一些典型函数或者算子的特点总结

在实变与泛函中，有许多典型函数与线性算子，对考察和理解一些概念：集合稠密性，空间完备性与函数的一致收敛等有重要作用。

例子1

定义函数列中的每个函数

$$ f_n(x)=\begin{cases}1{\quad}c+\frac{1}{n}{\le}x{\le}b\\n(x-c){\quad}c-\frac{1}{n}{\le}x{\le}c+\frac{1}{n}\\-1{\quad}a{\le}x{\le}c-\frac{1}{n}\end{cases}其中c{\in}(a,b) $$

这是一个分段函数，两边是常函数，而中间是线性函数连起来。

（1）$f_n(x){\in}C[a,b]$，容易发现是连续函数。

（2）逐点收敛，也即在$[a,b]$上的每一个点$f_n(x)$都收敛于一个不连续的函数

$$ f(x)=\begin{cases}1{\quad}c<x{\le}b\\0{\quad}x=c\\-1{\quad}a{\le}x<c\end{cases} $$

逐点收敛即将$x$取为一个具体的实数$x_0$，然后考察$\left\{f_n(x_0)\right\}$，显然$c<x_0{\le}b$时，$\left\{f_n(x_0)\right\}=\left\{1,1,1,{\cdots}\right\}$，这显然收敛于1，由此逐点考察就可以得到上面的收敛函数。

（3）该函数列不是$C[a,b]$中的基本点列。我们将$f_n(x)$看做Banach空间$C[a,b]$中的一个元素的时，就需要考察$f_n(x)$在该空间内定义的范数$\|{\cdot}\|_{\infty}$意义下是否收敛于该空间内的一个元素，显然上面的$f(x)$不是连续函数，因此不属于$C[a,b]$，那么$f_n(x)$收敛于什么元素呢？其实这个问题首要回答点列（这里不称为函数列）$f_n(x)$是否收敛，才能回答其收敛于什么元素。

要回答其是否收敛，首要考察其是否基本点列，于是有

$$ \|f_n(x)-f_m(x)\|_{\infty}=\max_{x{\in}[a,b]}|f_n(x)-f_m(x)|=|1-\frac{n}{m}| $$

我们知道对于基本点列（柯西）的定义：对于任意正数$\varepsilon$，存在$N(\varepsilon)>0$，使得当$n,m{\ge}N(\varepsilon)$时，$p(x_n,x_m)<\varepsilon$。照这个定义，上面当$m$任意大的时候，$n$是固定值，会发现$\|f_n(x)-f_m(x)\|_{\infty}=1$。而不是任意小的值，于是$\left\{f_n(x)\right\}$不是$C[a,b]$中的基本点列，于是不收敛。

特别注意基本点列的概念，比如点列$\left\{\sqrt{n}\right\}$没有极限，一定不是基本点列，但是任何两个相邻的点之间越来越小，因为有

$$ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\to}0(n{\to}\infty) $$

从这个例子就能观察到基本点列的概念不是相邻点或者相隔固定点数的两点之间距离越来越小，而是相隔任何点数的两点之间的距离越来越小。

$C[a,b]$是Banach空间，其完备性要求基本点列收敛，也即收敛到该空间内的一个元素。而$\left\{f_n(x)\right\}$就不是基本点列，因此也不用考察其收敛问题。所以和$C[a,b]$是Banach空间不矛盾。并且可以知道$C[a,b]$不是致密集，因为致密集中的任何一个点列都有收敛的子点列，而我们这里的$\left\{f_n(x)\right\}$点列，不是基本点列，故其子点列也不可能是基本点列。容易得出$C[a,b]$不是致密的。实际上我们知道$C[a,b]$是无限赋范空间，因此一定存在有界集不致密，因此$C[a,b]$不是致密集。

上面的分析就启发我们，以后只要涉及到收敛，我们就要立刻考虑是哪个空间的哪个点列的收敛问题，具体讲就是哪个点列在哪个定义的距离或者范数意义下的收敛。

（4）是$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$空间的基本点列。我们在上面考察的赋范空间$C[a,b]$中，它的范数定义是$\|f(x)\|_{\infty}=\max_{x{\in}[a,b]}|f(x)|$，这是默认的。现在我们重新定义范数为$\|{\cdot}\|_1$，那么$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$就是一个新的空间，显然$f_n(x)$是这个空间中的元素，接下来我们考察其在这个新空间内，点列$\left\{f_n(x)\right\}$是否基本点列。

$$ \|f_n-f_m\|_1=\int_{[a,b]}|f_n(x)-f_m(x)|dx=2|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|{\le}|\frac{2}{m}+\frac{2}{n}| $$

显然当$n,m{\to}\infty$时，$\|f_n-f_m\|_1{\to}0$，这表明$\left\{f_n\right\}$是$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$空间内的基本点列。我们容易知道$\left\{f_n\right\}$在$L^1[a,b]$空间是有极限的，也即上面逐点收敛的极限$f(x)$，也即$\|f_n(x)-f(x)\|_1{\to}0$，这个容易验证。问题是它在$C[a,b]$空间是否收敛呢？也即收敛到一个$C[a,b]$中的元素$g(x)$，使得$\|f_n(x)-g(x)\|_1{\to}0$，现在假设若存在：

$$ \|f-g\|=\|f_n-f+(g-f_n)\|{\le}\|f_n-f\|+\|f_n-g\|{\to}0(n{\to}0) $$

也即$\|f-g\|=0$，也即存在一个连续函数$g(x)$与一个跳跃函数$f(x)$几乎处处相等。显然这是不可能的，因此我们立刻得出点列$\left\{f_n(x)\right\}$是$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$空间的基本点列，但是在该空间不收敛，而在$L^1[a,b]$空间内是收敛的。由此可知：$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$一定不是Banach空间。说到这里，我们明白了为什么空间的完备性使用基本点列是否收敛来定义，就是因为一个点列是基本点列，但是它的极限可能不在该空间中，这就是说在该空间没有极限，尽管它是基本点列，但是只要适当扩展空间的范围就收敛了，也就是完备了。如果使用点列是否收敛来判断就不准确了，因为不收敛的点列范围太大了，比如 $\left\{n\right\}$也就是自然数数列就不收敛，这和完备性没有任何关系，因此使用基本点列是否收敛于空间的一个点来判断其完备性是最为恰当的，但是“空间的基本点列都收敛即为完备空间”。

上面的逻辑也就是：首先考察在该空间中的元素，如果按照范数不是基本点列，这个论点与空间完备性无关；如果按照范数是基本点列，但是收敛点不在这个空间内，说明空间装备这个范数是不完备的，可以完备化。

对于刚刚学习泛函分析的人来说，的确需要不停的提醒自己，这个函数只是空间中的一个点，微积分中讨论的所有函数性质都是实数域中的非线性函数，不能和泛函分析中讨论的线性算子混为一谈，但是我们将这些函数作为某一个空间的一点，就可以讨论这些点的一些性质。最为典型的就是将函数看作$L^p[a,b]$中的点，而作用在这些点的积分算子看作线性函数，这样一来就可以从空间的角度讨论函数的积分性质了。

$f_n(x)$函数可以用来理解基本点列取决于空间定义的范数，在$(C[a,b],\|{\cdot}\|_{\infty})$空间中不是基本点列，但是在$(C[a,b],\|{\cdot}\|_1)$空间中是基本点列。同时也可以用来判断空间的性质：判断$(C[a,b],\|{\cdot}\|_{\infty})$不是致密空间，也就是存在一个点列没有收敛的子点列。。另外也是一个很好说明逐点收敛和均匀收敛之间关系的例子，函数的逐点收敛只是实数点列的收敛问题，这和将函数看作空间中的点列收敛没有任何关系，是另一个概念。这也很好的说明了一致收敛的连续函数列为什么其极限函数也是连续函数，这个原因就是因为在 $C[a,b]$ 空间中有极限，即它的极限属于该空间，当然该函数是连续的了。其实讨论完备性的目的就是为了极限和有界线性算子能够交换，因为只要空间是完备的，那么其极限就在该空间中，那么有界线性算子就可以对它进行运算，有界线性算子是连续的，那么极限号就可以拿到线性算子里面去了，当然也可以从线性算子里面拿出来。这样的好处就是怎么容易计算怎么来，因为有的先求极限后进行算子映射容易，有的是先求算子映射后求极限容易。。为了这点事情，泛函分析费了很大的劲讲它，之所以费劲，就是因为这个有界线性算子是抽象的，包括所有的积分算子，微分算子等等。我们回忆一下高等数学讲这个问题，实变函数讲这个问题，复变函数讲这个问题，都是就事论事，讲的积分问题称为积分的极限问题，比如实变函数就有控制收敛定理，法图定理，levi定理等等，高等数学讲的是函数一致收敛问题等等。这些东西太零散了，泛函分析一个定理包含它们，那么就是对连续映射$f$来说

$$ \lim_{n{\to}\infty}f(x_n)=f(\lim_{n{\to}\infty}x_m) $$

从这里可以看出，要确保$x_n$的极限存在而且在同一个空间中才能用，也就是Banach空间。我们从这个角度可以重新考虑控制收敛定理的证明，那就是十分自然的事情了。

（5）$\left\{f_n(x)\right\}$在空间$C[a,b]$中是有界点列，但是没有收敛的子点列。在上面已经说明了，它没有任何一个收敛的子点列，而且它根本就不是基本点列，这和实数空间是不一致的，因为任何一个实数列，只要有界，一定要有收敛的子点列。

我们看$\left\{f_n(x)\right\}$在空间$C[a,b]$中不收敛，而且根本就不是基本点列，它和逐点收敛完全是两回事，在$C[a,b]$中$f_n(x)$是一个元素，是一个整体，完全没有$x$什么事情，既然不收敛，不是基本点列，说明它压根就不存在极限，因此它是有界闭集。我们知道实数域中有界闭集上的连续函数必然有上下确界，那么一般度量空间的有界闭集是否也有类似性质？比如我们这个例子$\left\{f_n(x)\right\}$是有界闭集，我们定义函数$g(x)=1/\int^1_0f(x)dx$，容易发现它是连续函数，但是该函数在有界闭集$\left\{f_n(x)\right\}$上没有最大值，因此可以看出来实数域中有界闭集的连续函数性质在这儿不成立，因此才有致密集定义的出现。

例子2

在闭区间$[0,1]$上作连续函数列$A=\left\{f_n(x)\right\},n=1,2,3,{\cdots}$其公式为

$$ f_n(x)=\begin{cases}0,{\quad}x{\ge}\frac{1}{n}\\1-nx,{\quad}x{\le}\frac{1}{n}\end{cases} $$

显然其逐点收敛于

$$ f_n(x)=\begin{cases}1,{\quad}x=0\\0,{\quad}x{\neq}0\end{cases} $$

这个函数与上面例子1的函数完全类似，可以用来说明以上所有关于空间完备性，致密性以及收敛性和基本点列等概念。

例子3

还有函数$f(x)=t(1-t)^n,t{\in}[0,1]$，计算$(Tx)t=tx(t)$近似谱点；$C[a,b]$上的点也即连续函数$x_n(t)=e^{-n(t-a)}$验证微分算子是闭算子，但不是有界线性算子；满足以及不满足Lipsichitz条件的函数验证有界变差函数以及不是有界变差函数的典型代表函数，反映以测度收敛和处处收敛的关系的典型函数，算子一致收敛和强收敛的典型函数，Dirichlet函数，黎曼函数，$\delta$函数，跳跃函数，核函数，Herside函数，特征函数等等都需要总结，看看它们到底有何特点并进行比较，用在什么概念的说明上，这些都需要总结才能深入理解相关概念和定理。

例子4

有很多涉及到映射的概念以及涉及到特殊映射的概念，例如线性算子，非线性算子，有界线性算子，线性泛函等等。

(1)映射，这是大的一般的概念：可以从一个空间映射到另外一个空间的映射：等距映射，线性同构映射，连续映射，开映射，闭映射(闭算子)，逆映射，拓扑映射，压缩映射，同构映射(保范)；

(2) 算子，这是映射的另外一个名称，在泛函分析中称为算子，至于原因可能是泛函分析主要讨论时赋范空间上的映射。

(2.1)一般概念的算子：闭算子，有界算子，无界算子，相似算子，保范算子；

(2.2)定义在赋范空间的算子一般就是线性算子，具体有很多：有界线性算子(也是连续算子)，共轭算子(伴随算子)，自共轭算子(自伴算子)，正则算子，预解算子，全连续算子(致密算子/紧算子)，有限秩算子，Fredholm算子(积分算子)，投影算子，酉算子(幺正算子)，正常算子等。

拓扑空间对应的是拓扑同构; 度量空间对应的是等距同构；线性空间对应的是线性同构，赋范空间和内积空间对应的是保范线性同构，这种同构级别最高，约束性最强，因此简称同构。后者包含的概念包含前者概念，比如内积空间一定是拓扑空间，线性空间和度量空间，因此保范线性同构一定是拓扑同构，线性同构和等距同构。

拓扑同构主要用在讨论空间的连续性，也就是如果两个空间拓扑同构，那么一个空间映照的连续性可以通过讨论它同构的空间的连续性来研究，而其它性质则不行；同样的等距同构，也是如此，但是保范线性同构条件最强，两个空间的连续性，有界性，致密性以及其它性质可以看作同一个空间对待。