Haim4

这一章节主要讲述$L^p$空间的自反，可分性质和对偶空间

1.3自反性,可分性,$L^p$的对偶

我们考虑分开下面三个情况：
（A）$1<p<\infty$

（B）$p=1$

（C）$p=\infty$

情况A

关于$L^p(\Omega),1<p<\infty$的性质有：

这个情况是最好的：$L^p$是自反的，可分的且$L^p$的对偶空间是$L^{p'}$。

定理4.10

$L^p$是自反的，对于任意$p,1<p<\infty$。

这个证明分为三步骤进行：

步骤1：（Clarkson第一不等式）。令$2{\le}p<\infty$。我们断言

$$ \|\frac{f+g}{2}\|^p_p+\|\frac{f-g}{2}\|^p_p{\le}\frac{1}{2}(\|f\|^p_p+\|g\|^p_p),{\forall}f,g{\in}L^p $$

上述不等式的证明：显然，足够说明有

$$ |\frac{a+b}{2}|^p+|\frac{a-b}{2}|^p{\le}\frac{1}{2}(|a|^p+|b|^p),{\forall}a,b{\in}\mathbb{R} $$

首先我们记下

$$ \alpha^p+\beta^p{\le}(\alpha^2+\beta^2)^{p/2},{\forall}\alpha,\beta{\ge}0 $$

（由同构，假设$\beta=1$，且注意到函数

$$ (x^2+1)^{p/2}-x^p-1） $$

在$[0,\infty)$上递增）。取定$\alpha=|\frac{a+b}{2}|$且$\beta=|\frac{a-b}{2}|$，我们可以得到

$$ |\frac{a+b}{2}|^p+|\frac{a-b}{2}|^p{\le}(|\frac{a+b}{2}|^2+|\frac{a-b}{2}|^2)^{p/2} =(\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2})^{p/2}{\le}\frac{1}{2}(|a|^p+|b|^p) $$

（最后的不等式实由函数$x{\mapsto}|x|^{p/2}$的凸性质推出的，因为$p{\ge}2$）。

步骤2：$L^p$是一致凸的，且因此对$2{\le}p<\infty$来说是自反的。事实上令$\varepsilon>0$且令$f,g{\in}L^p$其中$\|f\|_p{\le}1,\|g\|_p{\le}1$，且$\|f-g\|_p>\varepsilon$。我们可以由Clarkson第一不等式推出

$$ \|\frac{f+g}{2}\|^p_p<1-(\frac{\varepsilon}{2})^p $$

且因此$\|\frac{f+g}{2}\|<1-\delta$，其中$\delta=1-[1-(\frac{\varepsilon}{2})^p]^{1/p}>0$。因此，$L^p$是一致凸的且由定理3.31可知是自反的。

步骤3：$L^p$对于$1<p{\le}2$是自反的。

证明：令$1<p<\infty$。考虑算子$T:L^p{\to}(L^{p'})^*$定义为下面：令$u{\in}L^p$为固定元素，映射$f{\in}L^{p'}{\mapsto}\int{u}f$是一个连续线性泛函于$L^{p'}$上，且因此定义了一个元素，称为$Tu$，在$(L^{p'})^*$中，使得

$$ \left \langle Tu,f \right \rangle=\int{u}f{\quad}{\forall}f{\in}L^{p'} $$

我们断言

$$ \|Tu\|_{(L^{p'})^*}=\|u\|_p,{\forall}u{\in}L^p\tag{9} $$

事实上，由赫尔德不等式，我们有

$$ |\left \langle Tu,f \right \rangle |{\le}\|u\|_p\|f\|_{p'},{\forall}f{\in}L^{p'} $$

且因此$\|Tu\|_{(L^{p'})^*}{\le}\|u\|_{p^*}$。

另一方面，集合

$$ f_0(x)=|u(x)|^{p-2}u(x){\quad}(f_0(x)=0,if{\;}u(x)=0) $$

显然我们有

$$ f_0{\in}L^{p'},\|f_0\|_{p'}=\|u\|_p^{p-1},\left \langle Tu,f_0 \right \rangle=\|u\|^p_{p} $$

因此

$$ \|Tu\|_{(L^{p'})^*}{\ge}\frac{\left \langle Tu,f_0 \right \rangle}{\|f_0\|_{p'}}=\|u\|_{p^*}\tag{10} $$

因此，我们已经说明了$T$是一个从$L^p$到$(L^{p'})^*$的等距映射，这暗示$T(L^p)$是一个$(L^{p'})^*$中的闭子集。（因为$L^p$是一个巴拿赫空间）

假设现在$1<p{\le}2$，因为$L^{p'}$是自反的（由步骤2），于是$(L^{p'})^*$也是自反的（推论3.21）。我们可以总结，由命题3.20，$T(L^p)$是自反的，且作为结果$L^p$是自反的。

注：事实上，$L^p$对于$1<p{\le}2$也是一致凸的。这是关于Clarkson第二不等式的一个结论。这在$1<p{\le}2$成立：

$$ \|\frac{f+g}{2}\|^{p'}_p+\|\frac{f-g}{2}\|^{p'}_p{\le}(\frac{1}{2}\|f\|^p_p+\frac{1}{2}\|g\|^p_p)^{1/(p-1)},{\forall}f,g{\in}L^p $$

这个不等式比第一不等式更容易证明。显然它蕴含着$L^p$是一致凸的，当$1<p{\le}2$时成立。

定理4.11

里斯表示定理：令$1<p<\infty$且令$\phi{\in}(L^{p})^*$。则存在一个唯一的函数$u{\in}L^{p'}$使得

$$ \left \langle \phi,f \right \rangle=\int{uf}{\quad},{\forall}f{\in}L^p $$

更甚者

$$ \|u\|_{p'}=\|\phi\|_{(L^{p})^*} $$

注解：定理4.11非常重要，它说明了任何连续线性泛函在$L^p$上，其中$1<p<\infty$可以表示为一个积分的形式。映射$\phi{\mapsto}u$，是一个线性满等距映射，可以让我们由$L^{p'}$定义其抽象空间$(L^{p})^*$。

在下文中，我们将会系统地确定

$$ (L^{p})^*=L^{p'} $$

证明：我们考虑算子$T:L^{p'}{\to}(L^{p})^*$定义为$\left \langle Tu,f \right \rangle=\int{uf} ,{\forall}u{\in}L^{p'},{\forall}f{\in}L^p$。由定理4.10（步骤三）证明中的论据可以说明

$$ \|Tu\|_{(L^{p})^*}=\|u\|_{p'},{\forall}u{\in}L^{p'} $$

我们断言$T$是一个满射，事实上，令$E=T(L^{p'})$。因为$E$是一个闭子空间，足够证明$E$在$(L^{p})^*$空间中稠密。令$h{\in}(L^{p})^{**}$满足$\left \langle h,Tu \right \rangle=0,{\forall}u {\in}L^{p'}$。因为$L^p$是自反的，且满足$\int{uh}=0,{\forall}u{\in}L^{p'}$。取定$u=|h|^{p-2}h$，我们可以看到$h=0$。

定理4.12

对于任意$p,1{\le}p<\infty$，空间$C_c(\mathbb{R}^N)$在$L^p(\mathbb{R}^N)$中稠密。

在证明定理4.12之前，我们需要给出一些记号。

记号

截断算子$T_n:\mathbb{R}{\to}\mathbb{R}$定义为：

$$ T_nr= \begin{cases} r{\quad}if|r|{\le}n\\ \frac{nr}{|r|}{\quad}if|r|>n \end{cases} $$

给定一个集合$E{\subset}\Omega$，我们定义特征函数$\chi_E$为

$$ \chi_E(x)=\begin{cases} 1{\quad}ifx{\in}E\\ 0{\quad}ifx{\in}\Omega{\backslash}E \end{cases} $$

证明：首先，我们断言给定$f{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$且$\varepsilon>0$，存在一个函数$g{\in}L^{\infty}(\mathbb{R})^N$和一个在$\mathbb{R}^N$中的紧集$K$，使得在$K$外面$g=0$，且

$$ \|f-g\|_p<\varepsilon\tag{11} $$

事实上，令$\chi_n$为关于$B(0,n)$的特征函数且令$f_n=\chi_nT_nf$。由控制收敛定理，我们可以看到$\|f_n-f\|_p{\to}0$且因此我们可以取到$g=f_n$，其中$n$足够大。然后，给定$\delta>0$存在（由定理4.3）一个函数$g_1{\in}C_c(\mathbb{R}^N)$使得

$$ \|g-g_1\|<\delta $$

我们常常假设$\|g_1\|_{\infty}{\le}\|g\|_{\infty}$。另一方面，我们用$T_ng_1$代替$g_1$，其中$n=\|g\|_{\infty}$。最终，我们得到

$$ \|g-g_1\|_{p}{\le}\|g-g_1\|^{1/p}_1\|g-g_1\|^{1-(1/p)}_{\infty}{\le}\delta^{1/p}(2\|g\|_{\infty})^{1-(1/p)} $$

我们取定$\delta>0$足够小，总结有

$$ \delta^{1/p}(2\|g\|_{\infty})^{1-(1/p)}<\varepsilon $$

于是说明了稠密性。

定义

可测空间$\Omega$被称为可分的，指的是：如果有一个$\mathcal{M}$的可数集族$(E_n)$，使得由$(E_n)$生成的$\sigma-$代数与$\mathcal(M)$相同（也即：$\mathcal{M}$是包含所有$E_n$的最小的$\sigma-$代数）

例子：可测空间$\mathbb{R}^N$是可分的。事实上，我们可以选取对$(E_n)$的任意可数开集族，使得任意在$\mathbb{R}^N$中的开集都能记为$E_n$的并集。更一般地，如果$\Omega$是可分的度量空间且$\mathcal{M}$由所有的博雷尔集合组成（也即：$\mathcal{M}$是由在$\Omega$中的开集生成的$\sigma-$代数），则$\Omega$是一个可分的度量空间。

定理4.13

假设$\Omega$是一个可分的可测空间。则$L^p(\Omega)$是对任意$p,1{\le}p<\infty$的可分空间。

我们接下来只考虑情况$\Omega=\mathbb{R}^N$，因为一般情况是稍微棘手的。注意到一个结论，$L^p(\Omega)$对于任意可测集$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$是可分的。事实上，有一个规范等距映射从$L^p(\Omega)$到$L^p(\mathbb{R}^N)$（在$\Omega$外由0延拓）；因此$L^p(\Omega)$可以被定义为$L^p(\mathbb{R}^N)$的一个子集，且因此$L^p(\Omega)$是可分的（由命题3.25）。

然后是定理4.13的证明：当$\Omega=\mathbb{R}^N$。令$\mathcal{R}$定义为在$\mathbb{R}^N$中的可数集族，形式为$\mathcal{R}=\prod^N_{k=1}(a_k,b_k)$，其中$a_k,b_k{\in}\mathbb{Q}$。令$\mathcal{E}$定义为由函数$(\chi_R)_{R{\in}\mathcal{R}}$遍历$\mathbb{Q}$生成的向量空间，那就是$\mathcal{E}$由带有合理系数的函数$\chi_R$有限线性组合组成的，于是$\mathcal{E}$是可数的。

我们断言$\mathcal{E}$是在$L^p(\mathbb{R}^N)$中稠密的。事实上，给定$f{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$且$\varepsilon>0$，存在某个$f_1{\in}C_c(\mathbb{R}^N)$使得$\|f-f_1\|_p<\varepsilon$。令$R{\in}\mathcal{R}$为任意立方体包含$supp{\;}f_1$（$f_1$的支集）。给定$\delta>0$容易构造一个函数$f_2{\in}\mathcal{E}$使得$\|f_1-f_2\|_{\infty}<\delta$且$f_2$在$R$之外消逝：这足够将$R$分割为$\mathcal{R}$的小立方体，其中$f_1$的振幅（也即：$\sup-\inf$）小于$\delta$。因此我们有$\|f_1-f_2\|_p{\le}\|f_1-f_2\|_{\infty}|R|^{1/p}<\delta|R|^{1/p}$。我们总结有$\|f-f_2\|_p<2{\varepsilon}$，给定$\delta>0$，于是有$\delta|R|^{1/p}<\varepsilon$。

情况B

关于$L^1(\Omega)$

我们从$L^1(\Omega)$对偶空间的描述开始。

定理4.14

里斯表示定理。令$\phi{\in}(L^{1})^*$。则存在一个唯一的函数$u{\in}L^{\infty}$使得

$$ \left \langle \phi,f \right \rangle=\int{uf},{\forall}f{\in}L^1 $$

更甚者，有

$$ \|u\|_{\infty}=\|\phi\|_{(L^{1})^*} $$

注：定理4.14断言任意在$L^1$连续线性泛函可以明确地表示为一个积分的形式。映射$\phi{\mapsto}u$，是一个线性满同构映射，我们看可以用$L^{\infty}$来定义其抽象空间$(L^{1})^*$。下面，我们系统地给出等式

$$ (L^{1})^*=L^{\infty} $$

证明：令$(\Omega_n)$为一个在$\Omega$中的可测集列，使得$\Omega=\cup^{\infty}_{n=1}\Omega$且$|\Omega_n|<\infty,{\forall}n$。设$\chi_n=\chi_{\Omega_n}$。

$u$的唯一性是显然的。实际上，假设$u{\in}L^{\infty}$满足

$$ \int{uf}=0,{\forall}f{\in}L^1 $$

选取$f=\chi_n$标志$n$（横贯这本书，我们习惯用标志0=0），我们可以看到$u=0$几乎处处在$\Omega_n$上成立，且因此$u=0$几乎处处在$\Omega$上成立。

我们现在证明$u$的存在性。首先，我们构造一个函数${\theta}{\in}L^2(\Omega)$使得

$$ {\theta}(x){\ge}\varepsilon_n>0,{\forall}x{\in}\Omega_n $$

这样的函数$\theta$是显然存在的。事实上，我们定义$\theta$为：在$\Omega_1$上为$\alpha_1$，而在$\Omega_2{\backslash}\Omega_1$上为$\alpha_2,{\cdots}$，在$\Omega_n{\backslash}\Omega_{n-1}$上为$\alpha_n$。以此类推，且我们调整常数$\alpha_n>0$以致$\theta{\in}L^2$。

映射$f{\in}L^2(\Omega){\mapsto}\left \langle \phi,\theta{f} \right \rangle $为一个在$L^2(\Omega)$上的连续线性泛函。由定理4.11（取定$p=2$）则存在一个函数$v{\in}L^2(\Omega)$使得

$$ \left \langle \phi,{\theta}f \right \rangle=\int{vf},{\forall}f{\in}L^2(\Omega)\tag{12} $$

设$u(x)=v(x)/{\theta}(x)$。显然，$u$是良定的，因为在$\Omega$上$\theta>0$。更甚者，$u$是可测的且$u{\chi}_n{\in}L^2(\Omega)$。我们断言$u$有所有需要的性质。我们有

$$ \left \langle \phi,{\chi_n}g \right \rangle=\int{v{\chi}_ng},{\forall}g{\in}L^{\infty}(\Omega),{\forall}n\tag{13} $$

事实上，足够取到$f=\chi_ng/{\theta}$在（12）（注意到$f{\in}L^2(\Omega)$，因为$f$在$\Omega_n$上有界，且在$\Omega_n$外$f=0$）。

接下来，我们断言$u{\in}L^{\infty}(\Omega)$且

$$ \|u\|_{\infty}{\le}\|\phi\|_{(L^{1})^*}\tag{14} $$

固定任意常数$C>\|\phi\|_{(L^{1})^*}$，且设

$$ A=\left\{x{\in}\Omega;|u(x)|>C\right\} $$

让我们证明$A$是一个零测集。事实上，取定$g=\chi_A$标志$u$在（13）中，我们可以得到

$$ \int_{A{\cap}\Omega_n}|u|{\le}\|\phi\|_{(L^{1})^*}|A{\cap}\Omega_n| $$

且因此

$$ C|A{\cap}\Omega_n|{\le}\|\Phi\|_{(L^{1})^*}|A{\cap}\Omega_n| $$

于是$|A{\cap}\Omega_n|=0,{\forall}n$，且因此$A$为一个零测集。这个就完善了（14）的证明。

最终，我们断言

$$ \left \langle \phi,h \right \rangle=\int{uh},{\forall}h{\in}L^1(\Omega)\tag{15} $$

事实上，它足够去取定$g=T_nh$（$h$的截断）在（13）中且注意到在$L^1(\Omega)$中$\chi_nT_nh{\to}h$。

为了完成定理4.14的证明，它仅仅还需要验证$\|u\|_{\infty}=\|\phi\|_{(L^{1})^*}$。我们有，由（15）

$$ |\left \langle \phi,h \right \rangle|{\le}\|u\|_{\infty}\|h\|_1,{\forall}h{\in}L^1(\Omega) $$

且因此$\|\phi\|_{(L^{1})^*}{\le}\|u\|_{\infty}$。我们可以由（14）推出。

注：空间$L^1(\Omega)$从不自反除非在平凡情况下，也即$\Omega$由一个有限多的元素组成——且则$L^1(\Omega)$为有限维的。事实上假设，反过来，则$L^1(\Omega)$是自反的且考虑两个情况：

（1）${\forall}\varepsilon>0,{\exists}\omega{\subset}\Omega$可测，其中$0<\mu(\omega)<\varepsilon$。

（2）${\exists}\varepsilon>0$使得$\mu(\omega)>\varepsilon$对任意可测集合$\omega{\subset}\Omega$，其中$\mu(\omega)>0$。

在情况（1）中存在一个递减的可测集合序列$(\omega_n)$，使得$\mu(\omega_n)>0,{\forall}n$且$\mu(\omega_n){\to}0$【首先取到任意序列$(\omega_k^{‘})$使得$0<\mu(\omega_k^{‘})<1/2^k$且则设$\omega_n=\cup^{\infty}_{k=n}\omega_k^{‘}$】

令$\chi_n=\chi_{\omega_n}$且定义$u_n=\chi_n/\|\chi_n\|_1$。因为$\|u_n\|_1=1$，存在一个子序列——仍让由$u_n$给出——且某个$u{\in}L^1$使得$u_n\rightharpoonup {u}$在弱拓扑$\sigma(L^1,L^{\infty})$（由定理3.18），也即：

$$ \int{u_n\phi}{\to}\int{u\phi},{\forall}\phi{\in}L^{\infty}\tag{16} $$

另一方面，对于给定的$j$，且$n>j$我们有$\int{u_n\chi_j}=1$。在极限，当$n{\to}\infty$，我们可以得到$\int{u\chi_j}=1{\forall}j$。最终，我们注意到（由控制收敛定理），当$j{\to}\infty$，有$\int{u\chi_j}{\to}0$。——一个矛盾。

在情况（2）空间$\Omega$是完全原子的，且由不同的元素$(a_n)$的可数并集组成（而不是仅仅是有限的元素）。在这种情况下，$L^1(\Omega)$是和$l^1$同构的，且足够证明$l^1$是非自反的。考虑规范基

$$ e_n=(0,0,{\cdots,\underset{(n)}1,0,0{\cdots}}) $$

假设$l^1$是自反的，则存在一个子序列$(e_{n_k})$且某个$x{\in}l^1$使得$e_{n_k}\rightharpoonup x$在弱拓扑$\sigma(l^1,l^{\infty})$，也即

$$ \left \langle \varphi,e_{n_k} \right \rangle\underset{k{\to}\infty}{\longrightarrow} \left \langle \varphi,x \right \rangle,{\forall}\varphi{\in}l^{\infty} $$

取定

$$ \varphi=\varphi_j=(0,0,{\cdots,\underset{(j)}1,1,1{\cdots}}) $$

我们发现$\left \langle \phi_j,x \right \rangle=1,{\forall}j $。另一方面，$\left \langle \varphi_j,x \right \rangle {\to}0$当$j{\to}\infty$（因为$x{\in}l^1$）——一个矛盾。

情况C

关于$L^{\infty}$

我们已经知道（定理4.14），$L^{\infty}=(L^{1})^*$。为一个对偶空间，$L^{\infty}$有一些非常好的性质。特别地，有下面的：

（1）闭单位球$B_{L^{\infty}}$为在弱$*$拓扑$\sigma(L^{\infty},L^1)$中紧的（由定理3.16）

（2）如果$\Omega$是在$\mathbb{R}^N$中的一个可测子集，且$(f_n)$是在$L^{\infty}(\Omega)$中的一个有界序列，则存在一个子序列$(f_{n_k})$且某个$f{\in}L^{\infty}(\Omega)$使得$f_{n_k}{\rightharpoonup}f$在弱$*$拓扑$\sigma(L^{\infty},L^1)$中（这是关于推论3.30和定理4.13的一个结论）

虽然$L^{\infty}(\Omega)$不是自反的，除了在平凡情况下，也即$\Omega$是由有限数的元素组成的；另外$L^1(\Omega)$是自反的（由推论3.21）且我们知道$L^1$不是自反的。于是，$L^{\infty}$的对偶空间$(L^{\infty})^*$包含$L^1$（因为$L^{\infty}=(L^{1})^*$）且$(L^{\infty})^*$是严格大于$L^1$的。用另外的说法，就是有在$L^{\infty}$中的连续线性泛函$\phi$，不能表示为

$$ \left \langle \phi,f \right \rangle =\int{uf},{\forall}f{\in}L^{\infty},u{\in}L^1 $$

事实上，我们可以用一个精确的例子来描述这样的一个函数。令$\phi_0:C_c(\mathbb{R}^N){\to}\mathbb{R}$被定义为

$$ \phi_0(f)=f(0),f{\in}C_c(\mathbb{R}^N) $$

显然$\phi_0$是在$C_c(\mathbb{R}^N)$中的一个连续线性泛函，其范数为$\|{\;}\|_{\infty}$。由哈恩-巴拿赫定理，我们可以延拓$\phi_0$为在$L^{\infty}(\mathbb{R}^N)$上的连续线性泛函$\phi$且有

$$ \left \langle \phi,f \right \rangle=f(0),{\forall}f{\in}C_c(\mathbb{R}^N)\tag{17} $$

让我们核验不存在函数$u{\in}L^1(\mathbb{R}^N)$使得

$$ \left \langle \phi,f \right \rangle=\int{uf},{\forall}f{\in}L^{\infty}(\mathbb{R}^N)\tag{18} $$

假设，反证法：这样的一个函数是存在的。我们可以由（17）和（18）推出

$$ \int{uf}=0,{\forall}f{\in}C_c(\mathbb{R}^N)且f(0)=0 $$

用到推论4.24（其中$\Omega=\mathbb{R}^N{\backslash}\left\{0\right\}$）我们可以看到$u=0$在$\mathbb{R}^N{\backslash}\left\{0\right\}$上几乎处处成立。且因此$u=0$在$\mathbb{R}^N$上几乎处处成立。我们由（18）可以推出

$$ \left \langle \phi,f \right \rangle=0,{\forall}f{\in}L^{\infty}(\mathbb{R}^N) $$

而这与（17）是矛盾的。

注：$L^{\infty}$的对偶空间和$L^1$不一致，但是我们还是可以问这样的一个问题：那么$(L^{\infty})^*$长什么样子呢？对于这个问题，容易看到$L^{\infty}(\Omega;\mathbb{C})$是一个交换的$C^*$代数。由由Gelfand定理：$L^{\infty}(\Omega;\mathbb{C})$是同构且同测度的与空间$C(K;\mathbb{C})$由连续复值函数在某紧拓扑空间$K$（$K$是代数$L^{\infty}$的谱）；$K$是不可度量化的，除非当$\Omega$是由有限的元素组成时。于是$(L^{\infty}(\Omega,\mathbb{C}))^*$可以被定义为复值拉东测度在$K$上的空间且$(L^{\infty}(\Omega,\mathbb{R}))^*$可以被定义为在$K$实值拉东测度的空间。

注：$L^{\infty}$是不可分的，除非$\Omega$由有限元素组成，为了证明这个事实用到下面的性质比较简单。

引理4.2

令$E$为一个巴拿赫空间，假设存在一族$(O_i)_{i{\in}I}$使得

（1）对任意$i{\in}I,O_i$是一个$E$中的非空开子集

（2）$O_i{\cap}O_j=\varnothing$，如果$i{\neq}j$。

（3）$I$不可数

则$E$是不可分的。

证明：假设，反证法：$E$是可分的。令$(u_n)_{n{\in}\mathbb{N}}$定义为在$E$中的一个稠密可数集合。对于任意的$i{\in}I$，集合$O_i{\cap}(u_n)_{n{\in}\mathbb{N}}{\neq}\varnothing$且我们可以取定$n(i)$使得$u_{n(i)}{\in}O_i$。映射$i{\mapsto}n(i)$是单射。事实上，如果$n(i)=n(j)$，则$u_{n(i)}=u_{n(j)}{\in}O_i{\cap}O_j$且因此$i=j$。因此，$I$是可数的，于是产生了矛盾。

我们现在说明$L^{\infty}(\Omega)$是不可分的。我们断言存在一个在$\Omega$中的可测不可数集族$(w_i)_{i{\in}I}$，也就是，对称差$w_i{\Delta}w_j$对$i{\neq}j$有正测度。于是我们由引理4.2可以说明，对于集族$(O_i)_{i{\in}I}$定义为

$$ O_i=\left\{f{\in}L^{\infty}(\Omega);\|f-\chi_{w_i}\|_{\infty}<1/2\right\} $$

（注意到$\|\chi_{w}-\chi_{w'}\|_{\infty}=1$如果$w$和$w'$是不同的）。不可数集族$(w_i)$的存在性是显然的，当$\Omega$是在$\mathbb{R}^N$中的开集，因为我们可以考虑所有的球$B(x_0,r)$，其中$x_0{\in}\Omega$且$r>0$足够小。

当$\Omega$为一般的可测空间，我们分割$\Omega$为其原子部分$\Omega_{a}$和其非原子（扩散）部分$\Omega_d$；则我们区分出两种情况：

（1）$\Omega_d$不是零测集

（2）$\Omega_d$是一个零测集

在情况（1）中，则对每一个实数$t,0<t<\mu(\Omega_d)$，有一个可测集$w$，其中$\mu(w)=t$；在这种情况下，我们获得了一个不可数的不可数可测集族。

在情况（2）中，$\Omega$是由不同的元素$(a_n)$的可数并集（除非$\Omega$是由有限的元素组成）。对于任意整数族，$A{\subset}\mathbb{N}$，我们定义$w_A=\bigcup_{n{\in}\mathbb{A}}a_n$。显然地，$(w_A)$是一个不可数可测集族。

下面的表格总结了关于$L^p(\Omega)$的主要性质，当$\Omega$是一个$\mathbb{R}^N$中的可测子集。