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希尔一吉田耕作定理

7.1 极大单调算子的定义与基本性质

本章通篇$H$代表希尔伯特空间。

单调

一个无界线性算子$A:D(A){\subset}H{\to}H$称为单调的，是指它满足

$$ (Av,v){\ge}0,{\forall}v{\in}D(A) $$

如果称之为极大单调的，即在上面的条件上，还要加上$R(I+A)=H$，也即

$$ {\forall}f{\in}H,{\exists}u{\in}D(A),s.t.u+Au=f $$

命题7.1

令$A$为一个极大单调算子。则

（1）$D(A)$是在$H$中稠密的。

（2）$A$是一个闭算子。

（3）对任意${\lambda}>0,(I+{\lambda}A)$是从$D(A)$到$H$的双射。$(I+{\lambda}A)^{-1}$是一个有界算子，且$\|(I+{\lambda}A)^{-1}\|_{\mathcal{L}(H)}{\le}1$。

这个命题告诉我们对于极大单调算子，其定义域在$H$中稠密；极大单调算子是闭算子；还有一个特殊的有界算子的性质与范数。

注：如果$A$是极大单调算子，则对于${\lambda}>0,{\lambda}A$为极大单调算子。若$A,B$皆为极大单调算子，则$A+B$定义在$D(A){\cap}D(B)$上，未必为极大单调算子。

定义

令$A$为一个极大单调算子，对于任意${\lambda}>0$，集合

$$ J_{\lambda}=(I+{\lambda}A)^{-1}且A_{\lambda}=\frac{1}{\lambda}(I-J_{\lambda}) $$

其中$J_{\lambda}$称为$A$的预解集，且$A_{\lambda}$称为$A$的吉田耕作近似（或者正则）。记住$\|J_{\lambda}\|_{\mathcal{L}(H)}{\le}1$。

命题7.2

令$A$为一个极大单调算子。则

（1）$A_{\lambda}v=A(J_{\lambda}v),{\forall}v{\in}H且{\forall}{\lambda}>0$。

（2）$A_{\lambda}v=J_{\lambda}(Av),{\forall}v{\in}H且{\forall}{\lambda}>0$。

（3）$|A_{\lambda}v|{\le}|Av|,{\forall}v{\in}H且{\forall}{\lambda}>0$。

（4）$\lim_{\lambda{\to}0}J_{\lambda}v=v,{\forall}v{\in}H$。

（5）$\lim_{\lambda{\to}0}A_{\lambda}v=Av,{\forall}v{\in}H$。

（6）$(A_{\lambda}v,v){\ge}0,{\forall}v{\in}H且{\forall}{\lambda}>0$。

（7）$|A_{\lambda}v|{\le}(1/{\lambda})|v|,{\forall}v{\in}H且{\forall}{\lambda}>0$。

7.2 进化问题的解存在性与唯一性

考虑在$[0,+\infty)$上的进化问题$\frac{du}{dt}+Au=0$，且初值条件为$u(0)=u_0$。求其解的存在性与唯一性。

定理7.3

柯西，李普希茨，皮卡：令$E$为一个巴拿赫空间，且令$F:E{\to}E$为一个李普希茨映射，也即：存在一个常数$L$使得

$$ \|Fu-Fv\|{\le}L\|u-v\|,{\forall}u,v{\in}E $$

则给定任意$u_0{\in}E$，存在一个唯一的解$u{\in}C^1([0,+\infty);E)$为问题

$$ \begin{cases}\frac{du}{dt}(t)=Fu(t),于[0,+\infty)\\u(0)=u_0\end{cases} $$

$u_0$被称为初值。

存在性的证明是通过构造一个巴拿赫空间，并且通过不动点定理证明的。

唯一性的证明则是通过构造两个解之差，然后对其做估计证明的。

上述定理在常微分方程中非常有用，在偏微分方程中也有一点用处。

定理7.4

希尔-吉田耕作：令$A$为一个极大单调算子。则，给定任意$u_0{\in}D(A)$，存在唯一一个函数

$$ u{\in}C^1([0,+\infty);H){\cap}C([0,+\infty);D(A)) $$

满足：

$$ \begin{cases}\frac{du}{dt}+Au=0,于[0,+\infty)\\u(0)=u_0\end{cases}\tag{6} $$

更甚者

$$ |u(t)|{\le}|u_0|,且|\frac{du}{dt}(t)|=|Au(t)|{\le}|Au_0|,{\forall}t{\ge}0 $$

这个定理告诉我们对于极大单调算子方程的解的唯一性，同时给出这个解的估计，和解的一次导的估计。

定理7.4的有趣之处在于：我们可以从对进化方程的研究推向这个稳定方程$u+Au=f$的研究。

定理7.4的证明会用到下述引理。

引理7.1

令$w{\in}C^1([0,+\infty);H)$为一个函数满足

$$ \frac{dw}{dt}+A_{\lambda}w=0于[0,+\infty) $$

则函数$t{\mapsto}|w(t)|$且$t{\mapsto}|\frac{dw}{dt}(t)|=|A_{\lambda}w(t)|$是在$[0,+\infty)$上不增的。

引理7.2

令$u_0{\in}D(A)$。则${\forall}\varepsilon>0,{\exists}\overline{u_0}{\in}D(A^2)$使得$|u_0-\overline{u}_0|<\varepsilon$且$|Au_0-A\overline{u}_0|<\varepsilon$。用另外的话说，即$D(A^2)$在$D(A)$中（对于图范数）稠密。

7.3 正则性

对于初值加上一些条件，我们可以从定理7.4得到更为正则的解，为了这个目的，我们先来确定一个空间

$$ D(A^k)=\left\{v{\in}D(A^{k-1});Av{\in}D(A^{k-1})\right\} $$

其中$k$是一个整数，$k{\ge}2$。容易知道$D(A^k)$为一个希尔伯特空间，其内积为

$$ (u,v)_{D(A^k)}=\sum^k_{j=0}(A^ju,A^jv) $$

其诱导范数为

$$ |u|_{D(A^k)}=(\sum^k_{j=0}|A^ju|^2)^{1/2} $$

定理7.5

假设$u_0{\in}D(A^k)$对于某个整数$k{\ge}2$。则关于在定理7.4中问题（6）的解$u$满足

$$ u{\in}C^{k-j}([0,+\infty);D(A^j)),{\forall}j=0,1,{\cdots},k $$

数学归纳法证明：先对$k=2$成立，然后设$k$成立，最后归纳假设。

7.4 自伴情形

令$A:D(A){\subset}H{\to}H$为一个无界线性算子，且$\overline{D(A)}=H$，用$H$定义$H^*$，我们可以看到$A^*$为在$H$中的一个无界线性算子。

定义

$A$是对称的：

$$ (Au,v)=(u,Av),{\forall}u,v{\in}D(A) $$

$A$是自伴的：

$$ D(A^*)=D(A)且A^*=A $$

显然，任意自伴算子是堆成的，但是反之不真。

一个算子$A$是对称的当且仅当$A{\subset}A^*$，也即$D(A){\subset}D(A^*)$且在$D(A)$上$A^*=A$。

接下来我们将说明：如果$A$是极大单调的，则自伴和对称是等价的。

命题7.6

令$A$为一个极大单调对称算子，则$A$是自伴的。

注：如果$A$单调（甚至对称单调），但$A^*$不一定单调。然而，下面性质是等价的：
$A$是极大单调的。$A^*$是极大单调的。$A$是闭的，$D(A)$是稠密的，$A$和$A^*$是单调的。

定理7.7

令$A$为一个自伴极大单调算子，则对任意$u_0{\in}H$，存在唯一一个函数

$$ u{\in}C([0,+\infty);H){\cap}C^1((0,+\infty);H){\cap}C((0,+\infty);D(A)) $$

使得

$$ \begin{cases}\frac{du}{dt}+Au=0,于(0,+\infty)\\u(0)=u_0\end{cases} $$

更甚者，我们有

$$ |u(t)|{\le}|u_0|且|\frac{du}{dt}(t)|=|Au(t)|{\le}\frac{1}{t}|u_0|,{\forall}t>0\\u{\in}C^k((0,+\infty);D(A^l)),{\forall}k,l{\in}\mathbb{Z} $$

补充内容

1.在巴拿赫空间中的希尔-吉田耕作定理

2.指数公式

3.非均匀方程。非线性方程。