Haim4
这一章节主要讲述$L^p$空间的紧性质
4.5 在$L^p$中的强紧原则
这个很重要,对于是否能够决定一个在$L^p(\Omega)$中的函数列有在$L^p(\Omega)$的紧闭包(对于强拓扑)。我们回忆Ascoli-Arzela定理回答了在$C(K)$上相同的问题,连续函数空间在紧可测空间$K$,且值在$\mathbb{R}$上的情况。
定理4.25
Ascoli-Arzela:令$K$为一个紧可测空间且令$\mathcal{H}$为一个$C(K)$上的有界子集。假设$\mathcal{H}$为一致等度连续的,也即是
$$ {\forall}\varepsilon>0,{\exists}\delta>0,s.t.d(x_1,x_2)<\delta{\Rightarrow}|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon,{\forall}f{\in}\mathcal{H}\tag{21} $$
则$C(K)$中$\mathcal{H}$的闭包是紧的。
记号
(函数的平移),我们设$(\tau_h{f})(x)=f(x+h),x{\in}\mathbb{R}^N,h{\in}\mathbb{R}^N$。
下面的定理与推论是关于Ascoli-Arzela的$L^p$版本。
定理4.26
Kolmogorov-M.Riesz-Frechet:令$\mathcal{F}$为一个在$L^p(\mathbb{R}^N)$中的有界集,其中$1{\le}p<\infty$,假设
$$ \lim_{|h|{\to}0}\|{\tau_h}f-f\|_p=0,在f{\in}\mathcal{F}一致成立 $$
也即${\forall}\varepsilon>0,{\exists}\delta>0$,使得$\|\tau_h{f}-f\|_p{\le}\varepsilon,{\forall}f{\in}\mathcal{F},{\forall}h{\in}\mathbb{R}^N$,其中$|h|<\delta$。
则在$L^p(\Omega)$中$\mathcal{F}_{|\Omega}$的闭包是紧的,对于任意有限可测集$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$。
【这里$\mathcal{F}_{|\Omega}$定义了限制在$\Omega$上$\mathcal{F}$中的函数】
证明分为四个步骤:
步骤1:我们断言
$$ \|(\rho_n*f)-f\|_{L^p{(\mathbb{R}^N)}}{\le}\varepsilon,{\forall}f{\in}\mathcal{F},{\forall}n>1/\delta\tag{23} $$
事实上,我们有
$$ \begin{align*} |(\rho_n*f)(x)-f(x)|&{\le}\int{|f(x-y)-f(x)|\rho_n(y)}dy\\ &{\le}[\int{|f(x-y)-f(x)|^p}\rho_n(y)dy]^{1/p} \end{align*} $$
由赫尔德不等式。
则我们得到
$$ \begin{align*} \int{|(\rho_n*f)(x)-f(x)|^p}dx&{\le} \int\int{|f(x-y)-f(x)|^p\rho_n(y)}dxdy\\ &=\int_{B(0,1/n)}\rho_n(y)dy\int{|f(x-y)-f(x)|^p}dx{\le}\varepsilon^p \end{align*} $$
其中$1/n<\delta$。
步骤2:我们断言
$$ \|(\rho_n*f)-f\|_{L^{\infty}{(\mathbb{R}^N)}}{\le}C_n\|f\|_{L^{p}{(\mathbb{R}^N)}},{\forall}f{\in}\mathcal{F}\tag{24} $$
且
$$ |(\rho_n*f)(x_1)-(\rho_n*f)(x_2)|{\le}C_n\|f\|_p|x_1-x_2|,{\forall}f{\in}\mathcal{F},{\forall}x_1,x_2{\in}\mathbb{R}^N,\tag{25} $$
其中$C_n$仅仅依赖于$n$。
不等式(24)是从赫尔德不等式,使得$C_n=\|\rho_n\|_{p'}$得到的。另一方面,我们有$\nabla{(\rho_n*f)}=(\nabla{\rho_n})*f$且因此
$$ \|{\nabla}(\rho_n*f)\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^N)}{\le}\|{\nabla}\rho_n\|_{L^{p'}(\mathbb{R}^N)}\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^N)} $$
因此我们得到(25),其中$C_n=\|{\nabla}\rho_n\|_{L^{p'}(\mathbb{R}^N)}$。
步骤3:给定$\varepsilon>0$且$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为有限测度集,则有一个$\Omega$中的有界可测集使得
$$ \|f\|_{L^p(\Omega{\backslash}w)}<\varepsilon,{\forall}f{\in}\mathcal{F},\tag{26} $$
事实上,我们记
$$ \|f\|_{L^p(\Omega{\backslash}w)}<\|f-(\rho_n*f)\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}+\|\rho_n*f\|_{L^p(\Omega{\backslash}w)} $$
考虑到(24)足够取定一个$w$使得$\Omega\backslash{w}$足够小
步骤4:总结。因为$L^p(\Omega)$是完备的。足够验证$\mathcal{F}_{|\Omega}$为完全有界集。也即,给定任意$\varepsilon>0$,存在一个$F_{|\Omega}$的有限覆盖是半径为$\varepsilon$的小球。给定$\varepsilon>0$,我们固定一个有界可测集合$w$使得(26)成立。同时我们固定$n>1/\delta$。集族$\mathcal{H}=(\rho_n*\mathcal{F})_{|\overline{w}}$满足Ascoli-Arzela定理的假设(由步骤2).因此$\mathcal{H}$有在$C(\overline{w})$中的紧闭包。因此$\mathcal{H}$有在$L^p(w)$中的紧闭包。于是我们可以用半径为$\varepsilon$的有限个小球在$L^p(w)$中覆盖$\mathcal{H}$,称
$$ \mathcal{H}{\subset}\bigcup_iB(g_i,\varepsilon),g_i{\in}L^p(w) $$
考虑函数$\overline{g}_i:\Omega{\to}\mathbb{R}$定义为
$$ \overline{g}_i=\begin{cases} g_i{\quad}on{\;}w\\ 0{\quad}on{\;}\Omega{\backslash}w \end{cases} $$
且球$B(\overline{g}_i,3\varepsilon)$在$L^p(\Omega)$。
我们断言它们覆盖了$\mathcal{F}_{|\Omega}$。事实上,给定$f{\in}\mathcal{F}$存在某个$i$使得
$$ \|(\rho_n*f)-g_i\|_{L^p(w)}<\varepsilon $$
因为
$$ \|f-\overline{g}_i\|^p_{L^p(\Omega)}=\int_{\Omega{\backslash}w}|f|^p+\int_w|f-g_i|^p $$
我们有,由(26)
$$ \begin{align*} \|f-\overline{g}_i\|_{L^p(\Omega)}&{\le}\varepsilon+\|f-g_i\|_{L^p(w)}\\ &{\le}\varepsilon+\|f-(\rho_n*f)\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}+\|(\rho_n*f)-g_i\|_{L^p(w)}<3\varepsilon \end{align*} $$
我们总结到$\mathcal{F}_{|\Omega}$在$L^p(\Omega)$上有紧闭包。
注:当试着去阐述一族在$L^p(\Omega)$中的$\mathcal{F}$有紧闭包,且$\Omega$有界,经常简单的地延拓到$\mathbb{R}^N$上的函数。用定理4.26然后在考虑在$\Omega$上的限制即可阐述完成
注:在定理4.26的假设下,我们一般不能总结出$\mathcal{F}$在$L^p(\mathbb{R}^N)$上有紧闭包。这需要另外的条件,如下:
推论4.27
令$\mathcal{F}$是在$L^p(\mathcal{R}^N)$上的一个有界集,其中$1{\le}p<\infty$。假设(22)且有
$$ {\forall}\varepsilon>0,{\exists}\Omega{\subset}\mathbb{R}^N,有界且使得\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^N{\backslash}\Omega)}<\varepsilon,{\forall}f{\in}\mathcal{F}\tag{27} $$
则$\mathcal{F}$在$L^p(\mathbb{R}^N)$上有紧闭包。
证明:给定$\varepsilon>0$,我们固定$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$有界可测使得(27)成立。由定理4.26我们知道$\mathcal{F}_{|\Omega}$在$L^p(\Omega)$上有紧闭包。因此我们可以用在$L^p(\Omega)$中有限的半径为$\varepsilon$的小球覆盖$\mathcal{F}_{|\Omega}$。称
$$ \mathcal{F}_{|\Omega}{\subset}\bigcup_iB(g_i,\varepsilon),g_i{\in}L^p(\Omega) $$
设
$$ \overline{g}_i(x)= \begin{cases} g_i(x){\quad}in{\;}\Omega\\ 0{\quad}on{\;}\mathbb{R}^N{\backslash}\Omega \end{cases} $$
显然$\mathcal{F}$是由在$L^p(\mathbb{R}^N)$中的球$B(\overline{g}_i,2\varepsilon)$覆盖。
注:推论4.27逆命题是成立的,因此我们有在$L^p(\mathbb{R}^N)$的紧集的一个完备特征函数。
我们用一个非常有用的定理4.26的应用总结一下。
推论4.28
令$G$为在$L^1(\mathbb{R}^N)$上的一个固定的函数且令
$$ \mathcal{F}=G*\mathcal{B} $$
其中$\mathcal{B}$是在$L^p(\mathbb{R}^N)$上的一个有界集,其$1{\le}p<\infty$。则$\mathcal{F}_{|\Omega}$在$L^p(\Omega)$上对于任意有限可测集$\Omega$有紧闭包。
证明:显然$\mathcal{F}$在$L^p(\mathbb{R}^N)$上有界。另一方面,如果我们记$f=G*u$,其中$u{\in}\mathcal{B}$,我们有
$$ \|\tau_h{f}-f\|_p=\|(\tau_h{G}-G)*u\|_p{\le}C\|\tau_h{G}-G\|_1 $$
且我们用下面这个引理完善证明。
引理4.3
令$G{\in}L^q(\mathbb{R}^N)$,其中$1{\le}p<\infty$
则
$$ \lim_{h{\to}0}\|{\tau_h}G-G\|_q=0 $$
证明:给定$\varepsilon>0$,则存在(由定理4.12)一个函数$G_1{\in}C_c(\mathbb{R}^N)$使得$\|G-G_1\|_q<\varepsilon$。
我们记
$$ \begin{align*} \|{\tau_h}G-G\|_q&{\le}\|{\tau_h}G-{\tau_h}G_1\|_q+\|{\tau_h}G_1-G_1\|_q+\|G_1-G\|_q\\ &{\le}2\varepsilon+\|{\tau_h}G_1-G_1\|_q \end{align*} $$
因为$\lim_{h{\to}0}\|{\tau_h}G_1-G_1\|_q=0$,我们可以知道
$$ \underset{h{\to}0}{\lim\sup}\|{\tau_h}G-G\|_q{\le}2\varepsilon,{\forall}\varepsilon>0 $$
增加的内容
1.叶果洛夫定理
在4.1节的一些积分定理的积过,其中一个未被提及的重要结果如下:
定理4.29
叶果洛夫:假设$\Omega$是一个可测空间且有限测度,令$(f_n)$为一个在$\Omega$上的可测函数列,使得
$$ f_n(x){\to}f(x){\;}a.e.{\;}on\Omega,其中|f(x)|<\infty,a.e. $$
则${\forall}\varepsilon>0,{\exists}A{\subset}\Omega$是可测的,且使得$|\Omega{\backslash}A|<\varepsilon$,且$f_n{\to}f$在$A$上一致收敛。
叶果洛夫定理:从点点收敛得到一致收敛。
2 在$L^1$上的弱紧集
因为$L^1$不是自反的,是在$L^1$上有界的,而这个对于弱拓扑$\sigma(L^1,L^{\infty})$上没有什么重要作用。下面的结果提供了一个有用的在$L^1$上弱紧集的特征。
定理4.30
Dunford-Pettis:令$\mathcal{F}$为在$L^1(\Omega)$上一个有界的集合。则$\mathcal{F}$在弱拓扑$\sigma(L^1,L^{\infty})$上有紧闭包当且仅当$\mathcal{F}$为等度可积的,也就是
$$ {\forall}\varepsilon>0,{\exists}\delta>0,s.t.\int_A|f|<\varepsilon,{\forall}A{\subset}\Omega是可测的,其中|A|<\delta,{\forall}f{\in}\mathcal{F} $$
且
$$ {\forall}\varepsilon>0,{\exists}w{\subset}\Omega可测,其中|w|<\infty {\;}s.t.\int_{\Omega{\backslash}w}|f|<\varepsilon,{\forall}f{\in}\mathcal{F} $$
3. 拉东测度
我们已经指出,$L^1$上的有界集合是没有紧性质的,为了克服这个紧性的缺点,有时候需要将$L^1$嵌入一个更大的空间:拉东测度空间。
假设,例如,$\Omega$是一个在$\mathbb{R}^N$中的一个有界开集(具备勒贝格测度)。考虑空间$E=C(\overline{\Omega})$装备范数$\|u\|=\sup_{x{\in}\overline{\Omega}}|u(x)|$。它的对偶空间,由$\mathcal{M}(\overline{\Omega})$定义,被称为在$\overline{\Omega}$上的拉东测度空间,其在$\mathcal{M}(\overline{\Omega})$上的弱$*$拓扑有时候被称为“vague”(泛)拓扑。
我们将定义$L^1(\Omega)$为$\mathcal{M}(\overline{\Omega})$的一个子空间。为了这个想法我们引出映射$L^1(\Omega){\to}\mathcal{M}(\overline{\Omega})$定义如下。给定$f{\in}L^1(\Omega)$,映射$u{\in}C(\overline{\Omega}){\mapsto}\int_{\Omega}fudx$为一个连续线性泛函在$C(\overline{\Omega})$,我们给出$Tf$,于是
$$ \left \langle Tf,u \right \rangle_{E^*,E} =\int_{\Omega}fudx,{\forall}u{\in}E $$
显然$T$是线性的且更甚者,它是等距的,因为
$$ \|Tf\|_{\mathcal{M}(\overline{\Omega})}=\sup_{u{\in}E\\\|u\|{\le}1}\int_{\Omega}fu=\|f\|_1 $$
用$T$我们可以定义$L^1(\Omega)$为$\mathcal{M}(\overline{\Omega})$的一个子空间。因为$\mathcal{M}(\overline{\Omega})$是可分空间$C(\overline{\Omega})$的对偶空间,在弱$*$拓扑中有某些紧性质。特别地,如果$(f_n)$是在$L^1(\Omega)$中的有界序列,则存在一个子序列$(f_{n_k})$和一个拉东测度$\mu$,使得$f_{n_k}\stackrel{*}{\rightharpoonup} \mu$在弱$*$拓扑$\sigma(E^*,E)$中,也就是
$$ \int_{\Omega}f_{n_k}u{\to}\left \langle \mu,u \right \rangle,{\forall}u{\in}C(\overline{\Omega}) $$
例如,一个在$L^1$中的序列可以收敛到一个狄拉克测度关于弱$*$拓扑。一些关于拉东测度更为深刻的性质会在后面讨论。
专门术语“测度”可以用下面的结果证明,这个结果联系了上面的结果和理论上的测度记号。
定理4.31
里斯表示定理:令$\mu$为一个拉东测度在$\overline{\Omega}$上,则存在一个标志博雷尔测度$v$在$\overline{\Omega}$上(也即,定义在$\overline{\Omega}$上的博雷尔集合的一个测度)使得
$$ \left \langle \mu,u \right \rangle=\int_{\overline{\Omega}}udv,{\forall}u{\in}C(\overline{\Omega}) $$
经常用子集来代替空间$E=C(\overline{\Omega})$,子集为
$$ E_0=\left\{f{\in}C(\overline{\Omega});f=0在\overline{\Omega}的边界上\right\} $$
$E_0$的对偶是由$\mathcal{M}(\Omega)$给出的(与$\mathcal{M}(\overline{\Omega})$相反)。里斯表示定理在附加条件$|v|=0$($\overline{\Omega}$的边界上)依旧有效。