思路$Arzela-Ascoli$定理条件的改变与减弱将该定理中的闭区间$[\alpha,\beta]$上的连续函数族扩展到无穷紧空间上的连续算子族，并且给出无穷紧空间上连续算子族相对紧性判断的一个充要条件，然后将定理中一致有界减弱为在一点有界，定理结论仍旧成立。该定理对有限闭区间上连续函数族相对紧性判定的一个充要条件，故该定理应用非常广泛。张恭庆的《泛函分析讲义》将闭区间$[\alpha,\beta]$推广到紧空间$K$，指出$C(K)$的子集$F$是相对紧的当且仅当$F$等度连续且一致有界。该期刊将实值连续函数推广到向量值连续算子，也就是假设$E$为紧度量空间，$X$为巴拿赫空间，$C(E,X)$表示从$E$到$X$的连续函数的全体，给出了$C(E,X)$上任一子集相对紧的充要条件，于是大大扩展了应用范围，并且对定理要求的一致有界条件可以减弱到在一点有界，从而更为扩展适用空间。预备知识1.设$(X,\rho)$为距离空间，$A$是$X$的子集，如果$A$中的任何点列必有在$X$中的收敛子列，则称$A$为紧集。2.设$(X,\rho)$是距离空间，$A$是$X$的一个子集，$B{\subseteq}A$，如果有$\varepsilon>0$，使得以$B$中各点为中心，以$\varepsilon$为半径的开球全体覆盖$A$，也就是$A{\subseteq}{\bigcup}_{x{\in}B}O(x,\varepsilon)$，则称$B$是$A$的$\varepsilon$网。如果$B$是有限集，则称$B$是$A$的有限$\varepsilon$网。3.设$(X,\rho)$为距离空间，$A$是$B$的子集。如果对于任意$\varepsilon>0$，都存在着$A$的一个有限$\varepsilon$网，则称集合$A$是完全有界的。从下面的引理可以看出，集合的相对紧性与完全有界有着重要的联系。引理1：度量空间中相对紧集必是完全有界集；在完备度量空间中，完全有界集必是相对紧集。（其实就是豪斯多夫引理），这里给出证明：必要性：反证法！若$\exists{\varepsilon_0}>0,M$中没有有限的$\varepsilon_0$网。任取$x_1{\in}M,{\exists}x_2{\in}M{\backslash}B(x_1,\varepsilon)$；$$ 对\left\{x_1,x_2\right\}{\in}M,\exists{x_3}{\in}M{\backslash}B(x_1,\varepsilon_0){\bigcup}B(x_2,\varepsilon_0);\\{\cdots}\\对\left\{x_1,\cdots,x_n\right\}{\in}M,{\exists}x_{n+1}{\in}M{\backslash}{\bigcup}^n_{k=1}B(x_k,\varepsilon_0)\\{\cdots} $$这样产生的点列$\left\{x_n\right\}{\subset}M$显然满足$\rho(x_n,x_m){\ge}\varepsilon_0(n{\neq}m)$，它不能有收敛的子列。而这和$M$的列紧性矛盾。充分性：若$\left\{x_n\right\}$是$M$中的无穷点列，想找到一个收敛子列，对1网，$\exists{y_1}{\in}M,\left\{x_n\right\}$的子列$\left\{x_n^{(1)}\right\}{\subset}B(y_1,1)$。$$ 对\frac{1}{2}网,{\exists}y_2{\in}M,\left\{x_n^{(1)}\right\}的子列\left\{x_n^{(2)}\right\}{\subset}B(y_2,\frac{1}{2})\\{\cdots}\\对\frac{1}{k}网,{\exists}y_k{\in}M,\left\{x_n^{(k-1)}\right\}的子列\left\{x_n^{(k)}\right\}{\subset}B(y_k,\frac{1}{k})\\{\cdots} $$最后抽出对角线子列$\left\{x_n^{(k)}\right\}$，它是一个基本列。实际上，对${\forall}\varepsilon>0$，当$n>2/\varepsilon$时，对${\forall}p{\in}\mathbb{N}$有$$ \begin{align*}\rho(x^{(n+p)}_{n+p},x^{(n)}_n)&{\le}\rho(x^{(n+p)}_{n+p},y_n)+\rho(x^{(n)}_n,y_n)\\&{\le}\frac{2}{n}<\varepsilon\end{align*} $$引理2：设$A$是$R^n$的子集，则$A$是相对紧的当且仅当$A$是有界的。关于连续函数的概念：设$F$是$C[\alpha,\beta]$的子集。如果存在$M>0$，使得对任意$x{\in}[\alpha,\beta]$，任意$f{\in}F$都有$|f(x)|{\le}M$，则称$F$是一致有界的。如果对于任意的$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得对于任意两点$x_1,x_2{\in}[\alpha,\beta]$，当$|x_1-x_2|<\delta$时，对$F$中每个函数$f$都有$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$，则称$F$是等度连续的。引理3(Ascoli-Arzela)：设$F=f(t)$是定义在$\alpha{\le}t{\le}\beta$上的一致有界且等度连续的实值(m维)向量函数族，则从$F$中必可选取一个在$\alpha{\le}t{\le}\beta$上一致收敛的函数列$\left\{f_n(t)\right\},(n=1,2,\cdots)$。主要结果先给出$C(E,X)$中的一些定义。设$E$为紧空间，$X$是巴拿赫空间，用$C(E,X)$表示$E$到$X$的连续函数全体，令$$ \|f\|=\sup\left\{\|f(t)\|:t{\in}E\right\} $$容易验证$C(E,X)$为巴拿赫空间，对于$C(E,X)$的子集，也有类似的一致有界与等度连续的概念。定义：设$F$是$C(E,X)$的子集。（1）如果存在$M>0$，使得对于任意$x{\in}E,f{\in}F$都有$\|f\|{\le}M$，则称$F$是一致有界的。（2）如果对任意的$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得对于$F$中的每个函数$f$都有$\|f(x_1)-f(x_2)\|{\le}\varepsilon$，则称$F$是等度连续的。定义：设$f$是从距离空间$(X,\rho_1)$到距离空间$(Y,\rho_2)$的一个映射，如果对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得对任意$x_1,x_2{\in}X$，当$\rho_1(x_1,x_2)<\delta$时，有$\rho_2(f(x_1),f(x_2))<\varepsilon$，则称$f$是一致连续的。注意到定义在闭区间上的实值函数如果连续，则必定一致连续。这一结论从紧距离空间到距离空间的连续算子也是成立的。引理4：若$f$是从紧距离空间$E$到距离空间$X$的连续算子，则$f$是一致连续的。紧空间的情形定理1：若$F{\subseteq}C(E,X)$是相对紧的，则$F$是一致有界且等度连续的。证明：因为$C(E,X)$是完备的，由引理1，$F$是完全有界的，即对任意$\varepsilon>0$，存在有限$\frac{\varepsilon}{3}$网$\left\{f_1,f_2,\cdots,f_n\right\}$，即对任意$f{\in}F$，存在$f_{j_0}(1{\le}j_0{\le}n)$使得$$ \|f(x)-f_{j_0}(x)\|{\le}\frac{\varepsilon}{3}{\quad}(x{\in}E) $$又因为对于任意的$x{\in}E,f_j(x)(j=1,2,\cdots,n)$在紧空间$E$上连续，由引理4，$f_j(x)(j=1,2,\cdots,n)$在$E$上一致连续，即对上述$\varepsilon$，存在$\delta_j>0$，对于任意$x',x''{\in}E$，当$\rho(x',x'')<\delta_j$时，$\|f_j(x')-f_j(x'')\|<\frac{\varepsilon}{3},j=1,2,\dots,n$。取$\delta=\min\left\{\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n\right\}$，则对于任意$x',x''{\in}E$，当$\rho(x',x'')<\delta$时$$ \|f_j(x')-f_j(x'')\|<\frac{\varepsilon}{3},j=1,2,\cdots,n $$因此$$ \|f(x')-f(x'')\|{\le}\|f(x')-f_{j_0}(x')\|+\|f_{j_0}(x')-f_{j_0}(x'')\|+\|f_{j_0}(x'')-f(x'')\|{\le}\varepsilon $$所以$F$是等度连续的。下面证$F$是一致有界的，事实上，取$\varepsilon=1$，存在$\left\{f_1,f_2,\cdots,f_m\right\}{\subset}F$，使得$F{\subseteq}{\bigcup}^m_{i=1}O(f_i,1)$，所以存在$M=1+\max_{1{\le}i{\le}m}\|f_i\|$，使得$\|f\|{\le}M,(f{\in}F)$，证明完毕。一般的巴拿赫空间对于一般的巴拿赫空间，$C(E,X)$中子集的相对紧性有如下定理：定理2：令$E$为紧度量空间，$X$为巴拿赫空间，$F$为连续映射族$C(E,X)$的子集，则$F$为相对紧的当且仅当下面两个条件满足：$F$是等度连续的对于任意的$x{\in}E$，集合$F(x)=f(x):f{\in}F$是相对紧的证明：假设$F$满足两个条件。我们证明$F$是相对紧的，由已知$X$为巴拿赫空间，所以$C(E,X)$为完备的，从引理1，只需要证明$F$是完全有界集。因为$F$是等度连续的，也就是对任意的$\varepsilon>0$，存在$\delta=\delta(\varepsilon)>0$，对于任意的$f{\in}F$，任意的$x_1,x_2{\in}E$，当$\rho(x_1,x_2)<\delta$时，$$ \|f(x_1)-f(x_2)\|<\frac{\varepsilon}{4} $$又$E$是紧度量空间，由引理1，对于上述$\delta>0$，存在$\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}{\subset}E$，对于任意$x{\in}E$，存在$1{\le}i_0{\le}n$，使得$\rho(x,x_{i_0})<\delta$。由条件（2），$F(x_1),F(x_2),\cdots,F(x_n)$是相对紧的，所以$$ Y=F(x_1){\bigcup}{\cdots}{\bigcup}F(x_n) $$也还是相对紧的，由引理1，$Y$存在有限的$\frac{\varepsilon}{4}$网$\left\{a_1,a_2,\cdots,a_m\right\}$，故对任意的$i=1,2,\cdots,n$，存在$a_{{\sigma}i}$，使得$$ \|f(x_i)-a_{{\sigma}i}\|<\frac{\varepsilon}{4} $$其中$\sigma:\left\{1,\cdots,n\right\}{\to}\left\{1,\cdots,m\right\}$是一个映射，对于任意的$\sigma$，令$$ F_{\sigma}=\left\{f{\in}F:\|f(x_i)-a_{\sigma{i}}\|<\frac{\varepsilon}{4},i=1,2,\cdots,n\right\} $$则有限个$F_{\sigma}$覆盖$F$，要说明$F_{\sigma}$为$F$的有限$\varepsilon$网，只要说明$F_{\sigma}$的半径小于$\varepsilon$即可。对于任意的$f,g{\in}F_{\sigma},x{\in}E$，$$ \|f(x)-g(x)\|{\le}\|f(x)-f(x_{i_0})\|+\|f(x_{i_0})-a_{{\sigma}i}\|+\|a_{{\sigma}i}-g(x_{i_0})\|+\|g(x_{i_0})-g(x)\|<\varepsilon $$充分性得以证明。下面证明必要性：对于等度连续，证法等同定理1，对于（2）则由$F$的相对紧性易得。减弱条件到一点有界最后可以将原定理中的条件适当减弱：定理3：Ascoli-Arzela定理中函数族的一致有界性减弱为在某一点有界，结论仍旧成立。证明：不妨设$F$在$a$点有界，我们只需证$F$一致有界。（一点有界可以推出一致有界）由$F$等度连续，则对任意的$\varepsilon>0$，存在$\delta=\delta(\varepsilon)>0$，对任意的$f{\in}F$，任意的$x_1,x_2{\in}[\alpha,\beta]$，当$|x_1-x_2|<\delta$时$$ |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon $$对上述的$\delta$，$[\alpha,\beta]$存在有限$\frac{\delta}{2}$网$\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}$，且$x_1{\le}x_2{\le}\cdots{\le}x_n)$，也就是对于任意的$x{\in}[\alpha,\beta]$，存在$x_{i_0}(1{\le}i_0{\le}n)$，使得$|x-x_{i_0}|<\frac{\delta}{2}<\delta$，所以$$ |f(x)-f(x_{i_0})|<\varepsilon $$又因为$|x_1-a|<\frac{\delta}{2}<\delta,|x_i-x_{i-1}|<\delta(i=2,3,\cdots,n)$，故$$ |f(x_1)-f(a)|<\varepsilon,|f(x_i)-f(x_{i-1})|<\varepsilon(i=2,3,\cdots,n) $$于是，对于任意的$f{\in}F$，任意$x{\in}[\alpha,\beta]$，$$ |f(x)|{\le}|f(x)-f(x_{i_0})|+|f(x_{i_0})-f(x_{i_0-1})|+{\cdots}+|f(x_2)-f(x_1)|+|f(x_1)-f(a)|+|f(a)|<(n+1)\varepsilon+|f(a)| $$故$f$在$[\alpha,\beta]$上一致有界。（通过不断地加一项减一项，然后利用等度连续，直接放到$n-1$个$\varepsilon$。）
阿尔泽拉-阿斯科特逐点收敛与一致收敛在此先给出逐点收敛的概念定义逐点收敛：设$f_n(n{\in}N)$为定义在集合$K$上的一族实值（或复值）函数，函数序列$\left\{f_n\right\}$称为逐点收敛于函数$f$：当$\forall{x}{\in}K,{\exists}N{\in}N,\forall{n>N}$，有$|f_n-f(x)|<\varepsilon$。一致收敛概念定义一致收敛：设$f_n(n{\in}N)$为定义在集合$K$上的一族实值（或复值）函数，函数序列$\left\{f_n\right\}$称为一致收敛于函数$f$：若${\forall}\varepsilon>0,{\exists}N{\in}N,\forall{n>N},x{\in}K$，有$|f_n-f(x)|<\varepsilon$。这里要注意到逐点收敛与一致收敛之间很重要的一个不同之处: 一般而言，逐点收敛定义中的$N$不仅与$\varepsilon$有关，还与$x$的取值有关；而一致收敛中的$N$，仅仅与$\varepsilon$有关，也就是对所有的$x$，均有$|f_n=f(x)|<\varepsilon$成立。逐点收敛是不足以保证极限函数继承函数序列中函数的连续性质的，但是一致收敛可以保证极限函数连续。这部分可以通过加一项减一项证明。而对于函数项级数收敛，也用到了一致收敛的条件。对于叶果洛夫定理：去掉一个零测集，则逐点收敛函数可以做到一致收敛。实数域上的情形为了说明后面的阿尔泽拉-阿斯科特定理需要引入一致有界定义：$f_n$是定义在集合$K{\subset}R(or\;C)$上的一族函数，称函数序列$\left\{f_n\right\}$一致有界，当$\exists{M}{\in}R,{\forall}n{\in}N,x{\in}K,\|f_n\|_{\infty}{\le}M$。等度连续定义：一个函数序列$\left\{f_n\right\}_{n{\in}N}$称为等度连续：当${\forall}\varepsilon>0,{\exists}\delta>0,{\forall}n{\in}N,x,y{\in}K,|x-y|<\delta$，则有$|f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon$。一致连续讲的是单个函数在全局上连续变化的情况而等度连续刻画了一族函数的连续情况。有了这个概念，我们可以将致密性定理进行推广为AAS（阿尔泽拉-阿斯科特）定理：给出了一个从紧度量空间映射到度量空间的函数集合，是否在关于一致收敛的拓扑意义上是紧集的充分必要条件，（应用：在常微分方程解的存在与唯一性中起作用。）实数域上的AAS定理：考虑为$R$上的一个有界闭区间$I=[a,b]$，实值函数序列${f_n}_{n{\in}N}$。若该序列一致有界且等度连续，则该函数序列必包含一个一致收敛的子序列。证明分成三部分：一：逐点利用一致有界性：考虑在$I$上取一个稠密点集，这样，任意的$x{\in}I$都可以通过这个点集的元素逼近得到。（例如，任意的一个无理数都可以通过一个有理数序列取极限得到），不妨选取序列$A=\left\{x_n\right\}^{\infty}_{n=1}=I{\cap}Q$，由一致有界性质，根据致密性（波尔查诺-维尔斯特拉斯）定理：$x=x_1$，序列$\left\{f_n(x_1)\right\}^{\infty}_{n=1}$有界，于是有收敛子列$\left\{f_{1,n}(x_1)\right\}^{\infty}_{n=1}$序列$\left\{f_{1,n}(x_2)\right\}^{\infty}_{n=1}$有界，则有收敛子列$\left\{f_{2,n}(x_2)\right\}^{\infty}_{n=1}$序列$\left\{f_{k-1,n}(x_k)\right\}^{\infty}_{n=1}$有界，则有收敛子列$\left\{f_{k,n}(x_k)\right\}^{\infty}_{n=1}$这些序列的关系为$$ \left\{f_{k,n}\right\}^{\infty}_{n=1}{\subset}\left\{f_{k-1,n}\right\}^{\infty}_{n=1}{\subset}{\cdots}{\subset}\left\{f_{2,n}\right\}^{\infty}_{n=1}{\subset}\left\{f_{1,n}\right\}^{\infty}_{n=1} $$二：取对角线构造子序列。现在取以上的这些序列中的$f_{j,j}$，构成对角线序列$\left\{f_{k,k}\right\}_{k{\in}N}$这个操作称为Cantor对角线法。于是，对于任意固定的$j$，当$i>j$，都有$f_{i,i}{\in}\left\{f_{i,n}\right\}{\subset}\left\{f_{j,n}\right\}$，所以$i{\to}\infty$时，$f_{i,i}(x_j)$收敛。三：证明所取到的子序列一致收敛，我们总是可以将区间$I$分割为$M$份，也就是$I={\bigcup}^M_{i=1}I_i$，使得$\forall{x}{\in}I$，总会落在某一区间$I_k$上，并且有$x_k{\in}I_k$，使得$|x-x_k|<\delta$成立，于是：可以断言，所取的这个序列$\left\{f_{k,k}\right\}_{k{\in}N}$是等度连续的。实际上，由于序列$\left\{f_{n}\right\}_{n{\in}N}$等度连续，所以$\exists{N}{\in}N,{\forall}p>N$，有$|f_{p,p}(x)-f_{p,p}(x_j)|<\frac{\varepsilon}{3}$，由第二部分我们可以知道有$|f_{p,p}(x_j)-f_{q,q}(x_j)|<\frac{\varepsilon}{3}$。结合上述三个不等式，则有$$ |f_{p,p}(x)-f_{q,q}(x)|{\le}|f_{p,p}(x)-f_{p,p}(x_j)|+|f_{p,p}(x_j)-f_{q,q}(x_j)|+|f_{q,q}(x_j)-f_{q,q}(x)|<\varepsilon $$也就是有对$\forall{x}{\in}I,{\forall}\varepsilon>0,{\exists}N{\in}N,{\forall}p,q>N,|f_{p,p}(x)-f_{q,q}(x)|<\varepsilon$。所以我们选取的序列$\left\{f_{k,k}\right\}_{k{\in}N}$是一个一致收敛的柯西序列，必定收敛到一个连续函数，于是证明完毕。（取稠密集，再利用一致有界性和致密性定理——推出有收敛子列，取到特殊的收敛子列（对角过程），利用等度连续性，得到一致收敛。）度量空间的推广对于度量空间上有这么一个推广形式，证明方式与上面类似：假设$\mathscr{F}$为度量空间$X$上的一个逐点有界的等度连续的复函数族，且$X$包含一个可数稠密子集$E$。则$\mathscr{F}$中的任何一个序列$\left\{f_n\right\}$存在一个在$X$的任何一个紧子集上一致收敛的子序列。证明：设$x_1,x_2,x_3,\cdots$为$E$中的点的枚举，并设$S_0$表示所有的正整数构成的集合。假设$k{\ge}1$且无限集$S_{k-1}{\subset}S_0$已经选取。因为$\left\{f_n(x_k):n{\in}S_{k-1}\right\}$为一个有界复数序列，它有一个收敛子序列。换言之，存在无限集$S_{k}{\subset}S_{k-1}$使得极限$\lim{f_n}(x_k)$当$n$在$S_k$中趋向于无穷大时存在。设$r_k$为$S_k$中的第$k$项（相对于正整数的自然排序）且令$$ S=\left\{r_1,r_2,r_3,\cdots\right\} $$对于每一个$k$，$S$中最多有$k-1$项不在$S_k$中。因此，对于每一个$x{\in}E$，当$n$在$S$中趋向于无穷大时极限$\lim{f_n}(x)$存在（这种通过$\left\{S_k\right\}$）来构造$S$的方法就是所谓的对角过程。）现在设$K{\subset}X$为紧的，任给$\varepsilon>0$，由等度连续性，存在$\delta>0$，使得$\rho(p,q)<\delta$时蕴含着$|f_n(p)-f_n(q)|<\varepsilon$对任何$n$成立。用半径为$\delta/2$的开球$B_1,B_2,\cdots,B_M$覆盖$K$。因为$E$在$X$中稠密，对于$1{\le}i{\le}M$，存在点$p_i{\in}B_i{\bigcap}E$。因为$p_i{\in}E$，当$n$在$S$中趋向于无穷大时极限$\lim{f_n}(p_i)$存在。因此存在正整数$N$，使得若$m>N,n>N$且$m{\in}S,n{\in}S$，则$$ |f_m(p_i)-f_n(p_i)|<\varepsilon $$对所有的$i=1,2,\cdots,M$成立。根据对角化过程则有，存在正整数$N$，使得若$n>N$且$n{\in}S$，则$$ |f_n(p_i)-f_n(x)|<\varepsilon $$最后，选取$x{\in}K$，则存在$i$使得$x{\in}B_i$，且$\rho(x,p_i)<\delta$。由我们对$\delta$和$N$的选取可知，如果$m>N,n>N$且$m{\in}S,n{\in}S$，则$$ \begin{align*} |f_m(x)-f_n(x)|&{\le}|f_m(x)-f_m(p_i)|+|f_m(p_i)-f_n(p_i)|+|f_n(p_i)-f_n(x)|\\ &{<}\varepsilon+\varepsilon+\varepsilon=3\varepsilon \end{align*} $$同样做到了一个一致收敛的子序列。紧空间上的情形如果不是在实数域上的，则有推广的AAS定理：为了$F{\subset}C(M)$是一个列紧集，必须且仅须$F$是一致有界的且等度连续的函数族。证明：首先因为$C(M)$是完备的，所以由豪斯多夫定理：（完备）距离空$(\mathscr{X},\rho)$中的集合$M$是列紧的必须（且仅须）$M$是完全有界集。为了$F$是列紧的必须且仅需它是完全有界的。必要性：因为完全有界集是有界集，所以$F$是一致有界函数族。$\forall{\varepsilon}>0$，要证明$\exists{\delta}=\delta(\varepsilon)$，使得${\forall}\varphi{\in}F$有$$ |\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|<\varepsilon{\quad}(当\rho(x_1,x_2)<\delta) $$因为$F$的$\frac{\varepsilon}{3}$网是一个有限集$N(\varepsilon/3)=\left\{\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n\right\}$，对着有限个函数，由连续性，$\exists{\delta}=\delta(\varepsilon/3)$，当$\rho(x_1-x_2)<\delta$有$$ |\varphi_i(x_1)-\varphi_i(x_2)|<\varepsilon/3{\quad}(i=1,2,\cdots,n) $$因为$\forall{\varphi}{\in}F,\exists{\varphi_i}{\in}N(\varepsilon/3)$，使得$d(\varphi,\varphi_i)<\varepsilon/3$，所以$$ \begin{align*} |\varphi(x)-\varphi(x')|&{\le}|\varphi(x)-\varphi_i(x)|+|\varphi_i(x)-\varphi_i(x')|+|\varphi_i(x')-\varphi(x')|\\ &{\le}2d(\varphi,\varphi_i)+|\varphi_i(x)-\varphi_i(x')|<\varepsilon{\quad}(当\rho(x,x')<\delta) \end{align*} $$充分性：设$F$是一致有界且等度连续的，我们要找到有限的$\varepsilon$网。由于$F$等度连续，于是$\exists{\delta}>\delta(\varepsilon/3)>0$，使得当$\rho(x,x')<\delta$时，$|\varphi(x)-\varphi(x')|<\varepsilon/3({\forall}\varphi{\in}F)$。就用这个$\delta$，选取空间$M$上的有限$\delta$网$N(\delta)=\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}$。作映射$T:F{\to}R^n$，$$ T\varphi:=(\varphi(x_1),\varphi(x_2),\cdots,\varphi(x_n)){\quad}(\forall{\varphi}{\in}F) $$记$\widetilde{F}=T(F)$，则$\widetilde{F}$是$R^n$中的有界集。实际上，设$|\varphi|{\le}M_1(\forall{\varphi}{\in}F)$，则$$ (\sum^n_{i=1}|\varphi(x_i)|^2)^{\frac{1}{2}}{\le}\sqrt{n}\max_{x{\in}M}|\varphi(x)|{\le}\sqrt{n}M_1{\quad}(\forall{\varphi}{\in}F) $$从而$\widetilde{F}$是列紧集，利用豪斯多夫定理，$\widetilde{F}$有有限的$\varepsilon/3$网$$ \widetilde{N}(\varepsilon/3)=\left\{T{\varphi}_1,T{\varphi}_2,\cdots,T{\varphi}_m\right\} $$从而$\left\{\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_m\right\}$是$F$的$\varepsilon$网，这是因为$\forall{\varphi}{\in}F,\exists{\varphi_i}$，使得$\rho_n(T\varphi,T\varphi_i)<\varepsilon/3$，于是取定$x_r{\in}N(\delta)$，使得$\rho(x,x_r)<\delta$，有$$ \begin{align*} |\varphi(x)-\varphi_i(x)|&{\le}|\varphi(x)-\varphi(x_r)|+|\varphi(x_r)-\varphi_i(x_r)|+|\varphi_i(x_r)-\varphi_i(x)|\\ &<\frac{2}{3}\varepsilon+\rho_n(T\varphi,T\varphi_i)<\varepsilon \end{align*} $$其中$\rho_{n}$表示$R^n$上的距离。