弱拓扑导论

Coarsest拓扑

假设$X$是一个集合，$(Y_i)_{i{\in}I}$是一个拓扑空间组成的集合。

我们给定一系列映射$(\varphi_i)_{i{\in}I}$使得对于每个$i{\in}I,\varphi_i$把$X$映射到$Y_i$中。

问题1

在$X$上构造一个拓扑，使得所有的映射$(\varphi_i)_{i{\in}I}$是连续的。

如果可以的话，我们希望寻求到一个拓扑$\mathscr{T}$是有最少开集的，从而作为某种意义上最“经济”的拓扑。

注意到如果我们对$X$上装备互斥的拓扑（也即，任何$X$的子集都是开集），则任意的映射$\varphi_i$都是连续的。但是这并不是最“便宜的”（具有最少开集）。事实上，这是最为昂贵的。

通常来说是存在一个最经济的拓扑使得映射都是连续的，这个就称之为Coarsest弱拓扑。

如果$\omega_i{\subset}Y_i$是任意开集，则$\varphi_{i}^{-1}(\omega_i)$在$\mathscr{T}$中必然是一个开集。

当$\omega_i$遍历$Y_i$的开集族且$i$跑遍$I$指标集，我们得到一族$X$的子集。每个都是拓扑$\mathscr{T}$中的开集。我们将其表示为$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$。当然，这族不见得为一个拓扑，因此，我们有下面的：

问题2

给定一个集合$X$和一族$X$中的子集$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$，构造$X$的最便宜拓扑$\mathscr{T}$，其中$U_{\lambda}$是开集。

另一方面，我们必须找到$X$的子集族$\mathscr{F}$是稳定的，关于$U_{\lambda}$的有限交和任意并是封闭的。这样的构造可以通过下面的方式得到：

首先，考虑$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$的有限交，也即$\Gamma{\subset}\Lambda$是有限集，然后取$\bigcap\limits_{\lambda{\in}\Gamma}U_{\lambda}$。

在这种方式下我们得到一个新的族，称之为$\Phi$，包括了原来的$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$和他们的有限交。

然而，这样在任意并下未必是封闭的。因此，我们考虑下面的集合$\mathscr{F}$是由$\Phi$中元素的任意并的到的，这样显然就完成了有限交和任意并的封闭。

于是我们就有下面的结果：

引理3.1

集族$\mathscr{F}$在有限交下是封闭的。

这个用集合论的方式可以证明。

并且显然上面的构造给出了我们希望得到的性质的一个最便宜的拓扑。

注意到这个构造的顺序不能改变，如果改变了，则在有限交下是封闭的，但是不能得到任意并的封闭。

命题3.1

令$(x_n)$为$X$的一个序列。则在$\mathscr{T}$中$x_n{\to}x$当且仅当对于每个$i{\in}I$有

$$ \varphi_i(x_n){\to}\varphi_i(x) $$

证明：

如果$x_n{\to}x$，则对于每个$i$都有$\varphi_i(x_n){\to}\varphi_i(x)$，因为对于拓扑$\mathscr{T}$每个映射$\varphi_i$都是连续的。

另一方面，令$U$为$x$的一个邻域，由前面的讨论，我们可以假设$U$有这样的形式，也即$J{\subset}I$有限，$U=\bigcap\limits_{i{\in}J}\varphi_i^{-1}(V_i)$。对于每个$i{\in}J$存在某个整数$N_i$使得对于$n{\ge}N_i,\varphi_i(x_n){\in}V_i$。于是对于$n{\ge}N=\max\limits_{i{\in}J}N_i$有$x_n{\in}U$。

命题3.2

令$Z$为一个拓扑空间，且令$\psi$为一个映射从$Z$到$X$。则$\psi$是连续的当且仅当$\varphi_i{\circ}\psi$是从$Z$到$Y_i$是连续的，对于每个$i{\in}I$。

这个就是映射复合，不予证明。

弱拓扑$\sigma(E,E^*)$的定义与基本性质

令$E$为一个巴拿赫空间，且令$f{\in}E^*$。我们用$\varphi_f:E{\to}\mathbb{R}$表示线性泛函$\varphi_f(x)=\left\langle{f,x}\right\rangle$。当$f$遍历$E^*$空间，我们就得到一串集合$(\varphi_f)_{f{\in}E^*}$为从$E$到$\mathbb{R}$的映射族。我们现在忽略掉$E$上的通常拓扑且定义$E$上的新拓扑如下：

定义

集合$E$上的弱拓扑$\sigma(E,E^*)$是与集族$(\varphi_f)_{f{\in}E^*}$相关的coarsest拓扑（其中$X=E,Y_i=\mathbb{R}$，且$I=E^*$。）

注意到对于通常拓扑的每个映射$\varphi_f$是连续的，且因此弱拓扑是比通常拓扑要弱的。

命题3.3

弱拓扑$\sigma(E,E^*)$是豪斯多夫的。

证明：给定$x_1,x_2{\in}E,x_1{\neq}x_2$，我们必然可以找到两个开集$O_1$和$O_1$使得$x_1{\in}0_1,x_2{\in}O_2,O_1{\cap}O_2=\varnothing$。由哈恩-巴拿赫定理：存在一个闭的超平面严格分开$\left\{x_1\right\},\left\{x_2\right\}$。因此，存在某个$f{\in}E^*$和某个$\alpha{\in}\mathbb{R}$使得

$$ \left\langle{f,x_1}\right\rangle<\alpha<\left\langle{f,x_2}\right\rangle $$

设

$$ \begin{aligned} O_1=&\left\{x{\in}E;\left\langle{f,x}\right\rangle<\alpha\right\}=\varphi_f^{-1}((-\infty,\alpha))\\ O_2=&\left\{x{\in}E;\left\langle{f,x}\right\rangle>\alpha\right\}=\varphi_f^{-1}((\alpha,+\infty)) \end{aligned} $$

显然，$O_1$和$O_2$都是$\sigma(E,E^*)$中的开集且满足我们需要的性质。

命题3.4

令$x_0{\in}E$，给定$\varepsilon>0$和一个在$E^*$中的有限集合$\left\{f_1,f_2,{\cdots},f_k\right\}$，考虑

$$ V=V(f_1,f_2,{\cdots},f_k;\varepsilon)=\left\{x{\in}E;|\left\langle{f_i,x-x_0}\right\rangle|<\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k\right\} $$

则$V$是一个关于$x_0$的邻域。此外，我们得到一个由多种$\varepsilon,k,f_i{\in}E^*$的$x_0$的邻域基。

证明：显然$V=\bigcap\limits^k_{i=1}\varphi_{f_i}^{-1}((a_i-\varepsilon,a_i+\varepsilon))$，其中$a_i=\left\langle{f_i,x_0}\right\rangle$，是拓扑$\sigma(E,E^*)$的开集且包含了$x_0$。反过来，令$U$为$x_0$的一个邻域。从前面的讨论，我们知道存在一个开集$W$包含$x_0,W{\subset}U$，其中形式为$W=\bigcap\limits_{finite}\varphi_{f_i}^{-1}(\omega_i)$，其中$\omega_I$是$a_i=\left\langle{f_i,x_0}\right\rangle$的一个邻域。因此存在$\varepsilon>0$使得$(a_i-\varepsilon,a_i+\varepsilon){\subset}\omega_i$。于是$x_0{\in}V{\subset}W{\subset}U$。

记号

如果一个序列$(x_n){\in}E$在弱拓扑$\sigma(E,E^*)$中收敛到$x$，我们将记为

$$ x_n{\rightharpoonup}x $$

为了防止引起困惑，我们有时会记为在$\sigma(E,E^*),x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛。

为了表达更清楚，我们有时候会强调强收敛为$x_n{\to}x$，意味着$\|x_n-x\|{\to}0$。

命题3.5

令$(x_n)$为$E$中的一个序列，则

1. $x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛当且仅当$\left\langle{f,x_n}\right\rangle{\to}\left\langle{f,x}\right\rangle,{\forall}f{\in}E^*$。
2. 如果$x_n{\to}x$强收敛，则在$\sigma(E,E^*)$中$x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛
3. 如果$x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛，则$(\|x_n\|)$是有界的，且$\|x\|{\le}\lim\inf\|x_n\|$。
4. 如果$x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛，且如果$f_n{\to}f$在$E^*$中强收敛（也即$\|f_n-f\|_{E^*}{\to}0$），则$\left\langle{f_n,x_n}\right\rangle{\to}\left\langle{f,x}\right\rangle$。

证明：

1. 由命题3.1和弱拓扑的定义我们可以得到。
2. 由1，且因为$|\left\langle{f,x_n}\right\rangle-\left\langle{f,x}\right\rangle|{\le}\|f\|\|x_n-f\|$；同时由这个事实，我们实际上知道弱拓扑是比强拓扑要弱的。
3. 由一致有界原理，因为对于每个$f{\in}E^*$，集合$(\left\langle{f,x_n}\right\rangle)_n$是有界的。在下面的不等式我们取极限

$$ |\left\langle{f,x_n}\right\rangle|{\le}\|f\|\|x_n\| $$

我们得到

$$ |\left\langle{f,x}\right\rangle|{\le}\|f\|\lim\inf\|x_n\| $$

这就意味着

$$ \|x\|=\sup_{\|f\|{\le}1}|\left\langle{f,x}\right\rangle|{\le}\lim\inf\|x_n\| $$

1. 由于下面不等式结合1和3可以得到：

$$ |\left\langle{f_n,x_n}\right\rangle-\left\langle{f,x}\right\rangle|{\le}|\left\langle{f_n-f,x_n}\right\rangle|+|\left\langle{f,x_n-x}\right\rangle|{\le}\|f_n-f\|\|x_n\|+|\left\langle{f,x_n-x}\right\rangle| $$

命题3.6

当$E$是有限维的，弱拓扑$\sigma(E,E^*)$和通常拓扑是一样的。特别地，一个序列$(x_n)$弱收敛当且仅当其强收敛。

我们知道弱拓扑是比强拓扑有更少的开集。于是可以查验任何强的开集是弱的开集。

令$x_0{\in}E$且令$U$为$x_0$的一个邻域在强拓扑中，我们必须要找到弱拓扑$\sigma(E,E^*)$中的$x_0$的领域$V$，使得$V{\subset}U$。

注解

弱拓扑中的开集在强拓扑中必然是开集，然而强拓扑中的开集（闭集）在弱拓扑中不见得是开集（闭集）。

例如：单位球$S=\left\{x{\in}E;\|x\|=1\right\}$，其中$E$是无限维的，是不可能在弱拓扑中是闭的。

例如：单位球$U=\left\{x{\in}E;\|x\|<1\right\}$，其中$E$是无限维的，是不可能在弱拓扑中是开的。

注解

在无限维空间中，弱拓扑不再是可测的，也即：在$E$上没有度量可以诱导出$E$的弱拓扑。

并且在无限维空间中，通常存在序列弱收敛但是不强收敛。