距离
1.2 度量空间
度量空间是在1996年由Maurice Frechet提出的。
定义1.2.1
在一个集合$X$上的一个距离是一个函数
$$ X{\times}X{\to}\mathbb{R}:(u,v){\to}d(u,v) $$
使得：
$(\mathcal{D_1})$：对于任意$u,v{\in}X,d(u,v)=0{\iff}u=v$。
$(\mathcal{D_2})$：对于任意$u,v{\in}X,d(u,v)=d(v,u)$。
$(\mathcal{D_3})$：（三角不等式）对于任意$u,v,w{\in}X,d(u,w){\le}d(u,v)+d(v,w)$。
一个度量空间是一个集合加上在这个集合上的一个距离。
例子：
1，令$(X,d)$为一个度量空间且令$S{\subset}X$，集合$S$加上距离$d$（限制在$S{\times}S$）上是一个度量空间。
2，令$(X_1,d_1)$和$(X_2,d_2)$是度量空间。则集合$X_1{\times}X_2$加上
$$ d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\max\left\{d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2)\right\} $$
是一个度量空间。
3，我们定义在空间$\mathbb{R}^N$上的距离为
$$ d(x,y)=\max\left\{|x_1-y_1|,{\cdots},|x_n-y_n|\right\} $$
在这个定义下，球$B(u,r)=\left\{v:d(u,v)<r\right\}$是一个个离散的点，未必在一条线上。
4，我们定义在空间$C([0,1)]=\left\{u:[0,1]{\to}\mathbb{R}:u是连续的\right\}$为
$$ d(u,v)=\max_{x{\in}[0,1]}|u(x)-v(x)| $$
这是一个函数空间的例子，是一个线性空间，并且是无穷维的线性空间。
定义1.2.2
考虑度量空间上的收敛问题。
令$X$为一个度量空间。一个序列$(u_n){\subset}X$收敛到$u{\in}X$如果
$$ \lim_{n{\to}\infty}d(u_n,u)=0 $$
则我们记$\lim_{n{\to}\infty}u_n=u$或者$u_n{\to}u,n{\to}\infty$。
序列$(u_n)$是一个柯西序列：如果
$$ \lim_{j,k{\to}\infty}d(u_j,u_k)=0 $$
序列$(u_n)$是有界的：如果
$$ \sup_nd(u_0,u_n)<\infty $$
命题1.2.3
任意收敛序列是一个柯西序列。任意柯西序列是一个有界序列。
证明：
如果$(u_n)$收敛到$u$，则由三角不等式，于是有
$$ 0{\le}d(u_j,u_k){\le}d(u_j,u)+d(u,u_k) $$
于是取极限，再由收敛则有$\lim_{j,k{\to}\infty}d(u_j,u_k)=0$。
（反之未必成立，必须包含一个收敛子序列的柯西序列才收敛）
如果$(u_n)$是一个柯西序列，则存在$m$，使得对$j,k{\ge}m,d(u_j,u_k){\le}1$。我们得到对于任意$n$有
$$ d(u_0,u_n){\le}\max\left\{d(u_0,u_1),{\cdots},d(u_0,u_{m-1}),d(u_0,u_m)+1\right\} $$
定义1.2.4.
一个序列$(u_{n_j})$是序列$(u_n)$的子序列：指的是如果对任意$j,n_j<n_{j+1}$。
定义1.2.5
令$X$为一个度量空间。空间$X$是完备的指的是：如果任意柯西序列在$X$中收敛（意味着柯西序列收敛到这个空间里面）。空间$X$是仿紧的指的是：如果任意序列在$X$中包含一个柯西子序列（这个子序列未必收敛到$X$中）。空间$X$是紧的指的是：如果任意序列在$X$中包含一个收敛子序列。（这个子序列必须收敛到$X$中）。
注解：
（a）完备性允许我们不用极限，就可以证明一个序列的收敛。
（b）紧致性将会用在证明存在性定理和找到隐藏的一致性上。
下面命题的证明留给读者。
命题1.2.6
任意包含一个收敛子序列的柯西序列收敛。
任意一个收敛，柯西或者有界序列的子序列也是收敛、柯西或者有界的。
证明：这里是度量空间中，并且$X$未曾说明是完备的或者有紧性质。我们考虑包含一个收敛子序列的柯西序列$(u_n)$，其收敛子序列为$(u_{n_j})$。由于该序列是柯西序列，故有
$$ \lim_{n,j{\to}\infty}d(u_n,u_j)=0 $$
而子序列是收敛的，故有
$$ \lim_{n{\to}\infty}d(u_{n_j},u)=0,u{\in}X $$
由于三角不等式，我们有
$$ 0{\le}d(u_n,u){\le}d(u_n,u_{n_j})+d(u_{n_j},u) $$
两边取极限，直接得到
$$ \lim_{n{\to}\infty}d(u_{n},u)=0,u{\in}X $$
于是乎该柯西序列收敛，并且收敛到收敛子序列的极限。
下面那段话其实意味着子序列继承了序列的收敛、柯西、有界性质，其证明如下：
收敛性质的继承：
首先序列$(u_n)$收敛我们得到：
$$ \lim_{n{\to}\infty}d(u_{n},u)=0,u{\in}X $$
于是仅需取到足够后面的子序列，容易得到
$$ \lim_{n{\to}\infty}d(u_{n_j},u)=0,u{\in}X $$
于是乎子序列$(u_{n_j})$收敛。
柯西性质的继承：
$$ \lim_{j,k{\to}\infty}d(u_j,u_k)=0 $$
显然仅需取到子序列
$$ \lim_{j,k{\to}\infty}d(u_{n_j},u_{n_k})=0 $$
于是乎子序列$(u_{n_j})$是柯西序列。
有界性质的继承：
$$ \sup_nd(u_0,u_n)<\infty $$
于是乎再取子序列则有
$$ \sup_{n_j}d(u_0,u_{n_j})<\infty $$
命题1.2.7
一个度量空间是紧致的当且仅当它是仿紧的且完备的。
首先若度量空间$X$是紧致的，则有任意序列在$X$中包含一个收敛子序列。我们要推出其仿紧和完备的性质：任意序列在$X$中包含一个柯西子序列且任意柯西序列在$X$中收敛。
充分性：不妨任意取定一个序列$(u_n)$，它在$X$中包含一个收敛子序列，由于命题1.2.3，我们知道收敛序列必定是柯西的，于是乎仿紧性质得到了；然后现在任意取定一个柯西序列$(y_n)$，我们由紧性质，知道该柯西序列$(y_n)$在$X$中包含一个收敛子序列，然后根据命题1.2.6，我们知道该柯西序列在$X$中收敛。
必要性非常简单，由于仿紧和完备性质：任意序列在$X$中包含一个柯西子序列且任意柯西序列在$X$中收敛。我们任意取定一个序列$(u_n)$在$X$中包含一个柯西子序列$(u_{n_j})$，而该柯西子序列根据完备性质，必然在$X$中收敛。于是乎我们得到了任意序列在$X$中包含一个收敛子序列，也即紧性的定义。
定理1.2.8
实数轴$\mathbb{R}$，带有通常距离是完备的。
证明：考虑到实数轴$\mathbb{R}$，其带有的通常距离
$$ d(r_1,r_2)=|r_1-r_2| $$
验证距离三要素：正定，对称，三角不等式这里就不加赘述了。
要说明是完备的，也即任意柯西序列在$\mathbb{R}$中是收敛的。
思路：给定柯西序列$(x_n)$，则由命题1.2.3柯西序列是有界的，再由作业1中的第二题：任意实数有界序列包含一个收敛子序列。于是有收敛子列，最后整个序列是收敛的。
例子：
（一个不完备的度量空间）我们在$X=C([0,1])$上定义距离为
$$ d(u,v)=\int^1_0|u(x)-v(x)|dx $$
任意序列$(u_n){\subset}X$使得：
（a）对任意$x$和对任意$n,u_n(x){\le}u_{n+1}(x)$。
（b）
$$ \sup_n\int^1_0u_n(x)dx=\lim_{n{\to}\infty}\int^1_0u_n(x)dx<+\infty $$
是一个柯西序列。
事实上，我们有
$$ \lim_{j,k{\to}\infty}\int^1_0|u_j(x)-u_k(x)|dx=\lim_{j,k{\to}\infty}|\int^1_0(u_j(x)-u_k(x))dx|=0 $$
但是$X$带上距离$d$是不完备的，因为下面定义的序列
$$ u_n(x)=\min(n,1/\sqrt{x}) $$
满足（a）和（b）但是不收敛。
事实上，假设$(u_n)$在$X$上收敛到$u$，我们得到，对于$0<\varepsilon<1$，有
$$ \int^1_{\varepsilon}|u(x)-1/\sqrt{x}|dx=\lim_{n{\to}\infty}\int^1_{\varepsilon}|u(x)-u_n(x)|dx{\le}\lim_{n{\to}\infty}\int^1_0|u(x)-u_n(x)|dx=0 $$
但是这是不可能的，因为$u(x)=1/\sqrt{x}$在$0$处没有连续延拓。（它根本不在$X=C([0,1])$这个连续函数空间里）
定义1.2.9
令$X$为一个度量空间，$u{\in}X$且$r>0$。中心为$u$且半径为$r$的开闭球定义为
$$ B(u,r)=\left\{v{\in}X:d(u,v)<r\right\},B[u,r]=\left\{v{\in}X:d(v,u){\le}r\right\} $$
$X$的子集$S$为开集，指的是对于所有的$u{\in}S$，存在$r>0$，使得$B(u,r){\subset}S$。
$X$的子集$S$为闭集，指的是如果$X{\backslash}S$为开集。
例如：开球是开集，闭球是闭集。
命题1.2.10
任意个开集的并集还是开集，任意个闭集的交集还是闭集。有限个开集的交集还是开集，有限个闭集的并集还是闭集。
无限个开集的交集不见得是开集，无限个闭集的并集不见得是闭集。
证明：开集的性质可以从定义推出，闭集的性质仅需考虑其补即可。
定义1.2.11
令$S$为一个度量空间$X$的子集，$S$的内部，记为$\mathring{S}$，是在$X$中包含$S$的最大开集。$S$的闭包，记为$\overline{S}$，是在$X$中包含$S$的最小闭集。$S$的边界记为${\partial}S=\overline{S}{\backslash}\mathring{S}$。集合$S$是稠密的：如果$\overline{S}=X$。
由定义，$S$的内点集合$\mathring{S}$是在$X$中包含$S$的最大开集，所以可以写为
$$ \mathring{S}=\bigcup_{O{\subset}S}O,O为开集 $$
所以开集的内点集（内部）就是开集自己。
同样，$S$的闭包$\overline{S}$是在$X$中包含$S$的最小闭集，所以可以写为
$$ \overline{S}=\bigcap_{S{\subset}F}F,F是闭集 $$
所以闭集的闭包就是闭集自己。
命题1.2.12
令$X$为一个度量空间，$S{\subset}X$且$u{\in}X$，下列性质是等价的：
（a）$u{\in}\overline{S}$。
（b）对于所有的$r>0,B(u,r){\cap}S{\neq}\varnothing$。
（c）存在$(u_n){\subset}S$使得$u_n{\to}u$。
证明：显然$(b){\iff}(c)$。
（反证法）假设$u{\not\in}\overline{S}$。则存在一个$X$中的闭子集$F$，使得$u{\not\in}F$且$S{\subset}F$。由定义，则存在$r>0$使得$B(u,r){\cap}S=\varnothing$。因此（b）蕴含着（a）。
（反证法）如果存在$r>0$使得$B(u,r){\cap}S=\varnothing$，则$F=X{\backslash}B(u,r)$是一个包含$S$的闭子集。我们推出$u{\not\in}\overline{S}$。因此（a）蕴含着（b）。
定理1.2.13
（贝尔定理）：在一个完备的度量空间中，任意一个开稠密子集序列的交还是稠密的。
证明：$U_n$是一个序列的开集，每一个都是稠密的，也即$\overline{U_n}=X$。要证明${\cap}_nU_n$还是稠密的，也即$\overline{\cap_n{U_n}}=X$，即任意$u{\in}X,u{\in}\overline{\cap_n{U_n}}$。由命题1.2.12，等价于证明：对于任何开球$B$，有$B{\cap}({\cap_n}U_n){\neq}\varnothing$。
由于$U_0$是稠密的，故此$B{\cap}U_0{\neq}\varnothing$。由于$B$和$U_0$都是开的，$B{\cap}U_0$还是开集，于是存在$u_0{\in}B{\cap}U_0$，所以存在$r>0,B(u_0,r){\subset}B{\cap}U_0$。如有必要，缩小一下$r$，记为$r_0$，使得以$r_0$为半径$u_0$为中心的闭球包含在$B{\cap}U_0$内，即为$B[u_0,r_0]{\subset}B{\cap}U_0$。再考虑非空开集$B(u_0,r_0){\cap}U_1{\neq}\varnothing$。我们可以找到$u_1,r_1>0$，使得$B[u_1,r_1]{\subset}B(u_0,r_0){\cap}U_1$。用归纳法，对于任意$n$，有
$$ B[u_n,r_n]{\subset}B(u_{n-1},r_{n-1}){\cap}U_n $$
在构造的过程中，不妨设$r_n{\le}\frac{1}{n}$。由此容易验证，$u_n$是一个柯西序列。事实上，对于$j,k{\ge}n,d(u_j,u_k){\le}2/n$。由$X$完备性，$u_n$收敛到$u{\in}X$。不难验证$u{\in}B[u_{n-1},r_{n-1}]{\cap}U)n$对任意$n$成立，所以$u{\in}B{\cap}(\cap_n{U_n})$。（验证方式：这里对固定$n$，当$j{\ge}n$时有$u_j{\in}B(u_n,r_n)$，令$j{\to}\infty,u{\in}B[u_n,r_n]{\subset}B$，这里用到命题1.2.12）。
应用：我们可以用贝尔定理证明$\mathbb{R}$是不可数的。假设$(r_n)$是$\mathbb{R}$的一个集列。则对于任意$n$，集合$U_n=\mathbb{R}{\backslash}\left\{r_n\right\}$是开的且稠密的。但是则${\cap}^{\infty}_{n=1}U_n$是稠密的且空的。这个引起了贝尔定理得出结论的矛盾。
定义1.2.14
令$X$为一个度量空间带上距离$d$，且令$S{\subset}X$。子集$S$是完备的，预紧的或者紧致的：如果$S$带上距离$d$是完备的，预紧的或者紧致的。一个$X$中子集族$\mathcal{F}$关于$S$的覆盖，使得$\mathcal{F}$的并集覆盖$S$。（紧性条件的另一种形式——开覆盖有有限子覆盖）
命题1.2.15
令$X$为一个完备度量空间且令$S{\subset}X$。则$S$是闭集当且仅当$S$是完备的。
证明：用到定理1.1.12和上面的定义就足够了。
充分性，已经知道$S$是完备的，用定义1.2.14也就是有$S$带上距离$d$是完备的。由完备性，我们知道存在$S$中的柯西列收敛到$S$，然后用到定理1.1.12的（a）可以推出这个收敛到$\overline{S}$，于是推出有$S=\overline{S}$，于是$S$是闭集。
必要性：因为$S$是闭集，于是$S=\overline{S}$，于是用到定理1.1.12，存在$(u_n){\subset}S$使得$u_n{\to}u$。不妨设该序列是柯西序列，则可以证明$S$是完备的。
定理1.2.16
(Frechet's criterion)：令$X$为一个度量空间且令$S{\subset}X$。下面的性质是等价的：
（a）$S$是预紧的。
（b）对于任意$\varepsilon>0$，存在一个关于$S$的有限覆盖球半径为$\varepsilon$。
证明：
下面推上面：假设$S$满足（b）。我们必须证明对于任意序列$(u_n){\subset}S$含有一个柯西子序列。康托尔对角线抽取子列的方法可以用上。存在一个半径为1的球$B_1$包含一个从$(u_n)$抽取出来的子列$(u_{1,n})$。由归纳法，对于任意$k$，存在一个半径为$1/k$的球$B_k$包含一个从$(u_{k-1},n)$抽取出来的子列$(u_{k,n})$。序列$v_n=u_{n,n}$是一个柯西列。事实上，对于$m,n>{\ge}k,v_m,v_n{\in}B_k$且$d(v_m,v_n){\le}2/k$。于是预紧性质得以证明。
上面推出下面：（反证法）假设（b）不满足。则存在$\varepsilon>0$使得$S$没有有限的半径为$\varepsilon$的球覆盖。令$u_0{\in}S$，存在$u_1{\in}S{\backslash}B[u_0,\varepsilon]$。由归纳法，对于任意$k$，存在
$$ u_k{\in}S{\backslash}\bigcup^{k-1}_{j=0}B[u_j,\varepsilon] $$
因此对于$j<k,d(u_j,u_k){\ge}\varepsilon$，所以序列$(u_n)$不含有柯西子序列。（与预紧性质矛盾）
任意预紧空间是可分的。（可以用定理1.2.16的等价性证明）想法：可以取一个序列的半径$\varepsilon_n{\to}0$，对每一个半径$\varepsilon_n{\to}0$有有限个球，其并集包含$X$，取所有这些球的中心点，就是个可数的稠密集。
定义1.2.17
一个度量空间是可分的：如果它含有一个可数稠密子集。
命题1.2.18
令$X$和$Y$为可分的度量空间且令$S$为$X$的一个子集。
（a）空间$X{\times}Y$是可分的。
（b）空间$S$是可分的。
证明：令$(e_n)$和$(f_n)$为在$X$和$Y$中的稠密序列。集族$\left\{(e_n,f_k):(n,k){\in}\mathbb{N}^2\right\}$是在$X{\times}Y$中可数且稠密的。（也就是空间$X{\times}Y$是可分的）
令
$$ \mathcal{F}=\left\{(n,k){\in}\mathbb{N}^2:k{\ge}1,B(e_n,1/k){{\cap}}S{\neq}\varnothing\right\} $$
对于任意$(n,k){\in}\mathcal{F}$，我们取定$f_{n,k}{\in}B(e_n,1/k){\cap}S$。集族$\left\{f_{n,k}:(n,k){\in}\mathcal{F}\right\}$是在$S$中可数且稠密的。（也就是空间$S$是可分的：其操作是先做出上述的乘积空间然后取交集）
