Haim

索伯列夫空间$W^{m,p}$

定义

给定一个整数$n{\ge}2$和一个实数$1{\le}p{\le}\infty$，我们定义空间

$$ W^{m,p}(I)=\left\{u{\in}W^{m-1,p}(I);u'{\in}W^{m-1,p}(I)\right\} $$

同样我们设

$$ H^m(I)=W^{m,2}(I) $$

容易看到$u{\in}W^{m,p}(I)$当且仅当存在$m$个函数$g_1,g_2,{\cdots},g_m{\in}L^p(I)$使得

$$ \int_IuD^j{\varphi}=(-1)^j\int_Ig_j{\varphi},{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(I),{\forall}j=1,2,{\cdots},m $$

其中$D^j{\varphi}$给出$\varphi$的第$j$阶导数。当$u{\in}W^{m,p}(I)$，我们可以考虑$u$的逐次导数：$u'=g_1,(u')'=g_2,{\cdots}$，直到$m$。它们由$Du,D^2u,{\cdots},D^mu$表示。空间$W^{m,p}(I)$装备范数

$$ \|u\|_{W^{m,p}}=\|u\|_p+\sum^m_{\alpha=1}\|D^{\alpha}u\|_p $$

且空间$H^m(I)$是装备内积

$$ (u,v)_{H^m}=(u,v)_{L^2}+\sum^m_{\alpha=1}(D^{\alpha}u,D^{\alpha}v)_{L^2}=\int_Iuv+\sum^m_{\alpha=1}\int_ID^{\alpha}uD^{\alpha}v $$

可以知道范数$\|{\;}\|_{W^{m,p}}$是与下述范数等价的：

$$ |\|u\||=\|u\|_p+\|D^{m}u\|_p $$

更精细地，可以证明对于任意整数$j$，$1{\le}j{\le}m-1$，且对任意$\varepsilon>0$，存在一个常数$C$（依赖于$\varepsilon$与$|I|{\le}\infty$）使得

$$ \|D^ju\|_p{\le}\varepsilon\|D^mu\|_p+C\|u\|_p,{\forall}u{\in}W^{m,p}(I) $$

读者可以自行把$W^{1,p}$中性质延拓到$W^{m,p}$，比如：如果$I$有界，$W^{m,p}(I){\subset}C^{m-1}(\overline{I})$配对连续单射（或者对于$1<p{\le}\infty$的紧单射）

这里我们看到的$m$指的是有第$m$阶导数，这样子就很容易理解了。

8.3 空间$W^{1,p}_0$

定义

给定$1{\le}p<\infty$，在$W^{1,p}(I)$的关于$C_c^1(I)$的闭包表示为$W^{1,p}_0(I)$。设

$$ H^1_0(I)=W^{1,2}_0(I) $$

空间$W^{1,p}_0(I)$的范数是装备的$W^{1,p}(I)$的范数，且空间$H^1_0$是装备$H^1$的内积。

空间$W^{1,p}_0(I)$是一个可分的巴拿赫空间。更甚者，对于$p>1$，它是自反的。空间$H^1_0$是一个可分的希尔伯特空间。

注：当$I=\mathbb{R}$时，我们知道$C_c^1(\mathbb{R})$在$W^{1,p}(\mathbb{R})$中稠密（见定理8.7）且因此$W^{1,p}_0(\mathbb{R})=W^{1,p}(\mathbb{R})$。

注：用一个磨光算子序列$(p_n)$容易验证下述：

（1）$C^{\infty}_c(I)$是在$W^{1,p}_0(I)$中稠密的。

（2）如果$u{\in}W^{1,p}(I){\cap}C_c(I)$，则$u{\in}W^{1,p}_0(I)$。

我们下面的结果告诉我们在$W^{1,p}_0(I)$中函数的基本特征。

定理8.12

令$u{\in}W^{1,p}(I)$。则$u{\in}W^{1,p}_0(I)$当且仅当在$\partial{I}$上$u=0$。

注：该定理告诉我们$W^{1,p}_0(I)$的重要性质。微分方程（或者偏微分方程）常常具有边界条件，也即$u$在${\partial}I$上先给定。

证明：如果$u{\in}W^{1,p}_0$，则存在一个在$C_c^1(I)$中的序列$(u_n)$，使得在$W^{1,p}(I)$中$u_n{\to}u$。因此在$\overline{I}$上$u_n{\to}u$一致收敛，且作为结果在$\partial{I}$上$u=0$。

反过来，令$u{\in}W^{1,p}(I)$为使得在$\partial{I}$上$u=0$。固定任意函数$G{\in}C^{1}(\mathbb{R})$使得

$$ G(t)=\begin{cases} 0{\quad}if{\;}|t|{\le}1\\ 1{\quad}if{\;}|t|{\ge}2 \end{cases} $$

且

$$ |G(t)|{\le}|t|,{\forall}t{\in}\mathbb{R} $$

设$u_n=(1/n)G(nu)$，于是$u_n{\in}W^{1,p}(I)$（由推论8.11）。另一方面

$$ supp{\;}u_n{\subset}\left\{x{\in}I;|u(x)|{\ge}1/n\right\} $$

且因此$supp{\;}u_n$是一个$I$的紧子集（用到事实在${\partial}I$上$u=0$且当$|x|{\to}\infty,x{\in}I$时$u(x){\to}0$）。因此$u_n{\in}W^{1,p}_0(I)$。最终，由控制收敛定理容易验证在$W^{1,p}_0(I)$上，$u_n{\to}u$。因此$u{\in}W^{1,p}_0(I)$。

注：让我们提及两个关于$W^{1,p}_0$函数其他特征。

（1）令$1{\le}p<\infty$且令$u{\in}L^p(I)$。定义$\overline{u}$为

$$ \overline{u}=\begin{cases} u(x){\quad}if{\;}x{\in}I\\ 0{\quad}if{\;}x{\in}\mathbb{R}{\backslash}I \end{cases} $$

则$u{\in}W^{1,p}_0(I)$当且仅当$\overline{u}{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$。

（2）令$1<p<\infty$且令$u{\in}L^p(I)$。则$u$属于$W^{1,p}_0(I)$当且仅当存在一个常数$C$使得

$$ |\int_Iu{\varphi'}|{\le}C\|{\varphi}\|_{L^{p'}(I)},{\forall}{\varphi}{\in}C_c^1(\mathbb{R}) $$

命题8.13

庞加莱不等式：假设$I$是一个有界区间。则存在一个常数（依赖于$|I|<\infty$）使得

$$ \|u\|_{W^{1,p}(I)}{\le}C\|u'\|_{L^p(I)},{\forall}u{\in}W^{1,p}_0(I)\tag{13} $$

换言之，在$W^{1,p}_0$上，数量$\|u'\|_{L^p(I)}$是一个范数等价于$W^{1,p}$范数。

证明：令$u{\in}W^{1,p}_0(I)$（其中$I=(a,b)$）。因为$u(a)=0$，我们有

$$ |u(x)|=|u(x)-u(a)|=|\int^x_au'(t)dt|{\le}\|u'\|_{L^1} $$

因此$\|u\|_{L^{\infty}(I)}{\le}\|u'\|_{L^1(I)}$，且（13）则可以由赫尔德不等式得到。

注：如果$I$有界，表达式$(u',v')_{L^2}=\int{u'v'}$定义了在$H^1_0$上的内积和其诱导范数$\|u'\|_{L^2}$，这个与$H^1$范数等价。

注：给定一个整数$m{\ge}2$和一个实数$1{\le}p<\infty$，空间$W^{m,p}_0(I)$定义为在$W^{m,p}(I)$中$C^m_c(I)$的闭包。可以有

$$ W^{m,p}_0(I)=\left\{u{\in}W^{m,p}(I);u=Du={\cdots}=D^{m-1}u=0 {\quad}on{\;}\partial{I}\right\} $$

最重要的是注意到区别

$$ W^{2,p}_0(I)=\left\{u{\in}W^{2,p}(I);u=Du=0{\quad}on{\;}{\partial}I\right\} $$

与

$$ W^{2,p}(I){\cap}W^{1,p}_0(I)=\left\{u{\in}W^{2,p}(I);u=0{\quad}on{\;}{\partial}I\right\} $$

关于$W^{1,p}_0(I)$的对偶空间

记号

$W^{1,p}_0(I)$的对偶空间（$1{\le}p<\infty$）是表示为$W^{-1,p'}(I)$且$H^1_0(I)$的对偶空间表示为$H^{-1}(I)$。

由第五章，我们定义了$L^2$与其对偶空间，但是我们没有定义$H^1_0$和它的对偶空间。我们有下面的包含关系：

$$ H^1_0{\subset}L^2{\subset}H^{-1} $$

其中这些单射是连续的且稠密的（也即他们有稠密值域）

如果$I$为一个有界区间则我们有

$$ W^{1,p}_0{\subset}L^2{\subset}W^{-1,p'}，对所有的1{\le}p<\infty $$

其中连续单射（且稠密单射当$1<p<\infty$）

如果$I$无界我们只有

$$ W^{1,p}_0{\subset}L^2{\subset}W^{1,p'},对所有的1{\le}p{\le}2 $$

其中连续单射。

也就是说索伯列夫空间的对偶空间与$L^2$空间有上述的关系

$W^{-1,p'}$的元素可以由在$L^{p'}$的函数的帮助下表示；精确地说，我们有下述说明：

命题8.14

令$F{\in}W^{-1,p'}(I)$。则存在两个函数$f_0,f_1{\in}L^{p'}(I)$使得

$$ \left \langle F,u \right \rangle=\int_If_0u+\int_If_1u',{\forall}u{\in}W^{1,p}_0(I) $$

且

$$ \|F\|_{W^{-1,p'}}=\max\left\{\|f_0\|_{p'},\|f_1\|_{p'}\right\} $$

当$I$是有界的时候，我们可以取到$f_0=0$。

这个命题告诉我们索伯列夫空间的对偶空间中的元素可以表示为相对应的$L^p$空间的对偶空间中的元素形式，并且可以确定其元素范数。

证明：考虑乘积空间$E=L^p(I){\times}L^p(I)$装备范数

$$ \|h\|=\|h_0\|_p+\|h_1\|_p{\quad}当h=[h_0,h_1] $$

映射$T:u{\in}W^{1,p}_0(I){\mapsto}[u,u']{\in}E$是一个等距映射从$W^{1,p}_0(I)$到$E$上。设$G=T(W^{1,p}_0(I))$装备$E$的范数且$S=T^{-1}:G{\to}W^{1,p}_0(I)$。映射$h{\in}G{\mapsto}\left \langle F,sh \right \rangle$是一个在$G$上的连续线性泛函。由哈恩-巴拿赫定理，可以延拓到在$E$上的一个连续线性泛函$\Phi$，其中$\|\Phi\|_{E^*}=\|F\|$。由里斯表示定理，我们知道存在两个函数$f_0,f_1{\in}L^{p'}(I)$使得

$$ \left \langle \Phi,h \right \rangle=\int_If_0h_0+\int_If_1h_1{\quad}{\forall}h=[h_0,h_1]{\in}E $$

容易验证$\|\Phi\|_{E^*}=\max\left\{\|f_0\|_{p'},\|f_1\|_{p'}\right\}$。同样地，我们有

$$ \left \langle \Phi,Tu \right \rangle=\left \langle F,u \right \rangle=\int_If_0u+\int_If_1u',{\forall}u{\in}W^{1,p}_0 $$

当$I$是有界的，空间$W^{1,p}_0(I)$可以装备上范数$\|u'\|_{p}$（见命题8.13）。我们对$E=L^p(I)$和$T:u{\in}W^{1,p}(I){\to}u'{\in}L^p(I)$再次用相同的论证。

注：函数$f_0$与$f_1$不是由$F$唯一确定的。

注：元素$F{\in}W^{-1,p'}(I)$经常与分布$f_0-f_1'$混为一谈。（由定义，分布$f_0-f_1'$是线性泛函$u{\mapsto}\int_If_0u+\int_If_1u$在$C_c^{\infty}(I)$上）。

注：命题8.14第一个断言对于在$W^{1,p}(1{\le}p<\infty)$上的连续线性泛函也成立。也即：任何在$W^{1,p}$上的连续线性泛函$F$可以表示为

$$ \left \langle F,u \right \rangle=\int_If_0u+\int_If_1u',{\forall}u{\in}W^{1,p} $$

对于某些函数$f_0,f_1{\in}L^{p'}$。