这个板块主要提及的是自我重建，自我修复的部分。羞耻感一个人不被看见、不被接纳、不被爱会产生羞耻感。羞耻感是指：当个体意识到自己的行为、想法或自身特征违反了社会公认的道德准则、价值观，或是没达到自己内心期望的标准时，所产生的一种痛苦、难堪、甚至贬低自我的感受。与羞愧不一样，羞耻关乎“我是谁”这个问题，是做人的失败；而羞愧关乎“我做了什么”，是做事的失败。羞耻感会在亲密关系中出现，是因为权力不对等，强势方对弱势方的审视和排斥，通常是先有结论，再寻找或者杜撰各种证据和标准。强势方不断羞辱弱势方获得权力，弱势方害怕被伤害、被抛弃，就主动放弃自己的权益，竭力讨好强势方，试图获取强势方的“肯定”、“支持”或“恩宠”。羞耻感会让人产生回避型为和掩饰情绪：回避行为包括了回避他人和回避自我这两个方向，前者让人主动孤立自己，后者让人陷入各种成瘾行为。掩饰情绪则包括了攻击他人和攻击自我这两个方向，前者增加关系冲突，后者让人陷入抑郁。比如别人的感受和诉求永远是第一位的，自己总是可有可无的靠后。超越羞耻感要敢于直面它，对改变保持耐心，主动去面对羞耻感，重新修剪自己；用优势视角看待自己，意识到自身的清醒和勇气，主动发挥自己的优势；借助人际环境的力量，在与人的互动中，不要接近那些指责你不行，否定你的成就，将成就归因于运气，甚至要让你把信任全数建立在他身上的人。超越羞耻感就要一点点做自我尊重的事情，培养自己的高自尊。自尊作为名词时，是指的我们对自己自我价值的和能力的感觉，高自尊是指我们觉得自己是有价值的、有能力的、值得被爱的。而自尊作为动词时，是指我们对自己的尊重和喜欢，是觉得自己值得拥有想要的生活，也能用行动来争取这样的生活。在超越羞耻感时，要寻求帮助，自我挑战羞耻感，不要去相信别人合理化后的行为，要看到本质，不然羞耻感就会作为一种控制手段被利用。如果因为羞耻感，而无法在亲密关系中做真实的自己，那么就会给自己、伴侣和关系都带来困扰。培养自我需要树立信念，找到这份信念的来源和喂养这份信念的人、事、物，然后切断供养、消除不合理的信念，培养有利于自我的信念。只有当我们直面放下对”被爱“的幻想时，我们才会获得更多的改变力量。在这个过程中或许会遭受到很多挫折，因为当我们设定目标，并全力以赴时，其实这是一次冒险，冒险就意味着可能会失败，直面冒险带来的失败可能，和面对失败时的坚持，恰恰也是我们赢得自我尊重的最好的机会。成功超越羞耻感的标志是：不再用”是否足够成功、足够优秀“和”是否符合他人期待和外界的标准“来定义自我价值，而是纯粹能够因为”我存在“而感到安稳和喜悦。允许自己真实、允许自己不完美、允许自己偶尔笨拙和犯错，坚信真实的自己值得被爱和尊重。当下的社会环境对弱势群体并不友好，因为环境本身就在源源不断地催生羞耻感，环境告诉你”是因为你不好，所以你才得不到你想要的“，或者是”因为你不好，所以我才不给你你想要的“，但是很多时候，事实并非如此。我们无法在短时间内改变大环境，但是可以从对自己、对身边人更包容、更友善开始，努力塑造更好的环境——主动参与创造理想中的环境，这也是一种对羞耻感的超越。冲突冲突换个角度上来讲，其实是”爱正在存在“的迹象，也是”爱可以发展“的契机。因为在亲密关系中，冲突正是双方在争夺做自我的权力和空间。当一个人爱自己，就会更有勇气为了自己的权益面对冲突。当两个人都确信彼此相爱着，两个人也都会更有勇气直面冲突，因为双方知道这并不会立刻导致关系破裂，其实和爱是一种能力一样，冲突也是一种能力。好的冲突是双方表达真实想法和需求、增进彼此了解、改善关系质量的机会。一些人正是因为重视关系，希望通过解决问题来让关系更好、更稳固，于是主动挑起了冲突。很多时候，糟糕的并不是冲突本身，而是冲突发生时双方的处理方式。如果有更多的倾听和合作，那么就有机会共赢。即便有一方退让、做出了牺牲，彼此也有机会用新的事情弥补另一方，让感恩和公平得以在关系中存在。亲密关系中冲突的定义是指：当个体的动机、目标、信念、观点和行为妨碍别人或与别人矛盾，就会发生人机冲突。冲突产生于差异，既可能表现为一时的情绪，也可能表现为持久的信念和人格。对亲密关系的想法也会产生冲突，例如当对方有强烈的完美主义倾向，以理性和体面作为表现；而另一方觉得亲密关系是时刻和谐的，以感性和灵活作为表现；两者的差异就会产生冲突。不爱了确实会导致更多的冲突，因为不爱所以只想要自私地做自己，当两个人都这样，差异必然导致冲突。但是冲突本身不一定会导致不爱了，很多时候是破化性冲突中地指责和攻击扩大了关系的裂缝——比如“别烦了”这就是指责，遭受指责的一方既可能感觉自己不再被爱了，也可能在认同指责时的内容后变得“不爱自己”了，于是，不仅关系中的爱在消失，对自己的爱也在消失。指责是为了避责和控制，常见的有“你太敏感了”，这些指责隐藏着因果关系，本质上都是在转移焦点，让人忽视真正的错误和有错之人，为了避责。其中“攻击人的不完美”相对更常见，也更容易让我们陷入自责。一个人好不好和是不是会被人喜欢其实没有直接关系。相比于因为你很好所以我喜欢你，更常见的事，因为我喜欢你所以我觉得你很好。反过来也是一样的，被讨厌也不是意味着你不好。没有人是完美的，当一个人想避责时，总能找到一些理由来指责对方，尤其是像性格、外表这样充满主观喜好的领域。因为当动机是避责和控制时，指责比讲道理要来的更有效，所以可以转移焦点，以对方的标准来审视自己，这样的就会引发羞耻、恐惧，而限制我们维护自身权益，争取更多自由的意识和动力，这都会让控制变得更容易。所以任何时候，面对对方的指责时，第一时间要做的并不是听对方说了什么，而是思考对方为什么要这么说，也就是思考他的动机，正在以什么方式做到具体的哪些“趋利避害和享乐主义”。错位的指责——你不向着我，这种错位的指责不仅容易让当事人错失改变和成长的机会，时间长了，还会破坏各种长期关系，尤其是深度的长期关系——因为磨合中必然包含着批评，批评如果能够带来积极调整，关系质量才能提升。想要偏爱的人恰恰是缺爱的人，长期在权衡和牺牲中以交易心态换取爱，对自己值得爱这件事情不抱期待，所以才会说你不向着我，不过这是他的课题。情绪的积累在瞬间爆发，则会成为一次次跨越时空的联合指责，如果从小经历着“情绪忽视”，则会让人形成“情绪表达”上的习得性无助，觉得表达情绪没有用，想不到也不习惯去表达，于是会期待对方能看到自己的情绪。如果能遇到主动观察你情绪的人是一种幸运，但是自己需要培养表达自己情绪的能力。其实上述的这些冲突之所以会让你感到困扰，实际上是因为自己的内心也存在冲突，外部的冲突激发了你内在的自我审视。审视本可以是建设性的，是自我觉察和反思的一部分，但是有一种自我审视是消极的，就是习惯站在别人的角度来审视自己，用别人的评价标准来评价自己，发现自己不符合别人的期待和标准时陷入自我攻击。处于持续的关注压力和评判压力下的人，会养成这种不好的自我审视，出于压力和愧疚感很可能会产生“我必须符合期待”这样的认知模式。严重的时候会出现逃避主义，直接把自身的存在给模糊掉，不再体验自身存在时，被外部压力持续凝视的部分也就全部消失了。更严重的可能出现自毁倾向，也就是故意搞砸，因为这种“我不够好”的感觉，持续的、毫无解脱希望的焦虑会转化为自我惩罚的冲动。要知道，长期正处于被凝视的环境中会逐渐模糊自己的主体性，甚至造成一些创伤。蔡格尼克效应描述了，人对未完成的执着可能更为深刻，因为期待引起的心理张力得不到满足，从而致使念念不忘，在这种情况下，需要训练自己放弃的能力，保持空的境界。在我们社会环境中，大部分人从出生开始就不断地被“分类”，而分类是简单的贴标签行为，分类很容易让人形成“我们、你们和他们”的割裂，让交流减少、误解增多，这对爱来说并不是有好的环境，冲突也会增加。而且很多分类不仅是分类，还包含等级划分，等级划分容易造成更多的压制和剥夺，结果在权力的阴影下，爱濒临消失，冲突也容易进一步升级。一开始，我们进行分类和等级划分可能只是为了更好的关心、管理和效率，但是人性的阴暗面会放大自私和欲念，逐渐背离曾经的私心。当资源稀缺、世界环境也并不和平友善的情况下，分裂和冲突可能会越来越多，越来越严重，爱也会变得越来越艰难、越来越难得。其实每个人都有差异，尤其是当信念、价值观和行为模式存在比较大的差异时，冲突发生的概率就会更大。也即，对于深度且长期的亲密关系来说，更好的爱与被爱经常需要通过建设性的冲突来解决。但是，对于爱的安全感不足的人来说，容易将分歧误解为关系破裂的信号，或者将冲突等同于被拒绝或抛弃的前兆，对于关系中的不确定性和差异性会更为敏感。这就可能在压力和情绪影响下采取两种自动反应：压抑自己的需求来维持表面的和谐，也就是直接回避冲突；或者以破坏性的方式表达不满（比如指责、攻击、抱怨等），试图通过控制对方来会获得安全感。如果关系的双方都能在面临冲突时，不再仅仅关注冲突本身，把冲突看作彼此想要在差异中寻求自己与相爱的平衡，就会让两个人更有可能达成某种程度上的一直，还能深化理解、增强感情联结。很多时候，我们讨论更好的爱和相爱，总是在关注更好的沟通、关心和给予，但是其实培养冲突的能力是尤为重要的，无论是爱自己还是爱他人。每一次成功的冲突管理，都在加固关系的韧性，让两个人在差异中既能保持自我，又能有更相爱的我们。重建自我分手是后如何度过人生低谷，如何在“爱过”中存在自己的意义。分手的“爱过”中有我们的天真与憧憬，有毫无保留的付出和信任，有情到深处的牺牲和依赖，还有曾经把对方视为人生的执着。关系破裂会因为不同的关系程度，造成不一样的损伤。当一个人的人格和心理都稳定且又独立时，分手造成的痛苦会比较有限。如果双方都在关系中真正被对方看见过，那么分手后，其实在这段关系中不断地完整了自己，那么留下来的可能是自豪、意义和感恩。不同的依恋类型的分手表现是不一样的：安全型依恋的人，对他们来说分手是一种选择、一段经历，他们对未来人生的憧憬并不会因此承受巨大的冲击。但是焦虑型依恋的人，在感情中常常患得患失，极度渴望伴侣的关注和回应，这些可能会加速分手，而分手后又会陷入更大的崩溃。焦虑型依恋人格的人，分手后可能还会陷入那种找到“爱还在”或者是“爱消失了”的证据。哪怕对方已经明确表示不想继续了，他们也很难接受这个结果，甚至可能会突破底线去挽回对方，然后陷入一段权力不平等的感情关系里。如果挽回不成，还容易长时间陷入自责、怨恨和焦虑中。回避型依恋的人，面上是没有影响的，夜深人静时即便想起来了，但是很快也会压下去。分手对他们来说是一种解脱，帮助他们挣脱了亲密关系带来的紧张和不安，但是加速了他们的孤单和迷茫，让他们的感情世界仿佛再次被冰雪冻住了。其实分手后的痛苦不一定和对方相关，依赖、痛苦实际上可能和自己有关系——我们的依恋类型影响了我们对分手、对关系破裂这件事的认知和感受。正因为这样，分手后，我们的感受、想法和表现，恰好是一个让我们更深入也更全面体察自己的依恋类型的机会。在充分了解自己依恋类型的基础上，我们也能慢慢看见并疗愈背后的创伤，试着学习和自己的依恋类型相处。我们在塑造关系，关系同时也在塑造我们，分手会让我们和关系都现出原形，自尊感会被关系影响，关注、接纳和爱都会提升我们的自尊感，让我们在爱与被爱中践行自我尊重的行动。要知道，爱与迷恋是不同的，没有真正的被看见就只是一种迷恋。迷恋往往开始于被对方某个突出的特质强烈吸引，比如出众的外貌、独特的才华等，更像是一种瞬间被点燃的激情，满脑子都是对方，迫不及待想要靠近。但是这种感觉本质上来说，只是自我情绪的高度投入，是为了满足自己的幻想和渴望。迷恋状态下的人会刻意在对方面前表现最好的一面，也希望对方时时刻刻完美，迷恋下的人们更多在追求享受浪漫的激情。而爱不同，爱是一种更深层次的情感链接，是真正的看见，是对彼此优点和缺点的全盘接纳，愿意为对方的幸福去付出，即便要牺牲自己的利益也甘之如饴。爱会让两个人自然袒露自己的不足与脆弱，当激情淡化后，依然能从彼此的陪伴中感受到温暖和安心。为什么有的感情会分手，因为仅仅是一种迷恋，受到性别偏见和浪漫主义爱情文化的影响，很多“爱”的底色都只是一时激情的迷恋，再加上缺少关于爱的认知和能力，迷恋也没有机会发展成为爱，于是就容易陷入“幻想——失望——分手”的困境循环。当然也有通过分手才能实现满足的需求，从需求角度上来看，有的关系到了一定程度了，因为这段关系无法满足一方或者双方的需求，而分手可以，就会导致分手。对于焦虑型依恋的人来说，分手可能会迎来对方的挽回，所以他们的意图是找到这种“爱的证据”，于是会选择分手，但是意图却是再次相爱以满足他的情感需求。亲密关系中的需求可以分为三类：保底需求：不满足关系就会破裂，但是满足了也不会加分。比如，对于一些人来说，忠诚或基本的物质保障是保底需求。核心需求：这些需求你很重视，满足了会让你对关系更满意，大幅度加分。比如，越来越多的人开始把情绪价值的满足视为核心需求。中奖需求：类似彩票中奖，不中奖是常态，但是一旦中了就是惊喜。如果你想要分析为什么分手，可以从这三个类别出发，如果说不清对方或者自己的需求，那么就是了解太有限了，没有看见过真实的自己和对方，所以也没法用彼此想要的方式来爱与被爱。要知道，当需求差异太大，同样的关系很难让两个人都感到满足，就很容易导致分手。亲密关系存在两种形式：交换关系和共有关系。交换关系格外注重公平，付出就期待同等的回报。有这种想法的人，很可能只有在认为自己能获益的时候，才会关注回应对方的需求。交换取向会比较隐蔽，用一些客观条件去交换，一旦觉得你没有交换价值了，就会提出分手。与交换关系相对的，是共有关系。共有关系往往表现为：两个人都不计较付出和回报，也渴望对对方的需求做出回应，认为对方的幸福就是自己的幸福，也是爱存在的表现。共有关系其实并不是不在意公平，只是关心的是长期的总体上的公平，相信彼此都在意对方的付出和需要，都会为彼此的幸福和长远发展考虑。但是，由于女性主义崛起后，亲密关系中公平的幻像被打破了，于是不公的现实展露出来。社交媒体上的知识和其他人的故事，或者自己正在经历的现实，让更多的人意识到只有自己在秉持着共生关系，对方只是交换关系，导致分手。但是更为复杂的是，当我们带着对公平的关注，再次尝试踏入一段新的关系时，很可能会很难全然去享受彼此的付出和给予，暂时的、细微的不公都会让我们警铃大作，让关系往交换取向倾斜，丧失了一部分的浇灌爱的养分，增加分手的概率。分手了也不一定是不爱了，因为爱是彼此成就，当分手更有助于成就时，那么分手也是爱的行动。而且如果叠加我们其他人生角色的爱、职责和价值观，以及环境的影响，即便两个人之间有爱，关系也不一定能圆满。反过来也是一样的，关系圆满，也不一定是因为爱。爱能成长，是人的伟大之处，也是人生的一种幸运。那么分手后该怎么办？怎么在“丧失”中创造意义？接纳现实、承担责任、超越羞耻之后，如何找到自己真正想要的东西、做出自己真正想要做的决定、创造出独属于自己的意义？一是找到自己的自主动机，心理学的自我决定论将人的动机分为自主动机和受控动机，前者是指：我这么做是因为我想做，是出于重视和享受，情绪比较积极。后者是指：我这么做是为了别人的期望或别人的需求，是不得不这么做，情绪比较消极。自主动机是自由的，而受控动机是被绑架的选择。我们可以想象如果事情做了之后，如果只是松了一口气，那可能就只是受控动机；如果是喜悦更多，还有希望感和新的憧憬，那么就是自主动机。如果分手后想挽回，是因为想要爱和幸福，那么这是自主动机，但是如果是因为忍受不了分手的痛苦和煎熬，则是受控动机。分手之后要在“丧失”中创造意义，需要我们静下心来，体察自己的情绪和想法，识别出这些情绪和想法背后的动机，并判断这些动机究竟是自主动机还是受控动机，然后尝试放下那些受控动机，努力实现那些自主动机。要知道，哪怕是自己，跨越时空后要做到完全的理解和感同身受也不容易。所以对于伴侣、朋友、加入，我们依然希望对方能更多地了解我、理解我，但是我们也要更多地了解自己、表达自己。如何爱自己本章会围绕对话、归因和承诺三个话题，来聊聊如何爱自己。首先是对话，对话其实就是沟通，沟通是一个传递信息以达成意图的过程，但是对话双方的编码特点和解码特点不同，而且还会受到噪音和干扰的影响。亲密关系由于经历更久，更熟悉，在编码和解码这块会不断提升默契；但是更关键的是心理和思维模式的变化，当然恰恰是因为彼此太熟悉了，也可能会导致双方都意识不到这些变化，会让人下意识地以为对方是这么想的，会忘记像刚开始一样，认真思考对方“实际上是怎么想的”，于是解码常常会在自以为是中出错，又在自以为是中错过修改的机会。一场好的沟通需要根据具体的人、具体的事、具体的情境进行，不仅需要注意对方说了什么，做了什么，还要留意双方的情绪、想法和处境，等等，如果只是把焦点放在说了什么、做了什么，而忽视了彼此怎么想、怎么看时，就很容易导致沟通问题。其实自我对话更为重要，当我们自己与自己对话时，可以将编码和解码有意识地做到更接近沟通意图时，沟通才会更顺畅。而且情绪管理、压力管理、坚持和自律等的背后，其实也都包含自我对话。而且如果没有觉察并培养自我对话的能力时，我们的自我对话更大程度上会受到和他人对话的影响，因为和他人的对话会构成自我对话的素材，我们自我对话的内容常常是从家人或朋友的互动信息库中取得的。当学习到的信息库是指责、贬低和恐惧的信息，就会导致自己不断内化这些信息，那么自我对话也会常常是指责、贬低和恐惧。于是就会变得越来越愧疚和胆小，或者变得孤僻，或者不断地放弃底线来争取友情或爱情。如果是安全、相信和希望的信息，那么就会变得充满安全感、希望和信任。如果是探索和选择的信息，那么就会变得更为开放、包容和建设性。要学会纠正自我对话，在不爱的自我对话中，自我会立刻、不假思索地去全盘接受这样的信息，但是这样不对，在关怀视角下，要去体察自己的情绪，看到情绪背后的想法、需求和价值观，找到他们从哪里来，要告诉我们什么，然后去接纳回应它们。优势视角也是如此。在爱的自我对话中，有三个要素——客观经历的事实、自动反应的主管想法、主动选择的想法解读。其中最后一个就是我们能慢慢练习的要素。除了上面的关怀视角、优势视角、成长型视角也是一个带着爱来自我对话的视角。当自己如果做了很多能做的事情了，随着人生的发展，可能可以用来成长的时间、精力确实有限，那就至少要看到客观上的局限，而不是在主观上去责怪自己。我们有时需要向过去的自己学习，有时需要和现在的自己和解——拿过去的自己和现在的自己进行比较可能并不公平。二是归因，研究发现，伴侣双方的一般归因模式会影响他们对关系的满意度。其中，维持痛苦型归因会增加不满、矛盾和冲突，而增进关系型归因会让彼此更友善、更合作，也更满足。维持痛苦型归因认为，伴侣的负面行为都是故意的、习惯性的、改不了的；而正面行动都是无心的、偶然的、维持不了的。但是增进关系型归因则认为，伴侣的负面行为是偶然的，对行为原因做了善意的理解，还会肯定伴侣的体贴和慷慨。其实练习增进关系型归因是寻找能让你更爱自己、更尊重自己、对自己和未来更有信心的答案。（这里增进关系，是增进我们与自己的关系，而不是与对方增进关系）三是承诺，承诺分为三种：个人承诺、道德承诺和强迫承诺。简单来说就是：我想要、我应该和我必须。人品和所在的环境往往是道德承诺和强迫承诺的根基。如何运用这三种承诺爱自己呢？个人承诺是唤醒自己对健康状态的憧憬；道德承诺是考虑对他人的责任；强迫承诺可以是社交属性的、也可以是经济属性的，就是让自己带上紧箍咒。出于个人承诺、道德承诺和强迫承诺，我们可以用希望和恐惧的力量，因为希望感、责任感和对失去的恐惧，咬咬牙坚持自主动机的自律和管理。那么如何更好相爱？爱情由三个元素构成——激情、亲密和承诺。只有激情的爱只是一种迷恋；只有亲密，没有激情和承诺，这只能算是喜欢——例如友情；如果只有承诺的爱，那么只能是一种空虚的爱，缺少动力和爱的细节。对于短期关系来说，激情和承诺或许可以单方面形成，但是亲密需要两个人一起努力。对于长期关系来说，激情、亲密和承诺三个元素都需要两个人一起努力。关系中的爱成长或者消失的过程，也是这三个元素变化的过程，经营亲密关系，也是在经营这三个元素。两个人能不能经营好一段关系，感情的作用有限，更重要的是双方的能力，尤其是亲密和承诺的能力。很多时候，一个人无法与另一个保持亲密，其实并非因为他不想，而是他不会，他也未曾跟自己保持过亲密，很少跟自己进行爱的对话，不知道如何和另一个人展开爱的对话来增进亲密。这一点在男性身上更为常见，因为性别偏见文化宣导的男性气概，并不倡导带着爱来进行自我对话，也不鼓励他们向内进行自我探索，于是他们不懂怎么和伴侣用爱的对话来增进亲密。如果再加上固定型思维的影响，他们也很少学习怎么去改进，只会跟自己说：只要我功成名就，伴侣会有的，爱也会有的，而且会有很多。幸福要知道，幸福并不是常态，不幸福也不一定代表两人有缺陷。因为本质上幸福是违反本能的事情，幸福并不是大脑追求的，生存才是，哪怕是在痛苦中生存。演化心理学指出：为了适应环境而演化，不一定是变得更好，只是变得更能在环境中存活。人的大脑会更关注危险，为了生存提供更多保障。但是大脑会逐步演变成一个问题解决机器。而要拥有幸福，我们需要充分地感知当下拥有地一切、感恩那些我们珍视的。本能总是让我们想要拥有的更多，但是，拥有的更多就会更幸福吗？我们的大脑会让我们额外关注和群体归属有关的一切，比如常常和其他人做比较；但是另一方面，我们的自由意志又让我们追求独特性，于是，在合群和独特两者的挣扎中，我们愈发迷茫和焦虑，也更难抵达幸福的状态。我们总说要接纳自我，接纳自我的一个底层议题就是接纳我们生而为人的本能。当本能发生的时候，我们不再责怪本能，也不再责怪自己，我们便能获得一些坦然和平静，也能集中精力、发挥自由意志，去选择、去行动、去改变。即便是克服了本能，或许我们离幸福还是很远，因为从小到大的环境并没有教导我们走向幸福，学校思维也是一种依赖权威、被动选择、缺乏主体性的思维。在学校思维的影响下，我们容易盲从外界告诉我们幸福的标准和方法，也容易依赖别人为我们的幸福负责，但是时间hi上每个人都是独一无二的，没有可以完全照抄的标准答案。两个人都觉得好的亲密关系，需要两个人都清晰的知道自己要的是什么，自己对高质量的亲密关系有什么期待。然后根据期待，为亲密关系指定目标和规则，用心践行，对彼此的变化保持敏感，当变化来临时，也能通过沟通，灵活调整新的目标和规则。要把自己作为自己幸福的第一负责人，也要互相为对方的幸福负责，换句话就是独立与亲密共存。成长的核心是认识与接纳，认识你自己，接纳你自己。认识亲密关系，也接纳爱与或不爱的现实。好奇心好奇心是一个人内在的驱动力，相比于优绩注意等外界压力的鞭策，好奇心是一种探索和享受。要知道人类是叙事的产物，我们通过叙述自己和周围人的故事为人生赋予意义——我们的身份认同是主观的记忆和叙事影响的，而不是客观事实，同时这样的叙事也会影响我们对未来的选择。如果怀有好奇心，那么对你的记忆和叙事就依然具有改变的可能性。好奇心会让我们关注危险的同时，唤起对未知和对未来的憧憬。好奇心还会提升人际关系质量，因为好奇心会让我们更愿意了解彼此，更主动探索、观察和倾听与提问。比如，在交流时，自恋或者自卑会让人更多去表现自己或者关注对方对自己的评价，但是好奇心会让人更多地通过提问来了解对方。两个人这样做的时候，交流的双方也会感受到更多的情感流动。如果是一些提问是为了刺探隐私或者其他自私的意图，例如一些封闭性问题，可能只是问了引导你说出某些话，或者进行一些负面评价，则不是好奇心引起的。因为真正的好奇心是探索式提问，会更多采用开放性问题。人天生就具有扩展自我认知、能力和经验的内在动机，如果好奇心减少，没那么就越可能依赖自己固有的思维定势来认识他人；更麻烦的是，当一个人缺乏好奇心，容易把与自己信念不一致的信息视为一种威胁，于是会封闭自己的思维，抗拒接纳与自己相反的意见甚至连倾听都很难做得到。缺乏好奇心可能会演变成为”各说各话“的孤立状态。然而好奇心已经越来越稀缺，我们在研究上会把好奇心分为两类：一个是消遣好奇心：表现为新鲜刺激的广泛兴趣（如刷社交媒体，追求娱乐信息等）目的是缓解无聊，或寻求感官刺激，具有短暂和分散的特点。另一个是认识性好奇：指向深度理解的求知欲（如钻研一个问题直至弄懂），与学习动机和求知成长直接相关，具有持久和目标导向性的特点。除了基因、财富和社会地位等，好奇心其实也是一种代际传递的资本。因为孩子的好奇心需要爱作为保障，所以也需要重要养育者的意识和能力做保障。社会环境中，为了自身利益，很多商业一直在巧取豪夺我们的注意力，精准剖析我们的欲望和弱点，精心设计算法，制造信息茧房，让我们沉沦于即时的快感、依赖消费来满足情绪需求和关于自我的一切。关于自我，其实有两种主要的驱动力：我想知道我是谁；和我想我自我感觉更良好。这两者都被商业市场扭曲和利用了。当然很多组织也在打压认识性好奇，因为探索会带来风险，占据各种资源，而且还不一定成功。要培养认识性好奇，需要克制诱惑和依赖。对于人类来说，基本、适度的权力也因此很关键，因为权力来源于对稀缺且有价值资源的掌控。但是有时候，”缺爱“会阻碍一个人发展对金钱的认识和掌控力。跨越阶层的过程也很容易影响这一点。这个社会环境缺少对人、对生命的基本尊重，以”金钱“来衡量人的价值并给予相应的对待时，那么对失去”尊重“的恐惧便会转化为对缺少”金钱“的恐惧。病态的社会环境就会造成病态的金钱态度，让人让人很难掌握并且用好金钱这个被普遍性资源来发展认识性好奇。最后讲下如何培养认识性好奇：我们的心智活动可以分为三个系统：自主心智、算法心智和反省心智自主心智：直觉和本能，包括过往经验的累积和内化学习后的结果。特点是快速、自动化、不需要额外的思考，主要负责我们的日常习惯、本能反应和情绪化决策。算法心智：理性思考和计算，或者说至少是意识层面的思考和计算。特点是相对较慢、逻辑化、需要认知努力反省心智：关注自己的目标，基于与目标相关的信念和各种信息做出最优化行动。和大部分环境、组织与关系并不欢迎认识性好奇一样，反省心智一样不受欢迎，因为反省心智让人独立自主且不可预测。权力者会通过叙事来不断驯化你的自主心智和反省心智，直到权力低位者本能遵守他们的规则并实现他们的目标。规则和目标是有价值的，可以提供思考和行为的框架，避免茫然和明显错误的选择，但是盲目遵守会制约我们的深度思考和自由空间。探索和行动的过程中，让我们意识到自己的是思考模式和行为模式，以及背后的动力，这个就是认识性好奇的实践过程，让我们实现自我人生的意义。
《曹雪敏》的这本书很值得一品，很多视角都在引领我们从现代角度，贯穿原生家庭、性别偏见、权力关系这几个不同视角，从社会、父母到两性，诠释了为什么爱情变得困难，怎么样爱自己。正如作者所说：所有关系的背后，都是我们与自己的关系，先让自己成为发光的人，再考虑要不要投入一段感情。不爱了，正在成为一种时代情绪统计数据呈现出来的“不爱了”可能是一种主动的选择，是人自由意志的体现，不再盲目踏入爱情的陷阱，不再盲从“人生就要结婚生小孩”这样的传统剧本，这无疑是一种进步。原生家庭为什么我们不爱了，因为爱的主体是人，一个人的童年经历会影响他成年后的自尊、风险感知、择偶策略、养育后代的风格等。情感创伤：就是我们经历过的但是还没有释怀的失望与绝望。创伤会让人丧失对未来的想象力和创造力，使得大脑自动关闭了对其他可能性的想象和探索。如果以扭曲的自我概念和解释方式来理解自己和世界，以伤害性的模式和他人、和这个世界发生互动，那么创伤带来的影响是深远的。个人边界被侵犯，会破坏一个人的“公正世界假设”——不再认为世界是可预测的、可信任的，对世界没有安全感，就容易丧失好奇心和探索的勇气。而贫穷会放大所有危险因素带来的影响。如何改变这种状态：不再扮演受害者的角色，愿意自我负责。自我负责不是把一切结果都归于自己，也不是“只靠自己”来孤立地寻求改变，而是分离课题后，专注于自己的课题和目标。找到你的自由：分辨可以改变的和不能改变的，接纳改变不了的，改变可以改变的。模仿——要知道好的相处方式是怎么样的，并且勤加练习。接纳自己在成长过程中地反复，做好迎接挑战甚至痛苦的准备。改变不一定会让你收获大团圆结局，所以还要拥抱开放的结局。有时候，一段关系中如果的确没有爱，也的确没有爱的意愿和爱的能力，那么“不爱了”反而是“爱自己”的选择，“爱自己”才是每个人无论如何都要追求的过程和结局。性别偏见性别偏见：指的是基于性别的刻板印象和不公平对待，不仅是个人的观点或态度，更是根植于文化、传统、社会结构和制度之中的系统性问题。在性别偏见下，男性对女性的“爱”的体验和行为，也许只是一种情绪、一种冲突或者是一种策略；反之亦然，女性对男性的“爱”，或许是男性的外在、霸道、财富和地位等。当人看到对方的真实性，知道对方的伪装、自私、卑劣和怯懦之后，可能会打破爱情的滤镜，这正是这个时代单身人士正在经历的觉醒，而女性尤为强烈，因为其受到的压迫更现实。女性在原生家庭中感受不到爱与尊重，忽视对未来的长期规划，忙于照顾他人，而且受到母父的控制，重复其人生。而逃离原生家庭之后，在与男性的交往中，很可能只是进入了男性剥削女性的另一个环境。不少男性在“爱情”中其实一直在自私地权衡利弊，当然女性也有可能有，不过追求的结果不同。因为男性在社会环境中容易形成固定性思维，只愿意待在被认可地舒适圈中，往往害怕挑战，遇到问题选择逃避，甚至把质疑当成挑衅，倒打一耙。其实婚姻和爱情是分离的，婚姻本质上是法律制度和契约，两个人结婚，是自愿接受制度赋予地权益和责任，是个人和国家制度的合作，也是国家制度对个人的管控，整个婚姻法中没有一条关于爱情的条例。婚姻和爱情是两回事，爱情是个人意志，是自由的；而婚姻是现实，也是法律和社会关系，有相应的限制、规则和功能。爱是关系的动力和目标之一，但不是必须的。现实生活中的关系相处需要至少不冲突的关系目标、相应的能力和人格基础，这些反而是必须的。婚姻从进化心理学角度来看，其实一直是统治者更需要婚姻，因为这能稳定社群，这点与费孝通的《生育制度》有所契同。而这些目的没有一项和爱情相关。女性的心理问题，来源于实际体验到的痛苦和文化引导的“爱情带来幸福”的故事不一样；而男性，则是因为实际体验到的挫折，和一直被告知的“男性天赋异禀、无所不能”的故事不一样。婚姻不见得带来幸福，很多时候只是上位者的利益诉求罢了。人最终都要直面人性，靠自己积累权力、武器和钱，用它们来管理人性，赢得自由和幸福。但是是否就对婚恋完全失望呢？不见得，因为人终会走向死亡，在死亡这一终极的孤独和毁灭面前，爱与被爱始终是救赎。不平等问题的背后其实都是在涉及权力关系，而权力和偏见一样，都是爱的敌人。权力关系权力——一种可以自己执行后无需考量他者想法与感受的特殊能力。当关系变成了权力取向的关系时，则全是由高位者的意志来决定关系的发展，我们常说的共识、尊重、理解、沟通和欣赏，通常都发生在平等取向的亲密关系中。而权力取向的亲密关系中，控制和支配是主要的底色。高位者会持续改变低位者的思想和行为来满足自己，同时抵抗低位者施加的任何带有企图的影响，让低位者觉得不公平又无力。如果从政治角度思考，那么就是：人会致力于去做对自己有利的事情，而不是对他人有利的事情。也就是对方不会关注你的利益，换句话说：如果他怎么对你，你都不会离开，甚至会继续对他好，那么他为什么要用行动爱你，对你好呢？要知道，权力高位者对伴侣就算情感上有爱，也会爱得越来越偷懒，优先级越来越靠后，最后从行动上来看就是“不爱”了。在充满了性别偏见、阶级偏见、种族偏见等各种偏见的社会文化中，一个人只要认同这些偏见，无论是受益方还是受害方，他可能就根本没法形成爱的能力。因为容易一旦受挫就找补偿，于是各种各样的通过控制别人来找回权力感的行为就出现了。而在浪漫爱情文化的影响下，一些女性对爱情中自己的权力怀有过高的期待。加上婚恋初期，尤其是追求期、生育前，男方和相关方可能会让女性感到被关注、被优待的权力感，这个时候就形成了权力感的巅峰期。但是在这之后，就开始了心理受挫的人生。其实权力的来源是对方的爱或情欲——权力只是暂存在爱或情欲的对象身上，你甚至无法控制，对方一旦感情下降或者消失，或者需求被满足，则这种权力就会被收回。家庭的控制也是源于此，在两性中找不到权力的感受了，就开始从孩子或者伴侣身上找补偿，追求作为家长或长辈的权力感。权力会给人一种控制感和地位感，控制感一直是人类的底层心理需求之一。当自我受到威胁时会让一个人依赖并拥护一个结构简单、能给他控制感和地位感的外部环境，这也被称为“泛化结构的确认”。世界很大，欲壑难填，所以要对高位者祛魅，因为欲望变高时，会选择追求完全的掌控，来满足自己受挫的、空虚的权力感。其实现代的社会环境对爱并不友好，因为偏见很普遍、价值观也很单一，再叠加经济环境和社交媒体的影响，人的权力感欲望和受挫感体验都在与日俱增，没有心力去爱。而更为麻烦的是，爱另外一个人本来就是一种冒险，会面临新的失控和受挫的风险，当人格和心理状态不稳定的时候，这个过程堪比受刑。关系稳定下来就容易爆发——通过无理由的作、闹和控制来补偿自我，最后伤害感情和关系，陷入恶性循环。那么怎么获取权力，而又不滥用权力呢？要掌握权力，在自我认知必须要有主题思想，简单来说就是“我要”以及“我可以”，要知道，权力彰显其威力的地方，并不是低位者对高位者表面上的服从，而是低位者内心深处发生的一种转变，低位者会吸收并认同高位者的渴望，从而将高位者的渴望内化为自身的渴望。更为严峻的是，低位者不仅会心甘情愿、带着优越感和意义感来遵循高位者的意志，甚至主动预先感知高位者尚未言明的想法，并将其作为自己内心自然而然产生的意志去践行。然而要知道，社会运转的体系确实不同，平权不是科学系统的目标，也不符合系统内各个团体的利益最大化。接下来聊关系认知，关于浪漫主义最危险的地方则是——过度相信爱情和关系，忽视了人性—趋利避害和享乐主义才是人类行为更为稳固的动机。在亲密关系中也是如此，关系想要长久、稳固且高质量，除了感情，双方还要保持势均力敌的权力，用好两个人趋利避害和享乐主义的动机。看清楚对方认为什么是利，什么是害，也就是了解对方的权力来源。然后用他想要的“利”来拉拢他，不想要的“害”来限制他、规劝他，也就是进行利益输送。但人也不全是趋利避害的理性动物，所以还需要观察他享受什么快乐会让他失去理性，提供这样的快乐作为正面激励，拿走这样的快乐作为负面反馈。要保持权力，最重要的其实不是对方如何，关系如何，而是自己——自己要不怕离开对方，也不怕离开婚恋关系。所以要进入一段长期的婚恋关系，一定要先有积极的自我认知，培养自尊感和权力感，始终有离开的底气和资源。在长期的婚恋关系中，爱是上限，人品是底线，权力是最好的支持方，也是最坏的迫害方。要知道——爱只存在于权力平等的关系之内。所以大家会发现：婚恋关系的权力管理不亚于职场中的勾心斗角，但是回报却不一定比得上职场，甚至风险比职场还大。因为婚恋中，处于低位的人，对人生和心理都是消耗，而且越深入了解，对方掌握信息越多，那么造成的伤害也就越大。越是长期的婚恋关系，越会受到来自文化、外界、人性等方方面面的考验。只有直面这些威胁和阴暗，并找到应对它们的方法，才能让爱成长，不被扭曲甚至毁灭。接下来谈一下权力关系中的直接显现：冷暴力冷暴力指的是通过冷淡、轻视、谩骂、疏远和漠不关心等方式，致使他人的身心受到侵犯和伤害。冷暴力的内核是施虐者对受虐者情感上的淡漠。迷惑性：一种是实行功能上的职责，但是没有精神陪伴。不同于校园暴力、职场暴力，婚恋关系和亲自关系由于功能性职责的履行，很容易让受虐者在认知上觉得关系似乎一切正常，但是感受上却又矛盾且挣扎，最后否认自己的感受失去自我。另一种则是讨好，因为讨好本质上是一种欺骗，讨好者隐藏了自己的需求和想法，用不真实的自我营造出了一段虚假的关系。两个人则很难真心交流，情感上实际也是淡漠的，关系很难深入发展。表现为“好的不够真实”。长期反复的冷暴力实际上是一种有毒的慢性压力，面对这种情况，如果还能产生愤怒，则需要把攻击性逐级释放，从内耗自己满足对方，演变为爱护自己，让自己略微舒服点满足对方，到最后撤离，专心爱自己。冷暴力会摧毁我们的自尊调节能力，自尊本质上是一种感觉，高自尊指的是有自己的自尊调节，能察觉到自己对自我的感觉，还有相对稳定的自我评价体系。有成长型思维，可以通过失落看到自己内心的渴望，在渴望中找到改变的动力，激励安慰自己。而低自尊，要么完全诋毁自己，要么认为全是外界的错。所以要避免“煤气灯效应”，也即通过扭曲受害者眼中的真实来控制对方的情感操控，施虐者命名违背了诺言，但是却说自己没说过，是你记错了，混乱受害者的记忆和思维。冷暴力的动机：一种非恶意的动机是自动反应，因为冲突对于施虐者来说，意味着精神生命在遭受威胁、爱在消失，所以一旦发生冲突，他们整个人都在被恐惧、失望、无助和攻击性等情绪轰炸，所以陷入了木僵状态，不肯直面冲突，做好冲突管理。背后或许有创伤应激，行为表现为冷暴力，内核却是一种过度防卫，是内心脆弱的一种反映。如果冲突背后的问题一直得不到解决，那么关系质量就提升不了，最后冲突愈发频繁，爱也就被消磨了。这样的受虐者需要一直跟对方整个家族的创伤相处，磨损很严重。对方的课题应该由对方自己解决，而不是受虐者的课题。而恶意的动机，则是优越感在作祟，施虐者在受虐者值得肯定的地方嫉妒的发狂，所以身上潜在的自卑被激发了。还有一种冷暴力是养成类型的，双方互动中，施虐者做错了事情，但是不认错，受虐者还沉醉于浪漫爱情文化叙事结构中，所以互动中形成了权力关系的不对等，做错的人站在了高位，加剧了冷暴力。那么遭遇了冷暴力，我们该怎么办？勇敢直面冷暴力，全面认识，看清楚对方，即便有冲击，要通过新的认知和支持系统，疗愈自己。寻找支持系统，找到能安抚自己情绪、让自己感到安全和自信的支持系统。思考和行动，其实共情能力强、以忠诚为价值观、习惯向内归因、指责自己、对外却攻击性弱的人，往往才是容易陷在冷暴力中的人。与其当救世主，不如直接指出对方错在哪里、你想要对方怎么做。因为爱和关系本来就能容纳攻击性。尤其在亲子关系中，允许孩子恨自己，是家长给好孩子最伟大的爱。当出现冷暴力时其实就是不爱了，不要高估对方的感情和爱的能力，也不要高估自己的承受力，试图改变对方和关系。人性矛盾——出轨在现实生活中，其实出轨的评论更多的是道德批判，出轨的恐怖之处在于，你不知道该信任什么了，所有的过去叠加“出轨”这个事实之后，开始变得清晰可见而又扑朔迷离。根据数据统计，随着网络和市场发展，出轨率只会上升而不会下降，因为色欲和情欲始终是强有力的消费动力。色欲和情欲最接近本能和本我，让人忘记现实，直接感受到最纯粹的冲动、存在感和价值感。而且现代社会中所谓的受害者有罪论——不被爱才是第三者，将爱情进行了内外狙击。出轨的推动力实际上是人的需求，而这些需求和爱有时候并不互相排斥，因为爱是一种情感，而人有多重角色下的各种需求，情感本身不能满足一个人的所有需求。比如我们自己爱自己，但是仍旧会有欺骗自己，背叛自己的时候。很多被出轨者寄希望于出轨者负起责任，但是负责是一种态度，更是一种能力，当对方出轨的时候其实已经是一种失控，背后可能有生理需求，也可能是心理需求，在没有找到健康的方式满足需求之前，即便他有意识想要改变或者负责，但是也可能是做不到的。总而远之：人在关系里做不了完整的自己，便可能通过出轨来寻找缺失的自我。如果想要避免，则需要在遇见之前就建立有不错的满足需求的方式，这样在一起之后便可以更专注地面对新的需求。出轨者需要认识到自己的需求，找到满足自己需求的方式，培养管理需求的意识和能力，才能结束这个状态。爱是否必然与独占、嫉妒挂钩？这个未必有标准答案。同样的，人的需求是复杂的，一位伴侣，一段关系就真的可以满足一个人的所有需求嘛？未必，面对个体的局限，复杂的需求，是否有其他办法解决呢？也未必有标准答案，所以如果想要寻求长期关系，则需要坦诚地面对这个问题，互相聊聊。因为即便是开放式关系，也解决不了这个问题。性与爱的关系是复杂的，爱是看向对方，满足对方；而性是看向自己，取悦自己。亲密关系其实也会给性生活带来挑战，因为亲密关系是多重角色的互动，彼此尊重、欣赏、压力和内疚等都会影响性欲；性需要放下所有身份角色的限制，听从身体最原始的欲望，当两个人的性欲节奏和性癖好不一致的时候，这种挑战则会更大。出轨也能导致权力不对等，如果你害怕背叛，那么就拥有不了这段感情，因为一旦你遇见了且开始退让，则是权力不平等的加剧，也是对自身自尊的一次重创。除了权力方面，还有注意力偏差，焦虑型依恋和低自尊的人都容易发生负面注意和信息误读，当反复发生放大时，两个人都不开心，关系质量不好，那么出轨概率也会提高。其实——好的亲密会让人变得更为独立；反过来，好的独立也会让人拥有更好的亲密。对归属感、存在感和价值感的寻求，是安全感的本质，但是实际上应该把安全感放在自己身上，不依赖对方和这段关系。因为一旦沉迷于这个安全感的追寻，则会停止对自己、对对方、对生活的探索，对各种环境变化和需求变化视而不见，结果两个人的需求都得不到回应。遇到出轨要怎么思考，应该从趋利避害和享乐主义的视角去看待，不要把自己和被出轨的对象做比对，而是考虑出轨者的动机，然后尽可能把注意力放回自身，疗愈自身受伤点。受伤点大致可以分为四种：关系受伤、自恋受伤、自尊受伤和信念受伤。关系受伤：失去对方、失去关系，惋惜过去的美好回忆和计划的美好未来，在情绪上难过高于愤怒。可以通过仪式进行哀悼，改掉两个人在一起的习惯和依赖，不断回归自我。自恋受伤：质疑自己的魅力和对方的眼光，和第三者疯狂对比，痛苦的是失去面子。短期内要破除自己不行的想法，长期来要避免进入优越感的依赖，因为优越感会伤害各种关系。自尊受伤：留在这段关系但是毫无改变，失望的是自己背叛了自己。短期内要多和欣赏自己的人在一起，找回自我。长期要理解人性、情绪和压力管理的能力、沟通技能，更新自己对亲密关系和人生的打算。信念受伤：不相信爱情，不相信忠诚和利他，觉得人都是自私自利的，无非是暂时的权衡利弊和诱惑不够大导致的表面功夫。短期来看是能带入走出这个关系，但是长期会丧失建立亲密关系的能力和机会，关键是对人和世界丧失积极乐观的信念，可能变得冷漠和空虚。需要多方学习，在思辨中找到独属于自己人生的答案。出轨者的道歉——一定要坦诚，宁愿接受关系破裂，也不要冒险撒更多的谎言。道歉的关键并不是你做了什么、错在哪儿，而是你做的给对方造成了哪些伤害和后果，要集中在关系手上中的公平问题和责任问题上。如果道歉，要尽可能理解被出轨者的受伤点，让被出轨者知道你理解他因此承担和承受了什么，你理解他的情绪和各种反应。而是否继续这段关系，因为存续关系本身就是一次冒险，想要继续的话，需要确保自己有冒险的底气和能力，比如不怕对方的背叛。如果害怕就不要。然后就是分析问题，如果能满足需求，只是警报，则可以坐下来谈谈；如果是丧钟，那就要接受对方不爱了这个事实，反复直面各种不爱了的表现和细节，直到涌现出绝望和哀悼的情绪，这样才能结束这段关系，放弃虚幻的希望。要知道——长期关系中的主动忠诚其实是很难也很幸运的一件事，其实不是只有出轨是背叛，所有让两人远离亲密关系的行动都是背叛。很多时候，有爱的关系走向出轨，是无数个细小的背叛累积的结果。相比关系中的彼此忠诚，其实更要对自己忠诚，不要背叛自己，守护自己的健康，践行自己的价值观、捍卫自己的权益、照顾自己的情绪和情感需求。爱自己、对自己忠诚，是我们靠自己就能把控的事情。中年危机传统意义上的中年危机不但提前了，还扩散了，全年龄段都在遭遇身心上的危机。这是健康问题、信息爆炸和经济问题等多重冲击下的结果。健康问题让我们提前面临衰老和身心的失控，信息爆炸又冲击着我们的自我认同感、人生意义感和希望感。经济问题又加剧我们的各种不甘、无奈甚至是绝望。我们身上的角色越多，这些冲击就越多。因为角色越多意味着我们面临的取舍就越多，每个人的时间、精力、金钱有限，自己的快乐和角色的责任也经常冲突，结果难免面临自己和亲密之人的无奈与失望。中年危机会让人逐渐失望、恐惧甚至绝望，而爱需要敞开自己去冒险和相信，所以如果丧失了探索欲和创造力，也就失去了爱自己、爱他人、爱世界的意愿和能力。所以在危机之下，我们如果能主动探索：除了我过去所经历的、所获得的、所成就的一切、除了我所扮演的那些角色、我还是谁？我究竟是谁？才能把危机转化为新生。这场旅程中会遇到各种打破你意识观念的事情，例如：意识到父母可能并不爱你，并且永远不会承认他们对你造成的伤害并为此感到抱歉。再比如，意识到这个世界对性别、阶层如此不公平，需要头破血流去做斗争，才有好转的希望。这一路都是丧失，丧失依靠，丧失希望。会发现拥有的无非是幻想，我们要依靠自己走下去，但是其实我们也经常辜负自己，这样也更令人难过。但是人生没有所谓的“应该版本”，放下执念，自己无非是人生无常的一个经历者，这样注意力才能回到当下，关注眼前的人和事，才能去爱，去生活。感恩练习——注意并记住自己拥有的；哀悼练习——直面并接纳自己失去的。中年之路的另一个重要的心理课题是——错误与承担，错误要承认，因为逃避只会循环往复犯错。好的认错其实一直是一件很需要勇气和智慧的事，如果直面了糟糕的结果，但是无法承担背后的责任，内在的压力就会激增。面对无法挽回的错误，最终只能释怀，要试着更好地归因——不要极端向内归因，也不要极端向外，要尽可能接近现实。在这个基础上要做到正确认识自我，要有明确的自我概念：现实自我：个体实际所具有的特性，是个体对自己实际情况的认知。理想自我：个体期望自己拥有的特性，是个体对自己未来状态的期望和目标。应该自我：个体认为自己应该具有的特性，是基于责任、义务等产生的对自己的要求。世俗文化将女性的理想自我框进了婚恋生育中，对女性的应该自我提了很多费时费力、遥不可及、服务于男性的要求，所以女性的现实自我很难在实际生活中体验到自我认同感；男性也是这样，自我概念的应该自我和理想自我都是无所不能和光宗耀祖，但是现实自我却屡屡碰壁。——两性都渐渐找不到“我是谁”以及“我为什么或者”的答案。这里还有优绩主义社会文化的影响，优绩主义文化是一种以绩效、成果和成就为核心衡量标准的文化理念。意思就是只看比较和结果，不看价值观和过程。一旦陷入优绩主义，就容易丧失自我，而且也容易养成固定型思维。认同优绩主义的人，经常互相喂养优越感，所以一旦在世俗意义上跌落，人机关系也就破灭，优越感也就失去了。要认识到：价值观是自我意识的重要组成部分。只有当理想自我和应该自我的要求符合我们的价值观，并且我们可以靠自己的努力和环境的帮助，让现实自我不断接近理想自我和应该自我的时候，一个人的自我概念才能整合且稳定。但是，现在有很多没有价值观的空心人，或者自己真正认同的价值观被层层枷锁锁住了。在优绩主义文化盛行的当下，只有结果，只有成功和失败，就很难有多元价值观发展和践行的空间。如果在中年危机的冲击下，有那么一个人可以无条件接纳你，那么无疑是幸运的。但是如果没有，就要主动承担起整理自己人际关系的责任。其实“婚姻不是人的第二次投胎”，经济独立以后，“第二次投胎”已经开始了，因为这时候已经有了选择人人际环境的基础。要交流我们的情绪，而不是带着情绪去交流。交流自己的情绪，需要正念，意思就是要体察自己的感受，为情绪命名，看到情绪背后的想法、需求和价值观，用见证者的角度而不是评判者来看待这一切。不要以旧目标——对情绪的指责来实现，这样会带来压力；而是接纳情绪，从根本上接受这种情绪可能会一直存在，在这个基础上不断探索自我关怀和实现价值观的方式，更为灵活。总之，中年之路既是拥抱并肯定过去的自我曾付出的努力，也是宽容此刻依然不完美的自我和世界，然后在彻底“不爱了”的失望和绝望中，看清并接纳虚假的表象和真实的本质，不再爱表象的结果和标签，而是爱真实的自我和世界，并且用行动去实践不爱，也实践爱。
OpenResty、Tengine、NginxOpenResty官网地址：https://openresty.org/cn/OpenResty® 是一个基于 Nginx 与 Lua 的高性能 Web 平台，其内部集成了大量精良的 Lua 库、第三方模块以及大多数的依赖项。用于方便地搭建能够处理超高并发、扩展性极高的动态 Web 应用、Web 服务和动态网关。OpenResty® 通过汇聚各种设计精良的 Nginx 模块（主要由 OpenResty 团队自主开发），从而将 Nginx 有效地变成一个强大的通用 Web 应用平台。这样，Web 开发人员和系统工程师可以使用 Lua 脚本语言调动 Nginx 支持的各种 C 以及 Lua 模块，快速构造出足以胜任 10K 乃至 1000K 以上单机并发连接的高性能 Web 应用系统。OpenResty® 的目标是让你的Web服务直接跑在 Nginx 服务内部，充分利用 Nginx 的非阻塞 I/O 模型，不仅仅对 HTTP 客户端请求,甚至于对远程后端诸如 MySQL、PostgreSQL、Memcached 以及 Redis 等都进行一致的高性能响应OpenResty其实就是一个基于Nginx的Web平台，但它最牛的地方在于集成了LuaJIT和很多精心编写的Lua库。简单来说，就是让你可以在Nginx里面写Lua代码，这听起来可能没什么，但用过的人都知道这有多香。比如，你产品经理突然要求在用户访问某个页面时，根据用户的地理位置显示不同的内容。如果用传统的方式，要么改后端代码重新发布，要么搭建一套复杂的CDN规则。但用OpenResty，我直接在nginx.conf里写了几行Lua代码就搞定了：location /api/content { access_by_lua_block { local ip = ngx.var.remote_addr local geo = require "resty.geoip" local country = geo.lookup(ip) if country == "CN" then ngx.var.backend = "china_backend" else ngx.var.backend = "global_backend" end } proxy_pass http://$backend; }这种灵活性是原生Nginx根本做不到的。你想想，如果每次这种小需求都要动用整个开发流程，那得多麻烦。OpenResty的安装也很简单，在Rocky Linux release 8.10上直接用yum就行：sudo yum install yum-utils sudo yum-config-manager --add-repo https://openresty.org/package/centos/openresty.repo sudo yum install openresty装完之后，你会发现它的目录结构和Nginx差不多，配置文件还是在/usr/local/openresty/nginx/conf/nginx.conf。但是多了很多Lua相关的模块，比如lua-resty-redis、lua-resty-mysql这些，基本上常用的都给你准备好了。#这是我修改后的文件 [root@webtest ~]# cat /usr/local/openresty/nginx/conf/nginx.conf worker_processes 1; error_log logs/error.log; events { worker_connections 1024; } http { server { listen 8080; location / { default_type text/html; content_by_lua_block { ngx.say(" hello, world ") } } } }Tengine官网：https://tengine.taobao.org/Tengine是阿里巴巴开源的Web服务器，基于Nginx开发。说到阿里的技术，那肯定是在高并发场景下被虐过千百遍才开源出来的，所以在性能和稳定性方面确实有两把刷子。安装官网下载编译安装包，上传到服务器[root@webtest ~]# tar -xf tengine-3.1.0.tar.gz [root@webtest ~]# cd tengine-3.1.0 [root@webtest ~]# ./configure [root@webtest ~]# make [root@webtest ~]# make installTengine最让我印象深刻的是它的动态模块加载功能。以前用Nginx，如果要加个模块，必须重新编译整个服务器，这在生产环境简直是噩梦。但Tengine可以动态加载模块，就像这样：dso { load ngx_http_lua_module.so; load ngx_http_geoip_module.so; }重启服务就能生效，不用重新编译。这个功能在我们需要快速响应业务需求的时候特别有用。还有一个让我很喜欢的功能是Tengine的健康检查。原生Nginx的upstream健康检查功能比较弱，基本上就是被动检查，后端服务挂了还要等用户请求失败才知道。但Tengine提供了主动健康检查：upstream backend { server 192.168.1.10:8080; server 192.168.1.11:8080; check interval=3000 rise=2 fall=5 timeout=1000 type=http; check_http_send "HEAD / HTTP/1.0\r\n\r\n"; check_http_expect_alive http_2xx http_3xx; }这样配置后，Tengine会每3秒主动检查一次后端服务器的健康状态，发现问题立即摘除，用户基本感知不到。实际使用用OpenResty做API网关，用Tengine做静态资源服务器和负载均衡器。OpenResty常用模块参考：https://www.cnblogs.com/phpworld/p/10969297.html用OpenResty做API网关，比如我们需要做接口限流，传统方式要么在应用层做，要么用Redis + Lua脚本。但OpenResty直接内置了限流模块：location /api/ { access_by_lua_block { local limit_req = require "resty.limit.req" local lim, err = limit_req.new("my_limit_req_store", 200, 100) if not lim then ngx.log(ngx.ERR, "failed to instantiate a resty.limit.req object: ", err) return ngx.exit(500) end local key = ngx.var.binary_remote_addr local delay, err = lim:incoming(key, true) if not delay then if err == "rejected" then return ngx.exit(503) end end } proxy_pass http://backend; }这样就实现了每个IP每秒最多200个请求，突发100个请求的限流策略。不过OpenResty也有一些坑，主要是Lua代码的调试比较麻烦。不像应用代码可以打断点单步调试，Lua代码基本上只能靠日志调试。我一般会在关键位置加上这样的日志：ngx.log(ngx.ERR, "debug: variable value is ", ngx.var.some_variable)然后在error.log里查看输出。Tengine的话，我主要用它做七层负载均衡。它的负载均衡算法比Nginx丰富一些，支持一致性哈希、最少连接数等多种算法：upstream backend { consistent_hash $request_uri; server 192.168.1.10:8080 weight=3; server 192.168.1.11:8080 weight=2; server 192.168.1.12:8080 weight=1; }这种一致性哈希在缓存场景下特别有用，可以保证相同的请求总是路由到同一台服务器。选择建议选择建议的话，我觉得主要看使用场景：如果你需要在Web服务器层面做很多业务逻辑处理，比如API网关、动态内容生成、复杂的访问控制等，那OpenResty是首选。它的Lua生态很丰富，基本上你能想到的功能都有现成的库。如果你主要做负载均衡和静态资源服务，对稳定性和性能要求比较高，那Tengine是个不错的选择。特别是在高并发场景下，Tengine的表现确实比原生Nginx要好一些。当然，如果你的需求比较简单，就是做个简单的反向代理或者静态文件服务，那原生Nginx也完全够用，没必要为了用新技术而用新技术。注意细节部署这两个服务器的时候，有几个地方需要注意。OpenResty的话，记得要合理设置Lua代码缓存。在开发环境可以关闭缓存方便调试：lua_code_cache off;但在生产环境一定要开启，否则性能会很差。还有就是要注意Lua代码的内存使用。OpenResty使用LuaJIT，内存管理和标准Lua有些不同。如果你的Lua代码里有大量的字符串操作或者表操作，要注意及时释放内存：-- 及时设置为nil释放内存 local big_table = {} -- ... 使用big_table big_table = nil collectgarbage()Tengine的话，要注意动态模块的加载顺序。有些模块之间有依赖关系，加载顺序错了会导致启动失败。一般来说，基础模块要先加载，业务模块后加载。监控方面，两者都支持Nginx的标准监控接口，可以用nginx-module-vts或者stub_status模块。我一般会配置一个内部监控接口：location /nginx_status { allow 127.0.0.1; allow 10.0.0.0/8; deny all; stub_status on; }然后用Prometheus + Grafana做监控大盘，效果还不错。
无锡之旅Day3今天发烧已经基本上好了，预告一下今天会去五个景点：惠山古镇、蠡园、鼋头渚、崇安寺和钱钟书旧宅。惠山古镇因为台风已经席卷过武汉，江苏地带不可避免也会受到影响，当然如果是昨天出行会更好，但是其实昨天我的身体还是一个不太舒适的状态，所以今天很尴尬的就遇到某些遗憾。因为今天是阵雨和江面大风的天气情况。惠山古镇和大多数地区的古镇基本类似，当然这里会有更多名人的古建筑，其余的部分也是比较商业化的。清朝皇帝好像真的很喜欢南巡诶。远处是惠山山顶，这个时候是打算爬上去看看的，但是后续由于天气影响，其实就没能上去，而且缆车也停运了（哭）左右两侧分别刻字，左侧为“万恶淫为首”，右侧为“百善孝先行”范仲淹的祖宅就在这里。为了吸引游客，还在这里做了一些定时喷干冰的人造盆景。锡惠胜境抵达消费地点，外面的景点是不需要园林套票的，锡惠胜境则是需要的，包括了一些古迹和上山的门票，我买的年票，所以这部分能进来。惠山寺如果七月中旬到的话，还有睡莲展，目前已经误了时节了，不过还是有人在拍睡莲。皇帝真的很喜欢题字，基本上每个景点都有皇帝御赐的碑文。碑文是写寄畅园的，待会就去寄畅园看看。惠山寺的伴生树，已有百年以上的历史。天下第二泉因二泉映月出名的天下第二泉，当然现在这些都是不能直接拿来喝的了，而且被关起来了。池水也比较干净，不过接下来下雨天就不知道了。江苏很多景点都有这个石碑，印心石，是陶澍传奇人生的象征，因被道光帝召见，道光帝在得知陶澍家乡有一方神奇的“印心石”，以及陶澍幼年在“印心石屋”读书的往事后，道光欣然命笔，为他题写“印心石屋”四个大字。回到江宁（南京）后，陶澍将“印心石屋”四字摩刻于家乡御书崖，并在全国各风景名胜地立碑。寄畅园接下来带大家游览寄畅园，这是人造的景观，也是以小见大，通过一些布置和盆景来设计，从而迎合皇帝喜欢的一座园林，并与南京瞻园、苏州留园、拙政园成为了“江南四大名园”。康熙题“山色溪光”、乾隆题“玉戛金枞”，两帝在1684至1784 的100年里，先后六下江南，七次驾临惠山。还有风景园林的老教授带学生过来学习相关的园林设计，学生做一些实地采访和录制。此处风景异常好看，大家可以观赏一下。这里讲的是庄子的故事，子非鱼安知鱼之乐？二泉书院惠山这个时候我已经准备好打算上山了。登山口上去就是二泉音乐广场，这里有二泉映月阿炳墓。很可惜，爬到半山腰已经可以看到缆车停运了，这下子爬山的想法瞬间打消了一半。这里突然下雨了，当然我没有拍下雨景，赶紧顺着映山湖跑下来。出古镇这里可以看到寄畅园的后门，当然此路不通，是不会开的。肚子饿了，早上就在古镇买了个梅花糕吃，搞一块鸭腿。地铁阿炳印象画这个站台有阿炳的一些印象画和设计，都是现代艺术加工的，当然也有艺术家在这里拍摄。蠡园接下来我赶去看西施传说所在的蠡园。可以坐地铁到最近的站台，然后再走1公里左右，但是其实这个时候雨已经开始不断下了。这下可以看到下雨的雨景了可惜来的不是时候，这个时节真的没有荷花。主要讲了西施的出生，到赵王吴王夫差的历史，最后和范蠡隐居的历史。这里其实平常有出湖的游船的，但是今天台风警告，所以全部停船了。没有点这个吃，因为大厨不知道跑哪里去了，残念，但是下雨天嘛，也可以理解。接下来公交前往太湖鼋头渚，为了快速抵达我选择了乐游线。鼋头渚残念来了，由于台风影响，游船停航了，啊啊啊啊啊，我的套票是包了游船的啊。收拾一下心情，继续前行，来都来了。鼋头渚更像是一个森林公园这样子，分为了好几块，不建议步行，因为实在很大，建议可以坐园内公交，当然我的套票是包了公交的。时节不对，反正也看不了樱花，嘛，能看樱花的时候还在上班呢。真是——樱花谷里没樱花，荷花池里没荷花。甚至还没有游船！鼋头渚还要再往里面走，才可以到。自拍一张，纪念没有游船的一天。啊啊啊啊啊啊，去不了对岸的太湖仙岛，原本还打算在这里待到下午再回去的。溜了溜了，下面去崇安寺，其实是坐落在中心街区的一个小寺庙。崇安寺崇安寺，始建于1905年的公花园是中国最早期的公园对公众免费开放的公园，誉为华夏第一公园，有方塘书院、池上草堂、绣衣拜石、草堂话旧、松崖挹翠、白水试泉、兰移听琴、樱丛鸟语等24景。市因寺兴、园因街荣、商繁华的无锡誉为“小上海”，崇安寺以其独特的风格和魅力，成为与上海城隍庙、南京夫子庙、苏州玄妙观齐名的江南四大特色街区。（上海城隍庙去过了，南京夫子庙，苏州玄妙观也都去过了，所以崇安寺也必须来一下）钱钟书纪念馆查了一下距离钱钟书纪念馆还比较近，所以直接步行前往。狗狗见到我很开心，把肚皮都翻过来了，好像很想邀请我和它玩，不过我拒绝了。晚餐胃口大开，当然可能和我今天跑的景点很多有关系，但是突然很想吃太湖三白，可惜找到的私房菜并不开门。那么最后只能去商场里面点太湖三白了，没想到双人套餐一个人可以吃完。其实还少了太湖银鱼，只吃了太湖白鱼、太湖白虾。清淡口，非常适合广东人。最后给你们看看阳山水蜜桃的价格。
扬州之旅—Day3观前提示：今天主要逛园林——何园、个园，因为需要烘干衣服，所以今天选择更换了酒店，大量的时间在酒店中做衣服的清洗和烘干了，所以不会像Day2那么丰富。出发！依旧是荷花池酒店，冲冲冲！由于昨天吃撑了，今天选择陈永春吃早餐，三丁包+阳春面+冰镇豆乳奶茶。阳春面筋道弹性很强，不过汤底会加胡椒，每天都吃的话小心喉咙哦~荷花池公园吃完就逛逛荷花池了，既然是荷花池公园有一大片的荷花。吃完才发现池中心有富春茶社，也可以到这里喝早茶的，不过今天就不去了。去何园路上去何园还是建议打车，因为不太熟悉这边的公交系统，当地人都是直接防晒服出门的，太热啦！！！！！（为我后面的中暑埋下了伏笔）由于今天是周一，博物馆都不开门何园何园，又名”寄啸山庄“，是一处始建于清代中期的中国古典园林建筑，被誉为“晚清第一园“，面积1.4万余平方米，建筑面积7000余平方米。何园由清光绪年间何芷舠所造，片石山房则是石涛大师叠山作品。（当然也是上错花轿嫁对郎拍摄的场景）园林卡和其他人的准入方式有不同，建议直接找门口的核验人员刷二维码进入。寄啸山庄接下来都是园林景造，长图警告。二楼何园有两层，可以登高俯瞰一楼二楼是以前何园主人居住的相关场所又回一楼有个月亮门比较有趣，可以看看片石山房撤了撤了。皮市街因为何园离皮市街很近，虽然类似北京路的场景去的比较多了，但是来都来了，不是嘛哈哈哈在皮市街有一家糖水店，比较广式，因为早上吃了阳春面，然后又暴晒的天气，其实已经快开始中暑了，于是我点了份糖水消消暑。琼花观这个时候是应该前往个园了，因为不是很饿，所以打算公交过去，没想到意外碰到了琼花观可以看看。琼花观是收费景点来的，而且不在园林卡范围内。个园从何园直接前往个园的话，公交是没法直接到达的，所以还需要步行前往。暴热，继续点一杯奶茶补充水分。（尝试当地特色）个园坐落在东关街，也就是我Day1晚上到达的地方，大家可以看看早上的东关街，其实就没什么人。个园宅子个园是清代扬州盐商宅邸私家园林，以遍植青竹而名，以春夏秋冬四季假山而胜。其实个园更多的是两层，内部作为一个大宅子，前面是一个园林。每个堂之间都会隔着一个露天小院子。园林景观个园更多的是一些假山丛，配合了四时四季的绿植，让一年四季都有不同的景观，大家来感受一下夏季的景色吧。这里可以顺着假山上去，然后俯瞰再来一张回酒店因为天气实在太热，实在受不了，从东关街走回酒店休息了。东关街其实蛮多很有历史的旧址，但是都不开放，在这里我找了江泽民旧居，可惜也不开放。纪念一下有时会溜走的店主。小故事中午回去路上很渴，想买点饮料喝。碰到了精酿啤酒屋，走进去发现没有店主，全是城管，见到我进来一下子全站起来了，吓得我~小心翼翼关上门然后撤退，看了看城管们手里的蜜雪冰城，于是我倒退回去买了杯蜜雪冰城。晚餐！猪腰枸杞汤（绝了，又放了胡椒，我怀疑扬州人非常喜欢胡椒），点了份拌面和水晶肴肉。其实就是边缘有冻好的啫喱，蘸着醋和生姜丝的吃法倒是第一次感受。由于中午没有吃东西，晚上还吃了趟烧烤，哦！江苏地带，目前已知的是——上海和扬州是有夜生活的哈哈哈，苏州很早就关门了，完全没有办法吃夜宵的城市。好啦，今天就到这里结束啦！明天是从扬州到无锡的换乘，敬请期待哟~
复分析期末考试1 全纯函数幂级数性质设$f(z)=\sum^{\infty}_{n=0}a_nz^n$是$D(0,1)$上的有界全纯函数，证明：$\sum^{\infty}_{n=0}a_n^2$绝对收敛且$\lim_{n{\to}\infty}a_n=0$。提示：利用定理10.22解：由于$f$在$D(0;1)$内全纯，于是可以推出$f(z)=\sum^{\infty}_{n=0}a_nz^n,z{\in}D(0;1)$，并且利用定理10.22，我们知道对于${\forall}0{\le}r<1$，有$$ \sum^{\infty}_{n=0}|a_n|^2r^{2n}=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}|f(re^{i\theta})|^2d{\theta} $$由于$f$在$D(0;1)$内有界，于是推出${\exists}M>0,{\forall}z{\in}D(0;1)$，有$|f(z)|{\le}M$。于是我们得到$$ \begin{aligned} \sum^{\infty}_{n=0}|a_n|^2r^{2n}=&\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}|f(re^{t\theta})|^2d{\theta}\\ {\le}&\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}M^2d{\theta}=M^2 \end{aligned} $$于是对于${\forall}N{\in}N_{+}$有$$ \sum^N_{n=0}|a_n|^2r^{2n}{\le}M^2 $$令$r{\to}1^{-}$于是得到$\sum^N_{n=0}|a_n|^2{\le}M^2$。于是得到正项级数$\sum^{\infty}_{n=0}|a_n|^2$的部分和$\left\{\sum^N_{n=0}|a_n|\right\}$有上界。于是知道$\sum^{\infty}_{n=0}|a_n|^2$收敛，由级数收敛的必要条件，可以知道$$ |a_n|^2{\to}0{\Rightarrow}a_n{\to}0 $$思路：实际上是通过全纯转化为幂级数，然后通过定理10.22导出有界性，从而级数有界必然收敛，从而由收敛级数必要条件导出其通项趋于0。2 整函数与复平面设$f(z)$为整函数，且$\lim_{z{\to}\infty}f(z)=\infty$，证明：$f(C)=C$。若$f(z)=e^z$，结论是否成立？这里$C$表示复平面，$f(C)$表示值域。提示：用反证法和刘维尔定理证明：反证法：假设$f(C){\neq}C$，则${\exists}w_0{\in}\mathbb{C}$，使得$w_0{\not\in}f(C)$。于是推出对于${\forall}z{\in}\mathbb{C}$，有$f(z){\neq}w_0$。令$g(z)=\frac{1}{f(z)-w_0}$，则$g(z)$为整函数。且$\lim_{z{\to}\infty}g(z)=0$，由于$\lim_{z{\to}\infty}g(z)=0$，由函数极限的意义：也即对于$\varepsilon_0=1,{\exists}R>0$，当$|z|>R$时，有$$ |g(z)-0|<1 $$又因为$g(z)$在$\mathbb{C}$上全纯，于是在$\mathbb{C}$上连续，从而在有界闭区域$|z|{\le}R$上连续。由闭区域连续函数性质则知道$g$在$|z|{\le}R$上有界。于是${\exists}M>0$，使得对于${\forall}|z|{\le}R$，有$|g(z)|{\le}M$。于是推出对于${\forall}z{\in}\mathbb{C}$，有$|g(z)|{\le}M+1$，于是知道$g$为有界整函数，由刘维尔定理知道$g$是常数。于是知道$f$是常数，但是这时候因为$\lim_{z{\to}\infty}f(z)=\infty$，知道$f$又不是常数，于是导出矛盾。于是原假设不成立，也即$f(C)=C$。由于$f(z)=e^z$是整函数，但是$\lim_{z{\to}\infty}f(z)$不存在，于是不满足题设条件。又因为$e^z{\neq}0$，于是$f(C){\neq}C$。因为如果$e^z=0$，则$e^ze^{-z}=e^0=1$则产生矛盾。思路：反证法，直接可以得到一个不存在的函数值，然后导出一个整函数其极限为0，从而全纯导出连续性，由闭区间连续函数性质导出有界性，再由刘维尔定理知道其为常数，但是这与题设条件矛盾。3 全纯函数满足条件的表示形式设$f$在$D(0,1)$全纯且满足$f(\frac{1}{n})=f^n(\frac{1}{n}),(n=1,2,{\cdots})$，那么$f(z)=?$。提示：利用全纯函数的唯一性定理，定理10.18由于$f,f''$在$D(0;1)$全纯，且$f(\frac{1}{n})=f^n(\frac{1}{n}),(n=1,2,{\cdots})$，又$\lim_{n{\to}\infty}\frac{1}{n}=0,0{\in}D(0;1)$，由全纯函数的唯一性定理知道：在$D(0;1)$上有$f(z)=f''(z)$。特别在$(-1,1)$上有$f(x)=f''(x)$。我们在$(-1,1)$上考虑常微分方程$y(x)=y''(x)$，其解为$$ y(x)=c_1e^x+c_2e^{-x} $$于是当$z=x{\in}(-1,1)$有$f(z)=f(x)=c_1e^x+c_2e^{-x}=c_1e^z,c_2e^{-z}$。由全纯函数的唯一性定理知道：$$ f(z)=c_1e^z+c_2e^{-z},z{\in}D(0;1) $$思路：由全纯性质和唯一性定理，知道其导函数与函数本身关系，然后通过考虑一个常微分方程，和全纯函数唯一性知道其表示形式。4 全纯函数与多项式表示设$f$在$D(0,1)$全纯且满足$(-1,1){\subset}\bigcup^{\infty}_{k=1}Z_{D(0,1)}(f^{(k)})$，证明$f$是一个多项式。提示：利用定理10.18解：因为$(-1,1)$是不可数集，又因为$$ (-1,1){\subset}\bigcup^{\infty}_{k=1}Z_{D(0,1)}(f^{(k)}) $$也即：${\exists}k{\in}N_{+}$，使得$Z_{D(0;1)(f^{(k)})}$是不可数集。由定理10.18知道，若$f$不恒为0，则$Z(f)$最多可数。于是知道在$D(0;1)$上$f^{(k)}=0$。进一步知道$$ f(z)=a_0+a_1z+{\cdots}+a_kz^{k-1} $$也即$f$为次数至多$k-1$次的多项式。思路：容易知道不可数集性质，再结合定理10.18知道至多可数，从而知道其他的均为0，于是可以知道其高阶导数均为0的性质，导出多项式次数。5 整函数的多项式表示假设$f(z)$是整函数，且$$ \lim_{z{\to}\infty}\frac{f(z)}{z^n}=A{\neq}0 $$证明：$f$是$n$次多项式提示：利用Taylor展开及10.26的柯西估值证明：由于$f$是整函数，也即${\forall}z{\in}\mathbb{C}$，有$$ f(z)=\sum^{\infty}_{k=0}c_kz^k $$又因为$$ \lim_{z{\to}\infty}\frac{f(z)}{z^n}=A{\neq}0 $$根据极限定义，知道对于$\varepsilon_0=1,{\exists}R>0$，当$|z|>R$时有$$ |\frac{f(z)}{z^n}-A|<1 $$于是有$$ |\frac{f(z)}{z^n}|{\le}|A|+1=M $$也即${\exists}M>0,{\exists}R>0$，使得当$|z|>R$时，有$$ |f(z)|{\le}M|z|^n $$又因为$$ \begin{aligned} |c_k|=&|\frac{1}{2\pi{i}}\int_{|\xi|=\rho}\frac{f(\xi)}{\xi^{k+1}}d\xi|{\quad}(\rho>R)\\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{|\xi|=\rho}\frac{|f(\xi)|}{|\xi|^{k+1}}|d\xi|{\le}\frac{1}{2\pi}\int_{|\xi|=\rho}\frac{M|\xi|^n}{|\xi|^{k+1}}|d\xi|\\ =&\frac{1}{2\pi}\frac{MR^n}{\rho^{k+1}}\int_{|\xi|=\rho}|d\xi|=\frac{1}{2\pi}\frac{M\rho^n}{\rho^{k+1}}2\pi{\rho}=\frac{M\rho^n}{\rho^k} \end{aligned} $$当$k>n$时，令$\rho{\to}+\infty$，有$$ |c_k|{\le}\lim_{\rho{\to}\infty}M\rho^{n-k}=0 $$当$k>n$时有$c_k=0$，于是$$ f(z)=c_0+c_1z+{\cdots}+c_nz^n $$又$$ \lim_{n{\to}\infty}\frac{f(z)}{z^n}=\lim_{n{\to}\infty}\frac{c_0+c_1z+{\cdots+c_nz^n}}{z^n}=c_n=A{\neq}0 $$于是$c_n{\neq}0$。于是$f(z)$为$n$次多项式。思路：由整函数幂级数展开，依据题设条件的极限定义推出有界性，然后再根据级数的系数来确定，分两种情况来讨论即可。6 开映射证明最大模什么是开映射？连续映射是开映射吗？请举例说明。若$f$在复平面的开集$\Omega$上全纯，且不为常数。证明：$f(\Omega)$是开集并利用开映照定理证明最大模定理。提示：利用定理10.32设$f$为一个映射，$D$为开集，若$f(D)$为开集，则称$f$为开映射，连续映射不一定是开映射。反例：$f(z)=|z|,D=D(0;1)=\left\{z:|z|<1\right\}$，则$f(D)=[0,1)$不是开集若$f$在开集$\Omega$上全纯，且不为常数，则$f(\Omega)$是开集。（证明见PPT定理10.32的注解）因为定理10.32告诉我们：在一个开集上非常数的全纯函数，除了附加上一个常数以外，都局部有$\pi_m{\circ}\varphi$的形式。其中$\varphi:V{\to}W$，$V$为开集，而$\pi_m$为开映射。于是我们知道在$V$内$f-w_0=\pi_m{\circ}\varphi$，而$f$恰好是$V-\left\{z_0\right\}$到$D'(0;r^m)$的$m$对一的映射。也即${\forall}w_0{\in}f(\Omega),{\exists}r_0=r^m,{\forall}w{\in}D(w_0;r_0),w-w_0{\in}D(0;r^m)$，因此${\exists}\eta{\in}D(0;r)$，使得$\eta^m=w-w_0$，又$\varphi$是从$V$到$D(0;r)$的咳逆映射，因此${\exists}z{\in}v$，使得$\eta=\varphi(z)$，于是$w-w_0=[\varphi(z)]^m$，又${\forall}z{\in}V$，有$f(z)=w_0+[\varphi(z)]^m$，于是$w=f(z){\in}f(\Omega)$。这样我们就有${\forall}w_0{\in}f(\Omega),{\exists}r_0>0$，使得$D(w_0;r){\subset}f(\Omega)$，因此$f(\Omega)$是开的。利用开映射定理可以证明最大模原理设$z_0$是$|f(z)|$上$\Omega$的最大值点，也即${\exists}f>0$，使得$f(z_0)$是$|f(z)|$在$D(z_0;\delta)$上的最大值点，因为$f(z)$不是常数。于是知道$f(D(z_0;\delta))$是开集，特别地，$f(z_0)$是$f(D(z_0;\delta))$的内点，因此$|f(z_0)|$不可能是最大值。思路：开映射定义和一个反例，然后先说明其值域是个开集，这需要用到局部上不断构造来实现，证明最大模定理是通过反证法，假设在真的在内点取到，则因为题设的非常数条件，由开映射定理知道值域也是开集，于是对应的值必然是内点，不是最大值。7 留数定理计算反常积分先说明$$ \int^{\infty}_{0}\frac{sin^2x}{x^2}dx $$收敛。并且利用留数定理计算该积分的值。提示：见定理10.44解：$$ \int^{\infty}_{0}\frac{sin^2x}{x^2}dx=\int^1_0\frac{sin^2x}{x^2}dx+\int^{\infty}_{1}\frac{sin^2x}{x^2}dx $$因为$$ \lim_{x{\to}0^{+}}\frac{\sin{x}}{x^2}=1 $$于是知道$x=0$不是瑕点。于是$\int^{\infty}_{1}\frac{sin^2x}{x^2}dx$收敛，可以知道$\int^{\infty}_{0}\frac{sin^2x}{x^2}dx$收敛。接下来计算：$$ \begin{aligned} \int^{\infty}_{0}\frac{sin^2x}{x^2}dx=&-\int^{\infty}_{0}sin^2xd{\frac{1}{x}}\\=&-\frac{sin^2x}{x}|^{\infty}_0+\int^{\infty}_0\frac{1}{x}d{sin^2x}\\ =&0+\int^{\infty}_0\frac{2sinxcosx}{x}dx\\ =&\int^{\infty}_0\frac{sin2x}{x}dx\\ =&\int^{\infty}_0\frac{sint}{\frac{t}{2}}\frac{1}{2}dt\\ =&\int^{\infty}_0\frac{sint}{t}dt=\frac{\pi}{2} \end{aligned} $$上面进行了$2x=t,x=\frac{t}{2},dx=\frac{dt}{2}$的换元。而最后一个等式$\int^{\infty}_0\frac{sint}{t}dt=\frac{\pi}{2}$，而这一部分是结合了柯西定理证明的：$$ \int^{\infty}_{0}\frac{sinx}{x}dx=\frac{1}{2}\lim_{A{\to}\infty}\int^A_{-A}\frac{sinx}{x}e^{i0x}dx=\frac{\pi}{2} $$于是我们知道：$$ \int^{\infty}_{0}\frac{sin^2x}{x^2}dx=\frac{\pi}{2} $$思路：先证明收敛（数分知识：取到瑕点，然后对比其阶数即可）计算是通过分部积分和换元法，结合柯西定理得到的。8 留数定理计算反常积分利用留数定理计算$$ \int^{\infty}_0\frac{cosx}{(1+x^2)^2}dx $$提示：利用儒歇定理，定理10.43解：$\frac{\cos{x}}{(1+x^2)^2}$为偶函数，于是设$I=\frac{1}{2}\int^{\infty}_{-\infty}\frac{cosx}{(1+x^2)^2}dx$，又因为$e^{ix}=cosx+isinx$，于是我们得到$$ I=\frac{1}{2}Re\left(\int^{\infty}_{-\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^2)^2}dx\right) $$考虑$f(z)=\frac{e^{iz}}{(1+z^2)}^2,f(z)$在上半平面，有$z=i$为二阶极点。取$R$充分大，$R>1$，于是$[-R,R]$和$C_R:z=Re^{i\theta},\theta:0{\to}\pi$合成一闭曲线$\gamma$，由留数定理知道：$$ \int^R_{-R}f(x)dx+\int_{C_R}f(z)dz=\int_{\gamma}f(z)dz=2\pi{i}Res(f;i) $$于是知道$$ \begin{aligned} \int_{C_R}f(z)dz=&\int^{\pi}_0\frac{e^{iRe^{i\theta}}}{(1+R^2e^{2i{\theta}})^2}iRe^{i\theta}d{\theta}\\ =&\int^{\pi}_0\frac{e^{iRcos{\theta}}{\cdot}e^{-Rsin{\theta}}}{(1+R^2e^{2i{\theta}})^2}Re^{i\theta}id{\theta} \end{aligned} $$于是$$ \begin{aligned} |\int_{C_R}f(z)dz|{\le}&\int^{\pi}_0\frac{|e^{iRcos{\theta}}{\cdot}e^{-Rsin{\theta}}|}{|1+R^2e^{2i\theta}|^2}Rd{\theta}\\ {\le}&\int^{\pi}_0\frac{e^{-Rsin{\theta}}}{(R^2-1)^2}Rd{\theta} \end{aligned} $$这是因为$$ |1+R^2e^{2i\theta}|{\ge}|R^2e^{2i{\theta}}|-1=R^2-1 $$于是乎$$ \begin{aligned} |\int_{C_R}f(z)dz|{\le}&\int^{\pi}_0\frac{e^{-Rsin{\theta}}}{(R^2-1)^2}Rd{\theta}\\ =&\frac{R}{(R^2-1)^2}\int^{\pi}_0e^{-Rsin{\theta}}d{\theta}\\ =&\frac{R}{(R^2-1)^2}2\int^{\frac{\pi}{2}}_0Re^{-Rsin{\theta}}d{\theta}\\ {\le}&\frac{2R}{(R^2-1)^2}\int^{\frac{\pi}{2}}_0e^{-\frac{2R}{\pi}\theta}d{\theta}\\ =&\frac{2R}{(R^2-1)^2}(-\frac{\pi}{2R}e^{-\frac{2R}{\pi}\theta}|^{\frac{\pi}{2}}_0)\\ =&\frac{\pi}{(R^2-1)^2}(1-e^{-R}){\to}0{\quad}R{\to}\infty \end{aligned} $$第二个不等号是因为$\theta{\in}[0,\frac{\pi}{2}]$中，$\sin{\theta}{\ge}\frac{2}{\pi}\theta$。于是可以推出$$ \lim_{R{\to}\infty}\int_{C_R}f(z)dz=0 $$因为$$ \int^R_{-R}f(x)dx+\int_{C_R}f(z)dz=2\pi{i}Res(f;i) $$两边取极限，令$R{\to}\infty$。则得到：$$ \int^{\infty}_{-\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^2)^2}dx=2\pi{i}Res(\frac{e^{iz}}{(1+z^2)^2};i) $$而$$ \begin{aligned} Res(\frac{e^{iz}}{(1+z^2)^2};i)=&\lim_{z{\to}i}[(z-i)^2\frac{e^{iz}}{(z^2+1)^2}]'\\ =&\lim_{z{\to}i}(\frac{e^{iz}}{(z^2+i)^2})'\\ =&\lim_{z{\to}i}\frac{ie^{iz}(z+i)^2-e^{iz}z(z+i)}{(z+i)^4}\\ =&\lim_{z{\to}i}\frac{e^{iz}(iz-3)}{(z+i)^3}=\frac{-4e^{-1}}{-8i}=\frac{e^{-1}}{2i} \end{aligned} $$于是$$ \int^{\infty}_{-\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^2)^2}dx=2\pi{i}\frac{e^{-1}}{2i}=\frac{\pi}{e} $$$$ \int^{\infty}_0\frac{cosx}{(1+x^2)^2}dx=\frac{1}{2}Re(\int^{\infty}_{-\infty}\frac{e^{ix}}{(1+x^2)^2}dx)=\frac{\pi}{2e} $$思路：这里利用了留数定理和计算的各种技巧。9 指数根的存在性假设$\lambda>1$，证明$e^{-\lambda}=z$在$D(0,1)$恰好有一个根，且为实根。证明：令$g(z)=e^{z-\lambda}-z,f(z)=-z$在$\mathbb{C}$上全纯，且在$|z|=1$上有$$ |f(z)|=|-z|=1 $$$$ |f(z)-g(z)|=|e^{z-\lambda}|=|e^{x+iy-\lambda}|=e^{x-\lambda}{\le}e^{|z|-\lambda}=e^{1-\lambda}<1 $$于是$$ |f(z)-g(z)|<|f(z)| $$由Rouche定理知道：$g$与$f$在$|z|<1$内零点个数相同。又$f(z)=-z$在$|z|<1$内恒有一个零点$z=0$。于是$e^{z-\lambda}-z$在$|z|<1$内恒有一个零点。也即$e^{z-\lambda}=z$在$|z|<1$内恒有一个根。接下来我们证明这个根是实根：因为$g(x)=e^{x-\lambda}-x$在$\mathbb{R}$上连续，且$$ g(0)=e^{-\lambda}>0,g(1)=e^{1-\lambda}-1<0 $$由零点存在定理，知道${\exists}x_0{\in}(0,1)$使得$g(x_0)=0$，又因为$e^{z-\lambda}=z$在$|z|<1$内恒有一根。于是$e^{z-\lambda}=z$在$|z|<1$内的根为实根$x_0$。思路：这里利用了Rouche定理证明存在一个根，然后再利用零点存在定理证明这个根是实根。10 全纯的充分必要条件设$D$是区域，$f$在$D$上具有一阶连续偏导，也即$f{\in}C^1(D)$。证明$f$在$D$上全纯的充要条件是：对于${\forall}a{\in}D$，均有：$$ \lim_{t{\to}0^+}\frac{1}{m^2}\int_{|z-a|=r}f(z)dz=0 $$提示：利用定理11.1及定理11.2证明：由$f{\in}C^1(D)$，可以知道：对于${\forall}a{\in}D$，有$$ f(z)-f(a)=\frac{\partial{f}}{\partial{z}}(a)(z-a)+\frac{\partial{f}}{\partial{\overline{z}}}(a)(\overline{z}-\overline{a})+o(|z-a|) $$于是$$ f(z)=f(a)+\frac{\partial{f}}{\partial{z}}(a)(z-a)+\frac{\partial{f}}{\partial{\overline{z}}}(a)(\overline{z}-\overline{a})+o(|z-a|) $$又$$ \int_{|z-a|=r}dz=0,\int_{|z-a|=r}(z-a)dz=0 $$于是$$ \begin{aligned} \int_{|z-a|=r}f(z)dz=&\int_{|z-a|=r}f(a)dz+\int_{|z-a|=r}\frac{\partial{f}}{\partial{z}}(a)(z-a)dz\\ +&\int_{|z-a|=r}\frac{\partial{f}}{\partial{\overline{z}}}(a)(\overline{z}-\overline{a})+\int_{|z-a|=r}o(|z-a|)dz \end{aligned} $$于是$$ \begin{aligned} \int_{|z-a|=r}f(z)dz=&\frac{\partial{f}}{\partial{\overline{z}}}(a)\int_{|z-a|=r}(\overline{z}-\overline{a})dz+\int_{|z-a|=r}o(|z-a|)dz\\ =&\frac{\partial{f}}{\partial{\overline{z}}}(a)\int^{\pi}_{-\pi}re^{-i\theta}ie^{i\theta}d{\theta}+\int_{|z-a|=r}o(z-a)dz\\ =&2i\pi{r}^2\frac{\partial{f}}{\partial{\overline{z}}}(a)+\int_{|z-a|=r}o(|z-a|)dz \end{aligned} $$又$$ |\int_{|z-a|=r}o(|z-a|dz)|{\le}\int_{|z-a|{=r}}o(|z-a|)|dz|=o(r)\int_{|z-a|=q}|dz|=\frac{o(r)}{r}2\pi{r}^2 $$于是$$ \lim_{r{\to}0^{+}}\frac{1}{\pi{r}^2}\int_{|z-a|=r}o(|z-a|)dz=0 $$$$ \lim_{r{\to}0^{+}}\frac{1}{\pi{r}^2}\int_{|z-a|=r}f(z)dz=2i\frac{\partial{f}}{\partial{\overline{z}}}(a) $$$$ \lim_{r{\to}0^{+}}\frac{1}{\pi{r}^2}\int_{|z-a|=r}f(z)dz=0{\iff}\frac{\partial{f}}{\partial{\overline{z}}}(a)=0 $$而$f$在$D$上全纯$\iff{f}$在$D$上实可微，且${\forall}a{\in}D$，有$\frac{\partial{f}}{\partial{\overline{z}}}(a)=0$。若$f{\in}C^1(D)$，则$f$在$D$上全纯$\iff{\forall}a{\in}D$有$$ \lim_{r{\to}0^{+}}\int_{|z-a|=r}\frac{1}{\pi{r}^2}f(z)dz=0 $$思路：由全纯函数分解，然后再利用全纯性质舍去某些项目，最后利用不等式不断估计即可。11 对数函数与调和函数的性质验证$u(z)=\ln|1-z|^2$在$D(0,1)$调和并且利用调和函数的平均值性质来求$$ I=\int^{\pi}_0\ln(1-2r\cos{\theta}+r^2)d{\theta}{\quad}(0<r<1) $$的值。解：令$u(z)=\ln|1-z|^2,z=x+iy$。则$u(x{\cdot}y)=\ln[(1-x)^2+y^2]$，于是$$ u_x=\frac{2(x-1)}{(1-x)^2+y^2},u_y=\frac{2y}{(1-x)^2+y^2} $$$$ u_{xx}=\frac{2}{(1-x^2)+y^2}-\frac{4(x-1)^2}{[(1-x)^2+y^2]^2}=\frac{2y^2-2(x-1)^2}{[(1-x)^2+y^2]^2}\\ u_{yy}=\frac{2}{(1-x)^2+y^2}-\frac{4y^2}{[(1-x)^2+y^2]^2}=\frac{2(x-1)^2-2y^2}{[(1-x)^2+y^2]^2} $$于是$$ \Delta{u}=u_{xx}+u_{yy}=0 $$于是：$\ln{|1-z|^2}$在$D(0;1)$上调和，由调和函数的平均值公式有：$$ \ln|1-0|^2=u(0)=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}u(re^{i\theta})d{\theta}\\ =\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\ln|1-re^{i\theta}|^2d{\theta}=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\ln(1-2rcos{\theta}+r^2)d{\theta} $$得到$$ \frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\ln(1-2rcos{\theta}+r^2)d{\theta}=0 $$又$\ln(1-2rcos{\theta}+r^2)$关于$\theta$是偶函数。于是：$\int^{\pi}_{0}\ln(1-2rcos{\theta}+r^2)d{\theta}=0$。思路：这个仅仅是先验证其调和性质，然后利用调和函数的平均值公式和偶性质即可得到结论。12 调和函数证上下界假设实函数$u(z)$在复平面$C$上调和且不为常数。证明：$u(z)$在$C$上既没有上界，也没有下界。提示：利用反证法和定理11.10解：不妨设$u$在$\mathbb{C}$上有界，也即${\exists}M>0,{\forall}z{\in}\mathbb{C}$，有$u(z){\le}M$。由定理11.10知道：存在一个在$\mathbb{C}$上的调和函数$V$，使得$u+iv=f$在$\mathbb{C}$上全纯。取$F(z)=e^{f(z)}$，则$F(z)$在$\mathbb{C}$上全纯，且$$ |F(z)|=|e^{f(z)}|=|e^{u+iv}|=e^u{\le}e^M $$于是$F(z)$为有界整函数，由刘维尔定理知道：$F$为常数，于是得到$f$为常数，但是这推出$u$为常数与题设矛盾。思路：反证法，假设有界，则得到一个全纯的结果，但是利用刘维尔定理不难推出为常数与题设矛盾。13 全纯函数证明零点存在设$\Omega$是一个区域，$D$是圆盘，$\overline{D}{\subset}\Omega,f{\in}H(\Omega)$，且不为常数，在$\partial{D}$上$\left|f\right|$为常数。证明：在$D$内至少有一个零点。提示：利用最大模定理12.1和反证法。证明：反证法：级数$f$在$D$内没有零点，则推出$\frac{1}{f}$在$D$内全纯，又$|f|$在$\partial{D}$为常数，于是推出$f$在$\partial{D}$处处不为0（否则由最大模原理则推出$f$在$D$内处处为0）。由唯一性定理，则$f$在$\Omega$恒为0，但是这与$f$不为常数矛盾。由极大模原理有：对于${\forall}z{\in}D$，有$$ |\frac{1}{f(z)}|{\le}\max_{z{\in}\partial{D}}|\frac{1}{f(z)}|=\frac{1}{c} $$于是对于${\forall}z{\in}D$，有$$ |f(z)|{\ge}C=\max_{z{\in}\partial{D}}|f(z)| $$由最大模原理可以知道$f$在$D$内为常数，再由唯一性定理知道：$f$在$\Omega$内为常数，这与题设矛盾。思路：反证法，假设没有零点，然后我们利用最大模原理推出在圆盘内部是常数，则由唯一性定理知道，在整个区域内为常数，但是与题设矛盾。14 全纯函数与幂级数全纯设$f(z)$在$D(0,1)$内全纯，且$f(0)=0$，证明：$\sum^{\infty}_{n=1}f(z^n)$在$D(0,1)$全纯。提示：类似施瓦茨引理12.2的证明，仅需说明$\sum^{\infty}_{n=1}f(z^n)$在$D(0,1)$内闭一致收敛即可证明：由于$f(z)$在$D(0,1)$内全纯，于是$f(z^{n})$在$D(0;1)$全纯，于是仅需证明$\sum^{\infty}_{n=1}f(z^n)$在$D(0,1)$内闭一致收敛即可。因为$f(0)=0$，由最大模原理可以知道：对于${\forall}z{\in}\overline{D}(0;r)$有$$ |\frac{f(z)}{z}|{\le}\max_{|z|=r}\frac{|f(z)|}{|z|}{\le}\frac{M(r)}{r} $$于是$$ |\frac{f(z^n)}{z^n}|{\le}\frac{M(r)}{r} $$其中$M(r)=\max_{|z|=r}|f(x)|$。$$ |f(z^n)|{\le}\frac{M(r)}{r}|z|^n{\le}M(r)r^{n-1} $$又$\sum^{\infty}_{n=1}M(r)r^{n-1}$收敛，由比较判别法，我们知道$\sum^{\infty}_{n=1}f(z^n)$在$|z|{\le}r$上一致收敛。由$r$的任意性，知道$\sum^{\infty}_{n=1}f(z^n)$在$|z|<1$上内闭一致收敛。于是知道：$\sum^{\infty}_{n=1}f(z^n)$在$D(0,1)$全纯。思路：从函数全纯推出其次幂也是全纯，于是我们仅需证明其级数内闭一致收敛，用最大模定理知道其有界性，然后用比较判别法直接证明。
格林函数关于二维的情况求解圆域的第一边值问题。解：对于二维的情形，可以类似定义格林函数：$$ G(P,P_0)=\frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{r(P,P_0)}-g(P,P_0) $$其中$g$为在区域$\Omega$内的调和函数，在边界上使得$G(P,P_0)=0$。与$$ u(P_0)=-\iint_{\partial{\Omega}}f(P)\frac{\partial{G}(P,P_0)}{{\partial}n}dS_p $$相对应的第一边值问题的解的表达式为：$$ u(P_0)=-\int_{\partial{\Omega}}f(P)\frac{\partial{G}(P,P_0)}{{\partial}n}dS_p,(P_0{\in}\Omega) $$当$\Omega$为以$A$为中心，$R$为半径的圆时，与球的情形类似，应用对称镜像点，可以得到圆的格林公式为：$$ G(P,P_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln{\frac{1}{r(P,P_0)}-\ln{\frac{R}{\rho_0r(P,P_0)}}}\right] $$建立以圆心为极点的极坐标，用$(\rho_0,\theta_0)$和$(\rho,\theta)$分别表示$P_0$和$P$点的坐标，$P_1$是$P_0$关于圆的对称镜像点，于是$P_1$的坐标为$(\frac{R^2}{\rho_0},\theta_0)$，而$G(P,P_0)$用极坐标可以表示写为：$$ G(\rho,\theta,\rho_0,\theta_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\frac{1}{\sqrt{\rho^2+R^2-2R\rho_0\cos{\gamma}}}-\ln{\frac{R}{\sqrt{R^4+\rho_0^2\rho^2-2R^2\rho\rho_0\cos{\gamma}}}}\right] $$其中$\gamma$为$\overline{AP}$与$\overline{AP_0}$的夹角。$$ \cos{\gamma}=\cos{\theta_0}\cos{\theta}+\sin{\theta_0}\sin{\theta}=\cos(\theta-\theta_0) $$在圆周上$$ \frac{\partial{G}}{\partial{n}}|_{\rho=R}=\frac{\partial{G}}{\partial{\rho}}|_{\rho=R}=-\frac{R^2-\rho_0^2}{2\pi{R}\left[R^2+\rho_0^2-2R\rho_0\cos(\theta-\theta_0)\right]} $$代入$$ u(P_0)=\frac{1}{4\pi{R}}\iint_{\partial{B}}\frac{\rho_0^2-R^2}{(R^2+\rho_0^2-2R\rho_0\cos{\gamma})^{\frac{3}{2}}}f(P)dS_p $$就得到圆上的第一边值问题$$ \begin{cases} u_{xx}+u_{yy}=0\\ u=f(\theta){\quad}(x^2+y^2=R^2) \end{cases} $$的形式解的表达式：$$ u(\rho_0,\theta_0)=\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\frac{R^2-\rho_0^2}{R^2+\rho_0^2-2R\rho_0\cos({\theta-\theta_0})}f(\theta)dS_p $$这就是圆的泊松积分实例试用静电源像法导出二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题：$$ \Delta{u}=u_{xx}+u_{yy}=0,y>0\\ u|_{y=0}=f(x) $$的解。解：设$(x_0,y_0)$为区域内一点，则它关于平面$y=0$的对称点为$(x_0,y_0)$。套用二维格林函数公式：$$ G(M,M_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\frac{1}{\sqrt{\rho_0^2+\rho^2-2\rho_0\rho\cos{\gamma}}}-\ln\frac{R}{\rho_0}\frac{1}{\sqrt{\rho_1^2+\rho^2-2\rho_1\rho\cos{\gamma}}}\right] $$于是格林函数为（考虑到对称点一样）$$ G(M,M_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln{\frac{1}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}}-\ln{\frac{1}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}}\right] $$对于空间$y>0$来说，边界$y=0$的外法线方向是与$y$轴相反的方向，于是（考虑到夹角正交）$$ \frac{\partial{G}}{\partial{n}}=-\frac{\partial{G}}{\partial{y}}=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{y-y_0}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\frac{y+y_0}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right] $$$$ \frac{\partial{G}}{\partial{n}}|_{y=0}=-\frac{1}{\pi}\frac{y_0}{(x-x_0)^2+y_0^2} $$所以$$ u(x_0,y_0)=-\int_{y=0}\frac{\partial{G}}{\partial{n}}fdS=\frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\frac{y_0}{(x-x_0)^2+y_0^2}f(x)dx $$也即$$ u(x,y)=\frac{y}{\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\frac{f(\xi)}{(\xi-x)^2+y^2}d{\xi} $$另一则例题求解上半空间区域的第一边值问题解：取$P_1$为$P_0$关于$z=0$平面的对称点，令$g=\frac{c}{r(P,P_1)}$，且$P_1$不在区域$z>0$内。所以$g$作为$P$的函数在该区域内调和，又因为$P_1$和$P_0$关于$z=0$平面对称，当$P$在边界$z=0$上时，$r(P,P_0)=r(P,P_1)$，因而取$c=\frac{1}{4\pi}$，可以得到$$ \frac{1}{4\pi{r}(P,P_1)}=\frac{1}{4\pi{r}(P,P_0)} $$于是可以取到$g=\frac{1}{4\pi{r}(P,P_1)}$，从而得到上半空间区域的格林函数为：$$ G(P,P_0)=\frac{1}{4\pi{r}(P,P_0)}-\frac{1}{4\pi{r}(P,P_1)} $$其中$P_1$是$P_0$关于$z=0$的对称点。设$P_0$坐标为$(x_0,y_0,z_0)$，则$P_1$的坐标为$(x_0,y_0,-z_0),P=(x,y,z),G(P,P_0)$用坐标表示可以写为：$$ G(P,P_0)=\frac{1}{4\pi}\left[\frac{1}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}-\frac{1}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z+z_0)^2}}\right] $$在$z=0$平面上，关于上半空间的外法线方向与$z$轴的正向相反，所以$$ \frac{\partial{G}}{\partial{n}}|_{z=0}=-\frac{\partial{G}}{\partial{z}}|_{z=0}=\frac{-z_0}{2\pi\left[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+z_0^2\right]^{\frac{3}{2}}} $$代入$$ u(P_0)=-\iint_{\Omega}f(P)\frac{\partial{G}(P,P_0)}{\partial{n}}dS_p $$也即得到上半空间区域的第一边值问题的形式解：$$ u(x_0,y_0,z_0)=\frac{z_0}{2\pi}\iint_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x,y)}{\left[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+z_0^2\right]^{\frac{3}{2}}}dxdy $$称之为上半空间的泊松公式，右端的积分称之为泊松积分。
能量积分法证明唯一性和稳定性双曲方程考虑定解问题解的唯一性和稳定性，多解？解是否连续依赖于定解条件的问题。对受摩擦力作用且具固定端点的有界弦振动，满足方程：$$ u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t $$其中常数$c>0$，证明其能量是减少的，并由此证明方程$$ u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t+f $$的初边值问题解的唯一性，以及关于初始条件及自由项的稳定性。证明：能量减少首先我们证明能量是减少的：能量表达式$$ E(t)=\int^l_0(u_t^2+a^2u_x^2)dx $$仅需对其关于$t$求导：随着时间的能量变化$$ \begin{aligned} \frac{dE(t)}{dt}=&\int^l_0(2u_tu_{tt}+2a^2u_xu_{xt})dx\\ =&2\int^l_0u_tu_{tt}dx+2a^2[u_xu_t]^l_0-2a^2\int^l_0u_tu_{xx}dx\\ =&2\int^l_0u_t(u_{tt}-a^2u_{xx})dx+2a^2u_xu_t|^l_0 \end{aligned} $$因为弦的两端固定，也即$u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0$，于是$$ u_t|_{x=0}=0,u_t|_{x=l}=0 $$于是$$ \begin{aligned} \frac{dE(t)}{dt}=&2\int^l_0u_t(u_{tt}-a^2u_{xx})dx\\ =&-2c\int^l_0u_t^2dx<0 \end{aligned} $$这是因为$c>0$。于是我们知道，随着$t$的增加，$E(t)$是减少的。这里利用了一个分部积分，然后再利用弦的两端固定知道其随着时间在两端的变化率为0，从而消去多余项，最后利用弦振动方程等效，于是得到结果。混合问题解的唯一性$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t+f\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}=\varphi(x),u_t|_{t=0}=\psi(x) \end{cases} $$设$u_1,u_2$为上述问题的解（反证法），令$u=u_1-u_2$，则$u$满足：$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}=0,u_t|_{t=0}=0 \end{cases} $$能量$$ E(t)=\int^l_0(u_t^2+a^2u_x^2)dx $$当$t=0$时，利用初始条件有$u_t|_{t=0}=0$，由$u|_{t=0}=0$，知道$$ u_x|_{t=0}=0 $$所以$$ E(0)=0 $$又$E(t)$是减少的，所以当$t>0$时，有$E(t){\le}E(0)=0$，又由$E(t)$的表达式知$E(t){\ge}0$。于是有$E(t)=0$。由此可以得到$u_t=0,u_x=0$，于是$u=const$。于是再由初始条件$u|_{t=0}=0$，得到$u=0$，于是$u_1=u_2$，也即混合问题解是唯一的。这个先用反证法，然后把问题转为没有非齐次项的边值问题，也即将两个解做差满足齐次方程的边值条件，然后利用初始条件推出初始能量为0，再由上面能量减少，和能量必然为正推出能量一直是0，于是用到初始条件可以知道差必然是常数，再用初始条件知道其必然为0即可。解关于初始条件的稳定性也即对于任意$\varepsilon>0$，可以找到$\eta>0$，只要初始条件之差$\varphi_1-\varphi_2,\psi_1-\psi_2$满足$$ \|\varphi_1-\varphi_2\|_{L^2}<\eta,\|\varphi_{1x}-\varphi_{2x}\|_{L^2}<\eta,\|\psi_1-\psi_2\|_{L^2}<\eta $$则始值$(\varphi_1,\psi_1)$所对应的解$u_1$，以及$(\varphi_2-\psi_2)$所对应的解$u_2$之差$u_1-u_2$满足$$ \|u_1-u_2\|_{L^2}<\varepsilon $$令$$ E_0(t)=\int^l_0u^2(x,t)dx $$$$ \frac{dE_0(t)}{dt}=2\int^l_0u{\cdot}u_tdx{\le}\int^l_0u^2dx+\int^l_{0}u_t^2dx{\le}E_0(t)+E(t) $$也即$$ \frac{d}{dt}(e^{-t}E_0(t)){\le}e^{-1}E(t) $$积分得到：$$ E_0(t){\le}e^{t}E_0(t)+e^t\int^l_0e^{-\tau}d\tau $$也即$$ E_0(t){\le}e^tE_0(t)+(e^t-1)E(0) $$记$\widetilde{\varphi}=\varphi_1-\varphi_2,\widetilde{\psi}=\psi_1-\psi_2$，则$\widetilde{u}=u_1-u_2$满足：$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}=\widetilde{\varphi},u_t|_{t=0}=\widetilde{\psi} \end{cases} $$则相对应地有：$$ E_0(0)=\int^l_0\widetilde{\varphi}^2dx $$$$ E(0)=\int(\widetilde{\psi}^2+a^2\widetilde{\varphi}_{x^2})dx $$所以如果$$ \|\widetilde{\varphi}\|_{L^2}=(\int^l_0\widetilde{\varphi}^2dx)^{\frac{1}{2}}<\eta,\|\widetilde{\varphi}_x\|_{L^2}=(\int^l_0\widetilde{\varphi}_{x^2}dx)^{\frac{1}{2}}<\eta\\ \|\widetilde{\psi}\|_{L^2}=(\int^l_0\widetilde{\psi}^2dx)^{\frac{1}{2}}<\eta $$则$$ E_0(0)<\eta^2,E(0)<(1+a^2)\eta^2 $$于是$$ \|u\|^2_{L^2}=E_0(t)>[e^t+(e^t-1)(1+a^2)]\eta^2<\varepsilon^2,{\forall}t $$也即$\|u\|_{L^2}<\varepsilon$或$$ (\int^T_0\int^l_0u^2dxdt)^{\frac{1}{2}}<\eta(\int^T_0[e^t+(e^t-1)(1+a^2)]dt)^{\frac{1}{2}}<\varepsilon^1 $$其实这个的思路在于：初始条件之差，引起的解之差，满足了一个齐次方程的初边值问题。相应地对这个方程进行能量讨论。主要是通过一个不等式放大，然后积分得到一个关于指数函数的不等式估计，然后再对这个初始条件之差的估计，我们得到关于解的相差很小即可。解关于自由项的稳定性设$u_1(x,t)$满足$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t+f_1\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}={\varphi},u_t|_{t=0}={\psi} \end{cases} $$而$u_2(x,t)$满足$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t+f_2\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}={\varphi},u_t|_{t=0}={\psi} \end{cases} $$则$u=u_1-u_2$满足：$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t+(f_1-f_2)\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}={0},u_t|_{t=0}={0} \end{cases} $$现在建立有外力作用时的能量不等式，记$f=f_1-f_2$，为：$$ E(t)=\int^l_0(u_t^2+a^2u_x^2)dx $$$$ \begin{aligned} \frac{dE(t)}{dt}=&2\int^l_0(u_tu_{tt}+a^2u_{x}u_{xt})dx\\ =&2\int^l_0u_t(u_{tt}-a^2u_{xx})dx\\ =&2\int^l_0(-cu_t^2+u_tf)dx\\ {\le}&2\int^l_0u_tfdx{\le}\int^l_0u_t^2dx+\int^l_0f^2dx{\le}E(t)+F(t) \end{aligned} $$其中$F(t)=\int^l_{0}f^2dx$，于是$$ E(t){\le}E(0)e^t+e^t\int^l_0e^{-t}F(\tau)d{\tau} $$又$E(0)=0$（由初始值），于是$$ E(t){\le}e^t\int^t_0e^{-\tau}F(\tau)d{\tau}=e^t\int^t_0e^{-\tau}d{\tau}\int^l_0f^2dx\\ {\le}e^t\int^T_0\int^t_0dxdt=K^2e^t $$在上面的稳定性研究中我们已经知道：$$ E_0(t){\le}e^tE_0(0)+e^t\int^t_0e^{-\tau}E(\tau)d{\tau} $$而$E_0(0)=0$（由初始值），所以$$ E_0(t)=e^t\int^t_0e^{-\tau}E(\tau)d{\tau}{\le}e^t\int^t_0K^2d{\tau}=te^tK^2 $$$$ \int^T_0E_0(t)t=\int^T_0K^2te^tdt=K^2[(T-1)e^T+1] $$因此，当$K=\sqrt{\int^T_0\int^l_0f^2dxdt}<\eta$，则$$ \sqrt{\int^T_0\int^l_0u_0^2dxdt}<\eta\sqrt{(T-1)e^T+1}<\varepsilon $$也即当$\sqrt{\int^T_0\int^l_0(f_1-f_2)^2dxdt}<\eta$，则$\sqrt{\int^T_0\int^l_0(u_1-u_2)^2dxdt}<\varepsilon$，也即解关于自由项是稳定的。椭圆方程讨论$C^2(\Omega){\cap}C^1(\overline{\Omega})$中的调和函数，可以利用能量积分法来解决边值问题的解的唯一性。我们讨论有界区域$\Omega$上的泊松方程的第一或者第二边值问题解的唯一性。$$ \begin{cases} \Delta{u}=f(x)\\ u|_{\partial{\Omega}}=0 \end{cases}{\quad} \begin{cases} \Delta{u}=f(x)\\ \frac{\partial{u}}{\partial{n}}|_{\partial{\Omega}}=0 \end{cases} $$令$u=u_1-u_2$，其中$u_1,u_2$都是上述问题的两个解。我们知道对于调和函数$u$，其能量积分（总位能）为：$$ \begin{aligned} E(u)=&\frac{1}{2}\iiint_{\Omega}\left[(\frac{\partial{u}}{\partial{x}})^2+(\frac{\partial{u}}{\partial{y}})^2+(\frac{\partial{u}}{\partial{z}})^2\right]dxdydz\\ =&\frac{1}{2}\iiint_{\Omega}\left[\frac{\partial}{\partial{x}}(u\frac{\partial{u}}{\partial{x}})+\frac{\partial}{\partial{y}}(u\frac{\partial{u}}{\partial{y}})+\frac{\partial}{\partial{z}}(u\frac{\partial{u}}{\partial{z}})-u{\Delta}u\right]dxdydz \end{aligned} $$上述是用了分部积分整理成这个形式。由于$u$是调和函数$\Delta{u}=0$，于是可以再利用格林公式：$$ E(u)=\frac{1}{2}\iint_{\partial{\Omega}}u\frac{\partial{u}}{\partial{n}}dS $$在讨论第一边值问题的唯一性的时候，因为$u|_{\partial{\Omega}}=0$，所以$E(u)=0$。在讨论第二边值问题的唯一性的时候，因为$\frac{\partial{u}}{\partial{n}}|_{\partial{\Omega}}=0$，所以$E(u)=0$。于是在$\Omega$中成立$$ \frac{\partial{u}}{\partial{x}}=\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=\frac{\partial{u}}{\partial{z}} $$于是$u{\equiv}C$，于是对于第二边值问题，在允许相差任意一个常数的意义下，解是唯一的。而对于第一边值问题，在边界上$u=0$，于是只能是$u{\equiv}0$。于是解决了解的唯一性问题。例题设$u(x,t)$是混合问题$$ \begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0,0<x<l,t>0\\ u(x,0)=u_t(x,0)=0,0{\le}x{\le}l\\ u(0,t)=u(l,t)=0,t{\ge}0 \end{cases} $$的古典解，证明$u(x,t)=0$。证明：将方程两边同时乘以$u_t$并且关于$x$在$[0,l]$上积分得到$$ \int^l_0u_tu_{tt}dx-\int^l_0u_tu_{tt}dx=0 $$利用分部积分和边界条件$u(0,t)=u(l,t)=0$得：$$ \frac{d}{dt}\int^l_0(u_t^2+u_x^2)dx=0 $$上式两边关于$t$从$0$到$t$积分，并利用$u(x,0)=u_t(x,0)=0$得到：$$ \int^l_0\left[u_t^2(x,t)+u_x^2(x,t)\right]dx=\int^l_0\left[u_t^2(x,0)+u_x^2(x,0)\right]dx=0 $$由上式以及$u_t(x,t)$和$u_x(x,t)$的连续性得到：$u_t(x,t)=u_x(x,t)=0$。也即$u(x,t)$恒为常数，由于$u(x,0)=0$，于是$u(x,t){\equiv}0$。例题2设$u(x,y,z,t)$是带一阶耗散项的波动方程的初边值问题：$$ \begin{cases} u_{tt}-a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})+{\alpha}u_t=0,{\quad}(x,y,z){\in}\Omega,t>0\\ u|_{t=0}=\varphi(x,y,z),u_t|_{t=0}=\psi(x,y,z){\quad}(x,y,z){\in}\overline{\Omega}\\ u|_{\partial{\Omega}{\times}[0,\infty)}=0 \end{cases} $$的解，$\alpha>0$为常数，$\Omega{\subset}R^3$为具有光滑边界$\partial{\Omega}$的有界区域证明其能量积分$$ E(t)=\frac{1}{2}\iiint_{\Omega}[u_t^2+a^2(u_x^2+u_y^2+u_z^2)]dxdydz $$随着时间增加而不增加，然后证明该问题解的唯一性。证明：（1）也即要证明问题的能量积分关于$t$求导不大于0，也即$\frac{dE(t)}{dt}{\le}0$即可。$$ \begin{aligned} \frac{dE(t)}{dt}=&\iiint_{\Omega}\left[u_tu_{tt}+a^2(u_xu_{xt}+u_yu_{yt}+u_zu_{zt})\right]dxdydz\\ =&\iiint_{\Omega}[u_tu_{tt}+a^2{\nabla}u{\cdot}\nabla{u_t}]dxdydz\\ =&\iiint_{\Omega}[u_t(u_{tt}-a^2{\Delta}u)]dxdydz+a^2\iint_{\partial{\Omega}}\frac{\partial{u}}{\partial{n}}u_tdS\\ =&-\iiint_{\Omega}\alpha{u}_t^2dxdydz+a^2\iint_{\partial{\Omega}}\frac{\partial{u}}{\partial{n}}u_tdS\\ =&-\iiint_{\Omega}\alpha{u_t}^2dxdydz{\le}0 \end{aligned} $$（2）设$u_1$和$u_2$是混合问题的解，则它们的差$u=u_1-u_2$是混合问题：$$ \begin{cases} u_{tt}-a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})+{\alpha}u_t=0,{\quad}(x,y,z){\in}\Omega,t>0\\ u|_{t=0}=0,u_t|_{t=0}=0{\quad}(x,y,z){\in}\overline{\Omega}\\ u|_{\partial{\Omega}{\times}[0,\infty)}=0 \end{cases} $$的解，由于（1）知$0{\le}E(t){\le}E(0)$，又在以上的问题中知道$E(0)=0$，于是$E(t)=0$，于是$$ u_t=u_x=u_y=u_z=0 $$也即$u{\equiv}$常数，又因为$u|_{t=0}=0$，所以$$ u(x,y,z,t)=0 $$这就证明了混合问题解的唯一性。
分离变量法分离变量法也称为傅立叶法：解混合问题。考虑其次波动方程的混合问题：$$ u_{tt}-a^2u_{xx}=0,x{\in}(0,l),t>0\\ u|_{t=0}=\varphi(x),u_t|_{t=0}=\psi(x),x{\in}[0,l]\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0,t{\ge}0 $$其中$\varphi(0)=\varphi(l)=0,\psi(0)=\psi(l)=0$。假设其有分离变量解，也即$u(x,t)=X(x)T(t)$。于是带入方程可以得到：$$ X(x)T''(t)=a^2X''(x)T(t) $$此处我们通过分离变量得到：$$ \frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{a^2}\frac{T''(t)}{T(t)} $$因为等式左端仅与$x$相关，而右端又仅与$t$相关，因此存在常数$\lambda$，使得$$ \frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{a^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=-\lambda $$于是得到俩常微分方程：$$ X''(x)+\lambda{X}(x)=0\\ T''(t)+\lambda{a}^2T(t)=0 $$于是我们解两个常微分方程来定出函数$X(x)$和$T(t)$，由边界条件得到：$$ u(0,t)=X(0)T(t)=0\\ u(l,t)=X(l)T(t)=0 $$由于要求的$u(x,t)$是非零解，于是$T(t){\neq}0$，于是$X(x)$应该满足$$ X(0)=0=X(l) $$于是我们仅需解含有参数$\lambda$的二阶线性常微分方程的边值问题即可：$$ \begin{cases} X''(x)+\lambda{X}(x)=0\\ X(0)=X(l)=0 \end{cases} $$分为三种情况进行讨论：（1）当$\lambda<0$时，常微分方程的通解为：$$ X(x)=c_1e^{\sqrt{-\lambda{x}}}+c_2e^{-\sqrt{-\lambda{x}}} $$其中$c_1,c_2$是任意常数，要使它满足边界条件，仅需带入得到：$$ \begin{cases} c_1+c_2=0\\ c_1e^{\sqrt{-\lambda{l}}}+c_2e^{-\sqrt{-\lambda{l}}}=0 \end{cases} $$由于系数行列式$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ e^{\sqrt{-\lambda{l}}} & e^{-\sqrt{-\lambda{l}}} \end{vmatrix}{\neq}0 $$因此$c_1,c_2$必须同时为0，从而$X(x)$恒为0，于是特征值问题是没有非平凡解。（2）当$\lambda=0$时，通解为$$ X(x)=c_1+c_2x\\ c_1=0,c_1+c_2l=0 $$于是$c_1=c_2=0$，于是推出$X(x)=0$恒成立，于是也一样。（3）当$\lambda>0$时，方程通解为：$$ X(x)=c_1\cos{\sqrt{\lambda}}x+c_2\sin{\sqrt{\lambda}}x $$然后带入边界条件：$$ c_1=0,c_1\cos{\sqrt{\lambda}}l+c_2\sin{\sqrt{\lambda}}l=0 $$于是得到$$ c_2\sin{\sqrt{\lambda}}l=0 $$如果$c_2=0$，则$X(x)=0$，为了保证非平凡解，要求$c_2{\neq}0$，且$\sin{\sqrt{\lambda}}l=0$。也即$$ \sqrt{\lambda}=\frac{k\pi}{l} $$其中$k$是一个任意的正整数，所以仅当$\lambda$取值为$$ \lambda_k=(\frac{k\pi}{l})^2,k=1,2,{\cdots} $$时，有非平凡解，对应的特征函数为$$ X_k(x)=c_k\sin{\frac{k\pi{x}}{l}},k=1,2,{\cdots} $$其通解可以写为$$ T_k(t)=a_k\cos{\frac{k\pi{a}}{l}}t+b_k\sin{\frac{k\pi{a}}{l}}t,k=1,2,{\cdots} $$其中$a_k,b_k$为任意常数，于是对于$A_k=c_ka_k,B_K=c_kb_k$我们得到：$$ u_k(x,t)=X_k(x)T_k(t)=(A_k\cos{\frac{k\pi{a}}{l}}t+B_k\sin{\frac{k\pi{a}}{l}}t)sin{\frac{k\pi{x}}{l}} $$则满足方程和边界条件。由于方程是线性齐次的，根据叠加原理，对于任意有限个特解的线性组合也是它的解，对于无穷级数$$ u(x,t)=\sum^{\infty}_{k=1}(A_k\cos{\frac{k\pi{a}}{l}}t+B_k\sin{\frac{k\pi{a}}{l}}t)sin{\frac{k\pi{x}}{l}} $$仅需满足逐项可积和一致收敛即可，我们再满足初始条：先对级数关于$t$求导，得到：$$ \frac{\partial{u}}{\partial{t}}(x,t)=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{k\pi{a}}{l}(-A_k\sin{\frac{k{\pi}a}{l}}t+B_k\cos{\frac{k{\pi}a}{l}}t)\sin{\frac{k\pi}{l}}x $$利用初始条件，代入$t=0$得到：$$ \begin{cases} \varphi(x)=\sum^{\infty}_{k=1}A_k\sin{\frac{k\pi}{l}}x\\ \psi(x)=\sum^{\infty}_{k=1}B_k\frac{k\pi{a}}{l}\sin{\frac{k\pi}{l}}x \end{cases} $$于是通过傅立叶展开的正弦技术对比，其系数给出为$$ \begin{cases} A_k=\frac{2}{l}\int^l_0\varphi(x)\sin(\frac{k\pi{x}}{l})dx\\ B_k=\frac{2}{k{\pi}a}\int^l_0\psi(x)sin{\frac{k{\pi}x}{l}}dx \end{cases} $$相容性条件：$$ \varphi(0)=\varphi(l)=\varphi''(0)=\varphi''(l)=\psi(0)=\psi(l)=0 $$总结如下三个步骤：（1）令$u(x,t)=X(x)T(t)$满足方程和边界条件，从而$X(x)$定出适合的刘维尔问题和$T(t)$适合的常微分方程。（2）解刘维尔问题求出特征函数和特征值，并且解$T(t)$的表达式。（3）将变量分离形式的特解叠加起来，并且利用初始条件定出所有待定常数。解习题下面我们对抛物型方程（热传导方程）来应用一下：$$ \begin{cases} u_t-a^2u_{xx}=0,0<x<l,t>0\\ u|_{t=0}=\varphi(x),0{\le}x{\le}l\\ u|_{x=0}=u|_{x=l}=0,t{\ge}0 \end{cases} $$解：我们假定解形式为$u(x,t)=X(x)T(t)$，代入得到：$$ \frac{T'(t)}{a^2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda $$于是得到：$$ T'(t)+a^2{\lambda}T(t)=0\\ X''(x)+\lambda{X}(x)=0 $$考虑边界条件知道$X(x)$应该满足$X(0)=0=X(l)$。于是我们仅需考虑$\lambda>0$的情况，这个时候才有非零解，这个时候特征值取值为：$$ \lambda_k=(\frac{n\pi}{l})^2,n=1,2,{\cdots} $$代入方程得到：$$ T'(t)+\frac{a^2n^2\pi^2}{l^2}T(t)=0 $$解开得到：$$ T_n(t)=C_ne^{-(\frac{an\pi}{l})^2t} $$于是所有的函数$$ u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)=A_ne^{-(\frac{an\pi}{l})^2t}\sin{\frac{n\pi{x}}{l}},n=1,2,{\cdots} $$都是满足方程和边界条件的非平凡解，接下来我们叠加，并且得到系数的值：$$ u(x,t)=\sum^{\infty}_{n=1}A_ne^{-(\frac{an\pi}{l})^2t}\sin\frac{n{\pi}x}{l} $$然后满足初始条件，带入$t=0$，得到$$ u(x,0)=\sum^{\infty}_{n=1}A_n\sin{\frac{n\pi{x}}{l}}=\varphi(x) $$于是得到$$ A_n=\frac{2}{l}\int^l_0\varphi(x)\sin{\frac{n\pi{x}}{l}}dx $$再次带入即可得到解的形式为：$$ u(x,t)=\sum^{\infty}_{n=1}(\frac{2}{l}\int^l_0\varphi(x)\sin{\frac{n\pi{x}}{l}}dx)e^{-(\frac{an\pi}{l})^2t}\sin\frac{n{\pi}x}{l} $$抛物型方程2用分离变量法求解初边值问题$$ \begin{cases} u_t-u_{xx}=0,{\quad}0<x<1,t>0\\ u|_{t=0}=\cos{\frac{3\pi}{2}}x,0{\le}x{\le}1\\ u_x|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0,t{\ge}0 \end{cases} $$解：设解$$ u(x,t)=X(x)T(t) $$代入方程则$$ T'(t)X(x)-X''(x)T(t)=0 $$于是$$ \frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{T'(x)}{T(x)}=-\lambda $$也即$$ X''(x)+\lambda{X}(x)=0\tag{1} $$$$ T'(t)+\lambda{T}(t)=0\tag{2} $$由于边界条件知道$$ X'(0)T(0)=0,X(l)T(l)=0 $$于是$$ X’(0)=X(l)=0\tag{3} $$下面就（1）（3）解方程：情形1：$\lambda<0$，则（1）的通解为$$ X(x)=c_1e^{-\sqrt{-\lambda}{x}}+c_2e^{\sqrt{-\lambda}x} $$代入边界条件也即得到$c_1=c_2=0$。这时特征值问题（1）（2）只有平凡零解。情形2：$\lambda=0$，则（1）的通解为$$ X(x)=c_1x+c_2 $$代入边界条件也即得到$c_1=c_2=0$。这时特征值问题（1）（2）只有平凡零解。情形3，$\lambda>0$，则（1）的通解为：$$ X(x)=c_1\cos{\sqrt{\lambda}}x+c_2\sin{\sqrt{\lambda}}x $$代入边界条件则得到$c_2=0,c_1\cos{\sqrt{\lambda}}=0$，于是得到特征值：$$ \lambda_k=(k+1)^2\pi^2,k=0,1,2,{\cdots} $$对应的特征函数为：$$ X_k(x)=a_k\cos(k+\frac{1}{2})\pi{x},k=0,1,2,{\cdots} $$对于特征值$\lambda_k$，解方程（2）得到：$$ T_k=b_ke^{-(k+\frac{1}{2})^2\pi^2{t}} $$于是$$ u_k(x,t)=c_ke^{-(k+\frac{1}{2})^2\pi^2{t}}\cos(k+\frac{1}{2})\pi{x},k=0,1,2,{\cdots} $$作无穷级数$$ u(x,t)=\sum^{\infty}_{k=0}c_ke^{-(k+\frac{1}{2})^2\pi^2{t}}\cos(k+\frac{1}{2})\pi{x} $$代入初始条件，得到$$ \sum^{\infty}_{k=0}c_k\cos(k+\frac{1}{2})\pi{x}=\cos{\frac{3}{2}}\pi{x} $$于是$c_0=0,c_1=1,c_2=c_3={\cdots}=0$。所以解为$$ u(x,t)=e^{-\frac{9}{4}\pi^2{t}}\cos{\frac{3}{2}}\pi{x} $$
三维波动方程的泊松公式首先我们直接给出泊松公式：$$ u(x,y,z,t)=\frac{\partial}{\partial{t}}(\frac{1}{4\pi{a}^2t})\iint_{S_{at}(M)}\varphi{dS}+\frac{1}{4\pi{a^2}t}\iint_{S_{at}(M)}\psi{d}S $$我们直接解习题好吧：$$ u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}) $$的柯西问题：$$ \begin{cases} u|_{t=0}=x^3+y^2z\\ u_t|_{t=0}=0 \end{cases} $$解：由泊松公式$$ u=\frac{\partial}{\partial{t}}\frac{1}{4\pi{a}}\iint_{S_{at}(M)}\frac{\phi}{r}dS+\frac{1}{4{\pi}a}\iint_{S_{at}(M)}\frac{\psi}{r}dS $$现在$\psi=0,\phi=x^3+y^2z$。且$$ \iint_{S_{at}(M)}\frac{\phi}{r}dS=\int^{\pi}_0\int^{2\pi}_0\phi(r,\theta,\varphi)r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi}|_{r=at} $$其中$$ \begin{aligned} \phi(r,\theta,\varphi)=&\phi(x+r\sin{\theta}\cos{\varphi},y+r\sin{\theta}\sin{\varphi},z+r\cos{\theta})\\ =&(x+r\sin{\theta}\cos{\varphi})^3+(y+\sin{\theta}\sin{\varphi})^2(z+r\cos{\theta})\\ =&x^3+y^2z+3x^2r\sin{\theta}\cos{\varphi}+3xr^2\sin^2{\theta}\cos^2{\varphi}+r^2r\sin^3{\theta}\cos^3{\varphi}\\ +&2yzr\sin{\theta}\sin{\varphi}+rz\sin^2{\theta}\sin^2{\varphi}+y^2r\cos{\theta}+2yr^2\sin{\theta}\cos{\theta}\sin{\varphi}+r^3r\sin{\theta}\sin^2{\varphi}\cos{\theta} \end{aligned} $$计算：$$ \int^{\pi}_0\int^{2\pi}_0\phi(r,\theta,\varphi)r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi} $$$$ \begin{aligned} \int^{\pi}_0\int^{2\pi}_0(x^3+y^2z)r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi}=&r(x^3+y^2z){\cdot}2\pi(-\cos{\theta})^{\pi}_0\\ =&4\pi{r}(x^3+y^2z) \end{aligned} $$$$ \int^{\pi}_0\int^{2\pi}_03x^2r\sin{\theta}\cos{\varphi}{\cdot}rsin{\theta}d{\theta}d{\varphi}=3x^2r^2\int^{\pi}_0\sin^2{\theta}d{\theta}\int^{2\pi}_0\cos{\varphi}d{\varphi}=0 $$$$ \int^{\pi}_0\int^{2\pi}_03xr^2\sin^2{\theta}\cos^2{\varphi}{\cdot}r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi}=3xr^3\int^{\pi}_0\sin^3{\theta}d{\theta}\int^{2\pi}_0\cos^2{\varphi}d{\varphi}\\ =3xr^3[\frac{1}{3}\cos^2{\theta}-\cos{\theta}]^{\pi}_0{\cdot}[\frac{\phi}{2}+\frac{1}{4}\sin{2\phi}]^{2\pi}_0\\ =4xr^3\pi\int^{\pi}_0\int^{2\pi}_0r^3\sin{\theta}\cos^3{\varphi}{\cdot}rsin{\theta}d{\theta}d{\varphi}\\ =r^4\int^{\pi}_0\sin^4{\theta}d{\theta}\int^{2\pi}_0\cos^3{\varphi}d{\varphi}=4\pi{r}^3\\ $$$$ \int^{\pi}_0\int^{2\pi}_02yzr\sin{\theta}\sin{\varphi}{\cdot}r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi}=2yzr^2\int^{\pi}_0\sin^2{\theta}d{\theta}\int^{2\pi}_0\sin{\varphi}d{\varphi}=0 $$$$ \int^{\pi}_0\int^{2\pi}_0r^2z\sin^2{\theta}\sin^2{\varphi}{\cdot}r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi}=rz\int^{\pi}_0\sin^3{\theta}d{\theta}\int^{2\pi}_0\sin^2{\varphi}d{\varphi}\\=r^3z[\frac{1}{3}\cos^3{\theta}-\cos{\theta}]^{\pi}_0{\cdot}[\frac{\varphi}{2}-\frac{1}{4}\sin{2\varphi}]^{2\pi}_0=\frac{4}{3}\pi{r}^3z $$$$ \int^{\pi}_0\int^{2\pi}y^2r\cos{\theta}{\cdot}r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi}=y^2r^2\int^{\pi}_0\cos{\theta}\sin{\theta}d{\theta}\int^{2\pi}_0d{\varphi}=0 $$$$ \int^{\pi}_0\int^{2\pi}_02yr^2\sin{\theta}\cos{\theta}\sin{\varphi}{\cdot}r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi}=2yr^3\int^{\pi}_0\sin^2{\theta}\cos{\theta}d{\theta}\int^{2\pi}_{0}\sin\varphi{d}{\varphi}=0 $$$$ \int^{\pi}_0\int^{2\pi}_0r^3\sin^2{\theta}\sin^2{\varphi}\cos{\theta}{\cdot}r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi}=r^4\int^{\pi}_0\sin^3{\theta}\cos{\theta}d{\theta}\int^{2\pi}_0\sin^2{\varphi}d{\varphi}=0 $$$$ \iint_{S_{at}(M)}\frac{\phi}{r}dS=[4\pi{r}(x^2+y^2z)+4\pi{r}^3+\frac{4}{3}\pi{r}^3z]_{r=at}\\=4\pi{at}[x^2+y^2z+xa^2t^2+\frac{1}{3}a^2t^2z] $$$$ u(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial{t}}\frac{1}{4\pi{a}}\iint_{S_{at}(M)}\frac{\phi}{r}dS=\frac{\partial}{\partial{t}}[tx^3+ty^2z+xa^2t^3+\frac{1}{3}a^2t^2z]\\ =x^3+y^2z+3a^2t^2x+a^2t^2z $$二维波动方程的泊松公式$$ \begin{aligned} u(x,y,z,t)=&u(M,t)\\ =&\frac{1}{2{\pi}a}\left[\frac{\partial}{\partial{t}}\iint_{\sum^M_{at}}\frac{\varphi(\xi,\eta)d{\xi}d{\eta}}{\sqrt{(at)^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}}\right]+\iint_{\sum^M_{at}}\frac{\psi(\xi,\eta)d{\xi}d{\eta}}{\sqrt{(at)^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}}\\ =&\frac{1}{2\pi{a}}[\frac{\partial}{\partial{t}}\int^{at}_0\int^{2\pi}_0\frac{\varphi(x+r\cos{\theta},y+r\sin{\theta})}{\sqrt{(at)^2-r^2}}rd{\theta}dr+\int^{at}_{0}\int^{2\pi}_0\frac{\psi(x+r\cos{\theta},y+r\sin{\theta})}{\sqrt{(at)^2-r^2}}rd{\theta}dr] \end{aligned} $$