希尔伯特空间2

Author：怪使
发布时间：November 26, 2019
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Categories：实分析

希尔伯特空间上的规范正交基

本节首要提出规范正交集的概念，并且对有限集的规范正交集做出刻画，然后通过一系列手段，从有限集推广到无限集。最终实现在希尔伯特空间上建立起规范正交基的操作。

规范正交集

定义4.13：$V$为域$F$上的向量空间，$S{\subset}V$，若$S$的任一有限子集均线性无关，则称$S$为线性无关的。

并且记

$$ [S]=span S=\sum_{\alpha{\in}F}C_{\alpha}u_{\alpha},u_{\alpha}{\in}S,C_{\alpha}{\in}F $$

也就是说$[S]$为有限个线性无关向量构成的线性组合。

设$H$为希尔伯特空间，并且有$\left\{u_{\alpha}\right\}_{\alpha{\in}A}{\subset}H,(u_{\alpha},u_{\beta})=0,{\alpha\neq}{\beta}$，则称$\left\{u_{\alpha}\right\}_{\alpha{\in}A}$为正交集。

若满足上述定义的同时还有

$$ (u_{\alpha},u_{\beta})=\begin{cases} 0,{\alpha}{\neq}{\beta}\\ 1,{\alpha}{=}{\beta} \end{cases} $$

则称$\left\{u_{\alpha}\right\}_{\alpha{\in}A}$为规范正交集。

其中对于$\forall x{\in}H,{\hat{x}(\alpha)=(x,u_{\alpha})}(\alpha{\in}A)$为傅立叶系数，于是有$\hat{x}:A{\to}\mathbb{C}$。

有限集上的正交规范集

设$\left\{u_{\alpha}\right\}_{\alpha{\in}A}$是$H$的规范正交集，且$F$为$A$的有限子集，设$M_F$是$\left\{u_{\alpha}\right\}_{\alpha{\in}F}$张成的空间$M_F=span\left\{u_{\alpha}:{\alpha}{\in}F\right\}$，则有：

若$\varphi$为$A$上一个复函数且在$F$外取值为0，则存在一个向量$y{\in}M_F$，也就是$y=\sum_{\alpha{\in}F}\varphi(\alpha)u_{\alpha}$使得$\hat{y}(\alpha)=(\varphi,u_{\alpha})=\varphi(\alpha)$对每一个$\alpha{\in}A$成立，同时，$\|y\|^2=\sum_{\alpha{\in}F}|\varphi(\alpha)|^2$。
若$x{\in}H$且$s_F(x)=\sum_{\alpha{\in}F}\hat{x}(\alpha)u_{\alpha}$，则$\|x-s_F(x)\|{\le}\|x-s\|$，对除$s=s_F(x)$外的所有$s{\in}M_F$，有$\sum_{\alpha{\in}F}|\hat{x}(\alpha)|^2{\le}\|x\|^2$。

证明：对于1，首先有$\hat{y}(\alpha)=(\varphi,u_{\alpha})=\varphi(\alpha)$，这个对任意${\alpha}{\in}A$，因为$y=\sum_{\alpha{\in}F}\varphi(\alpha)u_{\alpha}$，由于其正交性

$$ \|y\|^2=(y,y)=(\sum_{\alpha{\in}F}\varphi(\alpha)u_{\alpha},\sum_{\alpha{\in}F}\varphi(\alpha)u_{\alpha})=\sum_{\alpha{\in}F}|\varphi(\alpha)|^2 $$

证明：对于2，$s_F(x){\in}M_F,x$给定，我们用$s_F$代替$s_F(x)$，于是有$s_F(\alpha)=\hat{x}(\alpha),\alpha{\in}F$，$x-s_F(x){\pm}u_{\alpha},\alpha{\in}F$，这个可以用内积验证。$x-s_F{\pm}s_F-s,\forall s{\in}M_F$，这是因为$s_F{\in}M_F,s{\in}M_F,s_F-s{\in}M_F$。

$$ \|x-s\|^2=\|(x-s_F)+(s_F-s)\|^2=\|x-s_F\|^2+\|s_F-s\|^2\Longrightarrow\|x-s\|{\ge}\|x-s_F\| $$

$$ 0{\le}\|x-s_F\|^2=(x-\sum_{\alpha{\in}F}\hat{x}(\alpha)u_{\alpha},x-\sum_{\alpha{\in}F}\hat{x}(\alpha)u_{\alpha}){\le}x^2-\sum|\hat{x}(\alpha)|^2 $$

或者在上面的式子中，$s{\in}M_F$，令$s=0$，$\|x\|^2=\|x-s_F\|^2+\|s_F\|^2{\Longrightarrow}\sum_{\alpha{\in}F}|\hat{x}(\alpha)|^2=\|s_F(x)\|^2{\le}\|x\|^2$。

然后我们上面证明了对于有限集合的正交规范集的性质，接下来推广到无限，最后给出规范正交集什么时候成为空间的一组基的情况

预备知识与符号

$0{\le}\varphi(\alpha)<\infty,\forall \alpha{\in}A$，我们定义相关的空间与上面的要求

$$ \sum_{\alpha{\in}A}\varphi(\alpha)=\sup\left\{\varphi(\alpha_1)+\cdots+\varphi(\alpha_n)|\alpha_1,\cdots,\alpha_n{\in}A互不相同,n{\in}N\right\} $$

上述表示实际上是$\varphi(x)$在$A$上计数测度的积分，也就是有$\sum_{\alpha{\in}A}\varphi(\alpha)=\int_A{\varphi}d\mu$

我们现在用$l^p(A)$表示$L^p(\mu)$，也就是有$\varphi:A{\to}\mathbb{C}$，也就是$\sum_{\alpha{\in}A}|\varphi(\alpha)|^p=\int_A|\varphi|^p{d\mu}<\infty$。

$$ p=2,l^2(A){\to}L^2(\mu),\varphi{\in}l^2(A),\sum_{{\alpha}{\in}A}|\varphi(\alpha)|^2<\infty $$

$$ 在L^2(\mu)上,(f,g)=\int_A f\overline{g}d{\mu}\\在l^2(A)上,(\varphi,\psi)=\sum_{\alpha{\in}A}\varphi(\alpha)\overline{\psi(\alpha)},\varphi{\in}l^2(A),\psi{\in}l^2(A),\varphi{\overline{\psi}}{\in}l^1(A) $$

由于简单函数全体在$L^p(\mu)$中稠，也就是$\forall f{\in}L^p(\mu),\forall \varepsilon>0,\exists s$为简单函数，使得$\|f-s\|_p<\varepsilon$。

于是对应我们有$\left\{\varphi:\varphi在A的有限子集外都为0\right\}$在$l^2(A)$上稠密

若$\varphi{\in}l^2(A)$，则因为$\sum_{\alpha{\in}A}|\varphi(\alpha)|^p<\infty$，则$\left\{\alpha{\in}A,\varphi(\alpha){\neq}0\right\}$的集合个数至多可数。

证明：令$A_n$为使得$|\varphi(\alpha)|>\frac{1}{n}$，即为

$$ \begin{align*}A_n&=\left\{\alpha{\in}A:|\varphi(\alpha)|>\frac{1}{n}\right\}\\&=\left\{\alpha{\in}A:n|\varphi(\alpha)>1|\right\}\end{align*} $$

$$ \#A_n<\sum_{\alpha{\in}A_n}|n{\varphi(\alpha)}|^2{\le}n^2\sum_{\alpha{\in}A}|\varphi(\alpha)|^2<\infty $$

其中的$n$是每个固定的值，于是推出$A_n$的个数有限。$A=\bigcup^{\infty}_{i=1}A_n$至多可数。

等距同构的过渡

这个引理主要是从稠密子集的等距映射，过渡到空间的等距同构，实现了从小空间到大空间的过渡。

4.16假设

$X$和$Y$为度量空间，$X$是完备的
$f:X{\to}Y$连续
$X_0$是$X$的稠密子集，$f$在$X_0$上等距映射。
$f(X_0)$在$Y$上稠密

则$f$是$X$到$Y$上的等距同构映射，当然$f$是满射。

证明：这里的等距同构是很简单的，$p_Y(f(x_1),f(x_2))=p_X(x_1,x_0)$，等距映射只是保持距离的一种简单映射，所以等距是容易验证的。但是到上指的是满射，于是重点放在满射的证明上面。

满射的证明：$\forall y{\in}Y$，因为$\overline{f(X_0)}=Y$，于是$\exists\left\{x_n\right\}{\subset}X_0$，使得$p_Y(f(x_n),y){\to}0$，于是$\left\{f(x_n)\right\}$为$Y$中的柯西序列，由于$f$为$X_0$中等距映射，所以$\left\{x_n\right\}$是$X_0$中的柯西列，于是，存在$x_0{\in}X_0$，使得$p_X(x_n,x_0){\to}0$，这个存在性是由于$X$完备保证的，于是有$f(x_0)=\lim_{n{\to}\infty}f(x_n)=y$。

希尔伯特子集到$l^2(A)$的等距同构

设$\left\{u_{\alpha}|\alpha{\in}A\right\}$为$H$上的规范正交集，$P$为有限个$u_{\alpha}$的线性组合全体构成的集合，则有不等式$\sum_{\alpha{\in}A}|\hat{x}(\alpha)|{\le}\|x\|^2<\infty$，且其中的$\hat{x}(\alpha)=(x,u_{\alpha})$。这个不等式对任意$x{\in}H$成立，且$x{\to}\hat{x}$是一个$H$到$l^2(A)$的连续线性映射，是$\overline{P}$到$l^2(A)$的等距同构。

证明：这个不等式的成立证明比较简单，前面已经对有限集证明过这个不等式，而当前不等式左边的定义其实就是之前有限集证明的上确界。既然对任意有限集都成立，取到上确界自然也成立，所以该不等式可以证毕。（成为贝塞尔不等式）

接下来继续证明：定义$f(x)=\hat{x},\hat{x}(\alpha)=(x,u_{\alpha}),f:H{\to}l^2(A)$，先验证这是一个线性映射。

$$ f(a_1x_1+a_2x_2)=(a_1x_1+a_2x_2,u_{\alpha})=a_1(x_1,u_{\alpha})+a_2(x_2,u_{\alpha})=a_1\hat{x}(\alpha)+a_2\hat{x}(\alpha)=a_1f(x_1)+a_2f(x_2) $$

于是，线性是显然的，接下来证明连续性质：对$x-y$作用贝塞尔不等式

$$ \|f(x)-f(y)\|^2=\|\hat{x}-\hat{y}\|^2=\sum|\hat{(x-y)}(\alpha)|{\le}\|x-y\|^2 $$

于是可以推出$f$是连续的。

最后我们借用之前的过渡引理，直接证明等距同构。

这里首先要说明$\overline{P}$是完备的，因为$\overline{P}$为$H$的闭子集。在这里$X=\overline{P},X_0=P,Y=l^2(A)$。于是有$f:P{\to}l^2(A)$，于是都任意的$x{\in}P,x=\sum_{\alpha{\in}F}\hat{x}(\alpha)u_{\alpha}$，其中$F$为$P$的有限子集，$\|x\|^2=\sum_{\alpha{\in}F}\hat{x}(\alpha)$。

$$ \hat{x}(\alpha)=\sum_{\alpha{\in}F}(x,u_\alpha)\overline{(x,u_\alpha)}=\|x\|^2{\Longrightarrow}\|\hat{x}\|=\|x\| $$

是等距映射，接下来要证明稠密性。

对于$l^2(A)$空间，$\varphi{\in}l^2(A),\sum){\alpha{\in}A}|\varphi(\alpha)|^2<\infty$，有$x=\sum_{\alpha{\in}A}\varphi(\alpha)u_{\alpha}$，于是有

$$ \|x\|^2=\sum_{\alpha{\in}A}|\varphi(\alpha)|^2\Longrightarrow{x}{\in}{\overline{P}} $$

于是$f(P)$在$l^2(A)$中稠密，然后通过过渡引理，直接证明$f$是从$\overline{P}$到$l^2(A)$上的等距同构。

注意：其实课本这里是将$l^2(A)$的结构刻画出来给出稠密的，$l^2(A)$由支集为有限集$F{\subset}A$的函数组成，换句话说就是先拉低到每个有限集$F$，然后我们知道对于$F$是可以找到在$P$的原像$x$的，于是所有的$P$中元素通过$f$投到$f(P)$也就是这些有限集$F$，然后这些有限集又在$l^2(A)$中稠密，证明了：$f(P)$在$l^2(A)$中稠密。

规范正交基等价条件

4.18：设$\left\{u_{\alpha}|\alpha{\in}A\right\}$为$H$中的规范正交集，则下列4个条件等价：

$\left\{u_{\alpha}\right\}$为$H$上的极大规范正交集。
$\left\{u_{\alpha}\right\}$的元素有限线性组合全体构成的集合在$H$中稠密
$$ \sum_{\alpha{\in}A}|\hat{x}(\alpha)|^2=\|x\|^2\quad\forall{x{\in}H}

$$ 4. $$ \sum_{\alpha{\in}A}\hat{x}(\alpha)\overline{\hat{y}(\alpha)}=(x,y)\quad{\forall}x{\in}H,y{\in}H $$

证明：首先是通过1证明2：用反证法：假设$\overline{P}{\neq}H$，则由定理4.11的推论：$P^{\bot}$存在非零元，于是这个$\left\{u_{\alpha}\right\}$还不够大，需要把这个非零元也给纳入进来，于是就与极大这个性质矛盾。证毕。

然后通过2证明3：首先有$\overline{P}=H{\to}l^2(A)$为等距同构，于是则有$\|x\|^2=\|\hat{x}\|^2=\sum_{\alpha{\in}A}|\hat{x}(\alpha)|^2$。

然后通过3证明4：这个引入一个希尔伯特空间的极化恒等式

$$ 4(x,y)=\|x+y\|^2-\|x-y\|^2+i\|x+iy\|^2-i\|x-iy\|^2 $$

仅需代入3进行计算即可得到4。

最后通过4证明1：用反证法，假设1不成立，最后推出4不成立即可：若1不成立，则在$H$内存在$u{\neq}0$，使得$(u,u_{\alpha})=0$，对所有的$\alpha{\in}A$成立。于是若$x=y=u,(x,y)=\|u\|{\neq}0$，然而对于所有的$\alpha{\in}A,\hat{x}(\alpha)=0$，取到这个$u$却不满足4等于0，故4也就不成立。