Lp空间卷积与正则化

Author：怪使
发布时间：February 4, 2020
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Haim4

这一章节主要讲述$L^p$空间的卷积与正则化

4.4 卷积与正则化

我们首先定义一个函数$f{\in}L^1(\mathbb{R}^N)$和一个函数$g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$的卷积。

定理4.15

Young：设$f{\in}L^1(\mathbb{R}^N)$且令$g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则对几乎处处$a{\in}\mathbb{R}^N$，函数$y{\mapsto}f(x-y)g(y)$是在$\mathbb{R}$上可积的且我们定义

$$ (f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^N}f(x-y)g(y)dy $$

另外$f*g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$且

$$ \|f*g\|_p{\le}\|f\|_1\|g\|_p $$

证明：当$p=\infty$时结论是显然的。我们考虑两个情况：

（1）$p=1$。

（2）$1<p<\infty$。

情况（1）：$p=1$。设$F(x,y)=f(x-y)g(y)$。

对于几乎处处$y{\in}\mathbb{R}^N$，我们有

$$ \int_{\mathbb{R}^N}|F(x,y)|dx=|g(y)|\int_{\mathbb{R}^N}|f(x-y)|dx=|g(y)|\|f\|_1<\infty $$

且，更甚者，

$$ \int_{\mathbb{R}^N}dy\int_{\mathbb{R}^N}|F(x,y)|dx=\|g\|_1\|f\|_1<\infty $$

我们可以从Tonelli定理（定理4.4）推断出$F{\in}L^1(\mathbb{R}^N{\times}\mathbb{R}^N)$。应用富比尼定理（定理4.5），我们可以看到

$$ \int_{\mathbb{R}^N}|F(x,y)|dy<\infty，对几乎处处x{\in}\mathbb{R}^N $$

且更甚者，

$$ \int_{\mathbb{R}^N}dx\int_{\mathbb{R}^N}|F(x,y)|dy=\int_{\mathbb{R}^N}dy\int_{\mathbb{R}^N}|F(x,y)|dx=\|f\|_1\|g\|_1 $$

当$p=1$时这正是定理4.15的结论。

情况（2）：$1<p<\infty$，由情况（1）我们知道对于几乎处处固定的$x{\in}\mathbb{R}^N$，函数$y{\mapsto}|f(x-y)||g(y)|^p$是在$\mathbb{R}^N$是可积的，那就是

$$ |f(x-y)|^{1/p}|g(y)|{\in}L^p_y(\mathbb{R}^N) $$

因为$|f(x,y)|^{1/p'}{\in}L_y^{p'}(\mathbb{R}^N)$，我们可以由赫尔德不等式推出

$$ |f(x-y)||g(y)|=|f(x-y)|^{1/p'}|f(x-y)|^{1/p}|g(y)|{\in}L^1_y(\mathbb{R}^N) $$

且

$$ \int_{\mathbb{R}^N}|f(x-y)||g(y)|dy{\le}\|f\|_1^{1/p'}(\int_{\mathbb{R}^N}|f(x-y)||g(y)|^pdy)^{1/p} $$

这就是

$$ |(f*g)(x)|^p{\le}\|f\|_1^{p/p'}(|f|*|g|^p)(x) $$

我们可以总结，由情况（1），有$f*g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$且

$$ \|f*g\|_p^p{\le}\|f\|_1^{p/p'}\|f\|_1\|g\|_{p}^p $$

这也就是

$$ \|f*g\|_p{\le}\|f\|_1\|g\|_p $$

记号

在$\mathbb{R}^N$上给定一个函数$f$，我们设$\breve{f}(x)=f(-x)$。

命题4.16

令$f{\in}L^1(\mathbb{R}^N),g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$且$h{\in}L^{p'}(\mathbb{R}^N)$。则我们有

$$ \int_{\mathbb{R}^N}(f*g)h=\int_{\mathbb{R}^N}g(\breve{f}*h) $$

证明：函数$F(x,y)=f(x-y)g(y)h(x)$属于$L^1(\mathbb{R}^N{\times}\mathbb{R}^N)$，因为

$$ \int|h(x)|dx\int|f(x-y)||g(y)|dy<\infty $$

由定理4.15和赫尔德不等式，因此我们有

$$ \begin{align*} \int(f*g)(x)h(x)dx&=\int{dx}\int{F(x,y)}dy=\int{dy}\int{F(x,y)}dx\\ &=\int{g(y)}(\breve{f}*h)(y)dy \end{align*} $$

支集与卷积

函数$f$的支集的记号是平常的：$supp{\;}f$是$f$消逝的最大开集的补集；用另一种说法就是，$supp{\;}f$是集合$\left\{x;f(x){\neq}0\right\}$的闭包。这个记号是不足够的，当处理到一些等价性质，例如$L^p$空间。我们需要一个定义，是本质的，那就是$supp{\;}f_1$和$supp{\;}f_2$可以是一样的（或者去掉一个零测集相同），如果$f_1=f_2{\;}a.e.$。读者容易知道对于在$\mathbb{R}$上的$f=\chi_{\mathbb{Q}}$，通常的记号没有意义。下面这个情况下我们给出合适的记号。

命题4.17

支集的定义：令$f:\mathbb{R}^N{\to}\mathbb{R}$为任意函数。考虑在$\mathbb{R}^N$中的开集族$(w_i)_{i{\in}I}$，使得对任意$i{\in}I,f=0$几乎处处在$w_i$上成立。设$w=\bigcup_{i{\in}I}w_i$。

则$f=0$几乎处处在$w$上成立。

由定义，$supp{\;}f$是在$\mathbb{R}^N$中$w$的补集。

注意：
（1）假设$f_1=f_2$几乎处处在$\mathbb{R}^N$上成立，显然我们有$supp{\;}f_1=supp{\;}f_2$。因此我们可以说对于$f{\in}L^p$的$supp{\;}f$无需说明我们代表哪一个

（2）如果$f$是在$\mathbb{R}^N$是一个连续函数，容易验证在新的定义下，$supp{\;}f$与往常的定义一样。

证明：因为$I$不一定是可数的，所以不能说明在$w$上$f=0$几乎处处成立。然而我们可以恢复到可数的情况如下：存在一个可数的在$\mathbb{R}^N$中的开集族$(O_n)$，使得任何在$\mathbb{R}^N$中的开集，是某些$O_n$的并集。记下$w_i=\bigcup_{n{\in}A_i}O_n$且$w=\bigcup_{n{\in}B}O_n$其中$B=\bigcup_{i{\in}I}A_i$。因为$f=0$在几乎处处任意的$O_n$中成立，其中$n{\in}B$，于是我们推出在$w$中，$f=0$几乎处处成立。

命题4.18

令$f{\in}L^1(\mathbb{R}^N)$与$g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则

$$ supp(f*g){\subset}\overline{supp{\;}f+supp{\;}g} $$

证明：固定$x{\in}\mathbb{R}^N$使得函数$y{\mapsto}f(x-y)g(y)$是可积的（定理4.15）。我们有

$$ (f*g)(x)=\int{f(x-y)}g(y)dy=\int_{(x-supp{\;}f){\cap}supp{\;}g}f(x-y)g(y)dy $$

如果$x{\notin}supp{\;}f+supp{\;}g$，则$(x-supp{\;}f){\cap}supp{\;}g=\varnothing$且因此$(f*g)(x)=0$。因此

$$ (f*g)(x)=0{\quad}a.e.{\;}on{\;}(supp{\;}f+supp{\;}g)^c $$

特别地

$$ (f*g)(x)=0{\quad}a.e.{\;}on{\;}Int[(supp{\;}f+supp{\;}g)^c] $$

且因此

$$ supp(f*g){\subset}\overline{supp{\;}f+supp{\;}g} $$

注：如果$f$与$g$都有紧支集，则$f*g$也有紧支集。然而$f*g$不一定有紧支集如果仅仅其中一个有紧支集。

定义

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为开集且令$1{\le}p{\le}\infty$。我们称一个函数$f:\Omega{\to}\mathbb{R}$属于$L^p_{loc}(\Omega)$，指的是如果$f_{\chi_K}{\in}L^p(\Omega)$，对于任意包含在$\Omega$的紧集$K$。

注意到如果$f{\in}L^p_{loc}(\Omega)$，则$f{\in}L^1_{loc}(\Omega)$。

命题4.19

令$f{\in}C_c(\mathbb{R}^N)$且$g{\in}L^1_{loc}(\mathbb{R}^N)$。则$(f*g)(x)$是良定的，对于任意$x{\in}\mathbb{R}^N$，且更甚者$(f*g){\in}C(\mathbb{R}^N)$。

证明：注意到对每个$x{\in}\mathbb{R}^N$，函数$y{\mapsto}f(x-y)g(y)$是在$\mathbb{R}^N$上可积的。且因此$(f*g)(x)$是对每个$x{\in}\mathbb{R}^N$定义了的。

令$x_n{\to}x$且令$K$为在$\mathbb{R}^N$中一个固定的紧集，使得$(x_n-supp{\;}f){\subset}K,{\forall}n$。因此，我们有$f(x_n-y)=0,{\forall}n,{\forall}y{\notin}K$。我们从$f$的一致连续性推出

$$ |f(x_n-y)-f(x-y)|{\le}\varepsilon_n\chi_K(y),{\forall}n,{\forall}y{\in}\mathbb{R}^N $$

其中$\varepsilon_n{\to}0$，我们推出

$$ |(f*g)(x_n)-(f*g)(x)|{\le}\varepsilon_n\int_{K}|g(y)|dy{\to}0 $$

记号

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集

$C(\Omega)$是在$\Omega$上由连续函数组成的空间

$C^k(\Omega)$是在$\Omega$上由$k$次可微函数组成的空间（$k{\ge}1$为整数）

$C^{\infty}(\Omega)=\cap_k{C^k(\Omega)}$

$C_c(\Omega)$是在$\Omega$上带有紧支集的连续函数组成的空间，也即：在某个紧集$K{\subset}\Omega$外消逝

$C_c^k(\Omega)=C^k(\Omega){\cap}C_c(\Omega)$。

$C_c^{\infty}(\Omega)=C^{\infty}(\Omega){\cap}C_c(\Omega)$。

（有些作者会用$\mathcal{D}(\Omega)$或者$C^{\infty}_0(\Omega)$代替$C^{\infty}_c(\Omega)$）

如果$f{\in}C^1(\Omega)$，它的导数定义为

$$ \nabla{f}=(\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}},\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}},{\cdots},\frac{\partial{f}}{\partial{x_N}}) $$

如果$f{\in}C^k(\Omega)$，且$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,{\cdots},\alpha_N)$是一个长度的多指标$|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+{\cdots}+\alpha_N$，比$k$小，我们记

$$ D^{\alpha}f=\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial{x_1^{\alpha_1}}}\frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial{x_2^{\alpha_2}}}{\cdots} \frac{\partial^{\alpha_N}}{\partial{x_N^{\alpha_N}}}f $$

命题4.20

令$f{\in}C_c^k(\mathbb{R}^N)(k{\ge}1)$且令$g{\in}L^1_{loc}(\mathbb{R}^N)$。则$f*g{\in}C^k(\mathbb{R}^N)$且

$$ D^{\alpha}(f*g)=(D^{\alpha}f)*g,{\forall}\alpha,|\alpha|{\le}k $$

特别地，如果$f{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$且$g{\in}L^1_{loc}(\mathbb{R}^N)$，则$f*g{\in}C^{\infty}(\mathbb{R}^N)$。

证明：由归纳法足够考虑情况$k=1$时，给定$x{\in}\mathbb{R}^N$，我们断言$f*g$在$x$处可微且

$$ \nabla{(f*g)}(x)=(\nabla{f})*g(x) $$

令$h{\in}\mathbb{R}^N$，其中$|h|<1$。我们有，对于所有的$y{\in}\mathbb{R}^N$，

$$ |f(x+h-y)-f(x-y)-h{\cdot}\nabla{f(x-y)}|\\ =|\int^1_0[h{\cdot}\nabla{f(x+sh-y)}-h{\cdot}{\nabla}f(x-y)]ds|{\le}|h|\varepsilon(|h|) $$

其中$\varepsilon(|h|){\to}0$当$|h|{\to}0$（因为${\nabla}f$在$\mathbb{R}^N$上一致连续）

令$K$为在$\mathbb{R}^N$中一个固定紧集，足够大使得$x+B(0,1)-supp{\;}f{\subset}K$。我们有

$$ f(x+h-y)-f(x-y)-h{\cdot}{\nabla}f(x-y)=0,{\forall}y{\notin}K,{\forall}h{\in}B(0,1) $$

且因此

$$ |f(x+h-y)-f(x-y)-h{\cdot}\nabla{f(x-y)}|{\le}|h|\varepsilon(|h|)\chi_K(y),{\forall}y{\in}\mathbb{R}^N,{\forall}h{\in}B(0,1) $$

我们总结得，对于$h{\in}B(0,1)$

$$ |(f*g)(x+h)-(f*g)(x)-h{\cdot}({\nabla}f*g)(x)|{\le}|h|\varepsilon(|h|)\int_{K}|g(y)|dy $$

于是$f*g$是在$x$处可微的，且${\nabla}(f*g)(x)=({\nabla}f)*g(x)$。

磨光算子

定义

一个磨光序列$(\rho_n)_{n{\ge}1}$是在$\mathbb{R}^N$上的任意函数序列，使得

$$ \rho_n{\in}C^{\infty}_c(\mathbb{R}^N),supp{\;}\rho_n{\subset}\overline{B(0,1/n)},\int{\rho_n}=1,\rho_n{\ge}0于\mathbb{R}^N $$

在下面我们将系统地用记号$(\rho_n)$来定义磨光序列。

容易从一个独立函数$\rho{\in}C^{\infty}_c(\mathbb{R}^N)$来生成一个磨光序列，使得$supp{\;}\rho{\subset}\overline{B(0,1)},\rho{\ge}0$在$\mathbb{R}^N$上，且$\rho$不一起消逝。例如下面这个函数：

$$ \rho(x)= \begin{cases} e^{1/(|x|^2-1)},{\quad}if|x|<1\\ 0{\quad}if|x|>1 \end{cases} $$

我们用令$\rho_n(x)=Cn^N\rho(nx)$，其中$C=1/\int{\rho}$来获得一个磨光序列。

命题4.21

假设$f{\in}C(\mathbb{R}^N)$。则$(\rho_n*f)\underset{n{\to}\infty}{\to}f$在$\mathbb{R}^N$的紧集上一致收敛。

证明：令$K{\subset}\mathbb{R}^N$为一个固定的紧集，给定$\varepsilon>0$，则存在$\delta>0$（依赖于$K$和$\varepsilon$）使得

$$ |f(x-y)-f(x)|<\varepsilon,{\forall}x{\in}K,{\forall}y{\in}B(0,\delta) $$

我们有，对于$x{\in}\mathbb{R}^N$，

$$ \begin{align*} (\rho_n*f)(x)&=\int[f(x-y)-f(x)]\rho_n(y)dy\\ &=\int_{B(0,1/n)}[f(x-y)-f(x)]\rho_n(y)dy \end{align*} $$

对于$n>1/\delta$且$x{\in}K$，我们得到

$$ [(\rho_n*f)(x)-f(x)]{\le}\varepsilon\int{\rho_n}=\varepsilon $$

定理4.22

假设$f{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$其中$1{\le}p<\infty$。则在$L^p(\mathbb{R}^N)$上$(\rho_n*f)\underset{n{\to}\infty}{\to}f$。

证明：给定$\varepsilon>0$，我们固定一个函数$f_1{\in}C_c(\mathbb{R}^N)$使得$\|f-f_1\|_p<\varepsilon$（见定理4.12）。由命题4.21我们知道$(\rho_n*f_1){\to}f_1$在$\mathbb{R}^N$上的任意紧集上一致收敛。另一方面，我们（由命题4.18）知道

$$ supp{\;}(\rho_n*f_1){\subset}\overline{B(0,1/n)}+supp{\;}f_1{\subset}\overline{B(0,1)}+supp{\;}f_1 $$

是一个固定的紧集。于是

$$ \|(\rho_n*f_1)-f_1\|_p\underset{n{\to}\infty}{\to}0 $$

最终，我们记

$$ (\rho_n*f)-f=[\rho_n*(f-f_1)]+[(\rho_n*f_1)-f_1]+[f_1-f] $$

且因此

$$ \|(\rho_n*f)-f\|_p{\le}2\|f-f_1\|_p+\|(\rho_n*f_1)-f_1\|_p $$

（由定理4.15）

我们总结得到

$$ \underset{n{\to}\infty}{\lim\sup}\|(\rho_n*f)-f\|_p{\le}2\varepsilon,{\forall}\varepsilon>0 $$

且因此$\lim_{n{\to}\infty}\|(\rho_n*f)-f\|_p=0$。

推论4.23

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集，则$C_c^{\infty}(\Omega)$是在$L^p(\Omega)$中稠密的，对于任意$1{\le}p<\infty$。

证明：给定$f{\in}L^p(\Omega)$我们设

$$ \overline{f}(x)= \begin{cases} f(x){\quad}if x{\in}\Omega\\ 0{\quad}if x{\in}\mathbb{R}{\backslash}\Omega \end{cases} $$

于是$\overline{f}{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$。

令$(K_n)$为在$\mathbb{R}^N$中的一列紧集，使得

$$ \bigcup^{\infty}_{n=1}K_n=\Omega且dist(K_n,\Omega^c){\ge}2/n,{\forall}n $$

【我们可以取，比如：$K_n=\left\{x{\in}\mathbb{R}^N;|x|{\le}n且dist(x,\Omega^c){\ge}2/n\right\}$】

设$g_n=\chi_{K_n}\overline{f}$且$f_n=\rho_n*g_n$，于是

$$ supp{\;}f_n{\subset}\overline{B(0,1/n)}+K_n{\subset}\Omega $$

于是$f_n{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$。另一方面，我们有

$$ \begin{align*} \|f_n-f\|&=\|f_n-\overline{f}\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}\\ &{\le}\|(\rho_n*g_n)-(\rho_n*\overline{f})\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}+\|(\rho_n*\overline{f})-\overline{f}\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}\\ &{\le}\|g_n-\overline{f}\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}+\|(\rho_n*\overline{f})-\overline{f}\|_{L^p(\mathbb{R}^N)} \end{align*} $$

最终，我们注意到$\|g_n-\overline{f}\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}{\to}0$由控制收敛定理，且$\|(\rho_n*\overline{f})-\overline{f}\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}{\to}0$由定理4.22。我们总结得到$\|f_n-f\|_{L^p(\Omega)}{\to}0$。

推论4.24

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集，且令$u{\in}L^1_{loc}(\Omega)$为使得

$$ \int{uf}=0,{\forall}f{\in}C_c^{\infty}(\Omega) $$

则$u=0$几乎处处在$\Omega$上成立。

证明：令$g{\in}L^{\infty}(\mathbb{R}^N)$为一个函数使得$supp{\;}g$为一个紧集包含于$\Omega$。设$g_n=\rho_n*g$，于是$g_n{\in}C^{\infty}_c(\Omega)$，$n$足够大。则我们有

$$ \int{ug_n}=0,{\forall}n\tag{19} $$

因为$g_n{\to}g$在$L^1(\mathbb{R}^N)$成立（定理4.22），则有一个子序列，由$g_n$定义的，使得$g_n{\to}g$在$\mathbb{R}^N$上几乎处处成立（见定理4.9）。更甚者，我们有$\|g_n\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^N)}{\le}\|g\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^N)}$。对（19）取到极限（由控制收敛定理），我们有

$$ \int{ug}=0\tag{20} $$

令$K$为一个在$\Omega$中的紧集。我们取定函数$g$为

$$ g= \begin{cases} sign{\;}u,{\quad}on{\;}K\\ 0,{\quad}on{\;}\mathbb{R}^N{\backslash}K \end{cases} $$

从（20）我们推出$\int_K|u|=0$且因此$u=0$几乎处处在$K$上成立。因为这个对任意的紧集$K{\subset}\Omega$成立，所以我们推出$u=0$几乎处处在$\Omega$上成立。

Last modification：February 4th, 2020 at 09:49 pm

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Lp空间卷积与正则化

怪使 • 2020 年 02 月 04 日

Haim4

这一章节主要讲述$L^p$空间的卷积与正则化

4.4 卷积与正则化

我们首先定义一个函数$f{\in}L^1(\mathbb{R}^N)$和一个函数$g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$的卷积。

定理4.15

$$ (f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^N}f(x-y)g(y)dy $$

另外$f*g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$且

$$ \|f*g\|_p{\le}\|f\|_1\|g\|_p $$

证明：当$p=\infty$时结论是显然的。我们考虑两个情况：

（1）$p=1$。

（2）$1<p<\infty$。

情况（1）：$p=1$。设$F(x,y)=f(x-y)g(y)$。

对于几乎处处$y{\in}\mathbb{R}^N$，我们有

$$ \int_{\mathbb{R}^N}|F(x,y)|dx=|g(y)|\int_{\mathbb{R}^N}|f(x-y)|dx=|g(y)|\|f\|_1<\infty $$

且，更甚者，

$$ \int_{\mathbb{R}^N}dy\int_{\mathbb{R}^N}|F(x,y)|dx=\|g\|_1\|f\|_1<\infty $$

我们可以从Tonelli定理（定理4.4）推断出$F{\in}L^1(\mathbb{R}^N{\times}\mathbb{R}^N)$。应用富比尼定理（定理4.5），我们可以看到

$$ \int_{\mathbb{R}^N}|F(x,y)|dy<\infty，对几乎处处x{\in}\mathbb{R}^N $$

且更甚者，

$$ \int_{\mathbb{R}^N}dx\int_{\mathbb{R}^N}|F(x,y)|dy=\int_{\mathbb{R}^N}dy\int_{\mathbb{R}^N}|F(x,y)|dx=\|f\|_1\|g\|_1 $$

当$p=1$时这正是定理4.15的结论。

情况（2）：$1<p<\infty$，由情况（1）我们知道对于几乎处处固定的$x{\in}\mathbb{R}^N$，函数$y{\mapsto}|f(x-y)||g(y)|^p$是在$\mathbb{R}^N$是可积的，那就是

$$ |f(x-y)|^{1/p}|g(y)|{\in}L^p_y(\mathbb{R}^N) $$

因为$|f(x,y)|^{1/p'}{\in}L_y^{p'}(\mathbb{R}^N)$，我们可以由赫尔德不等式推出

$$ |f(x-y)||g(y)|=|f(x-y)|^{1/p'}|f(x-y)|^{1/p}|g(y)|{\in}L^1_y(\mathbb{R}^N) $$

且

$$ \int_{\mathbb{R}^N}|f(x-y)||g(y)|dy{\le}\|f\|_1^{1/p'}(\int_{\mathbb{R}^N}|f(x-y)||g(y)|^pdy)^{1/p} $$

这就是

$$ |(f*g)(x)|^p{\le}\|f\|_1^{p/p'}(|f|*|g|^p)(x) $$

我们可以总结，由情况（1），有$f*g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$且

$$ \|f*g\|_p^p{\le}\|f\|_1^{p/p'}\|f\|_1\|g\|_{p}^p $$

这也就是

$$ \|f*g\|_p{\le}\|f\|_1\|g\|_p $$

记号

在$\mathbb{R}^N$上给定一个函数$f$，我们设$\breve{f}(x)=f(-x)$。

命题4.16

令$f{\in}L^1(\mathbb{R}^N),g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$且$h{\in}L^{p'}(\mathbb{R}^N)$。则我们有

$$ \int_{\mathbb{R}^N}(f*g)h=\int_{\mathbb{R}^N}g(\breve{f}*h) $$

证明：函数$F(x,y)=f(x-y)g(y)h(x)$属于$L^1(\mathbb{R}^N{\times}\mathbb{R}^N)$，因为

$$ \int|h(x)|dx\int|f(x-y)||g(y)|dy<\infty $$

由定理4.15和赫尔德不等式，因此我们有

$$ \begin{align*} \int(f*g)(x)h(x)dx&=\int{dx}\int{F(x,y)}dy=\int{dy}\int{F(x,y)}dx\\ &=\int{g(y)}(\breve{f}*h)(y)dy \end{align*} $$

支集与卷积

命题4.17

则$f=0$几乎处处在$w$上成立。

由定义，$supp{\;}f$是在$\mathbb{R}^N$中$w$的补集。

（2）如果$f$是在$\mathbb{R}^N$是一个连续函数，容易验证在新的定义下，$supp{\;}f$与往常的定义一样。

命题4.18

令$f{\in}L^1(\mathbb{R}^N)$与$g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则

$$ supp(f*g){\subset}\overline{supp{\;}f+supp{\;}g} $$

证明：固定$x{\in}\mathbb{R}^N$使得函数$y{\mapsto}f(x-y)g(y)$是可积的（定理4.15）。我们有

$$ (f*g)(x)=\int{f(x-y)}g(y)dy=\int_{(x-supp{\;}f){\cap}supp{\;}g}f(x-y)g(y)dy $$

如果$x{\notin}supp{\;}f+supp{\;}g$，则$(x-supp{\;}f){\cap}supp{\;}g=\varnothing$且因此$(f*g)(x)=0$。因此

$$ (f*g)(x)=0{\quad}a.e.{\;}on{\;}(supp{\;}f+supp{\;}g)^c $$

特别地

$$ (f*g)(x)=0{\quad}a.e.{\;}on{\;}Int[(supp{\;}f+supp{\;}g)^c] $$

且因此

$$ supp(f*g){\subset}\overline{supp{\;}f+supp{\;}g} $$

注：如果$f$与$g$都有紧支集，则$f*g$也有紧支集。然而$f*g$不一定有紧支集如果仅仅其中一个有紧支集。

定义

注意到如果$f{\in}L^p_{loc}(\Omega)$，则$f{\in}L^1_{loc}(\Omega)$。

命题4.19

令$f{\in}C_c(\mathbb{R}^N)$且$g{\in}L^1_{loc}(\mathbb{R}^N)$。则$(f*g)(x)$是良定的，对于任意$x{\in}\mathbb{R}^N$，且更甚者$(f*g){\in}C(\mathbb{R}^N)$。

证明：注意到对每个$x{\in}\mathbb{R}^N$，函数$y{\mapsto}f(x-y)g(y)$是在$\mathbb{R}^N$上可积的。且因此$(f*g)(x)$是对每个$x{\in}\mathbb{R}^N$定义了的。

$$ |f(x_n-y)-f(x-y)|{\le}\varepsilon_n\chi_K(y),{\forall}n,{\forall}y{\in}\mathbb{R}^N $$

其中$\varepsilon_n{\to}0$，我们推出

$$ |(f*g)(x_n)-(f*g)(x)|{\le}\varepsilon_n\int_{K}|g(y)|dy{\to}0 $$

记号

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集

$C(\Omega)$是在$\Omega$上由连续函数组成的空间

$C^k(\Omega)$是在$\Omega$上由$k$次可微函数组成的空间（$k{\ge}1$为整数）

$C^{\infty}(\Omega)=\cap_k{C^k(\Omega)}$

$C_c(\Omega)$是在$\Omega$上带有紧支集的连续函数组成的空间，也即：在某个紧集$K{\subset}\Omega$外消逝

$C_c^k(\Omega)=C^k(\Omega){\cap}C_c(\Omega)$。

$C_c^{\infty}(\Omega)=C^{\infty}(\Omega){\cap}C_c(\Omega)$。

（有些作者会用$\mathcal{D}(\Omega)$或者$C^{\infty}_0(\Omega)$代替$C^{\infty}_c(\Omega)$）

如果$f{\in}C^1(\Omega)$，它的导数定义为

$$ \nabla{f}=(\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}},\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}},{\cdots},\frac{\partial{f}}{\partial{x_N}}) $$

如果$f{\in}C^k(\Omega)$，且$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,{\cdots},\alpha_N)$是一个长度的多指标$|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+{\cdots}+\alpha_N$，比$k$小，我们记

$$ D^{\alpha}f=\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial{x_1^{\alpha_1}}}\frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial{x_2^{\alpha_2}}}{\cdots} \frac{\partial^{\alpha_N}}{\partial{x_N^{\alpha_N}}}f $$

命题4.20

令$f{\in}C_c^k(\mathbb{R}^N)(k{\ge}1)$且令$g{\in}L^1_{loc}(\mathbb{R}^N)$。则$f*g{\in}C^k(\mathbb{R}^N)$且

$$ D^{\alpha}(f*g)=(D^{\alpha}f)*g,{\forall}\alpha,|\alpha|{\le}k $$

特别地，如果$f{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$且$g{\in}L^1_{loc}(\mathbb{R}^N)$，则$f*g{\in}C^{\infty}(\mathbb{R}^N)$。

证明：由归纳法足够考虑情况$k=1$时，给定$x{\in}\mathbb{R}^N$，我们断言$f*g$在$x$处可微且

$$ \nabla{(f*g)}(x)=(\nabla{f})*g(x) $$

令$h{\in}\mathbb{R}^N$，其中$|h|<1$。我们有，对于所有的$y{\in}\mathbb{R}^N$，

$$ |f(x+h-y)-f(x-y)-h{\cdot}\nabla{f(x-y)}|\\ =|\int^1_0[h{\cdot}\nabla{f(x+sh-y)}-h{\cdot}{\nabla}f(x-y)]ds|{\le}|h|\varepsilon(|h|) $$

其中$\varepsilon(|h|){\to}0$当$|h|{\to}0$（因为${\nabla}f$在$\mathbb{R}^N$上一致连续）

令$K$为在$\mathbb{R}^N$中一个固定紧集，足够大使得$x+B(0,1)-supp{\;}f{\subset}K$。我们有

$$ f(x+h-y)-f(x-y)-h{\cdot}{\nabla}f(x-y)=0,{\forall}y{\notin}K,{\forall}h{\in}B(0,1) $$

且因此

$$ |f(x+h-y)-f(x-y)-h{\cdot}\nabla{f(x-y)}|{\le}|h|\varepsilon(|h|)\chi_K(y),{\forall}y{\in}\mathbb{R}^N,{\forall}h{\in}B(0,1) $$

我们总结得，对于$h{\in}B(0,1)$

$$ |(f*g)(x+h)-(f*g)(x)-h{\cdot}({\nabla}f*g)(x)|{\le}|h|\varepsilon(|h|)\int_{K}|g(y)|dy $$

于是$f*g$是在$x$处可微的，且${\nabla}(f*g)(x)=({\nabla}f)*g(x)$。

磨光算子

定义

一个磨光序列$(\rho_n)_{n{\ge}1}$是在$\mathbb{R}^N$上的任意函数序列，使得

$$ \rho_n{\in}C^{\infty}_c(\mathbb{R}^N),supp{\;}\rho_n{\subset}\overline{B(0,1/n)},\int{\rho_n}=1,\rho_n{\ge}0于\mathbb{R}^N $$

在下面我们将系统地用记号$(\rho_n)$来定义磨光序列。

$$ \rho(x)= \begin{cases} e^{1/(|x|^2-1)},{\quad}if|x|<1\\ 0{\quad}if|x|>1 \end{cases} $$

我们用令$\rho_n(x)=Cn^N\rho(nx)$，其中$C=1/\int{\rho}$来获得一个磨光序列。

命题4.21

假设$f{\in}C(\mathbb{R}^N)$。则$(\rho_n*f)\underset{n{\to}\infty}{\to}f$在$\mathbb{R}^N$的紧集上一致收敛。

证明：令$K{\subset}\mathbb{R}^N$为一个固定的紧集，给定$\varepsilon>0$，则存在$\delta>0$（依赖于$K$和$\varepsilon$）使得

$$ |f(x-y)-f(x)|<\varepsilon,{\forall}x{\in}K,{\forall}y{\in}B(0,\delta) $$

我们有，对于$x{\in}\mathbb{R}^N$，

$$ \begin{align*} (\rho_n*f)(x)&=\int[f(x-y)-f(x)]\rho_n(y)dy\\ &=\int_{B(0,1/n)}[f(x-y)-f(x)]\rho_n(y)dy \end{align*} $$

对于$n>1/\delta$且$x{\in}K$，我们得到

$$ [(\rho_n*f)(x)-f(x)]{\le}\varepsilon\int{\rho_n}=\varepsilon $$

定理4.22

假设$f{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$其中$1{\le}p<\infty$。则在$L^p(\mathbb{R}^N)$上$(\rho_n*f)\underset{n{\to}\infty}{\to}f$。

$$ supp{\;}(\rho_n*f_1){\subset}\overline{B(0,1/n)}+supp{\;}f_1{\subset}\overline{B(0,1)}+supp{\;}f_1 $$

是一个固定的紧集。于是

$$ \|(\rho_n*f_1)-f_1\|_p\underset{n{\to}\infty}{\to}0 $$

最终，我们记

$$ (\rho_n*f)-f=[\rho_n*(f-f_1)]+[(\rho_n*f_1)-f_1]+[f_1-f] $$

且因此

$$ \|(\rho_n*f)-f\|_p{\le}2\|f-f_1\|_p+\|(\rho_n*f_1)-f_1\|_p $$

（由定理4.15）

我们总结得到

$$ \underset{n{\to}\infty}{\lim\sup}\|(\rho_n*f)-f\|_p{\le}2\varepsilon,{\forall}\varepsilon>0 $$

且因此$\lim_{n{\to}\infty}\|(\rho_n*f)-f\|_p=0$。

推论4.23

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集，则$C_c^{\infty}(\Omega)$是在$L^p(\Omega)$中稠密的，对于任意$1{\le}p<\infty$。

证明：给定$f{\in}L^p(\Omega)$我们设

$$ \overline{f}(x)= \begin{cases} f(x){\quad}if x{\in}\Omega\\ 0{\quad}if x{\in}\mathbb{R}{\backslash}\Omega \end{cases} $$

于是$\overline{f}{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$。

令$(K_n)$为在$\mathbb{R}^N$中的一列紧集，使得

$$ \bigcup^{\infty}_{n=1}K_n=\Omega且dist(K_n,\Omega^c){\ge}2/n,{\forall}n $$

【我们可以取，比如：$K_n=\left\{x{\in}\mathbb{R}^N;|x|{\le}n且dist(x,\Omega^c){\ge}2/n\right\}$】

设$g_n=\chi_{K_n}\overline{f}$且$f_n=\rho_n*g_n$，于是

$$ supp{\;}f_n{\subset}\overline{B(0,1/n)}+K_n{\subset}\Omega $$

于是$f_n{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$。另一方面，我们有

推论4.24

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集，且令$u{\in}L^1_{loc}(\Omega)$为使得

$$ \int{uf}=0,{\forall}f{\in}C_c^{\infty}(\Omega) $$

则$u=0$几乎处处在$\Omega$上成立。

证明：令$g{\in}L^{\infty}(\mathbb{R}^N)$为一个函数使得$supp{\;}g$为一个紧集包含于$\Omega$。设$g_n=\rho_n*g$，于是$g_n{\in}C^{\infty}_c(\Omega)$，$n$足够大。则我们有

$$ \int{ug_n}=0,{\forall}n\tag{19} $$

$$ \int{ug}=0\tag{20} $$

令$K$为一个在$\Omega$中的紧集。我们取定函数$g$为

$$ g= \begin{cases} sign{\;}u,{\quad}on{\;}K\\ 0,{\quad}on{\;}\mathbb{R}^N{\backslash}K \end{cases} $$

从（20）我们推出$\int_K|u|=0$且因此$u=0$几乎处处在$K$上成立。因为这个对任意的紧集$K{\subset}\Omega$成立，所以我们推出$u=0$几乎处处在$\Omega$上成立。

Haim4

4.4 卷积与正则化

定理4.15

记号

命题4.16

支集与卷积

命题4.17

命题4.18

定义

命题4.19

记号

命题4.20

磨光算子

定义

命题4.21

定理4.22

推论4.23

推论4.24