索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式

$W^{1,p}_0(\Omega)$的对偶空间

记号

我们用$W^{-1,p'}(\Omega)$表达空间$W^{1,p}_0(\Omega)$的对偶空间,其中$1{\le}p<\infty$。且用$H^{-1}(\Omega)$表达$H^1_0(\Omega)$的对偶空间。$L^2(\Omega)$的对偶空间还是$L^2(\Omega)$,但是我们无法用$H^1_0(\Omega)$确定其对偶空间(见第五章的注释3)我们有下面的结论

$$ H^1_0(\Omega){\subset}L^2(\Omega){\subset}H^{-1}(\Omega) $$

其中这些单射是连续且稠密的

如果$\Omega$是有界的,则

$$ W^{1,p}_0(\Omega){\subset}L^2(\Omega){\subset}W^{-1,p'}(\Omega){\quad}if{\quad}2N/(N+2){\le}p<\infty $$

带有连续且稠密的单射。如果$\Omega$不是有界的,同样成立,但是只是对范围为$2N/(N+2){\le}p<2$。

$W^{-1,p'}(\Omega)$中的元素是完全由下面的结果描述的:

命题9.20

令$F{\in}W^{-1,p'}(\Omega)$。则存在函数$f_0,f_1,f_2,{\cdots},f_N{\in}L^{p'}(\Omega)$使得

$$ \left \langle F,v \right \rangle=\int_{\Omega}f_0v+\sum^N_{i=1}\int_{\Omega}f_i\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i},{\forall}v{\in}W^{1,p}_0(\Omega) $$

$$ \|F\|+\max_{0{\le}i{\le}N}\|f_i\|_{p'} $$

如果$\Omega$是有界的,我们可以取$f_0=0$。

证明:用到命题8.14的证明。

9.5 一些边值问题的变分公式

我们现在将使用前面的设定来研究一些椭圆二阶偏微分方程。

例子1(拉普拉斯齐次Dirichlet问题)

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开的有界集。我们寻找一个函数$u:\overline{\Omega}{\to}\mathbb{R}$满足:

$$ \begin{cases} -{\nabla}u+u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ u=0{\quad}on{\;}\Gamma={\partial}\Omega \end{cases}\tag{31} $$

其中

$$ {\nabla}u=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial^2}u}{{\partial}x_i^2}=u的拉普拉斯 $$

且$f$是在$\Omega$上给定的函数。边界条件$u=0$在$\Gamma$被称为(齐次)狄利克雷问题。

定义

一个(31)的经典解是一个函数$u{\in}C^2(\overline{\Omega})$满足(31)(在一般意义下)。一个(31)的弱解是一个函数$u{\in}H^1_0(\Omega)$满足

$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1_0(\Omega)\tag{32} $$

其中${\nabla}u{\cdot}{\nabla}v=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i}$。

在第8章中我们给出了描述的过程。

步骤A:任何经典解是一个弱解

事实上,$u{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$且在$\Gamma$上$u=0$。则由定理9.17(见注释19)有$u{\in}H^1_0(\Omega)$。另一方面,如果$v{\in}C_c^1(\Omega)$我们有

$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}{uv}=\int_{\Omega}fv $$

且对于所有的$v{\in}H^1_0(\Omega)$稠密性依旧成立。

步骤B:弱解的存在性与唯一性

这是下面基础结果的内容

定理9.12

给定任意$f{\in}L^2(\Omega)$,则存在一个唯一的(31)的弱解$u{\in}H^1_0(\Omega)$。更甚者,$u$可以由下面获得

$$ \min_{v{\in}H^1_0(\Omega)}\left\{\frac{1}{2}\int_{\Omega}(|{\nabla}v|^2+|v|^2)-\int_{\Omega}fv\right\} $$

这是狄利克雷原理。

证明:在希尔伯特空间$H=H^1_0(\Omega)$带有双线性模式应用拉克丝-密格拉蒙定理

$$ a(u,v)=\int_{\Omega}({\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+uv) $$

且线性函数$\varphi:v{\mapsto}\int_{\Omega}fv$。

步骤C:弱解的正规性

这个问题更为精细的,我们将在9.6节回答它。

步骤D:一个经典解的回复

假设问题(31)的弱解$u{\in}H^1_0(\Omega)$属于$C^2(\overline{\Omega})$,且假设$\Omega$是$C^1$阶的。则在$\Gamma$上$u=0$(由定理9.17),另一方面,我们有

$$ \int_{\Omega}(-{\nabla}u+u)v=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}C_c^1(\Omega) $$

且因此$\Omega$上$-{\nabla}u+u=f$几乎处处成立(由推论4.24)。事实上,在$\Omega$处处$-{\nabla}u+u=f$,因为$u{\in}C^2(\Omega)$。因此$u$是一个经典解。

我们现在描述一些其他的例子。在这些例子中都必须具体说明函数空间且合适的弱公式。

例子2(齐次狄利克雷条件)

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个有界开集,我们寻找函数$u:\overline{\Omega}{\to}\mathbb{R}$使得

$$ \begin{cases} -{\nabla}u+u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ u=g{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases}\tag{33} $$

其中$f$是在$\Omega$上给定的且$g$是在$\Gamma$上给定的。假设存在一个函数$\widetilde{g}{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$使得$\widetilde{g}=g$在$\Omega$上,且考虑集合

$$ K=\left\{v{\in}H^1(\Omega);v-\widetilde{g}{\in}H^1_0(\Omega)\right\} $$

于是由定理9.17,$K$是与$\widetilde{g}$无关的且仅依赖于$g$。$K$是在$H^1(\Omega)$中的一个非空闭凸集。

定义

一个(33)的经典解是一个函数$u{\in}C^2(\overline{\Omega})$满足(33)。一个问题(33)的弱解是一个函数$u{\in}K$满足

$$ \int_{\Omega}({\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+uv)=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1_0(\Omega)\tag{34} $$

像上面说的,任何经典解是一个弱解。

命题9.22

给定任意$f{\in}L^2(\Omega)$,存在问题(33)的唯一一个弱解$u{\in}K$。更甚者,$u$可以由下面得到

$$ \min_{v{\in}K}\left\{\frac{1}{2}\int_{\Omega}(|{\nabla}u|^2+v^2)-\int_{\Omega}fv\right\} $$

证明:我们断言$u{\in}K$是(33)的一个弱解,当且仅当我们有

$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}({\nabla}v-{\nabla}u)+\int_{\Omega}u(v-u){\ge}\int_{\Omega}f(v-u),{\forall}v{\in}K\tag{35} $$

事实上,如果$u$是问题(33)的一个弱解,显然(35)是成立的甚至是等号。反之,如果$u{\in}K$满足(35)我们在(35)中取定$v=u{\pm}w$其中$w{\in}H^1_0(\Omega)$,且(34)成立。我们可以用到Stampacchia定理(定理5.6)去完成证明。

经典解的正则性和恢复性的研究遵循同样的模式,像在例子1一样。

例子3(一般二阶椭圆方程)

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开有界集。我们给定函数$a_{ij}(x){\in}C^1(\overline{\Omega}),1{\le}i,j{\le}N$,满足椭圆条件

$$ \sum^N_{i,j=1}a_{ij}(x)\xi_i\xi_j{\ge}{\alpha}|\xi|^2,{\forall}x{\in}\Omega,{\forall}\xi{\in}\mathbb{R}^N,\alpha>0\tag{36} $$

一个函数$a_0{\in}C(\overline{\Omega})$也是给定的。我们寻求一个函数$u:\overline{\Omega}{\to}\mathbb{R}$满足

$$ \begin{cases} -\sum^N_{i,j=1}\frac{{\partial}}{{\partial}x_j}(a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i})+a_0u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ u=0{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases}\tag{37} $$

一个(37)的经典解是一个函数$u{\in}C^2(\overline{\Omega})$满足在一般意义下的(37)。一个(37)的弱解是一个函数$u{\in}H^1_0(\Omega)$满足

$$ \int_{\Omega}\sum^N_{i,j=1}a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}a_0uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1_0(\Omega)\tag{38} $$

像上面一样,任意经典解是一个弱解。如果$a_0(x){\ge}0$在$\Omega$上,则对所有的$f{\in}L^2(\Omega)$存在一个唯一的弱解$u{\in}H^1_0$。仅需在空间$H=H^1_0$上带有连续双线性模式应用拉克丝-密格拉蒙定理

$$ a(u,v)=\int_{\Omega}\sum^N_{i,j=1}a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}a_0uv $$

$(,)$的强迫性来自于椭圆假设,假设$a_0{\ge}0$和庞加莱不等式。如果矩阵$(a_{ij})$也是堆成的,则形式$a(,)$是对称的且$u$可以由下面的获得

$$ \min_{v{\in}H^1_0}\left\{\frac{1}{2}(\sum^N_{i,j=1}a_{ij}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_j}+a_0v^2)-\int_{\Omega}fv\right\} $$

现在我们考虑一个更为一般地问题:找到一个函数$u:\overline{\Omega}{\to}\mathbb{R}$满足:

$$ \begin{cases} -\sum_{i,j}\frac{{\partial}}{{\partial}x_j}(a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i})+\sum_ia_i\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}+a_0u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ u=0{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases}\tag{39} $$

其中函数$(a_{ij}){\in}L^{\infty}(\Omega)$满足椭圆条件且函数$(a_{i})_{0{\le}i{\le}N}$是在$L^{\infty}(\Omega)$中给定的。一个问题(39)的弱解是一个函数$u{\in}H^1_0$使得

$$ \int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}\sum_ia_i\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}v+\int_{\Omega}a_0uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1_0\tag{40} $$

相联系的双线性模式是

$$ a(u,v)-\int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}\sum_ia_i\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}v+\int_{\Omega}a_0uv\tag{41} $$

在一般情况下这个模式不是对称的,在某些情况下是强制的。然后可以用拉克丝-密格拉蒙定理去获得一个弱解的存在性和唯一性,在一般情况——即便没有强制性——也有下面的结果。

定理9.23

如果$f=0$,则问题(40)的解$u{\in}H^1_0$的集合是一个有限维的向量空间,称为维数$d$。更甚者,存在一个$d$维的子空间$F{\subset}L^2(\Omega)$,使得

$$ [(40)有一个解]{\iff}\left[\int_{\Omega}fv=0,{\forall}v{\in}F\right] $$

注释23:假设(40)联系的齐次方程,也即,其中$f=0$,有$u=0$作为唯一的解。则对于任意$f{\in}L^2$,存在一个唯一的(40)的解$u{\in}H^1_0$。特别地,如果$a_0{\ge}0$在$\Omega$上,则可以说明,由一个极大值型方法,$f=0{\Rightarrow}u=0$。因此我们推导出,仅在假设在$\Omega$上$a_0{\ge}0$下(且没有假设在$a_i,1{\le}i{\le}N$),对于任意$f{\in}L^2$,存在(40)的唯一一个解$u{\in}H^1_0$。

证明:固定$\lambda>0$足够大使得双线性模式

$$ a(u,v)+{\lambda}\int_{\Omega}uv $$

是在$H^1_0$上强制的。对于任意$f{\in}L^2$存在唯一一个$u{\in}H^1_0$满足

$$ a(u,\varphi)+{\lambda}\int_{\Omega}u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0 $$

设$u=Tf$,于是$T:L^2{\to}L^2$为一个紧线性算子(因为$\Omega$是有界的,单射$H^1_0{\subset}L^2$是紧的;见定理9.16和注释20)方程(30)等价于

$$ u=T(f+\lambda{u})\tag{42} $$

设$v=f+{\lambda}u$为一个新的位置的,且(42)变为

$$ v-{\lambda}Tv=f\tag{43} $$

结论由Fredholm二择一可以得到。

例子4(齐次诺伊曼问题)

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个有界的$C^1$阶的区域,我们寻找函数$u:\overline{\Omega}{\to}\mathbb{R}$满足

$$ \begin{cases} -{\nabla}u+u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ \frac{{\partial}u}{{\partial}n}=0{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases}\tag{44} $$

其中$f$是在$\Omega$中给定的,$\frac{{\partial}u}{{\partial}n}$表示$u$的外正常导数,也即$\frac{{\partial}u}{{\partial}n}={\nabla}u{\cdot}\boldsymbol{n}$,其中$\boldsymbol{n}$是$\Gamma$的单位规范向量,朝外指向。边界条件在$\Gamma$上$\frac{{\partial}u}{{\partial}n}=0$被称为(齐次)诺伊曼条件。

定义

一个问题(44)的经典解是一个函数$u{\in}C^2(\overline{\Omega})$满足(44)。一个问题(44)的弱解是一个函数$u{\in}H^1(\Omega)$满足

$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1(\Omega)\tag{45} $$

步骤A:任何经典解是一个弱解

回忆起格林公式,我们有

$$ \int_{\Omega}(\Delta{u})v=\int_{\Gamma}\frac{{\partial}u}{{\partial}n}vd{\sigma}-\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v.{\forall}u{\in}C^2(\overline{\Omega}),{\forall}v{\in}C^1(\overline{\Omega})\tag{46} $$

其中$d{\sigma}$是在$\Gamma$上的表面测度。如果$u$是问题(44)的一个经典解,则$u{\in}H^1(\Omega)$,且我们有

$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}C^1(\overline{\Omega}) $$

我们可以由稠密性(推论9.8)得到

$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1(\Omega) $$

步骤B:弱解的存在性与唯一性

命题9.24

对于任意$f{\in}L^2(\Omega)$,则存在问题(44)的唯一一个弱解$u{\in}H^1(\Omega)$。更甚者,$u$可以由下面获得

$$ \min_{v{\in}H^1(\Omega)}\left\{\frac{1}{2}\int_{\Omega}(|{\nabla}v|^2+v^2)-\int{\Omega}fv\right\} $$

证明:在$H=H^1(\Omega)$上应用拉克丝-密格拉蒙定理。

步骤C 弱解的规范性

这个会在9.6节讨论。

步骤D:经典解的恢复

如果$u{\in}C^2(\Omega)$是问题(44)的一个弱解,我们从(46)有

$$ \int_{\Omega}(-{\Delta}u+u)v+\int_{\Gamma}\frac{{\partial}u}{{\partial}n}vd{\sigma}=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}C^1(\overline{\Omega})\tag{47} $$

首先在(47)中取$v{\in}C_c^1(\Omega)$则推出

$$ -{\Delta}u+u=f{\quad}in{\;}\Omega $$

则推出(47)带有$v{\in}C^1(\overline{\Omega})$,可以取到

$$ \int_{\Gamma}\frac{{\partial}u}{{\partial}n}vd{\sigma}=0,{\forall}v{\in}C^1(\overline{\Omega}) $$

且因此在$\Gamma$上$\frac{{\partial}u}{{\partial}n}=0$。

例子5(无界区域)在这种情况下,$\Omega$为在$\mathbb{R}^N$上的一个无界开集,这蕴含着——另外对于在$\Gamma=\partial{\Omega}$上的边界条件——在无穷远处的边界条件。例如,当$|x|{\to}\infty$,有$u(x){\to}0$。这个“变换”,在一个弱解的程度。由条件$u{\in}H^1$。当然,首先必须证明如果$u$是一个经典解使得,当$|x|{\to}\infty$时有$u(x){\to}0$。则$u$必须属于$H^1$。(见第八章的例子8讨论)这里给出一些例子:

(a)$\Omega=\mathbb{R}^N$

给定$f{\in}L^2(\mathbb{R}^N)$,方程

$$ -{\Delta}u+u=f{\quad}in{\;}\mathbb{R}^N $$

有唯一一个弱解在下面的意义下:

$$ u{\in}H^1(\mathbb{R}^N)和\int_{\mathbb{R}^N}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\mathbb{R}^N}uv=\int_{\mathbb{R}^N}fv,{\forall}v{\in}H^1(\mathbb{R}^N) $$

(b)$\Omega=\mathbb{R}^N_+$

给定$f{\in}L^2(\mathbb{R}^N_+)$和问题

$$ \begin{cases} -{\Delta}u+u=f{\quad}in{\;}\mathbb{R}^N_+\\ u(x',0)=0{\quad}for{\;}x'{\in}\mathbb{R}^{N-1} \end{cases} $$

在下面的意义下有唯一的弱解:

$$ u{\in}H^1_0(\Omega)和\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1_0(\Omega) $$

(c)$\Omega=\mathbb{R}^N_+$

给定$f{\in}L^2(\mathbb{R}^N_+)$和问题

$$ \begin{cases} -{\Delta}u+u=f{\quad}in{\;}\mathbb{R}^N_+\\ \frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}(x',0)=0{\quad}for{\;}x'{\in}\mathbb{R}^{N-1} \end{cases} $$

在下面的意义下有唯一的弱解

$$ u{\in}H^1(\Omega)和\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv=\int_{\Omega}fv,{\forall}v{\in}H^1(\Omega) $$

Last modification:February 26th, 2020 at 04:57 pm
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