我的java开发测试 - AAS
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items: 阿尔泽拉-阿斯科特（续）
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阿尔泽拉-阿斯科特（续）
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date: 2019-12-15T23:31:00+08:00
description: 思路$Arzela-Ascoli$定理条件的改变与减弱将该定理中的闭区间$[\alpha,\beta]$上的连续函数族扩展到无穷紧空间上的连续算子族，并且给出无穷紧空间上连续算子族相对紧性判断的一个充要条件，然后将定理中一致有界减弱为在一点有界，定理结论仍旧成立。该定理对有限闭区间上连续函数族相对紧性判定的一个充要条件，故该定理应用非常广泛。张恭庆的《泛函分析讲义》将闭区间$[\alpha,\beta]$推广到紧空间$K$，指出$C(K)$的子集$F$是相对紧的当且仅当$F$等度连续且一致有界。该期刊将实值连续函数推广到向量值连续算子，也就是假设$E$为紧度量空间，$X$为巴拿赫空间，$C(E,X)$表示从$E$到$X$的连续函数的全体，给出了$C(E,X)$上任一子集相对紧的充要条件，于是大大扩展了应用范围，并且对定理要求的一致有界条件可以减弱到在一点有界，从而更为扩展适用空间。预备知识1.设$(X,\rho)$为距离空间，$A$是$X$的子集，如果$A$中的任何点列必有在$X$中的收敛子列，则称$A$为紧集。2.设$(X,\rho)$是距离空间，$A$是$X$的一个子集，$B{\subseteq}A$，如果有$\varepsilon>0$，使得以$B$中各点为中心，以$\varepsilon$为半径的开球全体覆盖$A$，也就是$A{\subseteq}{\bigcup}_{x{\in}B}O(x,\varepsilon)$，则称$B$是$A$的$\varepsilon$网。如果$B$是有限集，则称$B$是$A$的有限$\varepsilon$网。3.设$(X,\rho)$为距离空间，$A$是$B$的子集。如果对于任意$\varepsilon>0$，都存在着$A$的一个有限$\varepsilon$网，则称集合$A$是完全有界的。从下面的引理可以看出，集合的相对紧性与完全有界有着重要的联系。引理1：度量空间中相对紧集必是完全有界集；在完备度量空间中，完全有界集必是相对紧集。（其实就是豪斯多夫引理），这里给出证明：必要性：反证法！若$\exists{\varepsilon_0}>0,M$中没有有限的$\varepsilon_0$网。任取$x_1{\in}M,{\exists}x_2{\in}M{\backslash}B(x_1,\varepsilon)$；$$ 对\left\{x_1,x_2\right\}{\in}M,\exists{x_3}{\in}M{\backslash}B(x_1,\varepsilon_0){\bigcup}B(x_2,\varepsilon_0);\\{\cdots}\\对\left\{x_1,\cdots,x_n\right\}{\in}M,{\exists}x_{n+1}{\in}M{\backslash}{\bigcup}^n_{k=1}B(x_k,\varepsilon_0)\\{\cdots} $$这样产生的点列$\left\{x_n\right\}{\subset}M$显然满足$\rho(x_n,x_m){\ge}\varepsilon_0(n{\neq}m)$，它不能有收敛的子列。而这和$M$的列紧性矛盾。充分性：若$\left\{x_n\right\}$是$M$中的无穷点列，想找到一个收敛子列，对1网，$\exists{y_1}{\in}M,\left\{x_n\right\}$的子列$\left\{x_n^{(1)}\right\}{\subset}B(y_1,1)$。$$ 对\frac{1}{2}网,{\exists}y_2{\in}M,\left\{x_n^{(1)}\right\}的子列\left\{x_n^{(2)}\right\}{\subset}B(y_2,\frac{1}{2})\\{\cdots}\\对\frac{1}{k}网,{\exists}y_k{\in}M,\left\{x_n^{(k-1)}\right\}的子列\left\{x_n^{(k)}\right\}{\subset}B(y_k,\frac{1}{k})\\{\cdots} $$最后抽出对角线子列$\left\{x_n^{(k)}\right\}$，它是一个基本列。实际上，对${\forall}\varepsilon>0$，当$n>2/\varepsilon$时，对${\forall}p{\in}\mathbb{N}$有$$ \begin{align*}\rho(x^{(n+p)}_{n+p},x^{(n)}_n)&{\le}\rho(x^{(n+p)}_{n+p},y_n)+\rho(x^{(n)}_n,y_n)\\&{\le}\frac{2}{n}<\varepsilon\end{align…

阿尔泽拉-阿斯科特
type: item
date: 2019-12-13T12:40:00+08:00
description: 阿尔泽拉-阿斯科特逐点收敛与一致收敛在此先给出逐点收敛的概念定义逐点收敛：设$f_n(n{\in}N)$为定义在集合$K$上的一族实值（或复值）函数，函数序列$\left\{f_n\right\}$称为逐点收敛于函数$f$：当$\forall{x}{\in}K,{\exists}N{\in}N,\forall{n>N}$，有$|f_n-f(x)|<\varepsilon$。一致收敛概念定义一致收敛：设$f_n(n{\in}N)$为定义在集合$K$上的一族实值（或复值）函数，函数序列$\left\{f_n\right\}$称为一致收敛于函数$f$：若${\forall}\varepsilon>0,{\exists}N{\in}N,\forall{n>N},x{\in}K$，有$|f_n-f(x)|<\varepsilon$。这里要注意到逐点收敛与一致收敛之间很重要的一个不同之处: 一般而言，逐点收敛定义中的$N$不仅与$\varepsilon$有关，还与$x$的取值有关；而一致收敛中的$N$，仅仅与$\varepsilon$有关，也就是对所有的$x$，均有$|f_n=f(x)|<\varepsilon$成立。逐点收敛是不足以保证极限函数继承函数序列中函数的连续性质的，但是一致收敛可以保证极限函数连续。这部分可以通过加一项减一项证明。而对于函数项级数收敛，也用到了一致收敛的条件。对于叶果洛夫定理：去掉一个零测集，则逐点收敛函数可以做到一致收敛。实数域上的情形为了说明后面的阿尔泽拉-阿斯科特定理需要引入一致有界定义：$f_n$是定义在集合$K{\subset}R(or\;C)$上的一族函数，称函数序列$\left\{f_n\right\}$一致有界，当$\exists{M}{\in}R,{\forall}n{\in}N,x{\in}K,\|f_n\|_{\infty}{\le}M$。等度连续定义：一个函数序列$\left\{f_n\right\}_{n{\in}N}$称为等度连续：当${\forall}\varepsilon>0,{\exists}\delta>0,{\forall}n{\in}N,x,y{\in}K,|x-y|<\delta$，则有$|f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon$。一致连续讲的是单个函数在全局上连续变化的情况而等度连续刻画了一族函数的连续情况。有了这个概念，我们可以将致密性定理进行推广为AAS（阿尔泽拉-阿斯科特）定理：给出了一个从紧度量空间映射到度量空间的函数集合，是否在关于一致收敛的拓扑意义上是紧集的充分必要条件，（应用：在常微分方程解的存在与唯一性中起作用。）实数域上的AAS定理：考虑为$R$上的一个有界闭区间$I=[a,b]$，实值函数序列${f_n}_{n{\in}N}$。若该序列一致有界且等度连续，则该函数序列必包含一个一致收敛的子序列。证明分成三部分：一：逐点利用一致有界性：考虑在$I$上取一个稠密点集，这样，任意的$x{\in}I$都可以通过这个点集的元素逼近得到。（例如，任意的一个无理数都可以通过一个有理数序列取极限得到），不妨选取序列$A=\left\{x_n\right\}^{\infty}_{n=1}=I{\cap}Q$，由一致有界性质，根据致密性（波尔查诺-维尔斯特拉斯）定理：$x=x_1$，序列$\left\{f_n(x_1)\right\}^{\infty}_{n=1}$有界，于是有收敛子列$\left\{f_{1,n}(x_1)\right\}^{\infty}_{n=1}$序列$\left\{f_{1,n}(x_2)\right\}^{\infty}_{n=1}$有界，则有收敛子列$\left\{f_{2,n}(x_2)\right\}^{\infty}_{n=1}$序列$\left\{f_{k-1,n}(x_k)\right\}^{\infty}_{n=1}$有界，则有收敛子列$\left\{f_{k,n}(x_k)\right\}^{\infty}_{n=1}$这些序列的关系为$$ \left\{f_{k,n}\right\}^{\infty}_{n=1}{\subset}\left\{f_{k-1,n}\right\}^{\infty}_{n=1}{\subset}{\cdots}{\subset}\left\{f_{2,n}\right\}^{\infty}_{n=1}{\subset}\left\{f_{1,n}\right\}^{\infty}_{n=1} $$二：取对角线构造子序列。现在取以上的这些序列中的$f_{j,j}$，构成对角线序列$\left\{f_{k,k}\right\}_{k{\in}N}$这个操作称为Cantor对角线法。于…