Haim5
本章主要介绍希尔伯特空间的定义及其基本性质，与其在闭凸集上的关系。
5.1 定义与基本性质
首先介绍的是内积的性质，其满足三个性质：对称性，非负性与正定性。
然后可以从内积这三个性质诱导出范数，直接可以证明这个满足范数三性质：正定，正齐次，三角不等式。
然后我们用一个极化法则说明：内积必定可以诱导出范数，但是范数要成为内积必须满足极化法则。
最后定义一个希尔伯特空间：
希尔伯特空间指的是：带有内积并且对其诱导出的范数完备的向量空间。
给个例子：$L^2(\Omega)$带有内积
$$ (u,v)=\int_{\Omega}u(x)v(x)d{\mu} $$
是一个希尔伯特空间。（满足堆成，非负与正定性）
然后介绍其性质。
命题5.1
这个命题告诉我们希尔伯特是一致凸的且因此是自反的。
其证明仅需用到极化法则即可。
定理5.2 投影
这个定理讲述了从希尔伯特空间到闭凸集的投影。（其实就是在希尔伯特空间讨论其投影）
令$K{\subset}H$为一个闭凸集，则对任意$f{\in}H$，存在一个唯一的元素$u{\in}K$，使得
$$ |f-u|=\min_{v{\in}K}|f-v|=dist(f,K) $$
更甚者，其特征是性质
$$ u{\in}K,(f-u,v-u){\le}0,{\forall}v{\in}K $$
上面这个投影记为$u=P_Kf$。
这里可以看到对于极小化的问题，在希尔伯特空间上，是与投影联系起来的。
同时，我们推广一下有：
令$K{\subset}E$为一个非空闭凸集在一个一致凸的巴拿赫空间$E$内。则对任意$f{\in}E$存在唯一的元素$u{\in}E$使得
$$ \|f-u\|=\min_{v{\in}K}\|f-v\|=dist(f,K) $$
命题5.3 投影性质
这个命题告诉我们，两个元素投影之间的距离不大于两个元素之间的距离。
令$K{\subset}H$为一个非空闭凸集，则$P_K$为非递增距离。也即
$$ |P_Kf_1-P_Kf_2|{\le}|f_1-f_2|,{\forall}f_1,f_2{\in}H $$
这个证明并不难，用到投影的性质特征即可。
推论5.4 正交投影
这个推论给出正交投影的定义及特征：
假设$M{\subset}H$为一个闭的线性子空间，令$f{\in}H$，则$u=P_Mf$是以下面为特征的线性算子，并且称为正交投影
$$ u{\in}M,(f-u,v)=0,{\forall}v{\in}M $$
5.2 希尔伯特空间的对偶空间
这部分讲的是希尔伯特空间的对偶空间，这个告诉我们希尔伯特空间到底有多好。
定理5.5 里斯表示
这个定理称为里斯表示定理，告诉了我们希尔伯特空间的对偶空间其实是自己。
给定任意$\varphi{\in}H^*$，则存在唯一的$f{\in}H$使得
$$ \left \langle \varphi,u \right \rangle=(f,u),{\forall} u{\in}H $$
更甚者
$$ |f|=\|\varphi\|_{H^*} $$
这意味着在其对偶空间中的元素，是可以通过原空间的某个元素表示出来的，并且其范数可以由原空间的某个元素的范数表示出来。
这本书给出了两个证明，用到希尔伯特空间自反性的证明是比较简单的。
容易看到，即便$H$不加上一致凸条件，也能证明是自反的。（这里用两次里斯-费舍尔同构即可）
假设$M{\subset}H$，而$H^*$为$H$定义的对偶空间，则可以导出$M^{\perp}{\subset}H^*$。也就是子空间的补空间是其对偶空间的子空间。
于是在希尔伯特空间中，任意闭子空间有一个补空间。
5.3 两个重要定理
斯坦帕斯基定理与拉克丝-密格拉蒙定理
这里首先给出了双线性形式并且给出了强制的说明：
定义
一个双线性形式$a:H{\times}H{\to}\mathbb{R}$称为
（1）连续的，指的是：存在一个常数$C$使得
$$ |a(u,v)|{\le}C|u||v|,{\forall}u,v{\in}H $$
（2）强制的，指的是：存在一个常数$\alpha>0$使得
$$ a(u,v){\ge}\alpha|v|^2,{\forall}v{\in}H $$
定理5.6
斯坦帕斯基定理：假设$a(u,v)$为一个在$H$上的连续的强制的双线性形式。令$K{\subset}H$为一个非空的闭的且凸的子集。则，给定任意$\varphi{\in}H^*$，则存在一个唯一的元素$u{\in}K$使得
$$ a(u,v-u){\ge}\left \langle \varphi,v-u \right \rangle,{\forall}v{\in}K $$
这个定理告诉我们，对于在对偶空间上的任意元素，可以得到某个元素的双线性形式估计。
更甚者，如果$a$是对称的，则$u$的特征性质为：
$$ u{\in}K,\frac{1}{2}a(u,u)-\left \langle \varphi,u \right \rangle=\min_{v{\in}K}\left\{\frac{1}{2}a(v,v)-\left \langle \varphi,v \right \rangle \right\} $$
这个深刻的性质告诉我们，对于其对偶空间与对应元素的双线性形式，在上述形式下可以取到该形式的最小值。
而这个定理的证明是依赖于下面的巴拿赫不动点定理的。
定理5.7 巴拿赫不动点
令$X$为一个非空完备可测空间，且令$S:X{\to}X$是一个严格收缩映射，也即
$$ d(Sv_1,Sv_2){\le}kd(v_1,v_2),{\forall}v_1,v_2{\in}X,k<1 $$
则$S$有唯一的不动点，$u=Su$。
推论5.8
拉克丝-密格拉蒙定理：假设$a(u,v)$是一个在$H$上连续的强制的双线性形式。则，给定任意$\varphi{\in}H^*$，存在唯一的元素$u{\in}H$使得
$$ a(u,v)=\left \langle \varphi,v \right \rangle ,{\forall}v{\in}H\tag{17} $$
这里我们可以看到，对于对偶空间中的任意元素，是可以某个唯一原空间中元素，用双线性形式表示的。
更甚者，如果$a$是对称的，则$u$的特征性质为
$$ u{\in}H,且\frac{1}{2}a(u,u)-\left \langle \varphi,u \right \rangle=\min_{v{\in}H}\left\{\frac{1}{2}a(v,v)-\left \langle \varphi,v \right \rangle \right\} $$
这个深刻的性质告诉我们，对于其对偶空间与对应元素的双线性形式，在上述形式下可以取到该形式的最小值。
可以看到对于其特征性质，斯坦帕斯基定理与拉克丝-密格拉蒙定理，其区别在于拉克丝-密格拉蒙定理的要求更弱，不需要在闭凸子集里做。
而斯坦帕斯基定理则在闭凸子集里能取到一个估计。
并且拉克丝-密格拉蒙定理与线性椭圆方程的联系很密切，完美地联系了方程有最小化问题。粗略地来说就是：（17）说明了当$F$为函数$F(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-\left \langle \varphi,v \right \rangle $的时候，$F'(u)=0$。
5.4 希尔伯特和与正交基
这个部分其实就是那四个性质等价与正交基的构造方法。
最后补充的部分：
一，关于范数可以希尔伯特化的条件，也就是范数什么时候可以成为内积。
二，变分原理
三，单调算子与非线性方程的联系
四，特殊正交基，傅立叶系数
五，巴拿赫空间的绍德尔基。