索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式

9.3 索伯列夫不等式

在第9章中我们可以看到如果$\Omega$有1维，则$W^{1,p}(\Omega){\subset}L^{\infty}(\Omega)$带有连续单射，对于所有的$1{\le}p{\le}\infty$。在维度$N{\ge}2$这个结论仅仅对于$p>N$是对的。当$p{\le}N$可以在$W^{1,p}$上构造函数不属于$L^{\infty}$（见注释16）。然而，一个重要的结果，本质上是索伯列夫，断言如果$1{\le}p<N$，则$W^{1,p}(\Omega){\subset}L^{p^*}(\Omega)$带有连续单射，对于某个$p^*{\in}(p,+\infty)$。这个结果经常被称为索伯列夫嵌入定理。我们由考虑下列情况开始：

A $\Omega$=$\mathbb{R}^N$的情况

定理9.9（索伯列夫）

令$1{\le}p<N$。则

$$ W^{1,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^{p^*}(\mathbb{R}^N)，其中p^*是由\frac{1}{p^*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{N}给定的 $$

且存在一个常数$C=C(p,N)$使得

$$ \|u\|_{p^*}{\le}C\|{\nabla}u\|_p,{\forall}u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N) \tag{17} $$

注释10：$p^*$值可以通过非常简单的缩放参数（缩放）获得。事实上，假设存在常数$C$和$q(1{\le}q{\le}\infty)$使得

$$ \|u\|_q{\le}C\|{\nabla}u\|_p,{\forall}u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)\tag{18} $$

则必要地$q=p^*$。看到这里，固定任意函数$u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$，且代入（18）$u_{\lambda}(x)=u(\lambda{x})$，我们得到

$$ \|u\|_q{\le}C{\lambda}^{1+\frac{N}{q}-\frac{N}{p}}\|{\nabla}u\|_p,{\forall}\lambda>0 $$

蕴含着$1+\frac{N}{q}-\frac{N}{p}=0$，也即$q=p^*$（说明$u$没有完全消逝）

定理9.9的证明依赖于下面的引理：

引理9.4

令$N{\ge}2$且令$f_1,f_2,{\cdots},f_N{\in}L^{N-1}(\mathbb{R}^{N-1})$。对于$x{\in}\mathbb{R}^N$且$1{\le}i{\le}N$设

$$ \widetilde{x}_i=(x_1,x_2,{\cdots},x_{i-1},x_{i+1},{\cdots},x_N){\in}\mathbb{R}^{N-1} $$

也即，$x_i$在序列中省略。则函数

$$ f(x)=f_1(\widetilde{x}_1)f_2(\widetilde{x}_2){\cdots}f_N(\widetilde{x}_N),x{\in}\mathbb{R}^N $$

属于$L^1(\mathbb{R}^N)$且

$$ \|f\|_{L^1(\mathbb{R}^N)}{\le}\prod^N_{i=1}\|f_i\|_{L^{N-1}(\mathbb{R}^{N-1})} $$

证明：情况$N=2$的是平凡的，让我们考虑$N=3$的情况，我们有

$$ \begin{align*} \int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx_3&=|f_3(x_1,x_2)|\int_{\mathbb{R}}|f_1(x_2,x_3)||f_2(x_1,x_3)|dx3\\ &{\le}|f_3(x_1,x_2)|\left(\int_{\mathbb{R}}|f_1(x_2,x_3)|^2dx_3\right)^{1/2}\left(\int_{\mathbb{R}}|f_2(x_1,x_3)|^2dx_3\right)^{1/2} \end{align*} $$

（由柯西-施瓦茨）再次应用柯西-施瓦茨给出

$$ \int_{\mathbb{R}^3}|f(x)|dx{\le}\|f_3\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}\|f_1\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}\|f_2\|_{L^2(\mathbb{R}^2)} $$

一般的情况可以由归纳法得到——假设结果对$N$且然后推导$N+1$，固定$x_{N+1}{\in}\mathbb{R}$；因为赫尔德不等式：

$$ \int_{\mathbb{R}^N}|f(x)|dx_1dx_2{\cdots}dx_N{\le} \|f_{N+1}\|_{L^N(\mathbb{R}^N)}\left[\int|f_1f_2{\cdots}f_N|^{N'}dx_1dx_2{\cdots}dx_N\right]^{1/N'} $$

（其中$N'=N/(N+1)$）对函数$|f_1|^{N'},|f_2|^{N'}{\cdots}|f_N|^{N'}$应用归纳假设，我们得到

$$ \int_{\mathbb{R}^N}|f_1|^{N'}{\cdots}|f_N|^{N'}dx_1{\cdots}dx_N{\le}\prod^N_{i=1}\|f_i\|^{N'}_{L^N(\mathbb{R}^{N-1})} $$

于是有

$$ \int_{\mathbb{R}^N}|f(x)|dx_1{\cdots}dx_N{\le}\|f_{N+1}\|_{L^N(\mathbb{R}^N)}\prod^N_{i=1}\|f_i\|_{L^N(\mathbb{R}^{N-1})} $$

现在改变$x_{N+1}$。每一个函数$x_{N+1}{\mapsto}\|f_i\|_{L^N(\mathbb{R}^{N-1})}$属于$L^N(\mathbb{R}),1{\le}i{\le}N$。作为一个结果，它们的乘积$\prod^N_{i=1}\|f_i\|_{L^N(\mathbb{R}^{N-1})}$属于$L^1(\mathbb{R})$(见注释2由赫尔德不等式)且

$$ \int_{\mathbb{R}^{N+1}}|f(x)|dx_1dx_2{\cdots}dx_{N}dx_{N+1}{\le}\prod^{N+1}_{i=1}\|f_i\|_{L^N(\mathbb{R}^N)} $$

定理9.9的证明，我们从$p=1$的情况和$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$开始，我们有

$$ \begin{align*} |u(x_1,x_2,{\cdots},x_N)|&=\left|\int^{x_1}_{-\infty}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_1}(t,x_2,{\cdots},x_N)dt\right|\\ &{\le}\int^{+\infty}_{-\infty}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_1}(t,x_2,{\cdots},x_N)\right|dt \end{align*} $$

且类似地，对于任何$1{\le}i{\le}N$，

$$ |u(x_1,x_2,{\cdots},x_N)|{\le}\int^{+\infty}_{-\infty}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(x_1,x_2,{\cdots},x_{i-1},t,x_{i+1},{\cdots},x_N)\right|dt\stackrel{def}{=}f_i(\widetilde{x}_i) $$

因此

$$ |u(x)|^N{\le}\prod^N_{i=1}\|f_i\|^{1/(N-1)}_{L^1(\mathbb{R}^{N-1})}=\prod^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|^{1/(N-1)}_{L^1(\mathbb{R}^N)} $$

作为结果，我们有

$$ \|u\|_{L^{N/(N-1)}(\mathbb{R}^N)}{\le}\prod^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|^{1/N}_{L^1(\mathbb{R}^N)}\tag{19} $$

这个就完成了当$p=1$和$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$（17）的证明。我们现在转到$1<p<N$的情况，依旧有$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$。令$m{\ge}1$，对$|u|^{m-1}u$代替$u$应用（19）。我们得到

$$ \|u\|_{p^*}{\le}m\prod^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|^{1/N}_p $$

且因此

$$ \|u\|_{p^*}{\le}C\|{\nabla}u\|_p,{\forall}u{\in}C^1(\mathbb{R}^N) $$

为了完成证明，令$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，且令$(u_n)$为从$C_c^1(\mathbb{R}^N)$的一个序列，使得在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中$u_n{\to}u$。也可以假设，如果需要的话，通过提取子序列，$u_n{\to}u{\quad}a.e.$，我们有

$$ \|u_n\|_{p^*}{\le}C\|{\nabla}u_n\|_p $$

于是由法图引理，有

$$ u{\in}L^{p^*}和\|u\|_{p^*}{\le}C\|{\nabla}u\|_{p} $$

推论9.10

令$1{\le}p<N$，则

$$ W^{1,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^q(\mathbb{R}^N),{\forall}q{\in}[p,p^*] $$

带有连续单射。

证明：给定$q{\in}[p,p^*]$，我们记

$$ \frac{1}{q}=\frac{\alpha}{p}+\frac{1-\alpha}{p^*}对于某个\alpha{\in}[0,1] $$

我们知道（见第四章的注释2）

$$ \|u\|_q{\le}\|u\|^{\alpha}_p\|u\|^{1-\alpha}_{p^*}{\le}\|u\|_p+\|u\|_{p^*} $$

（由Young不等式），用定理9.9，我们推出

$$ \|u\|_q{\le}C\|u\|_{W^{1,p}},{\forall}u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N) $$

推论9.11（极限情况$p=N$）

我们有

$$ W^{1,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^q(\mathbb{R}^N),{\forall}q{\in}[N,+\infty) $$

证明：假设$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$，应用（20）其中$p=N$，我们得到

$$ \|u\|^m_{mN/(N-1)}{\le}m\|u\|^{m-1}_{(m-1)N/(N-1)}\|{\nabla}u\|_N,{\forall}m{\ge}1 $$

且由Young不等式我们有

$$ \|u\|_{mN/(N-1)}{\le}C(\|u\|_{(m-1)N/(N-1)}+\|{\nabla}u\|_N),{\forall}m{\ge}1\tag{21} $$

在（21）中我们首先取定$m=N$，则变为

$$ \|u\|_{N^2/(N-1)}{\le}C\|u\|_{W^{1,N}} $$

且由插值不等式（见第四章注释2）我们有

$$ \|u\|_q{\le}C\|u\|_{W^{1,N}}\tag{22} $$

对于所有的$q$，其中$N{\le}q{\le}N^2/(N-1)$。对于$m=N+1,m=N+2$重申这一论点，我们回到

$$ \|u\|_q{\le}C\|u\|_{W^{1,N}},{\forall}u{\in}C^1(\mathbb{R}^N)\tag{23} $$

对于所有的$q{\in}[N,+\infty)$。其中$C$依赖于$q$和$N$。不等式（23）可以由稠密性延拓到$W^{1,N}$。

定理9.12（Morrey)

令$p>N$，则

$$ W^{1,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^{\infty}(\mathbb{R}^N)\tag{24} $$

带有连续单射。更甚者，对于所有的$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，我们有

$$ |u(x)-u(y)|{\le}C|x-y|^{\alpha}\|{\nabla}u\|_p{\;}a.e.x,y{\in}\mathbb{R}^N $$

其中$\alpha=1-(N/q)$且$C$是一个常数（仅依赖于$p$和$N$）。

注释11：不等式（25）蕴含着一个函数$\widetilde{u}{\in}C(\mathbb{R}^N)$的存在性，使得在$\mathbb{R}^N$上$u=\widetilde{u}{\;}a.e.$。（事实上，令$A{\subset}\mathbb{R}^N$为一个零测集使得（25）对于$x,y{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}A$成立；因为$\mathbb{R}^N{\backslash}A$是在$\mathbb{R}^N$中稠密，函数$u_{|\mathbb{R}^N{\backslash}A}$承认有一个唯一的连续延拓到$\mathbb{R}^N$）。用另一种说法，即任何函数$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，其中$p>N$允许一个连续表示。当它有用时，我们用它的连续表示代替$u$，且我们可以用$u$这个连续表示来表示。

证明：我们从对$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$建立（25）开始。令$Q$为一个开立方体，包含0，其长度$r$的边与坐标轴平行。对于$x{\in}Q$，我们有

$$ u(x)-u(0)=\int^1_0\frac{d}{dt}u(tx)dt $$

且因此

$$ |u(x)-u(0)|{\le}\int^1_0\sum^N_{i=1}|x_i|\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(tx)\right|dt{\le}r\sum^N_{i=1}\int^1_0\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(tx)\right|dt\tag{26} $$

设

$$ \overline{u}=\frac{1}{|Q|}\int_{Q}u(x)dx=在Q上u的平均值 $$

对（26）在$\Omega$上积分，我们得到

$$ \begin{align*} |\overline{u}-u(0)|&{\le}\frac{r}{|Q|}\int_Qdx\sum^N_{i=1}\int_0^1\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(tx)\right|dt\\ &=\frac{1}{r^{N-1}}\int^1_0dt\int_Q\sum^N_{i=1}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(tx)\right|dt\\ &=\frac{1}{r^{N-1}}\int^1_0dt\int_{tQ}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(y)\right|\frac{dy}{t^N} \end{align*} $$

则，由赫尔德不等式，我们有

$$ \int_{tQ}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}(y)\right|dy{\le}(\int_Q\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\right|^p)^{1/p}|tQ|^{1/p'} $$

（因为$tQ{\subset}Q$对于$t{\in}(0,1)$）我们从这归纳出

$$ |\overline{u}-u(0)|{\le}\frac{1}{r^{N-1}}\|{\nabla}u\|_{L^p(Q)^{r^{N/p'}}}\int^1_0\frac{r^{N/p'}}{t^N}dt=\frac{r^{1-(N/p)}}{1-(N/p)}\|{\nabla}u\|_{L^p(Q)} $$

由变换，这个不等式对于所有正方体$Q$的其长度$r$的边与坐标轴平行是依旧成立的，因此我们有

$$ |\overline{u}-u(x)|{\le}\frac{r^{1-(N/p)}}{1-(N/p)}\|{\nabla}u\|_{L^p(Q)},{\forall}x{\in}Q\tag{27} $$

由这些加上（且用上三角不等式），我们得到

$$ |u(x)-u(y)|{\le}\frac{2r^{1-(N/p)}}{1-(N/p)}\|{\nabla}u\|_{L^p(Q)},{\forall}x,y{\in}Q\tag{28} $$

给定两个点$x,y{\in}\mathbb{R}^N$，则存在使得一个立方体$Q$带着边长$r=2|x-y|$包含$x$和$y$。这个蕴含着当$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$的（25）。对于一般地函数$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，我们用一个序列$(u_n){\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$，使得在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中$u_n{\to}u$且$u_n{\to}u{\;}a.e$。

我们现在证明（24），令$u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N),x{\in}\mathbb{R}^N$，且令$Q$为一个立方体，边长$r=1$包含$x$。从（27）和赫尔德不等式我们有

$$ |u(x)|{\le}|\overline{u}|+C\|{\nabla}u\|_{L^p(Q)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(Q)}{\le} C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)} $$

其中$C$仅依赖于$p$和$N$，因此

$$ \|u\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^N)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)},{\forall}u{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N) $$

对于一个一般的函数$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$我们用一个标准的稠密论据。

注释12:我们从（24）归纳出如果$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，其中$N<p<\infty$，则

$$ \lim_{|x|{\to}\infty}u(x)=0 $$

事实上，存在一个在$C_c^1(\mathbb{R}^N)$中的序列$(u_n)$使得，在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中$u_n{\to}u$。由（24），$u$也是在$\mathbb{R}^N$上$u_n$的一致极限。

推论9.13

令$m{\ge}1$为一个整数且令$p{\in}[1,+\infty)$。我们有

$$ W^{m,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^q(\mathbb{R}^N),\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{m}{N},if{\;}\frac{1}{p}-\frac{m}{N}>0 $$

$$ W^{m,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^q(\mathbb{R}^N),{\forall}q{\in}[p,+\infty){\quad}if{\;}\frac{1}{p}-\frac{m}{N}=0 $$

$$ W^{m,p}(\mathbb{R}^N){\subset}L^{\infty}(\mathbb{R}^N),{\quad}\frac{1}{p}-\frac{m}{N}<0 $$

且所有的单射都是连续的。更甚者，如果$m-(N/p)>0$不是一个整数。设

$$ k=[m-(N/p)]且{\theta}=m-(N/p)-k(0<\theta<1) $$

我们有，对于所有的$u{\in}W^{m,p}(\mathbb{R}^N)$，

$$ \|D^{\alpha}u\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^N)}{\le}C\|u\|_{W^{m,p}(\mathbb{R}^N)},{\forall}\alpha,|\alpha|{\le}k $$

和

$$ |D^{\alpha}u(x)-D^{\alpha}u(y)|{\le}C\|u\|_{W^{m,p}(\mathbb{R}^N)}|x-y|^{\theta}{\;}a.e.x,y{\in}\mathbb{R}^N,{\forall}\alpha,|\alpha|{\le}k $$

特别地，$W^{m,p}(\mathbb{R}^N){\subset}C^k(\mathbb{R}^N)$。

证明：所有这些结果可以由定理9.9，推论9.11和定理9.12的应用来得到，

注释13：情况$p=1$和$m=N$是特别地，我们有$W^{N,1}{\subset}L^{\infty}$（但是这部不真，一般情况下，对于$p>1$和$m=N/p$，$W^{m,p}{\subset}L^{\infty}$）四时尚，对于$u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$。我们有

$$ u(x_1,x_2,{\cdots},x_N)=\int^{x_1}_{-\infty}\int^{x_2}_{-\infty}{\cdots}\int^{x_N}_{-\infty}\frac{{\partial}^Nu}{{\partial}x_1{\partial}x_2{\cdots}{\partial}x_N}(t_1,t_2,{\cdots},t_N)dt_1dt_2{\cdots}dt_N $$

且因此

$$ \|u\|_{L^{\infty}}{\le}C\|u\|_{W^{N,1}},{\forall}u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N) $$

一般函数$u{\in}W^{N,1}$的情况由稠密性决定。现在让我们转向下面的。

B $\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$的情况

我们假设$\Omega$是$C^1$阶的一个开集，且$\Gamma$是有界的或者其他的$\Omega=\mathbb{R}^N_{+}$。

推论9.14

令$1{\le}p{\le}\infty$，我们有

$$ W^{1,p}(\Omega){\subset}L^{p^*}(\Omega)，其中\frac{1}{p^*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{N}{\quad}if{\;}p<N\\ W^{1,p}(\Omega){\subset}L^q(\Omega){\quad}{\forall}q{\in}[p,+\infty){\quad}if{\;}p=N\\ W^{1,p}(\Omega){\subset}L^{\infty}(\Omega){\quad}if{\;}p>N $$

且所有这些单射是连续的。更甚者，如果$p>N$我们有，对于所有的$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$。

$$ |u(x)-u(y)|{\le}C\|u\|_{W^{1,p}}|x-y|^{\alpha}{\quad}a.e{\;}x,y{\in}\Omega $$

其中$\alpha=1-(N/p)$且$C$仅依赖于$\Omega,p$和$N$。特别地，$W^{1,p}(\Omega){\subset}C(\overline{\Omega})$。

证明：考虑延拓算子

$$ P:W^{1,p}(\Omega){\to}W^{1,p}(\mathbb{R}^N) $$

（见定理9.7）且然后应用定理9.9，推论9.11，和定理9.12。

推论9.15

推论9.13当$\Omega$代替$\mathbb{R}^N$时，结论仍旧成立。

证明：再次应用推论9.14。

定理9.16(Rellich-Kondrachov)

假设$\Omega$是有界的且是$C^1$阶的，则我们有下面的紧单射：

$$ W^{1,p}(\Omega){\subset}L^q(\Omega),{\forall}q{\in}[1,p^*),其中\frac{1}{p^*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{N},if{\;}p<N\\W^{1,p}(\Omega){\subset}L^q(\Omega),{\forall}q{\in}[p,+\infty),{\quad}if{\;}p=N\\W^{1,p}(\Omega){\subset}C(\overline{\Omega}),{\quad}if{\;}p>N $$

特别地，$W^{1,p}(\Omega){\subset}L^p(\Omega)$对于所有的$p$（和所有的$N$）带有紧单射。

证明：情况$p>N$可以从推论9.14和Ascoli-Arela定理得到。情况$p=N$可以减弱到$p<N$的情况。因此，我们仅需对$p<N$的情况进行讨论。

令$\mathcal{H}$为在$W^{1,p}(\Omega)$中的单位球，令$P$为定理9.7中的延拓算子。设$\mathcal{F}=P(\mathcal{H})$，于是$\mathcal{H}=\mathcal{F}_{|\Omega}$。为了说明$\mathcal{H}$有在$L^q(\Omega)$对于$q{\in}[1,p^*)$的紧闭包，我们引入定理4.26。因为$\Omega$是有界的，我们可以假设$q{\ge}p$。显然，$\mathcal{F}$是在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中有界的，且因此由推论9.10是在$L^q(\mathbb{R}^N)$中有界的。我们需要验证

$$ \lim_{|h|{\to}0}\|\tau_hf-f\|_{L^q(\mathbb{R}^N)}=0在f{\in}\mathscr{F}上一致成立的 $$

由命题9.3我们有

$$ \|{\tau}_hf-f\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}{\le}|h|\|{\nabla}f\|_{L^p(\mathbb{R}^N)},{\forall}f{\in}\mathcal{F} $$

因为$p{\le}q<p^*$，我们可以记

$$ \frac{1}{q}=\frac{\alpha}{p}+\frac{1-\alpha}{p^*}，对于某个\alpha{\in}(0,1] $$

由插值不等式（见第四章的注释2）我们可以有

$$ \begin{align*}\|{\tau}_hf-f\|_{L^q(\mathbb{R}^N)}&{\le}\|\tau_hf-f\|^{\alpha}_{L^p(\mathbb{R}^N)}\|\tau_hf-f\|^{1-\alpha}_{L^{p^*}(\mathbb{R}^N)}\\&{\le}|h|^{\alpha}\|{\nabla}f\|^{\alpha}_{L^p(\mathbb{R}^N)}(2\|f\|_{L^{p^*}(\mathbb{R}^N)})^{1-\alpha}{\le}C|h|^{\alpha}\end{align*} $$

其中$C$独立于$\mathcal{F}$（因为$\mathcal{F}$在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$上有界），需要的结论就能得到了。

注释14：定理9.16是“几乎最佳的”在下面的程度：

（i）如果$\Omega$不是有界的，单射$W^{1,p}(\Omega){\subset}L^p(\Omega)$，一般地，不是紧的。

（ii）映射$W^{1,p}(\Omega){\subset}L^{p^*}(\Omega)$不会是紧的，即便$\Omega$是有界的且光滑的。

注释15：令$\Omega$是$C^1$阶的开的有界集，则范数

$$ \left|\|u\|\right|=\|{\nabla}u\|_P+\|u\|_q $$

是和$W^{1,p}$范数等价的只要

$$ 1{\le}q{\le}p^*{\quad}if{\;}1{\le}p<N\\1{\le}q<\infty{\quad}if{\;}p=N\\1{\le}q{\le}\infty{\quad}if{\;}p>N $$

注释16（极限情况$p=N$）令$\Omega$为$C^1$阶的有界开集，且令$u{\in}W^{1,N}(\Omega)$。则一般地，$u{\notin}L^{\infty}(\Omega)$。例如，如果

$$ \Omega=\left\{x{\in}\mathbb{R}^N;|x|<1/2\right\} $$

函数

$$ u(x)=(log{\;}1/|x|)^{\alpha},0<\alpha<1-(1/N) $$

属于$W^{1,N}(\Omega)$，但是不是有界的，因为奇点在$x=0$。然而，我们有特鲁丁格的不等式

$$ \int_{\Omega}e^{|u|^{N/(N-1)}}<\infty,{\forall}u{\in}W^{1,N}(\Omega) $$