从点列收敛问题看泛函分析的内容
接着上一次没讲完的地方继续
1.收敛的通用表达
（4）函数列的p方平均收敛
就是赋范线性空间 $L^p[E,u]$上的函数列按照范数收敛，这时的距离就是两个函数的差的范数，也就是下面定义的距离：
$$ p(f_n(x),f(x))=\|f_n(x)-f(x)\|_p=(\int_E|f_n(x)-f(x)|^pdu)^{\frac{1}{p}} $$
上面这个距离的定义是满足距离的非负性，三角不等式等条件的，所以平均收敛只要记住这个距离定义就可以记住$p$方收敛的含义了。
这种函数列收敛的空间是$L^p[E,u]$，这是一个赋范线性空间，范数定义见上面。
（5）函数列以测度收敛
我们给出以测度收敛的定义：设$(X,R,\mu)$是测度空间，$E{\subset}X$，$\left\{f_n(x)\right\}$是$E$上的一列可测函数。假如有一个有限的函数$f(x)$，它和$\left\{f_n(x)\right\}$满足下面的关系：对任何$\varepsilon>0$以及任何$\delta>0$，存在（只依赖于$\varepsilon$和$\delta$的）自然数$N$，使得当$n{\ge}N$时，成立着$\mu(E(|f_n-f|>\varepsilon))<\delta$，就称$\left\{f_n(x)\right\}$（在$E$上）以测度$\mu$收敛于$f(x)$。
现在设$\mu(E)<\infty$，我们建立一个度量空间$S$，它是实值或者复值可测函数全体，规定$E$上几乎处处相等的两个函数是同一个函数，距离具体定义如下：
$$ p(f,g)=\int_E\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}d{\mu} $$
由于$\mu(E)<\infty$，可以验证上面定义的距离有确定的意义，而且满足距离的条件。于是这个度量空间$(S,p)$建立起来了。
显然我们有
$$ \frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}{\le}|f_n(x)-f(x)| $$
故对于${\forall}\sigma>0,{\forall}\varepsilon>0$，如果有
$$ \frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}{\ge}\sigma $$
则必有$|f_n(x)-f(x)|>\sigma$，故有下面的集合关系
$$ E(\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}>\sigma){\subset}E(|f_n(x)-f(x)|>\sigma) $$
因此有
$$ \mu(E(\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}>\sigma)){\le}\mu(E(|f_n(x)-f(x)|>\sigma)) $$
因此当$\mu(E|f_n(x)-f(x)|>\sigma)<\varepsilon$时，必有
$$ \mu(E(\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}>\sigma))<\varepsilon $$
由于$\left\{f_n(x)\right\}$以测度$\mu$收敛于$f(x)$，故可知$\left\{\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}\right\}$以测度$\mu$收敛于0。
又因为
$$ \frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}{\le}1 $$
由积分控制收敛定理可以知道：
$$ \lim_{n{\to}\infty}\int_E\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}=0 $$
也就是$p(f_n,f){\to}0(n{\to}\infty)$，这就表明只要$\mu(E)<\infty$，函数列如果以测度收敛，那么必然就按照上面定义的距离收敛；
反过来如果函数列按照上面的距离收敛，就有
$$ p(f_n,f){\ge}\int_{E(|f_n-f|{\ge}\sigma)}\frac{|f_n(x)-f(x)|}{1+|f_n(x)-f(x)|}d{\mu}{\ge}\int_{E(|f_n-f|{\ge}\sigma)}\frac{\sigma}{1+\sigma}d{\mu}=\frac{\sigma}{1+\sigma}\mu(E(|f_n-f|{\ge}\sigma)) $$
显然，当$n{\to}\infty$时，$p(f_n,f){\to}0$，那么$\mu(E(|f_n-f|{\ge}\sigma)){\to}0$，也就是函数列以测度收敛。这说明函数列按上面定义的距离收敛，那么就以测度收敛。这样一来，我们可以看到以测度收敛和按照上面定义的距离收敛可以互相推导，因此以测度收敛也可以转换到度量空间的以距离收敛来理解。
我们为什么按照上面定义距离呢？如果距离通过$p(f,g)=\|f-g\|_p$定义，会怎么样？上面的证明过程已经看出来，只要$\left\{f_n(x)\right\}$在$E$上$p$方平均收敛于$f(x)$，那么该函数列必然在$E$上以测度收敛于$f(x)$。但是反过来不行，这有两个原因：
（1）需要满足条件$\mu(E)<\infty$，否则在$E$上求积分可能无意义，也即$\int_E|f_n-f|^pd{\mu}$不存在。如果要求$E$的测度是$\sigma$有限的，那么也无法确定上面的积分是否存在，因此必须给出$E$的测度是有限的；
（2）$|f_n-f|^p$的积分是否收敛无法确定，因为无法使用控制收敛定理等，但是我们前面定义的度量空间的距离恰好小于等于1，故可用控制收敛定理，因此$p$平均收敛则一定以测度收敛，反过来不行。也就是二者不等价。
这种函数列收敛的空间是$L(R,E,\mu)$或者是$(R(X),p(f,g))$，距离定义见上述。
（6）几种函数列收敛的关系
我们看到处处收敛无法转化为度量空间的以距离收敛，那么能用以距离收敛的函数列必然和函数列的处处收敛互相转化描述。这样看来：均匀收敛，$p$方平均收敛和以测度收敛都可以用度量空间的以距离收敛描述，唯独处处收敛不可以。我们很容易发现均匀收敛一定$p$方平均收敛和以测度收敛，$p$方平均收敛一定可以测度收敛，反之都不可以，由此我们得出一个收敛强弱关系：
均匀收敛$>p$方平均收敛$>$以测度收敛
我们都把它们放到到度量空间来描述，会发现它们的距离定义，当根据距离收敛时候，对函数的要求越来越弱：
$$ p_1(f_n(x),f(x))=\max_{x{\in}[a,b]}|f_n(x)-f(x)|{\to}0（均匀收敛） $$
$$ p_2(f_n(x),f(x))=(\int_E|f_n(x)-f(x)|^pd{\mu})^{\frac{1}{p}}{\to}0(p{\ge}1,p方收敛) $$
$$ p_3(f_n(x),f(x))=\int_E\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}d{\mu}{\to}0（以测度收敛） $$
可以明显的看出第一个距离定义要求条件最强，最后一个最弱，因为最后这个距离定义中积分里面这个分式本身蕴含更多的已知信息，自然对函数列和极限之间的关系要求就低了，因此属于上一个收敛就必然属于下一个，但是反过来不行，这是我们直观分析。从距离公式更容易看出它们有不等式关系，即$p_3(f_n,f){\le}p_2(f_n,f){\le}p_1(f_n,f)$，此处略去常数$\mu(E)$。注意我们此处讲的"处处"指的是"几乎处处"。
处处收敛对函数列要求使用的函数信息太多以至于使用一个实数距离根本无法描述，因此才放在拓扑空间里面，定义拓扑来描述，具体就是定义环境基来描述。既然处处收敛要求函数信息最多，那么均匀收敛和$p$方平均收敛应该处处收敛，显然反过来不可以，但是它和以测度收敛什么关系呢？它们之间很显然不能互相推出，原因是以测度收敛只是关注测度，没有直接讲函数列收敛，也就是以测度收敛和函数列收敛只是间接关系，而且以测度收敛可以用度量空间的以距离收敛描述，因此它们之间不可能互相推出。它们之间具体关系在实变函数中有详细的说明，那就是：
（1）函数列处处收敛，只要$\mu(E)<\infty$，也就是测度有限的，那么必然在$E$上以测度收敛。
（2）如果在$E$上以测度收敛，那么必然有子函数列在$E$上几乎处处收敛。
第一种情况直观上是容易看出来的，因为处处也就是每一个点收敛，包含它的集合的测度也应该越来越小，除非$\mu(E)<\infty$不成立，第二种情况，我们只要在不可列点函数列不收敛，但是包含该点的集合越来越小，也就是L测度收敛即可，这实际上是存在的。
（7）有界线性算子序列的一致收敛，强收敛，弱收敛
上面谈到的几种收敛都是函数列的收敛问题，也可以看作度量空间或者赋范空间中的点列收敛问题，我们现在谈有界线性算子序列的收敛问题，对应的就是函数列的收敛问题，当然也可以看作是有界线性算子空间中的点列收敛问题，这对应的就是度量空间的点列收敛问题。我们下面主要将它和函数列收敛对照看。下面给出有界线性算子序列的一致收敛的定义
（1）一致收敛（以范数收敛）
设$X,Y$都是赋范线性空间，如果$A_n,A{\in}\mathfrak{B}(X{\to}Y)(n=1,2,{\cdots})$，而且有$\|A_n-A\|{\to}0$，称序列$\left\{A_n\right\}$是按算子范数收敛于$A$，或者称为一致收敛于$A$。
上面有界线性算子序列收敛和一般微积分中的函数列收敛非常相似，如果$X$中每一点作归一化处理，将有界线性算子列$\left\{A_n\right\}$和$A$看作是空间$\mathfrak{B}(X{\to}Y)$的元素，现在在这个空间中定义距离：
$$ p(A_n,A)=\sup_{x{\in}X}\|A_nx-Ax\| $$
当这个距离趋于0时就是有界线性算子列的一致收敛。我们不从空间的角度看收敛的话，那么函数列和有界线性算子列收敛具有很大区别，第一个区别是前者是$E^1{\to}E^1$的映射，后者是两个赋范空间的映射$X{\to}Y$。第二个区别是$f_n,f$是实数域上的函数，大多数不是线性的，线性的只是 $f(x)=ax$这么个简单函数，而后者是有界线性函数，因此区别巨大。但是从空间的角度上看，它们具有形式上完全一致的优美。
这种有界线性算子一致收敛或者按范数收敛的赋范线性空间是$(\mathfrak{B}(X{\to}Y),\|{\cdot}\|)$，其中范数的定义是算子范数。当然距离定义就是两个算子差的范数。
（2）强收敛
在上面相同的符号标记意义下，如果对每一个$x{\in}X$，如果有下面的公式成立
$$ \|(A_n-A)x\|{\to}0 $$
就称算子序列$\left\{A_n\right\}$强收敛于$A$。这种强收敛和函数列的处处收敛类似，因此，我们无法在有界线性算子集合中定义范数或者距离来描述这种收敛，特别注意$\|(A_n-A)x\|$不能作为有界线性算子集合中的距离定义空间的，至于原因是因为这个范数值随着$x$的不同而不同，因此无法描述两个算子之间的关系。那么是不是也要仿照函数列处处收敛那样定义拓扑结构来描述呢？这种类比方便我们记忆算子的强收敛的定义，也有助于我们怎样考察这个收敛。这个类比中，一个需要注意的问题是函数列收敛是不可以写为$|(f_n-f)x|{\to}0$，因为这两个函数一般不是线性函数，当然如果是线性函数是可以的。另外强收敛定义中一个要注意的问题就是$A_n,A$都属于$\mathfrak{B}(X{\to}Y)$，，也就是我们考察收敛性是在同一个算子空间中考察的，就是有界线性算子空间考察。我们知道强收敛的定义其实是确定一个有界线性算子序列是否处处收敛一个有界线性算子。对于一个有界线性算子序列，除了定义以外，我们也可以考虑使用共鸣定理来考查一个算子序列是否能够强收敛一个算子。一个容易混淆的事实是${\forall}x,\left\{A_nx\right\}$收敛，以及${\forall}x,\left\{A_nx\right\}$收敛于$Ax$是两个不同的概念。前者是$Y$中的点列收敛于$Y$中的一个点，后者是对任何元素，算子映射后的点列收敛于同一个算子对于该元素映射后的点。它的区别就是算子序列对任何一个元素映射后的点一个没有讨论规律性，一个讨论了规律性，也就是用一个确定的算子进行描述。
（3）弱收敛
记号保持上面的不变。对${\forall}x{\in}X$以及${\forall}f{\in}Y^*,f(A_nx){\to}f(Ax)$，记为$A_n\stackrel{W}{\to}A$。我们记住这个定义是对$X$中任意元素和$Y^*$中任何有界线性算子都收敛。现在怎样在有界线性算子中定义拓扑来描述这种弱收敛呢？的确需要好好考虑，定义范数或者距离是无法描述这种收敛了，我们还发现这种弱收敛在微积分的函数列收敛中找不到原型，这是因为函数列处处收敛中，在每一个点的函数列值和极限值都是实数，因此其线性算子就是最多乘以一个实数，没有任何意义，而弱收敛之所以存在就是因为有界线性算子的像空间是一般的赋范线性空间，故存在共轭空间。另外，我们很容易看到，强收敛必弱收敛，这是因为有界线性算子必然连续，而强收敛其实就是像空间点列收敛。
算子的弱收敛不仅仅是算子列对$X$中的元素处处收敛，而且对$Y^*$中的元素也是处处收敛，两个处处收敛，不过看着复杂，因为$Y^*$中的元素是有界线性算子，故强收敛必然弱收敛，而定义弱收敛的原因就是，弱收敛可以存在，但是弱收敛不一定强收敛，强收敛不一定一致收敛，因此其存在意义就是考查一个算子序列，它不一致收敛，但是可能强收敛，它不强收敛但是可能弱收敛。
（8）赋范线性空间的点列强收敛和弱收敛
这个概念其实挺奇怪的，我们看点列强收敛和弱收敛的概念。设$X$是赋范线性空间，点列$\left\{x_n\right\}{\subset}X,x_0{\in}X$，如果$\|x_n-x_0\|{\to}0$时，称$\left\{x_n\right\}$强收敛于$x_0$，如果对于${\forall}f{\in}X^*,f(x_n){\to}f(x_0)$，称$\left\{x_n\right\}$弱收敛于$x_0$。我们看上面的强收敛的概念，其实就是赋范线性空间中的点列依范数收敛的概念，现在又重新给个新的名称：强收敛，这实在是无趣，那么点列的弱收敛很有意思了。我们定义一个泛函的集合$\overline{X}$，对泛函$\overline{x}$定义具体是：$\overline{x}:f{\to}f(x),f{\in}Y^*$，那么$\overline{x}(f)=f(x)$，而$\left\{\overline{x}_n\right\}$收敛于$\left\{\overline{x}_0\right\}$，就是在$Y^*$中处处收敛，因此这个弱收敛实质是处处收敛。
那么这个点列的强收敛的定义没有任何意义吗？其实我们观察有界线性算子强收敛的定义，我们看$\|(A_n-A)x\|{\to}0$，其实就是$Y$中的点列按范数收敛，因此干脆我们借用算子强收敛的概念也就是点列强收敛了，这大概为了保持名称的一致性，也就是同样一个点列的收敛，从算子角度看是算子强收敛，从像空间的元素看，就是点列的强收敛。注意这里面的点列强收敛仅仅是点列按范数收敛，而算子的强收敛要求对任意一个元素，经过算子序列映射以后都强收敛，算子序列才能说是强收敛，也就是处处收敛。同样弱收敛也是一回事。
（9）泛函序列的强收敛和弱$*$收敛
泛函序列的强收敛就是有界线性算子的一致收敛，而算子的强收敛和弱收敛都相等于泛函的弱$*$收敛。泛函的强收敛和弱$*$ 收敛是有界线性算子强收敛和弱$*$收敛的特例，因为泛函和一般有界线性算子的区别就是像空间是一维实数空间，因此有界线性算子的强收敛和弱收敛对应的就是泛函的弱$*$收敛。具体假设$f_n,f$都是泛函，那么由有界线性算子的强收敛定义可知$\|(f_n-f)x\|=|f_n(x)-f(x)|{\to}0$，因为泛函的值为实数，因此可以看到算子的强收敛对应的就是泛函的弱$*$收敛。既然算子的强收敛对应的是泛函的弱$*$收敛，那么泛函的强收敛只能是算子的一致收敛对应了。这样一来泛函序列的强收敛可以看作下面空间的点列收敛：$(\mathfrak{B}(X{\to}E^1),\|{\cdot}\|)$，而弱$*$收敛就是在$X$中处处收敛了，因此无法定义距离来描述。
（10）收敛问题总结
我们看出来，几乎所有的收敛问题都可以归为度量空间的点列以距离收敛问题，而微积分学习的实数列收敛或者函数列收敛，以及实变函数的以测度收敛和泛函分析中的算子序列收敛等等仅仅是其中的特列而已。对大多数收敛的定义，我们仅仅需要记住的是它讨论的收敛属于哪个空间以及这个空间的距离如何定义的即可。从这一点，我们应该充分认识到了，泛函分析目的就是建立空间的概念，将微积分和实变函数等等讨论的分析问题统一到泛函分析的空间里面来研究。当然对于处处收敛以及算子的弱收敛等等都属于拓扑空间的收敛问题，需要构造拓扑来描述这些收敛问题。如果要最通用的描述收敛问题，那就是所有的收敛问题都可以归结为拓扑空间的点列收敛问题，而赋范线性空间的点列收敛问题只是拓扑空间中点列收敛的特列。
2.收敛问题研究的目的
高等数学中有关集合的各种开集，闭集等等概念，极限和积分微分的概念，级数展开的概念，线性代数的向量，线性变换以及特征值的概念等等都要推广到泛函分析的空间中并成为其一个特列。这些内容归一到空间中研究，具体只有两个方面的研究，一个是空间中点之间关系的研究，一个就是空间上映射的研究，也就是所有的问题分析都从这两个方面考虑，更进一步精确的说是研究由点组成的空间结构，研究空间上映射的结构。终极目的就是简化问题，即将复杂的分析问题简单化，标准化，统一化。
（1）空间结构研究的需要
我们看空间的结构就是空间里面点与点之间的关系。点与点的关系具有哪些基本研究内容呢？我们看空间中集合的概念，也就是将空间中的一些点进行归类，比如开集，闭集，致密集，稠密集，集合的完备性，线性子空间，特征子空间，不变子空间等等这些集合的概念就是将空间中点进行归类，归类就是一种关系的研究，实质上归类就是研究哪些点具有共同的特征，不同类的点具有哪些不同的特征。归类了，空间的点和其它点之间有了明显的区别和联系，比如一个点的领域或者环境，就体现了这些领域内的点和领域外的点与该点之间的亲疏关系，这样一来其它点和该点既有区别，也有联系，如果对于一点$x_0$，使用$O(x_0,r)$来描述$x_0$点的环境，那么这些空间的点与$x_0$的远近亲疏甚至可以定量化了，不像普通的集合那样所有的点之间没有任何关系。既然研究点之间的关系，那就有静态关系和动态关系。静态关系实质就是两个点之间的关系，这是比较容易确定而且明确的，比如两个点之间的距离，一个点是否属于几个集合，两个集合之间的交集或者距离关系等等；而动态关系就是无数多个点之间的关系，这就涉及到不停的变化的关系，怎样描述这种变化关系呢？比如基本序列就是一种动态关系，我们都知道使用序列收敛于极限来描述这种动态关系，实质上极限的定义体现的就是这样一种关系，也就是一个点列趋于某一个点，也就是通过极限将这种动态关系和静态关系统一起来，预示动态变化的终极状态，即体现了基本点列的极端状态，使用极限描述就是统领这种基本点列的发展规律性，尤其是我们对空间一点无法把握的时候，我们可以使用动态关系来近似描述和认识该点，也就是逼近它，这是基本的思路，这就体现了静态关系依靠动态关系的逼近来描述，比如迭代求解方程等。空间中集合的考察几乎离不开这种动态关系的描述，比如开集，闭集，致密集，稠密集，完备性都需要依靠这种动态关系才能完整准确的描述。比如闭集就是该集合中所有点列的极限点都在该集合中，开集就是所有的点都是内点，内点的定义就是集合中该点的任何一个领域都包含在该集合中。至于致密集，稠密集和完备性等等几乎都依靠关于极限的这种点列动态关系描述集合的性质。对空间结构的研究就是便于操控，这种操控的术语就是映射，即将一个点按照一定规则映射到另外一个点，这种映射对有结构的一些点映射以后得到的点有什么规律呢？其实我们能够自动知道映射以后得到的点的结构，这样就做到了预测，节省了对映射以后点的结构研究，这就需要对映射的结构进行研究了。
（2）空间上映射结构研究的需要
空间上映射结构的研究就是映射的特点，第一个特点就是映射的连续性，也就是研究映射是否连续，如果连续，那么就有完备空间中点列收敛和连续映射之间的符号次序可以互换。这就是收敛点列的映射极限等于点列极限的映射。研究空间结构中的点列收敛性的意义就体现出来了，这个特点很有使用价值，这在积分极限定理和共鸣定理等等几乎处处得到充分应用；
第二个特点就是映射的同构性，也就是两个空间通过一个映射同构，我们通过研究一个空间的性质，就能自动得到另外一个空间的性质。例如同构映射(连续映射)将闭集映射成闭集，将开集映射为开集，这就实现了通过映射的特点将一组有结构的点映射到另外一组有结构的点，我们仅仅知道原像点和连续映射就能预测像空间的结构；
第三个特点就是有界线性算子，可以通过谱分析完全把握，也就是只要是Banach空间上的有界线性算子，那么我们就可以得出一系列的线性算子的结构特点，尤其是特征值点谱，就将线性算子通过几个有限的复数完全表达出来，实现同一个空间中点的映射简化，谱分析将复杂的映射问题可视化，几个复数就体现出来。我们发现映射的结构特点分析都需要原像空间的结构特点相配合才能对像空间进行预测和把握。事实上人类的一切苦恼都是由于无法准确预测未来造成的，如果解决了预测问题，人类就没有任何烦恼了，人类科学研究正式通过研究空间结构，建立空间映射模型来预测，认识进而把握未知世界，那么泛函分析，甚至整个数学的研究都是这个目的。