微分

本章的结构是通过研究测度的导数和相伴的极大函数(定义),容易得到勒贝格积分上的微分和导数的积分的重要性质(结果与目的),而上一节的拉东-妮柯迪姆定理与勒贝格分解定理在本章起相当重要的结果。(工具)

测度的导数

定义

这一节主要是给出定义和一些性质,结果在下一节给出。

定理7.1给出了复博雷尔测度的可微和导数的等价定义(与勒贝格测度相关)

定义7.2告诉我们:$\mu$在$x$的导数,可以定义为区间$I$的长度收缩至$x$点时商$\frac{\mu(I)}{m(I)}$的极限,其中$m$表示$R^1$上的勒贝格测度。并且下面给出了多变量的定义。

定义商

$$ (Q_r\mu)(x)=\frac{\mu(B(x,r))}{m(B(x,r))} $$

且当在点$x{\in}R^k$处极限$\lim_{r{\to}0}(Q_r{\mu})(x)$存在时,定义$\mu$在$x$处的对称导数

$$ (D{\mu})(x)=\lim_{r{\to}0}(Q_r{\mu})(x) $$

极大函数

然后我们用极大函数$M{\mu}$来研究测度的导数$D{\mu}$。极大函数的定义分为两种情况:

(1)$\mu>0$,定义极大函数$M{\mu}$为:

$$ (M{\mu})(x)=\sup_{0<r<\infty}(Q_r\mu)(x) $$

(2)$\mu$为复博雷尔测度,定义极大函数$M{\mu}$为全变差$|\mu|$:

$$ |\mu|(E)=\sup\sum^{\infty}_{i=1}|\mu(E_i)|{\quad}(E{\in}\mathfrak{M}) $$

然后研究极大函数的性质:

性质一:函数$M{\mu}:R^k{\to}[0,\infty]$为下半连续的,从而是可测的。

主要证明下半连续,而可测是推论。证明$E=\left\{M{\mu}>\lambda\right\}$为开集即可,主要通过证明$B(x,\delta){\subset}E$即可得到,技巧是通过一个不等式放缩加上极大函数的定义。

然后是引入一个重要的覆盖引理,这个引理在下面的极大定理的证明时候要用到。

覆盖引理

若$W$为有限个球$B(x_i,r_i)(1{\le}i{\le}N)$的并,则存在集$S{\subset}\left\{1,2,{\cdots},N\right\}$使得下面三个结果:

(1)对于$i{\in}S$,球$B(x_i,r_i)$是不相交的。

(2)$W{\subset}\bigcup_{i{\in}S}B(x_i,3r_i)$。

(3)$m(W){\le}3^k\sum_{i{\in}S}m(B(x_i,r_i))$。

其证明:根据归纳不断把相交的球给割舍掉,从而达成结果1,然后知道割舍掉的球都包含在3倍半径的球内,实现结果2,而结果3实际上是结果2的定量估计不等式。

下面的极大定理告诉我们:在一个很大的集合上,一个测度的极大函数不会很大。

极大定理(性质二)

若$\mu$为$R^k$上的复博雷尔测度且$\lambda>0$,则

$$ m\left\{M{\mu}>\lambda\right\}{\le}3^k{\lambda}^{-1}\|\mu\| $$

这里的$\|\mu\|=|\mu|(R^k)$,且上式左边是下式的缩写

$$ m\left\{x{\in}R^k:(M\mu)(x)>\lambda\right\} $$

其证明:首先给出开集$\left\{M{\mu}>\lambda\right\}$的紧子集,然后通过有限覆盖加上上面的覆叠引理,直接通过结果3得到结论。

弱$L^1$

引入弱$L^1$空间,是为了配合极大定理:将“极大算子”$M$是有界的,将$L^1$映射到弱$L^1$。并且实际上弱$L^1$是严格大于$L^1$的空间。

若$f{\in}L^1(R^k)$且$\lambda>0$,则

$$ m\left\{|f|>\lambda\right\}{\le}\lambda^{-1}\|f\|_1 $$

实际上是因为$E=\left\{|f|>\lambda\right\}$则有

$$ \lambda{m(E)}{\le}\int_{E}|f|dm{\le}\int_{R^k}|f|dm=\|f\|_1 $$

上面实际上是将$E$放大到$R^k$上做出的不等式放大。

因此,对任何可测函数$f$,如果它使得关于$\lambda$的函数

$$ \lambda{\cdot}m\left\{|f|>\lambda\right\} $$

在$(0,\infty)$上是有界的,则称$f$是属于弱$L^1$的。从这里可以知道极大函数$Mf$实际上就是弱$L^1$的。

实际上弱$L^1$是严格大于$L^1$的空间,这个可以从例子$(0,1)$区间上的函数$\frac{1}{x}$看出。

相伴极大函数

每一个$f{\in}L^1(R^k)$辅之以一个相伴极大函数$Mf:R^k{\to}[0,\infty]$,其具体定义如下:

$$ (Mf)(x)=\sup_{0<r<\infty}\frac{1}{m(B_r)}\int_{B(x,r)}|f|dm $$

这里用$B_r$来代替$B(x,r)$是因为仅仅依赖于半径$r$,而对于测度$\mu$,若用等式$d{\mu}=fdm$来定义$f$,则上式实际上就是前面定义的极大函数$M{\mu}$。并且套用前面的极大定理,我们即有:
对于任何$f{\in}L^1(R^k)$和$\lambda>0$,有

$$ m\left\{M{\mu}>\lambda\right\}{\le}3^k{\lambda}^{-1}\|f\|_1 $$

勒贝格点

设$f{\in}L^1(R^k)$,点$x{\in}R^k$若满足

$$ \lim_{r{\to}0}\frac{1}{m(B_r)}\int_{B(x,r)}|f(y)-f(x)|dm(y)=0 $$

则称之为$f$的勒贝格点。

如果套用上述定理在$f$在$x$处连续成立,则意味着$|f-f(x)|$在$x$的某一小邻域内的平均值很小,$f$的勒贝格点是指的$f$在该点处从平均意义上讲振动不大的点。

对于每一个函数$f{\in}L^1$其实都有勒贝格点,虽然直观上很难看出来,但是下面的定理7.7保证了这一点。

定理7.7:若$f{\in}L^1(R^k)$,则几乎所有$x{\in}R^k$都是$f$的勒贝格点。

其证明:首先定义一个与勒贝格点相关的函数,然后取极限,则证明转为该函数几乎处处等于0。接下来用稠密性,找到逼近$f$的连续函数$g$,然后根据连续性,该算子对$g$是等于0,然后做这两个函数的差套入该算子函数,做估计,然后推出关于$f$的算子函数估计,再加上极大定理,转为集合语言得到一个可数交集的包含,从而推出其测度为0(勒贝格测度完备性,0测度集合的子集也是0测度)

动机

根据定理7.7告诉我们的勒贝格点问题,其实勒贝格点刻画了一种勒贝格测度的平均意义上的连续性质。而极大函数是配合$L^1$空间使用的,且其联系了所谓的微分。于是乎可以考虑连续测度,不规则平均意义,积分无限等等问题,也就引申出下面的论题:
(1)绝对连续测度的微分

(2)其他不是球的集合来考虑微分

(3)$R^1$上无限积分的微分

(4)可测集的度量稠密性

下面讨论的就是这些论题。

定理7.8告诉我们:拉东-妮柯迪姆导数可以由商$Q_r{\mu}$的极限得到。(在博雷尔集合上成立)

定理7.8:假设$\mu$是$R^k$上的复博雷尔测度且$\mu{\ll}m$,设$f$为$\mu$关于$m$的拉东-妮柯迪姆导数,则$D{\mu}=f{\;}a.e.[m]$,且

$$ \mu(E)=\int_E(D{\mu})dm $$

对所有的博雷尔集$E{\subset}R^k$成立。

其证明:直接引用拉东-妮柯迪姆定理可得,并且由于绝对连续性质,容易看出是在每个勒贝格点处成立,于是在博雷尔集合上成立。

良好收缩集

假设$x{\in}R^k$,对于$R^k$内的博雷尔集序列$\left\{E_i\right\}$,若存在一个具有下列性质的数$\alpha>0$;每一个$E_i$在一个以$x$为中心半径为$r_i>0$的开球$B(x,r_i)$内,使得

$$ m(E_i){\ge}\alpha{\cdot}m(B(x,r_i)),(i=1,2,3,{\cdots}) $$

并且当$i{\to}\infty$时,$r_i{\to}0$,则称$\left\{E_i\right\}$良好收缩于$x$。

这里给出了在一点处良好收缩的定义,直观上来看,就是对于序号越大的博雷尔集,其测度的下界会越来越小,这里是用一个不断变小的开球的测度乘以常数来衡量其下界的。

注解:这里不要求$x{\in}E_i$,甚至不要求$x$在$E_i$的闭包中,这意味着这个球心可以任意选取,这个条件表示了每一个$E_i$都必须占有$x$的某个球形邻域的相当大的部分的定量描述。

定理7.10告诉我们良好收缩这个概念,有效地结合了$L^1$中函数在每个勒贝格点处,都可以写为良好收缩的博雷尔集序列衡量的积分形式。

定理7.10:若对于每一个$x{\in}R^k$有一组$\left\{E_i(x)\right\}$良好收缩到$x$,并且令$f{\in}L^1(R^k)$,则等式

$$ f(x)=\lim_{i{\to}\infty}\frac{1}{m(E_i(x))}\int_{E_i(x)}fdm $$

在$f$的每一个勒贝格点处成立,因此$a.e.[m]$。(博雷尔测度上成立)

其证明:仅需在勒贝格点上,再根据良好收缩集的定义,因为$E_i(x){\subset}B(x,r_i)$,从而用球来代替这个博雷尔集做出放大不等式,然后一收缩,立刻得到结果。

注释:这里对于不同的$x$与$y$,$\left\{E_i(x)\right\}$与$\left\{E_i(y)\right\}$之间没有很大的联系。

定理7.11是微积分基本定理容易的一半在勒贝格积分观点中的推广,同时也是定理7.8较强的形式。

定理7.11:若$f{\in}L^1(R^1)$,且

$$ F(x)=\int^x_{-\infty}fdm(-\infty<x<\infty) $$

则$F'(x)=f(x)$在$f$的每一个勒贝格点$x$处都成立,因而$a.e.[m]$。

这个定理告诉我们,若积分可以写成这个形式,则必然可导且导数为$f$。(不定积分的导数还是该函数本身)

其证明十分简单,仅需取到简单的左右博雷尔集合,其良好收缩,并且利用定理7.10立刻可以证明出左右导数在勒贝格点处的存在性,从而用左右导数相等直接得出该导数的存在性,并且为函数本身。

度量密度

设$E$为$R^k$的一个勒贝格可测集,如果极限

$$ \lim_{r{\to}0}\frac{m(E{\cap}B(x,r))}{m(B(x,r))} $$

存在,则称$E$在某点$x{\in}R^k$处的度量密度为该极限。

容易看到这里的极限,实际上是拿勒贝格可测集去交上球来衡量的,实际上是每个球测度的勒贝格可测集测度的占比。

若我们设$f$为$E$的特征函数,应用定理7.8或者定理7.10则知道:几乎在$E$内的每一点处,$E$的度量密度为1;几乎在$E$的补集的每一点处,$E$的度量密度为0。

并且有结论:若$\varepsilon>0$,则不存在$E{\subset}R^1$,使得

$$ \varepsilon<\frac{m(E{\cap}I)}{m(I)}<1-\varepsilon $$

对任何区间$I$成立。

这个结论也就告诉了我们在$R^1$上,不存在介于0与1之间的度量密度,必然是0或者1。

上述考虑了绝对连续测度的微分(定理7.8),现在转过来考虑关于$m$奇异的测度的微分。(一个是与$m$绝对连续,一个是与$m$奇异)

定理7.13:设对每一个$x{\in}R^k,\left\{E_i(x)\right\}$为相应的良好地收缩到$x$的序列。若$\mu$为一个复博雷尔测度且$\mu{\perp}m$,则

$$ \lim_{i{\to}\infty}\frac{\mu(E_i(x))}{m(E_i(x))}=0,a.e.[m] $$

定理7.13意味着在与$m$奇异的博雷尔测度上,良好收缩集的密度函数极限为0。

其证明:考虑若尔当分解——直接变为两个正测度的分解情况,从而仅需考虑在$\mu{\ge}0$的情况下式子成立。类似于定理7.10的证明,考虑用球来代替博雷尔集合放大不等式估计,于是上述结论直接转为了下面命题的证明

$$ (D\mu)(x)=0{\;}a.e.[m] $$

然后我们定义上导数

$$ (\overline{D}\mu)(x)=\lim_{n{\to}\infty}[\sup_{0<r<1/n}(Q_r{\mu})(x)]{\quad}(x{\in}R^k) $$

上式中括号的数随着$n$的增大而简效,且为下半连续函数,可以知道上导数为博雷尔函数。这里主要是要给出$\mu$集中在一个勒贝格测度为0的集合上,然后根据正则性,直接推出在紧集$K$上其勒贝格测度为0,但是其博雷尔测度还是有个估计的,然后考虑博雷尔集合上去掉这个紧集之外的测度,用极大函数去估计,然后得到上导数集合包含于紧集和这个极大函数集合,最后直接用极大定理刻画出这个命题证明即可。

整合

这里定理7.10和定理7.13可以组合为定理7.14,定理7.10主要是刻画了一个勒贝格点上函数的形式,而定理7.13则告诉我们奇异的博雷尔测度上,其密度函数极限为0。

定理7.14:设对每一个$x{\in}R^k,\left\{E_i(x)\right\}$为相应的良好收缩到$x$的博雷尔可测集序列,$\mu$为$R^k$上的一个复博雷尔测度。设$d{\mu}=fdm+d{\mu}$为$\mu$关于$m$的勒贝格分解,则

$$ \lim_{i{\to}\infty}\frac{\mu(E_i(x))}{m(E_i(x))}=f(x){\;}a.e.[m] $$

特别地,$\mu{\perp}m$当且仅当$(D{\mu})(x)=0{\;}a.e.[m]$。

定理7.15与定理7.13形成了鲜明的对比。主要是在于良好收缩集的限制被取消了,并且加入了正博雷尔测度限制。

定理7.15:若$\mu$为$R^k$上的正博雷尔测度且$\mu{\perp}m$,则

$$ (D{\mu})(x)=\infty{\;}a.e.[\mu] $$

其证明:由于奇异条件,于是$m(S)=0,\mu(R^k-S)=0$是可以做到的,$S$为博雷尔集,考虑去掉$S$中那些使得$Q_r(x)$商有界的集合,则可以做到上式,接下来仅需考虑这些去掉的集合其博雷尔测度$\mu$为0即可,这里用球去包,并且用紧集和有限覆盖加上覆盖引理直接推出结果。

微积分基本定理

微积分基本定理实际上也就是牛顿-莱布尼茨定理,其根本是分为两个部分:

其一,一个函数的不定积分的导数还是这个函数本身。而这个实际上定理7.11已经讨论过

其二,求导数的积分还原成原函数,也即

$$ f(x)-f(a)=\int^x_af'(t)dt{\quad}(a{\le}x{\le}b) $$

我们已经知道在数学分析上的结论:设$f$在$[a,b]$内的每一点可微且$f'$是连续函数,则上式成立。

现在推广到勒贝格积分,考虑新的问题:

一,若假设$f'{\in}L^1$而不是连续,结论是否成立

二,若$f$在$[a,b]$内几乎处处连续和可微,结论是否成立

这里给出两个例子告诉我们不成立的情况的内部原理,实际上是一个绝对连续性的缺失,而后面定理7.20将会说明绝对连续性质是这个成立的充要条件。

绝对连续

定义在区间$I=[a,b]$上的复函数$f$称为是绝对连续的,(或者简称$f$在$I$上AC):若对任意$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,使得对任意的$n$及$I$上的不相交的区间$(\alpha_1,\beta_1),(\alpha_2,\beta_2),{\cdots},(\alpha_n,\beta_n)$,只要

$$ \sum^n_{i=1}(\beta_i-\alpha_i)<\delta $$

就有

$$ \sum^n_{i=1}|f(\beta_i)-f(\alpha_i)|<\varepsilon $$

显然取$n=1$的时候直接推出连续。

定理7.18:设$I=[a,b],f:I{\to}R^1$为非递减的连续函数,则下列命题等价:

(1)$f$在$I$上AC。

(2)$f$将零测度集映射到零测度集。

(3)$f$在$I$上几乎处处可微,$f'{\in}L^1$且

$$ f(x)-f(a)=\int^x_af'(t)dt{\quad}(a{\le}x{\le}b) $$

实际上从(2)到(3)可能是比较有意思的一件事情,而从(1)到(3)则可以无视单调性条件得到。

其证明:从(1)到(2)是容易的,仅需引入绝对连续的定义,然后根据其映射加上勒贝格测度的完备性,直接得到。而从(2)到(3)首先构造了一个意义映射代替$f$,并且用到拉东-妮柯迪姆定理,直接推出。而从(3)到(1)就是引入绝对连续满足牛顿-莱布尼茨定理的讨论。

全变差函数

定理7.19:假设$f:I{\to}R^1$是AC的,$I=[a,b]$,定义

$$ F(x)=\sup\sum^N_{i=1}|f(t_i)-f(t_{i-1})|{\quad}(a{\le}x{\le}b) $$

其中,上确界取遍所有的$N$及所有满足

$$ a=t_0<t_1<{\cdots}<t_N=x $$

的序列$\left\{t_i\right\}$,则函数$F,F+f,F-f$均为$I$上非递减的绝对连续函数。称$F$为$f$的全变差函数。

若$f$为$I$上的(复)函数且$F(b)<\infty$,则无论是否AC,称$F$为$f$的有界变差函数,且$F(b)$称为$f$在$I$上的全变差。

其证明异常简单,仅需验证定义且利用线性性质即可。

定理7.20:设$f$为$I=[a,b]$上AC的复函数,则$f$在$I$上几乎处处可微,$f'{\in}L^1(m)$,且

$$ f(x)-f(a)=\int^x_af'(t)dt{\quad}(a{\le}x{\le}b) $$

这个定理直接告诉我们绝对连续加上几乎处处可微,还有导数是$L^1$的,则牛顿莱布尼茨公式是成立的。

其证明:仅需验证实函数,设$F$为全变差函数,然后用到定理的7.18的(1)推到(c)直接可以知道。

定理7.21:设$f:[a,b]{\to}R^1$在$[a,b]$内的每一点都可微且在区间$[a,b]$上$f'{\in}L^1$,则

$$ f(x)-f(a)=\int^x_af'(t)dt{\quad}(a{\le}x{\le}b) $$

我们可以看到这个和定理7.20不同的点在于这里直接说明可微而不是几乎处处,这样就可以放松掉绝对连续的条件。

其证明:化归为对一端证明,然后根据定理2.25找到一个下半连续函数和导数的不等式,且使得积分反向不等,然后构造函数证明其连续,直接验证其半边的积分关系,最后换成负的,得到另外一半的积分关系即可。

可微变换

这个部分其实是勒贝格积分下的微分变换情况,也就是往常多元微积分下用到雅可比矩阵的微分变换情况的推广。

设$V$是$R^k$内的一个开集,$T$是$V$到$R^k$内的映射,$x{\in}V$。若存在$R^k$上的线性算子$A$,使得

$$ \lim_{k{\to}0}\frac{|T(x+h)-T(x)-Ah|}{|h|}=0 $$

(自然,$h{\in}R^k$),我们则称$T$在$x$处是可微的,且定义

$$ T'(x)=A $$

线性算子$T'(x)$称为$T$在$x$处的导数。

当$T$在$x$处可微时,$T'(x)$的行列式称为$T$在$x$处的雅可比行列式,记为$J_T(x)$,从而

$$ {\Delta}(T'(x))=|J_T(x)| $$

引理7.23实际上是定理7.24证明所需要的,且其证明主要依赖于布劳威尔不动点定理。

引理7.23:设$S=\left\{x:|x|=1\right\}$为$R^k$中的球面,即单位开球$B=B(0,1)$的边界,若$F:\overline{B}{\to}R^k$为连续映射,$0<\varepsilon<1$,且对任何$x{\in}S$,有

$$ |F(x)-x|<\varepsilon $$

则$F(B){\supset}B(0,1-\varepsilon)$。

其证明:反证法,造出连续函数,然后利用不动点定理直接得到矛盾即可。

定理7.24:若
(1)$V$是$R^k$上的开集

(2)$T:V{\to}R^k$是连续的。

(3)$T$在某点$x{\in}V$处可微。

则有下述结论

$$ \lim_{r{\to}0}\frac{m(T(B(x,r)))}{m(B(x,r))}={\Delta}(T'(x)) $$

注意到$T(B(x,r))$是勒贝格可测的,因为$B(x,r)$是$\sigma-$紧的且$T$连续,则$T(B(x,r))$是$\sigma-$紧的。

其证明分为两个情形,$A$是否意义映射,这里不予展开。

引理7.25是为了证明定理7.26而准备的。

引理7.25:假设$E{\subset}R^k,m(E)=0,T$将$E$映到$R^k$内,且当$x{\in}E,y$在$E$中趋于$x$时,

$$ \lim\sup\frac{|T(y)-T(x)|}{|y-x|}<\infty $$

则$m(T(E))=0$。

这个主要告诉我们如果在零测集中满足上面这个算子映射的有界连续性质,则映射后的测度集也是零测集。

其证明也很类似于前面所证的某些技巧。不予展开

该引理的特殊情况:若$V$是$R^k$中的开集且$T:V{\to}R^k$在$V$中的每一点都可微,则$T$将零测度集映射到零测度集。

变量变换定理

定理7.26:假设

(1)$X{\subset}V{\subset}R^k,V$为开集,$T:V{\to}R^k$是连续的。

(2)$X$是勒贝格可测的,$T$在$X$上是一一映射的,$T$在$X$上处处可微。

(3)$m(T(V-X))=0$.

令$Y=T(X)$,则

$$ \int_Yfdm=\int_X(f{\circ}T)|J_T|dm $$

对么一个可测的$f:R^k{\to}[0,\infty]$成立。

这个事实上就是一个变量变换的操作在勒贝格积分中的推广,这里最需要注意的是(3)也就是去掉一个零测集之后的集合上是可以做到的。

其证明和定理7.18的(2)到(3)处有类似的地方,这里需要格外区分博雷尔集和勒贝格可测集,其证明这里也不予展开。

最后说一下这个定理的特殊情况:

假设$\varphi:[a,b]{\to}[\alpha,\beta]$是AC的单调函数,$\varphi(a)=\alpha,\varphi(b)=\beta$,且若$f{\ge}0$为勒贝格可测的,则

$$ \int^{\beta}_{\alpha}f(t)dt=\int^b_af(\varphi(x))\varphi'(x)dx $$

仅需套用定理7.26,令$V=(a,b),T=\varphi$,再令$\Omega$为所有使$\varphi$为常数的极大区间的并集,设$X$为$V-\Omega$中所有使得$\varphi'(x)$存在(且有限)的点$x$的集合即可推出。

Last modification:March 21st, 2020 at 02:01 pm
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