Haim3

本节主要讲述:弱拓扑,自反空间,可分空间,一致凸性。

3.5自反空间

定义:令$E$为一个巴拿赫空间,且令$J:E{\to}E^{**}$为规范单射从$E$到$E^{**}$。如果$J$是满射则称$E$为自反空间,也即$J(E)=E^{**}$。

当$E$是自反的,则$E^{**}$可以用$E$定义。

注意:分析中很多重要的空间都是自反的。显然,有限维空间都是自反的(因为$dim{\;}E=dim{\;}E^*=dim{\;}E^{**}$)。我们可以在后面看到,$L^p$和$\mathcal{l}^p$都是自反的,其中$1<p<\infty$。在第五章我们将看到希尔伯特空间是自反的。然而分析中也有一些重要空间非自反。

$L^1$和$L^{\infty}$($l^1,l^{\infty}$)是非自反的。

$C(K)$,在无限紧度量空间$K$上的连续线性函数组成的空间,是非自反的。

接下来介绍的是自反空间的一个基础性质。

定理3.17

Kakutani:令$E$为一个巴拿赫空间,则$E$是自反的当且仅当

$$ B_{E}=\left\{x{\in}E;\|x\|{\le}1\right\} $$

在弱拓扑$\sigma(E,E^*)$中紧。

证明:假设$E$是自反的,则$J(B_E)=B_{E^{**}}$,我们已经由定理3.16知道$B_{E^{**}}$是在弱$*$拓扑$\sigma(E^*,E)$中紧。因此足够证明$J^{-1}$是连续的,从装备了$\sigma(E^{**},E)$的$E^{**}$,其值在装备了$\sigma(E,E^*)$的$E$。考虑定理3.2,我们只能证明对任意固定的$f{\in}E^*$,映射$\xi{\mapsto}\left \langle f,J^{-1}\xi \right \rangle $是在装备了$\sigma(E^{**},E)$的$E^{**}$上连续。但是$\left \langle f,J^{-1}\xi \right \rangle =\left \langle \xi,f \right \rangle $,且映射$\xi{\mapsto}\left \langle \xi,f \right \rangle $是在拓扑$\sigma(E^{**},E^*)$的$E^{**}$上连续的,因此我们证明了$B_E$在弱拓扑$\sigma(E,E^*)$中紧。

反过来是更为精细的证明,且依赖于下面的两个引理。

引理3.3

Helly:令$E$为一个巴拿赫空间,令$f_1,f_2,{\cdots},f_k$为给定在$E^*$中的泛函,且令${\gamma_1},{\gamma_2},{\cdots},\gamma_k$为$\mathbb{R}$中给定的实数。下面的性质是等价的:

(1)${\forall}\varepsilon>0,{\exists}x_{\varepsilon}{\in}E$使得$\|x_{\varepsilon}\|{\le}1$且

$$ |\left \langle f_i,x_{\varepsilon} \right \rangle-\gamma_i |<\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k $$

(2)

$$ |\sum^k_{i=1}\beta_i\gamma_i|<\|\sum^k_{i=1}\beta_if_i\|,{\forall}i=1,2,{\cdots},k $$

证明:

从(1)推出(2):固定$\beta_1,\beta_2,{\cdots},\beta_k$在$\mathbb{R}$中的实数,且令$S=\sum^k_{i=1}|\beta_i|$。则由(1)可以知道

$$ |\sum^k_{i=1}\beta_i\left \langle f_i,x_{\varepsilon} \right \rangle -\sum^K_{i=1}\beta_if_i|{\le}\varepsilon{S} $$

因此

$$ |\sum^k_{i=1}\beta_i{\gamma_i} |{\le}\|\sum^k_{i=1}\beta_if_i\|\|x_{\varepsilon}\|+\varepsilon{S}{\le}\|\sum^k_{i=1}\beta_if_i\|+\varepsilon{S} $$

因为这个对任意的$\varepsilon>0$都成立,于是我们就得到(2)。

从(2)推出(1),设$\gamma=({\gamma_1},{\gamma_2},{\cdots},\gamma_k){\in}\mathbb{R}^k$且考虑映射$\varphi:E{\to}\mathbb{R}^k$定义为

$$ \varphi(x)=(\left \langle f_1,x \right \rangle,{\cdots},\left \langle f_k,x \right \rangle ) $$

性质(1)确切地说就是$\gamma{\in}\overline{\varphi(B_E)}$。假设反证法:(1)不成立,则$\gamma{\notin}\overline{\varphi(B_E)}$。因此$\left\{\gamma\right\}$与$\overline{\varphi(B_E)}$可以被某个超平面在$\mathbb{R}^k$上严格分离。即为,存在某个$\beta=(\beta_1,\beta_2,{\cdots},\beta_k){\in}\mathbb{R}^k$且某个$\alpha{\in}\mathbb{R}$,使得

$$ \beta{\cdot}\varphi(x)<\alpha<\beta{\cdot}\gamma,{\forall}x{\in}B_E $$

于是

$$ \left \langle \sum^k_{i=1}\beta_if_i,x \right \rangle<\alpha<\sum^k_{i=1}\beta_i\gamma_i,{\forall}x{\in}B_E $$

且因此有

$$ \|\sum^k_{i=1}\beta_if_i\|{\le}\alpha<\sum^k_{i=1}\beta_i\gamma_i $$

而这与(2)矛盾。

引理3.4

Coldstine:令$E$为任意巴拿赫空间,则$J(B_E)$为在$B_{E^{**}}$关于$\sigma(E^{**},E^*)$中稠密,而且所以$J(E)$在$E^{**}$关于拓扑$\sigma(E^{**},E^*)$中稠密。

证明:

令$\xi{\in}B_{E^{**}}$且令$V$为关于拓扑$\sigma(E^{**},E^*)$的$\xi$的一个邻域。我们需要证明$V{\cap}J(B_E){\neq}\varnothing$。与往常一样,我们假设$V$形式为

$$ V=\left\{\eta{\in}E^{**};|\left \langle \eta-\xi,f_i \right \rangle |<\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k\right\} $$

对于某个给定的元素$f_1,f_2,{\cdots},f_k$在$E^*$且某个$\varepsilon>0$。我们必须找到某个$x{\in}B_E$使得$J(x){\in}V$,即为

$$ |\left \langle f_i,x \right \rangle-\left \langle \xi,f_i \right \rangle |<\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k $$

设$\gamma_i=\left \langle \xi,f_i \right \rangle $,考虑到引理3.3足够验证有:

$$ |\sum^k_{i=1}\beta_i\gamma_i|<\|\sum^k_{i=1}\beta_if_i\| $$

这是显然的,因为$\sum^k_{i=1}\beta_i\gamma_i=\left \langle \xi,\sum^k_{i=1}\beta_if_i \right \rangle $且$\|\xi\|{\le}1$。

注意:我们可以看到$J(B_E)$是$B_{E^{**}}$中强拓扑中是闭的。事实上,如果$\xi_n=J(x_n){\to}\xi$,我们可以看到$(x_n)$是在$B_E$中的柯西列(因为$J$是等距映射)且·因此$x_n{\to}x$,于是则有$\xi=Jx$。于是$J(B_E)$不在$B_{E^{**}}$中强拓扑中稠密,除非$J(B_{E})=B_{E^{**}}$,也即$E$是自反的。

接下来是定理3.17的证明:

规范单射$J:E{\to}E^{**}$是从$\sigma(E,E^*)$到$\sigma(E^{**},E^*)$的连续映射,因为对任意固定的$f{\in}E^*$,映射$x{\mapsto}\left \langle Jx,f \right \rangle =\left \langle f,x \right \rangle $根据$\sigma(E,E^*)$连续的。假设$B_E$在拓扑$\sigma(E,E^*)$中是紧的,我们推断出$J(B_E)$是紧的,且因此在$E^{**}$装备拓扑$\sigma(E^{**},E^*)$中闭。另一方面,由引理3.4,$J(B_E)$在$B_{E^{**}}$中稠密。于是$J(B_E)=B_{E^{**}}$,因此$J(E)=E^{**}$。自反可以推出。

联系自反空间的紧性质我们可以得到下面俩结果:

定理3.18

假设$E$是一个自反的巴拿赫空间且令$(x_n)$为在$E$中一有界序列。则存在在弱拓扑$\sigma(E,E^*)$中的子序列$(x_{nk})$收敛。

反之也是正确的,且即为下面的定理。

定理3.19

假设$E$是一个巴拿赫空间,使得对任意在$E$中的有界序列,有子列弱收敛,则$E$是自反的。

证明需要涉及一些可分空间,且会在第3.6节给出,证明过于精细所以这里略去。

注意:联系3.17,3.18和3.19,我们给出以下的事实:

(1)如果$X$是一个度量空间,则

【$X$是紧的】$\iff$【任意在$X$中序列有收敛子列】

(2)存在紧拓扑空间$X$和在$X$中的某个序列没有收敛子列。一个典型的例子就是$X=B_{E^*}$,在$\sigma(E^*,E)$拓扑中紧;当$E=l^{\infty}$时,容易构造一个序列没有任何收敛子列。

(3)如果$X$是一个拓扑空间其性质:任何序列有收敛子列,则$X$未必需要是紧的。

命题3.20

假设$E$是一个自反空间,且令$M{\subset}E$为$E$中的闭线性子空间,则$M$也是自反的。

证明:空间$M$装备$E$的范数——有一个先前的俩确定的拓扑:

(1)$\sigma(E,E^*)$的拓扑

(2)它自身的弱拓扑$\sigma(M,M^*)$。

事实上,这俩拓扑是一样的(因为,由哈恩-巴拿赫,任何在$M$上的连续线性泛函是$E$中连续线性泛函限制在$M$的交集),考虑到定理3.17,我们需要验证$B_M$是在拓扑$\sigma(M,M^*)$中紧或者在$\sigma(E,E^*)$中紧致(两者等价)。然而$B_E$是在拓扑$\sigma(E,E^*)$中紧的,且在$\sigma(M,M^*)$中闭。(由定理3.7)。因此$B_M$在拓扑$\sigma(E,E^*)$中是紧的。

推论3.21

一个巴拿赫空间$E$是自反的当且仅当它的对偶空间$E^*$自反。

证明:$E$自反可以推出$E^*$自反。这个证明思路是平凡的,因为粗略地讲,我们有$E^{**}=E$推出$E^{***}=E^*$,更为精细地说,令$J$为规范等距映射从$E$到$E^*$。令$\varphi{\in}E^{**}$给定,映射$x{\mapsto}\left \langle \varphi,Jx \right \rangle $是一个在$E$上的连续线性泛函。称之为$f{\in}E^*$,于是

$$ \left \langle \varphi,Jx \right \rangle=\left \langle f,x \right \rangle ,{\forall}x{\in}E $$

但我们也有

$$ \left \langle \varphi,Jx \right \rangle=\left \langle Jx,f \right \rangle ,{\forall}x{\in}E $$

因为$J$是满射,我们推出

$$ \left \langle \varphi,\xi \right \rangle=\left \langle \xi,f \right \rangle ,{\forall}\xi{\in}E^{**} $$

而这个精确地表达了规范映射从$E^*$到$E^{**}$是满射。

而$E^*$自反推出$E$自反。从上述的步骤我们已经知道$E^{**}$是自反的。因为$J(E)$是在$E^{**}$强拓扑中的闭子集。由命题3.20可以总结出$J(E)$是自反的。因此$E$自反。

两个空间的自反等价性质

推论3.22

令$E$为一个自反的巴拿赫空间。令$K{\subset}E$为一个有界的闭集且凸集。则$K$在拓扑$\sigma(E,E^*)$中是紧的。

证明:$K$对于拓扑$\sigma(E,E^*)$(由定理3.7)是闭集。另一方面,存在一个常数$m$使得$K{\subset}mB_E$,且$mB_E$是在拓扑$\sigma(E,E^*)$中紧的(定理3.17)。

也就是由有界闭凸推出紧。

推论3.23

令$E$为一个自反的巴拿赫空间且令$A{\subset}E$为一个非空,闭的且凸集。令$\varphi:A{\to}(-\infty,+\infty]$为一个凸的下半连续的函数,使得$\varphi{\not\equiv}+\infty$且

$$ \lim_{x{\in}A\\\|x\|{\to}\infty}\varphi(x)=+\infty{\quad}如果A是有界的无需假设 $$

则$\varphi$可以在$A$中取到最小值,也就是:存在某个$x_0{\in}A$使得

$$ \varphi(x_0)=\min_A\varphi $$

证明:给定任意$a{\in}A$使得$\varphi(a)<+\infty$且考虑集合

$$ \overline{A}=\left\{x{\in}A;\varphi(x){\le}\varphi(a)\right\} $$

则$\overline{A}$是闭的,凸的且有界的。且因此在拓扑$\sigma(E,E^*)$中是紧的(推论3.22)。另一方面,$\varphi$也是在拓扑$\sigma(E,E^*)$下半连续的(由推论3.9)。于是$\varphi$在$\overline{A}$中取到最小值(见第一章定义的下半连续的性质5),也即:存在$x_0{\in}\overline{A}$使得

$$ \varphi(x_0){\le}\varphi(x),{\forall}x{\in}\overline{A} $$

如果$x{\in}A{\backslash}\overline{A}$,我们有$\varphi(x_0){\le}\varphi(a){\le}\varphi(x)$;因此

$$ \varphi(x_0){\le}\varphi(x),{\forall}x{\in}A $$

注意:推论3.23是为什么自反空间与凸函数在变量计算与优化中如此重要的原因:就是联系其性质与取到最小值的问题。

定理3.24

令$E$和$F$是两个自反巴拿赫空间。令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个无界线性算子,稠密定义且闭的。则$D(A^*)$是在$F^*$中稠密的。因此$A^{**}$是良定的。($A^{**}:D(A^{**}){\subset}E^{**}{\to}F^{**}$)且可以被看成一个从$E$到$F$的无界算子。则我们有

$$ A^{**}=A $$

证明:
1.$D(A^*)$在$F^*$中稠密。令$\varphi$为一个在$F^*$上的连续线性算子,而在$D(A^*)$上消逝。考虑推论1.8,足够证明$\varphi{\equiv}0$在$F^*$,因为$F$自反,$\varphi{\in}F$且我们有

$$ \left \langle w,\varphi \right \rangle=0,{\forall}w{\in}D(A^*) $$

如果$\varphi{\neq}0$,则$[0,\varphi]{\notin}G(A)$在$E{\times}F$。因此,有一个闭的超平面在$E{\times}F$中严格分离$[0,\varphi]$和$G(A)$。也即:存在某个$[f,v]{\in}E^*{\times}F^*$与某个$\alpha{\in}\mathbb{R}$使得

$$ \left \langle f,u \right \rangle+\left \langle v,Au \right \rangle<\alpha<\left \langle v,\varphi \right \rangle ,{\forall}u{\in}D(A) $$

于是

$$ \left \langle f,u \right \rangle+\left \langle v,Au \right \rangle =0,{\forall}u{\in}D(A) $$

$$ \left \langle v,\varphi \right \rangle{\neq}0 $$

因此$v{\in}D(A^*)$,我们可以取$w=v$在第一个内积中,导出矛盾。

2.$A^{**}=A$,我们回忆(节2.6)

$$ I[G(A^*)]=G(A)^{\perp} $$

$$ I[G(A^{**})]=G(A^*)^{\perp} $$

于是

$$ G(A^{**})=G(A)^{\perp\perp}=G(A) $$

因为$A$是闭的。

Last modification:January 30th, 2020 at 09:39 am
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