哈恩-巴拿赫，双对偶与共轭函数

Author：怪使
发布时间：January 24, 2020
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Categories： Haim

Haim1

Hahn-Banach（1）

哈恩-巴拿赫分析形式：指的是，定义在$E$上线性子空间的线性泛函，可以延拓到$E$上定义的线性泛函。

其定理形式如下：

首先有：

1，令$\rho:E{\to}\mathbb{R}$满足两个条件：

（1）$\rho({\lambda}x)={\lambda}\rho(x),{\forall}x{\in}E,{\forall}{\lambda}>0$（正齐次性）

（2）$\rho(x+y){\le}\rho(x)+\rho(y),{\forall}x,y{\in}E$（三角不等式）

2，令$G{\subset}E$为线性子空间，且令$g:G{\to}\mathbb{R}$为一个线性泛函，满足以下条件：

（3）$g(x){\le}\rho(x),{\forall}x{\in}G$。

上述两个告诉我们找到一个在$E$上的线性子空间的线性泛函$g$，并且受到$\rho(x)$的控制。于是该定理告诉我们：

存在一个定义在$E$上且为$g$的延拓的线性泛函$f$，也就是$f(x)=g(x),{\forall}x{\in}G$，且使得：

（4）$f(x){\le}\rho(x),{\forall}x{\in}G$。

也就是找到延拓在$E$上的线性泛函$f$，当然它也受到$\rho$的控制。

这样，我们就完全给出了哈恩-巴拿赫定理的分析形式。其证明需要用到佐恩引理，证明思路是通过定义序关系，并且直接根据佐恩引理找到极大元$f$，然后再证明这个泛函的定义域是$E$，这里用反证法，由于受到$\rho$的控制，可以得到与极大元矛盾的情况，从而实现证明。

对偶空间

针对对偶空间$E^*$，我们需要给出一定的描述，对偶空间为$E$上所有连续线性泛函所组成的空间，并且在其上定义范数：

$$ \|f\|_{E^*}=\sup_{\|x\|{\le}1\\x{\in}E}|f(x)|=\sup_{\|x\|{\le}1\\x{\in}E}f(x) $$

并且可以用$\left \langle f,x \right \rangle$来代替$f(x)$。

这里首先要区分出来$x{\in}E,f{\in}E^*,f(x){\in}\mathbb{R}$这三个不同的东西。

并且我们有这样的一个事实：

无论$E$是否为巴拿赫空间，$E^*$都是巴拿赫空间（证明的技巧是通过$\mathbb{R}$为巴拿赫空间进行过渡）

推论1.2

我们根据上面哈恩-巴拿赫分析定理与这个对偶空间的定义，则有这样的推论：

令$G{\subset}E$为一个线性子空间，若$g:G{\to}\mathbb{R}$为一个连续线性泛函，则存在$f{\in}E^*$为$g$的延拓，且使得

$$ \|f\|_{E^*}=\sup_{\|x\|{\le}1\\x{\in}G}|g(x)|=\|g\|_{E^*} $$

换句话说，就是不仅保持延拓，且其范数也在子空间$G$内保持相同。

其证明：仅需用到哈恩-巴拿赫分析定理，并且令$\rho(x)=\|g\|_{G^*}\|x\|$即可得到。

推论1.3

对于任何$x_0{\in}E$存在$f_0{\in}E^*$使得

$$ \|f_0\|=\|x_0\|且\left \langle f,x \right \rangle=\|x_0\|^2 $$

证明：应用推论1.2，令$G=R_{x_0}$且$g(tx_0)=t\|x_0\|^2$，故有$\|g\|_{G^*}=\|x_0\|$。

这个告诉我们可以找到泛函$f$，使得其内积为该元素的范数。

注：这里要告诉你$f_0$一般不唯一，只有当希尔伯特空间或者$L^p$空间才可以。

严格凸NVS

定义严格凸的赋范空间

$$ {\forall}t{\in}(0,1){\quad}\|tx+(1-t)y\|{\le}1 $$

其中对于${\forall}x,y$，有$\|x\|=\|y\|=1$且$x{\neq}y$。

推论1.4

对于${\forall}x{\in}E$，我们有

$$ \|x\|=\sup_{\|f\|{\le}1\\f{\in}E^*}|\left \langle f,x \right \rangle|=\max_{\|f\|{\le}1\\f{\in}E^*}|\left \langle f,x \right \rangle| $$

这个证明仅需证明反向，由推论1.3可构造一个特殊的泛函。

Hahn-Banach（2）

哈恩-巴拿赫几何形式：凸集的分离。

引出超平面的概念，以下的$E$均为赋范线性空间。

定义：仿射超平面$H$为$E$中的子集，其形式

$$ H=\left\{x{\in}E;f(x)=\alpha\right\} $$

其中$f$为线性泛函，且$\alpha{\in}\mathbb{R}$为一个给定常数，并且记$H=[f=\alpha]$，称$f=\alpha$为$H$的方程。

命题1.5

超平面$H=[f=\alpha]$是闭的，当且仅当$f$是连续的。

分离与凸

令$A,B$为$E$的俩子集。称超平面$H=[f=\alpha]$分离$A$和$B$，是指：

$f(x){\le}\alpha,{\forall}x{\in}A$且$f(x){\ge}\alpha,{\forall}x{\in}B$。

而称超平面$H=[f=\alpha]$严格分离$A$和$B$，是指：

存在某个$\varepsilon>0$，使得$f(x){\le}\alpha-\varepsilon,{\forall}x{\in}A$且$f(x){\ge}\alpha+\varepsilon,{\forall}x{\in}B$。

称子集$A{\subset}E$为凸的，是指：

若$tx+(1-t)y{\in}A,{\forall}x,y{\in}A,{\forall}t{\in}[0,1]$。

定理1.6

这就是哈恩-巴拿赫定理的第一几何形式，其表现为分离一个开集与其他集合：

令$A{\subset}E$且$B{\subset}E$为俩非空凸集使得$A{\cap}B=\varnothing$，假设其中一个是开的，则存在一个闭的超平面分离$A$和$B$。

其证明需要两个引理：

一个是引理1.2是找到一个在凸集上的闵可夫斯基泛函。

一个是引理1.3也就是弱化版的分离：分离凸集和一个点。

引理1.3

令$C{\subset}E$为一个非空开凸集，且令$x_0{\in}E,x_0{\in}E,x_0{\notin}C$，则存在$f{\in}E^*$，使得$f(x)<f(x_0),{\forall}x{\in}C$。

特别地，超平面$[f=f(x_0)]$分离$\left\{x_0\right\}$与$C$。

找到这个$f$是通过哈恩-巴拿赫的分析形式得到的，凸集正好取到一个闵可夫斯基泛函作为其上的$\rho$，之后考虑延拓即可。

而通过这俩引理容易证明定理1.6，自此我们可以分离开集与其互补的集合。

定理1.7

哈恩-巴拿赫定理的第二几何形式，其表现为分离一个闭集与一个紧集：

令$A{\subset}E$且$B{\subset}E$为俩非空凸子集，使得$A{\cap}B=\varnothing$。假设$A$是闭的且$B$是紧的，则存在一个闭的超平面严格分离$A$与$B$。

根据对偶条件来看，其实定理1.7的条件更强，他不仅要求一个闭集，还要求另一个是紧集。但是同样的其结论也很强，就是达到了严格分离！

证明方式其实与定理1.6的证明类似。

注意：如果不加假设，则在有限维总能做到用一个闭的超平面分离集合$A$与$B$。

推论1.8

令$F{\subset}E$为一个线性空间，使得$\overline{F}=E$，则存在某个$f{\in}E^*,f{\not\equiv}0$，使得

$$ {\forall}x{\in}F,\left \langle f,x \right \rangle=0 $$

也就是说，有一个$f$将$\overline{F}$与$\left\{x_0\right\}$严格分离（因为一个闭集一个紧集），然后可以证明这个事实：在这个线性子空间中，与某个$f$作用下的内积恒为0。

双对偶空间

首先给出双对偶空间$E^{**}$的具体情况：

首先令$E$为一个线性赋范空间，且令$E^*$为其对偶空间，装备范数

$$ \|f\|_{E^*}=\sup_{\|x\|{\le1}\\x{\in}E}|\left \langle f,x \right \rangle| $$

而双对偶空间$E^{**}$则为$E^*$的对偶空间，其装备范数

$$ \|{\xi}\|_{E^{**}}=\sup_{\|f\|{\le}1\\x{\in}E}|\left \langle \xi,x \right \rangle| $$

那我们不能从这个$E^*$出发得到$E^{**}$啊，于是我们得从$E$出发：

存在规范单射$J:E{\to}E^{**}$定义如下：

给定$x{\in}E$，映射$f{\mapsto}\left \langle f,x \right \rangle$为一个在$E^*$上的连续线性泛函，从双对偶空间的定义来看，这个$f$是$E^{**}$上的一个元素，于是就有了$Jx$的定义。即

$$ \left \langle Jx,f \right \rangle_{E^{**},E^*}=\left \langle f,x \right \rangle_{E^*,E}{\quad}{\forall}x{\in}E,{\forall}f{\in}E^* $$

显然$J$是线性映射，且为等距映射，即$\|Jx\|_{E^{**}}=\|x\|_{E}$。

而这些工作，目前到这里，就已经足够，除非你想要对下面的正交关系做出探讨：

为了方便我们描述正交关系，我们引入以下的记号：

若$M{\subset}E$为一个线性子空间，设$M^{\perp}=\left\{f{\in}E^*,\left \langle f,x \right \rangle=0,{\forall}x{\in}M\right\}$。所以我们知道$M^{\perp}$其实是由线性泛函组成的空间。

若$N{\subset}E^*$为一个线性子空间，设$N^{\perp}=\left\{x{\in}E;\left \langle f,x \right \rangle=0,{\forall}f{\in}N\right\}$。所以我们又知道$N^{\perp}$其实是由$E$中元素组成的空间。（这里限制到了$E$上而不是双对偶空间$E^{**}$上）

命题1.9

令$M{\subset}E$为一个线性子空间，则$(M^{\perp})^{\perp}=\overline{M}$。

令$N{\subset}E^*$为一个线性子空间，则$(N^{\perp})^{\perp}{\supset}\overline{N}$。

这个命题告诉我们这个重复取正交，对于原空间与对偶空间的结构有什么区别。

共轭凸函数

给出一些定义：

函数$\varphi$的上镜图指的是，集合

$$ epi{\;}\varphi=\left\{[x,{\lambda}]{\in}E{\times}\mathbb{R};\varphi(x){\le}{\lambda}\right\} $$

函数下半连续的指的是：对任意${\lambda}{\in}\mathbb{R}$，下面的集合是闭集

$$ [\varphi{\le}{\lambda}]=\left\{x{\in}E;\varphi(x){\le}{\lambda}\right\} $$

基本性质这里不加赘述。

凸函数的定义：这里的$E$为度量空间。

一个函数$\varphi:E{\to}(-\infty,+\infty]$是凸的，指的是：

$$ {\forall}x,y{\in}E,{\forall}t{\in}(0,1),\varphi(tx+(1-t)y){\le}t\varphi(x)+(1-t)\varphi(y) $$

其基本性质这里不加以赘述。

接下来的$E$为赋范线性空间，我们来定义共轭函数：

令$\varphi:E{\to}(-\infty,+\infty]$为一个函数，使得$\varphi{\not\equiv}+\infty$（也就是：$D(\varphi){\neq}\varnothing$）

定义共轭函数$\varphi^*:E^*{\to}(-\infty,+\infty]$为

$$ \varphi^*(f)=\sup_{x{\in}E}\left\{\left \langle f,x \right \rangle-\varphi(x)\right\},f{\in}E^* $$

有时候也称共轭函数$\varphi^*$为$\varphi$的勒让德变换。注意到$\varphi^*$实际上是在$E^*$上凸的且下半连续的。显然这个$\varphi^*$为$E^*$上的泛函，于是可以知道$\varphi^*{\in}E^{**}$，而$\varphi{\in}E^*$。

Young不等式

$$ \left \langle f,x \right \rangle{\le}\varphi(x)+\varphi^*(f),{\forall}x{\in}E,{\forall}f{\in}E^* $$

这个由共轭函数的定义可以直接得到。

命题1.10

假设$\varphi:E{\to}(-\infty,+\infty]$为凸的且为下半连续的，且$\varphi{\not\equiv}+\infty$。则有$\varphi^*{\not\equiv}+\infty$。

这个命题告诉我们，在凸及下半连续条件下，其共轭函数是有界的。

定理1.11

也就是所谓的Fenchel-Moreau定理：

假设$\varphi:E{\to}(-\infty,+\infty]$为凸的，且下半连续，且$\varphi{\not\equiv}+\infty$，则$\varphi^{**}=\varphi$。

这个告诉我们在凸的且下半连续条件下，两次对偶后可以回到自身。

定理1.12

也就是所谓的Fenchel-Rockafellar定理：

令$\varphi,\psi:E{\to}(-\infty,+\infty]$为俩凸函数，假设存在某个$x_0{\in}D(\varphi){\cap}D(\psi)$使得$\varphi$在$x_0$处连续，则

$$ \begin{align*}\inf_{x{\in}E}\left\{\varphi(x)+\psi(x)\right\}&=\sup_{f{\in}E^*}\left\{-\varphi^*(f)-\psi^*(f)\right\}\\&=\max_{f{\in}E^*}\left\{-\varphi^*(f)-\psi^*(f)\right\}\\&=-\min_{f{\in}E^*}\left\{\varphi^*(f)+\psi^*(f)\right\}\end{align*} $$

这个告诉我们，由两个凸函数的下确界，可以用其对应的共轭函数的极小值来刻画。

这个需要用到下面的引理来证明：

引理1.4

令$C{\subset}E$为一个凸集，则$Int{\;}C$为凸的。若$Int{\;}C{\neq}\varnothing$，则$\overline{C}=\overline{Int{\;}C}$。

这个也就是凸集的延续性质，与稠密性质。

总结

实际上本节主要学习了关于哈恩-巴拿赫定理的分析形式。（线性泛函的延拓）

哈恩-巴拿赫几何第一形式（分离开集与其他集合），哈恩-巴拿赫几何第二形式（严格分离闭集与紧集）

双对偶空间的刻画

对于正交关系，关于原空间与对偶空间的正交空间的结构问题。

凸函数，下半连续函数，共轭函数（勒让德变换），Young不等式。这一段主要描述了在特殊条件下，共轭函数的性质：有界性质，周期对偶，可以通过共轭函数刻画原函数的下确界。

Last modification：January 30th, 2020 at 09:38 am

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哈恩-巴拿赫，双对偶与共轭函数

怪使 • 2020 年 01 月 24 日

Haim1

Hahn-Banach（1）

哈恩-巴拿赫分析形式：指的是，定义在$E$上线性子空间的线性泛函，可以延拓到$E$上定义的线性泛函。

其定理形式如下：

首先有：

1，令$\rho:E{\to}\mathbb{R}$满足两个条件：

（1）$\rho({\lambda}x)={\lambda}\rho(x),{\forall}x{\in}E,{\forall}{\lambda}>0$（正齐次性）

（2）$\rho(x+y){\le}\rho(x)+\rho(y),{\forall}x,y{\in}E$（三角不等式）

2，令$G{\subset}E$为线性子空间，且令$g:G{\to}\mathbb{R}$为一个线性泛函，满足以下条件：

（3）$g(x){\le}\rho(x),{\forall}x{\in}G$。

上述两个告诉我们找到一个在$E$上的线性子空间的线性泛函$g$，并且受到$\rho(x)$的控制。于是该定理告诉我们：

存在一个定义在$E$上且为$g$的延拓的线性泛函$f$，也就是$f(x)=g(x),{\forall}x{\in}G$，且使得：

（4）$f(x){\le}\rho(x),{\forall}x{\in}G$。

也就是找到延拓在$E$上的线性泛函$f$，当然它也受到$\rho$的控制。

对偶空间

针对对偶空间$E^*$，我们需要给出一定的描述，对偶空间为$E$上所有连续线性泛函所组成的空间，并且在其上定义范数：

$$ \|f\|_{E^*}=\sup_{\|x\|{\le}1\\x{\in}E}|f(x)|=\sup_{\|x\|{\le}1\\x{\in}E}f(x) $$

并且可以用$\left \langle f,x \right \rangle$来代替$f(x)$。

这里首先要区分出来$x{\in}E,f{\in}E^*,f(x){\in}\mathbb{R}$这三个不同的东西。

并且我们有这样的一个事实：

无论$E$是否为巴拿赫空间，$E^*$都是巴拿赫空间（证明的技巧是通过$\mathbb{R}$为巴拿赫空间进行过渡）

推论1.2

我们根据上面哈恩-巴拿赫分析定理与这个对偶空间的定义，则有这样的推论：

令$G{\subset}E$为一个线性子空间，若$g:G{\to}\mathbb{R}$为一个连续线性泛函，则存在$f{\in}E^*$为$g$的延拓，且使得

$$ \|f\|_{E^*}=\sup_{\|x\|{\le}1\\x{\in}G}|g(x)|=\|g\|_{E^*} $$

换句话说，就是不仅保持延拓，且其范数也在子空间$G$内保持相同。

其证明：仅需用到哈恩-巴拿赫分析定理，并且令$\rho(x)=\|g\|_{G^*}\|x\|$即可得到。

推论1.3

对于任何$x_0{\in}E$存在$f_0{\in}E^*$使得

$$ \|f_0\|=\|x_0\|且\left \langle f,x \right \rangle=\|x_0\|^2 $$

证明：应用推论1.2，令$G=R_{x_0}$且$g(tx_0)=t\|x_0\|^2$，故有$\|g\|_{G^*}=\|x_0\|$。

这个告诉我们可以找到泛函$f$，使得其内积为该元素的范数。

注：这里要告诉你$f_0$一般不唯一，只有当希尔伯特空间或者$L^p$空间才可以。

严格凸NVS

定义严格凸的赋范空间

$$ {\forall}t{\in}(0,1){\quad}\|tx+(1-t)y\|{\le}1 $$

其中对于${\forall}x,y$，有$\|x\|=\|y\|=1$且$x{\neq}y$。

推论1.4

对于${\forall}x{\in}E$，我们有

$$ \|x\|=\sup_{\|f\|{\le}1\\f{\in}E^*}|\left \langle f,x \right \rangle|=\max_{\|f\|{\le}1\\f{\in}E^*}|\left \langle f,x \right \rangle| $$

这个证明仅需证明反向，由推论1.3可构造一个特殊的泛函。

Hahn-Banach（2）

哈恩-巴拿赫几何形式：凸集的分离。

引出超平面的概念，以下的$E$均为赋范线性空间。

定义：仿射超平面$H$为$E$中的子集，其形式

$$ H=\left\{x{\in}E;f(x)=\alpha\right\} $$

其中$f$为线性泛函，且$\alpha{\in}\mathbb{R}$为一个给定常数，并且记$H=[f=\alpha]$，称$f=\alpha$为$H$的方程。

命题1.5

超平面$H=[f=\alpha]$是闭的，当且仅当$f$是连续的。

分离与凸

令$A,B$为$E$的俩子集。称超平面$H=[f=\alpha]$分离$A$和$B$，是指：

$f(x){\le}\alpha,{\forall}x{\in}A$且$f(x){\ge}\alpha,{\forall}x{\in}B$。

而称超平面$H=[f=\alpha]$严格分离$A$和$B$，是指：

存在某个$\varepsilon>0$，使得$f(x){\le}\alpha-\varepsilon,{\forall}x{\in}A$且$f(x){\ge}\alpha+\varepsilon,{\forall}x{\in}B$。

称子集$A{\subset}E$为凸的，是指：

若$tx+(1-t)y{\in}A,{\forall}x,y{\in}A,{\forall}t{\in}[0,1]$。

定理1.6

这就是哈恩-巴拿赫定理的第一几何形式，其表现为分离一个开集与其他集合：

令$A{\subset}E$且$B{\subset}E$为俩非空凸集使得$A{\cap}B=\varnothing$，假设其中一个是开的，则存在一个闭的超平面分离$A$和$B$。

其证明需要两个引理：

一个是引理1.2是找到一个在凸集上的闵可夫斯基泛函。

一个是引理1.3也就是弱化版的分离：分离凸集和一个点。

引理1.3

令$C{\subset}E$为一个非空开凸集，且令$x_0{\in}E,x_0{\in}E,x_0{\notin}C$，则存在$f{\in}E^*$，使得$f(x)<f(x_0),{\forall}x{\in}C$。

特别地，超平面$[f=f(x_0)]$分离$\left\{x_0\right\}$与$C$。

找到这个$f$是通过哈恩-巴拿赫的分析形式得到的，凸集正好取到一个闵可夫斯基泛函作为其上的$\rho$，之后考虑延拓即可。

而通过这俩引理容易证明定理1.6，自此我们可以分离开集与其互补的集合。

定理1.7

哈恩-巴拿赫定理的第二几何形式，其表现为分离一个闭集与一个紧集：

令$A{\subset}E$且$B{\subset}E$为俩非空凸子集，使得$A{\cap}B=\varnothing$。假设$A$是闭的且$B$是紧的，则存在一个闭的超平面严格分离$A$与$B$。

根据对偶条件来看，其实定理1.7的条件更强，他不仅要求一个闭集，还要求另一个是紧集。但是同样的其结论也很强，就是达到了严格分离！

证明方式其实与定理1.6的证明类似。

注意：如果不加假设，则在有限维总能做到用一个闭的超平面分离集合$A$与$B$。

推论1.8

令$F{\subset}E$为一个线性空间，使得$\overline{F}=E$，则存在某个$f{\in}E^*,f{\not\equiv}0$，使得

$$ {\forall}x{\in}F,\left \langle f,x \right \rangle=0 $$

双对偶空间

首先给出双对偶空间$E^{**}$的具体情况：

首先令$E$为一个线性赋范空间，且令$E^*$为其对偶空间，装备范数

$$ \|f\|_{E^*}=\sup_{\|x\|{\le1}\\x{\in}E}|\left \langle f,x \right \rangle| $$

而双对偶空间$E^{**}$则为$E^*$的对偶空间，其装备范数

$$ \|{\xi}\|_{E^{**}}=\sup_{\|f\|{\le}1\\x{\in}E}|\left \langle \xi,x \right \rangle| $$

那我们不能从这个$E^*$出发得到$E^{**}$啊，于是我们得从$E$出发：

存在规范单射$J:E{\to}E^{**}$定义如下：

$$ \left \langle Jx,f \right \rangle_{E^{**},E^*}=\left \langle f,x \right \rangle_{E^*,E}{\quad}{\forall}x{\in}E,{\forall}f{\in}E^* $$

显然$J$是线性映射，且为等距映射，即$\|Jx\|_{E^{**}}=\|x\|_{E}$。

而这些工作，目前到这里，就已经足够，除非你想要对下面的正交关系做出探讨：

为了方便我们描述正交关系，我们引入以下的记号：

命题1.9

令$M{\subset}E$为一个线性子空间，则$(M^{\perp})^{\perp}=\overline{M}$。

令$N{\subset}E^*$为一个线性子空间，则$(N^{\perp})^{\perp}{\supset}\overline{N}$。

这个命题告诉我们这个重复取正交，对于原空间与对偶空间的结构有什么区别。

共轭凸函数

给出一些定义：

函数$\varphi$的上镜图指的是，集合

$$ epi{\;}\varphi=\left\{[x,{\lambda}]{\in}E{\times}\mathbb{R};\varphi(x){\le}{\lambda}\right\} $$

函数下半连续的指的是：对任意${\lambda}{\in}\mathbb{R}$，下面的集合是闭集

$$ [\varphi{\le}{\lambda}]=\left\{x{\in}E;\varphi(x){\le}{\lambda}\right\} $$

基本性质这里不加赘述。

凸函数的定义：这里的$E$为度量空间。

一个函数$\varphi:E{\to}(-\infty,+\infty]$是凸的，指的是：

$$ {\forall}x,y{\in}E,{\forall}t{\in}(0,1),\varphi(tx+(1-t)y){\le}t\varphi(x)+(1-t)\varphi(y) $$

其基本性质这里不加以赘述。

接下来的$E$为赋范线性空间，我们来定义共轭函数：

令$\varphi:E{\to}(-\infty,+\infty]$为一个函数，使得$\varphi{\not\equiv}+\infty$（也就是：$D(\varphi){\neq}\varnothing$）

定义共轭函数$\varphi^*:E^*{\to}(-\infty,+\infty]$为

$$ \varphi^*(f)=\sup_{x{\in}E}\left\{\left \langle f,x \right \rangle-\varphi(x)\right\},f{\in}E^* $$

Young不等式

$$ \left \langle f,x \right \rangle{\le}\varphi(x)+\varphi^*(f),{\forall}x{\in}E,{\forall}f{\in}E^* $$

这个由共轭函数的定义可以直接得到。

命题1.10

假设$\varphi:E{\to}(-\infty,+\infty]$为凸的且为下半连续的，且$\varphi{\not\equiv}+\infty$。则有$\varphi^*{\not\equiv}+\infty$。

这个命题告诉我们，在凸及下半连续条件下，其共轭函数是有界的。

定理1.11

也就是所谓的Fenchel-Moreau定理：

假设$\varphi:E{\to}(-\infty,+\infty]$为凸的，且下半连续，且$\varphi{\not\equiv}+\infty$，则$\varphi^{**}=\varphi$。

这个告诉我们在凸的且下半连续条件下，两次对偶后可以回到自身。

定理1.12

也就是所谓的Fenchel-Rockafellar定理：

令$\varphi,\psi:E{\to}(-\infty,+\infty]$为俩凸函数，假设存在某个$x_0{\in}D(\varphi){\cap}D(\psi)$使得$\varphi$在$x_0$处连续，则

这个告诉我们，由两个凸函数的下确界，可以用其对应的共轭函数的极小值来刻画。

这个需要用到下面的引理来证明：

引理1.4

令$C{\subset}E$为一个凸集，则$Int{\;}C$为凸的。若$Int{\;}C{\neq}\varnothing$，则$\overline{C}=\overline{Int{\;}C}$。

这个也就是凸集的延续性质，与稠密性质。

总结

实际上本节主要学习了关于哈恩-巴拿赫定理的分析形式。（线性泛函的延拓）

哈恩-巴拿赫几何第一形式（分离开集与其他集合），哈恩-巴拿赫几何第二形式（严格分离闭集与紧集）

双对偶空间的刻画

对于正交关系，关于原空间与对偶空间的正交空间的结构问题。

Haim1

Hahn-Banach（1）

对偶空间

推论1.2

推论1.3

严格凸NVS

推论1.4

Hahn-Banach（2）

命题1.5

分离与凸

定理1.6

引理1.3

定理1.7

推论1.8

双对偶空间

命题1.9

共轭凸函数

Young不等式

命题1.10

定理1.11

定理1.12

引理1.4

总结