我的java开发测试 - Michel Willem
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items: 勒贝格积分Ⅲ
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勒贝格积分Ⅲ
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date: 2020-04-14T23:00:04+08:00
description: 积分导读首先复习上次的内容，由$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$出发，定义2.2.8来定义$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$的函数。就是$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$某个基本序列$u_n$点点收敛的极限$u(x)=\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)$。而$\mathcal{L}^{1}(\Omega,\mu)$里的函数用$u=f-g{\;}{a.e}$定义，这里$f,g{\in}\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$。所以存在$f_n,g_n{\subset}\mathcal{L}(\Omega,\mu)$使得$u$是$f_n-g_n$几乎处处收敛的极限。那么随便给一个$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$里的序列$u_n$，假设几乎处处收敛到一个函数$u,u$不见得是勒贝格可积的，但是应该是比较好的函数。这就是我们下面要定义的可测函数。一，大框架上，我们已经走到了最后一步：$$ \mathcal{L}(\Omega,\mu){\subset}\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu){\subset}\mathcal{L}^1(\Omega,\mu){\subset}\mathcal{M}(\Omega,\mu) $$本节的第一个定义，定义2.2.19，是定义可测空间，$$ \mathcal{M}(\Omega,\mu)=\left\{u:\Omega{\to}\mathbb{R},a.e.:存在(u_n){\subset}\mathcal{L}(\Omega,\mu)使得u_n{\to}u,a.e.\right\} $$就是$u$是几乎处处有限，且是$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$某个函数列几乎处处收敛的极限。我们称这些函数$\mu-$可测函数。下面我们会定义$\mu$测度，这些函数就是关于测度$\mu$可测的可测函数。注意到$\mathcal{L}^1(\Omega,\mu){\subset}\mathcal{M}(\Omega,\mu)$，但是不见得会相等（可以相等）。例如考虑$\mathcal{K}(\mathbb{R})$情形，$u(x)=1,u{\not\in}\mathcal{L}^1,u{\in}\mathcal{M}$。按照书上的符号，对于非负函数$u{\in}\mathcal{M}{\backslash}\mathcal{L}^1$，定义${\int}ud{\mu}=+\infty$。定义2.2.25就是定义$\Omega$里子集的可测性和测度。$A{\subset}\Omega$被称为$\mu-$可测的如果$\chi_A{\in}\mathcal{M}(\Omega,\mu)$。这时$A$的$\mu-$测度定义为$\mu(A)={\int}_X\chi_Ad{\mu}$。（不见得所有的集合都是可测的！）这时在抽象框架下的$\mu-$测度和$\mu-$可测集合定义。具体到欧式空间$\mathbb{R}^N$勒贝格测度的定义在定义2.2.35，$\Omega$是$\mathbb{R}^N$中一个开集（所以可以就取为$\mathbb{R}^N$）,$\mathcal{K}(\Omega)$加上黎曼积分就是$\mathcal{L}$，生成的$\mathcal{L}^1$可以定义测度，叫做勒贝格测度，则$\Omega$的一个可测子集的勒贝格测度定义为$$ m(A)=\int_A\chi_Adx $$注意我们给这个特殊的测度一个符号$m(A)$，一般书上都是这个符号。二，具体的内容和小的细节命题2.2.20是$\mathcal{M}(\Omega,\mu)$基本性质。证明留作作业。引理2.2.21，2.2.22，2.2.23这三个引理是用来证明定理2.2.24的。定理2.2.24是给出$\mathcal{M}(\Omega,\mu)$的另一个刻画：$\mathcal{M}(\Omega,\mu)$里面函数列几乎处处收敛的几乎处处有限的极限还是可测函数。按照定义，是用$\mathcal{L}$里函数列几乎处处极限，这个定理说$\mathcal{M}$里函数列几乎处处极限还在里面。请用下面这个陈述：定理2.2.24：令$(u_n){\subset}\mathcal{M}(\Omega,\mu)$为几乎处处收敛的一个序列，收敛到几乎处处有限的极限$u$，则$u{\in}\mathcal{M}(\Omega,\mu)$。那上面的引理分别考虑$\mathcal{L}^{+},\mathcal{L}^1,\mathcal{M}$中几乎处处单增函数列的极限，证明还在$\mathcal{M}$里。…

勒贝格积分Ⅱ
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date: 2020-04-14T22:59:00+08:00
description: 积分导读从$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$出发，定义2.2.8来定义$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$的函数。就是$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$某个基本序列到$u_n$逐点收敛的极限$u(x)=\lim_{n{\to}}u_n(x)$，而$u$的积分定义为$u_n$黎曼积分值的极限，也即$$ \int{u}d{\mu}{\equiv}\lim_{n{\to}\infty}\int{u_n(x)}d{\mu} $$（下面如果没有混淆，积分号下不会特别写出$\Omega$）积分后的数列上方有界且也是单增的，所以极限存在。为了说明这个定义是适定的，我们已现有两个技术性的命题(2.2.6，2.2.7)。2.2.6用来证2.2.7，就是会有很多基本序列可以收敛到同一个函数$u$，用不同的基本序列，是否得到一个共同的积分值，即对不同的$u_n,\lim_{n{\to}\infty}\int{u_n(x)}d{\mu}$是否一样。用到命题2.2.7，$u=v$的情形，就有积分后的极限都是一样的，所以定义是合理的。注意到$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$是向量空间，就是线性空间的意思，但是$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$还不是线性空间（因为不能乘上负数）。$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$中函数的性质在命题2.2.9里给出。我们有作业是给出这个性质证明的细节。定义2.2.12是把积分扩充到$L^1(\Omega,\mu)$（勒贝格可积的函数空间）。但是在这之前，有两个结果要先证明。勒贝格积分的最大好处是可以给出一些更为灵活好用管用的积分收敛定理（主要有四个），其中之一是单调收敛定理，我们后面会在$L^1(\Omega,\mu)$证明这个定理（2.2.15）。它的一个预备形式在$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$里是命题2.2.10：$u_n{\in}\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$点点单增（或几乎处处单增，就是去掉一个可忽略集后是点点单增），且$sup{\;}\int{u_n}d{\mu}=c<\infty$。则$u_n$的点点极限（或者几乎处处极限）$u$还是属于$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$里，且$$ \lim_{n{\to}\infty}\int{u_n}d{\mu}=\int{u}d{\mu} $$注意，这就是说极限和积分号换序了，极限取到积分号里面去了。课本的证明是直接考虑了复杂的情况：几乎处处的情形。我们可以试着现在走一遍处处的情形，再走一遍几乎处处的情形。由定义，我们想要找到一个$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$里的基本序列收敛到$u$，就证明了$u{\in}\mathcal{L}(\Omega,\mu)$。首先对每个$u_k{\in}\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$，由定义有基本序列$u_{k,n}{\in}\mathcal{L}(\Omega,\mu),u_{k,n}{\uparrow}u_k$当$n{\to}\infty$。定义了一个$v_n=\max\left\{u_{1,n},{\cdots},u_{n,n}\right\}$。先证明$v_n$是一个基本序列，所以$v_n$有极限。最好叫做$v$（记得把书上的$u$改为$v$），然后再证明$v$就是$u$，满足积分极限性质。书上的证明没有问题，但是就是加上这个符号更改可以更细一点。推论2.2.11说可数个可忽略集的并集还是可忽略集合，我们曾经研究过一个例子，$u_n(x)=\min\left\{n,\frac{1}{\sqrt{x}}\right\}$，单增，积分一致有界。可以修改一下成为$\mathbb{R}$上的基本序列（首先偶延拓一下，然后再将其连续延拓到$[-1,1]$，外面连接到0，使得它在$\mathcal{K}(\mathbb{R})$）。因为这个序列在一点趋于无穷，所以在$\mathcal{K}(\mathbb{R})$的情形，一个点是可忽略集。当然可以想象到，有限个点的集合也是可忽略集。这个推论说可数个可忽略集的并集还是可忽略集，所以在$\mathcal{K}(\mathbb{R})$上，可数点集是可忽略集。我们后面有例子，在$\mathcal{K}(\mathbb{R})$情形，有不可数点集也可能是可忽略集。下面就到了$\mathcal{L}^1(\Omega,\mu)$（勒贝格可积函数空间）里面函数的定义2.2.12，它之前的一段计算推理是为了定义的适定性。$u{\in}\mathcal{L}^1(\Omega…

勒贝格积分Ⅰ
type: item
date: 2020-04-13T22:39:10+08:00
description: 积分动机本章开始前，首先讲述本书的大概思路和本章的动机。首先我们做一个类比，由有理数到无理数的过程，就像下面由黎曼积分的函数过渡到勒贝格积分函数。从有理数到无理数的过程我们已经十分熟悉，这里提及关于积分的过渡问题。类比积分，可以黎曼积分的函数可以视为“有理数”，而很多日常可以做的事情都用黎曼积分解决，例如计算面积，体积，长度，物理加速度求速度，求路程，求力做功等等。但是到了17世纪到19世纪，由于微积分的应用，考虑如下形式的积分$$ \int_{\Omega}|{\nabla}u|^2dx $$这里$\Omega$是一个有界区域，我们可以想象为一个鼓面，其边界固定，内部震动。考虑一维区域，则可以看成是琴弦振动，考虑震动频率问题时候会做$$ \inf_u\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2dx $$的极小问题。令$X=\left\{u:\Omega{\to}\mathbb{R}:u{\in}C^1,u_{\partial{\Omega}}=0\right\}$。所以$(u+\phi)_{{\partial}\Omega}=\phi$。考虑上述问题就等同于考虑$$ \inf_{u{\in}X}\int_{\Omega}|{\nabla}(u+\phi)|^2dx $$或者是$$ \inf_{u{\in}X}\int_{\Omega}(|\nabla{u}|^2+2{\nabla}u{\nabla}\phi+|{\nabla}\phi|^2)dx $$注意到$$ F(u)=\int_{\Omega}(|{\nabla}u|^2+2{\nabla}u{\nabla}\phi+|\nabla{\phi}|^2)dx $$是定义在$X$上的函数（因为定义在函数空间上，也称之为泛函，给了$X$里的一个$u$，就有一个数值$F(u)$），并且是一个二次的函数，那么其最小值也一定能够达到。当时的数学研究者是这么认为的。但是在18世纪末，维尔斯特拉斯给出了一个反例，说明这样的证明是有问题的。如$\Omega=[-1,1],X=\left\{u{\in}C^1([-1,1]):u(-1)=-1,u(1)=1\right\}$。考虑在$X$上的泛函$$ I(u)=\int^1_{-1}|xu'(x)|^2dx $$考虑$$ c=\inf_{u{\in}X}I(u) $$我们看到$I(u)$也是关于$u$的二次的，非负的，所以$c{\ge}0$。但是问题是$c$能够取到吗？$c$事实上并不能取到！反证法：假设$c$可以取到0，则可以找到一个函数序列$u_n{\in}X$，使得$I(u_n){\to}0$。如果$F(u)=0$，则有$u'(x)=0$。所以不可能在$X$中找到这样的函数。所以这就引起了很多问题，以前很多类似的问题都说下确界是可以达到的，那么是否还是正确的呢？如果有些的确可以达到，有些达不到，那么是什么条件保证了它们可以达到？这样的事情最终都和函数空间的完备化有关系。为了使得函数空间完备，就需要一些原来黎曼不可积分的函数成为可以积分的。一种方法就是用某种单调增加且积分一致有界的黎曼可积函数列来定义勒贝格可积函数（本书就是这么作得）。比如我们已经验证过狄利克雷函数是黎曼不可积的，我们可以看到它是勒贝格可积的。关键是加上了这些可积函数后，所有的勒贝格可积函数构成了完备的函数空间，这对于非常多的理论问题都是非常重要的。导言开始定义勒贝格积分，首先回顾黎曼积分（本书的柯西积分就是黎曼积分），然后总结了几个有用的性质在定理2.1.2里面。首先$\Omega$是$\mathbb{R}^N$里的一个开集，有界无界都可以，全空间也可以。这里仅仅是定义一个概念，一个连续函数的支集，简单记为$$ spt{\;}u=\overline{\left\{x{\in}\Omega:u(x){\neq}0\right\}}\\ \mathcal{K}=\left\{u{\in}C(\Omega,\mathbb{R}):spt是\Omega的一个紧集\right\} $$这里的函数就称之为有紧支集的连续函数。因为$u$是连续的，$$ \left\{x{\in}\Omega:u(x){\neq}0\right\}=\left\{x{\in}\Omega:|u(x)|>0\right\} $$是开集，所以支集是一个开集的闭包。因为紧集就是有界闭集（在这里），所以即便$\Omega$是有界的，$spt{\;}u$也是在$\Omega$内部，不会和$\Omega$的边界有交集。可以先想象$\Omega=\mathbb{R}$，这时每个函数远处都是0，所以$\mathcal{K}(\Omega)$里面的函数黎曼积分都是有定义的，且满足定理2.1.2的结论。注意$\m…

收敛性
type: item
date: 2020-04-09T15:53:00+08:00
description: 距离1.4 收敛性定义1.4.1令$X$为一个集合且令$Y$为一个度量空间。一个映射$u_n:X{\to}Y$的序列逐点收敛到$u:X{\to}Y$指的是：对于任意$x{\in}X$，$$ \lim_{n{\to}\infty}d(u_n(x),u(x))=0 $$序列$(u_n)$一致收敛到$u$：如果$$ \lim_{n{\to}\infty}\sup_{x{\in}X}d(u_n(x),u(x))=0 $$注解：（a）显然，一致收敛蕴含着逐点收敛。（b）反过来一般不对。令$X=(0,1),Y=\mathbb{R}$且$u_n(x)=x^n$。则序列$(u_n)$逐点收敛但是不一致收敛到0。（c）我们将用迪尼定理(Dini)证明一个部分的逆命题。记号：令$u_n:X{\to}\overline{\mathbb{R}}$为一列函数序列，我们记$u_n{\uparrow}u$当对于任意$x$和对于任意$n,u_n(x){\le}u_{n+1}(x)$且$$ u(x)=\sup_nu_n(x)=\lim_{n{\to}\infty}u_n(x) $$我们记$u_n{\downarrow}u$，当对于任意$x$和任意$n,u_{n+1}(x){\le}u_n(x)$且$$ u(x)=\inf_nu_n(x)=\lim_{n{\to}\infty}u_n(x) $$定理1.4.2（Dini）(迪尼定理)：令$X$为一个紧度量空间且令$u_n:X{\to}\mathbb{R}$为一列连续函数序列使得：（a）$u_n{\uparrow}u$或者$u_n{\downarrow}u$。（b）$u:X{\to}\mathbb{R}$是连续的。则$(u_n)$一致收敛到$u$。（迪尼定理告诉我们在紧度量空间中，函数列连续加上函数列单调收敛可以说明函数列的一致连续性。）证明：（反证法）假设不一致收敛$$ 0<\lim_{n{\to}\infty}\sup_n|u_n(x)-u(x)|=\inf_{n{\ge}0}\sup_{x{\in}X}|u_n(x)-u(x)| $$则存在$\varepsilon>0$和一个序列$(x_n){\subset}X$使得对于任意$n$，$$ \varepsilon{\le}|u_n(x_n)-u(x_n)| $$由单调性，我们有对于$0{\le}m{\le}n$，$$ \varepsilon{\le}|u_m(x_n)-u(x_n)| $$由紧致性，存在一列子序列$(x_{n_k})$收敛到$x$。由连续性质，我们得到对于任意$m{\ge}0$，$$ \varepsilon{\le}|u_m(x)-u(x)| $$但是则$(u_n)$不是逐点收敛到$u$。于是导出了矛盾。例子：（狄利克雷函数）我们用这个例子说明两个简单极限足够坏坏任一点的连续性。狄利克雷函数$$ u(x)=\lim_{m{\to}\infty}\lim_{n{\to}\infty}(cos{\pi}m!x)^{2n} $$当$x$是有理数时等于0，而当$x$是无理数的时候等于1.这个函数是到处不连续的。我们证明一致收敛保持连续性。狄利克雷函数是给出一个例子，点点收敛的连续函数列，极限可能没有任何点是连续的。我们也知道，一致收敛的连续函数列，其极限是连续的。勒贝格函数是一个一致收敛的函数列，所以其极限是连续的，但是极限函数没有一点是可微的。命题1.4.3令$X$和$Y$是度量空间，$y{\in}X$且$u_n:X{\to}Y$为一个序列使得：（a）$(u_n)$在$X$上一致收敛到$u$。（b）对于任意$n,u_n$是在$y$处连续的。则$u$是在$y$处连续的。（这个命题告诉我们在两个度量空间中，函数列一致收敛，且函数列在一点连续，则在该点收敛函数也是连续的）证明：令$\varepsilon>0$。由假设，存在$n$和$\delta>0$使得$$ \sup_{x{\in}X}d(u_n(x),u(x)){\le}\varepsilon且\sup_{x{\in}B[y,\delta]}d(u_n(x),u_n(y)){\le}\varepsilon $$因此对于任何$x{\in}B[y,\delta]$，$$ d(u(x),u(y)){\le}d(u(x),u_n(x))+d(u_n(x),u_n(y))+d(u_n(y),u(y)){\le}3\varepsilon $$因为$\varepsilon>0$是任意取定的，$u$在$y$处是连续的。定理1.4.4令$X$为一个集合且令$Y$为一个度量空间。在从$X$到$Y$的有界映射空间上，$$ \mathscr{B}(X,Y)=\left\{u:X{\to}Y:\sup_{x,y{\in}X}d(u…

连续性
type: item
date: 2020-04-09T15:51:47+08:00
description: 距离1.3 连续性让我们用距离函数定义连续性定义1.3.1令$X$和$Y$为度量空间。一个映射$u:X{\to}Y$是在$y{\in}X$处连续的：如果对于任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$使得$$ \sup\left\{d_Y(u(x),u(y)):x{\in}X,d_X(x,y){\le}\delta\right\}{\le}\varepsilon\tag{*} $$映射$u$是连续的如果对是在$X$的每一点都连续。映射$u$是一致连续的如果对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$使得$$ \omega_n(\delta)=\sup\left\{d_Y(u(x),u(y)):x,y{\in}X,d_X(x,y){\le}\delta\right\}{\le}\varepsilon $$函数$\omega_n$是$u$的连续模。注解：显然一致连续性蕴含着连续性。一般地，反过来是不成立的。当映射的定义域是一个紧空间的时候我们可以证明反过来的命题。例子：距离$d:X{\times}X{\to}\mathbb{R}$是一致连续的，因为$$ |d(x_1,x_2)-d(y_1,y_2)|{\le}2\max\left\{d(x_1,y_1),d(x_2,y_2)\right\} $$展开来细致讲解就是：不妨设$d(x_1,x_2){\ge}d(y_1,y_2)$，则有$$ \begin{aligned} |d(x_1,x_2)-d(y_1,y_2)|=d(x_1,x_2)-d(y_1,y_2)&{\le}d(x_1,y_1)+d(y_1,x_2)-d(y_1,y_1)\\ &{\le}d(x_1,y_1)+d(y_1,y_2)+d(y_2,x_2)-d(y_1,y_2)\\ &=d(x_1,y_1)+d(y_2,x_2)\\ &{\le}2\max\left\{d(x_1,y_1),d(x_2,y_2)\right\} \end{aligned} $$引理1.3.2令$X$和$Y$为度量空间，$u:X{\to}Y$，且$y{\in}X$。下列性质是等价的：（a）$u$是在$y$处连续的。（b）如果$(y_n)$在$X$中收敛到$y$，则$(u(y_n))$在$Y$中收敛到$u(y)$。证明：（反证法：下推上）假设$u$不在$y$处收敛。则存在$\varepsilon>0$使得对任意$n$，存在$y_n{\in}X$使得$$ d_X(y_n,y){\le}1/n和d_Y(u(y_n),u(y))>\varepsilon $$但是则$(y_n)$在$X$中收敛到$y$且$u(y_n)$不收敛到$u(y)$。（与（b）矛盾）。上推下：令$u$为在$y$处收敛且$(y_n)$收敛到$y$。令$\varepsilon>0$。则存在$\delta>0$使得$(*)$满足，且存在$m$使得对于任意$n{\ge}m,d_X(y_n,y){\le}\delta$。因此对于$n{\ge}m,d_Y(u(y_n),u(y)){\le}\varepsilon$。因为$\varepsilon>0$是任意的，$(u(y_n))$收敛到$u(y)$。命题1.3.3令$X$和$Y$为度量空间，$K$是$X$的一个紧子集，且$u:X{\to}Y$为一个连续映射，在$X{\backslash}K$上为常数。则$u$是一致连续的。例如：考虑一个定义在$\mathbb{R}$上的连续函数，如果在$[0,1]$外面是一个常数值，则在$\mathbb{R}$上是一致连续的。证明：假设$u$不是一致连续的。则存在$\varepsilon>0$使得对于任意$n$，存在$x_n{\in}X$且$y_n{\in}K$使得$$ d_X(x_n,y_n){\le}1/n和d_Y(u(x_n),u(y_n))>\varepsilon $$由紧性质，存在一个子序列$(y_{n_k})$收敛到$y$。因此$(x_{n_k})$也收敛到$y$。于是由$u$在$y$处的连续性质和上面的引理有$$ \begin{aligned} \varepsilon&{\le}\varliminf_{k{\to}\infty}d_Y(u(x_{n_k}),u(y_{n_k}))\\ &{\le}\lim_{n{\to}\infty}d_Y(u(x_{n_k}),u(y))+\lim_{n{\to}\infty}d_Y(u(y),u(y_{n_k}))=0 \end{aligned} $$这个导出了矛盾。引理1.3.4令$X$为一个集合且$F:X{\to}(-\infty,+\infty]$为一个函数。则存在一个序列$(y_n){\subset}X$使得$\lim_{…

度量空间
type: item
date: 2020-04-09T15:49:00+08:00
description: 距离1.2 度量空间度量空间是在1996年由Maurice Frechet提出的。定义1.2.1在一个集合$X$上的一个距离是一个函数$$ X{\times}X{\to}\mathbb{R}:(u,v){\to}d(u,v) $$使得：$(\mathcal{D_1})$：对于任意$u,v{\in}X,d(u,v)=0{\iff}u=v$。$(\mathcal{D_2})$：对于任意$u,v{\in}X,d(u,v)=d(v,u)$。$(\mathcal{D_3})$：（三角不等式）对于任意$u,v,w{\in}X,d(u,w){\le}d(u,v)+d(v,w)$。一个度量空间是一个集合加上在这个集合上的一个距离。例子：1，令$(X,d)$为一个度量空间且令$S{\subset}X$，集合$S$加上距离$d$（限制在$S{\times}S$）上是一个度量空间。2，令$(X_1,d_1)$和$(X_2,d_2)$是度量空间。则集合$X_1{\times}X_2$加上$$ d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\max\left\{d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2)\right\} $$是一个度量空间。3，我们定义在空间$\mathbb{R}^N$上的距离为$$ d(x,y)=\max\left\{|x_1-y_1|,{\cdots},|x_n-y_n|\right\} $$在这个定义下，球$B(u,r)=\left\{v:d(u,v)<r\right\}$是一个个离散的点，未必在一条线上。4，我们定义在空间$C([0,1)]=\left\{u:[0,1]{\to}\mathbb{R}:u是连续的\right\}$为$$ d(u,v)=\max_{x{\in}[0,1]}|u(x)-v(x)| $$这是一个函数空间的例子，是一个线性空间，并且是无穷维的线性空间。定义1.2.2考虑度量空间上的收敛问题。令$X$为一个度量空间。一个序列$(u_n){\subset}X$收敛到$u{\in}X$如果$$ \lim_{n{\to}\infty}d(u_n,u)=0 $$则我们记$\lim_{n{\to}\infty}u_n=u$或者$u_n{\to}u,n{\to}\infty$。序列$(u_n)$是一个柯西序列：如果$$ \lim_{j,k{\to}\infty}d(u_j,u_k)=0 $$序列$(u_n)$是有界的：如果$$ \sup_nd(u_0,u_n)<\infty $$命题1.2.3任意收敛序列是一个柯西序列。任意柯西序列是一个有界序列。证明：如果$(u_n)$收敛到$u$，则由三角不等式，于是有$$ 0{\le}d(u_j,u_k){\le}d(u_j,u)+d(u,u_k) $$于是取极限，再由收敛则有$\lim_{j,k{\to}\infty}d(u_j,u_k)=0$。（反之未必成立，必须包含一个收敛子序列的柯西序列才收敛）如果$(u_n)$是一个柯西序列，则存在$m$，使得对$j,k{\ge}m,d(u_j,u_k){\le}1$。我们得到对于任意$n$有$$ d(u_0,u_n){\le}\max\left\{d(u_0,u_1),{\cdots},d(u_0,u_{m-1}),d(u_0,u_m)+1\right\} $$定义1.2.4.一个序列$(u_{n_j})$是序列$(u_n)$的子序列：指的是如果对任意$j,n_j<n_{j+1}$。定义1.2.5令$X$为一个度量空间。空间$X$是完备的指的是：如果任意柯西序列在$X$中收敛（意味着柯西序列收敛到这个空间里面）。空间$X$是仿紧的指的是：如果任意序列在$X$中包含一个柯西子序列（这个子序列未必收敛到$X$中）。空间$X$是紧的指的是：如果任意序列在$X$中包含一个收敛子序列。（这个子序列必须收敛到$X$中）。注解：（a）完备性允许我们不用极限，就可以证明一个序列的收敛。（b）紧致性将会用在证明存在性定理和找到隐藏的一致性上。下面命题的证明留给读者。命题1.2.6任意包含一个收敛子序列的柯西序列收敛。任意一个收敛，柯西或者有界序列的子序列也是收敛、柯西或者有界的。证明：这里是度量空间中，并且$X$未曾说明是完备的或者有紧性质。我们考虑包含一个收敛子序列的柯西序列$(u_n)$，其收敛子序列为$(u_{n_j})$。由于该序列是柯西序列，故有$$ \lim_{n,j{\to}\infty}d(u_n,u_j)=0 $$而子序列是收敛的，故有$$ \lim_{n{\to}\infty}d(u_{n_j},u)=0,u{\in}X $$由于三角不等式，我们有$$ 0{\le}d(u_n,u){\le}d(u_n,u_{n_j})+d(…

实数系统
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date: 2020-04-09T15:47:13+08:00
description: 距离1.1 实数分析基于实数。定义1.1.1.令$S$为$\mathbb{R}$的一个非空子集。一个实数$x$是这个非空子集$S$的上界：如果对于所有的$s{\in}S,s{\le}x$。一个实数$x$是这个非空子集$S$的上确界：$x$是$S$的上界且对任一$S$的上界$y$，有$x{\le}y$（最小上界），记为$\sup{S}$。一个实数$x$是这个非空子集$S$的最大值：$x$是$S$的上确界且$x{\in}S$（可以取到的最小上界），记为$\max{S}$。一个实数$x$是这个非空子集$S$的下界：如果对于所有的$s{\in}S,s{\ge}x$。一个实数$x$是这个非空子集$S$的下确界：$x$是$S$的下界且对任一$S$的下界$y$，有$x{\ge}y$（最大下界），记为$\inf{S}$。一个实数$x$是这个非空子集$S$的最小值：$x$是$S$的下确界且$x{\in}S$（可以取到的最大下界），记为$\min{S}$。让我们回忆$\mathbb{R}$实数的基本性质。公理1.1.2.任何$\mathbb{R}$上有上界的的非空子集必有一个上确界。在延拓后的实数系统中，任一$\mathbb{R}$的子集有一个上确界和一个下确界。定义1.1.3.延拓后的实数系统$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}{\cup}\left\{-\infty,+\infty\right\}$有下面的性质：（a）如果$x{\in}\mathbb{R}$，则$-\infty<x<+\infty$且$x+(+\infty)=(+\infty)+x=+\infty,x+(-\infty)=(-\infty)+x=-\infty$。（b）如果$x>0$，则$x{\cdot}(+\infty)=(+\infty){\cdot}x=+\infty,x{\cdot}(-\infty)=(-\infty){\cdot}x=-\infty$。（c）如果$x<0$，则$x{\cdot}(+\infty)=(+\infty){\cdot}x=-\infty,x{\cdot}(-\infty)=(-\infty){\cdot}x=+\infty$。如果$S{\subset}\mathbb{R}$没有上界，则$\sup{S}=+\infty$。如果$S{\subset}\mathbb{R}$没有下界，则$\inf{S}=-\infty$。最终$\sup{\varnothing}=-\infty$且$\inf{\varnothing}=+\infty$。因为是空集，所以既没有上界也没有下界。定义1.1.4.令$X$为一个集合且$F:X{\to}\overline{\mathbb{R}}$。我们定义$$ \sup_XF=\sup_{x{\in}X}F(x)=\sup\left\{F(x):x{\in}X\right\},\inf_XF=\inf_{x{\in}X}F(x)=\inf\left\{F(x):x{\in}X\right\} $$这就是函数集合上的上确界和下确界的定义。命题1.1.5.令$X$和$Y$为集合且$f:X{\times}Y{\to}\overline{\mathbb{R}}$。则$$ \sup_{x{\in}X}\sup_{y{\in}Y}f(x,y)=\sup_{y{\in}Y}\sup_{x{\in}X}f(x,y),\sup_{x{\in}X}\inf_{y{\in}Y}f(x,y){\le}\inf_{y{\in}Y}\sup_{x{\in}X}f(x,y) $$这个是二元函数集合的上确界（我们看到可以交换），后者是先取下界再取上界小于等于先取上界再取下界。这里给出一个满足严格不等式的例子：令$X=Y=\left\{0,1\right\}$，做函数$f:X{\times}Y{\to}\overline{\mathbb{R}}$满足：$$ f(0,0)=1,f(0,1)=3,f(1,0)=4,f(1,1)=2 $$则有$$ \sup_{x{\in}X}\inf_{y{\in}Y}f(x,y)=2<3=\inf_{y{\in}Y}\sup_{x{\in}X}f(x,y) $$定义1.1.6.一个序列$(x_n){\subset}\overline{\mathbb{R}}$是递增的：如果对任意$n,x_n{\le}x_{n+1}$。序列$(x_n)$是递减的：如果对任意$n,x_{n+1}{\le}x_n$。序列$(x_n)$是单调的如果它是递增的或者递减的。定义1.1.7.序列$(x_n){\subset}\overline{\mathbb{R}}$的下极限定义为$$ \varliminf_{n{\to}\in…