演化问题:热方程和波动方程

10.1 热方程:存在性,唯一性和正规性

记号

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个带有边界$\Gamma$的开集。设

$$ Q=\Omega{\times}(0,+\infty)\\\sum=\Gamma{\times}(0,+\infty) $$

$\sum$被称为圆柱$Q$的横向边界,见图7。

考虑下面的问题:找到一个函数$u(x,t):\overline{\Omega}{\times}[0,+\infty){\to}\mathbb{R}$使得

$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}Q\tag{1} $$

$$ u=0{\quad}on{\;}\sum\tag{2} $$

$$ u(x,0)=u_0(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{3} $$

其中$\Delta=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}^2}{{\partial}x^2_i}$代表了在空间变量$x$的拉普拉斯,$t$是时间变量,且$u_0(x)$是给定的函数称为初始(或者柯西)数据。

方程(1)被称为热方程因为它在时间$t$模拟了在区域$\Omega$中温度分布$u$。在许多扩散现象中都会出现热方程及其变形(见本章最后的评论)热方程是抛物线方程中最简单的例子。

方程(2)是(齐次)狄利克雷边界条件;它可以由诺伊曼条件替换

$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}n}=0{\quad}on{\;}\sum\tag{2'} $$

($n$是$\Gamma$的向外单位法向量)或者第8章和第9章中遇到的任何边界条件。条件(2)对应于边界$\Gamma$保持在0温度时的假设。条件(2‘)对应于穿过$\Gamma$的热流为0的假设。我们通过观察$u(x,t)$作为定义在$[0,+\infty)$值在空间$H$上的一个函数来解决问题(1)(2)(3)。其中$H$是一个仅仅依赖于$x$的一个函数空间:例如$H=L^2(\Omega)$或者$H=H^1_0(\Omega)$。当我们仅仅写$u(t)$,我们意味着$u(t)$是$H$的一个元素,即函数$x{\mapsto}u(x,t)$。这个观点使我们能够结合Hille-Yosida定理和第8章和第9章的结果,很容易地解决问题(1),(2),(3)。

为了简化问题,我们在整个第10章中假设$\Omega$是$C^{\infty}$阶的,其中$\Gamma$是有界的(但如果我们只对弱解感兴趣,这个假设可能会被大大削弱)

定理10.1

假设$u_0{\in}L^2(\Omega)$,则存在唯一一个函数$u(x,t)$满足(1)(2)(3)且

$$ u{\in}C([0,\infty);L^2(\Omega){\cap}C((0,\infty);H^2(\Omega{\cap}H^1_0(\Omega))\tag{4} $$

$$ u{\in}C^1((0,\infty;L^2(\Omega))\tag{5} $$

更甚者,

$$ u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[\varepsilon,\infty)),{\forall}\varepsilon>0 $$

最终,$u{\in}L^2(0,\infty;H^1_0(\Omega))$且

$$ \frac{1}{2}|u(T)|^2_{L^2(\Omega)}+\int^T_0|{\nabla}u(t)|^2_{L^2(\Omega)}dt=\frac{1}{2}|u_0|^2_{L^2(\Omega)},{\forall}T>0\tag{6} $$

证明:我们在$H=L^2(\Omega)$应用Hille–Yosida理论(但是其他的选择是可能的;参见定理10.2的证明)

考虑无界算子

$A:D(A){\subset}H{\to}H$定义为

$$ \begin{cases} D(A)=H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)\\ Au=-{\Delta}u \end{cases} $$

需要注意的是,边界条件(2)已经被纳入了。我们断言$A$是一个自伴极大单调算子。我们可以应用定理7.7且推断出满足(4)和(5)的问题(1),(2),(3)的唯一一个解。

(i)$A$是单调的。对于任意$u{\in}D(A)$我们有

$$ (Au,u)_{L^2}=\int_{\Omega}(-{\Delta}u)u=\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2{\ge}0 $$

命题(ii)$A$是极大单调的,我们必须验证$R(I+A)=H=L^2$。但是我们已经知道(见定理9.25)对于任意$f{\in}L^2$,存在方程$u-{\Delta}u=f$的唯一一个解$u{\in}H^2{\cap}H^1_0$。

(iii)$A$是自伴的。鉴于命题7.6,证明$A$是对称的就足够了。对于任意$u,v{\in}D(A)$我们有

$$ (Au,v)_{L^2}=\int_{\Omega}(-{\Delta}u)v=\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v $$

$$ (u,Av)_{L^2}=\int_{\Omega}u(-{\Delta}v)=\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v $$

于是$(Au,v)=(u,Av)$。

接下来,根据定理9.25$D(A^l){\subset}H^{2l}(\Omega)$,对于任意整数$l$,带连续单射,更准确地说:

$$ D(A^l)=\left\{u{\in}H^{2l}(\Omega);u={\Delta}u={\cdots}={\Delta}^{l-1}u=0{\quad}on{\;}\Gamma\right\} $$

我们由定理7.7知道问题(1)(2)(3)的解满足

$$ u{\in}C^k((0,\infty);D(A^l)),{\forall}k,{\forall}l $$

且因此

$$ u{\in}C^k((0,\infty);H^{2l}(\Omega)),{\forall}k,{\forall}l $$

于是(归因于推论9.15)

$$ u{\in}C^k((0,\infty);C^k(\overline{\Omega})),{\forall}k $$

我们现在转向(6)的证明。形式上,我们用$u$乘上(1)且在$\Omega{\times}(0,T)$上积分。然而,还是要小心。因为$u(t)$在$(0,\infty)$是可微的,但是在$[0,\infty)$不是。考虑函数$\varphi(t)=\frac{1}{2}|u(t)|^2_{L^2(\Omega)}$。这是在$(0,\infty)$上$C^1$阶的(由于(5))且对于$t>0$,

$$ \varphi'(t)=\left(u(t),\frac{du}{dt}(t)\right)_{L^2}=(u(t),{\Delta}u(t))_{L^2}=-\int_{\Omega}|{\nabla}u(t)|^2 $$

因此,对于$0<\varepsilon<T<\infty$,我们得到

$$ \varphi(T)-\varphi(\varepsilon)=\int^T_{\varepsilon}\varphi'(t)dt=-\int^T_{\varepsilon}|{\nabla}u(t)|^2_{L^2}dt $$

最终我们令$\varepsilon{\to}0$。因为$\varphi(\varepsilon){\to}\frac{1}{2}|u_0|^2$(因为$u{\in}C([0,\infty];L^2(\Omega))$),我们发现$u{\in}L^2(0,\infty;H^1_0(\Omega))$且(6)成立。

如果我们在$u_0$上做另外的假设,解$u$在$t=0$时变得更正规(回忆一下,远离$t=0$,定理10.1保证了$u$是光滑的,也即$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[\varepsilon,\infty)),{\forall}\varepsilon>0$)。

定理10.2

(a)如果$u_0{\in}H^1_0(\Omega)$,则问题(1)(2)(3)的解满足

$$ u{\in}C([0,\infty);H^1_0(\Omega){\cap}L^2(0,\infty;H^2(\Omega)) $$

$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}{\in}L^2(0,\infty;L^2(\Omega)) $$

更甚者,我们有

$$ \int^T_0|\frac{{\partial}u}{{\partial}t}(t)|^2_{L^2(\Omega)}dt+\frac{1}{2}|{\nabla}u(T)|^2_{L^2(\Omega)}=\frac{1}{2}|{\nabla}u_0|^2_{L^2(\Omega)}\tag{7} $$

(b)如果$u_0{\in}H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$,则

$$ u{\in}C([0,\infty);H^2(\Omega){\cap}L^2(0,\infty;H^3(\Omega)) $$

$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}{\in}L^2(0,\infty;H^1_0(\Omega)) $$

(c)如果$u_0{\in}H^k(\Omega),{\forall}k$且满足所谓的相容性条件

$$ u_0={\Delta}u_0={\cdots}={\Delta}^ju_0={\cdots}=0{\quad}on{\;}\Gamma\tag{8} $$

对于任意整数$j$,则$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$。

(a)的证明:我们在空间$H_1=H^1_0(\Omega)$装备内积上工作

$$ (u,v)_{H_1}=\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv $$

在$H_1$考虑无界算子$A_1:D(A_1){\subset}H_1{\to}H_1$定义为

$$ \begin{cases} D(A_1)=\left\{u{\in}H^3(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega);{\Delta}u{\in}H_0^1(\Omega)\right\},\\ A_1u=-{\Delta}u \end{cases} $$

我们断言$A_1$是极大单调且自伴的。

(i)$A$是单调的。对于任意$u{\in}D(A_1)$我们有

$$ (A_1u,v)_{H_1}=\int_{\Omega}{\nabla}(-{\Delta}u){\cdot}{\nabla}u+\int_{\Omega}(-{\Delta}u)u=\int_{\Omega}|{\Delta}u|^2+\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2{\ge}0 $$

(ii)$A$是极大单调的。我们知道(由定理9.25)对任意$f{\in}H^1(\Omega)$,解$u{\in}H^1_0(\Omega)$关于问题

$$ \begin{cases} u-{\Delta}u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ u=0{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases} $$

属于$H^3(\Omega)$。如果,额外地,$f{\in}H^1_0(\Omega)$,则${\Delta}u{\in}H^1_0(\Omega)$,且于是$u{\in}D(A_1)$。

(iii)$A$是对称的。对于任意$u,v{\in}D(A_1)$,我们有

$$ \begin{align*} (A_1u,v)_{H_1}&=\int_{\Omega}{\nabla}(-{\Delta}u){\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}(-{\Delta}u)v\\ &=\int_{\Omega}{\Delta}u{\Delta}v+\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v=(u,A_1v)_{H_1} \end{align*} $$

应用定理7.7,我们可以看到如果$u_0{\in}H^1_0(\Omega)$,则存在一个解$u$关于问题(1)(2)(3)(与定理10.1一致,因为唯一性)使得

$$ u{\in}C([0,\infty);H^1_0(\Omega)) $$

最终,设$\varphi(t)=\frac{1}{2}|{\nabla}u(t)^2_{L^2(\Omega)}|$,这个函数是在$(0,\infty)$上为$C^{\infty}$阶的且

$$ \varphi'(t)=\left({\nabla}u(t),{\nabla}\frac{du}{dt}(t)\right)_{L^2}=\left(-{\Delta}u(t),\frac{du}{dt}(t)\right)_{L^2}=-\left|\frac{du}{dt}(t)\right|^2_{L^2} $$

于是对于$0<\varepsilon<T<\infty$,我们有

$$ \varphi(T)-\varphi(\varepsilon)+\int^T_{\varepsilon}\left|\frac{du}{dt}(t)\right|^2_{L^2}dt=0 $$

当$\varepsilon{\to}0,\varphi({\varepsilon}){\to}\frac{1}{2}|{\nabla}u_0|^2_{L^2}$,且我们容易总结得到。

(b)的证明:我们工作在空间$H_2=H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$装备上内积

$$ (u,v)_{H_2}=({\Delta}u,{\Delta}v)_{L^2}+(u,v)_{L^2} $$

(对应的范数等同于通常的$H^2$范数)在$H_2$考虑无界算子$A_2:D(A_2){\subset}H_2{\to}H_2$定义为

$$ \begin{cases} D(A_2)=\left\{u{\in}H^4(\Omega);u{\in}H^1_0(\Omega)和{\Delta}u{\in}H^1_0(\Omega)\right\}\\ A_2u=-{\Delta}u \end{cases} $$

容易说明$A_2$是在$H_2$中的一个自伴极大单调算子。因此我们可以在$H_2$中对$A_2$应用定理7.7。最终,我们设$\varphi(t)=\frac{1}{2}|{\Delta}u(t)|^2_{L^2}$。这个函数是在$(0,\infty)$上为$C^{\infty}$阶的,且

$$ \varphi'(t)=\left({\Delta}u(t),{\Delta}\frac{du}{dt}(t)\right)_{L^2}=({\Delta}u(t),{\Delta}^2u(t))_{L^2}=-|{\nabla}{\Delta}u(t)|^2_{L^2} $$

因此,对于$0<\varepsilon<T<\infty$,我们有

$$ \frac{1}{2}|{\Delta}u(T)|^2_{L^2}-\frac{1}{2}|{\Delta}u(\varepsilon)|^2_{L^2}+\int^T_{\varepsilon}|{\nabla}{\Delta}u(t)|^2_{L^2}dt=0 $$

在极限情况,当$\varepsilon{\to}0$,我们看到$u{\in}L^2(0,\infty;H^3(\Omega))$且(因为方程(1)),$\frac{du}{dt}{\in}L^2(0,\infty;H^1(\Omega))$。

(c)的证明:在空间$H=L^2(\Omega)$中,考虑算子$A:D(A){\subset}H{\to}H$定义为

$$ \begin{cases} D(A)=H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)\\ Au=-{\Delta}u \end{cases} $$

应用定理7.5,我们知道如果$u_0{\in}D(A^k),k{\ge}1$,则

$$ u{\in}C^{k-j}([0,\infty);D(A^j)),{\forall}j=0,1,{\cdots},k $$

假设(8)确切说明对于任何整数$k{\ge}1,u_0{\in}D(A^k)$。因此我们有

$$ u{\in}C^{k-j}([0,\infty);D(A^j)),{\forall}k{\ge}1,{\forall}j=0,1,{\cdots},k $$

于是(和定理10.1证明一样)$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$。

注释1:定理10.1说明热方程在初始值$u_0$上有一个强大的光滑效应。注意到对于任意$t>0$甚至是初始值不连续的情况,解$u(x,t)$在$x$处是$C^{\infty}$阶的。这个效应蕴含着,特别地,热方程是时不可逆的。一般情况不能解决问题

$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}\Omega{\times}(0,T)\tag{9} $$

$$ u=0{\quad}on{\;}\Gamma{\times}(0,T)\tag{10} $$

其中“终”值

$$ u(x,T)=u_T(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{11} $$

我们必须假设

$$ u_T{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})且{\Delta}^ju_T=0{\;}on{\;}\Gamma,{\forall}j{\ge}0 $$

但即使有了这个假设,也不需要解决后效问题(9),(10),(11)。这个问题不应该与问题(9‘)(10),(11)混淆,其中

$$ -\frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}\Omega{\times}(0,T)\tag{9'} $$

对于任何值$u_T{\in}L^2(\Omega)$都有唯一解(将$t$改为$T-t$且应用定理10.1)

注释2:如果用Neumann条件代替Dirichlet条件,前面的结果也是正确的。

注释3:当$\Omega$是有界的,问题(1)(2)(3)可以由在$L^2(\Omega)$的一个希尔伯特基的分解解决。为此,取$L^2(\Omega)$的一个基$(e_i(x))_{i{\ge}1}$由$-{\Delta}$的特征函数组成(具有零Dirichlet条件),也即

$$ \begin{cases} -{\Delta}e_i={\lambda_i}e_i{\quad}in{\;}\Omega\\ e_i=0{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases} $$

(见9.8节)我们可以看到关于(1)(2)(3)的解为以一个级数的形式

$$ u(x,t)=\sum^{\infty}_{i=1}a_i(t)e_i(x)\tag{12} $$

我们立即可以看出函数$a_i(t)$必须满足

$$ a'_i(t)+{\lambda}_ia_i(t)=0 $$

于是$a_i(t)=a_i(0)e^{-{\lambda_i}t}$。常数$a_i(0)$由以下关系决定

$$ u_0(x)=\sum^{\infty}_{i=1}a_i(0)e_i(x)\tag{13} $$

用另外的话说,问题(1)(2)(3)的解是由以下给定的

$$ u(x,t)=\sum^{\infty}_{i=1}a_i(0)e^{-{\lambda_i}t}e_i(x)\tag{14} $$

其中常数$a_i(0)$是$u_0(x)$在基$(e_i)$中的分量,也即$a_i(0)=\int_{\Omega}u_0e_i$。

研究这个级数的收敛性(以及用这种方法得到的$u$的正则性)注意这个方法和求解线性微分方程组的标准方法之间的相似性

$$ \frac{d\boldsymbol{u}}{dt}+M\boldsymbol{u}=0 $$

其中$\boldsymbol{u}(t)$在有限维向量空间中取其值,且$M$是一个对称矩阵。当然,主要的区别在于问题(1),(2),(3)与无限维系统有关。

注释4:相容性条件(8)看起来也许很神秘,但实际上它们是自然的。这些是使(1),(2),(3)的解$u$平滑到$t=0$的必要条件,也即$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$(假设$u_0{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})$且$u_0=0$在${\partial}\Omega$上,不保证$t=0$的光滑性)事实上,假设$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$满足(1),(2),(3),则显然,

$$ \frac{{\partial}^ju}{{\partial}t^j}=0{\quad}on{\;}\Gamma{\times}(0,\infty),{\forall}j\tag{15} $$

且由连续性,我们仍旧有

$$ \frac{{\partial}^ju}{{\partial}t^j}=0{\quad}on{\;}\Gamma{\times}[0,\infty),{\forall}j\tag{15} $$

另一方面

$$ \frac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2}={\Delta}\left(\frac{{\partial}u}{{\partial}t}\right)={\Delta}^2u{\quad}in{\;}Q $$

且由推断

$$ \frac{{\partial}^ju}{{\partial}t^j}={\Delta}^ju{\quad}in{\;}Q{\;}{\forall}j $$

再次由连续性质,我们有

$$ \frac{{\partial}^ju}{{\partial}t^j}={\Delta}^ju{\quad}in{\;}\overline{\Omega}{\times}[0,\infty)\tag{16} $$

在$\Gamma{\times}\left\{0\right\}$上比较(15)和(16),我们得到(8)。

注释5:当然对于$u$接近$t=0$的正则性结果有很多变形,如果我们的假设介于定理10.2的(b)和(c)之间。

10.2 极大值原理

主要结果如下

定理10.3

假设$u_0{\in}L^2(\Omega)$且令$u$为问题(1)(2)(3)的解,则我们有,对于所有的$(x,t){\in}Q$,

$$ \min\left\{0,\inf_{\Omega}u_0\right\}{\le}u(x,t){\le}\max\left\{0,\sup_{\Omega}u_0\right\} $$

证明:正如在椭圆情况中我们用到Stampacchia截断方法,设

$$ K=\max\left\{0,\sup_{\Omega}u_0\right\} $$

且假设$K<+\infty$。正如在定理9.27的证明中固定一个函数$G$且令

$$ H(s)=\int^s_0G(\delta)d{\delta},s{\in}\mathbb{R} $$

容易验证函数$\varphi$定义如下

$$ \varphi(t)=\int_{\Omega}H(u(x,t)-K)dx $$

有如下性质:

$$ \varphi{\in}C([0,\infty);\mathbb{R}),\varphi(0)=0,\varphi{\ge}0,{\quad}on{\;}[0,\infty)\tag{17} $$

$$ \varphi{\in}C^1((0,\infty);\mathbb{R})\tag{18} $$

$$ \begin{align*} \varphi'(t)&=\int_{\Omega}G(u(x,t)-K)\frac{{\partial}u}{{\partial}t}(x,t)dx=\int_{\Omega}G(u(x,t)-K){\Delta}u(x,t)dx\\ &=-\int_{\Omega}G'(u-K)|{\Delta}u|^2dx{\le}0 \end{align*} $$

因为$G(u(x,t)-K){\in}H^1_0(\Omega)$对于任意$t>0$。于是$\varphi{\equiv}0$且因此,对于任意$t>0,u(x,t){\le}K$在$\Omega$上几乎处处成立。

推论10.4

令$u_0{\in}L^2(\Omega)$。问题(1)(2)(3)的解$u$有下列性质:

(i)如果$u_0{\ge}0$在$\Omega$上几乎处处成立,则在$Q$上$u{\ge}0$。

(ii)如果$u_0{\in}L^{\infty}(\Omega)$,则$u{\in}L^{\infty}(Q)$且

$$ \|u\|_{L^{\infty}(Q)}{\le}\|u_0\|_{L^{\infty}(\Omega)}\tag{19} $$

推论10.5

令$u_0{\in}C(\overline{\Omega}){\cap}L^2(\Omega)$,其中$u_0=0$在$\Gamma$。则问题(1)(2)(3)的解$u$属于$C(\overline{Q})$。

推论10.5的证明:令$(u_{0n})$为在$C_c^{\infty}(\Omega)$上的一个函数序列,使得在$L^{\infty}(\Omega)$和$L^2(\Omega)$上$u_{0n}{\to}u_0$(这样的一个序列的存在是容易建立的)。由于定理10.2,问题(1)(2)(3)的解$u_n$对应于初始值$u_{0n}$属于$C^{\infty}(\overline{Q})$。另一方面(定理7.7),我们知道

$$ |u_n(t)-u(t)|_{L^2(\Omega)}{\le}|u_{0n}-u_0|_{L^2(\Omega)},{\forall}t{\ge}0 $$

因为(19)我们有

$$ \|u_n-u_m\|_{L^{\infty}(Q)}{\le}\|u_{0n}-u_{0m}\|_{L^{\infty}(\Omega)} $$

因此,在$\overline{Q}$上序列$(u_n)$一致收敛到$u$,且因此$u{\in}C(\overline{Q})$。

正如在椭圆请款,有另一种方法即极大值原理。在这里,我们假设$\Omega$是有界的,令$u(x,t)$是一个函数满足

$$ u{\in}C(\overline{\Omega}{\times}[0,T])\tag{20} $$

$$ u在t处是C^1阶的,且在\Omega{\times}(0,T)的x处是C^2阶的\tag{21} $$

$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u{\le}0{\quad}in{\Omega}{\times}(0,T)\tag{22} $$

定理10.6

假设(20)(21)和(22)。则

$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}u=\max_Pu $$

其中$P=(\overline{\Omega}{\times}\left\{0\right\}){\cup}(\Gamma{\times}[0,T])$被称为圆柱体$\Omega{\times}(0,T)$的"抛物线边界"。

证明:设$v(x,t)=u(x,t)+{\varepsilon}|x|^2$,其中$\varepsilon>0$,于是

$$ \frac{{\partial}v}{{\partial}t}-{\Delta}v{\le}-2{\varepsilon}N<0{\quad}in{\Omega}{\times}(0,T)\tag{24} $$

我们断言

$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}v=\max_Pv $$

假设不是,则存在一些点$(x_0,t_0){\in}\overline{\Omega}{\times}[0,T]$使得$(x_0,t_0){\not\in}P$且

$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}v=v(x_0,t_0) $$

因为$x_0{\in}\Omega$且$0<t_0{\le}T$,我们有

$$ {\Delta}v(x_0,t_0){\le}0\tag{25} $$

$$ \frac{{\partial}v}{{\partial}t}(x_0,t_0){\ge}0\tag{26} $$

(如果$t_0<T$我们有$\frac{{\partial}v}{{\partial}t}(x_0,t_0)=0$且如果$t_0=T$我们有$\frac{{\partial}v}{{\partial}t}(x_0,t_0){\ge}0$)。

结合(25)和(26),我们得到$(\frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}v)(x_0,t_0){\ge}0$,这与(24)矛盾,因此我们有

$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}v=\max_Pv{\le}\max_Pu+{\varepsilon}C $$

其中$C=\sup_{x{\in}\Omega}|x|^2$。因为$u{\le}v$,我们总结出

$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}u{\le}\max_Pu+{\varepsilon}C,{\forall}\varepsilon>0 $$

于是完成了(23)的证明

10.3 波动方程

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集,和上面一样,我们设

$$ Q=\Omega{\times}(0,\infty)和\sum=\Gamma{\times}(0,\infty) $$

考虑下面的问题:找到一个函数$u(x,t):\overline{\Omega}{\times}[0,\infty){\to}\mathbb{R}$满足:

$$ \frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}t^2}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}Q\tag{27} $$

$$ u=0{\quad}on{\;}{\sum}\tag{28} $$

$$ u(x,0)=u_0(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{29} $$

$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}(x,0)=v_0(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{30} $$

其中${\Delta}=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}^2{}}{{\partial}t^2}$表示空间变量$x$的拉普拉斯,$t$是时间变量,且$u_0,v_0$是给定的函数。

方程(27)被称为波动方程。算子$(\frac{{\partial}^2{}}{{\partial}t^2}-{\Delta})$经常由$\Box$代表且被称为达朗贝尔算子。波动方程是典型的双曲方程。

当$N=1$且$\Omega=(0,1)$,方程(27)模拟了弦在没有外力的情况下的小振动。对于每个$t$,函数$x{\in}\Omega{\mapsto}u(x,t)$的图像表示了在时刻$t$时弦的配置。当$N=2$时方程(27)模拟了弹性膜的小振动。对于每一个$t$,函数$x{\in}\Omega{\mapsto}u(x,t)$表示了在时刻$t$时弹性膜的配置。一般来说,方程(27)模拟了波(声波、电磁波等)在一些均匀弹性介质$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$中的传播。

方程(28)是(齐次)Dirichlet边界条件;可以用Neumann条件或第8章或第9章中遇到的任何边界条件来代替。条件在$\sum$上$u=0$意味着弦(或者弹性膜)是在$\Gamma$上固定的,而Neumann条件表示弦在其端点处是自由的。

方程(29)和(30)表示了系统的初始状态:初始形态(也就是说初始位移)由$u_0$描述,初始速度由$v_0$描述。数值$(u_0,v_0)$通常称为柯西值。

为了简化问题我们假设通篇$\Omega$是$C^{\infty}$阶的,且$\Gamma$有界。

定理10.7(存在性与唯一性)

假设$u_0{\in}H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$且$v_0{\in}H^1_0(\Omega)$。则存在问题(27)(28)(29)(30)的唯一解$u$满足

$$ u{\in}C([0,\infty);H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega){\cap}C^1([0,\infty;H^1_0(\Omega){\cap}C^2([0.\infty);L^2(\Omega))\tag{31} $$

更甚者,

$$ \left|\frac{{\partial}u}{{\partial}t}(t)\right|^2_{L^2(\Omega)}+|{\nabla}u(t)|^2_{L^2(\Omega)}=|v_0|^2_{L^2(\Omega)}+|{\nabla}u_0|^2_{L^2(\Omega)},{\forall}t{\ge}0\tag{32} $$

注释6:方程(32)是一个守恒定律,它断言系统的能量在时间上是不变的。

在证明定理10.7之前让我们先提及一个正则性结果

定理10.8(正则性)

假设初值满足

$$ u_0{\in}H^k(\Omega),v_0{\in}H^k(\Omega),{\forall}k $$

且相容性条件

$$ {\Delta}^ju_0=0{\quad}on{\;}\Gamma,{\forall}j{\ge}0,j是整数\\ {\Delta}^jv_0=0{\quad}on{\;}\Gamma,{\forall}j{\ge}0,j是整数 $$

则问题(27)(28)(29)(30)的解$u$属于$C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$。

定理10.7的证明。和第10.1节一样,我们考虑$u(x,t)$为定义在$[0,\infty)$上的一个向量值函数。更准确地,是对任何$t{\ge}0,u(t)$代表了映射$x{\mapsto}u(x,t)$。我们记(27)为下面的一阶方程系统的形式。

$$ \begin{cases} \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-v=0{\quad}in{\;}Q\\ \frac{{\partial}v}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}Q \end{cases}\tag{33} $$

且我们设$U=\dbinom{u}{v}$,于是(33)变为

$$ \frac{dU}{dt}+AU=0\tag{34} $$

其中

$$ AU=\begin{pmatrix} 0 & -I \\ -{\Delta} & 0 \end{pmatrix}U=\begin{pmatrix} 0 & -I \\ -{\Delta} & 0 \end{pmatrix}\dbinom{u}{v}=\dbinom{-v}{-{\Delta}u}\tag{35} $$

我们现在应用Hille–Yosida定理在空间$H=H^1_0(\Omega){\times}L^2(\Omega)$装备上内积

$$ (U_1,U_2)=\int_{\Omega}{\nabla}u_1{\cdot}{\nabla}u_2dx+\int_{\Omega}u_1u_2dx+\int_{\Omega}v_1v_2dx $$

其中$U_1=\dbinom{u_1}{v_1}$和$U_2=\dbinom{u_2}{v_2}$。

考虑无界算子$A:D(A){\subset}H{\to}H$由(35)定义,其中

$$ D(A)=(H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)){\times}H^1_0(\Omega) $$

注意到边界条件(28)已经包含在空间$H$中。条件$v=\frac{{\partial}u}{{\partial}t}=0$在$\sum$上是(28)的直接结果。

我们断言$A+I$是在$H$上极大单调的。

(i)$A+I$是单调的,事实上,如果$U=\dbinom{u}{v}{\in}D(A)$我们有

$$ \begin{align*} (AU,U)_H&+|U|^2_H\\ &=-\int_{\Omega}{\nabla}v{\cdot}{\nabla}u-\int_{\Omega}uv+\int_{\Omega}(-{\Delta}u)v+\int_{\Omega}u^2+\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2+\int_{\Omega}v^2\\ &=-\int_{\Omega}uv+\int_{\Omega}u^2+\int_{\Omega}v^2+\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2{\ge}0 \end{align*} $$

(ii)$A+I$是极大单调的。这等于证明了$A+2I$是满射的。给定$F=\dbinom{f}{g}{\in}H$。我们必须解决方程$AU+2I=F$,也即,系统

$$ \begin{cases} -v+2u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ -{\Delta}u+2v=g{\quad}in{\;}\Omega \end{cases}\tag{36} $$

其中

$$ u{\in}H^2(\Omega){\cap}H^2_0(\Omega)和v{\in}H^1_0(\Omega) $$

从(36)于是有

$$ -{\Delta}u+4u=2f+g\tag{37} $$

方程(37)有唯一一个解$u{\in}H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$(由定理9.25)则我们简单得到$v{\in}H^1_0(\Omega)$由取定$v=2u-f$。而这个解决了(36)。

应用Hille-Yosida定理(定理7.4)和注释7.7,我们发现下述问题存在唯一解

$$ \begin{cases} \frac{dU}{dt}+AU=0{\quad}on{\;}[0,\infty)\\ U(0)=U_0 \end{cases}\tag{38} $$

其中

$$ U{\in}C^1([0,\infty);H){\cap}C([0,\infty);D(A))\tag{39} $$

因为$U_0=\dbinom{u_0}{v_0}{\in}D(A)$。从(39)我们推断出(31)。

为了证明(32),用$\frac{{\partial}u}{{\partial}t}$乘上(27)并且在$\Omega$上积分就足够了。

注意到

$$ \int_{\Omega}\frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}t^2}\frac{{\partial}u}{{\partial}t}dx=\frac{1}{2}\frac{{\partial}}{{\partial}t}\int_{\Omega}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}t}(x,t)\right|^2dx $$

$$ \int_{\Omega}(-{\Delta}u)\frac{{\partial}u}{{\partial}t}dx=\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}\frac{{\partial}}{{\partial}t}({\nabla}u)dx=\frac{1}{2}\frac{{\partial}}{{\partial}t}\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2dx $$

注释7:当$\Omega$是有界的我们可以在$H^1_0(\Omega)$用内积$\int{\nabla}u_1{\cdot}{\nabla}u_2$(见推论9.19),且在$H=H^1_0(\Omega){\times}L^2(\Omega)$内积

$$ (U_1,U_2)=\int_{\Omega}{\nabla}u_1{\cdot}{\nabla}u_2+\int_{\Omega}v_1v_2,其中U_1=\dbinom{u_1}{v_1}和U_2=\dbinom{u_2}{v_2}。 $$

随着这个内积我们有

$$ (AU,U)=-\int_{\Omega}{\nabla}v{\cdot}{\nabla}u+\int_{\Omega}(-{\Delta}u)v=0,{\forall}U=\dbinom{u}{v}{\in}D(A) $$

容易验证:

(i)$A$和$-A$是极大单调的。

(ii)$A^*=-A$。

因此我们可以解决问题

$$ \frac{dU}{dt}-AU=0{\;}on{\;}[0,+\infty),U(0)=U_0 $$

或者等价的

$$ \frac{dU}{dt}+AU=0{\;}on{\;}(-\infty,0],U(0)=U_0 $$

(仅仅变化$t$到$-t$)关系(32)可以记为

$$ |U(t)|_H=|U_0|_H,{\forall}t{\in}\mathbb{R} $$

可以认为单参数族$\left\{U(t)\right\}_{t{\in}\mathbb{R}}$是在$H$上的一族等距。

注释8:. 与热方程相比,波动方程对初值没有平滑作用。为了相信这一点,考虑情况$\Omega=\mathbb{R}$就足够了。

然后有一个非常简单的(27),(28),(29),(30)的显式解,即

$$ u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x+t)+u_0(x-t))+\frac{1}{2}\int^{x+t}_{x-t}v_0(s)ds\tag{40} $$

特别地,如果$v_0=0$,我们有

$$ u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x+t)+u_0(x-t)) $$

显然$u$不必$u_0$更正则(光滑)。我们甚至可以更准确。假设$u_0{\in}C^{\infty}(\mathbb{R}{\backslash}\left\{x_0\right\})$。则$u(x,t)$在$\mathbb{R}{\times}\mathbb{R}$是$C^{\infty}$阶的,除了在轴线$x+t=x_0$和$x-t=x_0$上。这些被称为通过点$(x_0,0)$的特征,也可以说奇点沿着特征传播。

注释9:当$\Omega$是有界的,问题(27),(28),(29),(30)可以通过希尔伯特基分解来解决,就像对热方程所做的那样。在$L^2(\Omega)$的基$(e_i)$中做是方便地,它们由$-{\Delta}$的特征函数组成(带狄利克雷条件)也即:$-{\Delta}e_i={\lambda_i}e_i$在$\Omega$上,$e_i=0$在$\Gamma$上。回忆$\lambda_i>0$。我们寻找问题(27),(28),(29),(30)的解为级数形式

$$ u(x,t)=\sum_ia_i(t)e_i(x)\tag{41} $$

我们立刻看到函数$a_i(t)$必须满足

$$ a_i''(t)+{\lambda_i}a_i(t)=0 $$

于是

$$ a_i(t)=a_i(0)cos(\sqrt{{\lambda_i}t})+\frac{a'_i(0)}{\sqrt{\lambda_i}}sin(\sqrt{\lambda_i}t) $$

常数$a_i(0)$和$a_i'(0)$是由以下关系决定的

$$ u_0(x)=\sum_ia_i(0)e_i(x)和v_0(x)=\sum_ia'_i(0)e_i(x) $$

用另外的话说,$a_i(0)$和$a_i'(0)$是$u_0$和$v_0$在基$(e_i)$上的分量。

定理10.8的证明:我们用到在定理10.7证明同样的记号。容易看到,由在$k$上的归纳,

$$ D(A^k)=\begin{cases} \dbinom{u}{v};u{\in}H^{k+1}且{\Delta}^ju=0{\;}on{\;}\Gamma,{\forall}j,0{\le}j{\le}[k/2]\\ v{\in}H^k(\Omega)且{\Delta}^jv=0{\;}on{\;}\Gamma,{\forall}j,0{\le}j{\le}[(k+1)/2]-1 \end{cases} $$

特别地,$D(A^k){\subset}H^{k+1}(\Omega){\times}H^k(\Omega)$带连续单射。应用定理7.5,我们看到如果$U_0=\dbinom{u_0}{v_0}{\in}D(A^k)$,则问题(38)的解$U$满足:

$$ U{\in}C^{k-j}([0,\infty);D(A^k)),{\forall}j=0,1,{\cdots},k $$

因此$u{\in}C^{k-j}([0,\infty);H^{j+1}(\Omega)),{\forall}j=0,1,{\cdots},k$我们由推论915总结出在定理10.8的假设下(也即$U_0{\in}D(A^k),{\forall}k$),$u{\in}C^k(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty)),{\forall}k$。

注释10:定理10.8中引入的相容性条件是问题(27),(28),(29),(30)的解$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$的充分必要条件。证明是和注释4一样的。

注释10:第10.3节中介绍的技术也可用于求解Klein-Gordon方程

$$ \frac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2}-{\Delta}u+m^2u=0{\;}in{\;}Q,m{>}0\tag{27'} $$

注意到(27‘)不能被未知的变换例如$v(x,t)=e^{\lambda_t}u(x,t)$减弱到(27)

第十章的评论

关于热方程的评论

1. J-L.Lion的方法
2 $C^{\infty}$正规性
3.$L^p$和$C^{0,\alpha}$正规性
4. 抛物型方程的几个例子

关于波动方程的评论

6. 波动方程的弱解
8.极大值原理
9.依赖域。波传播。惠更斯原理
Last modification:February 27th, 2020 at 03:16 pm
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