)|_{L^2(\Omega)}{\le}|u_{0n}-u_0|_{L^2(\Omega)},{\forall}t{\ge}0 $$因为（19）我们有$$ \|u_n-u_m\|_{L^{\infty}(Q)}{\le}\|u_{0n}-u_{0m}\|_{L^{\infty}(\Omega)} $$因此，在$\overline{Q}$上序列$(u_n)$一致收敛到$u$，且因此$u{\in}C(\overline{Q})$。正如在椭圆请款，有另一种方法即极大值原理。在这里，我们假设$\Omega$是有界的，令$u(x,t)$是一个函数满足$$ u{\in}C(\overline{\Omega}{\times}[0,T])\tag{20} $$$$ u在t处是C^1阶的，且在\Omega{\times}(0,T)的x处是C^2阶的\tag{21} $$$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u{\le}0{\quad}in{\Omega}{\times}(0,T)\tag{22} $$定理10.6假设(20)(21)和(22)。则$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}u=\max_Pu $$其中$P=(\overline{\Omega}{\times}\left\{0\right\}){\cup}(\Gamma{\times}[0,T])$被称为圆柱体$\Omega{\times}(0,T)$的"抛物线边界"。证明：设$v(x,t)=u(x,t)+{\varepsilon}|x|^2$，其中$\varepsilon>0$，于是$$ \frac{{\partial}v}{{\partial}t}-{\Delta}v{\le}-2{\varepsilon}N<0{\quad}in{\Omega}{\times}(0,T)\tag{24} $$我们断言$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}v=\max_Pv $$假设不是，则存在一些点$(x_0,t_0){\in}\overline{\Omega}{\times}[0,T]$使得$(x_0,t_0){\not\in}P$且$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}v=v(x_0,t_0) $$因为$x_0{\in}\Omega$且$0<t_0{\le}T$，我们有$$ {\Delta}v(x_0,t_0){\le}0\tag{25} $$和$$ \frac{{\partial}v}{{\partial}t}(x_0,t_0){\ge}0\tag{26} $$（如果$t_0<T$我们有$\frac{{\partial}v}{{\partial}t}(x_0,t_0)=0$且如果$t_0=T$我们有$\frac{{\partial}v}{{\partial}t}(x_0,t_0){\ge}0$）。结合（25）和（26），我们得到$(\frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}v)(x_0,t_0){\ge}0$，这与（24）矛盾，因此我们有$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}v=\max_Pv{\le}\max_Pu+{\varepsilon}C $$其中$C=\sup_{x{\in}\Omega}|x|^2$。因为$u{\le}v$，我们总结出$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}u{\le}\max_Pu+{\varepsilon}C,{\forall}\varepsilon>0 $$于是完成了（23）的证明10.3 波动方程令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集，和上面一样，我们设$$ Q=\Omega{\times}(0,\infty)和\sum=\Gamma{\times}(0,\infty) $$考虑下面的问题：找到一个函数$u(x,t):\overline{\Omega}{\times}[0,\infty){\to}\mathbb{R}$满足：$$ \frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}t^2}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}Q\tag{27} $$$$ u=0{\quad}on{\;}{\sum}\tag{28} $$$$ u(x,0)=u_0(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{29} $$$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}(x,0)=v_0(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{30} $$其中${\Delta}=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}^2{}}{{\partial}t^2}$表示空间变量$x$的拉普拉斯，$t$是时间变量，且$u_0,v_0$是给定的函数。方程（27）被称为波动方程。算子$(\frac{{\partial}^2{}}{{\partial}t^2}-{\Delta})$经常由$\Box$代表且被称为达朗贝尔算子。波动方程是典型的双曲方程。当$N=1$且$\Omega=(0,1)$，方程（27）模拟了弦在没有外力的情况下的小振动。对于每个$t$，函数$x{\in}\Omega{\mapsto}u(x,t)$的图像表示了在时刻$t$时弦的配置。当$N=2$时方程（27）模拟了弹性膜的小振动。对于每一个$t$，函数$x{\in}\Omega{\mapsto}u(x,t)$表示了在时刻$t$时弹性膜的配置。一般来说，方程（27）模拟了波（声波、电磁波等）在一些均匀弹性介质$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$中的传播。方程（28）是（齐次）Dirichlet边界条件；可以用Neumann条件或第8章或第9章中遇到的任何边界条件来代替。条件在$\sum$上$u=0$意味着弦（或者弹性膜）是在$\Gamma$上固定的，而Neumann条件表示弦在其端点处是自由的。方程（29）和（30）表示了系统的初始状态：初始形态（也就是说初始位移）由$u_0$描述，初始速度由$v_0$描述。数值$(u_0,v_0)$通常称为柯西值。为了简化问题我们假设通篇$\Omega$是$C^{\infty}$阶的，且$\Gamma$有界。定理10.7（存在性与唯一性）假设$u_0{\in}H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$且$v_0{\in}H^1_0(\Omega)$。则存在问题(27)(28)(29)(30)的唯一解$u$满足$$ u{\in}C([0,\infty);H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega){\cap}C^1([0,\infty;H^1_0(\Omega){\cap}C^2([0.\infty);L^2(\Omega))\tag{31} $$更甚者，$$ \left|\frac{{\partial}u}{{\partial}t}(t)\right|^2_{L^2(\Omega)}+|{\nabla}u(t)|^2_{L^2(\Omega)}=|v_0|^2_{L^2(\Omega)}+|{\nabla}u_0|^2_{L^2(\Omega)},{\forall}t{\ge}0\tag{32} $$注释6：方程（32）是一个守恒定律，它断言系统的能量在时间上是不变的。在证明定理10.7之前让我们先提及一个正则性结果定理10.8（正则性）假设初值满足$$ u_0{\in}H^k(\Omega),v_0{\in}H^k(\Omega),{\forall}k $$且相容性条件$$ {\Delta}^ju_0=0{\quad}on{\;}\Gamma,{\forall}j{\ge}0,j是整数\\ {\Delta}^jv_0=0{\quad}on{\;}\Gamma,{\forall}j{\ge}0,j是整数 $$则问题(27)(28)(29)(30)的解$u$属于$C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$。定理10.7的证明。和第10.1节一样，我们考虑$u(x,t)$为定义在$[0,\infty)$上的一个向量值函数。更准确地，是对任何$t{\ge}0,u(t)$代表了映射$x{\mapsto}u(x,t)$。我们记（27）为下面的一阶方程系统的形式。$$ \begin{cases} \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-v=0{\quad}in{\;}Q\\ \frac{{\partial}v}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}Q \end{cases}\tag{33} $$且我们设$U=\dbinom{u}{v}$，于是（33）变为$$ \frac{dU}{dt}+AU=0\tag{34} $$其中$$ AU=\begin{pmatrix} 0 & -I \\ -{\Delta} & 0 \end{pmatrix}U=\begin{pmatrix} 0 & -I \\ -{\Delta} & 0 \end{pmatrix}\dbinom{u}{v}=\dbinom{-v}{-{\Delta}u}\tag{35} $$我们现在应用Hille–Yosida定理在空间$H=H^1_0(\Omega){\times}L^2(\Omega)$装备上内积$$ (U_1,U_2)=\int_{\Omega}{\nabla}u_1{\cdot}{\nabla}u_2dx+\int_{\Omega}u_1u_2dx+\int_{\Omega}v_1v_2dx $$其中$U_1=\dbinom{u_1}{v_1}$和$U_2=\dbinom{u_2}{v_2}$。考虑无界算子$A:D(A){\subset}H{\to}H$由（35）定义，其中$$ D(A)=(H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)){\times}H^1_0(\Omega) $$注意到边界条件（28）已经包含在空间$H$中。条件$v=\frac{{\partial}u}{{\partial}t}=0$在$\sum$上是（28）的直接结果。我们断言$A+I$是在$H$上极大单调的。（i）$A+I$是单调的，事实上，如果$U=\dbinom{u}{v}{\in}D(A)$我们有$$ \begin{align*} (AU,U)_H&+|U|^2_H\\ &=-\int_{\Omega}{\nabla}v{\cdot}{\nabla}u-\int_{\Omega}uv+\int_{\Omega}(-{\Delta}u)v+\int_{\Omega}u^2+\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2+\int_{\Omega}v^2\\ &=-\int_{\Omega}uv+\int_{\Omega}u^2+\int_{\Omega}v^2+\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2{\ge}0 \end{align*} $$（ii）$A+I$是极大单调的。这等于证明了$A+2I$是满射的。给定$F=\dbinom{f}{g}{\in}H$。我们必须解决方程$AU+2I=F$，也即，系统$$ \begin{cases} -v+2u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ -{\Delta}u+2v=g{\quad}in{\;}\Omega \end{cases}\tag{36} $$其中$$ u{\in}H^2(\Omega){\cap}H^2_0(\Omega)和v{\in}H^1_0(\Omega) $$从（36）于是有$$ -{\Delta}u+4u=2f+g\tag{37} $$方程（37）有唯一一个解$u{\in}H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$（由定理9.25）则我们简单得到$v{\in}H^1_0(\Omega)$由取定$v=2u-f$。而这个解决了（36）。应用Hille-Yosida定理（定理7.4）和注释7.7，我们发现下述问题存在唯一解$$ \begin{cases} \frac{dU}{dt}+AU=0{\quad}on{\;}[0,\infty)\\ U(0)=U_0 \end{cases}\tag{38} $$其中$$ U{\in}C^1([0,\infty);H){\cap}C([0,\infty);D(A))\tag{39} $$因为$U_0=\dbinom{u_0}{v_0}{\in}D(A)$。从（39）我们推断出（31）。为了证明（32），用$\frac{{\partial}u}{{\partial}t}$乘上（27）并且在$\Omega$上积分就足够了。注意到$$ \int_{\Omega}\frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}t^2}\frac{{\partial}u}{{\partial}t}dx=\frac{1}{2}\frac{{\partial}}{{\partial}t}\int_{\Omega}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}t}(x,t)\right|^2dx $$和$$ \int_{\Omega}(-{\Delta}u)\frac{{\partial}u}{{\partial}t}dx=\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}\frac{{\partial}}{{\partial}t}({\nabla}u)dx=\frac{1}{2}\frac{{\partial}}{{\partial}t}\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2dx $$注释7：当$\Omega$是有界的我们可以在$H^1_0(\Omega)$用内积$\int{\nabla}u_1{\cdot}{\nabla}u_2$（见推论9.19），且在$H=H^1_0(\Omega){\times}L^2(\Omega)$内积$$ (U_1,U_2)=\int_{\Omega}{\nabla}u_1{\cdot}{\nabla}u_2+\int_{\Omega}v_1v_2,其中U_1=\dbinom{u_1}{v_1}和U_2=\dbinom{u_2}{v_2}。 $$随着这个内积我们有$$ (AU,U)=-\int_{\Omega}{\nabla}v{\cdot}{\nabla}u+\int_{\Omega}(-{\Delta}u)v=0,{\forall}U=\dbinom{u}{v}{\in}D(A) $$容易验证：（i）$A$和$-A$是极大单调的。（ii）$A^*=-A$。因此我们可以解决问题$$ \frac{dU}{dt}-AU=0{\;}on{\;}[0,+\infty),U(0)=U_0 $$或者等价的$$ \frac{dU}{dt}+AU=0{\;}on{\;}(-\infty,0],U(0)=U_0 $$（仅仅变化$t$到$-t$）关系（32）可以记为$$ |U(t)|_H=|U_0|_H,{\forall}t{\in}\mathbb{R} $$可以认为单参数族$\left\{U(t)\right\}_{t{\in}\mathbb{R}}$是在$H$上的一族等距。注释8：. 与热方程相比，波动方程对初值没有平滑作用。为了相信这一点，考虑情况$\Omega=\mathbb{R}$就足够了。然后有一个非常简单的（27），（28），（29），（30）的显式解，即$$ u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x+t)+u_0(x-t))+\frac{1}{2}\int^{x+t}_{x-t}v_0(s)ds\tag{40} $$特别地，如果$v_0=0$，我们有$$ u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x+t)+u_0(x-t)) $$显然$u$不必$u_0$更正则（光滑）。我们甚至可以更准确。假设$u_0{\in}C^{\infty}(\mathbb{R}{\backslash}\left\{x_0\right\})$。则$u(x,t)$在$\mathbb{R}{\times}\mathbb{R}$是$C^{\infty}$阶的，除了在轴线$x+t=x_0$和$x-t=x_0$上。这些被称为通过点$(x_0,0)$的特征，也可以说奇点沿着特征传播。注释9：当$\Omega$是有界的，问题（27），（28），（29），（30）可以通过希尔伯特基分解来解决，就像对热方程所做的那样。在$L^2(\Omega)$的基$(e_i)$中做是方便地，它们由$-{\Delta}$的特征函数组成（带狄利克雷条件）也即：$-{\Delta}e_i={\lambda_i}e_i$在$\Omega$上，$e_i=0$在$\Gamma$上。回忆$\lambda_i>0$。我们寻找问题（27），（28），（29），（30）的解为级数形式$$ u(x,t)=\sum_ia_i(t)e_i(x)\tag{41} $$我们立刻看到函数$a_i(t)$必须满足$$ a_i''(t)+{\lambda_i}a_i(t)=0 $$于是$$ a_i(t)=a_i(0)cos(\sqrt{{\lambda_i}t})+\frac{a'_i(0)}{\sqrt{\lambda_i}}sin(\sqrt{\lambda_i}t) $$常数$a_i(0)$和$a_i'(0)$是由以下关系决定的$$ u_0(x)=\sum_ia_i(0)e_i(x)和v_0(x)=\sum_ia'_i(0)e_i(x) $$用另外的话说，$a_i(0)$和$a_i'(0)$是$u_0$和$v_0$在基$(e_i)$上的分量。定理10.8的证明：我们用到在定理10.7证明同样的记号。容易看到，由在$k$上的归纳，$$ D(A^k)=\begin{cases} \dbinom{u}{v};u{\in}H^{k+1}且{\Delta}^ju=0{\;}on{\;}\Gamma,{\forall}j,0{\le}j{\le}[k/2]\\ v{\in}H^k(\Omega)且{\Delta}^jv=0{\;}on{\;}\Gamma,{\forall}j,0{\le}j{\le}[(k+1)/2]-1 \end{cases} $$特别地，$D(A^k){\subset}H^{k+1}(\Omega){\times}H^k(\Omega)$带连续单射。应用定理7.5，我们看到如果$U_0=\dbinom{u_0}{v_0}{\in}D(A^k)$，则问题（38）的解$U$满足:$$ U{\in}C^{k-j}([0,\infty);D(A^k)),{\forall}j=0,1,{\cdots},k $$因此$u{\in}C^{k-j}([0,\infty);H^{j+1}(\Omega)),{\forall}j=0,1,{\cdots},k$我们由推论915总结出在定理10.8的假设下（也即$U_0{\in}D(A^k),{\forall}k$），$u{\in}C^k(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty)),{\forall}k$。注释10：定理10.8中引入的相容性条件是问题（27），（28），（29），（30）的解$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$的充分必要条件。证明是和注释4一样的。注释10：第10.3节中介绍的技术也可用于求解Klein-Gordon方程$$ \frac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2}-{\Delta}u+m^2u=0{\;}in{\;}Q,m{>}0\tag{27'} $$注意到（27‘）不能被未知的变换例如$v(x,t)=e^{\lambda_t}u(x,t)$减弱到（27）第十章的评论关于热方程的评论1. J-L.Lion的方法2 $C^{\infty}$正规性3.$L^p$和$C^{0,\alpha}$正规性4. 抛物型方程的几个例子关于波动方程的评论6. 波动方程的弱解8.极大值原理9.依赖域。波传播。惠更斯原理
索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式9.7 极大值原理极大值原理是一个非常有用的工具，它包含了很多公式，我们在这里给出了一些简单的形式。令$\Omega$为一个$\mathbb{R}^N$中的一般开集。定理9.27（狄利克雷问题的极大值原理）假设$f{\in}L^2(\Omega)$且$u{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$。满足$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega)\tag{70} $$则对于所有的$x{\in}\Omega$，$$ \min\left\{\inf_{\Gamma}u,\inf_{\Omega}f\right\}{\le}u(x){\le}\max\left\{\sup_{\Gamma}u,\sup_{\Omega}f\right\} $$（这里和下面的，$sup=essential{\;}\sup$和$inf=essential{\;}\inf$）证明：我们用到Stampacchia截断法。给i顶一个函数$G{\in}C^1(\mathbb{R})$使得：（i）$|G'(s)|{\le}M,{\forall}s{\in}\mathbb{R}$。（ii）$G$是在$(0,+\infty)$上严格递增的。（iii）$G(s)=0,{\forall}s{\le}0$。设$$ K=\max\left\{\sup_{\Gamma}u,\sup_{\Omega}f\right\} $$且假设$K<\infty$（否则不需要证明）令$v=G(u-K)$，我们区分两种情况：（a）情况$|\Omega|<\infty$。则$v{\in}H^1(\Omega)$（从命题9.5应用到函数$t{\mapsto}G(t-K)-G(-K)$）。另一方面，$v{\in}H^1_0(\Omega)$，因为$v{\in}C(\overline{\Omega})$且在$\Gamma$上$v=0$（见定理9.17）将$v$代入（70）且按照定理8.18的证明进行。（b）情况$|\Omega|=\infty$。我们则有$K{\ge}0$（因为在$\Omega$上$f(x){\le}K$几乎处处成立且$f{\in}L^2$蕴含着$K{\ge}0$。）固定$K'>K$。由命题9.5应用到函数$t{\mapsto}G(t-K')$我们可以看到，$v=G(u-K'){\in}H^1(\Omega)$。更甚者，$v{\in}C(\overline{\Omega})$且在$\Gamma$上$v=0$。因此$v{\in}H^1_0(\Omega)$，将这个$v$代入（70），我们有$$ \int_{\Omega}|{\nabla}u|^2G'(u-K')+\int_{\Omega}uG(u-K')=\int_{\Omega}fG(u-K')\tag{71} $$另一方面，$G(u-K'){\in}L^1(\Omega)$。因为$$ 0{\le}G(u-K'){\le}M|u| $$且在集合$[u{\ge}K']=\left\{x{\in}\Omega;u(x){\ge}K'\right\}$我们有$$ K'\int_{[u{\ge}K']}|u|{\le}\int_{\Omega}u^2<\infty $$我们从（71）总结出$$ \int_{\Omega}(u-K')G(u-K'){\le}\int_{\Omega}(f-K')G(u-K'){\le}0 $$于是在$\Omega$上$u{\le}K'$几乎处处成立，且因此在$\Omega$上$u{\le}K$几乎处处成立（因为$K'>K$是任取的）推论9.28令$f{\in}L^2(\Omega)$和$u{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$满足（70），我们有$$ [u{\ge}0{\;}on{\;}\Gamma和f{\ge}0{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}[u{\ge}0{\;}in{\;}\Omega]\tag{72} $$$$ \|u\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\le}\max\left\{\|u\|_{L^{\infty}(\Gamma)},\|f\|_{L^{\infty}(\Omega)}\right\}\tag{73} $$特别地$$ if{\;}f=0{\;}in{\;}\Omega,则\|u\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\le}\|u\|_{L^{\infty}(\Gamma)}\tag{74} $$$$ if{\;}u=0{\;}in{\;}\Gamma,则\|u\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\le}\|f\|_{L^{\infty}(\Omega)}\tag{75} $$注释27：如果$\Omega$是有界的且$u$是方程（下面）的一个经典解$$ -{\Delta}u+u=f{\;}in{\;}\Omega\tag{76} $$可以给出定理9.27的另一个证明。事实上，令$x_0{\in}\overline{\Omega}$为一个点使得$u(x_0)=\max_{\overline{\Omega}}u$。（i）如果$x_0{\in}\Gamma$，则$u(x_0){\le}\sup_{\Gamma}u{\le}K$。（ii）如果$x_0{\in}\Omega$，则${\nabla}u(x_0)=0$且$\frac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2_i}{\le}0$对于所有的$1{\le}i{\le}N$，于是${\Delta}u(x_0){\le}0$。从这个，用到方程（76）我们有$$ u(x_0)=f(x_0)+{\Delta}u(x_0){\le}f(x_0){\le}K $$这个方法有个有点就是应用于一般的二阶椭圆方程。例如，定理9.27的结论是成立的对于$$ -\sum^N_{i,j=1}\frac{{\partial}}{{\partial}x_j}\left(a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\right)+\sum^N_{i=1}a_i\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}+u=f{\quad}in{\Omega}\tag{77} $$注意到如果$x_0{\in}\Omega$，则$$ \sum^N_{i,j=1}a_{ij}(x_0)\frac{{\partial}^2u}{{\partial}x_i{\partial}x_j}(x_0){\le}0 $$事实上，由通过坐标的变换（依赖于$x_0$）可以减少到情况矩阵$a_{ij}(x_0)$为对角的。定理9.27的结论对于（77）的弱解依旧成立，但是证明更精细一点。命题9.29假设函数$a_{ij}{\in}L^{\infty}(\Omega)$满足椭圆条件（36），且$a_i,a_0{\in}L^{\infty}(\Omega)$，其中$a_0{\ge}0$在$\Omega$上。令$f{\in}L^2(\Omega)$和$u{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$为使得$$ \int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i} \frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}\sum_ia_i \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\varphi+\int_{\Omega}a_0u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega)\tag{78} $$则$$ [u{\ge}0{\;}on{\;}\Gamma和f{\ge}0{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}[u{\ge}0{\;}in{\;}\Omega]\tag{79} $$假设$a_0{\equiv}0$且$\Omega$是有界的，则$$ [f{\ge}0{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}[u{\ge}\inf_{\Gamma}u{\;}in{\;}\Omega]\tag{80} $$和$$ [f=o{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}\left[\inf_{\Gamma}u{\le}\sup_{\Gamma}u{\;}in{\;}\Omega\right]\tag{81} $$证明：我们在情况$a_i{\equiv}0,1{\le}i{\le}N$证明这个结果；一般地情况是更为精细的。为了构建（79）是说明下面是一样的$$ [u{\le}{\;}on{\;}和f{\le}0{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}[u{\le}0{\;}in{\;}\Omega]\tag{79'} $$我们在（78）中取定$\varphi=G(u)$，其中$G$和定理9.27的证明一样，因此我们得到$$ \int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_j}G'(u){\le}0 $$且于是$$ \int_{\Omega}|{\nabla}u|^2G'(u){\le}0 $$设$H(t)=\int^t_0[G'(s)]^{1/2}ds$，于是$$ H(u){\in}H^1_0(\Omega)和|{\nabla}H(u)|^2=|{\nabla}u|^2G'(u)=0 $$于是在$\Omega$上$H(u)=0$，且因此在$\Omega$上$u{\le}0$。我们现在在下面这个形式中证明（80）：$$ [f{\le}0{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}[u{\le}\sup_{\Gamma}u{\;}in{\;}\Omega]\tag{80'} $$设$K=\sup_{\Gamma}u$，则$(u-K)$满足（78），因为$a_0{\equiv}0$且$(u-K){\in}H^1(\Omega)$。因为$\Omega$是有界的。应用（79‘）我们得到$u-K{\le}0$在$\Omega$上，也即是（80‘）。最终从（80）和（80’）可以推至（81）。命题9.30（诺伊曼问题的极大值原理）令$f{\in}L^2(\Omega)$和$u{\in}H^1(\Omega)$为使得$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1(\Omega) $$则我们有，对于几乎处处$x{\in}\Omega$，$$ \inf_{\Omega}f{\le}u(x){\le}\sup_{\Omega}f $$证明：类似于定理9.27的证明。9.8 特征函数与谱分解在这一节里我们假设$\Omega$是一个有界开集。定理9.31存在一个$L^2(\Omega)$的希尔伯特基$(e_n)_{n{\ge}1}$，和一个实序列$(\lambda_n)_{n{\ge}1}$，其中$\lambda_n{\ge}0,{\forall}n$，且$\lambda_n{\to}+\infty$使得$$ e_n{\in}H^1_0(\Omega){\cap}C^{\infty}(\Omega)\tag{82} $$$$ -{\Delta}e_n={\lambda_n}e_n{\;}in{\;}\Omega\tag{83} $$我们说$\lambda_n$是hi${-{\Delta}}$的特征值（带有狄利克雷边界条件）且$e_n$是相联系的特征函数。证明：给定$f{\in}L^2(\Omega)$，令$u=Tf$为唯一的解$u{\in}H^1_0(\Omega)$关于问题$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega)\tag{84} $$我们考虑$T$为从$L^2(\Omega)$到$L^2(\Omega)$上的算子。则$T$是一个自伴紧算子（重复定理8.21的证明且用到事实$H^1_0(\Omega){\subset}L^2(\Omega)$带有紧单射）另一方面，$N(T)=\left\{0\right\}$且$(Tf,f)_{L^2}{\ge}0,{\forall}f{\in}L^2$。我们总结（应用定理6.11）出$L^2$有一个希尔伯特基$(e_n)$包含了$T$的特征函数与特征值$(\mu_n)$相联系，其中$\mu_n{>}0,{\forall}n$且$\mu_n{\to}0$。因此我们有$e_n{\in}H^1_0(\Omega)$且$$ \int_{\Omega}{\nabla}e_n{\cdot}{\nabla}\varphi=\frac{1}{\mu_n}\int_{\Omega}e_n{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega) $$用另一种方式说，$e_n$是问题（83）其中$\lambda_n=1/\mu_n$的一个弱解。从节9.6的正规性结果（见注释25）我们可以知道对于任意$w{\subset}{\subset}\Omega,e_n{\in}H^2(w)$。于是对于任意$w{\subset}{\subset}\Omega,e_n{\in}H^4(w)$。且然后对于任意$w{\subset}{\subset},e_n{\in}H^6(w)$。这样子下去，因此$e_n{\in}{\cap}_{m{\ge}1}H^m(w)$对于所有的$w{\subset}{\subset}\Omega$。因此，对于所有的$w{\subset}{\subset}\Omega,e_n{\in}C^{\infty}(w)$。也即$e_n{\in}C^{\infty}(u)$。注释28：在定理9.31的假设下，序列$(e_n/\sqrt{{\lambda}_n})$是一个$H^1_0(\Omega)$的希尔伯特基，带有内积$\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v$，且$(e_n/\sqrt{{\lambda_n}+1})$是$H^1_0$的一个希尔伯特基装备上内积$\int_{\Omega}({\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+uv)$。事实上，显然序列$(e_n/\sqrt{\lambda_n})$是在$H^1_0(\Omega)$中规范正交的。仍然需要检验由$e_n$张成的向量空间是在$H^1_0(\Omega)$中稠密的。故，令$f{\in}H^1_0(\Omega)$为使得$(f,e_n)_{H^1_0}=0,{\forall}n$。我们必须证明$f=0$。从（83）我们有${\lambda_n}\int{e_n}f=0,{\forall}n$且因此$f=0$（因为$(e_n)$是$L^2(\Omega)$的一个希尔伯特基）注释29：在定理9.31的假设下（对于一个一般地有界区域$\Omega$）可以证明$e_n{\in}L^{\infty}(\Omega)$，另一方面，如果$\Omega$是$C^{\infty}$阶的，则$e_n{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})$。这个结果从定理9.25容易得到。注释30：令$a_{ij}{\in}L^{\infty}(\Omega)$为函数满足椭圆条件（36）且令$a_0{\in}L^{\infty}(\Omega)$，则存在一个$L^2(\Omega)$的希尔伯特基$(e_n)$且存在一个实序列$(\lambda_n)$，其中$\lambda_n{\to}+\infty$使得$e_n{\in}H^1_0(\Omega)$且$$ \int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij} \frac{{\partial}e_n}{{\partial}x_i} \frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}a_0e_n\varphi={\lambda_n}\int_{\Omega}e_n{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega) $$总结这一章节是对于索伯列夫空间和椭圆函数的一个导论。一些非常有用的索伯列夫范数不等式A。Poincaré–Wirtinger’s inequalityB。Hardy’s inequalityC。Interpolation inequalities of Gagliardo–Nirenberg分数阶索伯列夫空间迹理论2m阶算子和椭圆系统$L^p$和$C^{0,\alpha}$空间的正规性变分法的一些缺点及克服方法对偶方法，稠密方法Laplace–Beltrami算子谱性质，逆问题退化椭圆问题非线性椭圆问题半线性，拟线性，自由边界问题几何测度理论
索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式9.6 弱解的正规性定义我们说一个开集$\Omega$是$C^m$阶的，$m{\ge}1$为一个整数，如果对任意$x{\in}\Gamma$，存在一个在$\mathbb{R}^N$中$x$的邻域$U$，和一个双射$H:Q{\to}U$使得$$ H{\in}C^m(\overline{Q}),H^{-1}{\in}C^m(\overline{U}),H(Q_+)=U{\cap}\Omega,H(Q_0)=U{\cap}\Gamma $$我们说$\Omega$是$C^{\infty}$阶的，如果$C^m$阶，对所有的$m$成立。主要的正规性结果如下：定理9.25（狄利克雷问题的正规性）令$\Omega$为$C^2$阶的一个开集，且$\Gamma$为界（或者$\Omega=\mathbb{R}^N_+$）令$f{\in}L^2(\Omega)$且令$u{\in}H^1_0(\Omega)$满足$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega)\tag{48} $$则$u{\in}H^2(\Omega)$且$\|u\|_{H^2}{\le}C\|f\|_{L^2}$，其中$C$是一个常数仅依赖于$\Omega$。更甚者，如果$\Omega$是$C^{m+2}$阶的且$f{\in}H^{m}(\Omega)$，则$$ u{\in}H^{m+2}(\Omega)且\|u\|_{H^{m+2}}{\le}C\|f\|_{H^m} $$特别地，如果$f{\in}H^m(\Omega)$，其中$m>N/2$，则$u{\in}C^2(\overline{\Omega})$。最终，如果$\Omega$是$C^{\infty}$阶的且如果$f{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})$，则$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})$。定理9.26（诺伊曼问题的正规性）和在定理9.25一样的假设，可以得到对于诺伊曼问题解的相同的结论。也即，对于$u{\in}H^1(\Omega)$，使得$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u\varphi=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1(\Omega)\tag{49} $$注释24：可以得到对于狄利克雷（诺伊曼）问题联系一般地二阶椭圆算子的解的相同结论，也即，如果$u{\in}H^1_0(\Omega)$是使得$$ \int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}\sum_ia_i\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\varphi+\int_{\Omega}a_0u\varphi=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega) $$则$$ [f{\in}L^2(\Omega),a_{ij}{\in}C^1(\overline{\Omega})且a_i{\in}C(\overline{\Omega})]{\Rightarrow}u{\in}H^2(\Omega) $$且对于$m{\ge}1$，$$ [f{\in}H^m(\Omega),a_{ij}{\in}C^{m+1}(\overline{\Omega})且a_i{\in}C^m(\overline{\Omega})]{\Rightarrow}u{\in}H^{m+2}(\Omega) $$我们将仅仅证明9.25；定理9.26的证明是完全类似的。证明的主要想法是下面的。我们首先考虑情况$\Omega=\mathbb{R}^N$，然后情况$\Omega=\mathbb{R}^N_+$。对于一个一般的区域$\Omega$我们继续两个步骤：1.内部正则性，也即$u$是正则的对于任意区域$w{\subset}{\subset}\Omega$。这里，证明和当$\Omega=\mathbb{R}^N$的模式一样。2.边界的正则性，也即，$u$是正则的在某i额边界的邻域上，这里，在局部图中，证明类似于情况$\Omega=\mathbb{R}^N_+$。我们推荐读者在处理一般情况前，研究好情况$\Omega=\mathbb{R}^N$和$\Omega=\mathbb{R}^N_+$，这一节的计划如下：A。情况$\Omega=\mathbb{R}^N$。B。情况$\Omega=\mathbb{R}^N_+$。C。一般情况：​ C1。内部估计​ C2。接近边界的估计证明的基本要素是尼伦伯格的翻译方法。A 情况$\Omega=\mathbb{R}^N$记号给定$h{\in}\mathbb{R}^N,h{\neq}0$，设$$ D_hu=\frac{1}{|h|}(\tau_hu-u),即,D_hu(x)=\frac{u(x+h)-u(x)}{|h|} $$在（48）中取$\varphi=D_{-h}(D_hu)$，这是可能的，因为$\varphi{\in}H^1(\mathbb{R}^N)$（因为$u{\in}H^1(\mathbb{R}^N)$）；我们得到$$ \int|{\nabla}D_hu|^2+\int|D_hu|^2=\int{f}D_{-h}(D_hu) $$且因此$$ \|D_hu\|^2_{H^1}{\le}\|f\|_2\|D_{-h}(D_hu)\|_2\tag{50} $$另一方面，回忆（命题9.3）$$ \|D_{-h}v\|_2{\le}\|{\nabla}v\|_2,{\forall}v{\in}H^1\tag{51} $$带着$v=D_hu$用这个，我们得到$$ \|D_hu\|_{H^1}^2{\le}\|f\|_2\|{\nabla}(D_hu)\|_2 $$且最终$$ \|D_hu\|_{H^1}{\le}\|f\|_2 $$特别地$$ \left\|D_h\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\right\|_2{\le}\|f\|_2,{\forall}i=1,2,{\cdots},N\tag{52} $$再次应用命题9.3，我们可以看到$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in}H^1$且因此$u{\in}H^2$。现在我们证明$f{\in}H^1{\Rightarrow}u{\in}H^3$。我们用$Du$来代表任何导数$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i},1{\le}i{\le}N$。我们现在已经知道$Du{\in}H^1$。我们必须证明$Du{\in}H^2$。为此，只需验证$$ \int{\nabla}(Du){\cdot}{\nabla}\varphi+\int(Du)\varphi=\int(Df)\varphi,{\forall}\varphi{\in}H^1\tag{53} $$（且然后我们可以对$Du$用上面的分析，给出$Du{\in}H^2$）如果$\varphi{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$，我们可以在（48）中用$D{\varphi}$代替$\varphi$，于是变成$$ \int{\nabla}u{\cdot}{\nabla}(D\varphi)+\int{u}D{\varphi}=\int{f}D{\varphi} $$且因此$$ \int{\nabla}(Du){\cdot}{\nabla}\varphi+\int(Du){\varphi}=\int(Df)\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N) $$这蕴含了（53），因为$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$在$H^1(\mathbb{R}^N)$上稠密（命题9.2）为了说明$f{\in}H^m{\Rightarrow}u{\in}H^{m+2}$，在$m$上进行归纳论证和应用（53）就足够了。B 情况$\Omega=\mathbb{R}^N_+$我们再次用到变换，但只在相切的方向，也即，在一个方向$h{\in}\mathbb{R}^{N-1}{\times}\left\{0\right\}$：我们说$h$是与边界平行的，且用$h||\Gamma$表示这个。必须注意到$$ u{\in}H^1_0(\Omega){\Rightarrow}{\tau_h}u{\in}H^1_0(\Omega){\quad}if{\;}h||\Gamma $$另一种说法，$H^1_0$在切向平移下是不变的。我们取定$h||\Gamma$且在（48）中插入$\varphi=D_{-h}(D_h)$；我们得到$$ \int|{\nabla}(D_hu)|^2+\int|D_hu|^2=\int{f}D_{-h}(D_hu) $$也即$$ \|D_hu\|^2_{H^1}{\le}\|f\|_2\|D_{-h}(D_hu)\|_2\tag{54} $$我们现在用到下面的引理：引理9.6我们有$$ \|D_hv\|_{L^2(\Omega)}{\le}\|{\nabla}v\|_{L^2(\Omega)},{\forall}v{\in}H^1(\Omega),{\forall}h||\Gamma $$证明：由$v{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$开始接上命题9.3的证明（注意到对于所有的$t$和$h||\Gamma,\Omega+th=\Omega$）。对于一般$v{\in}H^1(\Omega)$由稠密性论证。结合（54）和引理9.6，我们得到$$ \|D_hu\|_{H^1}{\le}\|f\|_2,{\forall}h||\Gamma\tag{55} $$令$1{\le}j{\le}N,1{\le}k{\le}N-1,h=|h|e_k$，且$\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$，我们有$$ \int{D_h}\left(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_j}\right){\varphi}=-\int{u}D_{-h}\left(\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}\right) $$且归因于（55），$$ \left|\int{u}D_{-h}\left(\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}\right)\right|{\le}\|f\|_2\|{\varphi}\|_2 $$当$h{\to}0$取到极限，这个就变成了$$ \left|\int{u}\frac{{\partial}^2\varphi}{{\partial}x_j{\partial}x_k}\right|{\le}\|f\|_2\|{\varphi}\|_2,{\forall}1{\le}j{\le}N,{\forall}1{\le}k{\le}N-1\tag{56} $$最终，我们断言$$ \left|\int{u}\frac{{\partial}^2{\varphi}}{{\partial}x^2_N}\right|{\le}\|f\|_2\|\varphi\|_2,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)\tag{57} $$为了证明（57）我们转到方程（48）且推断出$$ \left|\int{u}\frac{{\partial}^2{\varphi}}{{\partial}x^2_N}\right|{\le}\sum^{N-1}_{i=1}\left|\int{u}\frac{{\partial}^2{\varphi}}{{\partial}x^2_i}\right|+\left|\int(f-u)\varphi\right|{\le}C\|f\|_2\|{\varphi}\|_2 $$从（56）。结合（56）和（57），我们结束由$$ \left|\int{u}\frac{{\partial}^2\varphi}{{\partial}x_j{\partial}x_k}\right|{\le}C\|f\|_2\|\varphi\|_2,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega),{\forall}1{\le}j,k{\le}N $$因此，$u{\in}H^2(\Omega)$，因为存在函数$f_{jk}{\in}L^2(\Omega)$使得$$ \int{u}\frac{{\partial}^2\varphi}{{\partial}x_j{\partial}x_k}=\int{f_{jk}}\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega) $$（和命题8.3的证明一样）我们最后说明$f{\in}H^m(\Omega){\Rightarrow}u{\in}H^{m+2}(\Omega)$。$Du$是指任何一个切向导数$Du=\frac{{\partial}u}{{\partial}x_j},1{\le}j{\le}N-1$。我们首先构建下面的结果。引理9.7令$u{\in}H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$满足（48），则$Du{\in}H^1_0(\Omega)$且，更甚者，$$ \int{\nabla}(Du){\cdot}{\nabla}\varphi+\int(Du)\varphi=\int(Df){\varphi},{\forall}{\varphi}{\in}H^1_0(\Omega)\tag{58} $$证明：唯一的微妙之处在于证明$Du{\in}H^1_0(\Omega)$，因为（58）是来自（48）由取定$D{\varphi}$代替$\varphi$（其中$\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$）且然后用稠密性论证。令$h=|h|e_j,1{\le}j{\le}N-1$，于是$D_hu{\in}H^1_0$（因为$H^1_0$是在切方向平移不变的）由引理9.6我们有$$ \|D_hu\|_{H^1}{\le}\|u\|_{H^2} $$因此存在一个序列$h_n{\to}0$使得$D_{h_n}u$弱收敛到某个$g{\in}H^1_0$（因为$H^1_0$是一个希尔伯特空间）。特别地，在$L^2$里面$D_{h_n}u{\rightharpoonup}g$弱收敛。对于$\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$，我们有$$ \int(D_hu){\varphi}=\int{u}(D_{-h}\varphi) $$且在极限情况，当$h_n{\to}0$，我们得到$$ \int{g\varphi}=-\int{u}\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j},{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega) $$因此，$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_j}=g{\in}H^1_0(\Omega)$。关于$f{\in}H^m{\Rightarrow}u{\in}H^{m+2}$的证明。这个是对$m$的归纳。假设断言对于$m$成立，且令$f{\in}H^{m+1}$。我们已经知道$u{\in}H^{m+2}$，$Du$（任意切向导数）依旧属于$H^1_0$且满足（58）。对于$Du$和$Df$应用归纳假设，我们看到$Du{\in}H^{m+2}$。总结一下就足够了，例如，验证$\frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}x^2_N}{\in}H^{m+1}$。为了这个目标我们再次转到方程（48），我们记下$$ \frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}x^2_N}=-\sum^{N-1}_{i=1}\frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}x^2_i}+u-f{\in}H^{m+1} $$C 一般情况我们仅仅证明$f{\in}L^2(\Omega){\Rightarrow}u{\in}H^2(\Omega)$；蕴含着$f{\in}H^m{\Rightarrow}u{\in}H^{m+2}$由在$m$上归纳在情况$A$和$B$。为了简化表达，我们假设$\Omega$是有界的，我们用到一个单位分解且记下$u=\sum^k_{i=0}{\theta_i}u$作为定理9.7的证明。C1 内部估计我们断言${\theta_0}u{\in}H^2(\Omega)$，因为$\theta_{0|\Omega}{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$，函数${\theta}_0u$在$\Omega$由0延拓属于$H^1(\mathbb{R}^N)$（见注释4(ii)）。容易验证$\theta_0{u}$是在$\mathbb{R}^N$中方程（下面）的一个弱解$$ -{\Delta}(\theta_0u)+\theta_0{u}={\theta_0}f-2{\nabla}{\theta_0}{\cdot}{\nabla}u-(\Delta{\theta_0}u)\stackrel{def}{\equiv}g $$其中$g{\in}L^2(\mathbb{R}^N)$，我们由情况$A$推断出$\theta_0{u}{\in}H^2(\mathbb{R}^N)$且$$ \|{\theta_0}u\|_{H^2}{\le}C(\|f\|_2+\|u\|_{H^1}){\le}C'\|f\|_2 $$（因为由（48）$\|u\|_{H^1}{\le}\|f\|_2$）C2 临近边界的估计我们断言$\theta_iu{\in}H^2(\Omega)$对于$1{\le}i{\le}k$。回忆起我们有一个双射$H:Q{\to}U_i$使得$$ H{\in}C^2(\overline{Q}),J=H^{-1}{\in}C^2(U_i),H(Q_+)=\Omega{\cap}U_i和H(Q_0)=\Gamma{\cap}U_i $$我们记下$x=H(y)$和$y=H^{-1}(x)=J(x)$。容易验证$v={\theta_i}u{\in}H^1_0(\Omega{\cap}U_i)$且$v$是一个在$\Omega{\cap}U_i$中的方程（下面）的弱解$$ -{\Delta}v={\theta_i}f-{\theta_i}u-2{\nabla}{\theta_u}{\nabla}u-(\Delta{\theta_i}u)\stackrel{def}{\equiv}g $$其中$g{\in}L^2(\Omega{\cap}U_i)$且$\|g\|_2{\le}C\|f\|_2$。更精确的，我们有$$ \int_{\Omega{\cap}U_i}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi{dx}=\int{\Omega{\cap}U_i}g{\varphi}dx,{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega{\cap}U_i)\tag{59} $$我们现在平移$v_{|\Omega{\cap}U_i}$到$Q_+$。设$$ w(y)=v(H(y)){\quad}for{\;}y{\in}Q_+ $$也即$$ w(Jx)-v(x){\quad}for{\;}x{\in}\Omega{\cap}U_i $$下面的引理——是基础的——表明方程（59）变为在$Q_+$上的一个二阶椭圆方程。引理9.8由上面的记号，$w{\in}H^1_0(Q_+)$且满足$$ \sum^N_{k,l=1}\int_{Q_+}a_{k,l}\frac{{\partial}w}{{\partial}y_k}\frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_l}dy=\int_{Q_+}\widetilde{g}\psi{dy},{\forall}\psi{\in}H^1_0(Q_+) $$其中$\widetilde{g}=(g{\circ}H)|DetJac{\;}H|{\in}^2(Q_+)$且函数$a_{kl}{\in}C^1(\overline{Q}_+)$满足椭圆条件（36）。证明：令$\psi{\in}H^1_0(Q_+)$且设$\varphi(x)=\psi(Jx)$对于$x{\in}\Omega{\cap}U_i$。则$\varphi{\in}H^1_0(\Omega{\cap}U_i)$和$$ \frac{{\partial}v}{{\partial}x_i}=\sum_k\frac{{\partial}w}{{\partial}y_k}\frac{{\partial}J_k}{{\partial}x_j},\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}=\sum_l\frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_l}\frac{{\partial}J_l}{{\partial}x_j} $$因此$$ \begin{align*} \int_{\Omega{\cap}U_i}{\nabla}v{\cdot}{\nabla}\varphi{dx}&=\int_{\Omega{\cap}U_i}\sum_{j,k,l}\frac{{\partial}J_k}{{\partial}x_j}\frac{{\partial}J_l}{{\partial}x_j} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_l}dx\\ &=\int_{Q_+}\sum_{j,k,l}\frac{{\partial}J_x}{{\partial}x_j}\frac{{\partial}J_l}{{\partial}x_j} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_l}|detJac{\;}H|dy \end{align*} $$从积分中变量公式的通常变化。因此$$ \int_{\Omega{\cap}U_i}{\nabla}v{\cdot}{\nabla}\varphi{dx}=\int_{Q_+}\sum_{k,l}a_{kl} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_l}dy $$其中$a_{kl}=\sum_j\frac{{\partial}J_k}{{\partial}x_j}\frac{{\partial}J_l}{{\partial}x_j}|detJac{\;}H|$。我们记下$a_{kl}{\in}C^1(\overline{Q}_+)$且满足椭圆条件，因为对于所有的$\xi{\in}\mathbb{R}^N$，我们有$$ \sum_{k,l}a_{kl}\xi_k\xi_l=|detJac{\;}H|\sum_j\left|\sum_k \frac{{\partial}J_k}{{\partial}x_j}\xi_k\right|^2{\ge}\alpha{|\xi|^2} $$其中$\alpha>0$，因为雅可比矩阵$Jac{\;}H$和$Jac{\;}J$不是奇异的。另一方面，我们有$$ \int_{\Omega{\cap}U_i}g{\varphi}dx=\int_{Q_+}(g{\cdot}H)\psi|detJac{\;}H|dy\tag{62} $$结合（59），（61）和（62）我们得到（60）.这个完成了引理9.8的证明。我们现在转到边界估计的证明，且说明$w{\in}H^2(Q_+)$，其中$\|w\|_{H^2}{\le}C\|\widetilde{g}\|$。这个意味着，回到$\Omega{\cap}U_i$，有${\theta_i}u$属于$H^2(\Omega{\cap}U_i)$且因此，事实上，属于$H^2(\Omega)$，其中$\|{\theta_i}u\|_{H^2}{\le}C\|f\|_2$。像在情况$B(\Omega=\mathbb{R}^N_+)$一样，我们用到切方向平移。在（60）中取定$\psi=D_{-h}(D_hw)$其中$h||Q_0$，且$h$足够小使得$\psi{\in}H^1_0(Q_+)$。我们得到$$ \sum_{k,l}\int_{Q_+}D_h(a_{kl} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k}) \frac{{\partial}}{{\partial}y_l}(D_hw)=\int_{Q_+}\widetilde{g}D_{-h}(D_hw)\tag{63} $$但是$$ \int_{Q_+}\widetilde{g}D_{-h}(D_hw){\le}\|\widetilde{g}\|_2\|D_{-h}(D_hw)\|_2{\le}\|\widetilde{g}\|_2\|{\nabla}D_hw\|_2\tag{64} $$（由引理9.6）另一方面，记$$ D_h(a_{kl} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k})(y)=a_{kl}(y+h) \frac{{\partial}}{{\partial}y_k}D_hw(y)+(D_ha_{kl}(y)) \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k}(y) $$且因此我们有$$ \sum_{kl}\int_{Q_+}D_h(a_{kl} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k}) \frac{{\partial}}{{\partial}y_l}(D_hw){\ge}\alpha\|{\nabla}(D_hw)\|^2_2-C\|w\|_{H^1}\|{\nabla}D_hw\|_2\tag{65} $$结合（64）和（65），我们得到$$ \|{\nabla}D_hw\|_2{\le}C(\|w\|_{H^1}+\|\widetilde{g}\|_2){\le}C\|\widetilde{g}\|_2\tag{66} $$（注意到因为（60）和庞加莱不等式，$\|w\|_{H^1}{\le}C\|\widetilde{g}\|_2$）我们从（66）推导出，像在情况$B$一样，$$ \left|\int_{Q_+} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_l}\right|{\le}C\|\widetilde{g}\|_2\|\psi\|_2,{\forall}\psi{\in}C_c^1(Q_+),{\forall}(k,l){\neq}(N,N)\tag{67} $$得出结论$w{\in}H^2(Q_+)$（且$\|w\|_{H^2}{\le}\|\widetilde{g}\|_2$），还需要证明$$ \left|\int_{Q_+}\frac{{\partial}w}{{\partial}y_N} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_N}\right|{\le}C\|\widetilde{g}\|_2\|\psi\|_2,{\forall}\psi{\in}C_c^1(Q_+)\tag{68} $$为了这个目的我们转到方程，其中我们用$(1/a_{NN}\psi)$（$\psi{\in}C_c^1(Q_+)$）代替$\psi$；这是可能的，因为$a_{NN}{\in}C^1(\overline{Q}_+)$且$a_{NN}{\ge}\alpha>0$。则变为$$ \int{a_{NN}}\frac{{\partial}w}{{\partial}y_N} \frac{{\partial}}{{\partial}y_N}\left(\frac{\psi}{a_{NN}}\right)=\int{\frac{\widetilde{g}}{a_{NN}}}\psi-\sum_{(k,l){\neq}(N,N)}\int{a_{kl}}\frac{{\partial}w}{{\partial}y_k} \frac{{\partial}}{{\partial}y_l}(\frac{\psi}{a_{NN}}) $$也就是$$ \begin{cases} \int\frac{{\partial}w}{{\partial}y_N} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_N}=\int\frac{1}{a_{NN}}(\frac{{\partial}a_{NN}}{{\partial}y_N})\frac{{\partial}w}{{\partial{y_N}}}\varphi+\int\frac{\widetilde{g}}{a_{NN}}\psi\\ +\sum_{(k,l){\neq}(N,N)}\int \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k}\left( \frac{{\partial}a_{kl}}{{\partial}y_l}\right) \frac{{\psi}}{a_{NN}}\\ -\sum_{(k,l){\neq}(N,N)}\int \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k} \frac{{\partial}}{{\partial}y_l}\left(\frac{{a_{kl}\psi}}{a_{NN}}\right) \end{cases}\tag{69} $$结合（67）和（69），我们得到$$ \left|\int_{Q_+} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_N} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_N}\right|{\le}C(\|w\|_{H^1}+\|\widetilde{g}\|_2)\|\psi\|_2,{\forall}\psi{\in}C_c^1(Q_+) $$这个构建了（68）且完成了邻近边界的估计。注释25：令$\Omega$为任意一个开集且令$u{\in}H^1(\Omega)$为使得$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega) $$我们假设$f{\in}H^m(\Omega)$，则${\theta}u{\in}H^{m+2}(\Omega)$对于任意${\theta{\in}C_c^{\infty}(\Omega)}$。我们称$u{\in}H^{m+2}_{loc}(\Omega)$。为了证明这一点，我们可以像在情况$C1$中那样进行，并通过对$m$的归纳来论证。特别地，如果$f{\in}C^{\infty}(\Omega){\Rightarrow}u{\in}C^{\infty}(\Omega)$。$$ -\int_{\Omega}u{\Delta}\varphi=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega) $$（这个证明有一点精细）我们强调了椭圆问题正则性结果的局部性质。更准确地说，令$f{\in}L^2(\Omega)$且令$u{\in}H^1_0(\Omega)$为下面的唯一的弱解$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}{\varphi}{\in}H^1_0(\Omega) $$固定$w{\subset}{\subset}\Omega$，则$u_{|w}$不仅仅依赖于在$w$上的$f$的值，且依赖于在所有$\Omega$上的$f$的值。反之，$u_{|w}$的正规性仅仅依赖于$f_{|w}$上的正规性。例如，$f{\in}C^{\infty}(w){\Rightarrow}u{\in}C^{\infty}(w)$即便$f$是在$w$外非正规的。这个性质称为亚椭圆性。注释26：从某种意义上说，这种正规性的结果有点令人惊讶。事实上，在${\Delta}u$上做一个假设，也即，在导数和$\sum_k\frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}x^2_k}$上，强制所有的导数$\frac{{\partial}^2u}{{\partial}x_i{\partial}x_j}$有相同的性质。
索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式$W^{1,p}_0(\Omega)$的对偶空间记号我们用$W^{-1,p'}(\Omega)$表达空间$W^{1,p}_0(\Omega)$的对偶空间，其中$1{\le}p<\infty$。且用$H^{-1}(\Omega)$表达$H^1_0(\Omega)$的对偶空间。$L^2(\Omega)$的对偶空间还是$L^2(\Omega)$，但是我们无法用$H^1_0(\Omega)$确定其对偶空间（见第五章的注释3）我们有下面的结论$$ H^1_0(\Omega){\subset}L^2(\Omega){\subset}H^{-1}(\Omega) $$其中这些单射是连续且稠密的如果$\Omega$是有界的，则$$ W^{1,p}_0(\Omega){\subset}L^2(\Omega){\subset}W^{-1,p'}(\Omega){\quad}if{\quad}2N/(N+2){\le}p<\infty $$带有连续且稠密的单射。如果$\Omega$不是有界的，同样成立，但是只是对范围为$2N/(N+2){\le}p<2$。$W^{-1,p'}(\Omega)$中的元素是完全由下面的结果描述的：命题9.20令$F{\in}W^{-1,p'}(\Omega)$。则存在函数$f_0,f_1,f_2,{\cdots},f_N{\in}L^{p'}(\Omega)$使得$$ \left \langle F,v \right \rangle=\int_{\Omega}f_0v+\sum^N_{i=1}\int_{\Omega}f_i\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i},{\forall}v{\in}W^{1,p}_0(\Omega) $$且$$ \|F\|+\max_{0{\le}i{\le}N}\|f_i\|_{p'} $$如果$\Omega$是有界的，我们可以取$f_0=0$。证明：用到命题8.14的证明。9.5 一些边值问题的变分公式我们现在将使用前面的设定来研究一些椭圆二阶偏微分方程。例子1（拉普拉斯齐次Dirichlet问题）令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开的有界集。我们寻找一个函数$u:\overline{\Omega}{\to}\mathbb{R}$满足：$$ \begin{cases} -{\nabla}u+u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ u=0{\quad}on{\;}\Gamma={\partial}\Omega \end{cases}\tag{31} $$其中$$ {\nabla}u=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial^2}u}{{\partial}x_i^2}=u的拉普拉斯 $$且$f$是在$\Omega$上给定的函数。边界条件$u=0$在$\Gamma$被称为（齐次）狄利克雷问题。定义一个（31）的经典解是一个函数$u{\in}C^2(\overline{\Omega})$满足（31）（在一般意义下）。一个（31）的弱解是一个函数$u{\in}H^1_0(\Omega)$满足$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1_0(\Omega)\tag{32} $$其中${\nabla}u{\cdot}{\nabla}v=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i}$。在第8章中我们给出了描述的过程。步骤A:任何经典解是一个弱解事实上，$u{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$且在$\Gamma$上$u=0$。则由定理9.17（见注释19）有$u{\in}H^1_0(\Omega)$。另一方面，如果$v{\in}C_c^1(\Omega)$我们有$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}{uv}=\int_{\Omega}fv $$且对于所有的$v{\in}H^1_0(\Omega)$稠密性依旧成立。步骤B:弱解的存在性与唯一性这是下面基础结果的内容定理9.12给定任意$f{\in}L^2(\Omega)$，则存在一个唯一的（31）的弱解$u{\in}H^1_0(\Omega)$。更甚者，$u$可以由下面获得$$ \min_{v{\in}H^1_0(\Omega)}\left\{\frac{1}{2}\int_{\Omega}(|{\nabla}v|^2+|v|^2)-\int_{\Omega}fv\right\} $$这是狄利克雷原理。证明：在希尔伯特空间$H=H^1_0(\Omega)$带有双线性模式应用拉克丝-密格拉蒙定理$$ a(u,v)=\int_{\Omega}({\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+uv) $$且线性函数$\varphi:v{\mapsto}\int_{\Omega}fv$。步骤C:弱解的正规性这个问题更为精细的，我们将在9.6节回答它。步骤D：一个经典解的回复假设问题（31）的弱解$u{\in}H^1_0(\Omega)$属于$C^2(\overline{\Omega})$，且假设$\Omega$是$C^1$阶的。则在$\Gamma$上$u=0$（由定理9.17），另一方面，我们有$$ \int_{\Omega}(-{\nabla}u+u)v=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}C_c^1(\Omega) $$且因此$\Omega$上$-{\nabla}u+u=f$几乎处处成立（由推论4.24）。事实上，在$\Omega$处处$-{\nabla}u+u=f$，因为$u{\in}C^2(\Omega)$。因此$u$是一个经典解。我们现在描述一些其他的例子。在这些例子中都必须具体说明函数空间且合适的弱公式。例子2（齐次狄利克雷条件）令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个有界开集，我们寻找函数$u:\overline{\Omega}{\to}\mathbb{R}$使得$$ \begin{cases} -{\nabla}u+u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ u=g{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases}\tag{33} $$其中$f$是在$\Omega$上给定的且$g$是在$\Gamma$上给定的。假设存在一个函数$\widetilde{g}{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$使得$\widetilde{g}=g$在$\Omega$上，且考虑集合$$ K=\left\{v{\in}H^1(\Omega);v-\widetilde{g}{\in}H^1_0(\Omega)\right\} $$于是由定理9.17,$K$是与$\widetilde{g}$无关的且仅依赖于$g$。$K$是在$H^1(\Omega)$中的一个非空闭凸集。定义一个（33）的经典解是一个函数$u{\in}C^2(\overline{\Omega})$满足（33）。一个问题（33）的弱解是一个函数$u{\in}K$满足$$ \int_{\Omega}({\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+uv)=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1_0(\Omega)\tag{34} $$像上面说的，任何经典解是一个弱解。命题9.22给定任意$f{\in}L^2(\Omega)$，存在问题（33）的唯一一个弱解$u{\in}K$。更甚者，$u$可以由下面得到$$ \min_{v{\in}K}\left\{\frac{1}{2}\int_{\Omega}(|{\nabla}u|^2+v^2)-\int_{\Omega}fv\right\} $$证明：我们断言$u{\in}K$是（33）的一个弱解，当且仅当我们有$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}({\nabla}v-{\nabla}u)+\int_{\Omega}u(v-u){\ge}\int_{\Omega}f(v-u),{\forall}v{\in}K\tag{35} $$事实上，如果$u$是问题（33）的一个弱解，显然（35）是成立的甚至是等号。反之，如果$u{\in}K$满足（35）我们在（35）中取定$v=u{\pm}w$其中$w{\in}H^1_0(\Omega)$，且（34）成立。我们可以用到Stampacchia定理（定理5.6）去完成证明。经典解的正则性和恢复性的研究遵循同样的模式，像在例子1一样。例子3（一般二阶椭圆方程）令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开有界集。我们给定函数$a_{ij}(x){\in}C^1(\overline{\Omega}),1{\le}i,j{\le}N$，满足椭圆条件$$ \sum^N_{i,j=1}a_{ij}(x)\xi_i\xi_j{\ge}{\alpha}|\xi|^2,{\forall}x{\in}\Omega,{\forall}\xi{\in}\mathbb{R}^N,\alpha>0\tag{36} $$一个函数$a_0{\in}C(\overline{\Omega})$也是给定的。我们寻求一个函数$u:\overline{\Omega}{\to}\mathbb{R}$满足$$ \begin{cases} -\sum^N_{i,j=1}\frac{{\partial}}{{\partial}x_j}(a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i})+a_0u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ u=0{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases}\tag{37} $$一个（37）的经典解是一个函数$u{\in}C^2(\overline{\Omega})$满足在一般意义下的（37）。一个（37）的弱解是一个函数$u{\in}H^1_0(\Omega)$满足$$ \int_{\Omega}\sum^N_{i,j=1}a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}a_0uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1_0(\Omega)\tag{38} $$像上面一样，任意经典解是一个弱解。如果$a_0(x){\ge}0$在$\Omega$上，则对所有的$f{\in}L^2(\Omega)$存在一个唯一的弱解$u{\in}H^1_0$。仅需在空间$H=H^1_0$上带有连续双线性模式应用拉克丝-密格拉蒙定理$$ a(u,v)=\int_{\Omega}\sum^N_{i,j=1}a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}a_0uv $$$(,)$的强迫性来自于椭圆假设，假设$a_0{\ge}0$和庞加莱不等式。如果矩阵$(a_{ij})$也是堆成的，则形式$a(,)$是对称的且$u$可以由下面的获得$$ \min_{v{\in}H^1_0}\left\{\frac{1}{2}(\sum^N_{i,j=1}a_{ij}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_j}+a_0v^2)-\int_{\Omega}fv\right\} $$现在我们考虑一个更为一般地问题：找到一个函数$u:\overline{\Omega}{\to}\mathbb{R}$满足：$$ \begin{cases} -\sum_{i,j}\frac{{\partial}}{{\partial}x_j}(a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i})+\sum_ia_i\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}+a_0u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ u=0{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases}\tag{39} $$其中函数$(a_{ij}){\in}L^{\infty}(\Omega)$满足椭圆条件且函数$(a_{i})_{0{\le}i{\le}N}$是在$L^{\infty}(\Omega)$中给定的。一个问题（39）的弱解是一个函数$u{\in}H^1_0$使得$$ \int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}\sum_ia_i\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}v+\int_{\Omega}a_0uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1_0\tag{40} $$相联系的双线性模式是$$ a(u,v)-\int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}\sum_ia_i\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}v+\int_{\Omega}a_0uv\tag{41} $$在一般情况下这个模式不是对称的，在某些情况下是强制的。然后可以用拉克丝-密格拉蒙定理去获得一个弱解的存在性和唯一性，在一般情况——即便没有强制性——也有下面的结果。定理9.23如果$f=0$，则问题（40）的解$u{\in}H^1_0$的集合是一个有限维的向量空间，称为维数$d$。更甚者，存在一个$d$维的子空间$F{\subset}L^2(\Omega)$，使得$$ [(40)有一个解]{\iff}\left[\int_{\Omega}fv=0,{\forall}v{\in}F\right] $$注释23：假设（40）联系的齐次方程，也即，其中$f=0$，有$u=0$作为唯一的解。则对于任意$f{\in}L^2$，存在一个唯一的（40）的解$u{\in}H^1_0$。特别地，如果$a_0{\ge}0$在$\Omega$上，则可以说明，由一个极大值型方法，$f=0{\Rightarrow}u=0$。因此我们推导出，仅在假设在$\Omega$上$a_0{\ge}0$下（且没有假设在$a_i,1{\le}i{\le}N$），对于任意$f{\in}L^2$，存在（40）的唯一一个解$u{\in}H^1_0$。证明：固定$\lambda>0$足够大使得双线性模式$$ a(u,v)+{\lambda}\int_{\Omega}uv $$是在$H^1_0$上强制的。对于任意$f{\in}L^2$存在唯一一个$u{\in}H^1_0$满足$$ a(u,\varphi)+{\lambda}\int_{\Omega}u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0 $$设$u=Tf$，于是$T:L^2{\to}L^2$为一个紧线性算子（因为$\Omega$是有界的，单射$H^1_0{\subset}L^2$是紧的；见定理9.16和注释20）方程（30）等价于$$ u=T(f+\lambda{u})\tag{42} $$设$v=f+{\lambda}u$为一个新的位置的，且（42）变为$$ v-{\lambda}Tv=f\tag{43} $$结论由Fredholm二择一可以得到。例子4（齐次诺伊曼问题）令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个有界的$C^1$阶的区域，我们寻找函数$u:\overline{\Omega}{\to}\mathbb{R}$满足$$ \begin{cases} -{\nabla}u+u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ \frac{{\partial}u}{{\partial}n}=0{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases}\tag{44} $$其中$f$是在$\Omega$中给定的，$\frac{{\partial}u}{{\partial}n}$表示$u$的外正常导数，也即$\frac{{\partial}u}{{\partial}n}={\nabla}u{\cdot}\boldsymbol{n}$，其中$\boldsymbol{n}$是$\Gamma$的单位规范向量，朝外指向。边界条件在$\Gamma$上$\frac{{\partial}u}{{\partial}n}=0$被称为（齐次）诺伊曼条件。定义一个问题（44）的经典解是一个函数$u{\in}C^2(\overline{\Omega})$满足（44）。一个问题（44）的弱解是一个函数$u{\in}H^1(\Omega)$满足$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1(\Omega)\tag{45} $$步骤A：任何经典解是一个弱解回忆起格林公式，我们有$$ \int_{\Omega}(\Delta{u})v=\int_{\Gamma}\frac{{\partial}u}{{\partial}n}vd{\sigma}-\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v.{\forall}u{\in}C^2(\overline{\Omega}),{\forall}v{\in}C^1(\overline{\Omega})\tag{46} $$其中$d{\sigma}$是在$\Gamma$上的表面测度。如果$u$是问题（44）的一个经典解，则$u{\in}H^1(\Omega)$，且我们有$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}C^1(\overline{\Omega}) $$我们可以由稠密性（推论9.8）得到$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1(\Omega) $$步骤B：弱解的存在性与唯一性命题9.24对于任意$f{\in}L^2(\Omega)$，则存在问题（44）的唯一一个弱解$u{\in}H^1(\Omega)$。更甚者，$u$可以由下面获得$$ \min_{v{\in}H^1(\Omega)}\left\{\frac{1}{2}\int_{\Omega}(|{\nabla}v|^2+v^2)-\int{\Omega}fv\right\} $$证明：在$H=H^1(\Omega)$上应用拉克丝-密格拉蒙定理。步骤C 弱解的规范性这个会在9.6节讨论。步骤D：经典解的恢复如果$u{\in}C^2(\Omega)$是问题（44）的一个弱解，我们从（46）有$$ \int_{\Omega}(-{\Delta}u+u)v+\int_{\Gamma}\frac{{\partial}u}{{\partial}n}vd{\sigma}=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}C^1(\overline{\Omega})\tag{47} $$首先在（47）中取$v{\in}C_c^1(\Omega)$则推出$$ -{\Delta}u+u=f{\quad}in{\;}\Omega $$则推出（47）带有$v{\in}C^1(\overline{\Omega})$，可以取到$$ \int_{\Gamma}\frac{{\partial}u}{{\partial}n}vd{\sigma}=0,{\forall}v{\in}C^1(\overline{\Omega}) $$且因此在$\Gamma$上$\frac{{\partial}u}{{\partial}n}=0$。例子5（无界区域）在这种情况下，$\Omega$为在$\mathbb{R}^N$上的一个无界开集，这蕴含着——另外对于在$\Gamma=\partial{\Omega}$上的边界条件——在无穷远处的边界条件。例如，当$|x|{\to}\infty$，有$u(x){\to}0$。这个“变换”，在一个弱解的程度。由条件$u{\in}H^1$。当然，首先必须证明如果$u$是一个经典解使得，当$|x|{\to}\infty$时有$u(x){\to}0$。则$u$必须属于$H^1$。（见第八章的例子8讨论）这里给出一些例子：(a)$\Omega=\mathbb{R}^N$给定$f{\in}L^2(\mathbb{R}^N)$，方程$$ -{\Delta}u+u=f{\quad}in{\;}\mathbb{R}^N $$有唯一一个弱解在下面的意义下：$$ u{\in}H^1(\mathbb{R}^N)和\int_{\mathbb{R}^N}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\mathbb{R}^N}uv=\int_{\mathbb{R}^N}fv,{\forall}v{\in}H^1(\mathbb{R}^N) $$(b)$\Omega=\mathbb{R}^N_+$给定$f{\in}L^2(\mathbb{R}^N_+)$和问题$$ \begin{cases} -{\Delta}u+u=f{\quad}in{\;}\mathbb{R}^N_+\\ u(x',0)=0{\quad}for{\;}x'{\in}\mathbb{R}^{N-1} \end{cases} $$在下面的意义下有唯一的弱解：$$ u{\in}H^1_0(\Omega)和\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1_0(\Omega) $$(c)$\Omega=\mathbb{R}^N_+$给定$f{\in}L^2(\mathbb{R}^N_+)$和问题$$ \begin{cases} -{\Delta}u+u=f{\quad}in{\;}\mathbb{R}^N_+\\ \frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}(x',0)=0{\quad}for{\;}x'{\in}\mathbb{R}^{N-1} \end{cases} $$在下面的意义下有唯一的弱解$$ u{\in}H^1(\Omega)和\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1(\Omega) $$
索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式9.4 空间$W^{1,p}_0(\Omega)$定义令$1{\le}p<\infty$；$W^{1,p}_0(\Omega)$表示在$W^{1,p}(\Omega)$中$C_c^1(\Omega)$的闭包。设$$ H^1_0(\Omega)=W^{1,2}_0(\Omega) $$空间$W^{1,p}_0$装备上$W^{1,p}$的范数，是一个可分巴拿赫空间。且如果$1<p<\infty$是自反的。$H_0^1$装备上$H^1$内积，是一个希尔伯特空间。注释17：因为$C_c^1(\mathbb{R}^N)$是在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中稠密的，我们有$$ W^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)=W^{1,p}(\mathbb{R}^N) $$相比之下，如果$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$且$\Omega{\neq}\mathbb{R}^N$，则一般地，$W^{1,p}_0(\Omega){\neq}W^{1,p}(\Omega)$。然而，如果$\mathbb{R}^N{\backslash}\Omega$是“足够细”且$p<N$，则$W^{1,p}_0(\Omega)=W^{1,p}(\Omega)$。例如，如果$\Omega=\mathbb{R}^N{\backslash}\left\{0\right\}$且$N{\ge}2$可以说明$H^1_0(\Omega)=H^1(\Omega)$。注释18：容易验证——用一个磨光算子序列——$C_c^{\infty}$是在$W^{1,p}_0(\Omega)$中稠密的。用另一种话讲，$C_c^{\infty}(\Omega)$同样可以用在$W^{1,p}_0(\Omega)$的定义中，用来代替$C_c^1(\Omega)$。在$W^{1,p}_0(\Omega)$中的函数是粗糙过那些$W^{1,p}(\Omega)$中在$\Gamma={\partial}\Omega$中消逝的。精确地说是很微妙的，因为一个函数$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$仅仅定义a.e.（且$\Gamma$测度是0！）且$u$不需要有一个连续表示。下面的特征说明我们整的有函数是在$\Gamma$为0。我们从一个简单的事实开始：引理9.5令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$，其中$1{\le}p<\infty$且假设$supp{\;}u$是一个$\Omega$中的紧子集。则$u{\in}W^{1,p}_0(\Omega)$。证明：固定一个开集$w$使得$supp{\;}u{\subset}w{\subset}{\subset}\Omega$且取定$\alpha{\in}C_c^1(w)$，使得在$supp{\;}u$上$\alpha=1$。因此$\alpha{u}=u$。另一方面（定理9.2），存在一个在$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$中的序列$(u_n)$，使得在$L^p(\Omega)$中$u_n{\to}u$且在$L^p(w)^N$中${\nabla}u_n{\to}{\nabla}u$。于是在$W^{1,p}(\Omega)$上$\alpha{u_n}{\to}\alpha{u}$。因此$\alpha{u}$属于$W^{1,p}_0(\Omega)$，且$u$也一样。定理9.17假设$\Omega$是$C^1$阶的，令$$ u{\in}W^{1,p}(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega}),1{\le}p<\infty $$则下面的性质是等价的：（i）在$\Gamma$上$u=0$。（ii）$u{\in}W^{1,p}_0(\Omega)$。证明：（i）$\Rightarrow$（ii）首先假设$supp{\;}u$是有界的。固定一个函数$G{\in}C^1(\mathbb{R})$使得$$ |G(t)|{\le}|t|,{\forall}t{\in}\mathbb{R}且 G(t)=\begin{cases} 0{\quad}if{\;}|t|{\le}1\\ t{\quad}if{\;}|t|{\ge}2 \end{cases} $$则$u_n=(1/n)G(nu)$属于$W^{1,p}$（由命题9.5）。容易验证（用控制收敛）在$W^{1,p}$中$u_n{\to}u$。另一方面$$ supp{\;}u_n{\subset}\left\{x{\in}\Omega;|u(x)|{\ge}1/n\right\} $$且因此$supp{\;}u_n$是在$\Omega$中的一个紧集。由引理9.5，$u_n{\in}W^{1,p}_0$，且于是$u{\in}W^{1,p}_0$。在一般情况下$supp{\;}u$是无界的。考虑序列$(\xi_nu)$（其中$(\xi_n)$是在定理9.2中证明的截断函数序列）从上面看来，$\xi_nu{\in}W^{1,p}_0$。且因为在$W^{1,p}$中$\xi_nu{\to}u$，我们总结出$u{\in}W^{1,p}_0$。（ii）${\Rightarrow}$（i）用到局部图可以诱导出下面的问题。令$u{\in}W^{1,p}_0(Q_+){\cap}C(\overline{Q}_+)$；证明在$Q_0$上$u=0$。令$(u_n)$为在$C_c^1(Q_+)$上的一个序列，使得在$W^{1,p}(Q_+)$上$u_n{\to}u$。我们有，对于$(x',x_N){\in}Q_+$。$$ |u_n(x',x_N)|{\le}\int^{x_N}_0\left|\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_N}(x',t)\right|dt $$且因此对$0<\varepsilon<1$。$$ \frac{1}{\varepsilon}\int_{|x'|<1}\int^{\varepsilon}_0|u_n(x',x_N)|dx'dx_N{\le}\int_{|x'|<1}\int^{\varepsilon}_0\left|\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_N}(x',t)\right|dx'dt $$在极限情况，当$n{\to}\infty$（$\varepsilon>0$是固定的）我们得到$$ \frac{1}{\varepsilon}\int_{|x'|<1}\int^{\varepsilon}_0|u_n(x',x_N)|dx'dx_N{\le}\int_{|x'|<1}\int^{\varepsilon}_0\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}(x',t)\right|dx'dt $$最终，当$\varepsilon{\to}0$，我们导出$$ \int_{|x'|<1}|u(x',0)|dx'=0 $$（因为$u{\in}C(\overline{Q}_+)$）且$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}{\in}L^1(Q_+)$。因此在$Q_0$上$u=0$。注释19：在证明（i）$\Rightarrow$（ii）我们不必用到$\Omega$的光滑性，然而，反过来（ii）${\Rightarrow}$（i）则需要在$\Omega$上的光滑性假设（考虑例如$\Omega=\mathbb{R}{\backslash}\left\{0\right\}$其中$N{\ge}2$且$p{\le}N$）。下面是$W^{1,p}_0$的另外的特征。命题9.18假设$\Omega$是$C^1$阶的，且令$u{\in}L^p(\Omega)$，其中$1<p<\infty$。下面的性质是等价的：（i）$u{\in}W^{1,p}_0(\Omega)$。（ii）存在一个常数$C$使得$$ \left|\int_{\Omega}u\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}\right|{\le}C\|\varphi\|_{L^{p'}(\Omega)},{\forall}\varphi{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N),{\forall}i=1,2,{\cdots},N $$（iii）函数$$ \overline{u}(x)=\begin{cases} u(x){\quad}if{\;}x{\in}\Omega\\ 0{\quad}if{\;}x{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}\Omega \end{cases} $$属于$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，且在这种情况下$\frac{\partial{\overline{u}}}{\partial{x_i}}=\frac{\overline{\partial{u}}}{\partial{x_i}}$。证明：（i）$\Rightarrow$（ii）令$(u_n)$为从$C_c^1(\Omega)$的一个序列，使得在$W^{1,p}$中$u_n{\to}u$。对于$\varphi{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$，我们有$$ \left|\int_{\Omega}u_n\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}\right|=\left|\int_{\Omega}\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_i}\varphi\right|{\le}\left\|\frac{{\partial}u_n}{\partial{x_i}}\right\|_p\|\varphi\|_{p'} $$取到极限，我们得到（ii）。（ii）$\Rightarrow$（iii），令$\varphi{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$；我们有$$ \left|\int_{\mathbb{R}^N}\overline{u}\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}\right|=\left|\int_{\Omega}u\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}\right|{\le}C\|\varphi\|_{L^{p'}(\Omega)}{\le}C\|\varphi\|_{L^{p'}(\mathbb{R}^N)} $$因此$\overline{u}{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$(由命题9.3)（iii）$\Rightarrow$（i）我们可以假设$\Omega$是有界的（若不是，考虑序列$(\xi_nu)$）。由局部图和单位分解归纳出下面的问题。令$u{\in}L^p(Q_+)$为使得函数$$ \overline{u}(x)=\begin{cases} u(x){\quad}if{\;}x{\in}Q,x_N>0\\ 0{\quad}if{\;}x{\in}Q,x_N<0 \end{cases} $$属于$W^{1,p}(Q)$；证明$$ \alpha{u}{\in}W^{1,p}_0(Q_+),{\forall}\alpha{\in}C_c^1(Q) $$令$(\rho_n)$为一个磨光算子序列使得$$ supp{\;}\rho_n{\subset}\left\{x{\in}\mathbb{R}^N;\frac{1}{2n}<x_N<\frac{1}{n}\right\} $$可以取定，例如$$ \rho_n(x)=n^N\rho(nx)和supp{\;}p{\subset}\left\{x{\in}\mathbb{R}^N;\frac{1}{2}<x_N<1\right\} $$因此在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中$\rho*(\alpha\overline{u}){\to}\alpha\overline{u}$（注意到$\alpha\overline{u}$由在$Q$外为0延拓，属于$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$）另一方面：$$ supp(\rho_n*\alpha\overline{u}){\subset}supp{\;}\rho_n+supp(\alpha\overline{u}){\subset}Q_+ $$对于足够大的$n$，于是有$$ \rho_n*(\alpha\overline{u}){\in}C_c^1(Q_+) $$且因此$\alpha{u}{\in}W^{1,p}_0(Q_+)$。注释20：推论9.14的证明用到了延拓算子，且因为这个事实，必须假设$\Omega$是光滑的，如果$W^{1,p}(\Omega)$是用$W^{1,p}_0(\Omega)$替代的，可以用规范延拓由$\Omega$为0，是对任意区间$\Omega$有用的（在命题9.18的证明中，蕴含(i)$\Rightarrow$(iii)没有用到在$\Omega$上的光滑假设）于是，特别地，推论9.14的结论对于$W^{1,p}_0(\Omega)$带一个任意开集$\Omega$是对的。同样的，定理9.16的结论对于$W^{1,p}_0(\Omega)$带有一个任意有界开集$\Omega$是对。可以从定理9.9推断出，如果$\Omega$是任意一个开集且$1{\le}p<N$，则$$ \|u\|_{L^{p^*}(\Omega)}{\le}C(p,N)\|{\nabla}u\|_{L^p(\Omega)}.{\forall}u{\in}W^{1,p}_0(\Omega)\tag{30} $$推论9.19（庞加莱不等式）假设$1{\le}p<\infty$且$\Omega$是一个有界开集。则存在一个常数$C$（依赖于$\Omega$和$p$）使得$$ \|u\|_{L^p(\Omega)}{\le}C\|{\nabla}u\|_{L^p(\Omega)},{\forall}u{\in}W^{1,p}_0(\Omega) $$特别地，表达式$\|{\nabla}u\|_{L^p(\Omega)}$是在$W^{1,p}_0(\Omega)$上的一个范数，且等价于范数$\|{u}\|_{W^{1,p}}$。在$H^1_0(\Omega)$上表达式$\sum^N_{i=1}\int_{\Omega}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i}$是一个内积诱导出范数$\|{\nabla}u\|_{L^2}$且等于范数$\|u\|_{H^1}$。注释21：庞加莱不等式依旧是对的，如果$\Omega$有限测度且如果$\Omega$对某个轴上有有界投影。注释22：对于任意整数$m{\ge}1$和$1{\le}p<\infty$，定义$W^{m,p}_0(\Omega)$为在$W^{m,p}_0(\Omega)$中$C_c^m(\Omega)$的闭包。“粗糙地”，一个函数$u{\in}W^{m,p}_0(\Omega)$如果$u{\in}W^{m,p}(\Omega)$且如果$D^{\alpha}u=0$在$\Gamma$上对于多重指标$\alpha$，使得$|\alpha|{\le}m-1$。注意到对于$m{\ge}2$，$W^{m,p}_0(\Omega)$和$W^{m,p}(\Omega){\cap}W^{1,p}_0(\Omega)$两者的区别是非常重要的。
索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式9.3 索伯列夫不等式在第9章中我们可以看到如果$\Omega$有1维，则$W^{1,p}(\Omega){\subset}L^{\infty}(\Omega)$带有连续单射，对于所有的$1{\le}p{\le}\infty$。在维度$N{\ge}2$这个结论仅仅对于$p>N$是对的。当$p{\le}N$可以在$W^{1,p}$上构造函数不属于$L^{\infty}$（见注释16）。然而，一个重要的结果，本质上是索伯列夫，断言如果$1{\le}p<N$，则$W^{1,p}(\Omega){\subset}L^{p^*}(\Omega)$带有连续单射，对于某个$p^*{\in}(p,+\infty)$。这个结果经常被称为索伯列夫嵌入定理。我们由考虑下列情况开始：A $\Omega$=$\mathbb{R}^N$的情况定理9.9（索伯列夫）令$1{\le}p<N$。则$$ W^{1,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^{p^*}(\mathbb{R}^N)，其中p^*是由\frac{1}{p^*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{N}给定的 $$且存在一个常数$C=C(p,N)$使得$$ \|u\|_{p^*}{\le}C\|{\nabla}u\|_p,{\forall}u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N) \tag{17} $$注释10：$p^*$值可以通过非常简单的缩放参数（缩放）获得。事实上，假设存在常数$C$和$q(1{\le}q{\le}\infty)$使得$$ \|u\|_q{\le}C\|{\nabla}u\|_p,{\forall}u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)\tag{18} $$则必要地$q=p^*$。看到这里，固定任意函数$u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$，且代入（18）$u_{\lambda}(x)=u(\lambda{x})$，我们得到$$ \|u\|_q{\le}C{\lambda}^{1+\frac{N}{q}-\frac{N}{p}}\|{\nabla}u\|_p,{\forall}\lambda>0 $$蕴含着$1+\frac{N}{q}-\frac{N}{p}=0$，也即$q=p^*$（说明$u$没有完全消逝）定理9.9的证明依赖于下面的引理：引理9.4令$N{\ge}2$且令$f_1,f_2,{\cdots},f_N{\in}L^{N-1}(\mathbb{R}^{N-1})$。对于$x{\in}\mathbb{R}^N$且$1{\le}i{\le}N$设$$ \widetilde{x}_i=(x_1,x_2,{\cdots},x_{i-1},x_{i+1},{\cdots},x_N){\in}\mathbb{R}^{N-1} $$也即，$x_i$在序列中省略。则函数$$ f(x)=f_1(\widetilde{x}_1)f_2(\widetilde{x}_2){\cdots}f_N(\widetilde{x}_N),x{\in}\mathbb{R}^N $$属于$L^1(\mathbb{R}^N)$且$$ \|f\|_{L^1(\mathbb{R}^N)}{\le}\prod^N_{i=1}\|f_i\|_{L^{N-1}(\mathbb{R}^{N-1})} $$证明：情况$N=2$的是平凡的，让我们考虑$N=3$的情况，我们有$$ \begin{align*} \int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx_3&=|f_3(x_1,x_2)|\int_{\mathbb{R}}|f_1(x_2,x_3)||f_2(x_1,x_3)|dx3\\ &{\le}|f_3(x_1,x_2)|\left(\int_{\mathbb{R}}|f_1(x_2,x_3)|^2dx_3\right)^{1/2}\left(\int_{\mathbb{R}}|f_2(x_1,x_3)|^2dx_3\right)^{1/2} \end{align*} $$（由柯西-施瓦茨）再次应用柯西-施瓦茨给出$$ \int_{\mathbb{R}^3}|f(x)|dx{\le}\|f_3\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}\|f_1\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}\|f_2\|_{L^2(\mathbb{R}^2)} $$一般的情况可以由归纳法得到——假设结果对$N$且然后推导$N+1$，固定$x_{N+1}{\in}\mathbb{R}$；因为赫尔德不等式：$$ \int_{\mathbb{R}^N}|f(x)|dx_1dx_2{\cdots}dx_N{\le} \|f_{N+1}\|_{L^N(\mathbb{R}^N)}\left[\int|f_1f_2{\cdots}f_N|^{N'}dx_1dx_2{\cdots}dx_N\right]^{1/N'} $$（其中$N'=N/(N+1)$）对函数$|f_1|^{N'},|f_2|^{N'}{\cdots}|f_N|^{N'}$应用归纳假设，我们得到$$ \int_{\mathbb{R}^N}|f_1|^{N'}{\cdots}|f_N|^{N'}dx_1{\cdots}dx_N{\le}\prod^N_{i=1}\|f_i\|^{N'}_{L^N(\mathbb{R}^{N-1})} $$于是有$$ \int_{\mathbb{R}^N}|f(x)|dx_1{\cdots}dx_N{\le}\|f_{N+1}\|_{L^N(\mathbb{R}^N)}\prod^N_{i=1}\|f_i\|_{L^N(\mathbb{R}^{N-1})} $$现在改变$x_{N+1}$。每一个函数$x_{N+1}{\mapsto}\|f_i\|_{L^N(\mathbb{R}^{N-1})}$属于$L^N(\mathbb{R}),1{\le}i{\le}N$。作为一个结果，它们的乘积$\prod^N_{i=1}\|f_i\|_{L^N(\mathbb{R}^{N-1})}$属于$L^1(\mathbb{R})$(见注释2由赫尔德不等式)且$$ \int_{\mathbb{R}^{N+1}}|f(x)|dx_1dx_2{\cdots}dx_{N}dx_{N+1}{\le}\prod^{N+1}_{i=1}\|f_i\|_{L^N(\mathbb{R}^N)} $$定理9.9的证明，我们从$p=1$的情况和$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$开始，我们有$$ \begin{align*} |u(x_1,x_2,{\cdots},x_N)|&=\left|\int^{x_1}_{-\infty}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_1}(t,x_2,{\cdots},x_N)dt\right|\\ &{\le}\int^{+\infty}_{-\infty}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_1}(t,x_2,{\cdots},x_N)\right|dt \end{align*} $$且类似地，对于任何$1{\le}i{\le}N$，$$ |u(x_1,x_2,{\cdots},x_N)|{\le}\int^{+\infty}_{-\infty}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(x_1,x_2,{\cdots},x_{i-1},t,x_{i+1},{\cdots},x_N)\right|dt\stackrel{def}{=}f_i(\widetilde{x}_i) $$因此$$ |u(x)|^N{\le}\prod^N_{i=1}\|f_i\|^{1/(N-1)}_{L^1(\mathbb{R}^{N-1})}=\prod^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|^{1/(N-1)}_{L^1(\mathbb{R}^N)} $$作为结果，我们有$$ \|u\|_{L^{N/(N-1)}(\mathbb{R}^N)}{\le}\prod^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|^{1/N}_{L^1(\mathbb{R}^N)}\tag{19} $$这个就完成了当$p=1$和$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$（17）的证明。我们现在转到$1<p<N$的情况，依旧有$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$。令$m{\ge}1$，对$|u|^{m-1}u$代替$u$应用（19）。我们得到$$ \|u\|_{p^*}{\le}m\prod^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|^{1/N}_p $$且因此$$ \|u\|_{p^*}{\le}C\|{\nabla}u\|_p,{\forall}u{\in}C^1(\mathbb{R}^N) $$为了完成证明，令$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，且令$(u_n)$为从$C_c^1(\mathbb{R}^N)$的一个序列，使得在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中$u_n{\to}u$。也可以假设，如果需要的话，通过提取子序列，$u_n{\to}u{\quad}a.e.$，我们有$$ \|u_n\|_{p^*}{\le}C\|{\nabla}u_n\|_p $$于是由法图引理，有$$ u{\in}L^{p^*}和\|u\|_{p^*}{\le}C\|{\nabla}u\|_{p} $$推论9.10令$1{\le}p<N$，则$$ W^{1,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^q(\mathbb{R}^N),{\forall}q{\in}[p,p^*] $$带有连续单射。证明：给定$q{\in}[p,p^*]$，我们记$$ \frac{1}{q}=\frac{\alpha}{p}+\frac{1-\alpha}{p^*}对于某个\alpha{\in}[0,1] $$我们知道（见第四章的注释2）$$ \|u\|_q{\le}\|u\|^{\alpha}_p\|u\|^{1-\alpha}_{p^*}{\le}\|u\|_p+\|u\|_{p^*} $$（由Young不等式），用定理9.9，我们推出$$ \|u\|_q{\le}C\|u\|_{W^{1,p}},{\forall}u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N) $$推论9.11（极限情况$p=N$）我们有$$ W^{1,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^q(\mathbb{R}^N),{\forall}q{\in}[N,+\infty) $$证明：假设$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$，应用（20）其中$p=N$，我们得到$$ \|u\|^m_{mN/(N-1)}{\le}m\|u\|^{m-1}_{(m-1)N/(N-1)}\|{\nabla}u\|_N,{\forall}m{\ge}1 $$且由Young不等式我们有$$ \|u\|_{mN/(N-1)}{\le}C(\|u\|_{(m-1)N/(N-1)}+\|{\nabla}u\|_N),{\forall}m{\ge}1\tag{21} $$在（21）中我们首先取定$m=N$，则变为$$ \|u\|_{N^2/(N-1)}{\le}C\|u\|_{W^{1,N}} $$且由插值不等式（见第四章注释2）我们有$$ \|u\|_q{\le}C\|u\|_{W^{1,N}}\tag{22} $$对于所有的$q$，其中$N{\le}q{\le}N^2/(N-1)$。对于$m=N+1,m=N+2$重申这一论点，我们回到$$ \|u\|_q{\le}C\|u\|_{W^{1,N}},{\forall}u{\in}C^1(\mathbb{R}^N)\tag{23} $$对于所有的$q{\in}[N,+\infty)$。其中$C$依赖于$q$和$N$。不等式（23）可以由稠密性延拓到$W^{1,N}$。定理9.12（Morrey)令$p>N$，则$$ W^{1,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^{\infty}(\mathbb{R}^N)\tag{24} $$带有连续单射。更甚者，对于所有的$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，我们有$$ |u(x)-u(y)|{\le}C|x-y|^{\alpha}\|{\nabla}u\|_p{\;}a.e.x,y{\in}\mathbb{R}^N $$其中$\alpha=1-(N/q)$且$C$是一个常数（仅依赖于$p$和$N$）。注释11：不等式（25）蕴含着一个函数$\widetilde{u}{\in}C(\mathbb{R}^N)$的存在性，使得在$\mathbb{R}^N$上$u=\widetilde{u}{\;}a.e.$。（事实上，令$A{\subset}\mathbb{R}^N$为一个零测集使得（25）对于$x,y{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}A$成立；因为$\mathbb{R}^N{\backslash}A$是在$\mathbb{R}^N$中稠密，函数$u_{|\mathbb{R}^N{\backslash}A}$承认有一个唯一的连续延拓到$\mathbb{R}^N$）。用另一种说法，即任何函数$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，其中$p>N$允许一个连续表示。当它有用时，我们用它的连续表示代替$u$，且我们可以用$u$这个连续表示来表示。证明：我们从对$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$建立（25）开始。令$Q$为一个开立方体，包含0，其长度$r$的边与坐标轴平行。对于$x{\in}Q$，我们有$$ u(x)-u(0)=\int^1_0\frac{d}{dt}u(tx)dt $$且因此$$ |u(x)-u(0)|{\le}\int^1_0\sum^N_{i=1}|x_i|\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(tx)\right|dt{\le}r\sum^N_{i=1}\int^1_0\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(tx)\right|dt\tag{26} $$设$$ \overline{u}=\frac{1}{|Q|}\int_{Q}u(x)dx=在Q上u的平均值 $$对（26）在$\Omega$上积分，我们得到$$ \begin{align*} |\overline{u}-u(0)|&{\le}\frac{r}{|Q|}\int_Qdx\sum^N_{i=1}\int_0^1\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(tx)\right|dt\\ &=\frac{1}{r^{N-1}}\int^1_0dt\int_Q\sum^N_{i=1}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(tx)\right|dt\\ &=\frac{1}{r^{N-1}}\int^1_0dt\int_{tQ}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(y)\right|\frac{dy}{t^N} \end{align*} $$则，由赫尔德不等式，我们有$$ \int_{tQ}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(y)\right|dy{\le}(\int_Q\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\right|^p)^{1/p}|tQ|^{1/p'} $$（因为$tQ{\subset}Q$对于$t{\in}(0,1)$）我们从这归纳出$$ |\overline{u}-u(0)|{\le}\frac{1}{r^{N-1}}\|{\nabla}u\|_{L^p(Q)^{r^{N/p'}}}\int^1_0\frac{r^{N/p'}}{t^N}dt=\frac{r^{1-(N/p)}}{1-(N/p)}\|{\nabla}u\|_{L^p(Q)} $$由变换，这个不等式对于所有正方体$Q$的其长度$r$的边与坐标轴平行是依旧成立的，因此我们有$$ |\overline{u}-u(x)|{\le}\frac{r^{1-(N/p)}}{1-(N/p)}\|{\nabla}u\|_{L^p(Q)},{\forall}x{\in}Q\tag{27} $$由这些加上（且用上三角不等式），我们得到$$ |u(x)-u(y)|{\le}\frac{2r^{1-(N/p)}}{1-(N/p)}\|{\nabla}u\|_{L^p(Q)},{\forall}x,y{\in}Q\tag{28} $$给定两个点$x,y{\in}\mathbb{R}^N$，则存在使得一个立方体$Q$带着边长$r=2|x-y|$包含$x$和$y$。这个蕴含着当$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$的（25）。对于一般地函数$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，我们用一个序列$(u_n){\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$，使得在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中$u_n{\to}u$且$u_n{\to}u{\;}a.e$。我们现在证明（24），令$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N),x{\in}\mathbb{R}^N$，且令$Q$为一个立方体，边长$r=1$包含$x$。从（27）和赫尔德不等式我们有$$ |u(x)|{\le}|\overline{u}|+C\|{\nabla}u\|_{L^p(Q)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(Q)}{\le} C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)} $$其中$C$仅依赖于$p$和$N$，因此$$ \|u\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^N)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)},{\forall}u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N) $$对于一个一般的函数$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$我们用一个标准的稠密论据。注释12:我们从（24）归纳出如果$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，其中$N<p<\infty$，则$$ \lim_{|x|{\to}\infty}u(x)=0 $$事实上，存在一个在$C_c^1(\mathbb{R}^N)$中的序列$(u_n)$使得，在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中$u_n{\to}u$。由（24），$u$也是在$\mathbb{R}^N$上$u_n$的一致极限。推论9.13令$m{\ge}1$为一个整数且令$p{\in}[1,+\infty)$。我们有$$ W^{m,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^q(\mathbb{R}^N),\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{m}{N},if{\;}\frac{1}{p}-\frac{m}{N}>0 $$$$ W^{m,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^q(\mathbb{R}^N),{\forall}q{\in}[p,+\infty){\quad}if{\;}\frac{1}{p}-\frac{m}{N}=0 $$$$ W^{m,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^{\infty}(\mathbb{R}^N),{\quad}\frac{1}{p}-\frac{m}{N}<0 $$且所有的单射都是连续的。更甚者，如果$m-(N/p)>0$不是一个整数。设$$ k=[m-(N/p)]且{\theta}=m-(N/p)-k(0<\theta<1) $$我们有，对于所有的$u{\in}W^{m,p}(\mathbb{R}^N)$，$$ \|D^{\alpha}u\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^N)}{\le}C\|u\|_{W^{m,p}(\mathbb{R}^N)},{\forall}\alpha,|\alpha|{\le}k $$和$$ |D^{\alpha}u(x)-D^{\alpha}u(y)|{\le}C\|u\|_{W^{m,p}(\mathbb{R}^N)}|x-y|^{\theta}{\;}a.e.x,y{\in}\mathbb{R}^N,{\forall}\alpha,|\alpha|{\le}k $$特别地，$W^{m,p}(\mathbb{R}^N){\subset}C^k(\mathbb{R}^N)$。证明：所有这些结果可以由定理9.9，推论9.11和定理9.12的应用来得到，注释13：情况$p=1$和$m=N$是特别地，我们有$W^{N,1}{\subset}L^{\infty}$（但是这部不真，一般情况下，对于$p>1$和$m=N/p$，$W^{m,p}{\subset}L^{\infty}$）四时尚，对于$u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$。我们有$$ u(x_1,x_2,{\cdots},x_N)=\int^{x_1}_{-\infty}\int^{x_2}_{-\infty}{\cdots}\int^{x_N}_{-\infty}\frac{{\partial}^Nu}{{\partial}x_1{\partial}x_2{\cdots}{\partial}x_N}(t_1,t_2,{\cdots},t_N)dt_1dt_2{\cdots}dt_N $$且因此$$ \|u\|_{L^{\infty}}{\le}C\|u\|_{W^{N,1}},{\forall}u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N) $$一般函数$u{\in}W^{N,1}$的情况由稠密性决定。现在让我们转向下面的。B $\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$的情况我们假设$\Omega$是$C^1$阶的一个开集，且$\Gamma$是有界的或者其他的$\Omega=\mathbb{R}^N_{+}$。推论9.14令$1{\le}p{\le}\infty$，我们有$$ W^{1,p}(\Omega){\subset}L^{p^*}(\Omega)，其中\frac{1}{p^*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{N}{\quad}if{\;}p<N\\ W^{1,p}(\Omega){\subset}L^q(\Omega){\quad}{\forall}q{\in}[p,+\infty){\quad}if{\;}p=N\\ W^{1,p}(\Omega){\subset}L^{\infty}(\Omega){\quad}if{\;}p>N $$且所有这些单射是连续的。更甚者，如果$p>N$我们有，对于所有的$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$。$$ |u(x)-u(y)|{\le}C\|u\|_{W^{1,p}}|x-y|^{\alpha}{\quad}a.e{\;}x,y{\in}\Omega $$其中$\alpha=1-(N/p)$且$C$仅依赖于$\Omega,p$和$N$。特别地，$W^{1,p}(\Omega){\subset}C(\overline{\Omega})$。证明：考虑延拓算子$$ P:W^{1,p}(\Omega){\to}W^{1,p}(\mathbb{R}^N) $$（见定理9.7）且然后应用定理9.9，推论9.11，和定理9.12。推论9.15推论9.13当$\Omega$代替$\mathbb{R}^N$时，结论仍旧成立。证明：再次应用推论9.14。定理9.16(Rellich-Kondrachov)假设$\Omega$是有界的且是$C^1$阶的，则我们有下面的紧单射：$$ W^{1,p}(\Omega){\subset}L^q(\Omega),{\forall}q{\in}[1,p^*),其中\frac{1}{p^*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{N},if{\;}p<N\\W^{1,p}(\Omega){\subset}L^q(\Omega),{\forall}q{\in}[p,+\infty),{\quad}if{\;}p=N\\W^{1,p}(\Omega){\subset}C(\overline{\Omega}),{\quad}if{\;}p>N $$特别地，$W^{1,p}(\Omega){\subset}L^p(\Omega)$对于所有的$p$（和所有的$N$）带有紧单射。证明：情况$p>N$可以从推论9.14和Ascoli-Arela定理得到。情况$p=N$可以减弱到$p<N$的情况。因此，我们仅需对$p<N$的情况进行讨论。令$\mathcal{H}$为在$W^{1,p}(\Omega)$中的单位球，令$P$为定理9.7中的延拓算子。设$\mathcal{F}=P(\mathcal{H})$，于是$\mathcal{H}=\mathcal{F}_{|\Omega}$。为了说明$\mathcal{H}$有在$L^q(\Omega)$对于$q{\in}[1,p^*)$的紧闭包，我们引入定理4.26。因为$\Omega$是有界的，我们可以假设$q{\ge}p$。显然，$\mathcal{F}$是在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中有界的，且因此由推论9.10是在$L^q(\mathbb{R}^N)$中有界的。我们需要验证$$ \lim_{|h|{\to}0}\|\tau_hf-f\|_{L^q(\mathbb{R}^N)}=0在f{\in}\mathscr{F}上一致成立的 $$由命题9.3我们有$$ \|{\tau}_hf-f\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}{\le}|h|\|{\nabla}f\|_{L^p(\mathbb{R}^N)},{\forall}f{\in}\mathcal{F} $$因为$p{\le}q<p^*$，我们可以记$$ \frac{1}{q}=\frac{\alpha}{p}+\frac{1-\alpha}{p^*}，对于某个\alpha{\in}(0,1] $$由插值不等式（见第四章的注释2）我们可以有$$ \begin{align*}\|{\tau}_hf-f\|_{L^q(\mathbb{R}^N)}&{\le}\|\tau_hf-f\|^{\alpha}_{L^p(\mathbb{R}^N)}\|\tau_hf-f\|^{1-\alpha}_{L^{p^*}(\mathbb{R}^N)}\\&{\le}|h|^{\alpha}\|{\nabla}f\|^{\alpha}_{L^p(\mathbb{R}^N)}(2\|f\|_{L^{p^*}(\mathbb{R}^N)})^{1-\alpha}{\le}C|h|^{\alpha}\end{align*} $$其中$C$独立于$\mathcal{F}$（因为$\mathcal{F}$在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$上有界），需要的结论就能得到了。注释14：定理9.16是“几乎最佳的”在下面的程度：（i）如果$\Omega$不是有界的，单射$W^{1,p}(\Omega){\subset}L^p(\Omega)$，一般地，不是紧的。（ii）映射$W^{1,p}(\Omega){\subset}L^{p^*}(\Omega)$不会是紧的，即便$\Omega$是有界的且光滑的。注释15：令$\Omega$是$C^1$阶的开的有界集，则范数$$ \left|\|u\|\right|=\|{\nabla}u\|_P+\|u\|_q $$是和$W^{1,p}$范数等价的只要$$ 1{\le}q{\le}p^*{\quad}if{\;}1{\le}p<N\\1{\le}q<\infty{\quad}if{\;}p=N\\1{\le}q{\le}\infty{\quad}if{\;}p>N $$注释16（极限情况$p=N$）令$\Omega$为$C^1$阶的有界开集，且令$u{\in}W^{1,N}(\Omega)$。则一般地，$u{\notin}L^{\infty}(\Omega)$。例如，如果$$ \Omega=\left\{x{\in}\mathbb{R}^N;|x|<1/2\right\} $$函数$$ u(x)=(log{\;}1/|x|)^{\alpha},0<\alpha<1-(1/N) $$属于$W^{1,N}(\Omega)$，但是不是有界的，因为奇点在$x=0$。然而，我们有特鲁丁格的不等式$$ \int_{\Omega}e^{|u|^{N/(N-1)}}<\infty,{\forall}u{\in}W^{1,N}(\Omega) $$
索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式空间$W^{m,p}(\Omega)$令$m{\ge}2$为一个整数且令$p$为一个实数，其中$1{\le}p{\le}\infty$。我们定义$$ W^{m,p}(\Omega)=\left\{u{\in}W^{m-1,p}(\Omega);\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in} W^{m-1,p}(\Omega),{\forall}i=1,2,{\cdots},N\right\} $$或者，这个集合可以表示为$$ W^{m,p}(\Omega)=\left\{u{\in}L^p(\Omega),{\forall}{\alpha},|\alpha|{\le}m,{\exists}g_{\alpha}{\in}L^ps.t. \int_{\Omega}uD^{\alpha}\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}g_{\alpha}\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)\right\} $$其中我们用标准的多重指标记号$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,{\cdots},\alpha_N)$，其中$\alpha_i{\ge}0$为一个整数，$$ |\alpha|=\sum^N_{i=1}\alpha_i且D^{\alpha}\varphi=\frac{{\partial}^{|\alpha|}\varphi}{{\partial}x_1^{\alpha_1}{\partial}x_2^{\alpha_2}{\cdots}{\partial}x_N^{\alpha_N}} $$我们设$D^{\alpha}u=g_{\alpha}$。空间$W^{m,p}(\Omega)$装备范数$$ \|u\|_{W^{m,p}}=\sum_{0{\le}|\alpha|{\le}m}\|D^{\alpha}u\|_p $$是一个巴拿赫空间。空间$H^m(\Omega)=W^{m,2}(\Omega)$装备内积$$ (u,v)_{H^m}=\sum_{0{\le}|\alpha|{\le}m}(D^{\alpha}u,D^{\alpha}v)_{L^2} $$是一个希尔伯特空间。注8：可以说明如果$\Omega$是“足够光滑的”，其中$\Gamma={\partial}\Omega$有界，则在$W^{m,p}(\Omega)$上的范数与下面的范数等价：$$ \|u\|_p+\sum_{|\alpha|=m}\|D^{\alpha}u\|_p $$更精细地说，可以证明对于任意多重指标$\alpha$，其中$0<|\alpha|<m$且对于任何$\varepsilon>0$，存在一个常数$C$（依赖于$\Omega,\varepsilon,\alpha$）使得$$ \|D^{\alpha}u\|_p{\le}\varepsilon{\sum_{|\beta|=m}}\|D^{\beta}u\|_p+C\|u\|_p,{\forall}u{\in}W^{m,p}(\Omega) $$9.2 延拓算子由$\Omega=\mathbb{R}^N$开始建立在$W^{1,p}(\Omega)$中函数的性质是便利的。因此需要将一个函数$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$延拓到$\widetilde{u}{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$。这不是总是可以做到的（在一个一般的范围$\Omega$）。然而如果$\Omega$是“光滑的”，使得可以构建这样的一个延拓。我们从精细建立一个光滑开集的记号开始。记号给定$x{\in}\mathbb{R}^N$，记$$ x=(x',x_N)其中x'{\in}\mathbb{R}^{N-1},x'=(x_1,x_2,{\cdots},x_{N-1}) $$且设$$ |x'|=(\sum^{N-1}_{i=1}x_i^2)^{1/2} $$我们定义$$ \mathbb{R}^N_{+}=\left\{x=(x',x_N);x_N>0\right\}\\ Q=\left\{x=(x',x_N);|x'|<1且|x_N|<1\right\}\\ Q_+=Q{\cap}\mathbb{R}^N_+\\ Q_0=\left\{x=(x',0);|x'|<1\right\} $$定义我们说一个开集$\Omega$是$C^1$阶的，指的是如果对于任何$x{\in}{\partial}\Omega={\Gamma}$，则存在一个在$\mathbb{R}^N$中的$x$的邻域$U$和一个双射$H:Q{\to}U$使得$$ H{\in}C^1(\overline{Q}),H^{-1}{\in}C^1(\overline{U}),H(Q_+)=U{\cap}Q,且H(Q_0)=U{\cap}\Gamma $$映射$H$被称为区域图。定理9.7假设$\Omega$是$C^1$阶的，且$\Gamma$是有界的（或者$\Omega=\mathbb{R}^N_+$），则存在一个线性延拓算子$$ P:W^{1,p}(\Omega){\to}W^{1,p}(\mathbb{R}^N){\quad}(1{\le}p{\le}\infty) $$使得对于所有的$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$，$$ Pu_{|\Omega}=u\tag{i} $$$$ \|Pu\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}{\le}C\|u\|_{L^p(\Omega)}\tag{ii} $$$$ \|Pu\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}\tag{iii} $$其中$C$仅仅依赖于$\Omega$。我们将会从证明一个简单但却基础的引理（联系延拓映射）开始。引理9.2给定$u{\in}W^{1,p}(Q_+)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$，定义在$Q$上的函数$u^*$为映射的延拓，那就是$$ u^*(x',x_N)=\begin{cases} u(x',x_N){\quad}if{\;}x_N>0\\ u(x',-x_N){\quad}if{\;}x_N<0 \end{cases} $$则$u^*{\in}W^{1,p}(Q)$且$$ \|u^*\|_{L^p(Q)}{\le}2\|u\|_{L^p(Q_+)},\|u^*\|_{W^{1,p}(Q)}{\le}2\|u\|_{W^{1,p}(Q_+)} $$证明：事实上，我们将要证明$$ \frac{{\partial}u^*}{{\partial}x_i}=(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i})^*,对于1{\le}i{\le}N-1\tag{7} $$和$$ \frac{{\partial}u^*}{{\partial}x_N}=(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N})^{\Box}\tag{8} $$其中$(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i})^*$表示了由$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$的映射的延拓，且我们设，无论$f$是定义在$Q_+$上。$$ f^{\Box}(x',x_N)=\begin{cases} f(x',x_N){\quad}if{\;}x_N>0\\ -f(x',-x_N){\quad}if{\;}x_N<0 \end{cases} $$我们将用在$C^{\infty}(\mathbb{R})$的一个函数序列$(\eta_k)$定义为$$ \eta_k(t)=\eta(kt),t{\in}\mathbb{R},k=1,2,{\cdots} $$其中$\eta$是任意固定的函数，$\eta{\in}C^{\infty}(\mathbb{R})$，使得$$ \eta(t)=\begin{cases} 0{\quad}if{\;}t<1/2\\ 1{\quad}if{\;}t>1 \end{cases} $$（7）的证明：令$\varphi{\in}C_c^1(Q)$。对于$1{\le}i{\le}N-1$，我们有$$ \int_{Q}u^*\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=\int_{Q_+}u\frac{{\partial}\psi}{{\partial}x_i}\tag{9} $$其中$\psi(x',x_N)=\varphi(x',x_N)+\varphi(x',-x_N)$。函数$\psi$一般不属于$C^1_c(Q_{+})$。且因此不能用于作为一个试验函数（在$W^{1,p}$定义中）。另一方面，$\eta_k(x_N)\psi(x'x_N){\in}C_c^1(Q_{+})$且因此$$ \int_{Q_+}u \frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(\eta_k\psi)=-\int_{Q_+} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\eta_k\psi $$因为$\frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(\eta_k\psi)={\eta_k}\frac{{\partial}\psi}{{\partial}x_i}$，我们有$$ \int_{Q_+}u{\eta_k} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}x_i}=-\int_{Q_+} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\eta_k}\psi\tag{10} $$在（10）中当$k{\to}\infty$取到极限（由控制收敛）我们得到$$ \int_{Q_+}u \frac{{\partial}\psi}{{\partial}x_i}=-\int_{Q_+} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\psi\tag{11} $$结合（9）和（11），我们得到$$ \int_{Q}u^*\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=-\int_{Q_+}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\psi=-\int_{Q}(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i})^*\varphi $$于是（7）成立。（8）的证明：对于任意$\varphi{\in}C_c^1(Q)$我们有$$ \int_Qu^*\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_N}=\int_{Q_+}u\frac{{\partial}\chi}{{\partial}x_N}\tag{12} $$其中$\chi(x',x_N)=\varphi(x',x_N)-\varphi(x',-x_N)$。注意到$\chi(x',0)=0$且因此存在一个常数$M$使得$|\chi(x',x_N)|{\le}M|x_N|$在$Q$上。因为$\eta_k{\chi}{\in}C_c^1(Q_+)$，我们有$$ \int_{Q_+}u\frac{{\partial}}{{\partial}x_N}(\eta_k\chi)=-\int_{Q_+}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}\eta_k\chi\tag{13} $$但是$$ \frac{{\partial}}{{\partial}x_N}(\eta_k\chi)=\eta_k\frac{{\partial}\chi}{{\partial}x_N}+k\eta'(kx_N)\chi\tag{14} $$我们断言$$ \int_{Q_+}uk\eta'(kx_N)\chi{\to}0{\;}as{\;}k{\to}\infty\tag{15} $$事实上，我们有$$ \left|\int_{Q_+}uk\eta'(kx_N)\chi\right|{\le}kMC\int_{0<{x_N}<1/k}|u|x_Ndx{\le}MC\int_{0<x_N<1/k}|u|dx $$其中$C=\sup_{t{\in}[0,1]}|\eta'(t)|$，于是（15）成立。我们从（13）（14）（15）中推导出$$ \int_{Q_+}u\frac{{\partial}\chi}{{\partial}x_N}=-\int_{Q_+}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}\chi $$最终，我们有$$ \int_{Q_+}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}\chi=\int_{Q}\left(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}\right)^{\Box}\varphi\tag{16} $$结合（12）和（16），我们得到（8）。而这就完成了引理9.2的证明。引理9.2的结论依旧有效如果$Q_+$是由$\mathbb{R}^N_+$代替（证明不需要变化）。这个引出了定理9.7对于$\Omega=\mathbb{R}^N_+$。注释9：引理9.2给出了一个非常简单的延拓算子对于重要开集$\Omega$非$C^1$阶的构造。考虑下面的例子，区域$$ \Omega=\left\{x{\in}\mathbb{R}^2;0<x_1<1,0<x_2<1\right\} $$令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$。由四个连续反射（见图6）我们得到一个延拓$\widetilde{u}{\in}W^{1,p}(\widetilde{\Omega})$关于$u$在$$ \widetilde{\Omega}=\left\{x{\in}\mathbb{R}^2;-1<x_1<3,-1<x_2<3\right\} $$然后固定任意函数$\psi{\in}C_c^1(\widetilde{\Omega})$使得$\psi=1$在$\Omega$上。由$Pu$表示函数$\psi\widetilde{u}$延拓到$\mathbb{R}^2$由在$\widetilde{\Omega}$为0，容易说明算子$P:W^{1,p}(\Omega){\to}W^{1,p}(\mathbb{R}^2)$满足（i）(ii)（iii）。下面的引理非常有用。引理9.3（单位分解）令$\Gamma$为一个$\mathbb{R}^N$的紧子集且令$U_1,U_2,{\cdots},U_k$为$\Gamma$的开覆盖，也即$\Gamma{\subset}\bigcup^k_{i=1}U_i$。则存在函数$\theta_0,\theta_1,\theta_2,{\cdots},\theta_k{\in}C^{\infty}(\mathbb{R}^N)$使得$$ 0{\le}\theta_i{\le}1,{\forall}i=0,1,2,{\cdots},k和\sum^k_{i=0}\theta_i=1{\;}on{\;}\mathbb{R}^N\tag{i} $$$$ \begin{cases} supp{\;}{\theta_i}是紧的且supp{\;}\theta_i{\subset}U_i,{\forall}i=1,2,{\cdots},\\ supp{\;}\theta_0{\subset}\mathbb{R}^N{\backslash}\Gamma \end{cases}\tag{ii} $$如果$\Omega$是一个开的有界集且$\Gamma={\partial}\Omega$，则$\theta_{0|\Omega}{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$。证明：这个引理是经典的。类似的叙述可以在很多书里面找到。定理9.7的证明：我们“纠正”$\Gamma={\partial}\Omega$由局部图和用单位分解。更精确地，因为$\Gamma$是紧致的且是$C^1$阶的，存在在$\mathbb{R}^N$中的开集$(U_i)_{1{\le}i{\le}k}$使得$\Gamma{\subset}\bigcup^{k}_{i=1}U_i$和双射$H_i=Q{\to}U_i$使得$$ H_i{\in}C^1(\overline{Q}),H_i^{-1}{\in}C^1(\overline{U}_i),H_i(Q_+)=U_i{\cap}Q,且H_i(Q_0)=U_i{\cap}\Gamma $$考虑在引理9.3中介绍的函数$\theta_0,\theta_1,\theta_2,{\cdots},\theta_k$，给定$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$，记下$$ u=\sum^k_{i=0}\theta_iu=\sum^k_{i=0}u_i,u_i=\theta_iu $$现在我们延拓任何函数$u_i$到$\mathbb{R}^N$。区分$u_0$和$(u_i)_{1{\le}i{\le}k}$。（a）$u_0$的延拓，我们定义$u_0$到$\mathbb{R}^N$的延拓为由$$ \overline{u}_0(x)=\begin{cases} u_0(x){\quad}if{\;}x{\in}\Omega\\ 0{\quad}if{\;}x{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}\Omega \end{cases} $$回忆起$\theta_0{\in}C^1(\mathbb{R}^N){\cap}L^{\infty}(\mathbb{R}^N),{\nabla}\theta_0{\in}L^{\infty}(\mathbb{R}^N)$。因为$\nabla{\theta_0}=-\sum^k_{i=1}{\nabla}\theta_i$有紧支撑，且$supp{\;}\theta_0{\subset}\mathbb{R}^N{\backslash}\Gamma$，于是（由注释4(ii)）$$ \overline{u}_0{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N),\frac{{\partial}}{{\partial}x_i}\overline{u}_0=\theta_0\frac{\overline{\partial}u}{{\partial}x_i}+\frac{{\partial}\theta_0}{{\partial}x_i}\overline{u} $$因此$$ \|\overline{u}_0\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)} $$（b）$u_i,1{\le}i{\le}k$的延拓考虑$u$的限制到$U_i{\cap}\Omega$且"转变"这个函数到$Q_+$带有$H_i$的帮助。更精确地，令$v_i(y)=u(H_i(y))$对于$y{\in}Q_+$。我们知道（命题9.6）$v_i{\in}W^{1,p}(Q_+)$。则由$v_i$的反射定义在$Q$上的延拓（引理9.2），称它为$v_i^*$。我们知道$v_i^*{\in}W^{1,p}(\Omega)$。用$H_i^{-1}$“重新转换”$v_i^*$到$U_i$且称它$w_i$：$$ w_i(x)=v_i^*[H_i^{-1}(x)]{\quad}for{\;}x{\in}U_i $$则$w_i{\in}W^{1,p}(U_i),w_i=u{\;}on{\;}U_i{\cap}\Omega$，且$$ \|w_i\|_{W^{1,p}(U_i)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(U_i{\cap}\Omega)} $$最后，设对于$x{\in}\mathbb{R}^N$,$$ \hat{u}_i(x)=\begin{cases}\theta_i(x)w_i(x){\quad}if{\;}x{\in}U_i\\0{\quad}if{\;}x{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}U_i\end{cases} $$于是$\hat{u}_i{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$（见注释4(ii)），$\hat{u}_i=u_i{\;}on{\;}\Omega$且$$ \|\hat{u}_i\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(U_i{\cap}\Omega)} $$（c）结论，算子$Pu=\overline{u}_0+\sum^N_{i=1}\hat{u}_i$拥有所想要的性质。推论9.8（稠密性）假设$\Omega$是$C^1$阶的，且令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$，其中$1{\le}p<\infty$。则存在一个序列$(u_n)$从$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$使得在$W^{1,p}(\Omega)$上$u_{u|\Omega}{\to}u$。用另一种说法就是，对$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$函数限制到$\Omega$形成一个$W^{1,p}(\Omega)$的稠密子空间。证明：首先假设$\Gamma$是有界的。则存在一个延拓算子$P$（由定理9.7）。在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$上$\xi_n(\rho_n*Pu)$收敛到$Pu$。且因此它回答了问题。当$\Gamma$是无界的，从考虑序列$\xi_n{u}$开始。给定$\varepsilon>0$，固定$n_0$使得$\|\xi_{n_0}u-u\|_{W^{1,p}}<\varepsilon$。然后可以构造一个$\xi_{n_0}u$的延拓$v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$（因为这只涉及到$\Gamma$与一个大球的交点）。我们最终可以取到任何$w{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$使得$\|w-v\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)}<\varepsilon$。
索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式9.1 索伯列夫空间$W^{1,p}(\Omega)$的基本性质与定义令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集且令$p{\in}\mathbb{R}$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。定义索伯列夫空间$W^{1,p}(\Omega)$是定义为$$ W^{1,p}(\Omega)=\left\{u{\in}L^p(\Omega)|{\exists}g_1,g_2,{\cdots},g_N{\in}L^p(\Omega)s.t.\int_{\Omega}u\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=-\int_{\Omega}g_i\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega),{\forall}i=1,2,{\cdots},N\right\} $$我们设$$ H^1(\Omega)=W^{1,2}(\Omega) $$对于$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$我们定义$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}=g_i$，且我们记$$ {\nabla}u=grad{\;}u=(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_1},\frac{{\partial}u}{{\partial}x_2},{\cdots},\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}) $$空间$W^{1,p}(\Omega)$是装备范数$$ \|u\|_{W^{1,p}}=\|u\|_p+\sum^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|_p $$或者有时用其等价范数$(\|u\|^p_p+\sum^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|^p_p)^{1/p}$（如果$1{\le}p<\infty$）。空间$H^1(\Omega)$是装备上内积$$ (u,v)_{H^1}=(u,v)_{L^2}+\sum^N_{i=1}(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i},\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i})_{L^2}=\int_{\Omega}uv+\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i} $$诱导的范数$$ \|u\|_{H^1}=(\|u\|_2^2+\sum^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|_2^2)^{1/2} $$这个和$W^{1,2}$的范数是等价的。命题9.1对于任意$1{\le}p<\infty$，$W^{1,p}(\Omega)$是一个巴拿赫空间。对于$1<p<\infty$，$W^{1,p}(\Omega)$是自反空间。且对于$1{\le}p<\infty$，是可分空间。$H^1(\Omega)$是一个可分的希尔伯特空间。证明：用算子$Tu=[u,{\nabla}u]$结合命题8.1的证明即可。注1：在$W^{1,p}$的定义中，我们同样可以用$C_c^{\infty}(\Omega)$作为试验函数$\varphi$的空间（代替$C_c^1(\Omega)$）。为了说明这个，用一串磨光算子序列$(\rho_n)$即可。注2：容易知道如果$u{\in}C^1(\Omega){\cap}C^p(\Omega)$且对于所有的$i=1,2,{\cdots},N$，$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in}L^p(\Omega)$（这里$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$意味着$u$的通常的偏导数），则$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$。更甚者，通常的偏导数和在$W^{1,p}$意义下的偏导数一致，所以记号是一致的。特别地，如果$\Omega$是有界的，则对于所有的$1{\le}p{\le}\infty$，$C^1(\overline{\Omega}){\subset}W^{1,p}(\Omega)$。反之，可以说明如果对于某些$1{\le}p{\le}\infty,u{\in}W^{1,p}(\Omega)$且如果对于所有$i=1,2,{\cdots},N,\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in}C(\Omega)$（这里$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$意味着在$W^{1,p}$意义下的偏导数），则$u{\in}C^1(\Omega)$；更精确地说，存在一个函数$\widetilde{u}{\in}C^1(\Omega)$使得$u=\widetilde{u}{\;}a.e.$。注3：对于任意$u{\in}L^1_{loc}(\Omega)$，分布定理给了$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$一个意义（$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$是巨大分布空间$\mathcal{D'}(\Omega)$的一个元素，特别地这个空间是包含在$L^1_{loc}(\Omega)$中）。用到分布的语言，可以说明$W^{1,p}(\Omega)$是函数$u{\in}L^p$的集合，其中所有的偏微分$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i},1{\le}i{\le}N$（在分布的意义上）属于$L^p(\Omega)$。当$\Omega=\mathbb{R}^N$且$p=2$时，可以用傅立叶变换来定义索伯列夫空间。注4：记住下列事实是有用的：（1）令$(u_n)$为在$W^{1,p}$中的一列序列，使得在$L^p$上$u_n{\to}u$且$({\nabla}u_n)$在$(L^p)^N$上收敛到某个极限。则$u{\in}W^{1,p}$且$\|u_n-u\|_{W^{1,p}}{\to}0$。当$1<p{\le}\infty$足够知道在$L^p$上$u_n{\to}u$且$({\nabla}u_n)$在$(L^p)^N$上有界，于是推出$u{\in}W^{1,p}$。（2）给定一个定义在$\Omega$上的函数$f$，我们定义$\overline{f}$是它延拓到$\Omega$外，也即$$ \overline{f}(x)=\begin{cases} f(x){\quad}if{\;}x{\in}\Omega\\ 0{\quad}if{\;}x{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}{\Omega} \end{cases} $$令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$且令$\alpha{\in}C_c^1(\Omega)$，则$$ \overline{\alpha{u}}{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)且\frac{\partial}{\partial{x_i}}(\overline{\alpha{u}})=\overline{{\alpha}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}+\frac{{\partial}\alpha}{{\partial}x_i}u} $$事实上，令$\varphi{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$，我们有$$ \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^N}\overline{{\alpha}u}\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}&=\int_{\Omega}{\alpha}u\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=\int_{\Omega}u[\frac{\partial}{{\partial}x_i}({\alpha}{\varphi})-\frac{{\partial}\alpha}{{\partial}x_i}\varphi]\\ &=-\int_{\Omega}(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\alpha{\varphi}+u\frac{{\partial}\alpha}{{\partial}x_i}{\varphi})=-\int_{\mathbb{R}^N}(\overline{{\alpha}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}+\frac{{\partial}\alpha}{{\partial}x_i}u})\varphi \end{align*} $$同样的结论是成立的，当我们取$\alpha{\in}C^1(\mathbb{R}^N){\cap}L^{\infty}(\mathbb{R}^N)$其中${\nabla}\alpha{\in}L^{\infty}(\mathbb{R}^N)^N$且$supp{\;}{\alpha}{\subset}\mathbb{R}^N{\backslash}(\partial{\Omega})$，代替假设$\alpha{\in}C_c^1(\Omega)$。这是一个对于一般的开集$\Omega$的首个稠密结论；我们随后会建立（推论9.8）一个更为精细的结果，在$\Omega$加上额外的假设。我们需要下面的东西。定义令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集。我们说一个在$\mathbb{R}^N$中的开集$\omega$是强包含在$\Omega$且我们记$\omega{\subset}{\subset}\Omega$，指的是：如果$\overline{\omega}{\subset}\Omega$且$\overline{\omega}$是紧的。强包含的意思是：一个开集包含在其中，且该开集的闭包是紧的且包含在里面。定理9.2（Friedrichs）令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$，其中$1{\le}p<\infty$。则存在一个从$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$的序列$(u_n)$使得$$ u_{n|\Omega}{\to}u{\quad}in{\;}L^p(\Omega)\tag{1} $$且$$ {\nabla}u_{n|{\omega}}{\to}{\nabla}u_{|\omega}{\quad}in{\;}L^p(\omega)^N对于所有的{\omega}{\subset}{\subset}\Omega \tag{2} $$在$\Omega=\mathbb{R}^N$的情况下且$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，其中$1{\le}p<\infty$，存在一个从$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$的序列$(u_n)$使得$$ u_{n|\Omega}{\to}u{\quad}in{\;}L^p(\mathbb{R}^N) $$和$$ {\nabla}u_n{\to}{\nabla}u{\quad}in{\;}L^p(\mathbb{R}^N)^N $$为了证明这个，我们需要用到下面的引理引理9.1令$p{\in}L^1(\mathbb{R}^N)$且令$v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则$$ p*v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)且\frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(p*v)=p*\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i},{\forall}i=1,2,{\cdots},N $$引理9.1的证明：参考引理8.4的证明，完全适用。定理9.2的证明：设$$ \overline{u}(x)=\begin{cases} u(x){\quad}if{\;}x{\in}\Omega\\ 0{\quad}if{\;}x{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}{\Omega} \end{cases} $$且设$v_n=p_n*\overline{u}$（其中$p_n$是一列磨光算子序列）我们知道（见第4.4节）$v_n{\in}C^{\infty}(\mathbb{R}^N)$且在$L^p(\mathbb{R}^N)$中$v_n{\to}\overline{u}$。我们断言${\nabla}u_{n|\omega}{\to}{\nabla}u_{|\omega}$在$L^p(\omega)^N$对所有$\omega{\subset}{\subset}\Omega$成立。事实上，给定$\omega{\subset}{\subset}\Omega$，固定一个函数${\alpha}{\in}C_c^1(\Omega),0{\le}\alpha{\le}1$，使得在$\omega$的一个邻域上$\alpha=1$。如果$n$足够大，我们有$$ p_n*(\overline{{\alpha}u})=p_n*\overline{u}{\quad}on{\;}\omega\tag{3} $$因为$$ \begin{align*} supp(p_n*\overline{{\alpha}u}-p_n*\overline{u})&=supp(p_n*(1-\overline{\alpha})\overline{u})\\ &{\subset}\overline{supp{\;}p_n+supp(1-\overline{\alpha})\overline{u}}{\subset}\overline{B(0,\frac{1}{n})+supp(1-\overline{\alpha})}\\ &{\subset}(\omega)^c \end{align*} $$对于足够大的$n$，由引理9.1和注4（2）我们有$$ \frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(p_n*\overline{{\alpha}u})=p_n*(\overline{\alpha\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}+\frac{{\partial}\alpha}{{\partial}x_i}u}) $$于是$$ \frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(p_n*\overline{{\alpha}u}){\to}\overline{\alpha\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}+\frac{{\partial}\alpha}{{\partial}x_i}u}{\quad}in{\;}L^p(\mathbb{R}^N) $$且特别地$$ \frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(p_n*\overline{{\alpha}u}){\to} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\quad}in{\;}L^p(\omega) $$因为（3）我们有$$ \frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(p_n*\overline{u}){\to}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\quad}in{\;}L^p(\omega) $$最终，我们用在定理8.7中证明的截断函数序列$(\xi_n)$乘上序列$(v_n)$。容易验证序列$u_n=\xi_nv_n$满足上述条件，也即$u_n{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$，在$L^p(\Omega)$中$u_n{\to}u$且${\nabla}u_n{\to}{\nabla}u$在$(L^p(\omega))^N$中对于任意$\omega{\subset}{\subset}\Omega$成立。在$\Omega=\mathbb{R}^N$的情况下，序列$u_n=\xi_n(p_n*u)$满足上述条件。注5：可以说明（Meyers-Serrin's定理）：如果$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$其中$1{\le}p<\infty$，存在从$C^{\infty}(\Omega){\cap}W^{1,p}(\Omega)$的一个序列$(u_n)$使得在$W^{1,p}(\Omega)$中$u_n{\to}u$。这个结果的证明是十分精细复杂的。一般来说，如果$\Omega$是一个任意的开集，且如果$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$则不存在一个在$C_c^1(\mathbb{R}^N)$中的序列，使得在$W^{1,p}(\Omega)$中$u_{n|\Omega}{\to}u$。对比Meyers-Serrin's定理（对任意开集成立）和推论9.8（假设$\Omega$是正规的）下面是一个关于$W^{1,p}$函数的简单特征：命题9.3令$u{\in}L^p(\Omega)$，其中$1<p{\le}\infty$。下面的性质是等价的：（a）$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$。（b）存在一个常数$C$使得$$ |\int_{\Omega}u\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}|{\le}C\|{\varphi}||_{L^{p'}(\Omega)},{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega),{\forall}i=1,2,{\cdots},N $$（c）存在一个常数$C$，使得对于所有的$\omega{\subset}{\subset}\Omega$，且所有的$h{\in}\mathbb{R}^N$其中$|h|<dist(\omega,{\partial}\Omega)$我们有$$ \|{\tau_h}u-u\|_{L^p(\omega)}{\le}C|h| $$（注意到$\tau_hu(x)=u(x+h)$对于$x{\in}\omega$和$|h|<dist(\omega,{\partial}\Omega)$有意义）更甚者，我们可以取到$C=\|{\nabla}u\|_{L^p(\Omega)}$在（2）和（3）中。如果$\Omega=\mathbb{R}^N$，我们有$$ \|{\tau_h}u-u\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}{\le}|h|\|{\nabla}u\|_{L^p(\mathbb{R}^N)} $$证明：（a）推出（b）是显然的。（b）推出（a）：这个步骤和在命题8.3中的证明一样。（a）推出（c）：首先假设$u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$。令$h{\in}\mathbb{R}^N$且设$$ v(t)=u(x+th),t{\in}\mathbb{R} $$则$v'(t)=h{\cdot}{\nabla}u(x+th)$且因此$$ u(x+h)-u(x)=v(1)-v(0)=\int^1_0v'(t)dt=\int^1_0h{\cdot}{\nabla}u(x+th)dt $$于是对于$1{\le}p<\infty$则有$$ |{\tau_h}u(x)-u(x)|^p{\le}|h|^p\int^1_0|{\nabla}u(x+th)|^pdt $$和$$ \begin{align*} \int_{\omega}|{\tau_h}u(x)-u(x)|^pdx&{\le}|h|^p\int_{\omega}dx\int^1_0|{\nabla}u(x+th)|^pdt\\ &=|h|^p\int^1_0dt\int_{\omega}|{\nabla}u(x+th)|^pdx\\ &=|h|^p\int^1_0dt\int_{\omega+th}|{\nabla}u(y)|^pdy \end{align*} $$如果$|h|<dist(\omega,{\partial}\Omega)$，则存在一个开集$\omega'{\subset}{\subset}\Omega$使得$\omega+th{\subset}\omega'$对于所有$t{\in}[0,1]$且因此$$ \|{\tau_hu-u}\|^p_{L^p(\omega)}{\le}|h|^p\int_{\omega'}|{\nabla}u|^p\tag{4} $$这个包括了对于$u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$且$1{\le}p<\infty$关于（b）的证明。现在假设$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$，其中$1{\le}p<\infty$。由定理9.2存在一个在$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$中的序列使得在$L^p(\Omega)$中$u_n{\to}u$，且在$L^p(\omega)^N,{\forall}\omega{\subset}{\subset}\Omega$上${\nabla}u_n{\to}{\nabla}u$。对于$(u_n)$应用（4）且取到极限，我们可以对于任意$u{\in}W^{1,p}(\Omega),1{\le}p<\infty$获得（c）。当$p=\infty$，用到上述（对于$p<\infty$）且令$p{\to}\infty$即可。（c）推出（b）：令$\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$且考虑一个开集$\omega$使得$supp{\;}\varphi{\subset}\omega{\subset}{\subset}\Omega$，令$h{\in}\mathbb{R}^N$，其中$|h|<dist(\omega,{\partial}\Omega)$。因为（c）我们有：$$ |\int_{\Omega}(\tau_hu-u)\varphi|{\le}C|h|\|{\varphi}\|_{L^{p'}(\Omega)} $$另一方面，因为$$ \int_{\Omega}(u(x+h)-u(x))\varphi(x)dx=\int_{\Omega}u(y)(\varphi(y-h)-\varphi(y))dy $$于是$$ \int_{\Omega}u(y)\frac{(\varphi(y-h)-\varphi(y))}{|h|}dy{\le}C\|{\varphi}\|_{L^{p'}(\Omega)} $$取定$h=te_i,t{\in}\mathbb{R}$，且当$t{\to}0$时取极限，我们就得到（b）。注6：当$p=1$时，下列的关系仍旧是对的：（a）$\Rightarrow$（b）$\Rightarrow$（c）。函数满足(b)（或者(c)）且$p=1$被称为有界变差函数（在分布语言中，一个有界变差函数是一个$L^1$函数使得它的首次微分，在分布意义上，是有界可测的）这个空间在很多应用上扮演着重要的角色。在极小曲面理论中会遇到有界变差函数（或者类似的性质），在弹性和可塑性问题，在一阶拟线性方程，守恒定律有不连续解。注7：命题9.3（(a)推出(c)）意味着任何函数$u{\in}W^{1,\infty}(\Omega)$有一个在$\Omega$上的连续表示。更精确地说，如果$\Omega$是连通的，则$$ |u(x)-u(y)|{\le}\|{\nabla}u\|_{L^{\infty}(\Omega)}\underset{\Omega}{dist}(x,y),{\forall}x,y{\in}\Omega\tag{5} $$（对于这个连续表示$u$），其中$dist_{\Omega}(x,y)$定义了在$\Omega$上从$x$到$y$的测地线距离。如果$\Omega$是凸的则$dist_{\Omega}(x,y)=|x-y|$。从这里我们也能够推导出如果对于某些$1{\le}p{\le}\infty,u{\in}W^{1,p}(\Omega)$（和某些开集$\Omega$），且如果${\nabla}u=0$在$\Omega$上几乎处处成立，则$u$在任何$\Omega$的连通分支都是一个常数。命题9.4（乘积的导数）令$u,v{\in}W^{1,p}(\Omega){\cap}L^{\infty}(\Omega)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则$uv{\in}W^{1,p}(\Omega){\cap}L^{\infty}(\Omega)$且$$ \frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(u,v)=\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}v+u\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i},i=1,2,{\cdots},N $$证明：和推论8.10的证明一样，考虑情况$1{\le}p<\infty$是足够的，由定理9.2存在在$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$中的序列$(u_n),(v_n)$使得$$ u_n{\to}u,v_n{\to}v{\quad}in{\;}L^p(\Omega)且a.e.{\;}on{\;}\Omega\\ {\nabla}u_n{\to}{\nabla}u,{\nabla}v_n{\to}{\nabla}v{\quad}in{\;}L^p(\omega)^N对于所有的\omega{\subset}{\subset}\Omega $$检验定理9.2的证明，我们容易看到我们甚至有$$ \|u_n\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^N)}{\le}\|u\|_{L^{\infty}(\Omega)}和\|v_n\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^N)}{\le}\|v\|_{L^{\infty}(\Omega)} $$另一方面$$ \int_{\Omega}u_nv_n\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=-\int_{\Omega}(\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_i}v_n+u_n\frac{{\partial}v_n}{{\partial}x_i})\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(\Omega) $$取到极限，并且由控制收敛定理，成为$$ \int_{\Omega}uv\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=-\int_{\Omega}(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}v+u\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i})\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(\Omega) $$命题9.5（成分的偏导）令$G{\in}C^1(\mathbb{R})$为使得$G(0)=0$且$|G'(s)|{\le}M,{\forall}s{\in}\mathbb{R}$对于某个常数$M$。令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$其中$1{\le}p{\le}\infty$。则$$ G{\circ}u{\in}W^{1,p}(\Omega)且\frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(G{\circ}u)=(G'{\circ}u)\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i},i=1,2,{\cdots},N $$证明：我们有$|G(s)|{\le}M|s|,{\forall}s{\in}\mathbb{R}$且因此$|G{\circ}u|{\le}M|u|$。作为结果$G{\circ}u{\in}L^p(\Omega)$且仍旧有$(G'{\circ}u)\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in}L^p(\Omega)$。这可以检验$$ \int_{\Omega}(G{\circ}u)\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=-\int_{\Omega}(G'{\circ}u)\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(\Omega)\tag{6} $$当$1{\le}p<\infty$时候，可以取一个在$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$中的序列$(u_n)$，使得在$L^p(\Omega)$中$u_n{\to}u$，且在$\Omega$上几乎处处，${\nabla}u_n{\to}{\nabla}u$在$L^p(\omega)^N,{\forall}\omega{\subset}{\subset}\Omega$（定理9.2）。我们有$$ \int_{\Omega}(G{\circ}u_n)\frac{{\partial}{\varphi}}{{\partial}x_i}=-\int_{\Omega}(G'{\circ}u_n)\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_i}\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(\Omega) $$但是在$L^p(\Omega)$上$G{\circ}u_n{\to}G{\circ}u$且在$L^p(\omega),{\forall}\omega{\subset}{\subset}\Omega$上，$(G'{\circ}u_n)\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_i}{\to}(G'{\circ}u)\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$（由控制收敛），于是（6）成立。当$p=\infty$时，固定一个开集$\Omega'$使得$supp{\;}\varphi{\subset}\Omega'{\subset}{\subset}\Omega$。则$u{\in}W^{1,p}(\Omega'),{\forall}p<\infty$且（6）和上面一样可以导出。命题9.6（变分公式的改变）令$\Omega$和$\Omega'$为在$\mathbb{R}^N$上的两个开集，且领$H:\Omega'{\to}\Omega$为一个双射，$x=H(y)$，使得$H{\in}C^1(\Omega),H^{-1}{\in}C^1(\Omega'),Jac{\;}H{\in}L^{\infty}(\Omega'),Jac{\;}H^{-1}{\in}L^{\infty}(\Omega)$。令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$其中$1{\le}p{\le}\infty$。则$u{\circ}H{\in}W^{1,p}(\Omega')$且$$ \frac{{\partial}}{{\partial}y_i}u(H(y))=\sum_i\frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(H(y))\frac{{\partial}H_i}{{\partial}y_i}(y),{\forall}j=1,2,{\cdots},N $$证明：当$1{\le}p<\infty$时，取定一个在$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$中的序列，使得在$L^p(\Omega)$上$u_n{\to}u$且在$L^p(\omega)^N,{\forall}\omega{\subset}{\subset}\Omega$上${\nabla}u_n{\to}{\nabla}u$。因此在$L^p(\Omega')$上$u_n{\circ}H{\to}u{\circ}H$，且$$ (\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_i}{\circ}H)\frac{{\partial}H_i}{{\partial}y_i}{\to}(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\circ}H)\frac{{\partial}H_i}{{\partial}y_i}{\quad}in{\;}L^p(\omega'),{\forall}\omega'{\subset}{\subset}\Omega' $$给定$\psi{\in}C_c^1(\Omega')$，我们有$$ \int_{\Omega'}(u_n{\circ}H)\frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_i}=-\int_{\Omega'}\sum_i(\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_i}{\circ}H)\frac{{\partial}H_i}{{\partial}y_i}\psi{dy} $$在极限情况我们获得了所需要的结果。当$p=\infty$，用和命题9.5的证明结尾以同样的方式证明。本节主要讲述了多变量情况下，索伯列夫空间的定义与其基本性质，并且引入了强包含。
一些典型函数或者算子的特点总结
一些典型函数或者算子的特点总结在实变与泛函中，有许多典型函数与线性算子，对考察和理解一些概念：集合稠密性，空间完备性与函数的一致收敛等有重要作用。例子1定义函数列中的每个函数$$ f_n(x)=\begin{cases}1{\quad}c+\frac{1}{n}{\le}x{\le}b\\n(x-c){\quad}c-\frac{1}{n}{\le}x{\le}c+\frac{1}{n}\\-1{\quad}a{\le}x{\le}c-\frac{1}{n}\end{cases}其中c{\in}(a,b) $$这是一个分段函数，两边是常函数，而中间是线性函数连起来。（1）$f_n(x){\in}C[a,b]$，容易发现是连续函数。（2）逐点收敛，也即在$[a,b]$上的每一个点$f_n(x)$都收敛于一个不连续的函数$$ f(x)=\begin{cases}1{\quad}c<x{\le}b\\0{\quad}x=c\\-1{\quad}a{\le}x<c\end{cases} $$逐点收敛即将$x$取为一个具体的实数$x_0$，然后考察$\left\{f_n(x_0)\right\}$，显然$c<x_0{\le}b$时，$\left\{f_n(x_0)\right\}=\left\{1,1,1,{\cdots}\right\}$，这显然收敛于1，由此逐点考察就可以得到上面的收敛函数。（3）该函数列不是$C[a,b]$中的基本点列。我们将$f_n(x)$看做Banach空间$C[a,b]$中的一个元素的时，就需要考察$f_n(x)$在该空间内定义的范数$\|{\cdot}\|_{\infty}$意义下是否收敛于该空间内的一个元素，显然上面的$f(x)$不是连续函数，因此不属于$C[a,b]$，那么$f_n(x)$收敛于什么元素呢？其实这个问题首要回答点列（这里不称为函数列）$f_n(x)$是否收敛，才能回答其收敛于什么元素。要回答其是否收敛，首要考察其是否基本点列，于是有$$ \|f_n(x)-f_m(x)\|_{\infty}=\max_{x{\in}[a,b]}|f_n(x)-f_m(x)|=|1-\frac{n}{m}| $$我们知道对于基本点列（柯西）的定义：对于任意正数$\varepsilon$，存在$N(\varepsilon)>0$，使得当$n,m{\ge}N(\varepsilon)$时，$p(x_n,x_m)<\varepsilon$。照这个定义，上面当$m$任意大的时候，$n$是固定值，会发现$\|f_n(x)-f_m(x)\|_{\infty}=1$。而不是任意小的值，于是$\left\{f_n(x)\right\}$不是$C[a,b]$中的基本点列，于是不收敛。特别注意基本点列的概念，比如点列$\left\{\sqrt{n}\right\}$没有极限，一定不是基本点列，但是任何两个相邻的点之间越来越小，因为有$$ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\to}0(n{\to}\infty) $$从这个例子就能观察到基本点列的概念不是相邻点或者相隔固定点数的两点之间距离越来越小，而是相隔任何点数的两点之间的距离越来越小。$C[a,b]$是Banach空间，其完备性要求基本点列收敛，也即收敛到该空间内的一个元素。而$\left\{f_n(x)\right\}$就不是基本点列，因此也不用考察其收敛问题。所以和$C[a,b]$是Banach空间不矛盾。并且可以知道$C[a,b]$不是致密集，因为致密集中的任何一个点列都有收敛的子点列，而我们这里的$\left\{f_n(x)\right\}$点列，不是基本点列，故其子点列也不可能是基本点列。容易得出$C[a,b]$不是致密的。实际上我们知道$C[a,b]$是无限赋范空间，因此一定存在有界集不致密，因此$C[a,b]$不是致密集。上面的分析就启发我们，以后只要涉及到收敛，我们就要立刻考虑是哪个空间的哪个点列的收敛问题，具体讲就是哪个点列在哪个定义的距离或者范数意义下的收敛。（4）是$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$空间的基本点列。我们在上面考察的赋范空间$C[a,b]$中，它的范数定义是$\|f(x)\|_{\infty}=\max_{x{\in}[a,b]}|f(x)|$，这是默认的。现在我们重新定义范数为$\|{\cdot}\|_1$，那么$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$就是一个新的空间，显然$f_n(x)$是这个空间中的元素，接下来我们考察其在这个新空间内，点列$\left\{f_n(x)\right\}$是否基本点列。$$ \|f_n-f_m\|_1=\int_{[a,b]}|f_n(x)-f_m(x)|dx=2|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|{\le}|\frac{2}{m}+\frac{2}{n}| $$显然当$n,m{\to}\infty$时，$\|f_n-f_m\|_1{\to}0$，这表明$\left\{f_n\right\}$是$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$空间内的基本点列。我们容易知道$\left\{f_n\right\}$在$L^1[a,b]$空间是有极限的，也即上面逐点收敛的极限$f(x)$，也即$\|f_n(x)-f(x)\|_1{\to}0$，这个容易验证。问题是它在$C[a,b]$空间是否收敛呢？也即收敛到一个$C[a,b]$中的元素$g(x)$，使得$\|f_n(x)-g(x)\|_1{\to}0$，现在假设若存在：$$ \|f-g\|=\|f_n-f+(g-f_n)\|{\le}\|f_n-f\|+\|f_n-g\|{\to}0(n{\to}0) $$也即$\|f-g\|=0$，也即存在一个连续函数$g(x)$与一个跳跃函数$f(x)$几乎处处相等。显然这是不可能的，因此我们立刻得出点列$\left\{f_n(x)\right\}$是$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$空间的基本点列，但是在该空间不收敛，而在$L^1[a,b]$空间内是收敛的。由此可知：$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$一定不是Banach空间。说到这里，我们明白了为什么空间的完备性使用基本点列是否收敛来定义，就是因为一个点列是基本点列，但是它的极限可能不在该空间中，这就是说在该空间没有极限，尽管它是基本点列，但是只要适当扩展空间的范围就收敛了，也就是完备了。如果使用点列是否收敛来判断就不准确了，因为不收敛的点列范围太大了，比如 $\left\{n\right\}$也就是自然数数列就不收敛，这和完备性没有任何关系，因此使用基本点列是否收敛于空间的一个点来判断其完备性是最为恰当的，但是“空间的基本点列都收敛即为完备空间”。上面的逻辑也就是：首先考察在该空间中的元素，如果按照范数不是基本点列，这个论点与空间完备性无关；如果按照范数是基本点列，但是收敛点不在这个空间内，说明空间装备这个范数是不完备的，可以完备化。对于刚刚学习泛函分析的人来说，的确需要不停的提醒自己，这个函数只是空间中的一个点，微积分中讨论的所有函数性质都是实数域中的非线性函数，不能和泛函分析中讨论的线性算子混为一谈，但是我们将这些函数作为某一个空间的一点，就可以讨论这些点的一些性质。最为典型的就是将函数看作$L^p[a,b]$中的点，而作用在这些点的积分算子看作线性函数，这样一来就可以从空间的角度讨论函数的积分性质了。$f_n(x)$函数可以用来理解基本点列取决于空间定义的范数，在$(C[a,b],\|{\cdot}\|_{\infty})$空间中不是基本点列，但是在$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$空间中是基本点列。同时也可以用来判断空间的性质：判断$(C[a,b],\|{\cdot}\|_{\infty})$不是致密空间，也就是存在一个点列没有收敛的子点列。。另外也是一个很好说明逐点收敛和均匀收敛之间关系的例子，函数的逐点收敛只是实数点列的收敛问题，这和将函数看作空间中的点列收敛没有任何关系，是另一个概念。这也很好的说明了一致收敛的连续函数列为什么其极限函数也是连续函数，这个原因就是因为在 $C[a,b]$ 空间中有极限，即它的极限属于该空间，当然该函数是连续的了。其实讨论完备性的目的就是为了极限和有界线性算子能够交换，因为只要空间是完备的，那么其极限就在该空间中，那么有界线性算子就可以对它进行运算，有界线性算子是连续的，那么极限号就可以拿到线性算子里面去了，当然也可以从线性算子里面拿出来。这样的好处就是怎么容易计算怎么来，因为有的先求极限后进行算子映射容易，有的是先求算子映射后求极限容易。。为了这点事情，泛函分析费了很大的劲讲它，之所以费劲，就是因为这个有界线性算子是抽象的，包括所有的积分算子，微分算子等等。我们回忆一下高等数学讲这个问题，实变函数讲这个问题，复变函数讲这个问题，都是就事论事，讲的积分问题称为积分的极限问题，比如实变函数就有控制收敛定理，法图定理，levi定理等等，高等数学讲的是函数一致收敛问题等等。这些东西太零散了，泛函分析一个定理包含它们，那么就是对连续映射$f$来说$$ \lim_{n{\to}\infty}f(x_n)=f(\lim_{n{\to}\infty}x_m) $$从这里可以看出，要确保$x_n$的极限存在而且在同一个空间中才能用，也就是Banach空间。我们从这个角度可以重新考虑控制收敛定理的证明，那就是十分自然的事情了。（5）$\left\{f_n(x)\right\}$在空间$C[a,b]$中是有界点列，但是没有收敛的子点列。在上面已经说明了，它没有任何一个收敛的子点列，而且它根本就不是基本点列，这和实数空间是不一致的，因为任何一个实数列，只要有界，一定要有收敛的子点列。我们看$\left\{f_n(x)\right\}$在空间$C[a,b]$中不收敛，而且根本就不是基本点列，它和逐点收敛完全是两回事，在$C[a,b]$中$f_n(x)$是一个元素，是一个整体，完全没有$x$什么事情，既然不收敛，不是基本点列，说明它压根就不存在极限，因此它是有界闭集。我们知道实数域中有界闭集上的连续函数必然有上下确界，那么一般度量空间的有界闭集是否也有类似性质？比如我们这个例子$\left\{f_n(x)\right\}$是有界闭集，我们定义函数$g(x)=1/\int^1_0f(x)dx$，容易发现它是连续函数，但是该函数在有界闭集$\left\{f_n(x)\right\}$上没有最大值，因此可以看出来实数域中有界闭集的连续函数性质在这儿不成立，因此才有致密集定义的出现。例子2在闭区间$[0,1]$上作连续函数列$A=\left\{f_n(x)\right\},n=1,2,3,{\cdots}$其公式为$$ f_n(x)=\begin{cases}0,{\quad}x{\ge}\frac{1}{n}\\1-nx,{\quad}x{\le}\frac{1}{n}\end{cases} $$显然其逐点收敛于$$ f_n(x)=\begin{cases}1,{\quad}x=0\\0,{\quad}x{\neq}0\end{cases} $$这个函数与上面例子1的函数完全类似，可以用来说明以上所有关于空间完备性，致密性以及收敛性和基本点列等概念。例子3还有函数$f(x)=t(1-t)^n,t{\in}[0,1]$，计算$(Tx)t=tx(t)$近似谱点；$C[a,b]$上的点也即连续函数$x_n(t)=e^{-n(t-a)}$验证微分算子是闭算子，但不是有界线性算子；满足以及不满足Lipsichitz条件的函数验证有界变差函数以及不是有界变差函数的典型代表函数，反映以测度收敛和处处收敛的关系的典型函数，算子一致收敛和强收敛的典型函数，Dirichlet函数，黎曼函数，$\delta$函数，跳跃函数，核函数，Herside函数，特征函数等等都需要总结，看看它们到底有何特点并进行比较，用在什么概念的说明上，这些都需要总结才能深入理解相关概念和定理。例子4有很多涉及到映射的概念以及涉及到特殊映射的概念，例如线性算子，非线性算子，有界线性算子，线性泛函等等。(1)映射，这是大的一般的概念：可以从一个空间映射到另外一个空间的映射：等距映射，线性同构映射，连续映射，开映射，闭映射(闭算子)，逆映射，拓扑映射，压缩映射，同构映射(保范)；(2) 算子，这是映射的另外一个名称，在泛函分析中称为算子，至于原因可能是泛函分析主要讨论时赋范空间上的映射。(2.1)一般概念的算子：闭算子，有界算子，无界算子，相似算子，保范算子；(2.2)定义在赋范空间的算子一般就是线性算子，具体有很多：有界线性算子(也是连续算子)，共轭算子(伴随算子)，自共轭算子(自伴算子)，正则算子，预解算子，全连续算子(致密算子/紧算子)，有限秩算子，Fredholm算子(积分算子)，投影算子，酉算子(幺正算子)，正常算子等。拓扑空间对应的是拓扑同构; 度量空间对应的是等距同构；线性空间对应的是线性同构，赋范空间和内积空间对应的是保范线性同构，这种同构级别最高，约束性最强，因此简称同构。后者包含的概念包含前者概念，比如内积空间一定是拓扑空间，线性空间和度量空间，因此保范线性同构一定是拓扑同构，线性同构和等距同构。拓扑同构主要用在讨论空间的连续性，也就是如果两个空间拓扑同构，那么一个空间映照的连续性可以通过讨论它同构的空间的连续性来研究，而其它性质则不行；同样的等距同构，也是如此，但是保范线性同构条件最强，两个空间的连续性，有界性，致密性以及其它性质可以看作同一个空间对待。