我的java开发测试 - 默认分类
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description: 只是一个默认分类
items: 不爱了，然后呢？
items: 我们为什么不爱了
items: OpenResty、Tengine、Nginx使用
items: 无锡之旅3
items: 扬州之旅3
items: 复分析考试内容
items: 格林函数
items: 能量积分法证明唯一性和稳定性
items: 分离变量法
items: 三维波动方程的泊松公式

不爱了，然后呢？
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date: 2026-07-19T17:02:48+08:00
description: 这个板块主要提及的是自我重建，自我修复的部分。羞耻感一个人不被看见、不被接纳、不被爱会产生羞耻感。羞耻感是指：当个体意识到自己的行为、想法或自身特征违反了社会公认的道德准则、价值观，或是没达到自己内心期望的标准时，所产生的一种痛苦、难堪、甚至贬低自我的感受。与羞愧不一样，羞耻关乎“我是谁”这个问题，是做人的失败；而羞愧关乎“我做了什么”，是做事的失败。羞耻感会在亲密关系中出现，是因为权力不对等，强势方对弱势方的审视和排斥，通常是先有结论，再寻找或者杜撰各种证据和标准。强势方不断羞辱弱势方获得权力，弱势方害怕被伤害、被抛弃，就主动放弃自己的权益，竭力讨好强势方，试图获取强势方的“肯定”、“支持”或“恩宠”。羞耻感会让人产生回避型为和掩饰情绪：回避行为包括了回避他人和回避自我这两个方向，前者让人主动孤立自己，后者让人陷入各种成瘾行为。掩饰情绪则包括了攻击他人和攻击自我这两个方向，前者增加关系冲突，后者让人陷入抑郁。比如别人的感受和诉求永远是第一位的，自己总是可有可无的靠后。超越羞耻感要敢于直面它，对改变保持耐心，主动去面对羞耻感，重新修剪自己；用优势视角看待自己，意识到自身的清醒和勇气，主动发挥自己的优势；借助人际环境的力量，在与人的互动中，不要接近那些指责你不行，否定你的成就，将成就归因于运气，甚至要让你把信任全数建立在他身上的人。超越羞耻感就要一点点做自我尊重的事情，培养自己的高自尊。自尊作为名词时，是指的我们对自己自我价值的和能力的感觉，高自尊是指我们觉得自己是有价值的、有能力的、值得被爱的。而自尊作为动词时，是指我们对自己的尊重和喜欢，是觉得自己值得拥有想要的生活，也能用行动来争取这样的生活。在超越羞耻感时，要寻求帮助，自我挑战羞耻感，不要去相信别人合理化后的行为，要看到本质，不然羞耻感就会作为一种控制手段被利用。如果因为羞耻感，而无法在亲密关系中做真实的自己，那么就会给自己、伴侣和关系都带来困扰。培养自我需要树立信念，找到这份信念的来源和喂养这份信念的人、事、物，然后切断供养、消除不合理的信念，培养有利于自我的信念。只有当我们直面放下对”被爱“的幻想时，我们才会获得更多的改变力量。在这个过程中或许会遭受到很多挫折，因为当我们设定目标，并全力以赴时，其实这是一次冒险，冒险就意味着可能会失败，直面冒险带来的失败可能，和面对失败时的坚持，恰恰也是我们赢得自我尊重的最好的机会。成功超越羞耻感的标志是：不再用”是否足够成功、足够优秀“和”是否符合他人期待和外界的标准“来定义自我价值，而是纯粹能够因为”我存在“而感到安稳和喜悦。允许自己真实、允许自己不完美、允许自己偶尔笨拙和犯错，坚信真实的自己值得被爱和尊重。当下的社会环境对弱势群体并不友好，因为环境本身就在源源不断地催生羞耻感，环境告诉你”是因为你不好，所以你才得不到你想要的“，或者是”因为你不好，所以我才不给你你想要的“，但是很多时候，事实并非如此。我们无法在短时间内改变大环境，但是可以从对自己、对身边人更包容、更友善开始，努力塑造更好的环境——主动参与创造理想中的环境，这也是一种对羞耻感的超越。冲突冲突换个角度上来讲，其实是”爱正在存在“的迹象，也是”爱可以发展“的契机。因为在亲密关系中，冲突正是双方在争夺做自我的权力和空间。当一个人爱自己，就会更有勇气为了自己的权益面对冲突。当两个人都确信彼此相爱着，两个人也都会更有勇气直面冲突，因为双方知道这并不会立刻导致关系破裂，其实和爱是一种能力一样，冲突也是一种能力。好的冲突是双方表达真实想法和需求、增进彼此了解、改善关系质量的机会。一些人正是因为重视关系，希望通过解决问题来让关系更好、更稳固，于是主动挑起了冲突。很多时候，糟糕的并不是冲突本身，而是冲突发生时双方的处理方式。如果有更多的倾听和合作，那么就有机会共赢。即便有一方退让、做出了牺牲，彼此也有机会用新的事情弥补另一方，让感恩和公平得以在关系中存在。亲密关系中冲突的定义是指：当个体的动机、目标、信念、观点和行为妨碍别人或与别人矛盾，就会发生人机冲突。冲突产生于差异，既可能表现为一时的情绪，也可能表现为持久的信念和人格。对亲密关系的想法也会产生冲突，例如当对方有强烈的完美主义倾向，以理性和体面作为表现；而另一方觉得亲密关系是时刻和谐的，以感性和灵活作为表现；两者的差异就会产生冲突。不爱了确实会导致更多的冲突，因为不爱所以只想要自私地做自己，当两个人都这样，差异必然导致冲突。但是冲突本身不一定会导致不爱了，很多时候是破化性冲突中地指责和攻击扩大了关系的裂缝——比如“别烦了”这就是指责，遭受指责的一方既可能感觉自己不再被爱了，也可能在认同指责时的内容后变得“不爱自己”了，于是，不仅关系中的爱在消失，对自己的爱也在消失。指责是为了避责和控制，常见的有“你太敏感了”，这些指责隐藏着因果…

我们为什么不爱了
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date: 2026-07-19T17:02:11+08:00
description: 《曹雪敏》的这本书很值得一品，很多视角都在引领我们从现代角度，贯穿原生家庭、性别偏见、权力关系这几个不同视角，从社会、父母到两性，诠释了为什么爱情变得困难，怎么样爱自己。正如作者所说：所有关系的背后，都是我们与自己的关系，先让自己成为发光的人，再考虑要不要投入一段感情。不爱了，正在成为一种时代情绪统计数据呈现出来的“不爱了”可能是一种主动的选择，是人自由意志的体现，不再盲目踏入爱情的陷阱，不再盲从“人生就要结婚生小孩”这样的传统剧本，这无疑是一种进步。原生家庭为什么我们不爱了，因为爱的主体是人，一个人的童年经历会影响他成年后的自尊、风险感知、择偶策略、养育后代的风格等。情感创伤：就是我们经历过的但是还没有释怀的失望与绝望。创伤会让人丧失对未来的想象力和创造力，使得大脑自动关闭了对其他可能性的想象和探索。如果以扭曲的自我概念和解释方式来理解自己和世界，以伤害性的模式和他人、和这个世界发生互动，那么创伤带来的影响是深远的。个人边界被侵犯，会破坏一个人的“公正世界假设”——不再认为世界是可预测的、可信任的，对世界没有安全感，就容易丧失好奇心和探索的勇气。而贫穷会放大所有危险因素带来的影响。如何改变这种状态：不再扮演受害者的角色，愿意自我负责。自我负责不是把一切结果都归于自己，也不是“只靠自己”来孤立地寻求改变，而是分离课题后，专注于自己的课题和目标。找到你的自由：分辨可以改变的和不能改变的，接纳改变不了的，改变可以改变的。模仿——要知道好的相处方式是怎么样的，并且勤加练习。接纳自己在成长过程中地反复，做好迎接挑战甚至痛苦的准备。改变不一定会让你收获大团圆结局，所以还要拥抱开放的结局。有时候，一段关系中如果的确没有爱，也的确没有爱的意愿和爱的能力，那么“不爱了”反而是“爱自己”的选择，“爱自己”才是每个人无论如何都要追求的过程和结局。性别偏见性别偏见：指的是基于性别的刻板印象和不公平对待，不仅是个人的观点或态度，更是根植于文化、传统、社会结构和制度之中的系统性问题。在性别偏见下，男性对女性的“爱”的体验和行为，也许只是一种情绪、一种冲突或者是一种策略；反之亦然，女性对男性的“爱”，或许是男性的外在、霸道、财富和地位等。当人看到对方的真实性，知道对方的伪装、自私、卑劣和怯懦之后，可能会打破爱情的滤镜，这正是这个时代单身人士正在经历的觉醒，而女性尤为强烈，因为其受到的压迫更现实。女性在原生家庭中感受不到爱与尊重，忽视对未来的长期规划，忙于照顾他人，而且受到母父的控制，重复其人生。而逃离原生家庭之后，在与男性的交往中，很可能只是进入了男性剥削女性的另一个环境。不少男性在“爱情”中其实一直在自私地权衡利弊，当然女性也有可能有，不过追求的结果不同。因为男性在社会环境中容易形成固定性思维，只愿意待在被认可地舒适圈中，往往害怕挑战，遇到问题选择逃避，甚至把质疑当成挑衅，倒打一耙。其实婚姻和爱情是分离的，婚姻本质上是法律制度和契约，两个人结婚，是自愿接受制度赋予地权益和责任，是个人和国家制度的合作，也是国家制度对个人的管控，整个婚姻法中没有一条关于爱情的条例。婚姻和爱情是两回事，爱情是个人意志，是自由的；而婚姻是现实，也是法律和社会关系，有相应的限制、规则和功能。爱是关系的动力和目标之一，但不是必须的。现实生活中的关系相处需要至少不冲突的关系目标、相应的能力和人格基础，这些反而是必须的。婚姻从进化心理学角度来看，其实一直是统治者更需要婚姻，因为这能稳定社群，这点与费孝通的《生育制度》有所契同。而这些目的没有一项和爱情相关。女性的心理问题，来源于实际体验到的痛苦和文化引导的“爱情带来幸福”的故事不一样；而男性，则是因为实际体验到的挫折，和一直被告知的“男性天赋异禀、无所不能”的故事不一样。婚姻不见得带来幸福，很多时候只是上位者的利益诉求罢了。人最终都要直面人性，靠自己积累权力、武器和钱，用它们来管理人性，赢得自由和幸福。但是是否就对婚恋完全失望呢？不见得，因为人终会走向死亡，在死亡这一终极的孤独和毁灭面前，爱与被爱始终是救赎。不平等问题的背后其实都是在涉及权力关系，而权力和偏见一样，都是爱的敌人。权力关系权力——一种可以自己执行后无需考量他者想法与感受的特殊能力。当关系变成了权力取向的关系时，则全是由高位者的意志来决定关系的发展，我们常说的共识、尊重、理解、沟通和欣赏，通常都发生在平等取向的亲密关系中。而权力取向的亲密关系中，控制和支配是主要的底色。高位者会持续改变低位者的思想和行为来满足自己，同时抵抗低位者施加的任何带有企图的影响，让低位者觉得不公平又无力。如果从政治角度思考，那么就是：人会致力于去做对自己有利的事情，而不是对他人有利的事情。也就是对方不会关注你的利益，换句话说：如果他怎么对你，你都不会离开，甚至会继续对他好，那么他为什么要用行动爱你…

OpenResty、Tengine、Nginx使用
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date: 2025-09-18T11:33:13+08:00
description: OpenResty、Tengine、NginxOpenResty官网地址：https://openresty.org/cn/OpenResty® 是一个基于 Nginx 与 Lua 的高性能 Web 平台，其内部集成了大量精良的 Lua 库、第三方模块以及大多数的依赖项。用于方便地搭建能够处理超高并发、扩展性极高的动态 Web 应用、Web 服务和动态网关。OpenResty® 通过汇聚各种设计精良的 Nginx 模块（主要由 OpenResty 团队自主开发），从而将 Nginx 有效地变成一个强大的通用 Web 应用平台。这样，Web 开发人员和系统工程师可以使用 Lua 脚本语言调动 Nginx 支持的各种 C 以及 Lua 模块，快速构造出足以胜任 10K 乃至 1000K 以上单机并发连接的高性能 Web 应用系统。OpenResty® 的目标是让你的Web服务直接跑在 Nginx 服务内部，充分利用 Nginx 的非阻塞 I/O 模型，不仅仅对 HTTP 客户端请求,甚至于对远程后端诸如 MySQL、PostgreSQL、Memcached 以及 Redis 等都进行一致的高性能响应OpenResty其实就是一个基于Nginx的Web平台，但它最牛的地方在于集成了LuaJIT和很多精心编写的Lua库。简单来说，就是让你可以在Nginx里面写Lua代码，这听起来可能没什么，但用过的人都知道这有多香。比如，你产品经理突然要求在用户访问某个页面时，根据用户的地理位置显示不同的内容。如果用传统的方式，要么改后端代码重新发布，要么搭建一套复杂的CDN规则。但用OpenResty，我直接在nginx.conf里写了几行Lua代码就搞定了：location /api/content { access_by_lua_block { local ip = ngx.var.remote_addr local geo = require "resty.geoip" local country = geo.lookup(ip) if country == "CN" then ngx.var.backend = "china_backend" else ngx.var.backend = "global_backend" end } proxy_pass http://$backend; }这种灵活性是原生Nginx根本做不到的。你想想，如果每次这种小需求都要动用整个开发流程，那得多麻烦。OpenResty的安装也很简单，在Rocky Linux release 8.10上直接用yum就行：sudo yum install yum-utils sudo yum-config-manager --add-repo https://openresty.org/package/centos/openresty.repo sudo yum install openresty装完之后，你会发现它的目录结构和Nginx差不多，配置文件还是在/usr/local/openresty/nginx/conf/nginx.conf。但是多了很多Lua相关的模块，比如lua-resty-redis、lua-resty-mysql这些，基本上常用的都给你准备好了。#这是我修改后的文件 [root@webtest ~]# cat /usr/local/openresty/nginx/conf/nginx.conf worker_processes 1; error_log logs/error.log; events { worker_connections 1024; } http { server { listen 8080; location / { default_type text/html; content_by_lua_block { ngx.say(" hello, world ") } } } }Tengine官网：https://tengine.taobao.org/Tengine是阿里巴巴开源的Web服务器，基于Nginx开发。说到阿里的技术，那肯定是在高并发场景下被虐过千百遍才开源出来的，所以在性能和稳定性方面确实有两把刷子。安装官网下载编译安装包，上传到服务器[root@webtest ~]# tar -xf tengine-3.1.0.tar.gz [root@webtest ~]# cd tengine-3.1.0 [root@webtest ~]# ./configure [root@webtest ~]# make [root@webtest ~]# make installTengine最让我印象深刻的是它的动态模块加载功能。以前…

无锡之旅3
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date: 2024-08-30T15:29:40+08:00
description: 无锡之旅Day3今天发烧已经基本上好了，预告一下今天会去五个景点：惠山古镇、蠡园、鼋头渚、崇安寺和钱钟书旧宅。惠山古镇因为台风已经席卷过武汉，江苏地带不可避免也会受到影响，当然如果是昨天出行会更好，但是其实昨天我的身体还是一个不太舒适的状态，所以今天很尴尬的就遇到某些遗憾。因为今天是阵雨和江面大风的天气情况。惠山古镇和大多数地区的古镇基本类似，当然这里会有更多名人的古建筑，其余的部分也是比较商业化的。清朝皇帝好像真的很喜欢南巡诶。远处是惠山山顶，这个时候是打算爬上去看看的，但是后续由于天气影响，其实就没能上去，而且缆车也停运了（哭）左右两侧分别刻字，左侧为“万恶淫为首”，右侧为“百善孝先行”范仲淹的祖宅就在这里。为了吸引游客，还在这里做了一些定时喷干冰的人造盆景。锡惠胜境抵达消费地点，外面的景点是不需要园林套票的，锡惠胜境则是需要的，包括了一些古迹和上山的门票，我买的年票，所以这部分能进来。惠山寺如果七月中旬到的话，还有睡莲展，目前已经误了时节了，不过还是有人在拍睡莲。皇帝真的很喜欢题字，基本上每个景点都有皇帝御赐的碑文。碑文是写寄畅园的，待会就去寄畅园看看。惠山寺的伴生树，已有百年以上的历史。天下第二泉因二泉映月出名的天下第二泉，当然现在这些都是不能直接拿来喝的了，而且被关起来了。池水也比较干净，不过接下来下雨天就不知道了。江苏很多景点都有这个石碑，印心石，是陶澍传奇人生的象征，因被道光帝召见，道光帝在得知陶澍家乡有一方神奇的“印心石”，以及陶澍幼年在“印心石屋”读书的往事后，道光欣然命笔，为他题写“印心石屋”四个大字。回到江宁（南京）后，陶澍将“印心石屋”四字摩刻于家乡御书崖，并在全国各风景名胜地立碑。寄畅园接下来带大家游览寄畅园，这是人造的景观，也是以小见大，通过一些布置和盆景来设计，从而迎合皇帝喜欢的一座园林，并与南京瞻园、苏州留园、拙政园成为了“江南四大名园”。康熙题“山色溪光”、乾隆题“玉戛金枞”，两帝在1684至1784 的100年里，先后六下江南，七次驾临惠山。还有风景园林的老教授带学生过来学习相关的园林设计，学生做一些实地采访和录制。此处风景异常好看，大家可以观赏一下。这里讲的是庄子的故事，子非鱼安知鱼之乐？二泉书院惠山这个时候我已经准备好打算上山了。登山口上去就是二泉音乐广场，这里有二泉映月阿炳墓。很可惜，爬到半山腰已经可以看到缆车停运了，这下子爬山的想法瞬间打消了一半。这里突然下雨了，当然我没有拍下雨景，赶紧顺着映山湖跑下来。出古镇这里可以看到寄畅园的后门，当然此路不通，是不会开的。肚子饿了，早上就在古镇买了个梅花糕吃，搞一块鸭腿。地铁阿炳印象画这个站台有阿炳的一些印象画和设计，都是现代艺术加工的，当然也有艺术家在这里拍摄。蠡园接下来我赶去看西施传说所在的蠡园。可以坐地铁到最近的站台，然后再走1公里左右，但是其实这个时候雨已经开始不断下了。这下可以看到下雨的雨景了可惜来的不是时候，这个时节真的没有荷花。主要讲了西施的出生，到赵王吴王夫差的历史，最后和范蠡隐居的历史。这里其实平常有出湖的游船的，但是今天台风警告，所以全部停船了。没有点这个吃，因为大厨不知道跑哪里去了，残念，但是下雨天嘛，也可以理解。接下来公交前往太湖鼋头渚，为了快速抵达我选择了乐游线。鼋头渚残念来了，由于台风影响，游船停航了，啊啊啊啊啊，我的套票是包了游船的啊。收拾一下心情，继续前行，来都来了。鼋头渚更像是一个森林公园这样子，分为了好几块，不建议步行，因为实在很大，建议可以坐园内公交，当然我的套票是包了公交的。时节不对，反正也看不了樱花，嘛，能看樱花的时候还在上班呢。真是——樱花谷里没樱花，荷花池里没荷花。甚至还没有游船！鼋头渚还要再往里面走，才可以到。自拍一张，纪念没有游船的一天。啊啊啊啊啊啊，去不了对岸的太湖仙岛，原本还打算在这里待到下午再回去的。溜了溜了，下面去崇安寺，其实是坐落在中心街区的一个小寺庙。崇安寺崇安寺，始建于1905年的公花园是中国最早期的公园对公众免费开放的公园，誉为华夏第一公园，有方塘书院、池上草堂、绣衣拜石、草堂话旧、松崖挹翠、白水试泉、兰移听琴、樱丛鸟语等24景。市因寺兴、园因街荣、商繁华的无锡誉为“小上海”，崇安寺以其独特的风格和魅力，成为与上海城隍庙、南京夫子庙、苏州玄妙观齐名的江南四大特色街区。（上海城隍庙去过了，南京夫子庙，苏州玄妙观也都去过了，所以崇安寺也必须来一下）钱钟书纪念馆查了一下距离钱钟书纪念馆还比较近，所以直接步行前往。狗狗见到我很开心，把肚皮都翻过来了，好像很想邀请我和它玩，不过我拒绝了。晚餐胃口大开，当然可能和我今天跑的景点很多有关系，但是突然很想吃太湖三白，可惜找到的私房菜并不开门。那么最后只能去商场里面点太湖三白了，没想到双人套餐一个人可以吃完。其实还少了太湖银鱼，只吃了太湖白鱼、太湖…

扬州之旅3
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date: 2024-08-28T20:24:00+08:00
description: 扬州之旅—Day3观前提示：今天主要逛园林——何园、个园，因为需要烘干衣服，所以今天选择更换了酒店，大量的时间在酒店中做衣服的清洗和烘干了，所以不会像Day2那么丰富。出发！依旧是荷花池酒店，冲冲冲！由于昨天吃撑了，今天选择陈永春吃早餐，三丁包+阳春面+冰镇豆乳奶茶。阳春面筋道弹性很强，不过汤底会加胡椒，每天都吃的话小心喉咙哦~荷花池公园吃完就逛逛荷花池了，既然是荷花池公园有一大片的荷花。吃完才发现池中心有富春茶社，也可以到这里喝早茶的，不过今天就不去了。去何园路上去何园还是建议打车，因为不太熟悉这边的公交系统，当地人都是直接防晒服出门的，太热啦！！！！！（为我后面的中暑埋下了伏笔）由于今天是周一，博物馆都不开门何园何园，又名”寄啸山庄“，是一处始建于清代中期的中国古典园林建筑，被誉为“晚清第一园“，面积1.4万余平方米，建筑面积7000余平方米。何园由清光绪年间何芷舠所造，片石山房则是石涛大师叠山作品。（当然也是上错花轿嫁对郎拍摄的场景）园林卡和其他人的准入方式有不同，建议直接找门口的核验人员刷二维码进入。寄啸山庄接下来都是园林景造，长图警告。二楼何园有两层，可以登高俯瞰一楼二楼是以前何园主人居住的相关场所又回一楼有个月亮门比较有趣，可以看看片石山房撤了撤了。皮市街因为何园离皮市街很近，虽然类似北京路的场景去的比较多了，但是来都来了，不是嘛哈哈哈在皮市街有一家糖水店，比较广式，因为早上吃了阳春面，然后又暴晒的天气，其实已经快开始中暑了，于是我点了份糖水消消暑。琼花观这个时候是应该前往个园了，因为不是很饿，所以打算公交过去，没想到意外碰到了琼花观可以看看。琼花观是收费景点来的，而且不在园林卡范围内。个园从何园直接前往个园的话，公交是没法直接到达的，所以还需要步行前往。暴热，继续点一杯奶茶补充水分。（尝试当地特色）个园坐落在东关街，也就是我Day1晚上到达的地方，大家可以看看早上的东关街，其实就没什么人。个园宅子个园是清代扬州盐商宅邸私家园林，以遍植青竹而名，以春夏秋冬四季假山而胜。其实个园更多的是两层，内部作为一个大宅子，前面是一个园林。每个堂之间都会隔着一个露天小院子。园林景观个园更多的是一些假山丛，配合了四时四季的绿植，让一年四季都有不同的景观，大家来感受一下夏季的景色吧。这里可以顺着假山上去，然后俯瞰再来一张回酒店因为天气实在太热，实在受不了，从东关街走回酒店休息了。东关街其实蛮多很有历史的旧址，但是都不开放，在这里我找了江泽民旧居，可惜也不开放。纪念一下有时会溜走的店主。小故事中午回去路上很渴，想买点饮料喝。碰到了精酿啤酒屋，走进去发现没有店主，全是城管，见到我进来一下子全站起来了，吓得我~小心翼翼关上门然后撤退，看了看城管们手里的蜜雪冰城，于是我倒退回去买了杯蜜雪冰城。晚餐！猪腰枸杞汤（绝了，又放了胡椒，我怀疑扬州人非常喜欢胡椒），点了份拌面和水晶肴肉。其实就是边缘有冻好的啫喱，蘸着醋和生姜丝的吃法倒是第一次感受。由于中午没有吃东西，晚上还吃了趟烧烤，哦！江苏地带，目前已知的是——上海和扬州是有夜生活的哈哈哈，苏州很早就关门了，完全没有办法吃夜宵的城市。好啦，今天就到这里结束啦！明天是从扬州到无锡的换乘，敬请期待哟~

复分析考试内容
type: item
date: 2020-06-28T16:25:00+08:00
description: 复分析期末考试1 全纯函数幂级数性质设$f(z)=\sum^{\infty}_{n=0}a_nz^n$是$D(0,1)$上的有界全纯函数，证明：$\sum^{\infty}_{n=0}a_n^2$绝对收敛且$\lim_{n{\to}\infty}a_n=0$。提示：利用定理10.22解：由于$f$在$D(0;1)$内全纯，于是可以推出$f(z)=\sum^{\infty}_{n=0}a_nz^n,z{\in}D(0;1)$，并且利用定理10.22，我们知道对于${\forall}0{\le}r<1$，有$$ \sum^{\infty}_{n=0}|a_n|^2r^{2n}=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}|f(re^{i\theta})|^2d{\theta} $$由于$f$在$D(0;1)$内有界，于是推出${\exists}M>0,{\forall}z{\in}D(0;1)$，有$|f(z)|{\le}M$。于是我们得到$$ \begin{aligned} \sum^{\infty}_{n=0}|a_n|^2r^{2n}=&\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}|f(re^{t\theta})|^2d{\theta}\\ {\le}&\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}M^2d{\theta}=M^2 \end{aligned} $$于是对于${\forall}N{\in}N_{+}$有$$ \sum^N_{n=0}|a_n|^2r^{2n}{\le}M^2 $$令$r{\to}1^{-}$于是得到$\sum^N_{n=0}|a_n|^2{\le}M^2$。于是得到正项级数$\sum^{\infty}_{n=0}|a_n|^2$的部分和$\left\{\sum^N_{n=0}|a_n|\right\}$有上界。于是知道$\sum^{\infty}_{n=0}|a_n|^2$收敛，由级数收敛的必要条件，可以知道$$ |a_n|^2{\to}0{\Rightarrow}a_n{\to}0 $$思路：实际上是通过全纯转化为幂级数，然后通过定理10.22导出有界性，从而级数有界必然收敛，从而由收敛级数必要条件导出其通项趋于0。2 整函数与复平面设$f(z)$为整函数，且$\lim_{z{\to}\infty}f(z)=\infty$，证明：$f(C)=C$。若$f(z)=e^z$，结论是否成立？这里$C$表示复平面，$f(C)$表示值域。提示：用反证法和刘维尔定理证明：反证法：假设$f(C){\neq}C$，则${\exists}w_0{\in}\mathbb{C}$，使得$w_0{\not\in}f(C)$。于是推出对于${\forall}z{\in}\mathbb{C}$，有$f(z){\neq}w_0$。令$g(z)=\frac{1}{f(z)-w_0}$，则$g(z)$为整函数。且$\lim_{z{\to}\infty}g(z)=0$，由于$\lim_{z{\to}\infty}g(z)=0$，由函数极限的意义：也即对于$\varepsilon_0=1,{\exists}R>0$，当$|z|>R$时，有$$ |g(z)-0|<1 $$又因为$g(z)$在$\mathbb{C}$上全纯，于是在$\mathbb{C}$上连续，从而在有界闭区域$|z|{\le}R$上连续。由闭区域连续函数性质则知道$g$在$|z|{\le}R$上有界。于是${\exists}M>0$，使得对于${\forall}|z|{\le}R$，有$|g(z)|{\le}M$。于是推出对于${\forall}z{\in}\mathbb{C}$，有$|g(z)|{\le}M+1$，于是知道$g$为有界整函数，由刘维尔定理知道$g$是常数。于是知道$f$是常数，但是这时候因为$\lim_{z{\to}\infty}f(z)=\infty$，知道$f$又不是常数，于是导出矛盾。于是原假设不成立，也即$f(C)=C$。由于$f(z)=e^z$是整函数，但是$\lim_{z{\to}\infty}f(z)$不存在，于是不满足题设条件。又因为$e^z{\neq}0$，于是$f(C){\neq}C$。因为如果$e^z=0$，则$e^ze^{-z}=e^0=1$则产生矛盾。思路：反证法，直接可以得到一个不存在的函数值，然后导出一个整函数其极限为0，从而全纯导出连续性，由闭区间连续函数性质导出有界性，再由刘维尔定理知道其为常数，但是这与题设条件矛盾。3 全纯函数满足条件的表示形式设$f$在$D(0,1)$全纯且满足$f(\frac{1}{n})=f^n(\frac{1}{n}),(n=1,2,{…

格林函数
type: item
date: 2020-06-27T20:58:05+08:00
description: 格林函数关于二维的情况求解圆域的第一边值问题。解：对于二维的情形，可以类似定义格林函数：$$ G(P,P_0)=\frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{r(P,P_0)}-g(P,P_0) $$其中$g$为在区域$\Omega$内的调和函数，在边界上使得$G(P,P_0)=0$。与$$ u(P_0)=-\iint_{\partial{\Omega}}f(P)\frac{\partial{G}(P,P_0)}{{\partial}n}dS_p $$相对应的第一边值问题的解的表达式为：$$ u(P_0)=-\int_{\partial{\Omega}}f(P)\frac{\partial{G}(P,P_0)}{{\partial}n}dS_p,(P_0{\in}\Omega) $$当$\Omega$为以$A$为中心，$R$为半径的圆时，与球的情形类似，应用对称镜像点，可以得到圆的格林公式为：$$ G(P,P_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln{\frac{1}{r(P,P_0)}-\ln{\frac{R}{\rho_0r(P,P_0)}}}\right] $$建立以圆心为极点的极坐标，用$(\rho_0,\theta_0)$和$(\rho,\theta)$分别表示$P_0$和$P$点的坐标，$P_1$是$P_0$关于圆的对称镜像点，于是$P_1$的坐标为$(\frac{R^2}{\rho_0},\theta_0)$，而$G(P,P_0)$用极坐标可以表示写为：$$ G(\rho,\theta,\rho_0,\theta_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\frac{1}{\sqrt{\rho^2+R^2-2R\rho_0\cos{\gamma}}}-\ln{\frac{R}{\sqrt{R^4+\rho_0^2\rho^2-2R^2\rho\rho_0\cos{\gamma}}}}\right] $$其中$\gamma$为$\overline{AP}$与$\overline{AP_0}$的夹角。$$ \cos{\gamma}=\cos{\theta_0}\cos{\theta}+\sin{\theta_0}\sin{\theta}=\cos(\theta-\theta_0) $$在圆周上$$ \frac{\partial{G}}{\partial{n}}|_{\rho=R}=\frac{\partial{G}}{\partial{\rho}}|_{\rho=R}=-\frac{R^2-\rho_0^2}{2\pi{R}\left[R^2+\rho_0^2-2R\rho_0\cos(\theta-\theta_0)\right]} $$代入$$ u(P_0)=\frac{1}{4\pi{R}}\iint_{\partial{B}}\frac{\rho_0^2-R^2}{(R^2+\rho_0^2-2R\rho_0\cos{\gamma})^{\frac{3}{2}}}f(P)dS_p $$就得到圆上的第一边值问题$$ \begin{cases} u_{xx}+u_{yy}=0\\ u=f(\theta){\quad}(x^2+y^2=R^2) \end{cases} $$的形式解的表达式：$$ u(\rho_0,\theta_0)=\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\frac{R^2-\rho_0^2}{R^2+\rho_0^2-2R\rho_0\cos({\theta-\theta_0})}f(\theta)dS_p $$这就是圆的泊松积分实例试用静电源像法导出二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题：$$ \Delta{u}=u_{xx}+u_{yy}=0,y>0\\ u|_{y=0}=f(x) $$的解。解：设$(x_0,y_0)$为区域内一点，则它关于平面$y=0$的对称点为$(x_0,y_0)$。套用二维格林函数公式：$$ G(M,M_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\frac{1}{\sqrt{\rho_0^2+\rho^2-2\rho_0\rho\cos{\gamma}}}-\ln\frac{R}{\rho_0}\frac{1}{\sqrt{\rho_1^2+\rho^2-2\rho_1\rho\cos{\gamma}}}\right] $$于是格林函数为（考虑到对称点一样）$$ G(M,M_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln{\frac{1}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}}-\ln{\frac{1}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}}\right] $$对于空间$y>0…

能量积分法证明唯一性和稳定性
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date: 2020-06-27T20:58:00+08:00
description: 能量积分法证明唯一性和稳定性双曲方程考虑定解问题解的唯一性和稳定性，多解？解是否连续依赖于定解条件的问题。对受摩擦力作用且具固定端点的有界弦振动，满足方程：$$ u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t $$其中常数$c>0$，证明其能量是减少的，并由此证明方程$$ u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t+f $$的初边值问题解的唯一性，以及关于初始条件及自由项的稳定性。证明：能量减少首先我们证明能量是减少的：能量表达式$$ E(t)=\int^l_0(u_t^2+a^2u_x^2)dx $$仅需对其关于$t$求导：随着时间的能量变化$$ \begin{aligned} \frac{dE(t)}{dt}=&\int^l_0(2u_tu_{tt}+2a^2u_xu_{xt})dx\\ =&2\int^l_0u_tu_{tt}dx+2a^2[u_xu_t]^l_0-2a^2\int^l_0u_tu_{xx}dx\\ =&2\int^l_0u_t(u_{tt}-a^2u_{xx})dx+2a^2u_xu_t|^l_0 \end{aligned} $$因为弦的两端固定，也即$u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0$，于是$$ u_t|_{x=0}=0,u_t|_{x=l}=0 $$于是$$ \begin{aligned} \frac{dE(t)}{dt}=&2\int^l_0u_t(u_{tt}-a^2u_{xx})dx\\ =&-2c\int^l_0u_t^2dx<0 \end{aligned} $$这是因为$c>0$。于是我们知道，随着$t$的增加，$E(t)$是减少的。这里利用了一个分部积分，然后再利用弦的两端固定知道其随着时间在两端的变化率为0，从而消去多余项，最后利用弦振动方程等效，于是得到结果。混合问题解的唯一性$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t+f\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}=\varphi(x),u_t|_{t=0}=\psi(x) \end{cases} $$设$u_1,u_2$为上述问题的解（反证法），令$u=u_1-u_2$，则$u$满足：$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}=0,u_t|_{t=0}=0 \end{cases} $$能量$$ E(t)=\int^l_0(u_t^2+a^2u_x^2)dx $$当$t=0$时，利用初始条件有$u_t|_{t=0}=0$，由$u|_{t=0}=0$，知道$$ u_x|_{t=0}=0 $$所以$$ E(0)=0 $$又$E(t)$是减少的，所以当$t>0$时，有$E(t){\le}E(0)=0$，又由$E(t)$的表达式知$E(t){\ge}0$。于是有$E(t)=0$。由此可以得到$u_t=0,u_x=0$，于是$u=const$。于是再由初始条件$u|_{t=0}=0$，得到$u=0$，于是$u_1=u_2$，也即混合问题解是唯一的。这个先用反证法，然后把问题转为没有非齐次项的边值问题，也即将两个解做差满足齐次方程的边值条件，然后利用初始条件推出初始能量为0，再由上面能量减少，和能量必然为正推出能量一直是0，于是用到初始条件可以知道差必然是常数，再用初始条件知道其必然为0即可。解关于初始条件的稳定性也即对于任意$\varepsilon>0$，可以找到$\eta>0$，只要初始条件之差$\varphi_1-\varphi_2,\psi_1-\psi_2$满足$$ \|\varphi_1-\varphi_2\|_{L^2}<\eta,\|\varphi_{1x}-\varphi_{2x}\|_{L^2}<\eta,\|\psi_1-\psi_2\|_{L^2}<\eta $$则始值$(\varphi_1,\psi_1)$所对应的解$u_1$，以及$(\varphi_2-\psi_2)$所对应的解$u_2$之差$u_1-u_2$满足$$ \|u_1-u_2\|_{L^2}<\varepsilon $$令$$ E_0(t)=\int^l_0u^2(x,t)dx $$$$ \frac{dE_0(t)}{dt}=2\int^l_0u{\cdot}u_tdx{\le}\int^l_0u^2dx+\int^l_{0}u_t^2dx{\le}E_0(t)+E(t) $$也即$$ \frac{d}{dt}(e^{-t}E_0(t)){\le}e^{-1}E(t) $$积分得到：$$ E_0(t){\le}e^{t}E_0(t)+e^t\int^l_0e^{-\tau}d\tau $…

分离变量法
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date: 2020-06-27T20:57:04+08:00
description: 分离变量法分离变量法也称为傅立叶法：解混合问题。考虑其次波动方程的混合问题：$$ u_{tt}-a^2u_{xx}=0,x{\in}(0,l),t>0\\ u|_{t=0}=\varphi(x),u_t|_{t=0}=\psi(x),x{\in}[0,l]\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0,t{\ge}0 $$其中$\varphi(0)=\varphi(l)=0,\psi(0)=\psi(l)=0$。假设其有分离变量解，也即$u(x,t)=X(x)T(t)$。于是带入方程可以得到：$$ X(x)T''(t)=a^2X''(x)T(t) $$此处我们通过分离变量得到：$$ \frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{a^2}\frac{T''(t)}{T(t)} $$因为等式左端仅与$x$相关，而右端又仅与$t$相关，因此存在常数$\lambda$，使得$$ \frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{a^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=-\lambda $$于是得到俩常微分方程：$$ X''(x)+\lambda{X}(x)=0\\ T''(t)+\lambda{a}^2T(t)=0 $$于是我们解两个常微分方程来定出函数$X(x)$和$T(t)$，由边界条件得到：$$ u(0,t)=X(0)T(t)=0\\ u(l,t)=X(l)T(t)=0 $$由于要求的$u(x,t)$是非零解，于是$T(t){\neq}0$，于是$X(x)$应该满足$$ X(0)=0=X(l) $$于是我们仅需解含有参数$\lambda$的二阶线性常微分方程的边值问题即可：$$ \begin{cases} X''(x)+\lambda{X}(x)=0\\ X(0)=X(l)=0 \end{cases} $$分为三种情况进行讨论：（1）当$\lambda<0$时，常微分方程的通解为：$$ X(x)=c_1e^{\sqrt{-\lambda{x}}}+c_2e^{-\sqrt{-\lambda{x}}} $$其中$c_1,c_2$是任意常数，要使它满足边界条件，仅需带入得到：$$ \begin{cases} c_1+c_2=0\\ c_1e^{\sqrt{-\lambda{l}}}+c_2e^{-\sqrt{-\lambda{l}}}=0 \end{cases} $$由于系数行列式$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ e^{\sqrt{-\lambda{l}}} & e^{-\sqrt{-\lambda{l}}} \end{vmatrix}{\neq}0 $$因此$c_1,c_2$必须同时为0，从而$X(x)$恒为0，于是特征值问题是没有非平凡解。（2）当$\lambda=0$时，通解为$$ X(x)=c_1+c_2x\\ c_1=0,c_1+c_2l=0 $$于是$c_1=c_2=0$，于是推出$X(x)=0$恒成立，于是也一样。（3）当$\lambda>0$时，方程通解为：$$ X(x)=c_1\cos{\sqrt{\lambda}}x+c_2\sin{\sqrt{\lambda}}x $$然后带入边界条件：$$ c_1=0,c_1\cos{\sqrt{\lambda}}l+c_2\sin{\sqrt{\lambda}}l=0 $$于是得到$$ c_2\sin{\sqrt{\lambda}}l=0 $$如果$c_2=0$，则$X(x)=0$，为了保证非平凡解，要求$c_2{\neq}0$，且$\sin{\sqrt{\lambda}}l=0$。也即$$ \sqrt{\lambda}=\frac{k\pi}{l} $$其中$k$是一个任意的正整数，所以仅当$\lambda$取值为$$ \lambda_k=(\frac{k\pi}{l})^2,k=1,2,{\cdots} $$时，有非平凡解，对应的特征函数为$$ X_k(x)=c_k\sin{\frac{k\pi{x}}{l}},k=1,2,{\cdots} $$其通解可以写为$$ T_k(t)=a_k\cos{\frac{k\pi{a}}{l}}t+b_k\sin{\frac{k\pi{a}}{l}}t,k=1,2,{\cdots} $$其中$a_k,b_k$为任意常数，于是对于$A_k=c_ka_k,B_K=c_kb_k$我们得到：$$ u_k(x,t)=X_k(x)T_k(t)=(A_k\cos{\frac{k\pi{a}}{l}}t+B_k\sin{\frac{k\pi{a}}{l}}t)sin{\frac{k\pi{x}}{l}} $$则满足方程和边界条件。由于方程是线性齐次的，根据叠加原理，对于任意有限个特解的线性组合也是它…

三维波动方程的泊松公式
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date: 2020-06-27T20:57:00+08:00
description: 三维波动方程的泊松公式首先我们直接给出泊松公式：$$ u(x,y,z,t)=\frac{\partial}{\partial{t}}(\frac{1}{4\pi{a}^2t})\iint_{S_{at}(M)}\varphi{dS}+\frac{1}{4\pi{a^2}t}\iint_{S_{at}(M)}\psi{d}S $$我们直接解习题好吧：$$ u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}) $$的柯西问题：$$ \begin{cases} u|_{t=0}=x^3+y^2z\\ u_t|_{t=0}=0 \end{cases} $$解：由泊松公式$$ u=\frac{\partial}{\partial{t}}\frac{1}{4\pi{a}}\iint_{S_{at}(M)}\frac{\phi}{r}dS+\frac{1}{4{\pi}a}\iint_{S_{at}(M)}\frac{\psi}{r}dS $$现在$\psi=0,\phi=x^3+y^2z$。且$$ \iint_{S_{at}(M)}\frac{\phi}{r}dS=\int^{\pi}_0\int^{2\pi}_0\phi(r,\theta,\varphi)r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi}|_{r=at} $$其中$$ \begin{aligned} \phi(r,\theta,\varphi)=&\phi(x+r\sin{\theta}\cos{\varphi},y+r\sin{\theta}\sin{\varphi},z+r\cos{\theta})\\ =&(x+r\sin{\theta}\cos{\varphi})^3+(y+\sin{\theta}\sin{\varphi})^2(z+r\cos{\theta})\\ =&x^3+y^2z+3x^2r\sin{\theta}\cos{\varphi}+3xr^2\sin^2{\theta}\cos^2{\varphi}+r^2r\sin^3{\theta}\cos^3{\varphi}\\ +&2yzr\sin{\theta}\sin{\varphi}+rz\sin^2{\theta}\sin^2{\varphi}+y^2r\cos{\theta}+2yr^2\sin{\theta}\cos{\theta}\sin{\varphi}+r^3r\sin{\theta}\sin^2{\varphi}\cos{\theta} \end{aligned} $$计算：$$ \int^{\pi}_0\int^{2\pi}_0\phi(r,\theta,\varphi)r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi} $$$$ \begin{aligned} \int^{\pi}_0\int^{2\pi}_0(x^3+y^2z)r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi}=&r(x^3+y^2z){\cdot}2\pi(-\cos{\theta})^{\pi}_0\\ =&4\pi{r}(x^3+y^2z) \end{aligned} $$$$ \int^{\pi}_0\int^{2\pi}_03x^2r\sin{\theta}\cos{\varphi}{\cdot}rsin{\theta}d{\theta}d{\varphi}=3x^2r^2\int^{\pi}_0\sin^2{\theta}d{\theta}\int^{2\pi}_0\cos{\varphi}d{\varphi}=0 $$$$ \int^{\pi}_0\int^{2\pi}_03xr^2\sin^2{\theta}\cos^2{\varphi}{\cdot}r\sin{\theta}d{\theta}d{\varphi}=3xr^3\int^{\pi}_0\sin^3{\theta}d{\theta}\int^{2\pi}_0\cos^2{\varphi}d{\varphi}\\ =3xr^3[\frac{1}{3}\cos^2{\theta}-\cos{\theta}]^{\pi}_0{\cdot}[\frac{\phi}{2}+\frac{1}{4}\sin{2\phi}]^{2\pi}_0\\ =4xr^3\pi\int^{\pi}_0\int^{2\pi}_0r^3\sin{\theta}\cos^3{\varphi}{\cdot}rsin{\theta}d{\theta}d{\varphi}\\ =r^4\int^{\pi}_0\sin^4{\theta}d{\theta}\int^{2\pi}_0\cos^3{\varphi}d{\…