谱分析
我们在前面对线性算子的谱概念进行了详细的说明。下面我们针对有界线性算子进行谱分析。也就是确定一个线性算子的谱点或者正则点时，需要满足两个条件：（1）是同一个线性空间上的线性算子；（2）该线性算子是有界的。
谱分析主要涉及：有界线性算子的一些谱的确定问题，也包括正则点的确定。谱分析主要告诉我们如何使用复数来简化线性算子，从而认识和了解该线性算子。
对于一般线性算子的谱分析，根据定义，即$X$是复的赋范空间，$B$是$X$的线性算子空间$D(B)$到$X$中的线性算子，${\lambda}$是复数。如果$({\lambda}I-B)$是正则算子，那么${\lambda}$是正则点，此处正则算子就是满射且逆算子存在且有界，否则${\lambda}$就是谱点。当然根据定义也可以确定特征值点（不可逆）。
下面主要讨论不根据定义对有界线性算子进行谱分析：
一般赋范线性空间
（一），一般赋范线性空间中的有界线性算子
基本记号：$B{\in}\mathfrak{B}(X{\to}X)$，$X$是一般的赋范空间，${\lambda}$是复数。
1.正则点确定
（1）对于任何$y{\in}X$，方程$({\lambda}I-B)x=y$都有解，并且存在常数$m$使得下面不等式成立：$\|x\|{\le}m\|y\|$。可以简化为$({\lambda}I-B)$满射，并且$\|y\|/\|x\|$都有下确界。
（2）如果$X$是有限维空间，并且不存在非零$x{\in}X$，使得$Bx={\lambda}x$，也即${\lambda}$不是特征值，那么${\lambda}$就是正则点。也就说明了在有限维赋范空间，有界线性算子是没有连续谱的。
2.谱点确定
设$p(t)=\sum^n_{i=0}a_it^i$是$t$的多项式，记$p(B)=\sum^n_{i=0}a_iB^i$。（$B^0=I$），如果又记作
$$ p(\sigma(B))=\left\{p({\lambda}|{\lambda}{\in}\sigma(B))\right\} $$
则$\sigma(p(B))=p(\sigma(B))$。
该公式提供一个确定谱点的方法：就是知道$B$的谱点，我们就可以计算$p(B)$的谱点。反之已知$\sigma(p(B))={\lambda}$，就可以考虑计算$B$的谱点。假设该谱点为$\overline{\lambda}$，则有$p(\overline{\lambda})=\lambda$，解该多项式等式即可知道$B$的谱点。
也就说明了：在有限维赋范空间中，这个谱点只能是特征值点，因此就只有特征值点具有这个性质。
Banach空间
（二），Banach空间上的有界线性算子
基本记号：$X$是复的Banach空间，$A{\in}\mathfrak{B}(X{\to}X)$，
$$ r=\lim_{n{\to}+\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|} $$
此处需要说明这个极限是存在的。此处的线性算子$A$可以看做赋范代数$\mathfrak{B}(X{\to}X)$的元素，特别注意只有$X$是复Banach空间的时，有界线性算子的集合形成的赋范线性空间才能看做Banach代数。另外$r(A)$表示谱半径。
注意：如果$X$是有限维赋范空间，自然是Banach空间，因此此时的所有有界线性算子都是Banach空间上算子。都可以用下面的方法进行谱分析。结合有限维空间线性算子没有连续谱，于是对于有限维空间来说，下面的${\lambda}$要么是正则点，要么是特征值点。
1.正则点及其范围的确定
（1）若${\lambda}$满足$|{\lambda}|>r$，那么${\lambda}$是正则点，而且还有$({\lambda}I-A)^{-1}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{A^n}{{\lambda}^{n+1}}$。而且当$|{\lambda}|>\|A\|$时，有$\|({\lambda}I-A)^{-1}\|{\le}(|\lambda|-\|A\|)^{-1}$。注意需要这个条件的原因是等比数列求和公式要求公比小于1才存在求和公式。
注意如果$|{\lambda}|<r$时，这个$\lambda$可能是正则点，或者不是正则点而是谱点。这是要注意的，$|\lambda|>r$只是正则点的充分条件，而不是必要条件。
（2）$p(A)$是开集，假设$\lambda_0{\in}p(A)$，记
$$ r_{\lambda_0}=\lim_{n{\to}\infty}\sqrt[n]{\|({\lambda_0}I-A)^{-n}\|} $$
则满足不等式$|{\lambda}-\lambda_0|<\frac{1}{r_{\lambda_0}}$的$\lambda$是正则点。
2.谱点及其范围的确定
（1）$\sigma(A)$是闭集，而且如果$\lambda{\in}\sigma(A)$，则$\lambda{\le}r$。这个谱点的性质显然可以从正则点的性质直接推出，因为谱点与正则点的并集是复平面，大于$r$的复数一定是正则点。
（2）$\sigma(A){\neq}\varnothing$，而且$r(A)=r$。这就是著名的盖勒范德定理。该定理明确指出$r$一定是某一个谱点的模，而且$A$的谱不为空。
这个定理明确给出一个谱点的模的直接计算方法，但是绝对值小于$r$的复数不一定都是谱点，这一点特别要注意。$r$是一个实数，$r(A)=r$，这只是意味着$A$的一个谱点的模为$r$。当然如果这个谱点是实数，则$r$就是$A$的最大谱点。如果是复数，那么虽然知道其模为$r$，但是无法确定具体是哪一个复数。
现在我们看一个例子，二维平面上的旋转变换$A$，显然旋转变换是有限维空间上的有界线性算子，因此根据前面的性质$\sigma(A){\neq}\varnothing$，而且没有连续谱，因此必有特征值点。容易知道谱半径就是1，这个很容易计算，因为此时 $\|A^n\|=1$，这也是可以想象的，因为一个线性算子范数的几何意义就是一切方向伸张系数的上确界，显然旋转变换只是旋转，并没有拉伸任何一点，故算子范数为1，当然该算子的任何次方的范数也为1。现在看这个谱点的模是1，但是这个谱点究竟是多少呢？显然只能是$e^{-i\alpha}$。其中$\alpha$是是逆时针旋转的角度。这也就是旋转变换的特征值，也就是一旦确定了$\alpha$，这个旋转变换就确定了，那么对于复平面任何一个点$x+iy$，都有$A(x+iy)=e^{-i\alpha}(x+iy)$，我们展开即得旋转变换的坐标公式：$x'=xcos{\alpha}+isin{\alpha},y=-xsin{\alpha}+iycos{\alpha}$。么这个特征值是怎么计算的？很显然就是根据特征值计算公式
$$ |{\lambda}I-\begin{vmatrix} cos{\alpha} & sin{\alpha} \\ -sin{\alpha} & cos{\alpha} \end{vmatrix}|=0 $$
我们很容易求出上面的方程，解出$\alpha$的值为$e^{-i\alpha}$，取负号是因为旋转变换，我们看作逆时针旋转的$\alpha$角度，同时我们应该注意，如果在实数域，旋转变换是没有特征值的，另外还有一个有意思的事情，该特征值对应的特征向量空间是整个复平面。
现在一个有趣的问题出现了，怎么求三维旋转变换的特征值以及对应的特征向量呢？其实这就归结为怎样使用复数表示三维空间的一个点。可以考虑使用单位基向量的线性组合表示，也就是$x(1,0,0)+iy(0,0,1)$，当然$z$保持不变，这是饶$z$轴的旋转变换。
为什么$\sigma(A){\neq}A$？对一般的向量空间来说，可从两个角度看：从代数角度看，任何一个特征多项式方程都有复数解，也就是有特征值，即谱集不为空；从几何角度看，有界线性算子作用在向量空间上如果没有对空间的元素进行拉伸变换，那么必然就发生了旋转变换，而这两个变换都可以求出特征值。对一般Banach空间，有界线性算子可能不存在特征值，但是存在连续谱。例如
$C[a,b]$上有界线性算子$Ax=\int^t_ax(t)dt$就没有特征值，而由于它的谱集不为空集，因此它的谱点只能是连续谱。事实上，该算子是广义幂零算子，其谱只含一个谱点，就是0。
3.A没有第二类连续谱点
因为$A$是有界线性算子，$X$是复Banach空间，故$({\lambda}I-A)^{-1}$必然是有界线性算子，因此$\lambda$不可能是第二类连续谱点。
全连续算子
基本记号：$X$是复Banach空间，$A$是$X$上的全连续算子（下面讨论的全连续算子默认都是线性的），$\lambda$是复数。
1.正则点及其范围的确定
（1）如果$({\lambda}I-A)X=X$，那么$\lambda$是正则点。这个条件也就是算子$({\lambda}I-A)$满射；这个定理之所以成立，是因为全连续算子没有除了0之外的连续谱，因此$({\lambda}I-A)$满射必然是正则点，不存在$({\lambda}I-A)^{-1}$无界的问题。
（2）$p(A)=p(A^*)$。
2.谱点及其范围的确定
（1）对于无限维空间，0一定是 $A$的谱点，但不一定是特征值；对有限维空间，当然没有这个问题，因为有限维空间没有连续谱，只有特征值。
（2）如果有非零谱点$\lambda$，那么它一定是特征值。
上面两条说明了全连续算子没有非零的连续谱，也即$\sigma(A)=0{\cup}\sigma_p(A)$；由此我们可以得出一个结论，那就是谱半径就是特征值的大小，因为没有连续谱，因此谱半径只能是特征值的的模。这对于我们认识一些全连续算子的结构很有帮助。比如求解线性方程组，我们是否可以通过计算$\sqrt[n]{\|A^n\|}$的极限求得特征值，进而给出对应特征向量作为方程组的解呢？
（3）$\sigma(A)=\sigma(A^*)$。
（4）$\sigma(A)$的极限点只可能为0，也就是$\sigma(A)$是有限集或者可列集，不可能为致密集，稠密集等等。
总结
无限维复Banach空间的全连续算子，除了零以外，它们没有连续谱点如果有谱点就一定是特征值点。有限维复赋范空间的有界线性算子没有连续谱点，但是一定有特征值点。有限维赋范空间必然是Banach空间。
