基础拓扑学7
今天具体介绍一下怎么用数学来严格定义某些拓扑对象：诸如平环，莫比乌斯带，克莱因瓶等对象。
商拓扑
设$X$为拓扑空间，$A{\subset}X$，$X/A$是将$A$揉为一点成为商空间。
定义拓扑锥$CX{\triangleq}X{\times}I/X{\times}\left\{1\right\}$，其中$I=[0,1]$。
举个例子：当$X=S^1$时，实际上就是一个圆柱，将上面的圆揉为一个点，所以成为了圆锥。
几何锥：
取$X{\subset}E^n,a{\in}E^{n+1}{\backslash}E^n$。
$$ aX{\triangleq}\left\{ta+(1-t)x|t{\in}I,x{\in}X\right\} $$
称为$X$上以$a$为顶点的几何锥。
这个容易看出来，实际上我们取到$X{\subset}E^n$，则有$CX{\cong}aX$。
做的商映射是:$(x,t){\to}ta+(1-t)x$。
曲面例子
莫比乌斯带：$I^2/{\sim}{\cong}M$
平环$\sum$:$I^2/{\sim}{\cong}\sum$
通过连接对径点的方式，平环也可以做到成为莫比乌斯带
还有球面与克莱因瓶的例子，具体后面会加入图片更新。
粘合映射的结论
这里我们先通过粘合映射引入，直接给出本章最后的结论。但是还是要引入一些定义和概念。
两个带边曲面沿边缘粘合得到的新曲面，称之为连通和$M{\#}N$。
环面挖去一个开圆盘，称之为一个环柄。
球面加上一个环柄是环面，也就是有$S^2{\#}T^2{\cong}T^2$。
具有$n$个环柄的球面记为$nT^2$，称之为亏格为$n$的可定向闭曲面。（亏格个数可以看环柄个数或者是数洞的个数）
球面上挖去一个开圆盘，然后粘合上一个莫比乌斯带，称之为叫安交叉帽，并且有$S^2{\#}P^2{\cong}P^2$。
安装有$m$个交叉帽的球面记为$mP^2$，称为亏格为$m$的不可定向闭曲面。
于是我们有闭曲面分类定理：
$nT^2$和$mP^2$不重复地列出了闭曲面的所有拓扑类型。
拓扑流形
接下来我们严格定义一些数学对象
首先定义:在拓扑空间$(X,\tau)$中，$X$被称为$n$维拓扑流形，指的是：若$\forall p{\in}X$，$\exists p$的开领域$U{\subset}X$以及其同胚映射:$\phi:U{\to}\phi(U){\subset}E^n$为开集。
也就是说首先是任意取点，然后对该点的开邻域，要找到一个同胚映射，该映射在$E^n$下把开领域映为一个开集。
这称之为无边流形。
对于$n$维带边流形，我们有定义:在拓扑空间$(X,\tau)$中，$X$被称为$n$维拓扑流形，指的是：若$\forall p{\in}X$，$\exists p$的开领域$U{\subset}X$以及其同胚映射:$\phi:U{\to}\phi(U){\subset}E^n_{+}$为开集。
$$ E^n_{+}=\left\{(x_1,\cdots,x_n){\in}E^n|x_n{\ge}0\right\} $$
其实这意味着每个局部上与$E^n$开集是同胚的。
我们可以给出一些例子：
- $E^n$为无边的$n$维流形
- $E^n_{+}$为带边的$n$维流形。
- $\overline{D^2}={(x,y)|x^2+y^2{\le}1}$为带边的2维流形
证明一下这个先：首先$\overline{D^2}$中的点$(rcos{\theta},rsin{\theta}),0{\le}r{\le}1,0{\in}[0,2\pi)$，我们取到$p{\in}\overline{D^2}$，取到$U= \mathring{D^2}{\to}\mathring{D^2}$。我们知道后面的$\mathring{D^2}{\subset}E^2_{+}$。对应情况为$(x,y){\to}(x,y+1)$。若$p{\in}{\partial{D}},p=(cos{\theta_0},sin{\theta_0})$。我们取
$$ U_p=\left\{(x,y)|\frac{1}{2}<r<1,\theta{\in}(-\frac{\pi}{2}+\theta_0,\theta_0+\frac{\pi}{2})\right\} $$
对应情况为$(x,y){\to}(\theta,1-r)$。
- 球面
球面简单就取到球极投影即可。
- $S^2$为2维的拓扑流形，$S^n{\subset}R^{n+1}$为$n$维的拓扑流形。
坐标系
这里我们指出有一个局部坐标卡，因为我们发现拓扑流行的定义，其映射是跑到了$E^n$中的，所以可以用$E^n$中的坐标，换而言之，如果有一个坐标和一个同胚映射，我们可以唯一确定这个拓扑流形。
$p{\in}U{\subset}X{\to}\phi_u(U){\subset}E^n$，被称之为$p$的局部坐标，其中$\phi_u(U)$可以用$(x_1,\cdots,x_n)$表示。
坐标变换
这里我们指出，对于两个在同一拓扑空间中的拓扑流形，其交集可以用坐标变换和俩同胚映射唯一确定。事实上，我们知道在$E^n$中向量函数的坐标变换方法，而每一个向量是根据同胚映射对应到拓扑空间中的拓扑流形，因而就有这个结论。
$U{\to}\phi_u(U){\subset}E^n$
$V{\to}\phi_v(V){\subset}E^n$
那么我们有映射$\phi_u{\circ}\phi_v^{-1}:\phi_u(U{\cap}V){\to}\phi_v(U{\cap}V)$
微分拓扑
$C^r$微分流形，其中$0{\le}r{\le}{\omega}$，这个$\omega$指的是实解析函数，也就是可以写成泰勒级数形式。
$X$为$n$维$C^r$流形$\iff$对所有的$\phi_v{\circ}\phi_u^{-1}$存在，且$C^r$可微分。
注$S^n,C^{\omega}$是微分流形
于是接下来我们可以对流形上的点做一些定义
设$M$为$n$维流形
定义内点与内部：若$\forall p{\in}m$，$\exists p$的开领域$U{\subset}M$以及其同胚映射:$\phi:U{\to}\phi(U){\subset}E^n$为开集。
则称$p$为内点，所有内点的集合就是内部$\mathring{M}$。
定义边界点及边界：若$\forall p{\in}X$，$\exists p$的开领域$U{\subset}X$以及其同胚映射:$\phi:U{\to}\phi(U){\subset}E^n$为开集，且$\phi(p)=(0,0,\cdots,0){\in}\partial{E^n_+}$，则称呼$p$为$M$的边界点，所有边界点全体称为边界$\partial{M}$
然后我们严格定义无边流形和带边流形
$$ \partial{M}\begin{cases}=\varnothing \quad带边流形\\\neq \varnothing \quad 带边流形\end{cases} $$
例子：$\overline{D^2}:\partial{\overline{D^2}}=S^1$。
例子：$\partial{E^n_+}=E^{n-1}$，$\partial{S^n}=\varnothing,\partial{S^1}=\varnothing$。
命题：边界和内部的交集为空集
这个在拓扑上是显然的，但是对于拓扑流形还是需要费一番功夫，目前就假设其成立即可。
$$ \mathring{M}{\cap}\partial{M}=\varnothing $$
注：有$\partial({\partial M})=\varnothing$，也就是两次边界运算则为空集。
命题：$n$维带边拓扑流形其边界性质
对于$M$为$n$维带边拓扑流形，其边界有
$$ \partial M=\begin{cases}离散子集 \quad n=1\\n-1维无边流形 \quad n>1\end{cases} $$
证明这个命题：首先我们知道有$E^1_+=\left\{x|x{\ge}0\right\}$
任意取$\forall p{\in}X$，$\exists p$的开领域$U{\subset}X$以及其同胚映射:$\phi:U{\to}\phi(U){\subset}E^n$为开集，且$\phi(p)=0$。
当$n=1$时，$\partial E^1_+=\left\{0\right\}$，于是有$p{\in}\partial M$，$\exists p$的开领域$U{\subset}X$以及其同胚映射:$\phi:U{\to}\phi(U){\subset}E^n$为开集，且在$p$的开领域$U$中仅仅有一个边界点。
实际上就是每个开邻域就一个边界点，所以用开邻域隔开了，是个离散的子集。
当$n>1$时，我们有$p{\in}\partial M$，$\exists p$的开领域$U{\subset}X$以及其同胚映射:$\phi:U{\to}\phi(U){\subset}E^n$为开集，且$\phi(p)=(0,\cdots,0)$，并且我们知道$\phi(U)$也是一个$n$维流形，于是就有$\phi(U){\subset}E^n_+$且$q{\in}U{\cap}\partial M,\iff\phi(q){\in}\partial(\phi(U))$，但是我们知道$\partial(\phi(U))$是$n-1$维的。
也就是说，$p$在$\partial M$中有开邻域$U{\cap}\partial M{\cong}\partial(\phi(U)){\subset}E^{n-1}$开集，这是由于是子空间拓扑，而且$\partial(\phi(U))=\phi(U){\cap}E^{n-1}$，于是乎我们知道$\partial M$为$n-1$维无边流形。
因为有$\partial({\partial M})=\varnothing$，也就是两次边界运算则为空集。所以无边
闭流形
给出几个重要定义：
$M$为$n$维闭流形$\iff{M}$为紧致无边流形（这是定义），其中无边的意思是$\partial M=\varnothing$。
一维连通流形$\iff$称之为曲线
一维连通闭流形$\iff$称之为闭曲线
二维连通流形$\iff$称之为曲面
二维连通闭流形$\iff$称之为闭曲面
并且有结论，揭示了一维闭曲线的分类定理：
一维的紧致连通流形只有两种：无边的$S^1$，带边的$[0,1]$。
