广义函数与Sobolev空间
广义函数的基本概念、基本空间
近代的偏微分方程理论在更广的函数空间讨论各类问题，因此将经典函数概念扩充，扩充概念后的函数称之为广义函数。目前最常用的扩充函数概念的方法是：利用泛函来引入广义函数。
简单来说，就是找一个泛函的集合，使得所有常义函数都是这个泛函集合中的元素（兼容），并且该泛函集合中包含更多的元素，则该泛函集合就可以视为一个广义函数类——是已有的常义函数的拓广。
考察$L^2[a,b]$上的函数，则由于Resiz表示定理，容易有一个泛函
$$ F(\varphi)=<f,\varphi>=\int^b_af(x){\varphi(x)}dx,\quad{\forall{\varphi(x)}{\in}L^2[a,b]} $$
也就是对一个$L^2[a,b]$中一个线性泛函，都会有一个函数$f(x){\in}L^2[a,b]$来对应，并且表示为上述形式。从而可以知道$L^2$函数与$L^2[a,b]$空间上的泛函是一样的。
而考察$L^p[a,b]$则不一样，根据Resiz表示定理，则当$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$时，$L^q[a,b]$中的函数也可以按照内积形式定义一个$L^p[a,b]$上的泛函，而$L^p[a,b]$上的函数也可也表示为$L^q[a,b]$中的函数，又因为$L^p[a,b]{\subset}L^q[a,b],q<2<p$，则意味着$L^p[a,b]$可以用泛函导出更多的函数，从而得到一些“广义的函数”。
考察性质更好的$C[a,b]$连续函数全体，这时$L^1[a,b]$中任一函数，仍然可以按照内积定义一个线性连续泛函。但是我们反过来，$C[a.b]$上的线性连续泛函却不一定可以用一个常义函数$f{\in}L^1[a,b]$表示为内积形式。
设$0{\in}[a,b]$，于是对$\varphi(x){\in}C[a,b]$，可以定义一个线性连续泛函
$$ F(\varphi)=\varphi(0)\tag{1.2} $$
容易知道，若$\varphi_v(x){\in}C[a,b]$，满足
$$ \|\varphi_v(x)\|_{C[a,b]}=\max_{x{\in}[a,b]}|\varphi_v(x)|{\to}0 $$
则$F(\varphi_v(x))=\varphi_v(x){\to}0$，所以$F(\varphi)$是连续的，而关于它是线性这一点显然。（证明是一个线性连续泛函）
但是，找不到一个常义函数$f(x)$，使得
$$ \int^b_af(x){\varphi(x)}dx=\varphi(x),\quad{\forall}\varphi(x){\in}C[a,b]\tag{1.3} $$
证明找不到，用的是积分绝对连续性导出的矛盾。
其中(1.2)式中表示的泛函是无法用常义函数来表示的，所以称(1.2)式中的泛函为$\delta$函数，形式记为$<\delta,\varphi>$。
定义在一些特定函数空间上的线性连续泛函称之为广义函数。将广义函数所作用的函数空间称之为基本函数空间。广义函数就是这个基本函数空间上的线性连续泛函。
常用基本函数空间及其性质
基本空间$C^{\infty}(R^n),C^{\infty}_c(R^n)$。
定义一个函数空间不仅要给出在该空间内的元素，还必须给出其中的拓扑结构。
定义空间$C^{\infty}(R^n)$。在$C^{\infty}(R^n)$中的元素是在$R^n$中任意次连续可微的复值函数，其中的拓扑规定为：若有$C^{\infty}(R^n)$中的序列$\left\{\varphi_v\right\}$，且对任一重指标$\alpha$，
$$ \sup_{x{\in}K}|{\partial}^{\alpha}\varphi_v|{\to}0 $$
则称$\varphi_v{\to}0(C^{\infty}(R))$。
对于一个连续函数$\varphi(x)$，将$\varphi(x){\neq}0$的点$x$全体的闭包称之为$\varphi(x)$的支集，记作supp$\varphi(x)$，也就是
$$ supp\;\varphi(x)=\overline{\left\{x|\varphi(x){\neq}0\right\}} $$
如果$\varphi(x)$的支集是紧集，则称$\varphi(x)$有紧支集。
定义空间$C^{\infty}_c(R^n)$，其中元素是无限次连续可微并且有紧支集的函数，在其中的拓扑规定为：若有$C^{\infty}_c(R^n)$中的序列$\left\{\varphi_v\right\}$，满足条件：
（1）所有$\varphi_v$的支集在一个共同的紧集$K$内
（2）对任何重指标$\alpha$，在上述紧集$K$内成立
$$ \sup_{x{\in}K}|{\partial}^{\alpha}\varphi_v|{\to}0 $$
则称$\varphi_v{\to}0(C_c^{\infty}(R))$，并且空间$C^{\infty}_c(R^n)$又记为$\mathscr{D}(R^n)$。
类似地，对于$R^n$中的开集$\Omega$也可也定义相应的函数空间。
例子1：令
$$ \varphi(x)=\begin{cases} e^{\frac{1}{|x|^2-1}},|x|<1,\\ 0,|x|{\ge}1 \end{cases} $$
易验证，$\varphi(x)$是一个无限连续可微的函数，并且其支集为$|x|{\le}1$，于是有$\varphi(x){\in}C^{\infty}_c(R)$。
今后的讨论中，经常用到这个函数$\alpha(x)=\frac{1}{C}\varphi(x)$。其中$C=\int_{R^n}\varphi(x)dx$。于是对函数$\alpha(x)$，有$\int_{R^n}\alpha(x)dx=1$成立。
例子2：设$R>1,g_R(x)$为球$B_R$的特征函数，也就是
$$ g_R(x)=\begin{cases} 1,|x|{\le}R,\\ 0,|x|>R. \end{cases} $$
作
$$ \beta_R(x)={\int}g_R(x-t)\alpha(t)dt={\int}g_R(t)\alpha(x-t)dt $$
其中$\alpha(x)$为例子1所定义吗，所以$\beta_R(x)$表示以$x$为中心，以1为半径的球中函数$g_R(t)$的带权平均值。注意到在$\beta_R(x)$定义中的积分是实际上仅在有界区域中进行，因此若将$\beta_R(x)$关于自变量求导就可以转移到$\alpha(x-t)$上去，从而可以证明：$\beta_R(x)$为$C^{\infty}$函数，它的支集在$|x|{\le}R+1$中，且在支集上，$\beta_R(x)=1$恒成立。
根据上面函数可以做一个$\beta_v$，对任一函数$\varphi{\in}C^{\infty}(R^n)$，作$\varphi_v(x)=\beta_v(x)\varphi(x)$，则$\varphi_v(x){\in}C^{\infty}_c(R^n)$，它在$|x|{\le}v-1$时候恒等于$\varphi(x)$，在$|x|>v+1$时等于0，且当$v{\to}\infty$时在任何固定的紧集上，最终必有$\varphi_v(x)=\varphi(x)$，所以$\varphi_v(x){\to}\varphi(x)(C^{\infty}(R^n))$，所以$C^{\infty}(R^n)$中函数很多，按照$C^{\infty}(R^n)$中拓扑构成其上的稠密集。
例子3：指出$C^{\infty}_c(R^n)$与$C^{\infty}(R^n)$上极限是不同的，因为拓扑不同导致极限不同。
函数的正则化、平均算子
设$\alpha(x)$为上述所定义，记$\alpha_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{\varepsilon^n}\alpha(\frac{x}{\varepsilon})$，则$\alpha_{\varepsilon}(x)$也是$C^{\infty}_c(R^n)$的元素，且满足supp$\alpha_{\varepsilon}(x)=\left\{x||x|<\varepsilon\right\},\int_{R^n}{\alpha}_{\varepsilon}(x)dx=1$。
如果函数$u(x)$定义在区域$\Omega$中，在任意紧集$K{\subset}\Omega$中均为Lebesgue可积的，则称$u(x)$为局部可积。如果函数$u(x)$在$R^n$中局部可积，则
$$ u_{\varepsilon}(x)=\int_{R^n}u(x-y)\alpha_{\varepsilon}(y)dy=\int_{R^n}u(y)\alpha(x-y)dy\tag{1.7} $$
有定义，且成立下面的定理。
定理1.1：设$u(x)$在$R^n$中局部可积，则按照(1.7)式定义的$u_{\varepsilon}$是一个$C^{\infty}$函数，且当$\varepsilon{\to}0$时，若$u(x){\in}C^0(R^n)$，则$u_{\varepsilon}{\to}u(C^0(R^n))$，若$u(x){\in}L^p(R^n)$，则$u_{\varepsilon}{\to}u(L^p(R^n))$。
证明：首先是证明是一个$C^{\infty}$函数：因为$u_{\varepsilon}(x)$可以表示为$\int_{R^n}u(y)\alpha(x-y)dy$，而$\alpha_{\varepsilon}$是一个无限连续可微的函数，故利用导数与积分号可以交换的性质，可以得到$u_{\varepsilon}(x)$可以无限次求导的性质。
若$u(x){\in}C^0(R^n)$，利用$\int_{R^n}{\alpha}_{\varepsilon}(x)dx=1$，可以得到
$$ u_{\varepsilon}(x)-u(x)=\int_{R^n}(u(x-y)-u(x))\alpha_{\varepsilon}(y)dy $$
当$x$属于某个紧集$K$时，由于$\alpha_{\varepsilon}(x)$的支集在球$|x|{\le}\varepsilon$中，故上式积分号下作为函数$u$的变元的$x$与$x-y$落在紧集$K_1$中，这里$K_1={\bigcup}\left\{x|d(x,K)<1\right\}$，它是把以$K$中任意点为中心，半径为1的球都包含在里面的紧集。利用$u(x)$在紧集$K_1$上的一致连续性可以知道，对于任意的$\delta>0$，当$\varepsilon$充分小有
$$ \max_{x{\in}K}|u_{\varepsilon}-u|{\le}\max_{x{\in}K}\int_{|y|<\varepsilon}|u(x-y)-u(x)|\alpha_{\varepsilon}(y)dy{\le}\delta\int_{|y|{\le}\varepsilon}\alpha_{\varepsilon}(y)dy=\delta $$
所以当$\varepsilon{\to}0$时，$u_{\varepsilon}{\to}u(C^0(R^n))$。
上面操作根据紧集和一致连续性，还有积分形式得到。
如果$u{\in}L^p(R^n)$，为证明$u_{\varepsilon}{\to}u(L^p(R^n))$，我们首先要找到一个具有紧支集的连续函数$v$，使它满足$\|u-v\|_{L^p}{\le}\frac{\delta}{3}$，利用$L^p$空间的三角不等式，有
$$ \|u_{\varepsilon}-u\|_{L^p}{\le}\|u_{\varepsilon}-v_{\varepsilon}\|_{L^p}+\|v_{\varepsilon}-v\|_{L^p}+\|u-v\|_{L^p}\tag{1.8} $$
由于对任意$L^p$函数$f(x)$，成立，下面有$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。
$$ \begin{align*} \|f_{\varepsilon}\|_{L^p}&=(\int_{R^n_x}|f_{\varepsilon}|^pdx)^{\frac{1}{p}}\\ &=\left\{\int_{R^n_x}|\int_{R^n_y}f(x-y)\alpha_{\varepsilon}(y)dy|^pdx\right\}^{\frac{1}{p}}\\ &{\le}\left\{\int_{R^n_x}(\int_{R^n_y}|f(x-y)|\alpha_{\varepsilon}(y)dy)^pdx\right\}^{\frac{1}{p}}\\ &{\le}\left\{\int_{R^n_x}(\int_{R^n_y}|f(x-y)|^p\alpha_{\varepsilon}(y)dy)^{\frac{p}{p}}{\cdot}(\int_{R^n_y}\alpha_{\varepsilon}(y)dy)^{\frac{p}{q}}dx\right\}^{\frac{1}{p}}\\ &{\le}\left\{\int_{R^n_x}\int_{R^n_y}|f(x-y)|^p\alpha_{\varepsilon}(y)dydx\right\}^{\frac{1}{p}}\\ &{\le}\left\{\int_{R^n_y}\alpha_{\varepsilon}(y)\int_{R^n_x}|f(x-y)|^pdydx\right\}^{\frac{1}{p}}=\|f\|_{L^p} \end{align*} $$
因此则有$\|u_{\varepsilon}-v_{\varepsilon}\|{\le}\|u-v\|_{L^p}$。（这里用了holder不等式）用三角不等式与一个连续函数插入一项过渡掉。
但是由于$v$是具有紧支集的连续函数，所以$v_{\varepsilon}{\to}v(C^0(R^n))$，因此当$\varepsilon$充分小时，也有$\|v_{\varepsilon}-v\|_{L^p}<\frac{\delta}{3}$，所以从(1.8)式可以得到$\|u_{\varepsilon}-u\|_{L^p}<\delta$。于是得到了$u_{\varepsilon}{\to}u(L^p(R^n))$的结论。
记$u_{\varepsilon}=J_{\varepsilon}u$，则$J_{\varepsilon}$可以看作是从函数$u(x)$得到一个$C^{\infty}$函数$J_{\varepsilon}u$的算子，这个算子为平均化算子或者磨光算子。
从定理1.1可以知道，$J_{\varepsilon}$可以看成是$L^p(R^n){\to}C^{\infty}(R^n)$的一个映射，或者也可也看作是$C^0(R^n){\to}C^{\infty}(R^n)$的一个映射，当$\varepsilon$充分小时，$u_{\varepsilon}=J_{\varepsilon}u$与$u$是很接近的，由函数$u(x)$得到$u_{\varepsilon}(x)$的方法称之为函数的正则化。
定理1.1还说明了空间$C^{\infty}(R^n)$在$C^0(R^n),L^p(R^n)$中是稠密的。
值得注意的是，磨光算子不是唯一的，虽然要求是要紧支集，但是我们还可以用其他形式的具有紧支集的函数代替，之后可以加上新的要求与约束，从而使得磨光之后的函数具有一些其他性质。
定理1.1的结论：
$J_{\varepsilon}$是$L^p(R^n)$到$L^p(R^n)$的线性有界算子
若$u{\in}C^{\infty}(R^n)$，则$u_{\varepsilon}{\to}u(C^{\infty}(R^n))$。
若$u{\in}C_c^{\infty}(R^n)$，则$u_{\varepsilon}{\to}u(C_c^{\infty}(R^n))$。
证明很类似，这部分就不讲了。
例子4：若$\Omega$为开集，则对于任意的紧集$K{\subset}\Omega$，一定可以找到一个$C^{\infty}_c(R^n)$上的函数$\varphi(x)$，使得supp$\varphi(x){\subset}\Omega,0{\le}\varphi(x){\le}1$，且在$K$上$\varphi(x)=1$恒成立。
事实上，记$d=\inf_{x{\in}K,y{\in}{\partial}\Omega}p(x,y)$，则$d>0$。以$\Omega_{h}$表示点集$\left\{x|x{\in}\Omega,p(x,\partial{\Omega}){\ge}h\right\}$，则$K{\subset}\Omega_d$。作函数
$$ \psi(x)=\begin{cases} 1,x{\in}\Omega_{\frac{d}{2}},\\ 0,x{\notin}\Omega_{\frac{d}{2}}. \end{cases} $$
并作
$$ \varphi(x)=\int_{R^n}\psi(x-y)\alpha_{\frac{d}{4}}(y)dy $$
那么当$x{\in}K$时，$\varphi(x)=1$恒成立，而当$x{\notin}\Omega{\frac{d}{4}}$时，$\varphi(x)=0$恒成立，又根据前面的探讨知道$\varphi(x){\in}C^{\infty}_c(R^n)$，于是$\varphi(x)$就是所要求的函数，且满足$0{\le}\varphi(x){\le}1$。
另一个基本空间
基本空间$\mathscr{S}(R^n)$称为速降空间。
定义在$R^n$上的函数$\varphi(x)$满足如下性质：
（1）$\varphi(x)$为$R^n$上的$C^{\infty}$函数
（2）对于任意的重指标$\alpha,p$（这里均指的非负整数重指标，下面也是一样），成立
$$ \lim_{|x|{\to}\infty}x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)=0\tag{1.9} $$
其中$x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)$表示$x^{\alpha_1}_1{\cdots}x^{\alpha_n}_n{\partial}^{p_1}_{x_1}{\cdots}{\partial}^{p_n}_{x_n}\varphi(x)$，则称$\varphi(x)$为速降函数，记速降函数空间为$\mathscr{S}(R^n)$。
由于任意两个速降函数的线性组合仍旧是速降函数，所以$\mathscr{S}(R^n)$是一个线性空间，在其上的拓扑规定为：对任意重指标$\alpha,p$成立
$$ \sup_{x{\in}R^n}|x^{\alpha}{\partial}^p\varphi_v(x)|{\to}0\quad(v{\to}\infty)\tag{1.10} $$
则称$\varphi_v(x){\to}0(\mathscr{S}(R^n))$。
定理1.2：速降函数的条件（2）与下列俩条件之一等价：
（1）对于任意重指标$\alpha,p$，函数$x^{\alpha}{\partial}^p\varphi(x)$在$R^n$上有界。
（2）对任意正整数$k$与重指标$p$，函数$(1+|x|^2)^k{\partial}^p\varphi(x)$在$R^n$上有界。
证明：先证明（1），由$\lim_{|x|{\to}\infty}x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x){\to}0$，就知道$x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)$在$R^n$上有界。又若对任意的$\alpha,p$，函数$x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)$有界，则在$|x|{\neq}0$处将$x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)$写成
$$ \frac{1}{|x|^2}\sum^n_{i=1}x_i^2x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x) $$
再从$x_i^2x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)$的有界性可以得到$|x|{\to}\infty$时，$x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x){\to}0$的结论。
再证明（2），注意到当$|x|>1$时，
$$ |x|^{2k}<(1+|x|^2)^k<2^k|x|^{2k} $$
所以$(1+|x|^2)^k{\partial}^{p}\varphi(x)$在$R^n$上有界与$x^{\alpha}{\partial}^{p}\varphi(x)$在$R^n$上有界是等价的。于是证明完毕。
例子5：$C^{\infty}_{c}(R^n)$中的任一元素都属于$\mathscr{S}(R^n)$，也就是
$$ C^{\infty}_c(R^n){\subset}\mathscr{S}(R^n) $$
实际上，对任意的$C^{\infty}_{c}(R^n)$函数，必在一个有界集为等于0，则在自变量趋于无穷远时，它当然满足任意阶的衰减估计，从而是速降的。
例子6：$e^{-|x|^2}{\in}\mathscr{S}(R^n)$
实际上，对于任意的$\alpha,p$，函数$x^{\alpha}{\partial}^{p}e^{-|x|^2}$都是形为$c{\beta}x^{\beta}e^{-|x|^2}$项的和。当$x{\to}\infty$时，$e^{-|x|^2}$比$x$的任意次幂都更快趋于0，所以$e^{-|x|^2}$在无穷远处是速降的。
这个例子给了一个具体函数，它是$\mathscr{S}(R^n)$的，但是不是$C^{\infty}_c(R^n)$的。
例子7：若$f(x){\in}\mathscr{S}(R^n),g(x){\in}\mathscr{S}(R^n)$，则$\int_{R^n}f(x-y)g(y)dy$也是$R^n$中的速降函数。
例子8：若$\beta_v(x)$为例子2中给出的函数，$\varphi(x){\in}\mathscr{S}(R^n)$。作$\varphi_v(x)=\beta_v(x){\cdot}\varphi(x)$，则$\varphi_v(x){\to}\varphi(x)(\mathscr{S}(R^n))$。
实际上，对于任意的$\alpha,p$有
$$ \begin{align*} &x^{\alpha}{\partial}^p(\varphi_v-\varphi)=x^{\alpha}{\partial}^p(\beta_v\varphi-\varphi)\\ &=x^{\alpha}(\beta_v-1){\partial}^p{\varphi}+\sum_{|s|+|r|=|p|,|s|{\ge}1}\frac{p!}{s!r!}x^{\alpha}{\partial}^s{\beta}_v{\cdot}{\partial}^r{\varphi} \end{align*} $$
注意到$\beta_v$以及其各阶导数都有界，且$\beta_v-1$与${\partial}^s{\beta_v}$在$|x|<v-1$时都等于零，于是可以得到
$$ |x^{\alpha}{\partial}^p(\varphi_v-\varphi)|{\le}C{\cdot}\sup_{|x|>v-1}\sum_{|r|{\le}p}|x^{\alpha}{\partial}^r\varphi| $$
由于$\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n)$，所以当$v{\to}\infty$时
$$ \sup_{|x|>v-1}|x^{\alpha}{\partial}^r\varphi|{\to}0 $$
从而有$\sup_{x{\in}R^n}x^{\alpha}{\partial}^p(\varphi_v-\varphi){\to}0$，于是有$\varphi_v{\to}\varphi(\mathscr{S}(R^n))$/
从例子2，例子5与例子8可以知道，空间$C^{\infty}_c(R^n),\mathscr{S}(R^n),C^{\infty}(R^n)$之间的关系为
$$ C^{\infty}_c(R^n){\subset}\mathscr{S}(R^n){\subset}C^{\infty}(R^n) $$
且每一个空间在其后继空间中稠密，而且这三个空间拓扑前一个比后一个要强。
实际上，如果有$\varphi_v{\in}C^{\infty}_c(R^n)$，且$\varphi_v{\to}0(C^{\infty}_c(R^n))$。则所有$\varphi_v$的支集包含在一个紧集$K$里，且对任意的$p$，有$\sup_{x{\in}K}|{\partial}^p\varphi_v|{\to}0$，由于$K$的有界性，可以知道$\sup_{x{\in}K}|x^{\alpha}{\partial}^p\varphi_v|{\to}0$对一切的$\alpha,p$成立。但是因为$\varphi_v$在$K$外均为0，所以式子改写为$\sup_{x{\in}R^n}|x^{\alpha}{\partial}^p\varphi_v|{\to}0$。而这就是$\varphi_v{\to}0(\mathscr{S}(R^n))$。所以：$C^{\infty}_c(R^n)$的拓扑比$\mathscr{S}(R^n)$强。
而对于$\mathscr{S}(R^n)$中的序列$\varphi_v$，若它在$\mathscr{S}(R^n)$中趋于0，则对一切的$\alpha,p$都成立$\sup_{x{\in}R^n}|x^{\alpha}{\partial}^p\varphi_v|{\to}0$，于是对任意的紧集$K$，均有$\sup_{x{\in}K}|x^{\alpha}{\partial}^p\varphi_v|{\to}0$，所以$\varphi_v$在$C^{\infty}$中也趋于0。所以：$\mathscr{S}(R^n)$的拓扑比$C^{\infty}(R^n)$强。
总结
本节主要引入了广义函数，对磨光算子做了介绍，并且对三大基本函数空间做了介绍，同时各个定理给出了三大基本函数空间之间的关系。
