我的java开发测试 - Haim
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description: 主要讲述了Haim Brezis的《Functional Analysis,Sobolev Spaces and Partial Differential Equations》的相关内容。
items: 弱拓扑导论
items: 演化问题：热方程和波动方程
items: 极大值原理，特征函数与谱分解
items: 弱解的正规性
items: N维索伯列夫空间W(1,p)_0对偶空间
items: N维索伯列夫空间W(1,p)_0
items: 索伯列夫不等式
items: N维索伯列夫空间W(m,p)
items: N维索伯列夫空间W(1,p)
items: 一些典型函数或者算子的特点总结

弱拓扑导论
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date: 2021-02-20T22:04:42+08:00
description: 弱拓扑导论Coarsest拓扑假设$X$是一个集合，$(Y_i)_{i{\in}I}$是一个拓扑空间组成的集合。我们给定一系列映射$(\varphi_i)_{i{\in}I}$使得对于每个$i{\in}I,\varphi_i$把$X$映射到$Y_i$中。问题1在$X$上构造一个拓扑，使得所有的映射$(\varphi_i)_{i{\in}I}$是连续的。如果可以的话，我们希望寻求到一个拓扑$\mathscr{T}$是有最少开集的，从而作为某种意义上最“经济”的拓扑。注意到如果我们对$X$上装备互斥的拓扑（也即，任何$X$的子集都是开集），则任意的映射$\varphi_i$都是连续的。但是这并不是最“便宜的”（具有最少开集）。事实上，这是最为昂贵的。通常来说是存在一个最经济的拓扑使得映射都是连续的，这个就称之为Coarsest弱拓扑。如果$\omega_i{\subset}Y_i$是任意开集，则$\varphi_{i}^{-1}(\omega_i)$在$\mathscr{T}$中必然是一个开集。当$\omega_i$遍历$Y_i$的开集族且$i$跑遍$I$指标集，我们得到一族$X$的子集。每个都是拓扑$\mathscr{T}$中的开集。我们将其表示为$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$。当然，这族不见得为一个拓扑，因此，我们有下面的：问题2给定一个集合$X$和一族$X$中的子集$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$，构造$X$的最便宜拓扑$\mathscr{T}$，其中$U_{\lambda}$是开集。另一方面，我们必须找到$X$的子集族$\mathscr{F}$是稳定的，关于$U_{\lambda}$的有限交和任意并是封闭的。这样的构造可以通过下面的方式得到：首先，考虑$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$的有限交，也即$\Gamma{\subset}\Lambda$是有限集，然后取$\bigcap\limits_{\lambda{\in}\Gamma}U_{\lambda}$。在这种方式下我们得到一个新的族，称之为$\Phi$，包括了原来的$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$和他们的有限交。然而，这样在任意并下未必是封闭的。因此，我们考虑下面的集合$\mathscr{F}$是由$\Phi$中元素的任意并的到的，这样显然就完成了有限交和任意并的封闭。于是我们就有下面的结果：引理3.1集族$\mathscr{F}$在有限交下是封闭的。这个用集合论的方式可以证明。并且显然上面的构造给出了我们希望得到的性质的一个最便宜的拓扑。注意到这个构造的顺序不能改变，如果改变了，则在有限交下是封闭的，但是不能得到任意并的封闭。命题3.1令$(x_n)$为$X$的一个序列。则在$\mathscr{T}$中$x_n{\to}x$当且仅当对于每个$i{\in}I$有$$ \varphi_i(x_n){\to}\varphi_i(x) $$证明：如果$x_n{\to}x$，则对于每个$i$都有$\varphi_i(x_n){\to}\varphi_i(x)$，因为对于拓扑$\mathscr{T}$每个映射$\varphi_i$都是连续的。另一方面，令$U$为$x$的一个邻域，由前面的讨论，我们可以假设$U$有这样的形式，也即$J{\subset}I$有限，$U=\bigcap\limits_{i{\in}J}\varphi_i^{-1}(V_i)$。对于每个$i{\in}J$存在某个整数$N_i$使得对于$n{\ge}N_i,\varphi_i(x_n){\in}V_i$。于是对于$n{\ge}N=\max\limits_{i{\in}J}N_i$有$x_n{\in}U$。命题3.2令$Z$为一个拓扑空间，且令$\psi$为一个映射从$Z$到$X$。则$\psi$是连续的当且仅当$\varphi_i{\circ}\psi$是从$Z$到$Y_i$是连续的，对于每个$i{\in}I$。这个就是映射复合，不予证明。弱拓扑$\sigma(E,E^*)$的定义与基本性质令$E$为一个巴拿赫空间，且令$f{\in}E^*$。我们用$\varphi_f:E{\to}\mathbb{R}$表示线性泛函$\varphi_f(x)=\left\langle{f,x}\right\rangle$。当$f$遍历$E^*$空间，我们就得到一串集合$(\varphi_f)_{f{\in}E^*}$为从$E$到$\mathbb{R}$的映射族。我们现在忽略掉$E$上的通常拓扑且定义$E$上的新拓扑如下：定义集合$E$上的弱拓扑$\sigm…

演化问题：热方程和波动方程
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date: 2020-02-27T15:16:12+08:00
description: 演化问题：热方程和波动方程10.1 热方程：存在性，唯一性和正规性记号令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个带有边界$\Gamma$的开集。设$$ Q=\Omega{\times}(0,+\infty)\\\sum=\Gamma{\times}(0,+\infty) $$$\sum$被称为圆柱$Q$的横向边界，见图7。考虑下面的问题：找到一个函数$u(x,t):\overline{\Omega}{\times}[0,+\infty){\to}\mathbb{R}$使得$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}Q\tag{1} $$$$ u=0{\quad}on{\;}\sum\tag{2} $$$$ u(x,0)=u_0(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{3} $$其中$\Delta=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}^2}{{\partial}x^2_i}$代表了在空间变量$x$的拉普拉斯，$t$是时间变量，且$u_0(x)$是给定的函数称为初始（或者柯西）数据。方程（1）被称为热方程因为它在时间$t$模拟了在区域$\Omega$中温度分布$u$。在许多扩散现象中都会出现热方程及其变形（见本章最后的评论）热方程是抛物线方程中最简单的例子。方程（2）是（齐次）狄利克雷边界条件；它可以由诺伊曼条件替换$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}n}=0{\quad}on{\;}\sum\tag{2'} $$（$n$是$\Gamma$的向外单位法向量）或者第8章和第9章中遇到的任何边界条件。条件（2）对应于边界$\Gamma$保持在0温度时的假设。条件（2‘）对应于穿过$\Gamma$的热流为0的假设。我们通过观察$u(x,t)$作为定义在$[0,+\infty)$值在空间$H$上的一个函数来解决问题（1）（2）（3）。其中$H$是一个仅仅依赖于$x$的一个函数空间：例如$H=L^2(\Omega)$或者$H=H^1_0(\Omega)$。当我们仅仅写$u(t)$，我们意味着$u(t)$是$H$的一个元素，即函数$x{\mapsto}u(x,t)$。这个观点使我们能够结合Hille-Yosida定理和第8章和第9章的结果，很容易地解决问题（1），（2），（3）。为了简化问题，我们在整个第10章中假设$\Omega$是$C^{\infty}$阶的，其中$\Gamma$是有界的（但如果我们只对弱解感兴趣，这个假设可能会被大大削弱）定理10.1假设$u_0{\in}L^2(\Omega)$，则存在唯一一个函数$u(x,t)$满足（1）（2）（3）且$$ u{\in}C([0,\infty);L^2(\Omega){\cap}C((0,\infty);H^2(\Omega{\cap}H^1_0(\Omega))\tag{4} $$$$ u{\in}C^1((0,\infty;L^2(\Omega))\tag{5} $$更甚者，$$ u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[\varepsilon,\infty)),{\forall}\varepsilon>0 $$最终，$u{\in}L^2(0,\infty;H^1_0(\Omega))$且$$ \frac{1}{2}|u(T)|^2_{L^2(\Omega)}+\int^T_0|{\nabla}u(t)|^2_{L^2(\Omega)}dt=\frac{1}{2}|u_0|^2_{L^2(\Omega)},{\forall}T>0\tag{6} $$证明：我们在$H=L^2(\Omega)$应用Hille–Yosida理论（但是其他的选择是可能的；参见定理10.2的证明）考虑无界算子$A:D(A){\subset}H{\to}H$定义为$$ \begin{cases} D(A)=H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)\\ Au=-{\Delta}u \end{cases} $$需要注意的是，边界条件（2）已经被纳入了。我们断言$A$是一个自伴极大单调算子。我们可以应用定理7.7且推断出满足（4）和（5）的问题（1），（2），（3）的唯一一个解。（i）$A$是单调的。对于任意$u{\in}D(A)$我们有$$ (Au,u)_{L^2}=\int_{\Omega}(-{\Delta}u)u=\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2{\ge}0 $$命题（ii）$A$是极大单调的，我们必须验证$R(I+A)=H=L^2$。但是我们已经知道（见定理9.25）…

极大值原理，特征函数与谱分解
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date: 2020-02-26T16:59:08+08:00
description: 索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式9.7 极大值原理极大值原理是一个非常有用的工具，它包含了很多公式，我们在这里给出了一些简单的形式。令$\Omega$为一个$\mathbb{R}^N$中的一般开集。定理9.27（狄利克雷问题的极大值原理）假设$f{\in}L^2(\Omega)$且$u{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$。满足$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega)\tag{70} $$则对于所有的$x{\in}\Omega$，$$ \min\left\{\inf_{\Gamma}u,\inf_{\Omega}f\right\}{\le}u(x){\le}\max\left\{\sup_{\Gamma}u,\sup_{\Omega}f\right\} $$（这里和下面的，$sup=essential{\;}\sup$和$inf=essential{\;}\inf$）证明：我们用到Stampacchia截断法。给i顶一个函数$G{\in}C^1(\mathbb{R})$使得：（i）$|G'(s)|{\le}M,{\forall}s{\in}\mathbb{R}$。（ii）$G$是在$(0,+\infty)$上严格递增的。（iii）$G(s)=0,{\forall}s{\le}0$。设$$ K=\max\left\{\sup_{\Gamma}u,\sup_{\Omega}f\right\} $$且假设$K<\infty$（否则不需要证明）令$v=G(u-K)$，我们区分两种情况：（a）情况$|\Omega|<\infty$。则$v{\in}H^1(\Omega)$（从命题9.5应用到函数$t{\mapsto}G(t-K)-G(-K)$）。另一方面，$v{\in}H^1_0(\Omega)$，因为$v{\in}C(\overline{\Omega})$且在$\Gamma$上$v=0$（见定理9.17）将$v$代入（70）且按照定理8.18的证明进行。（b）情况$|\Omega|=\infty$。我们则有$K{\ge}0$（因为在$\Omega$上$f(x){\le}K$几乎处处成立且$f{\in}L^2$蕴含着$K{\ge}0$。）固定$K'>K$。由命题9.5应用到函数$t{\mapsto}G(t-K')$我们可以看到，$v=G(u-K'){\in}H^1(\Omega)$。更甚者，$v{\in}C(\overline{\Omega})$且在$\Gamma$上$v=0$。因此$v{\in}H^1_0(\Omega)$，将这个$v$代入（70），我们有$$ \int_{\Omega}|{\nabla}u|^2G'(u-K')+\int_{\Omega}uG(u-K')=\int_{\Omega}fG(u-K')\tag{71} $$另一方面，$G(u-K'){\in}L^1(\Omega)$。因为$$ 0{\le}G(u-K'){\le}M|u| $$且在集合$[u{\ge}K']=\left\{x{\in}\Omega;u(x){\ge}K'\right\}$我们有$$ K'\int_{[u{\ge}K']}|u|{\le}\int_{\Omega}u^2<\infty $$我们从（71）总结出$$ \int_{\Omega}(u-K')G(u-K'){\le}\int_{\Omega}(f-K')G(u-K'){\le}0 $$于是在$\Omega$上$u{\le}K'$几乎处处成立，且因此在$\Omega$上$u{\le}K$几乎处处成立（因为$K'>K$是任取的）推论9.28令$f{\in}L^2(\Omega)$和$u{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$满足（70），我们有$$ [u{\ge}0{\;}on{\;}\Gamma和f{\ge}0{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}[u{\ge}0{\;}in{\;}\Omega]\tag{72} $$$$ \|u\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\le}\max\left\{\|u\|_{L^{\infty}(\Gamma)},\|f\|_{L^{\infty}(\Omega)}\right\}\tag{73} $$特别地$$ if{\;}f=0{\;}in{\;}\Omega,则\|u\|_{L^{\infty}(…

弱解的正规性
type: item
date: 2020-02-26T16:57:59+08:00
description: 索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式9.6 弱解的正规性定义我们说一个开集$\Omega$是$C^m$阶的，$m{\ge}1$为一个整数，如果对任意$x{\in}\Gamma$，存在一个在$\mathbb{R}^N$中$x$的邻域$U$，和一个双射$H:Q{\to}U$使得$$ H{\in}C^m(\overline{Q}),H^{-1}{\in}C^m(\overline{U}),H(Q_+)=U{\cap}\Omega,H(Q_0)=U{\cap}\Gamma $$我们说$\Omega$是$C^{\infty}$阶的，如果$C^m$阶，对所有的$m$成立。主要的正规性结果如下：定理9.25（狄利克雷问题的正规性）令$\Omega$为$C^2$阶的一个开集，且$\Gamma$为界（或者$\Omega=\mathbb{R}^N_+$）令$f{\in}L^2(\Omega)$且令$u{\in}H^1_0(\Omega)$满足$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega)\tag{48} $$则$u{\in}H^2(\Omega)$且$\|u\|_{H^2}{\le}C\|f\|_{L^2}$，其中$C$是一个常数仅依赖于$\Omega$。更甚者，如果$\Omega$是$C^{m+2}$阶的且$f{\in}H^{m}(\Omega)$，则$$ u{\in}H^{m+2}(\Omega)且\|u\|_{H^{m+2}}{\le}C\|f\|_{H^m} $$特别地，如果$f{\in}H^m(\Omega)$，其中$m>N/2$，则$u{\in}C^2(\overline{\Omega})$。最终，如果$\Omega$是$C^{\infty}$阶的且如果$f{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})$，则$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})$。定理9.26（诺伊曼问题的正规性）和在定理9.25一样的假设，可以得到对于诺伊曼问题解的相同的结论。也即，对于$u{\in}H^1(\Omega)$，使得$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u\varphi=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1(\Omega)\tag{49} $$注释24：可以得到对于狄利克雷（诺伊曼）问题联系一般地二阶椭圆算子的解的相同结论，也即，如果$u{\in}H^1_0(\Omega)$是使得$$ \int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}\sum_ia_i\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\varphi+\int_{\Omega}a_0u\varphi=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega) $$则$$ [f{\in}L^2(\Omega),a_{ij}{\in}C^1(\overline{\Omega})且a_i{\in}C(\overline{\Omega})]{\Rightarrow}u{\in}H^2(\Omega) $$且对于$m{\ge}1$，$$ [f{\in}H^m(\Omega),a_{ij}{\in}C^{m+1}(\overline{\Omega})且a_i{\in}C^m(\overline{\Omega})]{\Rightarrow}u{\in}H^{m+2}(\Omega) $$我们将仅仅证明9.25；定理9.26的证明是完全类似的。证明的主要想法是下面的。我们首先考虑情况$\Omega=\mathbb{R}^N$，然后情况$\Omega=\mathbb{R}^N_+$。对于一个一般的区域$\Omega$我们继续两个步骤：1.内部正则性，也即$u$是正则的对于任意区域$w{\subset}{\subset}\Omega$。这里，证明和当$\Omega=\mathbb{R}^N$的模式一样。2.边界的正则性，也即，$u$是正则的在某i额边界的邻域上，这里，在局部图中，证明类似于情况$\Omega=\mathbb{R}^N_+$。我们推荐读者在处理…

N维索伯列夫空间W(1,p)_0对偶空间
type: item
date: 2020-02-26T16:57:12+08:00
description: 索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式$W^{1,p}_0(\Omega)$的对偶空间记号我们用$W^{-1,p'}(\Omega)$表达空间$W^{1,p}_0(\Omega)$的对偶空间，其中$1{\le}p<\infty$。且用$H^{-1}(\Omega)$表达$H^1_0(\Omega)$的对偶空间。$L^2(\Omega)$的对偶空间还是$L^2(\Omega)$，但是我们无法用$H^1_0(\Omega)$确定其对偶空间（见第五章的注释3）我们有下面的结论$$ H^1_0(\Omega){\subset}L^2(\Omega){\subset}H^{-1}(\Omega) $$其中这些单射是连续且稠密的如果$\Omega$是有界的，则$$ W^{1,p}_0(\Omega){\subset}L^2(\Omega){\subset}W^{-1,p'}(\Omega){\quad}if{\quad}2N/(N+2){\le}p<\infty $$带有连续且稠密的单射。如果$\Omega$不是有界的，同样成立，但是只是对范围为$2N/(N+2){\le}p<2$。$W^{-1,p'}(\Omega)$中的元素是完全由下面的结果描述的：命题9.20令$F{\in}W^{-1,p'}(\Omega)$。则存在函数$f_0,f_1,f_2,{\cdots},f_N{\in}L^{p'}(\Omega)$使得$$ \left \langle F,v \right \rangle=\int_{\Omega}f_0v+\sum^N_{i=1}\int_{\Omega}f_i\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i},{\forall}v{\in}W^{1,p}_0(\Omega) $$且$$ \|F\|+\max_{0{\le}i{\le}N}\|f_i\|_{p'} $$如果$\Omega$是有界的，我们可以取$f_0=0$。证明：用到命题8.14的证明。9.5 一些边值问题的变分公式我们现在将使用前面的设定来研究一些椭圆二阶偏微分方程。例子1（拉普拉斯齐次Dirichlet问题）令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开的有界集。我们寻找一个函数$u:\overline{\Omega}{\to}\mathbb{R}$满足：$$ \begin{cases} -{\nabla}u+u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ u=0{\quad}on{\;}\Gamma={\partial}\Omega \end{cases}\tag{31} $$其中$$ {\nabla}u=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial^2}u}{{\partial}x_i^2}=u的拉普拉斯 $$且$f$是在$\Omega$上给定的函数。边界条件$u=0$在$\Gamma$被称为（齐次）狄利克雷问题。定义一个（31）的经典解是一个函数$u{\in}C^2(\overline{\Omega})$满足（31）（在一般意义下）。一个（31）的弱解是一个函数$u{\in}H^1_0(\Omega)$满足$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1_0(\Omega)\tag{32} $$其中${\nabla}u{\cdot}{\nabla}v=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i}$。在第8章中我们给出了描述的过程。步骤A:任何经典解是一个弱解事实上，$u{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$且在$\Gamma$上$u=0$。则由定理9.17（见注释19）有$u{\in}H^1_0(\Omega)$。另一方面，如果$v{\in}C_c^1(\Omega)$我们有$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}{uv}=\int_{\Omega}fv $$且对于所有的$v{\in}H^1_0(\Omega)$稠密性依旧成立。步骤B:弱解的存在性与唯一性这是下面基础结果的内容定理9.12给定任意$f{\in}L^2(\Omega)$，则存在一个唯一的（31）的弱解$u{\in}H^1_0(\Omega)$。更甚者，$u$可以由下面获得$$ \min_{v{\in}H^1_0(\Omega)}\left\{\frac{1}{2}\int_{\Om…

N维索伯列夫空间W(1,p)_0
type: item
date: 2020-02-26T16:55:52+08:00
description: 索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式9.4 空间$W^{1,p}_0(\Omega)$定义令$1{\le}p<\infty$；$W^{1,p}_0(\Omega)$表示在$W^{1,p}(\Omega)$中$C_c^1(\Omega)$的闭包。设$$ H^1_0(\Omega)=W^{1,2}_0(\Omega) $$空间$W^{1,p}_0$装备上$W^{1,p}$的范数，是一个可分巴拿赫空间。且如果$1<p<\infty$是自反的。$H_0^1$装备上$H^1$内积，是一个希尔伯特空间。注释17：因为$C_c^1(\mathbb{R}^N)$是在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中稠密的，我们有$$ W^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)=W^{1,p}(\mathbb{R}^N) $$相比之下，如果$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$且$\Omega{\neq}\mathbb{R}^N$，则一般地，$W^{1,p}_0(\Omega){\neq}W^{1,p}(\Omega)$。然而，如果$\mathbb{R}^N{\backslash}\Omega$是“足够细”且$p<N$，则$W^{1,p}_0(\Omega)=W^{1,p}(\Omega)$。例如，如果$\Omega=\mathbb{R}^N{\backslash}\left\{0\right\}$且$N{\ge}2$可以说明$H^1_0(\Omega)=H^1(\Omega)$。注释18：容易验证——用一个磨光算子序列——$C_c^{\infty}$是在$W^{1,p}_0(\Omega)$中稠密的。用另一种话讲，$C_c^{\infty}(\Omega)$同样可以用在$W^{1,p}_0(\Omega)$的定义中，用来代替$C_c^1(\Omega)$。在$W^{1,p}_0(\Omega)$中的函数是粗糙过那些$W^{1,p}(\Omega)$中在$\Gamma={\partial}\Omega$中消逝的。精确地说是很微妙的，因为一个函数$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$仅仅定义a.e.（且$\Gamma$测度是0！）且$u$不需要有一个连续表示。下面的特征说明我们整的有函数是在$\Gamma$为0。我们从一个简单的事实开始：引理9.5令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$，其中$1{\le}p<\infty$且假设$supp{\;}u$是一个$\Omega$中的紧子集。则$u{\in}W^{1,p}_0(\Omega)$。证明：固定一个开集$w$使得$supp{\;}u{\subset}w{\subset}{\subset}\Omega$且取定$\alpha{\in}C_c^1(w)$，使得在$supp{\;}u$上$\alpha=1$。因此$\alpha{u}=u$。另一方面（定理9.2），存在一个在$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$中的序列$(u_n)$，使得在$L^p(\Omega)$中$u_n{\to}u$且在$L^p(w)^N$中${\nabla}u_n{\to}{\nabla}u$。于是在$W^{1,p}(\Omega)$上$\alpha{u_n}{\to}\alpha{u}$。因此$\alpha{u}$属于$W^{1,p}_0(\Omega)$，且$u$也一样。定理9.17假设$\Omega$是$C^1$阶的，令$$ u{\in}W^{1,p}(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega}),1{\le}p<\infty $$则下面的性质是等价的：（i）在$\Gamma$上$u=0$。（ii）$u{\in}W^{1,p}_0(\Omega)$。证明：（i）$\Rightarrow$（ii）首先假设$supp{\;}u$是有界的。固定一个函数$G{\in}C^1(\mathbb{R})$使得$$ |G(t)|{\le}|t|,{\forall}t{\in}\mathbb{R}且 G(t)=\begin{cases} 0{\quad}if{\;}|t|{\le}1\\ t{\quad}if{\;}|t|{\ge}2 \end{cases} $$则$u_n=(1/n)G(nu)$属于$W^{1,p}$（由命题9.5）。容易验证（用控制收敛）在$W^{1,p}$中$u_n{\to}u$。另一方面$$ supp{\;}u_n{\subset}\left\{x{\in}\Omega;|u(x)|{\ge}1/n\right\} $$且因此$supp{\;}u_n$是在$\Omega$中的一个紧集。由引理9.5，$u_n{\in}W^{1,p}_0…

索伯列夫不等式
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date: 2020-02-26T16:54:41+08:00
description: 索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式9.3 索伯列夫不等式在第9章中我们可以看到如果$\Omega$有1维，则$W^{1,p}(\Omega){\subset}L^{\infty}(\Omega)$带有连续单射，对于所有的$1{\le}p{\le}\infty$。在维度$N{\ge}2$这个结论仅仅对于$p>N$是对的。当$p{\le}N$可以在$W^{1,p}$上构造函数不属于$L^{\infty}$（见注释16）。然而，一个重要的结果，本质上是索伯列夫，断言如果$1{\le}p<N$，则$W^{1,p}(\Omega){\subset}L^{p^*}(\Omega)$带有连续单射，对于某个$p^*{\in}(p,+\infty)$。这个结果经常被称为索伯列夫嵌入定理。我们由考虑下列情况开始：A $\Omega$=$\mathbb{R}^N$的情况定理9.9（索伯列夫）令$1{\le}p<N$。则$$ W^{1,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^{p^*}(\mathbb{R}^N)，其中p^*是由\frac{1}{p^*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{N}给定的 $$且存在一个常数$C=C(p,N)$使得$$ \|u\|_{p^*}{\le}C\|{\nabla}u\|_p,{\forall}u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N) \tag{17} $$注释10：$p^*$值可以通过非常简单的缩放参数（缩放）获得。事实上，假设存在常数$C$和$q(1{\le}q{\le}\infty)$使得$$ \|u\|_q{\le}C\|{\nabla}u\|_p,{\forall}u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)\tag{18} $$则必要地$q=p^*$。看到这里，固定任意函数$u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$，且代入（18）$u_{\lambda}(x)=u(\lambda{x})$，我们得到$$ \|u\|_q{\le}C{\lambda}^{1+\frac{N}{q}-\frac{N}{p}}\|{\nabla}u\|_p,{\forall}\lambda>0 $$蕴含着$1+\frac{N}{q}-\frac{N}{p}=0$，也即$q=p^*$（说明$u$没有完全消逝）定理9.9的证明依赖于下面的引理：引理9.4令$N{\ge}2$且令$f_1,f_2,{\cdots},f_N{\in}L^{N-1}(\mathbb{R}^{N-1})$。对于$x{\in}\mathbb{R}^N$且$1{\le}i{\le}N$设$$ \widetilde{x}_i=(x_1,x_2,{\cdots},x_{i-1},x_{i+1},{\cdots},x_N){\in}\mathbb{R}^{N-1} $$也即，$x_i$在序列中省略。则函数$$ f(x)=f_1(\widetilde{x}_1)f_2(\widetilde{x}_2){\cdots}f_N(\widetilde{x}_N),x{\in}\mathbb{R}^N $$属于$L^1(\mathbb{R}^N)$且$$ \|f\|_{L^1(\mathbb{R}^N)}{\le}\prod^N_{i=1}\|f_i\|_{L^{N-1}(\mathbb{R}^{N-1})} $$证明：情况$N=2$的是平凡的，让我们考虑$N=3$的情况，我们有$$ \begin{align*} \int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx_3&=|f_3(x_1,x_2)|\int_{\mathbb{R}}|f_1(x_2,x_3)||f_2(x_1,x_3)|dx3\\ &{\le}|f_3(x_1,x_2)|\left(\int_{\mathbb{R}}|f_1(x_2,x_3)|^2dx_3\right)^{1/2}\left(\int_{\mathbb{R}}|f_2(x_1,x_3)|^2dx_3\right)^{1/2} \end{align*} $$（由柯西-施瓦茨）再次应用柯西-施瓦茨给出$$ \int_{\mathbb{R}^3}|f(x)|dx{\le}\|f_3\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}\|f_1\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}\|f_2\|_{L^2(\mathbb{R}^2)} $$一般的情况可以由归纳法得到——假设结果对$N$且然后推导$N+1$，固定$x_{N+1}{\in}\mathbb{R}$；因为赫尔德不等式：$$ \int_{\mathbb{R}^N}|f(x)|dx_1dx_2{\cdots}d…

N维索伯列夫空间W(m,p)
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date: 2020-02-26T16:52:00+08:00
description: 索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式空间$W^{m,p}(\Omega)$令$m{\ge}2$为一个整数且令$p$为一个实数，其中$1{\le}p{\le}\infty$。我们定义$$ W^{m,p}(\Omega)=\left\{u{\in}W^{m-1,p}(\Omega);\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in} W^{m-1,p}(\Omega),{\forall}i=1,2,{\cdots},N\right\} $$或者，这个集合可以表示为$$ W^{m,p}(\Omega)=\left\{u{\in}L^p(\Omega),{\forall}{\alpha},|\alpha|{\le}m,{\exists}g_{\alpha}{\in}L^ps.t. \int_{\Omega}uD^{\alpha}\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}g_{\alpha}\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)\right\} $$其中我们用标准的多重指标记号$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,{\cdots},\alpha_N)$，其中$\alpha_i{\ge}0$为一个整数，$$ |\alpha|=\sum^N_{i=1}\alpha_i且D^{\alpha}\varphi=\frac{{\partial}^{|\alpha|}\varphi}{{\partial}x_1^{\alpha_1}{\partial}x_2^{\alpha_2}{\cdots}{\partial}x_N^{\alpha_N}} $$我们设$D^{\alpha}u=g_{\alpha}$。空间$W^{m,p}(\Omega)$装备范数$$ \|u\|_{W^{m,p}}=\sum_{0{\le}|\alpha|{\le}m}\|D^{\alpha}u\|_p $$是一个巴拿赫空间。空间$H^m(\Omega)=W^{m,2}(\Omega)$装备内积$$ (u,v)_{H^m}=\sum_{0{\le}|\alpha|{\le}m}(D^{\alpha}u,D^{\alpha}v)_{L^2} $$是一个希尔伯特空间。注8：可以说明如果$\Omega$是“足够光滑的”，其中$\Gamma={\partial}\Omega$有界，则在$W^{m,p}(\Omega)$上的范数与下面的范数等价：$$ \|u\|_p+\sum_{|\alpha|=m}\|D^{\alpha}u\|_p $$更精细地说，可以证明对于任意多重指标$\alpha$，其中$0<|\alpha|<m$且对于任何$\varepsilon>0$，存在一个常数$C$（依赖于$\Omega,\varepsilon,\alpha$）使得$$ \|D^{\alpha}u\|_p{\le}\varepsilon{\sum_{|\beta|=m}}\|D^{\beta}u\|_p+C\|u\|_p,{\forall}u{\in}W^{m,p}(\Omega) $$9.2 延拓算子由$\Omega=\mathbb{R}^N$开始建立在$W^{1,p}(\Omega)$中函数的性质是便利的。因此需要将一个函数$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$延拓到$\widetilde{u}{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$。这不是总是可以做到的（在一个一般的范围$\Omega$）。然而如果$\Omega$是“光滑的”，使得可以构建这样的一个延拓。我们从精细建立一个光滑开集的记号开始。记号给定$x{\in}\mathbb{R}^N$，记$$ x=(x',x_N)其中x'{\in}\mathbb{R}^{N-1},x'=(x_1,x_2,{\cdots},x_{N-1}) $$且设$$ |x'|=(\sum^{N-1}_{i=1}x_i^2)^{1/2} $$我们定义$$ \mathbb{R}^N_{+}=\left\{x=(x',x_N);x_N>0\right\}\\ Q=\left\{x=(x',x_N);|x'|<1且|x_N|<1\right\}\\ Q_+=Q{\cap}\mathbb{R}^N_+\\ Q_0=\left\{x=(x',0);|x'|<1\right\} $$定义我们说一个开集$\Omega$是$C^1$阶的，指的是如果对于任何$x{\in}{\partial}\Omega={\Gamma}$，则存在一个在$\mathbb{R}^N$中的$x$的邻域$U$和一个双射$H:Q{\to}U$使得$$ H{\in}…

N维索伯列夫空间W(1,p)
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date: 2020-02-13T10:31:07+08:00
description: 索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式9.1 索伯列夫空间$W^{1,p}(\Omega)$的基本性质与定义令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集且令$p{\in}\mathbb{R}$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。定义索伯列夫空间$W^{1,p}(\Omega)$是定义为$$ W^{1,p}(\Omega)=\left\{u{\in}L^p(\Omega)|{\exists}g_1,g_2,{\cdots},g_N{\in}L^p(\Omega)s.t.\int_{\Omega}u\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=-\int_{\Omega}g_i\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega),{\forall}i=1,2,{\cdots},N\right\} $$我们设$$ H^1(\Omega)=W^{1,2}(\Omega) $$对于$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$我们定义$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}=g_i$，且我们记$$ {\nabla}u=grad{\;}u=(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_1},\frac{{\partial}u}{{\partial}x_2},{\cdots},\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}) $$空间$W^{1,p}(\Omega)$是装备范数$$ \|u\|_{W^{1,p}}=\|u\|_p+\sum^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|_p $$或者有时用其等价范数$(\|u\|^p_p+\sum^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|^p_p)^{1/p}$（如果$1{\le}p<\infty$）。空间$H^1(\Omega)$是装备上内积$$ (u,v)_{H^1}=(u,v)_{L^2}+\sum^N_{i=1}(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i},\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i})_{L^2}=\int_{\Omega}uv+\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i} $$诱导的范数$$ \|u\|_{H^1}=(\|u\|_2^2+\sum^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|_2^2)^{1/2} $$这个和$W^{1,2}$的范数是等价的。命题9.1对于任意$1{\le}p<\infty$，$W^{1,p}(\Omega)$是一个巴拿赫空间。对于$1<p<\infty$，$W^{1,p}(\Omega)$是自反空间。且对于$1{\le}p<\infty$，是可分空间。$H^1(\Omega)$是一个可分的希尔伯特空间。证明：用算子$Tu=[u,{\nabla}u]$结合命题8.1的证明即可。注1：在$W^{1,p}$的定义中，我们同样可以用$C_c^{\infty}(\Omega)$作为试验函数$\varphi$的空间（代替$C_c^1(\Omega)$）。为了说明这个，用一串磨光算子序列$(\rho_n)$即可。注2：容易知道如果$u{\in}C^1(\Omega){\cap}C^p(\Omega)$且对于所有的$i=1,2,{\cdots},N$，$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in}L^p(\Omega)$（这里$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$意味着$u$的通常的偏导数），则$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$。更甚者，通常的偏导数和在$W^{1,p}$意义下的偏导数一致，所以记号是一致的。特别地，如果$\Omega$是有界的，则对于所有的$1{\le}p{\le}\infty$，$C^1(\overline{\Omega}){\subset}W^{1,p}(\Omega)$。反之，可以说明如果对于某些$1{\le}p{\le}\infty,u{\in}W^{1,p}(\Omega)$且如果对于所有$i=1,2,{\cdots},N,\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in}C(\Omega)$（这里$\frac{{\partial}u}{{\part…

一些典型函数或者算子的特点总结
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date: 2020-02-12T11:54:45+08:00
description: 一些典型函数或者算子的特点总结在实变与泛函中，有许多典型函数与线性算子，对考察和理解一些概念：集合稠密性，空间完备性与函数的一致收敛等有重要作用。例子1定义函数列中的每个函数$$ f_n(x)=\begin{cases}1{\quad}c+\frac{1}{n}{\le}x{\le}b\\n(x-c){\quad}c-\frac{1}{n}{\le}x{\le}c+\frac{1}{n}\\-1{\quad}a{\le}x{\le}c-\frac{1}{n}\end{cases}其中c{\in}(a,b) $$这是一个分段函数，两边是常函数，而中间是线性函数连起来。（1）$f_n(x){\in}C[a,b]$，容易发现是连续函数。（2）逐点收敛，也即在$[a,b]$上的每一个点$f_n(x)$都收敛于一个不连续的函数$$ f(x)=\begin{cases}1{\quad}c<x{\le}b\\0{\quad}x=c\\-1{\quad}a{\le}x<c\end{cases} $$逐点收敛即将$x$取为一个具体的实数$x_0$，然后考察$\left\{f_n(x_0)\right\}$，显然$c<x_0{\le}b$时，$\left\{f_n(x_0)\right\}=\left\{1,1,1,{\cdots}\right\}$，这显然收敛于1，由此逐点考察就可以得到上面的收敛函数。（3）该函数列不是$C[a,b]$中的基本点列。我们将$f_n(x)$看做Banach空间$C[a,b]$中的一个元素的时，就需要考察$f_n(x)$在该空间内定义的范数$\|{\cdot}\|_{\infty}$意义下是否收敛于该空间内的一个元素，显然上面的$f(x)$不是连续函数，因此不属于$C[a,b]$，那么$f_n(x)$收敛于什么元素呢？其实这个问题首要回答点列（这里不称为函数列）$f_n(x)$是否收敛，才能回答其收敛于什么元素。要回答其是否收敛，首要考察其是否基本点列，于是有$$ \|f_n(x)-f_m(x)\|_{\infty}=\max_{x{\in}[a,b]}|f_n(x)-f_m(x)|=|1-\frac{n}{m}| $$我们知道对于基本点列（柯西）的定义：对于任意正数$\varepsilon$，存在$N(\varepsilon)>0$，使得当$n,m{\ge}N(\varepsilon)$时，$p(x_n,x_m)<\varepsilon$。照这个定义，上面当$m$任意大的时候，$n$是固定值，会发现$\|f_n(x)-f_m(x)\|_{\infty}=1$。而不是任意小的值，于是$\left\{f_n(x)\right\}$不是$C[a,b]$中的基本点列，于是不收敛。特别注意基本点列的概念，比如点列$\left\{\sqrt{n}\right\}$没有极限，一定不是基本点列，但是任何两个相邻的点之间越来越小，因为有$$ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\to}0(n{\to}\infty) $$从这个例子就能观察到基本点列的概念不是相邻点或者相隔固定点数的两点之间距离越来越小，而是相隔任何点数的两点之间的距离越来越小。$C[a,b]$是Banach空间，其完备性要求基本点列收敛，也即收敛到该空间内的一个元素。而$\left\{f_n(x)\right\}$就不是基本点列，因此也不用考察其收敛问题。所以和$C[a,b]$是Banach空间不矛盾。并且可以知道$C[a,b]$不是致密集，因为致密集中的任何一个点列都有收敛的子点列，而我们这里的$\left\{f_n(x)\right\}$点列，不是基本点列，故其子点列也不可能是基本点列。容易得出$C[a,b]$不是致密的。实际上我们知道$C[a,b]$是无限赋范空间，因此一定存在有界集不致密，因此$C[a,b]$不是致密集。上面的分析就启发我们，以后只要涉及到收敛，我们就要立刻考虑是哪个空间的哪个点列的收敛问题，具体讲就是哪个点列在哪个定义的距离或者范数意义下的收敛。（4）是$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$空间的基本点列。我们在上面考察的赋范空间$C[a,b]$中，它的范数定义是$\|f(x)\|_{\infty}=\max_{x{\in}[a,b]}|f(x)|$，这是默认的。现在我们重新定义范数为$\|{\cdot}\|_1$，那么$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$就是一个新的空间，显然$f_n(x)$是这个空间中的元素，接下来我们考察其在这个新空间内，点列$\left\{f_n(x)\right\}$是否基本点列。$$ \|f_n-f_m\|_1=\int_{[…