Haim3

本节主要讲述：弱拓扑，自反空间，可分空间，一致凸性。

3.1一族连续映射的粗拓扑

考虑一个拓扑。假设$X$为一个集合，且$(Y_i)_{i{\in}I}$为一族拓扑空间。我们给定一族映射$(\varphi_i)_{i{\in}I}$，使得${\forall}i{\in}I$，有$\varphi_i:X{\to}Y_i$，（给出了从集合$X$到每个拓扑空间$Y_i$的映射$\varphi_i$）于是我们可以考虑下面的东西：

问题1：构造一个在$X$上的拓扑使得所有$(\varphi_i)_{i{\in}I}$连续。如果可以的话，则在某种意义上，可以找到最经济的拓扑$\mathscr{T}$使得它拥有最少的开集。

注意到如果给$X$装备上离散拓扑（也即：任意$X$中子集为开集），则任意映射$\varphi_i$为连续的；自然的，事实上这个从经济的角度上看是最贵的。我们将最“便宜”的在$X$上的拓扑$\mathscr{T}$称为粗拓扑或者弱拓扑（或者有时也称为生成拓扑）。

如果$w_i{\subset}Y_i$为一个开集，则$\varphi_i^{-1}(w_i)$在$\mathscr{T}$也必须是开集（连续定义）。当$w_i$遍历所有的$Y_i$开集族，我们能得到$X$的一族子集，而它们在$\mathscr{T}$中均为开的。于是可以用$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$来表示。显然，这个集族不需要成为一个拓扑。因此我们可以考虑问题2。

问题2：给定一个集合$X$和在$X$中的一族子集$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$，构造在$X$上最便宜的拓扑$\mathscr{T}$，其中对任意$\lambda{\in}\Lambda$，$U_{\lambda}$为开集。用另一种方式说就是，我们需要对与有限交和任意并封闭。这个构造方式如下：

首先，考虑在$(U_{\lambda})_{\lambda{\in}\Lambda}$中的有限交集，也就是$\bigcap_{{\lambda}{\in}\Gamma}U_{\lambda}$，其中$\Gamma{\subset}\Lambda$是有限的。于是我们得到一个新的集族称为$\Phi$，而对于集族$\Phi$中的元素取任意并形成了拓扑$\mathscr{T}$。

引理3.1

集族$\mathscr{T}$在有限交下是满足：有限交与无限并的。

这个证明由集合论容易证得。显然上述构造出来的这个拓扑$\mathscr{T}$是最便宜的拓扑。

考虑一下内部的深层次原因，首先我们是考虑$\varphi^{-1}(w_i)$的有限交然后再取可数并从而获得了拓扑$\mathscr{T}$的开集，于是对${\forall}x{\in}X$，我们可以通过考虑$\varphi_i^{-1}(V_i)$的有限交，其中$V_i$为$\varphi_i(x)$在$Y_i$中的邻域，得到$x$关于拓扑$\mathscr{T}$的一个邻域基。重新定义在拓扑空间中，一点$x$的邻域基是$x$的一族邻域。使得任何$x$的邻域包含在这个基上的邻域。

于是我们在$X$上赋予拓扑$\mathscr{T}$为最弱的拓扑。

下面是两个关于这个拓扑的简单性质。

命题3.1

令$(x_n)$为在$X$上的一个序列。则在$\mathscr{T}$上$x_n{\to}x$当且仅当对${\forall}i{\in}I,\varphi_i(x_n){\to}\varphi_i(x)$。

证明：

如果$x_n{\to}x$，则对${\forall}i$有$\varphi_i(x_n){\to}\varphi_i(x)$，这是因为$\varphi_i$在$\mathscr{T}$上是连续的。

反过来，令$U$为$x$的一个邻域。由上面的讨论，我们可以假设$U$的形式为$U=\cap_{i{\in}J}\varphi_i^{-1}(V_i)$其中$J{\subset}I$是有限集。于是对任意$i{\in}J$，存在某个整数$N_i$使得对$n{\ge}N_i$，$\varphi_i(x){\in}X$。于是对于$n{\ge}N,N=\max_{i{\in}J}N_i$，$x_n{\in}U$。

命题3.2

令$Z$为一个拓扑空间且令$\psi$为一个从$Z$到$X$的映射。则$\psi$是连续的当且仅当$\varphi_i{\circ}\psi$是连续的，其中$\varphi_i{\circ}\psi$是从$Z$到$Y_i$的。

其实我们已经知道$\varphi_i:X{\to}Y_i$为连续的，所以这仅仅是一个复合的连续问题。

证明：

若$\psi$为连续的，则$\varphi_i{\circ}\psi$也是连续的。反之，我们需要证明$\psi^{-1}(U)$是在$Z$中开的，其中$U$为在$X$中的开集。但是我们已经知道$U$的形式为：$U=\cup_{\infty}\cap\varphi_i^{-1}(w_i)$，其中$w_i$为在$Y_i$中的开集。因此有

$$ \psi^{-1}(U)=\bigcup_{\infty}\bigcap\psi^{-1}[\varphi_i^{-1}(w_i)]=\bigcup_{\infty}\bigcap(\varphi{\circ}\psi)^{-1}(w_i) $$

而因为$\varphi_i{\circ}\psi$是连续的，因此在$Z$中为开集。

3.2弱拓扑的定义与基本性质

令$E$为一个巴拿赫空间且令$f{\in}E^*$。我们定义线性泛函$\varphi_f(x)=\left \langle f,x \right \rangle$，则$\varphi_f:E{\to}\mathbb{R}$。当$f$遍历$E^*$空间，我们可以得到一个映射列$(\varphi_f)_{f{\in}E^*}:E{\to}\mathbb{R}$。现在抛弃之前在$E$上定义的通常拓扑，定义新拓扑如下：

定义：

弱拓扑$\sigma(E,E^*)$定义在$E$上，是关联映射列$(\varphi_f)_{f{\in}E^*}$的最粗糙的拓扑。

我们注意到对于任意映射$\varphi_f$在通常拓扑上都是连续的，因此弱拓扑确实比通常拓扑要弱。

命题3.3

弱拓扑$\sigma(E,E^*)$是豪斯托夫空间。

证明：给定$x_1,x_2{\in}E$，且$x_1{\neq}x_2$，我们可以找到在弱拓扑中的两个开集$O_1$与$O_2$，使得$x_1{\in}O_1,x_2{\in}O_2$且$O_1{\cap}O_2=\varnothing$。

由哈恩-巴拿赫第二几何形式，存在一个闭的超平面严格分离$\left\{x_1\right\}$与$\left\{x_2\right\}$。因此，存在某个$f{\in}E^*$且某个$\alpha{\in}\mathbb{R}$使得

$$ \left \langle f,x_1 \right \rangle<\alpha<\left \langle f,x_2 \right \rangle $$

设

$$ O_1=\left\{x{\in}E;\left \langle f,x \right \rangle<\alpha\right\}=\varphi_f^{-1}((-\infty,\alpha)),\\ O_2=\left\{x{\in}E;\left \langle f,x \right \rangle>\alpha\right\}=\varphi_f^{-1}((\alpha,+\infty)) $$

显然，$O_1$与$O_2$在弱拓扑空间$\sigma(E,E^*)$为开集（因为$\varphi_f$为连续的，由定义开集的原像是开集），且满足所需要的性质。

命题3.4

令$x_0{\in}E$，给定$\varepsilon>0$且一个在$E^*$中的有限集合$\left\{f_1,f_2,{\cdots},f_k\right\}$，考虑

$$ V=V(f_1,f_2,{\cdots},f_k;\varepsilon)=\left\{x{\in}E;|\left \langle f,x-x_0 \right \rangle|<\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k\right\} $$

则$V$是在弱拓扑$\sigma(E,E^*)$中$x_0$的邻域。甚至，我们可以通过不同的$\varepsilon,k$获得在弱拓扑中$x_0$的邻域基。

证明：

显然$V=\cap^k_{i=1}\varphi_{f_i}^{-1}((a_i-\varepsilon,a_i+\varepsilon))$，其中$a_i=\left \langle f_i,x_0 \right \rangle$。这个$V$是包含$x_0$的且在弱拓扑空间$\sigma(E,E^*)$中是开的。反之，令$U$为弱拓扑$\sigma(E,E^*)$中$x_0$的邻域。由3.1节的讨论，我们知道存在一个开集$W$包含$x_0$，有$W{\subset}U$，其形式为$W=\cap_{\infty}\varphi^{-1}_{f_i}(w_i)$，其中$w_i$为$\mathbb{R}$中$a_i=\left \langle f_i,x_0 \right \rangle$的邻域。因此存在$\varepsilon>0$使得对${\forall}i,(a_i-\varepsilon,a_i+\varepsilon){\subset}w_i$，于是则有$x_0{\in}V{\subset}W{\subset}U$。

这里给出一个记号：

若一个序列$(x_n)$在$E$中收敛于$x$（在弱拓扑$\sigma(E,E^*)$），我们记为：$x_n{\rightharpoonup}x$。

这个是为了区分强收敛的$x_n{\to}x$，这是按照范数的收敛方式$\|x_n-x\|{\to}0$。

命题3.5

令$(x_n)$为$E$中的一个序列，则有：

（1）$x_n{\rightharpoonup}x$。也就是在弱拓扑中收敛$\iff$下面这个事实

$$ \left \langle f,x_n \right \rangle{\to}\left \langle f,x \right \rangle,{\forall}f{\in}E^* $$

这里我们知道弱收敛是可以通过其内积形式去表示的。

（2）如果$x_n{\to}x$强收敛，则必然有$x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛。

（3）若$x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛，则$(\|x_n\|)$范数序列有界且$\|x\|{\le}\lim\inf\|x_n\|$。（有界且做出估计）

（4）若$x_n{\rightharpoonup}x$弱收敛，且$f_n{\to}f$于$E^*$上强收敛（也就是$\|f_n-f\|_{E^*}{\to}0$），则

$$ \left \langle f_n,x_n \right \rangle{\to}\left \langle f,x \right \rangle, $$

这些性质都很基础，其证明如下所示：

（1）由命题3.1与弱拓扑定义即可完成证明，这个连续函数写成内积形式即可。

（2）从（1）可以知道，因为$|\left \langle f,x_n \right \rangle{\to}\left \langle f,x \right \rangle|{\le}\|f\|\|x_n-x\|$；由这个柯西施瓦茨不等式，直接可以从强收敛推出弱收敛。

（3）由一致有界原理，因为对任意$f{\in}E^*$，集合$(\left \langle f,x_n \right \rangle)_n$是有界的，对下面不等式取极限

$$ |\left \langle f,x_n \right \rangle|{\le}\|f\|\|x_n\| $$

于是可以得到

$$ |\left \langle f,x \right \rangle|{\le}\|f\|\lim\inf\|x_n\| $$

然后由推论1.4可以得到

$$ \|x\|=\sup_{\|f\|{\le}1}|\left \langle f,x \right \rangle|{\le}\lim\inf\|x_n\| $$

从而知道其范数序列是有界的，且其极限有上界估计。

（4）结合（1）与（3）得到不等式

$$ |\left \langle f_n,x_n \right \rangle-\left \langle f,x \right \rangle|{\le} |\left \langle f_n-f,x_n \right \rangle|+|\left \langle f,x_n-x \right \rangle| {\le}\|f_n-f\|\|x_n\|+|\left \langle f,x_n-x \right \rangle| $$

于是结合条件即可证明结论。

命题3.6

当$E$为有限维空间，弱拓扑$\sigma(E,E^*)$与通常拓扑是一样的。特别地，一个序列$(x_n)$弱收敛当且仅当它强收敛。

证明：由强收敛推出弱收敛必然，那么我们考虑反过来的，从弱收敛推出强收敛（有限维空间）。

先证明两个拓扑等价：因为弱拓扑有比强拓扑更少的开集，足够证明任意的强开集是弱开集。令$x_0{\in}E$，且令$U$为在强拓扑中$x_0$的一个邻域。我们可以找到一个在弱拓扑$\sigma(E,E^*)$中的$x_0$的邻域$V$，使得$V{\subset}U$。也就是说，我们需要找到在$E^*$中的$f_1,f_2,{\cdots},f_k$与$\varepsilon>0$使得

$$ V=\left\{x{\in}E;|\left \langle f_i,x-x_0 \right \rangle|<\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k\right\}{\subset}U $$

固定$r>0$使得$B(x_0,r){\subset}U$。取一个在$E^*$中的基$e_1,e_2,{\cdots},e_k$，使得$\|e_i\|=1$。任意$x{\in}E$分解为$x=\sum^k_{i=1}x_ie_i$，且映射$x{\mapsto}x_i$是$E$上的连续的线性泛函，定义为$f_i$。我们有

$$ \|x-x_0\|{\le}\sum^k_{i=1}|\left \langle f_i,x-x_0 \right \rangle|<k\varepsilon $$

对任意$x{\in}V$，只需取到$\varepsilon=r/k$，则有$V{\subset}U$。

于是可以从一个有限分解，然后用弱收敛直接推出强收敛。

反例

注意：在无限维空间中没有这么好的性质，无限维存在在强拓扑中为开集（闭集）但是在弱拓扑中不是开集（闭集）的情况。下面给出两个例子：

例子1：单位球$S=\left\{x{\in}E;\|x\|=1\right\}$，其中$E$无限维空间，而这个在弱拓扑$\sigma(E,E^*)$空间中从不是闭集。更精确地，我们有

$$ \overline{S}^{\sigma(E,E^*)}=B_E $$

其中$\overline{S}^{\sigma(E,E^*)}$定义为$S$在弱拓扑中的闭包，且$B_E$定义为$E$中的闭单位球。

$$ B_E=\left\{x{\in}E;\|x\|{\le}1\right\} $$

首先我们验证对${\forall}x_0{\in}E$，其中$\|x_0\|<1$属于$\overline{S}^{\sigma(E,E^*)}$。事实上，令$V$为在$\sigma(E,E^*)$中的$x_0$的一个邻域。我们需要证明$V{\cap}S{\neq}\varnothing$。由命题3.4我们可以假设$V$的形式为

$$ V=\left\{x{\in}E;|\left \langle f_i,x-x_0 \right \rangle|<\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k\right\} $$

其中$\varepsilon>0$且$f_1,f_2,{\cdots},f_k{\in}E^*$。固定$y_0{\in}E,y_0{\neq}0$，使得

$$ \left \langle f_i,y_0 \right \rangle=0,{\forall}i=1,2,{\cdots},k $$

这样的一个$y_0$是存在的，否则，映射$\varphi:E{\to}\mathbb{R}^k$定义为$\varphi(x)=(\left \langle f_i,x \right \rangle)_{1{\le}i{\le}k}$是一个单射且$\varphi$是$E$到$\varphi(E)$的一个同构映射。因此$dim{\;}E{\le}k$。这个和$E$为无限维是矛盾的。

函数$g(t)=\|x_0+ty_0\|$是在$[0,\infty)$上连续的，其中$g(0)<1$且$\lim_{t{\to}+\infty}g(t)=+\infty$。因此存在某个$t_0>0$使得

$$ \|x_0+t_0y_0\|=1 $$

于是有$x_0+t_0y_0{\in}V{\cap}S$，因此我们得到

$$ S{\subset}B_E{\subset}\overline{S}^{\sigma(E,E^*)} $$

为了完成证明，我们仅需说明$B_E$在弱拓扑中是闭的就足够了，而我们知道

$$ B_E=\bigcap_{f{\in}E^*\\\|f\|{\le}1}\left\{x{\in}E;|\left \langle f,x \right \rangle|{\le}1\right\} $$

而我们知道这些是弱闭集的交集。于是$\overline{S}^{\sigma(E,E^*)}=B_E$。

例子2：

单位球$U=\left\{x{\in}E;\|x\|<1\right\}$，其中$E$为无限维空间，而这个在弱拓扑$\sigma(E,E^*)$空间中从不是开集。假设，反证法：若$U$是弱开集，则它的补集$U^c=\left\{x{\in}E;\|x\|{\ge}1\right\}$是弱闭集。于是有$S=B_E{\cap}U^c$是弱闭集，而这与第一个例子的结论矛盾。

注：无限维空间弱拓扑无法度量化，也即无法由一个度量诱导出弱拓扑。当然后面我们将会在定理3.29看到：如果$E^*$是可分空间，则可以定义一个在$E$上的范数，诱导出$E$上的有界集的弱拓扑$\sigma(E,E^*)$。

注：通常，在无限维空间中，存在序列弱收敛但是不是强收敛。例如：若$E^*$是可分的或者自反的，则可以构造一个在$E$中的序列$(x_n)$，使得$\|x_n\|=1$且$x_n\rightharpoonup0$弱收敛。然而，也有无限维空间中的任何弱收敛序列是强收敛的。例如：$\mathcal{l}^1$有这种不寻常的性质。这样的空间是比较稀少的。

3.3 弱拓扑，凸集与线性算子

任意弱闭集是强闭集，且反之是错的（在无限维空间中）。然而，对于凸集，这两者其实是等价的（弱闭是强闭的）

定理3.7

令$C$为$E$中的一个凸集。则$C$在弱拓扑$\sigma(E,E^*)$中为闭的当且仅当它在强拓扑中是闭的。

证明：假设$C$在强拓扑中是闭集，且令我们证明$C$在弱拓扑中是闭的。我们仅需验证$C^c$在弱拓扑中是开的。令$x_0{\notin}C$，由哈恩-巴拿赫存在一个闭的超平面严格分离$\left\{x_0\right\}$与凸集$C$。因此，存在某个$f{\in}E^*$和某个$\alpha{\in}\mathbb{R}$使得

$$ \left \langle f,x_0 \right \rangle<\alpha<\left \langle f,y \right \rangle,{\forall}y{\in}C $$

设

$$ V=\left\{x{\in}E;\left \langle f,x \right \rangle<\alpha\right\} $$

于是$x_0{\in}V,V{\cap}C=\varnothing$，也即$V{\subset}C^c$且$V$为在弱拓扑中的开集。于是直接证明了这个$C^c$是弱拓扑中开集。

推论3.8（Mazur）

假设$(x_n)$弱收敛到$x$。则存在一个由$x_n$的凸组合形成的序列$(y_n)$强收敛到$x$。

证明：令$C=conv(\cup^{\infty}_{p=1}\left\{x_p\right\})$定义了$x_n$的凸包。因为$x$属于$\cup^{\infty}_{p=1}\left\{x_p\right\}$的闭包，也属于$C$的弱闭包。由定理3.7，$x{\in}\overline{C}$，也就是$C$的强闭包，于是结论成立。

这样就把凸集和凸组合的重要性给弄出来了。

推论3.9

假设$\varphi:E{\to}(-\infty,+\infty]$是凸的且下半连续的（在强拓扑中）。则$\varphi$是在弱拓扑中下半连续的。

证明：对于任意$\lambda{\in}\mathbb{R}$，集合

$$ A=\left\{x{\in}E;\varphi(x){\le}\lambda\right\} $$

是凸的且强闭的。由定理3.7，它是弱闭的且因此$\varphi$是弱下半连续的。

注意：有时候直接证明这个函数在弱拓扑中是下半连续的比较困难，故推论3.9经常用，其形式表示为：$\varphi$凸且强下半连续，则$\varphi$弱下半连续。例如$\|x\|$是凸的且强连续的，因此是弱下半连续的。特别地，如果$x_n\rightharpoonup{x}$弱收敛，于是可以推出$\|x\|{\le}\lim\inf\|x_n\|$。

定理3.10

令$E,F$为俩巴拿赫空间，且令$T$为一个线性算子，从$E$到$F$。假设$T$在强拓扑中连续。则$T$为从$E$的弱拓扑到$F$的连续算子，反之也是成立的。

证明：考虑到命题3.2足够验证对任意$f{\in}F^*$，映射$x{\mapsto}\left \langle f,Tx \right \rangle$从$E$弱拓扑到$\mathbb{R}$是连续的。但是映射$x{\mapsto}\left \langle f,Tx \right \rangle$是一个在$E$上的连续线性泛函。因此，在弱拓扑中算子$T$也是连续的。（复合一下强拓扑的连续与这个泛函的连续）。

反之，假设$T$是从$X$弱到$F$弱的连续算子。则$G(T)$是在装备了乘积拓扑$\sigma(E,E^*){\times}\sigma(F,F^*)$的空间$E{\times}F$为闭的。于是$G(T)$是强闭的。（任何弱闭都是强闭）由闭图像定理（定理2.9），可以知道$T$为连续的（从$E$强到$F$强）。

注：上面的讨论实际上给出了更多的结论：如假设算子$T$是从$E$强到$F$弱的连续算子，则$T$为连续的（从$E$强到$F$强）。作为序列的话，对于线性算子，下面的连续性质是一样的：$S{\to}S,W{\to}W,S{\to}W$（其中$S$表示强，$W$表示弱）。另一方面，我们要指出很少连续线性算子能满足$W{\to}S$。这个仅能发生在$T$是连续的在$S{\to}S$，且$R(T)<\infty$。

注意到一般来说，非线性映射满足从强到强的连续，但是不满足从弱到弱的连续。

3.4弱*拓扑

到目前为止，我们在$E^*$上有两种拓扑

（1）联系$E^*$范数的通常拓扑

（2）弱拓扑$\sigma(E^*,E^{**})$，对$E^*$用3.3节的构造获得的拓扑。

我们现在要在$E^*$上定义第三种拓扑，叫做弱$*$拓扑，并且记为$\sigma(E^*,E)$。（这个$*$号主要提醒我们这个拓扑是定义在对偶空间上的）对于任意$x{\in}E$，考虑线性泛函$\varphi_x:E^*{\to}\mathbb{R}$定义为$f{\mapsto}\varphi_x(f)=\left \langle f,x \right \rangle $。当$x$跑遍$E$则我们得到一个映射列$(\varphi_x)_{x{\in}E}$从$E^*$到$\mathbb{R}$。

定义

弱$*$拓扑$\sigma(E^*,E)$，是在$E^*$上联系映射列$(\varphi_x)_{x{\in}E}$的最粗的拓扑。

因为$E{\subset}E^{**}$，显然拓扑$\sigma(E^*,E)$比拓扑$\sigma(E^*,E^{**})$要粗。

注：为什么要考虑这么粗的拓扑？是因为粗拓扑中有更多的紧集。例如：在$E^*$的闭单位球$B_{E^*}$，在强拓扑中不紧，但是在弱$*$拓扑中是紧的，而紧集则很有用，例如在存在机制中例如极小化，容易知道弱$*$拓扑的重要性。

命题3.11

弱$*$拓扑是豪斯托夫空间。

证明：给定$f_1,f_2{\in}E^*$其中$f_1{\neq}f_2$，则存在某个$x{\in}E$使得$\left \langle f_1,x \right \rangle {\neq}\left \langle f_2,x \right \rangle $。不妨假设$\left \langle f_1,x \right \rangle <\left \langle f_2,x \right \rangle $且取定$\alpha$使得

$$ \left \langle f_1,x \right \rangle <\alpha< \left \langle f_2,x \right \rangle $$

设

$$ O_1=\left\{f{\in}E^*;\left \langle f,x \right \rangle <\alpha \right\}=\varphi^{-1}_x((-\infty,\alpha)),\\ O_2=\left\{f{\in}E^*;\left \langle f,x \right \rangle >\alpha \right\}=\varphi^{-1}_x((\alpha,+\infty)) $$

则$O_1$与$O_2$为在$\sigma(E^*,E)$中的开集，使得$f_1{\in}O_1,f_2{\in}O_2$，且$O_1{\cap}O_2=\varnothing$。

命题3.12

令$f_0{\in}E^*$，给定一个$E$上的有限集合$\left\{x_1,x_2,{\cdots},x_k\right\}$且$\varepsilon>0$，考虑

$$ V=V(x_1,x_2,{\cdots},x_k;\varepsilon)=\left\{f{\in}E^*;|\left \langle f-f_0,x_i \right \rangle |<\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k\right\} $$

则$V$为在拓扑$\sigma(E^*,E)$上$f_0$的邻域。更甚者，我们可以变动$\varepsilon,k$与$E$上的$x_i$，得到$\sigma(E^*,E)$的一个邻域基。

这个证明和命题3.4一致。

记号

如果在$E^*$上的序列$(f_n)$收敛到$f$在弱$*$拓扑上。我们记为

$$ f_n\stackrel{*}\rightharpoonup f $$

为了不导致迷惑，我们有时候表示为$f_n\stackrel{*}\rightharpoonup f$在$\sigma(E^*,E)$，$f_n\rightharpoonup{f}$在$\sigma(E^*,E^{**})$，$f_n\to {f}$强收敛。（分别表示三种拓扑上的收敛）。

命题3.13

令$(f_n)$为$E^*$上的序列，则

（1）$f_n\stackrel{*}\rightharpoonup f$在$\sigma(E^*,E){\iff}\left \langle f_n,x \right \rangle{\to}\left \langle f,x \right \rangle,{\forall}x{\in}E$。

（2）若$f_n{\to}f$强收敛，则$f_n\rightharpoonup{f}$在$\sigma(E^*,E^{**})$。

（3）若$f_n\stackrel{*}\rightharpoonup f$在$\sigma(E^*,E)$，则$(\|f_n\|)$是有界的，且$\|f\|{\le}\lim\inf\|f_n\|$。

（4）若$f_n\stackrel{*}\rightharpoonup f$在$\sigma(E^*,E)$，且在$E$中$x_n{\to}x$强收敛，则$\left \langle f_n,x_n \right \rangle{\to}\left \langle f,x \right \rangle$。

证明：和命题3.5证明方式一致。

注：假设$f_n\stackrel{*}\rightharpoonup f$在$\sigma(E^*,E)$，（或者甚至$f_n\rightharpoonup{f}$在$\sigma(E^*,E^{**})$，）且$x_n{\to}x$在$\sigma(E,E^*)$。是不能够给出$\left \langle f_n,x_n \right \rangle{\to}\left \langle f,x \right \rangle$的结论的。（在希尔伯特空间容易构造这样的例子）

命题3.14

令$\varphi:E^*{\to}\mathbb{R}$为在弱$*$拓扑中的一个连续线性泛函。则存在某个$x_0{\in}E$使得

$$ \varphi(f)=\left \langle f,x_0 \right \rangle,{\forall}f{\in}E^* $$

证明依赖于下面的代数引理。

引理3.2

令$X$为一个向量空间，且令$\varphi,\varphi_1,\varphi_2,{\cdots}\varphi_k$为$(k+1)$个在$X$上的线性泛函，使得

$$ [\varphi_i(v)=0,{\forall}i=1,2,{\cdots},k]{\Rightarrow}[\varphi(v)=0] $$

则存在常数${\lambda_1},{\lambda_2},{\cdots},{\lambda_k}{\in}\mathbb{R}$使得$\varphi=\sum^k_{i=1}{\lambda_i}\varphi_i$。

这个引理告诉我们，一个线性泛函可以由其他的线性泛函表示。（满足一定条件）

证明：考虑映射$F:X{\to}\mathbb{R}^{k+1}$定义为

$$ F(u)=[\varphi(u),\varphi_1(u),\varphi_2(u),{\cdots},\varphi_k(u)] $$

于是从假设条件，可以知道$a=[1,0,0,{\cdots},0]$不属于$R(F)$。因此，可以用在$\mathbb{R}^{k+1}$上的超平面严格分离$\left\{a\right\}$与$R(F)$。也就是：存在常数${\lambda_1},{\lambda_2},{\cdots},{\lambda_k}{\in}\mathbb{R}$且$\alpha$使得

$$ {\lambda}<\alpha<{\lambda}\varphi(u)+\sum^k_{i=1}{\lambda_i}\varphi_i(u),{\forall}u{\in}X $$

于是

$$ {\lambda}\varphi(u)+\sum^k_{i=1}{\lambda}_i\varphi_i(u)=0,{\forall}u{\in}X $$

于是$\lambda<0$（且$\lambda{\neq}0$）

然后是命题3.14的证明：

因为$\varphi$是在弱$*$拓扑中的连续泛函，则存在一个在$\sigma(E^*,E)$中关于0的一个邻域$V$，使得

$$ |\varphi(f)|<1,{\forall}f{\in}V $$

我们可以假设

$$ V=\left\{f{\in}E^*,|\left \langle f,x_i \right \rangle |<\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k\right\} $$

其中$x_i{\in}E$且$\varepsilon>0$。特别地

$$ [\left \langle f,x_i \right \rangle =0,{\forall}i=1,2,{\cdots},k]{\Rightarrow}[\varphi(f)=0] $$

于是由引理3.2可以知道

$$ \varphi(f)=\sum^k_{i=1}{\lambda_i}\left \langle f,x_i \right \rangle=\left \langle f,\sum^k_{i=1}{\lambda_i}x_i \right \rangle,{\forall}f{\in}E^* $$

所以我们知道任何一个在弱$*$拓扑中的线性泛函，可以表示为内积形式。

推论3.15

假设$H$是一个在$E^*$上的一个超平面且在$\sigma(E^*,E)$上为闭的，则$H$有这样的形式

$$ H=\left\{f{\in}E^*;\left \langle f,x_0 \right \rangle=\alpha \right\} $$

对于某个$x_0{\in}E,x_0{\neq}0$与某个$\alpha{\in}\mathbb{R}$。

证明：$H$可以被记为：

$$ H=\left\{f{\in}E^*;\varphi(f)=\alpha\right\} $$

其中$\varphi$为$E^*$上的一个线性泛函，$\varphi{\not\equiv}0$。令$f_0{\notin}H$且令$V$为在拓扑$\sigma(E^*,E)$中的关于$f_0$的邻域，使得$V{\subset}H^c$，我们可以假设

$$ V=\left\{f{\in}E^c;|\left \langle f-f_0,x_i \right \rangle |<\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k\right\} $$

因为$V$是凸的于是我们发现或者

$$ \varphi(f)<\alpha,{\forall}f{\in}V $$

或者

$$ \varphi(f)>\alpha,{\forall}f{\in}V $$

假设例如下面的成立，则有

$$ \varphi(g)<\alpha-\varphi(f_0),{\forall}g{\in}W=V-f_0 $$

且因为$-W=W$于是有

$$ |\varphi(g)|{\le}|\alpha-\varphi(f_0)|,{\forall}g{\in}W $$

于是$\varphi$是对于拓扑$\sigma(E^*,E)$的在$0$处连续的泛函（因为$W$是在$0$的邻域）。应用命题3.14，可以总结存在某个$x_){\in}E$使得

$$ \varphi=\left \langle f,x_0 \right \rangle,{\forall}f{\in}E^* $$

推论其实刻画了在弱$*$拓扑中的闭超平面的形式。

注意到凸集在强拓扑中是闭的未必在弱$*$拓扑中闭。

定理3.16

Banach-Alaoglu-Bourbaki：闭的单位球

$$ B_{E^*}=\left\{f{\in}E^*;\|f\|{\le}1\right\} $$

在弱$*$拓扑$\sigma(E^*,E)$中紧。

这个定理告诉我们：闭单位球在弱$*$拓扑中是紧的。（而这一点也反映了弱$*$拓扑的最重要性质）

证明：考虑笛卡尔内积$Y=\mathbb{R}^E$。其中包含了所有从$E$到$\mathbb{R}$的映射。我们用$w=(w_x)_{x{\in}E},w_x{\in}\mathbb{R}$来给出$Y$中元素。空间$Y$装备上标准内积拓扑，也即：在$Y$上的最粗糙的拓扑空间，其与映射列$w{\mapsto}w_x$（跑遍$E$中的$x$）相关联，和点点收敛的拓扑相同。于是$E^*$是系统装备上弱$*$拓扑$\sigma(E^*,E)$。因为$E^*$包含从$E$到$\mathbb{R}$的特殊映射（即连续线性映射）。我们考虑$E^*$为$Y$的一个子集。更细致地说，令$\Phi:E^*{\to}Y$为典型单射，所以$\Phi(f)=(w_x)_{x{\in}E}$，其中$w_x=\left \langle f,x \right \rangle $。显然$\Phi$是连续的（用命题3.2且注意对每个固定的$x{\in}E$，映射$f:E^*{\mapsto}(\Phi(f))_x=\left \langle f,x \right \rangle $是连续的）。逆映射$\Phi^{-1}$也是连续的，从$\Phi(E^*)$装备$Y$上拓扑到$E^*$。事实上，再次用命题3.2，足够验证对任意固定的$x{\in}E$，映射$w{\mapsto}(\Phi^{-1}(w),x)$是在$\Phi(E^*)$上的连续映射，显然因为$\left \langle \Phi^{-1}(w),x \right \rangle=w_x $。（注意到对于某个$f{\in}E^*$有$w=\Phi(f)$且$\left \langle \Phi^{-1}(w),x \right \rangle=\left \langle f,x \right \rangle =w_x $）。换句话说，$\Phi$是同构于从$E^*$到$\Phi(E^*)$。另一方面，显然$\Phi(B_{E^*})=K$，其中$K$被定义为

$$ K=\left\{w{\in}Y||w_x|{\le}\|x\|,w_{x+y}=w_x+w_y,w_{{\lambda}x}={\lambda}w_x,{\forall{\lambda}{\in}\mathbb{R}},{\forall}x,y{\in}E\right\} $$

这个是一个线性与齐次性。

为了完成定理3.16的证明，验证$K$是一个$Y$中的紧集就足够了。记$K=K_1{\cap}K_2$，其中

$$ K_1=\left\{w{\in}Y;|w_x|{\le}\|x\|,{\forall}x{\in}E\right\} $$

且

$$ K_2=\left\{w{\in}Y;w_{x+y}=w_x+w_y,w_{{\lambda}x}={\lambda}w_x,{\forall{\lambda}{\in}\mathbb{R}},{\forall}x,y{\in}E\right\} $$

集$K_1$也可以被记为一个紧区间的乘积

$$ K_1=\prod_{x{\in}E}[-\|x\|,+\|x\|] $$

我们称任意多个紧空间的积空间是紧的——吉洪诺夫定理。因此$K_1$是紧的。另一方面，$K_2$在$Y$中是闭的。事实上，对于任意给定的${\lambda}{\in}\mathbb{R},x,y{\in}E$，集合

$$ A_{x,y}=\left\{w{\in}Y,w_{x+y}-w_x-w_y=0\right\},\\ B_{{\lambda},x}=\left\{w{\in}Y,w_{{\lambda}x}-{\lambda}w_{x}=0\right\} $$

在$Y$中为闭集。（因为映射$w{\mapsto}w_{x+y}-w_x-w_y$和$w{\mapsto}w_{{\lambda}x}-{\lambda}w_{x}$在$Y$中连续）且我们记$K_2$为

$$ K_2=[\bigcap_{x,y{\in}E}A_{x,y}]{\cap}[\bigcap_{x{\in}E\\{\lambda}{\in}{\mathbb{R}}}B_{{\lambda},x}] $$

最终，因为是紧集$K_1$与闭集$K_2$的交集，于是$K$是紧的。