能量积分法证明唯一性和稳定性

双曲方程

考虑定解问题解的唯一性和稳定性,多解?解是否连续依赖于定解条件的问题。

对受摩擦力作用且具固定端点的有界弦振动,满足方程:

$$ u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t $$

其中常数$c>0$,证明其能量是减少的,并由此证明方程

$$ u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t+f $$

的初边值问题解的唯一性,以及关于初始条件及自由项的稳定性。

证明:

能量减少

首先我们证明能量是减少的:能量表达式

$$ E(t)=\int^l_0(u_t^2+a^2u_x^2)dx $$

仅需对其关于$t$求导:随着时间的能量变化

$$ \begin{aligned} \frac{dE(t)}{dt}=&\int^l_0(2u_tu_{tt}+2a^2u_xu_{xt})dx\\ =&2\int^l_0u_tu_{tt}dx+2a^2[u_xu_t]^l_0-2a^2\int^l_0u_tu_{xx}dx\\ =&2\int^l_0u_t(u_{tt}-a^2u_{xx})dx+2a^2u_xu_t|^l_0 \end{aligned} $$

因为弦的两端固定,也即$u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0$,于是

$$ u_t|_{x=0}=0,u_t|_{x=l}=0 $$

于是

$$ \begin{aligned} \frac{dE(t)}{dt}=&2\int^l_0u_t(u_{tt}-a^2u_{xx})dx\\ =&-2c\int^l_0u_t^2dx<0 \end{aligned} $$

这是因为$c>0$。

于是我们知道,随着$t$的增加,$E(t)$是减少的。

这里利用了一个分部积分,然后再利用弦的两端固定知道其随着时间在两端的变化率为0,从而消去多余项,最后利用弦振动方程等效,于是得到结果。

混合问题解的唯一性

$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t+f\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}=\varphi(x),u_t|_{t=0}=\psi(x) \end{cases} $$

设$u_1,u_2$为上述问题的解(反证法),令$u=u_1-u_2$,则$u$满足:

$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}=0,u_t|_{t=0}=0 \end{cases} $$

能量

$$ E(t)=\int^l_0(u_t^2+a^2u_x^2)dx $$

当$t=0$时,利用初始条件有$u_t|_{t=0}=0$,由$u|_{t=0}=0$,知道

$$ u_x|_{t=0}=0 $$

所以

$$ E(0)=0 $$

又$E(t)$是减少的,所以当$t>0$时,有$E(t){\le}E(0)=0$,又由$E(t)$的表达式知$E(t){\ge}0$。

于是有$E(t)=0$。

由此可以得到$u_t=0,u_x=0$,于是$u=const$。

于是再由初始条件$u|_{t=0}=0$,得到$u=0$,于是$u_1=u_2$,也即混合问题解是唯一的。

这个先用反证法,然后把问题转为没有非齐次项的边值问题,也即将两个解做差满足齐次方程的边值条件,然后利用初始条件推出初始能量为0,再由上面能量减少,和能量必然为正推出能量一直是0,于是用到初始条件可以知道差必然是常数,再用初始条件知道其必然为0即可。

解关于初始条件的稳定性

也即对于任意$\varepsilon>0$,可以找到$\eta>0$,只要初始条件之差$\varphi_1-\varphi_2,\psi_1-\psi_2$满足

$$ \|\varphi_1-\varphi_2\|_{L^2}<\eta,\|\varphi_{1x}-\varphi_{2x}\|_{L^2}<\eta,\|\psi_1-\psi_2\|_{L^2}<\eta $$

则始值$(\varphi_1,\psi_1)$所对应的解$u_1$,以及$(\varphi_2-\psi_2)$所对应的解$u_2$之差$u_1-u_2$满足

$$ \|u_1-u_2\|_{L^2}<\varepsilon $$

$$ E_0(t)=\int^l_0u^2(x,t)dx $$

$$ \frac{dE_0(t)}{dt}=2\int^l_0u{\cdot}u_tdx{\le}\int^l_0u^2dx+\int^l_{0}u_t^2dx{\le}E_0(t)+E(t) $$

也即

$$ \frac{d}{dt}(e^{-t}E_0(t)){\le}e^{-1}E(t) $$

积分得到:

$$ E_0(t){\le}e^{t}E_0(t)+e^t\int^l_0e^{-\tau}d\tau $$

也即

$$ E_0(t){\le}e^tE_0(t)+(e^t-1)E(0) $$

记$\widetilde{\varphi}=\varphi_1-\varphi_2,\widetilde{\psi}=\psi_1-\psi_2$,则$\widetilde{u}=u_1-u_2$满足:

$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}=\widetilde{\varphi},u_t|_{t=0}=\widetilde{\psi} \end{cases} $$

则相对应地有:

$$ E_0(0)=\int^l_0\widetilde{\varphi}^2dx $$

$$ E(0)=\int(\widetilde{\psi}^2+a^2\widetilde{\varphi}_{x^2})dx $$

所以如果

$$ \|\widetilde{\varphi}\|_{L^2}=(\int^l_0\widetilde{\varphi}^2dx)^{\frac{1}{2}}<\eta,\|\widetilde{\varphi}_x\|_{L^2}=(\int^l_0\widetilde{\varphi}_{x^2}dx)^{\frac{1}{2}}<\eta\\ \|\widetilde{\psi}\|_{L^2}=(\int^l_0\widetilde{\psi}^2dx)^{\frac{1}{2}}<\eta $$

$$ E_0(0)<\eta^2,E(0)<(1+a^2)\eta^2 $$

于是

$$ \|u\|^2_{L^2}=E_0(t)>[e^t+(e^t-1)(1+a^2)]\eta^2<\varepsilon^2,{\forall}t $$

也即$\|u\|_{L^2}<\varepsilon$或

$$ (\int^T_0\int^l_0u^2dxdt)^{\frac{1}{2}}<\eta(\int^T_0[e^t+(e^t-1)(1+a^2)]dt)^{\frac{1}{2}}<\varepsilon^1 $$

其实这个的思路在于:初始条件之差,引起的解之差,满足了一个齐次方程的初边值问题。相应地对这个方程进行能量讨论。主要是通过一个不等式放大,然后积分得到一个关于指数函数的不等式估计,然后再对这个初始条件之差的估计,我们得到关于解的相差很小即可。

解关于自由项的稳定性

设$u_1(x,t)$满足

$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t+f_1\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}={\varphi},u_t|_{t=0}={\psi} \end{cases} $$

而$u_2(x,t)$满足

$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t+f_2\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}={\varphi},u_t|_{t=0}={\psi} \end{cases} $$

则$u=u_1-u_2$满足:

$$ \begin{cases} u_{tt}=a^2u_{xx}-cu_t+(f_1-f_2)\\ u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}={0},u_t|_{t=0}={0} \end{cases} $$

现在建立有外力作用时的能量不等式,记$f=f_1-f_2$,为:

$$ E(t)=\int^l_0(u_t^2+a^2u_x^2)dx $$

$$ \begin{aligned} \frac{dE(t)}{dt}=&2\int^l_0(u_tu_{tt}+a^2u_{x}u_{xt})dx\\ =&2\int^l_0u_t(u_{tt}-a^2u_{xx})dx\\ =&2\int^l_0(-cu_t^2+u_tf)dx\\ {\le}&2\int^l_0u_tfdx{\le}\int^l_0u_t^2dx+\int^l_0f^2dx{\le}E(t)+F(t) \end{aligned} $$

其中$F(t)=\int^l_{0}f^2dx$,于是

$$ E(t){\le}E(0)e^t+e^t\int^l_0e^{-t}F(\tau)d{\tau} $$

又$E(0)=0$(由初始值),于是

$$ E(t){\le}e^t\int^t_0e^{-\tau}F(\tau)d{\tau}=e^t\int^t_0e^{-\tau}d{\tau}\int^l_0f^2dx\\ {\le}e^t\int^T_0\int^t_0dxdt=K^2e^t $$

在上面的稳定性研究中我们已经知道:

$$ E_0(t){\le}e^tE_0(0)+e^t\int^t_0e^{-\tau}E(\tau)d{\tau} $$

而$E_0(0)=0$(由初始值),所以

$$ E_0(t)=e^t\int^t_0e^{-\tau}E(\tau)d{\tau}{\le}e^t\int^t_0K^2d{\tau}=te^tK^2 $$

$$ \int^T_0E_0(t)t=\int^T_0K^2te^tdt=K^2[(T-1)e^T+1] $$

因此,当$K=\sqrt{\int^T_0\int^l_0f^2dxdt}<\eta$,则

$$ \sqrt{\int^T_0\int^l_0u_0^2dxdt}<\eta\sqrt{(T-1)e^T+1}<\varepsilon $$

也即当$\sqrt{\int^T_0\int^l_0(f_1-f_2)^2dxdt}<\eta$,则$\sqrt{\int^T_0\int^l_0(u_1-u_2)^2dxdt}<\varepsilon$,也即解关于自由项是稳定的。

椭圆方程

讨论$C^2(\Omega){\cap}C^1(\overline{\Omega})$中的调和函数,可以利用能量积分法来解决边值问题的解的唯一性。

我们讨论有界区域$\Omega$上的泊松方程的第一或者第二边值问题解的唯一性。

$$ \begin{cases} \Delta{u}=f(x)\\ u|_{\partial{\Omega}}=0 \end{cases}{\quad} \begin{cases} \Delta{u}=f(x)\\ \frac{\partial{u}}{\partial{n}}|_{\partial{\Omega}}=0 \end{cases} $$

令$u=u_1-u_2$,其中$u_1,u_2$都是上述问题的两个解。

我们知道对于调和函数$u$,其能量积分(总位能)为:

$$ \begin{aligned} E(u)=&\frac{1}{2}\iiint_{\Omega}\left[(\frac{\partial{u}}{\partial{x}})^2+(\frac{\partial{u}}{\partial{y}})^2+(\frac{\partial{u}}{\partial{z}})^2\right]dxdydz\\ =&\frac{1}{2}\iiint_{\Omega}\left[\frac{\partial}{\partial{x}}(u\frac{\partial{u}}{\partial{x}})+\frac{\partial}{\partial{y}}(u\frac{\partial{u}}{\partial{y}})+\frac{\partial}{\partial{z}}(u\frac{\partial{u}}{\partial{z}})-u{\Delta}u\right]dxdydz \end{aligned} $$

上述是用了分部积分整理成这个形式。由于$u$是调和函数$\Delta{u}=0$,于是可以再利用格林公式:

$$ E(u)=\frac{1}{2}\iint_{\partial{\Omega}}u\frac{\partial{u}}{\partial{n}}dS $$

在讨论第一边值问题的唯一性的时候,因为$u|_{\partial{\Omega}}=0$,所以$E(u)=0$。

在讨论第二边值问题的唯一性的时候,因为$\frac{\partial{u}}{\partial{n}}|_{\partial{\Omega}}=0$,所以$E(u)=0$。

于是在$\Omega$中成立

$$ \frac{\partial{u}}{\partial{x}}=\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=\frac{\partial{u}}{\partial{z}} $$

于是$u{\equiv}C$,于是对于第二边值问题,在允许相差任意一个常数的意义下,解是唯一的。而对于第一边值问题,在边界上$u=0$,于是只能是$u{\equiv}0$。

于是解决了解的唯一性问题。

例题

设$u(x,t)$是混合问题

$$ \begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0,0<x<l,t>0\\ u(x,0)=u_t(x,0)=0,0{\le}x{\le}l\\ u(0,t)=u(l,t)=0,t{\ge}0 \end{cases} $$

的古典解,证明$u(x,t)=0$。

证明:将方程两边同时乘以$u_t$并且关于$x$在$[0,l]$上积分得到

$$ \int^l_0u_tu_{tt}dx-\int^l_0u_tu_{tt}dx=0 $$

利用分部积分和边界条件$u(0,t)=u(l,t)=0$得:

$$ \frac{d}{dt}\int^l_0(u_t^2+u_x^2)dx=0 $$

上式两边关于$t$从$0$到$t$积分,并利用$u(x,0)=u_t(x,0)=0$得到:

$$ \int^l_0\left[u_t^2(x,t)+u_x^2(x,t)\right]dx=\int^l_0\left[u_t^2(x,0)+u_x^2(x,0)\right]dx=0 $$

由上式以及$u_t(x,t)$和$u_x(x,t)$的连续性得到:$u_t(x,t)=u_x(x,t)=0$。也即$u(x,t)$恒为常数,由于$u(x,0)=0$,于是$u(x,t){\equiv}0$。

例题2

设$u(x,y,z,t)$是带一阶耗散项的波动方程的初边值问题:

$$ \begin{cases} u_{tt}-a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})+{\alpha}u_t=0,{\quad}(x,y,z){\in}\Omega,t>0\\ u|_{t=0}=\varphi(x,y,z),u_t|_{t=0}=\psi(x,y,z){\quad}(x,y,z){\in}\overline{\Omega}\\ u|_{\partial{\Omega}{\times}[0,\infty)}=0 \end{cases} $$

的解,$\alpha>0$为常数,$\Omega{\subset}R^3$为具有光滑边界$\partial{\Omega}$的有界区域

证明其能量积分

$$ E(t)=\frac{1}{2}\iiint_{\Omega}[u_t^2+a^2(u_x^2+u_y^2+u_z^2)]dxdydz $$

随着时间增加而不增加,然后证明该问题解的唯一性。

证明:

(1)也即要证明问题的能量积分关于$t$求导不大于0,也即$\frac{dE(t)}{dt}{\le}0$即可。

$$ \begin{aligned} \frac{dE(t)}{dt}=&\iiint_{\Omega}\left[u_tu_{tt}+a^2(u_xu_{xt}+u_yu_{yt}+u_zu_{zt})\right]dxdydz\\ =&\iiint_{\Omega}[u_tu_{tt}+a^2{\nabla}u{\cdot}\nabla{u_t}]dxdydz\\ =&\iiint_{\Omega}[u_t(u_{tt}-a^2{\Delta}u)]dxdydz+a^2\iint_{\partial{\Omega}}\frac{\partial{u}}{\partial{n}}u_tdS\\ =&-\iiint_{\Omega}\alpha{u}_t^2dxdydz+a^2\iint_{\partial{\Omega}}\frac{\partial{u}}{\partial{n}}u_tdS\\ =&-\iiint_{\Omega}\alpha{u_t}^2dxdydz{\le}0 \end{aligned} $$

(2)设$u_1$和$u_2$是混合问题的解,则它们的差$u=u_1-u_2$是混合问题:

$$ \begin{cases} u_{tt}-a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})+{\alpha}u_t=0,{\quad}(x,y,z){\in}\Omega,t>0\\ u|_{t=0}=0,u_t|_{t=0}=0{\quad}(x,y,z){\in}\overline{\Omega}\\ u|_{\partial{\Omega}{\times}[0,\infty)}=0 \end{cases} $$

的解,由于(1)知$0{\le}E(t){\le}E(0)$,又在以上的问题中知道$E(0)=0$,于是$E(t)=0$,于是

$$ u_t=u_x=u_y=u_z=0 $$

也即$u{\equiv}$常数,又因为$u|_{t=0}=0$,所以

$$ u(x,y,z,t)=0 $$

这就证明了混合问题解的唯一性。

Last modification:July 24th, 2020 at 10:12 am
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