索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式
9.7 极大值原理
极大值原理是一个非常有用的工具，它包含了很多公式，我们在这里给出了一些简单的形式。
令$\Omega$为一个$\mathbb{R}^N$中的一般开集。
定理9.27（狄利克雷问题的极大值原理）
假设$f{\in}L^2(\Omega)$且$u{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$。满足
$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega)\tag{70} $$
则对于所有的$x{\in}\Omega$，
$$ \min\left\{\inf_{\Gamma}u,\inf_{\Omega}f\right\}{\le}u(x){\le}\max\left\{\sup_{\Gamma}u,\sup_{\Omega}f\right\} $$
（这里和下面的，$sup=essential{\;}\sup$和$inf=essential{\;}\inf$）
证明：我们用到Stampacchia截断法。给i顶一个函数$G{\in}C^1(\mathbb{R})$使得：
（i）$|G'(s)|{\le}M,{\forall}s{\in}\mathbb{R}$。
（ii）$G$是在$(0,+\infty)$上严格递增的。
（iii）$G(s)=0,{\forall}s{\le}0$。
设
$$ K=\max\left\{\sup_{\Gamma}u,\sup_{\Omega}f\right\} $$
且假设$K<\infty$（否则不需要证明）令$v=G(u-K)$，我们区分两种情况：
（a）情况$|\Omega|<\infty$。
则$v{\in}H^1(\Omega)$（从命题9.5应用到函数$t{\mapsto}G(t-K)-G(-K)$）。另一方面，$v{\in}H^1_0(\Omega)$，因为$v{\in}C(\overline{\Omega})$且在$\Gamma$上$v=0$（见定理9.17）将$v$代入（70）且按照定理8.18的证明进行。
（b）情况$|\Omega|=\infty$。
我们则有$K{\ge}0$（因为在$\Omega$上$f(x){\le}K$几乎处处成立且$f{\in}L^2$蕴含着$K{\ge}0$。）固定$K'>K$。由命题9.5应用到函数$t{\mapsto}G(t-K')$我们可以看到，$v=G(u-K'){\in}H^1(\Omega)$。更甚者，$v{\in}C(\overline{\Omega})$且在$\Gamma$上$v=0$。因此$v{\in}H^1_0(\Omega)$，将这个$v$代入（70），我们有
$$ \int_{\Omega}|{\nabla}u|^2G'(u-K')+\int_{\Omega}uG(u-K')=\int_{\Omega}fG(u-K')\tag{71} $$
另一方面，$G(u-K'){\in}L^1(\Omega)$。因为
$$ 0{\le}G(u-K'){\le}M|u| $$
且在集合$[u{\ge}K']=\left\{x{\in}\Omega;u(x){\ge}K'\right\}$我们有
$$ K'\int_{[u{\ge}K']}|u|{\le}\int_{\Omega}u^2<\infty $$
我们从（71）总结出
$$ \int_{\Omega}(u-K')G(u-K'){\le}\int_{\Omega}(f-K')G(u-K'){\le}0 $$
于是在$\Omega$上$u{\le}K'$几乎处处成立，且因此在$\Omega$上$u{\le}K$几乎处处成立（因为$K'>K$是任取的）
推论9.28
令$f{\in}L^2(\Omega)$和$u{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$满足（70），我们有
$$ [u{\ge}0{\;}on{\;}\Gamma和f{\ge}0{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}[u{\ge}0{\;}in{\;}\Omega]\tag{72} $$
$$ \|u\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\le}\max\left\{\|u\|_{L^{\infty}(\Gamma)},\|f\|_{L^{\infty}(\Omega)}\right\}\tag{73} $$
特别地
$$ if{\;}f=0{\;}in{\;}\Omega,则\|u\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\le}\|u\|_{L^{\infty}(\Gamma)}\tag{74} $$
$$ if{\;}u=0{\;}in{\;}\Gamma,则\|u\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\le}\|f\|_{L^{\infty}(\Omega)}\tag{75} $$
注释27：如果$\Omega$是有界的且$u$是方程（下面）的一个经典解
$$ -{\Delta}u+u=f{\;}in{\;}\Omega\tag{76} $$
可以给出定理9.27的另一个证明。事实上，令$x_0{\in}\overline{\Omega}$为一个点使得$u(x_0)=\max_{\overline{\Omega}}u$。
（i）如果$x_0{\in}\Gamma$，则$u(x_0){\le}\sup_{\Gamma}u{\le}K$。
（ii）如果$x_0{\in}\Omega$，则${\nabla}u(x_0)=0$且$\frac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2_i}{\le}0$对于所有的$1{\le}i{\le}N$，于是${\Delta}u(x_0){\le}0$。从这个，用到方程（76）我们有
$$ u(x_0)=f(x_0)+{\Delta}u(x_0){\le}f(x_0){\le}K $$
这个方法有个有点就是应用于一般的二阶椭圆方程。例如，定理9.27的结论是成立的对于
$$ -\sum^N_{i,j=1}\frac{{\partial}}{{\partial}x_j}\left(a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\right)+\sum^N_{i=1}a_i\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}+u=f{\quad}in{\Omega}\tag{77} $$
注意到如果$x_0{\in}\Omega$，则
$$ \sum^N_{i,j=1}a_{ij}(x_0)\frac{{\partial}^2u}{{\partial}x_i{\partial}x_j}(x_0){\le}0 $$
事实上，由通过坐标的变换（依赖于$x_0$）可以减少到情况矩阵$a_{ij}(x_0)$为对角的。定理9.27的结论对于（77）的弱解依旧成立，但是证明更精细一点。
命题9.29
假设函数$a_{ij}{\in}L^{\infty}(\Omega)$满足椭圆条件（36），且$a_i,a_0{\in}L^{\infty}(\Omega)$，其中$a_0{\ge}0$在$\Omega$上。令$f{\in}L^2(\Omega)$和$u{\in}H^1(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega})$为使得
$$ \int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i} \frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}\sum_ia_i \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\varphi+\int_{\Omega}a_0u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega)\tag{78} $$
则
$$ [u{\ge}0{\;}on{\;}\Gamma和f{\ge}0{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}[u{\ge}0{\;}in{\;}\Omega]\tag{79} $$
假设$a_0{\equiv}0$且$\Omega$是有界的，则
$$ [f{\ge}0{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}[u{\ge}\inf_{\Gamma}u{\;}in{\;}\Omega]\tag{80} $$
和
$$ [f=o{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}\left[\inf_{\Gamma}u{\le}\sup_{\Gamma}u{\;}in{\;}\Omega\right]\tag{81} $$
证明：我们在情况$a_i{\equiv}0,1{\le}i{\le}N$证明这个结果；一般地情况是更为精细的。为了构建（79）是说明下面是一样的
$$ [u{\le}{\;}on{\;}和f{\le}0{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}[u{\le}0{\;}in{\;}\Omega]\tag{79'} $$
我们在（78）中取定$\varphi=G(u)$，其中$G$和定理9.27的证明一样，因此我们得到
$$ \int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_j}G'(u){\le}0 $$
且于是
$$ \int_{\Omega}|{\nabla}u|^2G'(u){\le}0 $$
设$H(t)=\int^t_0[G'(s)]^{1/2}ds$，于是
$$ H(u){\in}H^1_0(\Omega)和|{\nabla}H(u)|^2=|{\nabla}u|^2G'(u)=0 $$
于是在$\Omega$上$H(u)=0$，且因此在$\Omega$上$u{\le}0$。
我们现在在下面这个形式中证明（80）：
$$ [f{\le}0{\;}in{\;}\Omega]{\Rightarrow}[u{\le}\sup_{\Gamma}u{\;}in{\;}\Omega]\tag{80'} $$
设$K=\sup_{\Gamma}u$，则$(u-K)$满足（78），因为$a_0{\equiv}0$且$(u-K){\in}H^1(\Omega)$。因为$\Omega$是有界的。应用（79‘）我们得到$u-K{\le}0$在$\Omega$上，也即是（80‘）。最终从（80）和（80’）可以推至（81）。
命题9.30（诺伊曼问题的极大值原理）
令$f{\in}L^2(\Omega)$和$u{\in}H^1(\Omega)$为使得
$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1(\Omega) $$
则我们有，对于几乎处处$x{\in}\Omega$，
$$ \inf_{\Omega}f{\le}u(x){\le}\sup_{\Omega}f $$
证明：类似于定理9.27的证明。
9.8 特征函数与谱分解
在这一节里我们假设$\Omega$是一个有界开集。
定理9.31
存在一个$L^2(\Omega)$的希尔伯特基$(e_n)_{n{\ge}1}$，和一个实序列$(\lambda_n)_{n{\ge}1}$，其中$\lambda_n{\ge}0,{\forall}n$，且$\lambda_n{\to}+\infty$使得
$$ e_n{\in}H^1_0(\Omega){\cap}C^{\infty}(\Omega)\tag{82} $$
$$ -{\Delta}e_n={\lambda_n}e_n{\;}in{\;}\Omega\tag{83} $$
我们说$\lambda_n$是hi${-{\Delta}}$的特征值（带有狄利克雷边界条件）且$e_n$是相联系的特征函数。
证明：给定$f{\in}L^2(\Omega)$，令$u=Tf$为唯一的解$u{\in}H^1_0(\Omega)$关于问题
$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega)\tag{84} $$
我们考虑$T$为从$L^2(\Omega)$到$L^2(\Omega)$上的算子。则$T$是一个自伴紧算子（重复定理8.21的证明且用到事实$H^1_0(\Omega){\subset}L^2(\Omega)$带有紧单射）另一方面，$N(T)=\left\{0\right\}$且$(Tf,f)_{L^2}{\ge}0,{\forall}f{\in}L^2$。我们总结（应用定理6.11）出$L^2$有一个希尔伯特基$(e_n)$包含了$T$的特征函数与特征值$(\mu_n)$相联系，其中$\mu_n{>}0,{\forall}n$且$\mu_n{\to}0$。因此我们有$e_n{\in}H^1_0(\Omega)$且
$$ \int_{\Omega}{\nabla}e_n{\cdot}{\nabla}\varphi=\frac{1}{\mu_n}\int_{\Omega}e_n{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega) $$
用另一种方式说，$e_n$是问题（83）其中$\lambda_n=1/\mu_n$的一个弱解。从节9.6的正规性结果（见注释25）我们可以知道对于任意$w{\subset}{\subset}\Omega,e_n{\in}H^2(w)$。于是对于任意$w{\subset}{\subset}\Omega,e_n{\in}H^4(w)$。且然后对于任意$w{\subset}{\subset},e_n{\in}H^6(w)$。这样子下去，因此$e_n{\in}{\cap}_{m{\ge}1}H^m(w)$对于所有的$w{\subset}{\subset}\Omega$。因此，对于所有的$w{\subset}{\subset}\Omega,e_n{\in}C^{\infty}(w)$。也即$e_n{\in}C^{\infty}(u)$。
注释28：在定理9.31的假设下，序列$(e_n/\sqrt{{\lambda}_n})$是一个$H^1_0(\Omega)$的希尔伯特基，带有内积$\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v$，且$(e_n/\sqrt{{\lambda_n}+1})$是$H^1_0$的一个希尔伯特基装备上内积$\int_{\Omega}({\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+uv)$。事实上，显然序列$(e_n/\sqrt{\lambda_n})$是在$H^1_0(\Omega)$中规范正交的。仍然需要检验由$e_n$张成的向量空间是在$H^1_0(\Omega)$中稠密的。故，令$f{\in}H^1_0(\Omega)$为使得$(f,e_n)_{H^1_0}=0,{\forall}n$。我们必须证明$f=0$。从（83）我们有${\lambda_n}\int{e_n}f=0,{\forall}n$且因此$f=0$（因为$(e_n)$是$L^2(\Omega)$的一个希尔伯特基）
注释29：在定理9.31的假设下（对于一个一般地有界区域$\Omega$）可以证明$e_n{\in}L^{\infty}(\Omega)$，另一方面，如果$\Omega$是$C^{\infty}$阶的，则$e_n{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})$。这个结果从定理9.25容易得到。
注释30：令$a_{ij}{\in}L^{\infty}(\Omega)$为函数满足椭圆条件（36）且令$a_0{\in}L^{\infty}(\Omega)$，则存在一个$L^2(\Omega)$的希尔伯特基$(e_n)$且存在一个实序列$(\lambda_n)$，其中$\lambda_n{\to}+\infty$使得$e_n{\in}H^1_0(\Omega)$且
$$ \int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij} \frac{{\partial}e_n}{{\partial}x_i} \frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}a_0e_n\varphi={\lambda_n}\int_{\Omega}e_n{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega) $$
总结
这一章节是对于索伯列夫空间和椭圆函数的一个导论。
一些非常有用的索伯列夫范数不等式
A。Poincaré–Wirtinger’s inequality
B。Hardy’s inequality
C。Interpolation inequalities of Gagliardo–Nirenberg
分数阶索伯列夫空间
迹理论
2m阶算子和椭圆系统
$L^p$和$C^{0,\alpha}$空间的正规性
变分法的一些缺点及克服方法
对偶方法，稠密方法
Laplace–Beltrami算子
谱性质，逆问题
退化椭圆问题
非线性椭圆问题
半线性，拟线性，自由边界问题
