阿尔泽拉-阿斯科特

逐点收敛与一致收敛

在此先给出逐点收敛的概念

定义逐点收敛:设$f_n(n{\in}N)$为定义在集合$K$上的一族实值(或复值)函数,函数序列$\left\{f_n\right\}$称为逐点收敛于函数$f$:当$\forall{x}{\in}K,{\exists}N{\in}N,\forall{n>N}$,有$|f_n-f(x)|<\varepsilon$。

一致收敛概念

定义一致收敛:设$f_n(n{\in}N)$为定义在集合$K$上的一族实值(或复值)函数,函数序列$\left\{f_n\right\}$称为一致收敛于函数$f$:若${\forall}\varepsilon>0,{\exists}N{\in}N,\forall{n>N},x{\in}K$,有$|f_n-f(x)|<\varepsilon$。

这里要注意到逐点收敛与一致收敛之间很重要的一个不同之处: 一般而言,逐点收敛定义中的$N$不仅与$\varepsilon$有关,还与$x$的取值有关;而一致收敛中的$N$,仅仅与$\varepsilon$有关,也就是对所有的$x$,均有$|f_n=f(x)|<\varepsilon$成立。

逐点收敛是不足以保证极限函数继承函数序列中函数的连续性质的,但是一致收敛可以保证极限函数连续。这部分可以通过加一项减一项证明。

而对于函数项级数收敛,也用到了一致收敛的条件。

对于叶果洛夫定理:去掉一个零测集,则逐点收敛函数可以做到一致收敛。

实数域上的情形

为了说明后面的阿尔泽拉-阿斯科特定理需要引入

一致有界定义:

$f_n$是定义在集合$K{\subset}R(or\;C)$上的一族函数,称函数序列$\left\{f_n\right\}$一致有界,当$\exists{M}{\in}R,{\forall}n{\in}N,x{\in}K,\|f_n\|_{\infty}{\le}M$。

等度连续定义:

一个函数序列$\left\{f_n\right\}_{n{\in}N}$称为等度连续:当${\forall}\varepsilon>0,{\exists}\delta>0,{\forall}n{\in}N,x,y{\in}K,|x-y|<\delta$,则有$|f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon$。

一致连续讲的是单个函数在全局上连续变化的情况

而等度连续刻画了一族函数的连续情况。

有了这个概念,我们可以将致密性定理进行推广为AAS(阿尔泽拉-阿斯科特)定理:给出了一个从紧度量空间映射到度量空间的函数集合,是否在关于一致收敛的拓扑意义上是紧集的充分必要条件,

(应用:在常微分方程解的存在与唯一性中起作用。)

实数域上的AAS定理:考虑为$R$上的一个有界闭区间$I=[a,b]$,实值函数序列${f_n}_{n{\in}N}$。若该序列一致有界且等度连续,则该函数序列必包含一个一致收敛的子序列。

证明分成三部分:

一:逐点利用一致有界性:考虑在$I$上取一个稠密点集,这样,任意的$x{\in}I$都可以通过这个点集的元素逼近得到。(例如,任意的一个无理数都可以通过一个有理数序列取极限得到),不妨选取序列$A=\left\{x_n\right\}^{\infty}_{n=1}=I{\cap}Q$,由一致有界性质,根据致密性(波尔查诺-维尔斯特拉斯)定理:

$x=x_1$,序列$\left\{f_n(x_1)\right\}^{\infty}_{n=1}$有界,于是有收敛子列$\left\{f_{1,n}(x_1)\right\}^{\infty}_{n=1}$

序列$\left\{f_{1,n}(x_2)\right\}^{\infty}_{n=1}$有界,则有收敛子列$\left\{f_{2,n}(x_2)\right\}^{\infty}_{n=1}$

序列$\left\{f_{k-1,n}(x_k)\right\}^{\infty}_{n=1}$有界,则有收敛子列$\left\{f_{k,n}(x_k)\right\}^{\infty}_{n=1}$

这些序列的关系为

$$ \left\{f_{k,n}\right\}^{\infty}_{n=1}{\subset}\left\{f_{k-1,n}\right\}^{\infty}_{n=1}{\subset}{\cdots}{\subset}\left\{f_{2,n}\right\}^{\infty}_{n=1}{\subset}\left\{f_{1,n}\right\}^{\infty}_{n=1} $$

二:取对角线构造子序列。现在取以上的这些序列中的$f_{j,j}$,构成对角线序列$\left\{f_{k,k}\right\}_{k{\in}N}$这个操作称为Cantor对角线法。于是,对于任意固定的$j$,当$i>j$,都有$f_{i,i}{\in}\left\{f_{i,n}\right\}{\subset}\left\{f_{j,n}\right\}$,所以$i{\to}\infty$时,$f_{i,i}(x_j)$收敛

三:证明所取到的子序列一致收敛,我们总是可以将区间$I$分割为$M$份,也就是$I={\bigcup}^M_{i=1}I_i$,使得$\forall{x}{\in}I$,总会落在某一区间$I_k$上,并且有$x_k{\in}I_k$,使得$|x-x_k|<\delta$成立,于是:

可以断言,所取的这个序列$\left\{f_{k,k}\right\}_{k{\in}N}$是等度连续的。实际上,由于序列$\left\{f_{n}\right\}_{n{\in}N}$等度连续,所以$\exists{N}{\in}N,{\forall}p>N$,有$|f_{p,p}(x)-f_{p,p}(x_j)|<\frac{\varepsilon}{3}$,由第二部分我们可以知道有$|f_{p,p}(x_j)-f_{q,q}(x_j)|<\frac{\varepsilon}{3}$。

结合上述三个不等式,则有

$$ |f_{p,p}(x)-f_{q,q}(x)|{\le}|f_{p,p}(x)-f_{p,p}(x_j)|+|f_{p,p}(x_j)-f_{q,q}(x_j)|+|f_{q,q}(x_j)-f_{q,q}(x)|<\varepsilon $$

也就是有对$\forall{x}{\in}I,{\forall}\varepsilon>0,{\exists}N{\in}N,{\forall}p,q>N,|f_{p,p}(x)-f_{q,q}(x)|<\varepsilon$。

所以我们选取的序列$\left\{f_{k,k}\right\}_{k{\in}N}$是一个一致收敛的柯西序列,必定收敛到一个连续函数,于是证明完毕。

(取稠密集,再利用一致有界性和致密性定理——推出有收敛子列,取到特殊的收敛子列(对角过程),利用等度连续性,得到一致收敛。)

度量空间的推广

对于度量空间上有这么一个推广形式,证明方式与上面类似:假设$\mathscr{F}$为度量空间$X$上的一个逐点有界的等度连续的复函数族,且$X$包含一个可数稠密子集$E$。

则$\mathscr{F}$中的任何一个序列$\left\{f_n\right\}$存在一个在$X$的任何一个紧子集上一致收敛的子序列。

证明:设$x_1,x_2,x_3,\cdots$为$E$中的点的枚举,并设$S_0$表示所有的正整数构成的集合。假设$k{\ge}1$且无限集$S_{k-1}{\subset}S_0$已经选取。因为$\left\{f_n(x_k):n{\in}S_{k-1}\right\}$为一个有界复数序列,它有一个收敛子序列。换言之,存在无限集$S_{k}{\subset}S_{k-1}$使得极限$\lim{f_n}(x_k)$当$n$在$S_k$中趋向于无穷大时存在。

设$r_k$为$S_k$中的第$k$项(相对于正整数的自然排序)且令

$$ S=\left\{r_1,r_2,r_3,\cdots\right\} $$

对于每一个$k$,$S$中最多有$k-1$项不在$S_k$中。

因此,对于每一个$x{\in}E$,当$n$在$S$中趋向于无穷大时极限$\lim{f_n}(x)$存在(这种通过$\left\{S_k\right\}$)来构造$S$的方法就是所谓的对角过程。)

现在设$K{\subset}X$为紧的,任给$\varepsilon>0$,由等度连续性,存在$\delta>0$,使得$\rho(p,q)<\delta$时蕴含着$|f_n(p)-f_n(q)|<\varepsilon$对任何$n$成立。用半径为$\delta/2$的开球$B_1,B_2,\cdots,B_M$覆盖$K$。因为$E$在$X$中稠密,对于$1{\le}i{\le}M$,存在点$p_i{\in}B_i{\bigcap}E$。因为$p_i{\in}E$,当$n$在$S$中趋向于无穷大时极限$\lim{f_n}(p_i)$存在。因此存在正整数$N$,使得若$m>N,n>N$且$m{\in}S,n{\in}S$,则

$$ |f_m(p_i)-f_n(p_i)|<\varepsilon $$

对所有的$i=1,2,\cdots,M$成立。

根据对角化过程则有,存在正整数$N$,使得若$n>N$且$n{\in}S$,则

$$ |f_n(p_i)-f_n(x)|<\varepsilon $$

最后,选取$x{\in}K$,则存在$i$使得$x{\in}B_i$,且$\rho(x,p_i)<\delta$。由我们对$\delta$和$N$的选取可知,如果$m>N,n>N$且$m{\in}S,n{\in}S$,则

$$ \begin{align*} |f_m(x)-f_n(x)|&{\le}|f_m(x)-f_m(p_i)|+|f_m(p_i)-f_n(p_i)|+|f_n(p_i)-f_n(x)|\\ &{<}\varepsilon+\varepsilon+\varepsilon=3\varepsilon \end{align*} $$

同样做到了一个一致收敛的子序列。

紧空间上的情形

如果不是在实数域上的,则有推广的AAS定理:为了$F{\subset}C(M)$是一个列紧集,必须且仅须$F$是一致有界的且等度连续的函数族。

证明:首先因为$C(M)$是完备的,所以由豪斯多夫定理:(完备)距离空$(\mathscr{X},\rho)$中的集合$M$是列紧的必须(且仅须)$M$是完全有界集。为了$F$是列紧的必须且仅需它是完全有界的。

必要性:因为完全有界集是有界集,所以$F$是一致有界函数族。$\forall{\varepsilon}>0$,要证明$\exists{\delta}=\delta(\varepsilon)$,使得${\forall}\varphi{\in}F$有

$$ |\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|<\varepsilon{\quad}(当\rho(x_1,x_2)<\delta) $$

因为$F$的$\frac{\varepsilon}{3}$网是一个有限集$N(\varepsilon/3)=\left\{\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n\right\}$,对着有限个函数,由连续性,$\exists{\delta}=\delta(\varepsilon/3)$,当$\rho(x_1-x_2)<\delta$有

$$ |\varphi_i(x_1)-\varphi_i(x_2)|<\varepsilon/3{\quad}(i=1,2,\cdots,n) $$

因为$\forall{\varphi}{\in}F,\exists{\varphi_i}{\in}N(\varepsilon/3)$,使得$d(\varphi,\varphi_i)<\varepsilon/3$,所以

$$ \begin{align*} |\varphi(x)-\varphi(x')|&{\le}|\varphi(x)-\varphi_i(x)|+|\varphi_i(x)-\varphi_i(x')|+|\varphi_i(x')-\varphi(x')|\\ &{\le}2d(\varphi,\varphi_i)+|\varphi_i(x)-\varphi_i(x')|<\varepsilon{\quad}(当\rho(x,x')<\delta) \end{align*} $$

充分性:设$F$是一致有界且等度连续的,我们要找到有限的$\varepsilon$网。由于$F$等度连续,于是$\exists{\delta}>\delta(\varepsilon/3)>0$,使得当$\rho(x,x')<\delta$时,$|\varphi(x)-\varphi(x')|<\varepsilon/3({\forall}\varphi{\in}F)$。就用这个$\delta$,选取空间$M$上的有限$\delta$网$N(\delta)=\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}$。作映射$T:F{\to}R^n$,

$$ T\varphi:=(\varphi(x_1),\varphi(x_2),\cdots,\varphi(x_n)){\quad}(\forall{\varphi}{\in}F) $$

记$\widetilde{F}=T(F)$,则$\widetilde{F}$是$R^n$中的有界集。实际上,设$|\varphi|{\le}M_1(\forall{\varphi}{\in}F)$,则

$$ (\sum^n_{i=1}|\varphi(x_i)|^2)^{\frac{1}{2}}{\le}\sqrt{n}\max_{x{\in}M}|\varphi(x)|{\le}\sqrt{n}M_1{\quad}(\forall{\varphi}{\in}F) $$

从而$\widetilde{F}$是列紧集,利用豪斯多夫定理,$\widetilde{F}$有有限的$\varepsilon/3$网

$$ \widetilde{N}(\varepsilon/3)=\left\{T{\varphi}_1,T{\varphi}_2,\cdots,T{\varphi}_m\right\} $$

从而$\left\{\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_m\right\}$是$F$的$\varepsilon$网,这是因为$\forall{\varphi}{\in}F,\exists{\varphi_i}$,使得$\rho_n(T\varphi,T\varphi_i)<\varepsilon/3$,于是取定$x_r{\in}N(\delta)$,使得$\rho(x,x_r)<\delta$,有

$$ \begin{align*} |\varphi(x)-\varphi_i(x)|&{\le}|\varphi(x)-\varphi(x_r)|+|\varphi(x_r)-\varphi_i(x_r)|+|\varphi_i(x_r)-\varphi_i(x)|\\ &<\frac{2}{3}\varepsilon+\rho_n(T\varphi,T\varphi_i)<\varepsilon \end{align*} $$

其中$\rho_{n}$表示$R^n$上的距离。

Last modification:December 16th, 2019 at 09:48 am
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