贝尔纲定理，共轭算子与正交关系

Author：怪使
发布时间：January 25, 2020
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2.1贝尔纲定理

定理2.1

贝尔定理：令$X$为一个完备的度量空间且令$(x_n)_{n{\ge}1}$为在$X$上的闭子集序列。假设对${\forall}n{\ge}1,Int{\;}X_n=\varnothing$。则

$$ Int{\;}(\bigcup_{n=1}^{\infty}X_n)=\varnothing $$

这个告诉我们完备的度量空间上的闭子集序列。若每个的内部都是空的，则其可数并集的内部也是空的。

而这个定理常常被描述为以下形式：

令$X$为一个完备的度量空间且令$(x_n)_{n{\ge}1}$为在$X$上的闭子集序列，使得

$$ \bigcup^{\infty}_{n=1}X_n=X $$

则存在某个$n_0$，使得$Int{\;}X_{n_0}{\neq}\varnothing$。

这个定理则告诉我们在完备的度量空间上的闭子集序列，若并集为原空间，则必定有某个闭子集内部非空！

定理2.2

一致有界定理，也就是经常说的——巴拿赫-斯坦豪斯定理。

首先定义线性算子与其范数：

令$E,F$均为俩线性赋范空间，定义$C(E,F)$为连续线性算子从$E$到$F$上的空间，装备范数

$$ \|T\|_{\mathscr{L}(E,F)}=\sup_{\|x\|{\le}1\\x{\in}E}\|Tx\| $$

可以看出其线性算子范数的定义其实与上一节的泛函的范数定义类似。

一致有界定理：

令$E,F$为俩巴拿赫空间，且令$(T_i)_{i{\in}I}$为一族（不一定可数）从$E$到$F$的连续线性算子。假设满足：

$$ \sup_{i{\in}I}\|T_ix\|<\infty,{\forall}x{\in}E $$

则有以下的结论：

$$ \sup_{i{\in}I}\|T_i\|_{\mathscr{L}(X,Y)}<\infty $$

也就是常说的点点有界推出一致有界。这里指的是一族算子的范数有界，而每一点有界值得也是每一点处的范数有界。

常常可以转为另一种说法：

存在一个常数$c$，使得$\|T_ix\|{\le}c\|x\|,{\forall}x{\in}E,{\forall}i{\in}I$。

下面是对一致有界原理的一些直接的结果。

推论2.3

令$E,F$为俩巴拿赫空间。设$(T_n)$为从$E$到$F$的一列连续线性算子序列，使得对${\forall}x{\in}E$，有$T_nx$收敛到$Tx(n{\to}\infty)$，则有：

（1）$\sup_n\|T_n\|_{\mathscr{L}(E,F)}<\infty$。

（2）$T{\in}\mathcal{L}(E,F)$。

（3）$\|T\|_{\mathscr{L}(E,F)}{\le}\underset{n{\to}\infty}{\lim\inf}{\;}\|T_n\|_{\mathscr{L}(E,F)}$。

这个告诉我们如果有收敛的话，则其算子序列的上确界有界，并且收敛到的算子必然在这个算子空间中，且其收敛算子的范数必然小于等于该算子序列的范数的下极限。

推论2.4

设$G$为一个巴拿赫空间，且设$B$为$G$的一个子集。假设有：

对于${\forall}f{\in}G^*$，集合$f(B)=\left\{\left \langle f,x \right \rangle;x{\in}B\right\}$在$\mathbb{R}$中有界。

则推出$B$有界。

这个告诉我们，如果要证明一个子集有界，可以通过遍历该集合上的线性泛函确保其有界得到。

推论2.5

这实际上是和推论2.4对偶的一个东西，用来判断对偶空间的子集是否有界：

设$G$为一个巴拿赫空间，且设$B^*$为$G^*$的一个子集。假设有：

对于${\forall}x{\in}G$，集合$\left\langle B^*,x \right \rangle =\left\{\left \langle f,x \right \rangle;f{\in}B^*\right\}$在$\mathbb{R}$中有界。

则推出$B^*$有界。

2.3开映射定理与闭图像定理

定理2.6

开映射定理：

设$E,F$为俩巴拿赫空间，且令$T$为从$E$到$F$的一个连续线性算子，且为满射（在上的）。则存在一个常数$c>0$，使得

$$ T(B_E(0,1)){\supset}B_F(0,1) $$

也其实就是：将开集通过这个线性算子映射为开集。（也就是所谓的开集的像是开集）

推论2.7

设$E,F$为俩巴拿赫空间，且令$T$为从$E$到$F$的一个连续线性算子，且为双射。则$T^{-1}$（从$F$到$E$）也是连续的。

这个告诉我们如果加多一个单射条件，其逆算子存在且连续。

推论2.8

这个叫做范数等价定理，实际上也确实是个推论：

令$E$为一个向量空间，且赋予俩范数$\|\;\|_1$与$\|{\;}\|_2$，假设$E$对俩范数都成为巴拿赫空间，且在一个常数$C{\ge}0$，使得$\|x\|_2{\le}C\|x\|_1,{\forall}x{\in}E$。则这俩范数等价。

定理2.9

闭图像定理：

令$E,F$为俩巴拿赫空间，且令$T$为从$E$到$F$的一个线性算子，假设$T,G(T)$的图像在$E{\times}F$上为闭的，则$T$是连续的。

这个定理告诉我们，仅需用图像为闭集，则可以推出其算子为连续的。

互补空间与其推论

定理2.10

设$E$为一个巴拿赫空间。假设$G,L$为俩闭的线性子集，使得$G+L$为闭集。则存在一个常数$C{\ge}0$，使得：

${\forall}z{\in}G+L$可以分解为下述形式：
$z=x+y$，其中$x{\in}G,y{\in}L,\|x\|{\le}C\|z\|$且$\|y\|{\le}C\|z\|$。

我们可以看到这个定理组要告诉我们：一个分解，并且这个分解可以给出范数不等式。

推论2.11

在定理2.10的假设下，存在一个常数$C$使得

$$ dist(x,G{\cap}L){\le}\left\{dist(x,G)+dist(x,L)\right\},{\forall}x{\in}E $$

这个告诉我们不仅可以分解，并且在空间内任一点到$G$与$L$的交集的距离，小于等于该点到俩集合距离之和，实际上也是一个三角不等式的形式。

定义拓扑补：

令$G{\subset}E$为巴拿赫空间$E$的一个闭的子集。而子集$L{\subset}E$被称为$G$的一个拓扑补，指的是要满足下列俩条件：
（1）$L$为闭集。

（2）$G{\cap}L=\left\{0\right\}$且$G+L=E$。

我们可以看到，实际上就是直和的形式。

称呼$G$与$L$为$E$的互补空间，则${\forall}z{\in}E$可以表示为$z=x+y$，其中$x{\in}G$且$y{\in}L$。

这里给出三个例子：

1，任意有限维子空间$G$有一个互补空间。

2，任意有限余维数的闭子空间$G$有一个互补空间。

3，在希尔伯特空间中，任意闭子空间有一个互补空间。

逆算子

这里分为左右逆算子两个（分得更为细致）

令$T{\in}\mathcal{L}(E,F)$，则$T$的一个右逆，指的是有有一个算子$S{\in}\mathcal{L}(F,E)$，使得$T{\circ}S=I_F$。而$T$的一个左逆，指的是有一个算子$S{\in}\mathcal{L}(F,E)$，使得$S{\circ}T=I_E$。

下面的结果是对左右逆算子的存在性给出一些说明。

定理2.12

假设$T{\in}\mathcal{L}(E,F)$为满射，则下列性质等价：
（1）$T$有一个右逆。

（2）$N(T)=T^{-1}(0)$在$E$中存在一个补空间。

这里告诉我们右逆算子的存在性与$N(T)$存在补空间等价。

定理2.13

假设$T{\in}\mathcal{L}(E,F)$为单射，则下列性质等价：

（1）$T$有一个左逆。

（2）$R(T)=T(E)$为闭的，且在$F$上有一个补空间。

这里告诉我们左逆算子的存在性的相关信息。

正交

命题2.14

令$G,L$为在$E$上的俩闭子集，则有下述两个结论：

（1）$G{\cap}L=(G^{\perp}+L^{\perp})^{\perp}$。

（2）$G^{\perp}{\cap}L^{\perp}=(G+L)^{\perp}$。

推论2.15

令$G$与$L$为$E$上俩闭子集，则有下述俩结论：

（1）$(G{\cap}L)^{\perp}{\supset}\overline{G^{\perp}+L^{\perp}}$。

（2）$(G^{\perp}+L^{\perp})^{\perp}=\overline{G+L}$。

更为深刻的结论是下面这个定理：

定理2.16

令$G$与$L$为巴拿赫空间$E$中俩闭子集，则下列性质等价：
（1）$G+L$在$E$中闭。

（2）$G^{\perp}+L^{\perp}$在$E^*$中闭。

（3）$G+L=(G^{\perp}{\cap}L^{\perp})^{\perp}$。

（4）$G^{\perp}+L^{\perp}=(G{\cap}L)^{\perp}$。

无界线性算子

其定义与普通算子无异：令$E,F$为俩巴拿赫空间，一个从$E$到$F$上的无界线性算子为一个线性映射$A:D(A){\subset}E{\to}F$。其定义在一个线性子空间$D(A){\subset}E$上，而其值在$F$上。

集合$D(A)$称为$A$的定义域。

我们称$A$算子有界（或连续），指的是：$D(A)=E$且存在一个常数$C{\ge}0$，使得$\|Au\|{\le}c\|u\|,{\forall}u{\in}E$。

而有界算子范数的定义为：

$$ \|A\|_{\mathscr{L}(E,F)}=\sup_{u{\neq}0}\frac{\|Au\|}{\|u\|} $$

下面给出一些记号去描述之后的定理：

算子$A$的图像$=G(A)=\left\{[u,Au];u{\in}D(A)\right\}{\subset}E{\times}F$。

算子$A$的值域$=R(A)=\left\{Au;u{\in}D(A)\right\}{\subset}F$。

算子$A$的核$=N(A)=\left\{u{\in}D(A);Au=0\right\}{\subset}E$。

我们发现其图像其实是在$E{\times}F$的乘积空间上，而核在原空间$E$上，值域在$F$上。

若算子$A$的图像$G(A)$在$E{\times}F$上是闭集，则称算子$A$是闭的。故而要验证算子$A$是闭的，需要证明两件事情：

取一个在$D(A)$中的序列$u_n$，使得在$E$中有$u_n{\to}u$且在$F$中$Au_n{\to}f$。然后检验：

（1）$u{\in}D(A)$。

（2）$f=Au$。

也就是要找到两个收敛，且保证这俩收敛一个在原空间是闭的，另一个协同在值空间为闭的。

共轭算子

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的且为无界线性算子，我们可以诱导出一个无界线性算子$A^*$。

$A^*:D(A^*){\subset}F^*{\to}E^*$，其定义域如下所示：

$$ D(A^*)=\left\{v{\in}F^*;{\exists}c{\ge}0,s.t.|\left \langle v,Au \right \rangle|{\le}c\|u\|,{\forall}u{\in}D(A)\right\} $$

显然可以知道$D(A^*)$为$F^*$的一个线性子空间。

定义$A^*v$，给定$v{\in}D(A^*)$，考虑映射$g:D(A){\to}\mathbb{R}$定义为：

$$ {\forall}u{\in}D(A),g(u)=\left \langle v,Au \right \rangle $$

则有：$|g(u)|{\le}c\|u\|$。

然后由哈恩-巴拿赫分析形式，存在一个线性映射$f:E{\to}\mathbb{R}$为$g$的延拓，并且使得$|f(u)|{\le}c\|u\|,{\forall}u{\in}E$。于是可以知道$f{\in}E^*$。注意到因为$D(A)$在$E$中稠密，故此$g$的延拓$f$唯一存在。

令$A^*v=f$，于是无界线性算子$A^*:D(A^*){\subset}F^*{\to}E^*$称为$A$算子的共轭算子。

两者关系

其实$A$与$A^*$的两者关系可以描述如下：

$$ \left \langle v,Au \right \rangle_{F^*,F}=\left \langle A^*v,u \right \rangle_{E^*,E},{\quad}{\forall}u{\in}D(A),{\forall}v{\in}D(A^*) $$

命题2.17

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的无界线性算子，则$A^*$是闭的。

而$A$与$A^*$的图像则由一个简单的正交关系联系起来：

考虑同构$I:F^*{\times}E^*{\to}E^*{\times}F^*$定义为$I([v,f])=[-f,v]$。

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的无界线性算子，则$I[G(A^*)]=G(A)^{\perp}$。

而下面则是一些关于值域与核的正交关系。

推论2.18

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的无界线性算子，且为闭的，则有以下四个结论：

（1）$N(A)=R(A^*)^{\perp}$。

（2）$N(A^*)=R(A)^{\perp}$。

（3）$N(A)^{\perp}{\supset}\overline{R(A^*)}$。

（4）$N(A^*)^{\perp}=\overline{R(A)}$。

而根据上述的结论，如果考虑空间$X=E{\times}F$，故有$X^*=E^*{\times}F^*$，且$X$的子空间$G=G(A)$与$L=E{\times}\left\{0\right\}$。则可以验证为：

（1）$N(A){\times}\left\{0\right\}=G{\cap}L$。

（2）$E{\times}R(A)=G+L$。

（3）$\left\{0\right\}{\times}N(A^*)=G^{\perp}{\cap}L^{\perp}$。

（4）$R(A^*){\times}F^*=G^{\perp}+L^{\perp}$。

闭值域算子与满射算子特征

关于闭值域算子的主要结果如下：

定理2.19

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的无界线性算子，且为闭的，则下列性质等价：

（1）$R(A)$是闭的。

（2）$R(A^*)$是闭的。

（3）$R(A)=N(A^*)^{\perp}$。

（4）$R(A^*)=N(A^{\perp})$。

关于满射算子的主要结果则如下：

定理2.20

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的无界线性算子，且为闭的，则下列性质等价：

（1）$A$为满射，也就是$R(A)=F$。

（2）存在一个常数$C$，使得$\|v\|{\le}C\|A^*v\|,{\forall}v{\in}D(A^*)$。

（3）$N(A^*)=\left\{0\right\}$且$R(A^*)$为闭的。

我们可以用（2）的性质去证明$A$是满射，故这个定理非常有用，而（2）这个性质常被称为先验估计。

下面是一个对偶的叙述：

定理2.21

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的无界线性算子，且为闭的，则下列性质等价：

（1）$A^*$是满射，也就是$R(A^*)=E^*$。

（2）存在一个常数$C$，使得$\|u\|{\le}C\|Au\|,{\forall}u{\in}D(A)$。

（3）$N(A)=\left\{0\right\}$且$R(A)$为闭的。

对于有限维空间的线性算子，则有这样的等价条件：

$A$满射$\iff{A^*}$单射，而$A^*$满射$\iff{A}$单射。

对于一般的情况，则只有一边的推导是成立的：
$A$满射$\Rightarrow{A^*}$单射，$A^*$满射$\Rightarrow{A}$单射。

总结

本节主要讲述了贝尔定理，一致有界原理，开映像定理与闭图像定理。

互补空间，逆算子的存在性与性质，正交关系的探讨。

闭算子定义，共轭算子的定义，怎么用共轭算子去刻画原算子的性质（先验估计）。

Last modification：January 25th, 2020 at 10:51 am

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贝尔纲定理，共轭算子与正交关系

怪使 • 2020 年 01 月 25 日

Haim2

2.1贝尔纲定理

定理2.1

贝尔定理：令$X$为一个完备的度量空间且令$(x_n)_{n{\ge}1}$为在$X$上的闭子集序列。假设对${\forall}n{\ge}1,Int{\;}X_n=\varnothing$。则

$$ Int{\;}(\bigcup_{n=1}^{\infty}X_n)=\varnothing $$

这个告诉我们完备的度量空间上的闭子集序列。若每个的内部都是空的，则其可数并集的内部也是空的。

而这个定理常常被描述为以下形式：

令$X$为一个完备的度量空间且令$(x_n)_{n{\ge}1}$为在$X$上的闭子集序列，使得

$$ \bigcup^{\infty}_{n=1}X_n=X $$

则存在某个$n_0$，使得$Int{\;}X_{n_0}{\neq}\varnothing$。

这个定理则告诉我们在完备的度量空间上的闭子集序列，若并集为原空间，则必定有某个闭子集内部非空！

定理2.2

一致有界定理，也就是经常说的——巴拿赫-斯坦豪斯定理。

首先定义线性算子与其范数：

令$E,F$均为俩线性赋范空间，定义$C(E,F)$为连续线性算子从$E$到$F$上的空间，装备范数

$$ \|T\|_{\mathscr{L}(E,F)}=\sup_{\|x\|{\le}1\\x{\in}E}\|Tx\| $$

可以看出其线性算子范数的定义其实与上一节的泛函的范数定义类似。

一致有界定理：

令$E,F$为俩巴拿赫空间，且令$(T_i)_{i{\in}I}$为一族（不一定可数）从$E$到$F$的连续线性算子。假设满足：

$$ \sup_{i{\in}I}\|T_ix\|<\infty,{\forall}x{\in}E $$

则有以下的结论：

$$ \sup_{i{\in}I}\|T_i\|_{\mathscr{L}(X,Y)}<\infty $$

也就是常说的点点有界推出一致有界。这里指的是一族算子的范数有界，而每一点有界值得也是每一点处的范数有界。

常常可以转为另一种说法：

存在一个常数$c$，使得$\|T_ix\|{\le}c\|x\|,{\forall}x{\in}E,{\forall}i{\in}I$。

下面是对一致有界原理的一些直接的结果。

推论2.3

令$E,F$为俩巴拿赫空间。设$(T_n)$为从$E$到$F$的一列连续线性算子序列，使得对${\forall}x{\in}E$，有$T_nx$收敛到$Tx(n{\to}\infty)$，则有：

（1）$\sup_n\|T_n\|_{\mathscr{L}(E,F)}<\infty$。

（2）$T{\in}\mathcal{L}(E,F)$。

（3）$\|T\|_{\mathscr{L}(E,F)}{\le}\underset{n{\to}\infty}{\lim\inf}{\;}\|T_n\|_{\mathscr{L}(E,F)}$。

推论2.4

设$G$为一个巴拿赫空间，且设$B$为$G$的一个子集。假设有：

对于${\forall}f{\in}G^*$，集合$f(B)=\left\{\left \langle f,x \right \rangle;x{\in}B\right\}$在$\mathbb{R}$中有界。

则推出$B$有界。

这个告诉我们，如果要证明一个子集有界，可以通过遍历该集合上的线性泛函确保其有界得到。

推论2.5

这实际上是和推论2.4对偶的一个东西，用来判断对偶空间的子集是否有界：

设$G$为一个巴拿赫空间，且设$B^*$为$G^*$的一个子集。假设有：

对于${\forall}x{\in}G$，集合$\left\langle B^*,x \right \rangle =\left\{\left \langle f,x \right \rangle;f{\in}B^*\right\}$在$\mathbb{R}$中有界。

则推出$B^*$有界。

2.3开映射定理与闭图像定理

定理2.6

开映射定理：

设$E,F$为俩巴拿赫空间，且令$T$为从$E$到$F$的一个连续线性算子，且为满射（在上的）。则存在一个常数$c>0$，使得

$$ T(B_E(0,1)){\supset}B_F(0,1) $$

也其实就是：将开集通过这个线性算子映射为开集。（也就是所谓的开集的像是开集）

推论2.7

设$E,F$为俩巴拿赫空间，且令$T$为从$E$到$F$的一个连续线性算子，且为双射。则$T^{-1}$（从$F$到$E$）也是连续的。

这个告诉我们如果加多一个单射条件，其逆算子存在且连续。

推论2.8

这个叫做范数等价定理，实际上也确实是个推论：

定理2.9

闭图像定理：

令$E,F$为俩巴拿赫空间，且令$T$为从$E$到$F$的一个线性算子，假设$T,G(T)$的图像在$E{\times}F$上为闭的，则$T$是连续的。

这个定理告诉我们，仅需用图像为闭集，则可以推出其算子为连续的。

互补空间与其推论

定理2.10

设$E$为一个巴拿赫空间。假设$G,L$为俩闭的线性子集，使得$G+L$为闭集。则存在一个常数$C{\ge}0$，使得：

${\forall}z{\in}G+L$可以分解为下述形式：
$z=x+y$，其中$x{\in}G,y{\in}L,\|x\|{\le}C\|z\|$且$\|y\|{\le}C\|z\|$。

我们可以看到这个定理组要告诉我们：一个分解，并且这个分解可以给出范数不等式。

推论2.11

在定理2.10的假设下，存在一个常数$C$使得

$$ dist(x,G{\cap}L){\le}\left\{dist(x,G)+dist(x,L)\right\},{\forall}x{\in}E $$

这个告诉我们不仅可以分解，并且在空间内任一点到$G$与$L$的交集的距离，小于等于该点到俩集合距离之和，实际上也是一个三角不等式的形式。

定义拓扑补：

令$G{\subset}E$为巴拿赫空间$E$的一个闭的子集。而子集$L{\subset}E$被称为$G$的一个拓扑补，指的是要满足下列俩条件：
（1）$L$为闭集。

（2）$G{\cap}L=\left\{0\right\}$且$G+L=E$。

我们可以看到，实际上就是直和的形式。

称呼$G$与$L$为$E$的互补空间，则${\forall}z{\in}E$可以表示为$z=x+y$，其中$x{\in}G$且$y{\in}L$。

这里给出三个例子：

1，任意有限维子空间$G$有一个互补空间。

2，任意有限余维数的闭子空间$G$有一个互补空间。

3，在希尔伯特空间中，任意闭子空间有一个互补空间。

逆算子

这里分为左右逆算子两个（分得更为细致）

下面的结果是对左右逆算子的存在性给出一些说明。

定理2.12

假设$T{\in}\mathcal{L}(E,F)$为满射，则下列性质等价：
（1）$T$有一个右逆。

（2）$N(T)=T^{-1}(0)$在$E$中存在一个补空间。

这里告诉我们右逆算子的存在性与$N(T)$存在补空间等价。

定理2.13

假设$T{\in}\mathcal{L}(E,F)$为单射，则下列性质等价：

（1）$T$有一个左逆。

（2）$R(T)=T(E)$为闭的，且在$F$上有一个补空间。

这里告诉我们左逆算子的存在性的相关信息。

正交

命题2.14

令$G,L$为在$E$上的俩闭子集，则有下述两个结论：

（1）$G{\cap}L=(G^{\perp}+L^{\perp})^{\perp}$。

（2）$G^{\perp}{\cap}L^{\perp}=(G+L)^{\perp}$。

推论2.15

令$G$与$L$为$E$上俩闭子集，则有下述俩结论：

（1）$(G{\cap}L)^{\perp}{\supset}\overline{G^{\perp}+L^{\perp}}$。

（2）$(G^{\perp}+L^{\perp})^{\perp}=\overline{G+L}$。

更为深刻的结论是下面这个定理：

定理2.16

令$G$与$L$为巴拿赫空间$E$中俩闭子集，则下列性质等价：
（1）$G+L$在$E$中闭。

（2）$G^{\perp}+L^{\perp}$在$E^*$中闭。

（3）$G+L=(G^{\perp}{\cap}L^{\perp})^{\perp}$。

（4）$G^{\perp}+L^{\perp}=(G{\cap}L)^{\perp}$。

无界线性算子

集合$D(A)$称为$A$的定义域。

我们称$A$算子有界（或连续），指的是：$D(A)=E$且存在一个常数$C{\ge}0$，使得$\|Au\|{\le}c\|u\|,{\forall}u{\in}E$。

而有界算子范数的定义为：

$$ \|A\|_{\mathscr{L}(E,F)}=\sup_{u{\neq}0}\frac{\|Au\|}{\|u\|} $$

下面给出一些记号去描述之后的定理：

算子$A$的图像$=G(A)=\left\{[u,Au];u{\in}D(A)\right\}{\subset}E{\times}F$。

算子$A$的值域$=R(A)=\left\{Au;u{\in}D(A)\right\}{\subset}F$。

算子$A$的核$=N(A)=\left\{u{\in}D(A);Au=0\right\}{\subset}E$。

我们发现其图像其实是在$E{\times}F$的乘积空间上，而核在原空间$E$上，值域在$F$上。

若算子$A$的图像$G(A)$在$E{\times}F$上是闭集，则称算子$A$是闭的。故而要验证算子$A$是闭的，需要证明两件事情：

取一个在$D(A)$中的序列$u_n$，使得在$E$中有$u_n{\to}u$且在$F$中$Au_n{\to}f$。然后检验：

（1）$u{\in}D(A)$。

（2）$f=Au$。

也就是要找到两个收敛，且保证这俩收敛一个在原空间是闭的，另一个协同在值空间为闭的。

共轭算子

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的且为无界线性算子，我们可以诱导出一个无界线性算子$A^*$。

$A^*:D(A^*){\subset}F^*{\to}E^*$，其定义域如下所示：

$$ D(A^*)=\left\{v{\in}F^*;{\exists}c{\ge}0,s.t.|\left \langle v,Au \right \rangle|{\le}c\|u\|,{\forall}u{\in}D(A)\right\} $$

显然可以知道$D(A^*)$为$F^*$的一个线性子空间。

定义$A^*v$，给定$v{\in}D(A^*)$，考虑映射$g:D(A){\to}\mathbb{R}$定义为：

$$ {\forall}u{\in}D(A),g(u)=\left \langle v,Au \right \rangle $$

则有：$|g(u)|{\le}c\|u\|$。

令$A^*v=f$，于是无界线性算子$A^*:D(A^*){\subset}F^*{\to}E^*$称为$A$算子的共轭算子。

两者关系

其实$A$与$A^*$的两者关系可以描述如下：

$$ \left \langle v,Au \right \rangle_{F^*,F}=\left \langle A^*v,u \right \rangle_{E^*,E},{\quad}{\forall}u{\in}D(A),{\forall}v{\in}D(A^*) $$

命题2.17

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的无界线性算子，则$A^*$是闭的。

而$A$与$A^*$的图像则由一个简单的正交关系联系起来：

考虑同构$I:F^*{\times}E^*{\to}E^*{\times}F^*$定义为$I([v,f])=[-f,v]$。

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的无界线性算子，则$I[G(A^*)]=G(A)^{\perp}$。

而下面则是一些关于值域与核的正交关系。

推论2.18

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的无界线性算子，且为闭的，则有以下四个结论：

（1）$N(A)=R(A^*)^{\perp}$。

（2）$N(A^*)=R(A)^{\perp}$。

（3）$N(A)^{\perp}{\supset}\overline{R(A^*)}$。

（4）$N(A^*)^{\perp}=\overline{R(A)}$。

而根据上述的结论，如果考虑空间$X=E{\times}F$，故有$X^*=E^*{\times}F^*$，且$X$的子空间$G=G(A)$与$L=E{\times}\left\{0\right\}$。则可以验证为：

（1）$N(A){\times}\left\{0\right\}=G{\cap}L$。

（2）$E{\times}R(A)=G+L$。

（3）$\left\{0\right\}{\times}N(A^*)=G^{\perp}{\cap}L^{\perp}$。

（4）$R(A^*){\times}F^*=G^{\perp}+L^{\perp}$。

闭值域算子与满射算子特征

关于闭值域算子的主要结果如下：

定理2.19

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的无界线性算子，且为闭的，则下列性质等价：

（1）$R(A)$是闭的。

（2）$R(A^*)$是闭的。

（3）$R(A)=N(A^*)^{\perp}$。

（4）$R(A^*)=N(A^{\perp})$。

关于满射算子的主要结果则如下：

定理2.20

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的无界线性算子，且为闭的，则下列性质等价：

（1）$A$为满射，也就是$R(A)=F$。

（2）存在一个常数$C$，使得$\|v\|{\le}C\|A^*v\|,{\forall}v{\in}D(A^*)$。

（3）$N(A^*)=\left\{0\right\}$且$R(A^*)$为闭的。

我们可以用（2）的性质去证明$A$是满射，故这个定理非常有用，而（2）这个性质常被称为先验估计。

下面是一个对偶的叙述：

定理2.21

令$A:D(A){\subset}E{\to}F$为一个稠密定义的无界线性算子，且为闭的，则下列性质等价：

（1）$A^*$是满射，也就是$R(A^*)=E^*$。

（2）存在一个常数$C$，使得$\|u\|{\le}C\|Au\|,{\forall}u{\in}D(A)$。

（3）$N(A)=\left\{0\right\}$且$R(A)$为闭的。

对于有限维空间的线性算子，则有这样的等价条件：

$A$满射$\iff{A^*}$单射，而$A^*$满射$\iff{A}$单射。

对于一般的情况，则只有一边的推导是成立的：
$A$满射$\Rightarrow{A^*}$单射，$A^*$满射$\Rightarrow{A}$单射。

总结

本节主要讲述了贝尔定理，一致有界原理，开映像定理与闭图像定理。

互补空间，逆算子的存在性与性质，正交关系的探讨。

闭算子定义，共轭算子的定义，怎么用共轭算子去刻画原算子的性质（先验估计）。

Haim2

2.1贝尔纲定理

定理2.1

定理2.2

推论2.3

推论2.4

推论2.5

2.3开映射定理与闭图像定理

定理2.6

推论2.7

推论2.8

定理2.9

互补空间与其推论

定理2.10

推论2.11

逆算子

定理2.12

定理2.13

正交

命题2.14

推论2.15

定理2.16

无界线性算子

共轭算子

两者关系

命题2.17

推论2.18

闭值域算子与满射算子特征

定理2.19

定理2.20

定理2.21

总结