一致有界与连续函数的傅立叶展开

Banach-Steinhaus定理

上述巴拿赫-斯坦豪斯定理，也称为共鸣定理，一致有界定理。

$X$为巴拿赫空间，$Y$为线性赋范空间，$\left\{{\Lambda}_{\alpha}\right\}_{\alpha{\in}A}$，$\Lambda_{\alpha}{\in}L(X,Y)$是一族连续线性算子，那么要么存在$M<\infty$，使得对每个$\alpha{\in}A,\|{\Lambda}_{\alpha}\|{\le}M$；要么对所有属于$X$的某个稠密$G_{\delta}$型集的$x$，有$\sup_{\alpha{\in}A}\|{\Lambda}_{\alpha}\|=\infty$。

其中一致有界性质体现在：若${\forall}x{\in}M$，$\sup_{\alpha{\in}A}\|{\Lambda}_{\alpha}x\|<\infty$，则$\sup_{\alpha{\in}A}\|{\Lambda}_{\alpha}\|<\infty$。

也就是对于这个线性算子作用下，每个都有界，最后可以推出这个算子有界。

其几何意义如下：

或者是

$$ \Lambda_{\alpha}:B_X{\to}MB_Y,{\forall}{\alpha}{\in}A,\|{\Lambda_{\alpha}}x\|{\le}M\|x\| $$

或者是：至少有一个$x$使$\left\{{\Lambda}_{\alpha}x\right\}$不包含于$Y$的任何一个球内。且这些$x$形成$X$上的一个稠密$G_{\delta}$集。

证明该定理：

令$\varphi(x)=\sup_{\alpha{\in}A}\|{\Lambda}_{\alpha}x\|\;{\forall{x}{\in}X}$，令$V_n=\left\{x|\varphi(x)>n\right\}$，则因为$\Lambda_{\alpha}$是连续线性变换，而$Y$上的范数为连续函数，故此有$\varphi$是关于$x$的下半连续函数，从而知道$V_n$为开集。

一，若有$V_N$在$X$中不稠密，则存在一点$x_0{\in}X$和$r>0$，使得$\|x\|<r$时，$x_0+x{\notin}V_n$。于是则推出$\varphi(x_0+x){\le}N$，或者说$\|{\Lambda}_{\alpha}(x_0+x)\|{\le}N,\;{\forall}{\alpha}{\in}A,\|x\|<r$，$x=(x_0+x)-x_0$，

$$ \|{\Lambda}_{\alpha}\|{\le}\|{\Lambda_{\alpha}(x_0+x)\|+\|{\Lambda}_{\alpha}x_0\|}{\le}2N $$

取到$M=\frac{2N}{r}$，则有$\|{\Lambda}_{\alpha}x\|{\le}M\|x\|$，也就是$\|{\Lambda}\|{\le}M$。

二，$\overline{V_n}=X$，则$\bigcap^{\infty}_{n=1}V_n$是一个$G_{\delta}$型集，由于Baire定理，$\overline{\bigcap^{\infty}_{n=1}V_n}=X$，则对任意的$x{\in}\bigcap^{\infty}_{n=1}V_n$，有$\varphi(x)>n\;{\forall}n$，$\varphi(x)=\infty$。

推论：$X$为巴拿赫空间，$Y$为线性赋范空间，$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}$，$A_n{\in}L(X,Y)$，若$\forall{x}{\in}X$，$\left\{A_nx\right\}$在$Y$中收敛（可以知道$\sup_{n{\ge}1}\|A_nx\|<\infty$有界），则$\sup\|A_n\|<\infty$。

进一步定义$A:X{\to}Y$，且由$Ax=\lim_{n{\to}\infty}A_nx$，则$A{\in}L(X,Y),\|A\|{\le}\lim_{n{\to}\infty}\inf\|A_n\|$。

证明：推论的前面，由于收敛，所以有界，然后通过巴拿赫-斯坦豪斯定理就可以推出。

下面的证明进一步：首先$A$是一个线性变换：

$$ A_n(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2)=\alpha_1A_nx_1+\alpha_2A_nx_2 $$

两边取极限，从而得到

$$ A(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2)=\alpha_1Ax_1+\alpha_2Ax_2 $$

然后证明其有界性质：

$$ \begin{align*}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}&=\lim_{n{\to}\infty}\frac{\|A_nx\|}{\|x\|}=\lim\inf\frac{\|A_nx\|}{\|x\|}\\&{\le}\lim\inf\frac{\|A_n\|\|x\|}{\|x\|}=\lim\inf\|A_n\|\end{align*} $$

因为$\|A\|{\le}\lim_{n{\to}\infty}\inf\|A_n\|<\infty$，于是可以知道$\|A\|{\le}\infty$有界。

一致有界定理的应用

给定一个权函数$w{\in}L^1(0,1)$，对于$f{\in}C[0,1]$，$l(f)=\int^1_0f(t)w(t)dt$，这个积分在$L$积分上有意义，因为$w$是$L^1(0,1)$上的函数，而$l:C[0,1]{\to}R$。

我们选择$[0,1]$上n+1个分点，$0{\le}x^{(n)}_0<x^{(n)}_1<\cdot<x^{(n)}_n{\le}1$和n+1个数$w^n_j(j=0,\cdots,n)$，用$l_n(f)=\sum^n_{j=0}w^{(n)}_jf(x^n_j)$来逼近$l(f)$，$l$与$l_n$均为连续线性泛函，而$C[0,1]$按照上确界范数构成巴拿赫空间。

Polya定理：给定权函数$w{\in}L^1[0,1]$和线性泛函序列$l_n:f{\in}C[0,1]{\to}l_n(f)=\sum^n_{j=0}w^{(n)}_jf(x^n_j){\in}R$。其中分点与上述一致。则$l_n$有如下性质：若

$$ \lim_{n{\to}\infty}|\int^1_0p(t)w(t)dt-l_n(p)|=0\quad{\forall}p{\in}P[0,1] $$

则有

$$ \lim_{n{\to}\infty}|\int^1_0f(t)w(t)dt-l_n(f)|=0\quad{\forall}f{\in}C[0,1] $$

的充要条件是$\sup_{n{\ge}1}(\sum^n_{j=0}|w_j^{(n)}|)<\infty$。

证明：$|l_nf|{\le}\|f\|\sum^n_{j=0}|w^{(n)}_j|$，$\|l_n\|=\sup_{f{\neq}0}\frac{\|l_nf\|}{\|f\|}{\le}\sum^n_{j=0}|w^{(n)}_j|$。然后我们定义函数$f_0$是逐段连续函数，$f_0(0)=sgn(w^{(n)}_0)$，$f_0(x^{(n)}_j)=sgn(w^{(n)}_j),(0{\le}j{\le}n)$，$f_0(1)=sgn(w^{(n)}_n)$，于是有$l_n(f_0)=\sum^n_{j=0}|w^{(n)}_j|$，$\|l_n\|=\sum^n_{j=0}|w^{(n)}_j|$。

这里用上述的巴拿赫-斯坦豪斯的推论即可证明，先证明必要性：$\Longrightarrow$，已经有了

$$ \lim_{n{\to}\infty}|\int^1_0f(t)w(t)dt-l_n(f)|=0\quad{\forall}f{\in}C[0,1] $$

则根据推论$l_n(f)$在$R$中收敛到$\int^1_0f(t)w(t)dt$，于是可以推出$\sup_{n{\ge}1}\|l_nx\|<\infty$，也就是$\|l_n\|=\sum^n_{j=0}|w^{(n)}_j|<\infty$。

然后证明充分性：$\Longleftarrow$，根据已经知道的

$$ \lim_{n{\to}\infty}|\int^1_0p(t)w(t)dt-l_n(p)|=0\quad{\forall}p{\in}P[0,1] $$

与$\sup_{n{\ge}1}(\sum^n_{j=0}|w_j^{(n)}|)<\infty$，我们有$\|l_n\|=\sum^n_{j=0}|w^{(n)}_j|<\infty$，于是对于$P[0,1]$，由于上述收敛，并且$P[0,1]$在$C[0,1]$中稠密（维尔斯特拉斯定理），我们由巴拿赫-斯坦豪斯定理，可以知道一致有界，这里稠密的情况下还满足$\sup_{n{\ge}1}(\sum^n_{j=0}|w_j^{(n)}|)<\infty$，所以是点点有界推出的一致有界——$\|l_n\|=\sum^n_{j=0}|w^{(n)}_j|<\infty$，这样的话我们可以对$C[0,1]$空间上来做逼近，于是有

$$ \lim_{n{\to}\infty}|\int^1_0f(t)w(t)dt-l_n(f)|=0\quad{\forall}f{\in}C[0,1] $$

关于函数的Fourier级数

我们在数学分析中曾经学过，对$f{\in}[-\pi,\pi]$，若

$$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx) $$

$$ a_n=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)cosnxdx,n=0,1,2,\cdots $$

$$ b_n=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)sinnxdx,n=1,2,\cdots $$

其中的部分和

$$ S_n(f;x)=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(u)\frac{sin[(n+\frac{1}{2})(u-x)]}{2sin\frac{u-x}{2}}du $$

我们之前做的$L^2(T)$上的正交完备集，也给出了$f$与对应的$\hat{f}$，同时用欧拉函数表示出来

$$ e^{inx}=consx+isinnx{\quad}L^2(T) $$

我们在数学分析中知道，其收敛$S_n(f;x){\to}f$，最弱可以放松到$f'_{+}(x)$和$f'_{-}(x)$存在。当然其实这部分和利普希茨函数实际上等价。

而且我们用里斯-费希尔定理知道，对于$l^2(A){\cong}L^2{T}$，并且知道其稠密性：三角多项式$\left\{e^{int}\right\}^{+\infty}_{-\infty}$，则可以知道其在$C(T)$根据其范数稠密，在$L^2(T)$根据$\|{\cdot}\|_2$范数稠密。

并且有$S_n(t)=\sum^n_{k=-n}\hat{f}(n)e^{ikt}$按照$L^2(T)$范数收敛于$f$。其中$\hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(t)e^{-int}dt$，并且根据帕塞瓦尔等式有

$$ (f,g)=\sum^{+\infty}_{-\infty}\hat{f}(n)\overline{\hat{g}(n)} $$

且相对应的，根据里斯-费希尔定理，我们知道有$\sum^{+\infty}_{-\infty}|c_n|^2<+\infty$，其中$c_n=\hat{f}(n)$，且

$$ \|f\|^2_2=\sum^{+\infty}_{-\infty}|c_n|^2 $$

连续函数的Fourier级数

首先我们探讨的问题是$f{\in}C(T)$是否有$f$的Fourier级数点点收敛到$f(x)$？然后还探讨了如果没有，那么不收敛的点到底有多少？

我们知道在$L^2(T)$上我们曾经做到$\int_T|S_n(t)-f(t)|^2du{\to}0$，并且可以找到一个子列$S_{n_i}$使得$S_{n_i}$几乎处处收敛到$f(t)$，记得是用一个级数做的。但是这对于$C(T)$却没有办法。于是我们探讨接下来的方式：

$$ S_n(f;x)=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(t)D_n(x-t)dt,{\quad}D_n(t)=\sum^n_{k=-n}e^{ikt} $$

这种情况下我们想知道$S_n(f;x){\to}f(x)$是否成立？

令$S^*(f;x)=\sup_{n{\ge}1}|S_n(f;x)|$，这里为了书写方便不妨取$x=0$，实际上不是0也可也做到，令$\Lambda_nf=S_n(f;0)$。我们知道$C(T)$装备上确界范数$\|f\|_{\infty}$是形程一个巴拿赫空间，因为一致收敛的极限函数是连续的，所以还是在这个$C(T)$上，完备性容易证明。然后我们知道$\Lambda_n$是$C(T)$上的有界线性泛函。

证明如下：首先是线性性质

$$ {\Lambda}_n(\alpha{f}+\beta{g})={\alpha}{\Lambda}_nf+{\beta}\Lambda_ng $$

而其有界性可以这样证明：

$$ |S_n(f;0)|=|\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(t)D_{n}(-t)dt|{\le}\|f\|_{\infty}\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}|D_n(-t)|dt $$

$$ \|{\Lambda}_n\|{\le}\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}|D_n(t)|dt=\|D_n\|_1 $$

接下来我们声称：$\|{\Lambda}_n\|{\to}\infty(n{\to}\infty)$，这个证明需要一定的技巧，首先我们先证明$\|D_n\|_1$是趋于无穷的，然后我们再说明$\|{\Lambda}_n\|=\|D_n\|_1$。

$$ e^{it/2}D_n(t)=\sum^n_{k=-n}e^{i(kt+t/2)},{\quad}e^{-it/2}D_n(t)=\sum^n_{k=-n}e^{i(kt-t/2)} $$

用左边减去右边，就可以得到

$$ \begin{align*}2isin(\frac{t}{2})D_n(t)&=\sum^n_{k=-n}[cos(kt+\frac{t}{2})+isin(kt+\frac{t}{2})-cos(kt-\frac{t}{2})-isin(kt-\frac{t}{2})]\\&=2isin(n+\frac{1}{2})t\end{align*} $$

于是则有$D_n(t)=\frac{sin(n+\frac{1}{2})t}{sin{\frac{t}{2}}}$。

于是则有

因为有$\|sinx\|{\le}\|x\|$于是有$|sin\frac{t}{2}|{\le}\frac{t}{2}$，这个接下来会用到

$$ \begin{align*}\|D_n(t)\|_1&=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}|\frac{sin(n+\frac{1}{2})t}{sin{\frac{t}{2}}}|dt\\&{\ge}\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0\frac{|sin(n+\frac{1}{2})t|}{t}dt=\frac{2}{\pi}\int^{(n+1/2)\pi}_0|sint|\frac{dt}{t}\\&{\ge}\frac{2}{\pi}\sum^n_{k=1}\int^{k\pi}_{(k-1)\pi}|sint|\frac{dt}{k\pi}=\frac{4}{\pi}\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}{\to}\infty\end{align*} $$

上述用了一个放缩，一个变量代换$t=(n+1/2)t$，还用到了积分线性性质展开成为逐段积分，然后后面因为是绝对值的$sin$在一个$\pi$区间内积分，于是可以直接得出为$2$，然后根据后面的调和级数发散，可以直接推出了$\|D_n(t)\|{\to}\infty$。

接下来证明：$\|{\Lambda}_n\|=\|D_n\|_1$。

$n$固定，令

$$ g(t)=\begin{cases}1,D_n(t)>0\\-1,D_n(t)<0\end{cases} $$

则由于$D_n(t)$连续，所以$g(t)$的间断点只是$D_n(t)$为0的点，仅有有限个。于是$g(t)$是逐段连续的函数，并且有$|g(t)|{\le}1$。于是存在一个$f_i{\in}C(T)$连续函数，其$|f_i|{\le}1$，被常值函数1控制，并且$\lim_{n{\to}\infty}f_j(t)=g(t)(a.e.)$，这里的几乎处处是指的除去这有限个间断点。

由控制收敛定理则有

$$ \begin{align*}\lim_{j{\to}\infty}{\Lambda}_n(f_j)&=\lim_{j{\to}\infty}\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f_j(-t)D_n(t)dt\\&=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}g(-t)D_n(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}|D_n(t)|dt\\&=\|D\|_1\end{align*} $$

也就证明了$\|{\Lambda}_n\|=\|D_n\|_1$。

从而由巴拿赫-斯坦豪斯定理：$S^*(f;0)=\infty$对$C(T)$中某个稠密$G_{\delta}$型集上的每个$f$成立。

从而对$\forall{x}{\in}T$对应$E_x{\subset}C(T)$是$G_{\delta}$型集（稠密），对$\forall{f}{\in}E_x$，有$S^*(f;x)=\infty$。在这里我们看到对于两个指标性变量$x$与$f$实际上都有这个式子成立。

所以如果取可数个$x_i$，$E_{x_i}$如上所述，取$E={\bigcap}^{\infty}_{i=1}E_{x_i}$，因为每个$E_{x_i}$为稠密的$G_{\delta}$型集，由于Baire定理的推论，则有$E$也为稠密的$G_{\delta}$型集。于是推出，在每个$E_{x_i}$上都有$S^*(f;x_i)=\infty(\forall{f}{\in}E)$。

同时我们有，$S^*(f;x)$是连续函数族$S_n(f;x)$的上确界，于是推出$S^*(f;x)$是下半连续的，故而有

$$ \left\{x:S^*(f;x)=\infty\right\}={\bigcap}^{\infty}_{n=1}\left\{x|S^*(f;x)>n\right\} $$

是可数个开集的交集，也就是$G_{\delta}$型集，且取$x_{i}$取自$[-\pi,\pi]$，则可以做到稠密

$$ \overline{{\bigcup}\left\{x_i\right\}}=[-\pi,\pi] $$

定理：存在一个集$E{\subset}C(T)$，它在$C(T)$中为稠密的$G_{\delta}$型集，且有如下的性质：

${\forall}f{\in}E$，集$Q_f=\left\{x|S^*(f;x)=\infty\right\}$是$[-\pi,\pi]$上稠密的$G_{\delta}$型集。

最后我们甚至可以在某些情况下说明这个$E$以及$Q_f$是不可数集合，也即是说这个不收敛的点是非常多的！

定理：在不存在孤立点的完备度量空格键中，没有一个可数稠密集是$G_{\delta}$集。

证明：设$x_k$是$X$的可数稠密集$E$的点，假定$E$是$G_{\delta}$型集，则$E={\bigcap}V_n$，这里的$V_n$是稠密的开集。设

$$ W_n=V_n-{\bigcup}^{n}_{k=1}\left\{x_k\right\} $$

则每一个$W_n$集还是一个稠密开集，但是${\bigcap}W_n=\varnothing$，而这和Baire定理是矛盾的。

于是我们深刻地了解到在$C(T)$中Fourier级数是不能做到点点收敛与函数$f(x)$的，同时也知道不能收敛的点集是不可数的稠密$G_{\delta}$型集合。