Big Rudin
本节的思路比较简单，所以讲起来比较有层次性。
$L^p$空间
定义
定义：$1{\le}p<\infty$，$f$为$X$上的复可测函数。
$$ 定义\|f\|_p=(\int_X|f|^pd{\mu})^{\frac{1}{p}} $$
首先我们定义$L^p(\mu)=\left\{f可测;\|f\|_p<\infty\right\}$。之后我们将验证$\|·\|_p$称为$L^p(\mu)$上的范数。
这里我们给出几个特殊情况：
1，当$\mu$为勒贝格测度时候，记为$L^p(R^k)$。
2，当$\mu$为集合$A$的计数测度时候，记为$l^p(A)$。
3，当$A$为可数集时，并且$\mu$为集合$A$的计数测度时，记为$l^p$。也就是$x{\in}l^p$，$x=(\xi_1,\xi_2,\cdots)$，且有
$$ \|x\|_p=(\sum^{\infty}_{i=1}|\xi_i|^p)^{\frac{1}{p}} $$
无穷情形
定义3.7是用本性上确界的方式来定义$p=\infty$的情况。
设$g:X{\to}[0,\infty]$可测，$S=\left\{{\alpha}:\mu(g^{-1}((\alpha,\infty]))=0\right\}$
若$S=\varnothing$，令$\beta=\infty$。若$S\neq \varnothing$，令$\beta=\inf S$。
因为有$g^{-1}((-\beta,\infty))={\bigcup}^{\infty}_{n=1}g^{-1}((\beta+\frac{1}{n},\infty))$，其实$\alpha=\beta+\frac{1}{n},\forall n$。
$$ g^{-1}((-\beta,\infty]){\le}\sum^{\infty}_{n=1}\mu(g^{-1}((\beta+\frac{1}{n},\infty])) $$
故有$\beta{\in}S$，也就是下确界可达。
$\beta$称为$g$的本性上确界$\beta=ess \sup g$。
对于$x{\in}X-S,0{\le}g(x){\le}\beta$，也就是除去一个零测集有界，本性有界函数。
而对于一般的复函叔$f$，其无穷范数$\|f\|_{\infty}=ess \sup |f|$。
于是我们顺势也可以定义出:$L^{\infty}(R^k),l^{\infty}(A),l^{\infty}$，其中$\|x\|_{\infty}=\sup_{1{\le}i{\le}\infty}|\xi_i|$。因为除去$\varnothing$无零测集，这个指出$l^{\infty}$中有界与本性有界一致。
赫尔德不等式与闵可夫斯基不等式应用
定理3.8：$p,q$是共轭指数，$1{\le}p{\le}\infty,f{\in}L^p(\mu),g{\in}L^q(\mu)$，则$fg{\in}L^1(\mu)$且$\|fg\|_1{\le}\|f\|_p\|g\|_g$。
证明：分为两部分，一部分是$1<p<\infty$，用赫尔德不等式即可直接得到结论。
另一部分是$p=\infty$，这部分的时候因为$|fg|{\le}\|f\|_{\infty}|g|,a.e$，于是有
$$ \|fg\|_1=\int_X|fg|d{\mu}{\le}\|f\|_{\infty}\int_X|g|d{\mu}=\|f\|_{\infty}|g|_1 $$
当$p=1$时候，则有$|fg|{\le}|f|\|g\|_{\infty},a.e.$，于是有类似结论。
定理3.9：若$1{\le}p<\infty,f,g{\in}L^p(\mu)$，则$f+g{\in}L^p(\mu)$且
$$ \|f+g\|_p{\le}\|f\|_P+\|g\|_p $$
证明也是分为两个部分，一部分是$1<p<\infty$，这部分由于$|f+g|{\le}|f|+|g|$，所以可以得到
$$ \int_X|f+g|^pd{\mu}{\le}\int_X(|f|+|g|)^pd{\mu} $$
然后对后者用一次闵可夫斯基不等式即可得到结论。
当$p=1$时，由$|f+g|{\le}|f|+|g|$直接得到结论
当$p=\infty$时，由$|f+g|{\le}|f|+|g|$，还有
$$ (|f+g|^{-1})((\alpha,\infty]){\subset}(|f|^{-1})((\alpha,\infty]){\cup}(|g|^{-1})((\alpha,\infty]) $$
再加上本性上确界的定义也可以得到结论。
3.10是证明$L^p(\mu)$是一个线性空间，这个证明比较简单略过，然后是证明其范数$\|·\|$确实满足正定，正齐次，与三角不等式。（三角不等式由定理3.9已经证明），正齐次性是关于乘法的封闭性质。
引入度量
这里定义度量$p(f,g)=\|f-g\|_p$，但是由于度量需要的正定性质是保证了$f=g$的，而这里需要商去一个等价类也就是几乎处处等于。所以取到等价函数类（几乎处处等于的）这样定义了度量。
这个度量空间其实是按照等价类构造的度量空间，但是还是直接称为了$L^p(\mu)$上的度量。
定义序列收敛与极限
在度量有了的基础上，我们可以定义序列极限与收敛。
若$\left\{f_n\right\}$为$L^p(\mu)$上的一个序列，$f{\in}L^p(\mu)$，定义$f_n$收敛到$f$
$$ \|f_n-f\|_p{\to}0(n{\to}\infty) $$
完备性
接下来需要证明完备性，也就是柯西序列收敛于$L^p(\mu)$的一个元素
也就是定理3.11：对于$1{\le}p{\le}\infty$，与每一个正测度$\mu$，$L^p(\mu)$为一个完备的度量空间。
证明：设$1{\le}p<\infty$，设$\left\{f_n\right\}$为$L^p(\mu)$的柯西列，则存在子列$\left\{f_{n_i}\right\}$，使得$\|f_{n_{i+1}}-f_{n_{i}}\|_p{\le}\frac{1}{2^i}(i=1,2,3,\cdots)$。
其思想是通过子列构造一个绝对收敛级数，然后找到极限函数。
令$g_k=\sum^k_{i=1}|f_{n_{i+1}}-f_{n_{i}}|$，$g=\sum^{\infty}_{i=1}|f_{n_{i+1}}-f_{n_{i}}|$。这样的话有$\|g_k\|_p<1$，由子列的选取加上闵可夫斯基不等式，再由法图引理，$\|g\|_p{\le}\|g_k\|_p<1$。也就是有$g(x)<\infty a.e$成立，所以级数
$$ f_{n_1}(x)+\sum^{\infty}_{i=1}(f_{n_{i+1}}-f_{n_{i}}) $$
几乎处处是绝对收敛的。
定义了一个和函数，其部分和为$f_{n_k+1}(x)$，令$f(x)=\lim_{n_k+1}f_{n_k+1}(x),a.e.$。
$\forall \varepsilon$，存在$N$，当$n,m>N$时，有$\|f_m-f_n\|<\varepsilon$，也就是$\int|f_m-f_n|^pd{\mu}<\varepsilon^p$，这里只需要用子序列$f_{n_i}$换掉$f_n$，也就有了$\int|f_m-f_{n_i}|^pd{\mu}<\varepsilon^p$，然后根据法图引理，就有
$$ \int|f_m-f|^pd{\mu}{\le}\lim\sup_{n{\to}\infty}\int|f_m-f_{n_i}|^pd{\mu}{\le}\varepsilon^p $$
因此就有了$f_m-f{\in}L^p(\mu)$，又因为$f_m{\in}L^p(\mu)$，于是就有$f{\in}L^p(\mu)$。那么由于$\varepsilon$的任意性，我们也就有了$\|f_m-f\|_p{\to}0(m{\to}\infty)$。
接下来对$p=\infty$进行证明，设$\left\{f_n\right\}$为$L^p(\mu)$的柯西列，设两个集合
$$ A_k=\left\{x:|f_k(x)>\|f_k\|_{\infty}\right\},B_{m,n}=\left\{x:|f_n(x)-f_m(x)|>\|f_n-f_m\|_{\infty}\right\} $$
由于本性上确界的定义可以知道$\mu(A_k)=0,\mu(B_{m,n})=0$。
于是对于$E$为$A_k$与$B_{m,n}$，其中$k,m,n=1,2,3,\cdots$，的并集，我们可以知道可数零测集的并集还是零测集，故有$\mu(E)=0$。
那么在$X-E$上，我们有$\|f_m-f_n\|<\varepsilon$成立，也就是$f_m(x)$一致收敛于$f(x)$。这个是沿用了上面的证明，取得子序列方式得到的极限函数。
而在$E$上，定义$f(x)=0$，于是我们有$f{\in}L^{\infty}(\mu)$，且$\|f_n-f\|_{\infty}{\to}0$。
稠密性
讨论完完备性接下来讨论稠密性，稠密性有很大作用，很多时候可以在稠密子集上做到相关性质，然后再过渡到全空间上。
简单函数逼近可积函数
定理3.13：设$S$是使得$\mu(\left\{x:S(x)\neq 0\right\})<\infty$的$X$上的复可测简单函数$s$的全体，若$1{\le}p<\infty$，则$S$于$L^p(\mu)$中是稠密的。
证明，分两部分，一部分为$1{\le}p<\infty$时，对任意的$s{\in}S$，令$A=\left\{x:S(x)\neq 0\right\}$，$\mu(A)<\infty$，令$M=\max_{m{\in}X}|s(x)|$，于是有
$$ \int_X|s|^pd{\mu}{\le}M^p\mu{A}<\infty $$
于是有$s{\in}L^p(\mu)$，$S{\subset}L^p(\mu)$。这里先证明了是子集
假设$f{\in}L^p(\mu)$，$f{\ge}0$，$\left\{S_n\right\}$是定理1.17中的简单函数序列，$0{\le}s_n{\le}f,s_n{\in}L^p(\mu)$，于是有$s_n{\in}S,|s_n-f|{\le}f$，于是由于勒贝格控制收敛定理，就有了$\|f-s_n\|_p{\to}0(n{\to}\infty)$。
于是就证明了$S$在$L^p(\mu)$中稠密，接下来一般可积函数可以划分为正负部，然后归结为上述证明，对于复可积函数，可以划分为实部和虚部。然后归结。
对于$p=\infty$，其实与证明完备性的方式一致，所以这里不加赘述。
连续函数逼近可积函数
定理3.14：$1{\le}p<\infty$，则$C_c(X)$在$L^p(\mu)$中稠密
证明：思路是先证明$C_c(X)$在$S$中稠密，然后又因为$S$在$L^p(\mu)$中稠密，于是就有了$C_c(X)$在$L^p(\mu)$中稠密。
证明：对于任意的$s{\in}S$，任取一个$\varepsilon>0$，存在一个$g{\in}C_c(X)$，使得$\|g-s\|_p{\le}\varepsilon$。简单函数逼近连续函数的鲁津定理
对于任意的$f{\in}L^p(\mu)$，存在一个$s{\in}S$，使得$\|f-s\|_p{\le}\varepsilon$，，于是用二段分析技巧（加一项减一项）可以得到$\|f-g\|_p{\le}2\varepsilon$。
这就证明了命题。
评注
在$L^p(R^k),C_c(R^k)$中的度量并不是等价类的度量，因为连续函数不等，则其中有个非空开集不等，也就是该开集中的$k$胞腔不等，那么对于其范数$\|f-g\|_p>0$。
对于$f{\in}C_c(R^k)$，$\|f\|_{\infty}=\sup_{x{\in}R^k}|f(x)|$，不难验证这是一个范数。
而这个空间，当$k{\to}\infty$的完备化空间则是$C_0(R^k)$。
首先给出$C_0(X)$的定义
$$ C_0(X)=\left\{f:任意\varepsilon>0,存在紧集K{\subset}X,|f(x)|<\varepsilon,x{\in}X-K\right\} $$
特就是“无穷远点为0”的函数空间，$C_c(X){\subset}C_0(X)$。且当$X$为紧集，$C_c(X)=C_0(X)$。
$C_c(X)$的完备空间
定理3.17:若$X$是一个局部紧豪斯多夫空间，则$C_0(X)$为$C_c(X)$相对于由上确界范数$\|f\|=\sup_{x{\in}X}|f(x)|$所定义度量的完备化。
首先我们要知道为什么强调这个度量，因为在赋范线性空间中我们可以定义不同的度量，那么不同度量的完备化空间显然是不同的。
证明：令$p(f,g)=\|f-g\|,p$为$C_0(X)$上的度量，要证明两个问题：
1，$C_c(X)$在$C_0(X)$中稠密
2，$C_0(X)$是完备的
首先用乌雷松引理，那么对于任意的$f{\in}C_0(X)$，也就是任取$\varepsilon>0$，存在紧集$K$，使得$x{\in}X-K，|f(x)|<\varepsilon$，这意味着有$K{\prec}g$，也就是$0{\le}g{\le}1$，且$g(x)=1$在$K$上，且有$g{\in}C_c(X)$。
接下来仅需令$h=f{\circ}g$，因为$f$是连续的，于是可以推出$h{\in}C_c(X)$，于是则有$\|f-h\|<\varepsilon$，这样就证明了$C_c(X)$在$C_0(X)$中稠密。
接下来要证明$C_0(X)$是完备的，设$\left\{f_n\right\}$为$C_0(X)$的柯西列，也就是假定$\left\{f_n\right\}$一直收敛，则它的点态收敛的极限函数$f$是连续的。给定$\varepsilon>0$，存在一个$n$，使得$\|f_n-f\|<\frac{\varepsilon}{2}$，并且存在一个紧集$K$使得在$K$的外面，$|f_n(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$，这也就证明了$f$在无穷远点处为0，所以$f{\in}C_0(X)$，也就是$C_0(X)$是完备的。
