距离

1.3 连续性

让我们用距离函数定义连续性

定义1.3.1

令$X$和$Y$为度量空间。一个映射$u:X{\to}Y$是在$y{\in}X$处连续的：如果对于任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$使得

$$ \sup\left\{d_Y(u(x),u(y)):x{\in}X,d_X(x,y){\le}\delta\right\}{\le}\varepsilon\tag{*} $$

映射$u$是连续的如果对是在$X$的每一点都连续。

映射$u$是一致连续的如果对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$使得

$$ \omega_n(\delta)=\sup\left\{d_Y(u(x),u(y)):x,y{\in}X,d_X(x,y){\le}\delta\right\}{\le}\varepsilon $$

函数$\omega_n$是$u$的连续模。

注解：显然一致连续性蕴含着连续性。一般地，反过来是不成立的。当映射的定义域是一个紧空间的时候我们可以证明反过来的命题。

例子：距离$d:X{\times}X{\to}\mathbb{R}$是一致连续的，因为

$$ |d(x_1,x_2)-d(y_1,y_2)|{\le}2\max\left\{d(x_1,y_1),d(x_2,y_2)\right\} $$

展开来细致讲解就是：不妨设$d(x_1,x_2){\ge}d(y_1,y_2)$，则有

$$ \begin{aligned} |d(x_1,x_2)-d(y_1,y_2)|=d(x_1,x_2)-d(y_1,y_2)&{\le}d(x_1,y_1)+d(y_1,x_2)-d(y_1,y_1)\\ &{\le}d(x_1,y_1)+d(y_1,y_2)+d(y_2,x_2)-d(y_1,y_2)\\ &=d(x_1,y_1)+d(y_2,x_2)\\ &{\le}2\max\left\{d(x_1,y_1),d(x_2,y_2)\right\} \end{aligned} $$

引理1.3.2

令$X$和$Y$为度量空间，$u:X{\to}Y$，且$y{\in}X$。下列性质是等价的：

（a）$u$是在$y$处连续的。

（b）如果$(y_n)$在$X$中收敛到$y$，则$(u(y_n))$在$Y$中收敛到$u(y)$。

证明：

（反证法：下推上）假设$u$不在$y$处收敛。则存在$\varepsilon>0$使得对任意$n$，存在$y_n{\in}X$使得

$$ d_X(y_n,y){\le}1/n和d_Y(u(y_n),u(y))>\varepsilon $$

但是则$(y_n)$在$X$中收敛到$y$且$u(y_n)$不收敛到$u(y)$。（与（b）矛盾）。

上推下：令$u$为在$y$处收敛且$(y_n)$收敛到$y$。令$\varepsilon>0$。则存在$\delta>0$使得$(*)$满足，且存在$m$使得对于任意$n{\ge}m,d_X(y_n,y){\le}\delta$。因此对于$n{\ge}m,d_Y(u(y_n),u(y)){\le}\varepsilon$。因为$\varepsilon>0$是任意的，$(u(y_n))$收敛到$u(y)$。

命题1.3.3

令$X$和$Y$为度量空间，$K$是$X$的一个紧子集，且$u:X{\to}Y$为一个连续映射，在$X{\backslash}K$上为常数。则$u$是一致连续的。

例如：考虑一个定义在$\mathbb{R}$上的连续函数，如果在$[0,1]$外面是一个常数值，则在$\mathbb{R}$上是一致连续的。

证明：假设$u$不是一致连续的。则存在$\varepsilon>0$使得对于任意$n$，存在$x_n{\in}X$且$y_n{\in}K$使得

$$ d_X(x_n,y_n){\le}1/n和d_Y(u(x_n),u(y_n))>\varepsilon $$

由紧性质，存在一个子序列$(y_{n_k})$收敛到$y$。因此$(x_{n_k})$也收敛到$y$。于是由$u$在$y$处的连续性质和上面的引理有

$$ \begin{aligned} \varepsilon&{\le}\varliminf_{k{\to}\infty}d_Y(u(x_{n_k}),u(y_{n_k}))\\ &{\le}\lim_{n{\to}\infty}d_Y(u(x_{n_k}),u(y))+\lim_{n{\to}\infty}d_Y(u(y),u(y_{n_k}))=0 \end{aligned} $$

这个导出了矛盾。

引理1.3.4

令$X$为一个集合且$F:X{\to}(-\infty,+\infty]$为一个函数。则存在一个序列$(y_n){\subset}X$使得$\lim_{n{\to}\infty}F(y_n)=\inf_XF$。序列$(y_n)$被称为一个极小化序列。

证明：

如果$c=\inf_XF{\in}\mathbb{R}$，则对于任意$n{\ge}1$，存在$y_n{\in}X$使得

$$ c{\le}F(y_n){\le}c+1/n $$

如果$c=-\infty$，则对于任意$n{\ge}1$，存在$y_n{\in}X$使得

$$ F(y_n){\le}-n $$

在所有的情况中，序列$(y_n)$是一个极小化序列。如果$c=+\infty$，则结果是显然的。

命题1.3.5.

令$X$为一个紧的度量空间且令$F:X{\to}\mathbb{R}$为一个连续函数。则$F$是有界的，且存在$y,z{\in}X$使得

$$ F(y)=\min_XF,F(z)=\max_XF $$

证明：令$(y_n)\subset{X}$为一个极小化序列：$\lim_{n{\to}\infty}F(y_n)=\inf_XF$。则有一个子序列$(y_{n_k})$收敛到$y$（紧性质）。我们得到

$$ F(y)=\lim_{n{\to}\infty}F(y_{n_k})=\inf_XF $$

因此$y$在$X$上为$F$的极小化点。为了证明$z$的存在性，仅需考虑$-F$即可。

前面的证明表明了连续性的一个推广。

定义1.3.6

令$X$为一个度量空间，一个函数$F:X{\to}(-\infty,+\infty]$是在$y{\in}X$处下半连续的(l.s.c)：指的是如果对于任意序列$(y_n)$在$X$中收敛到$y$，

$$ F(y){\le}\lim_{n{\to}\infty}F(y_n) $$

函数$F$是下半连续的如果它在$X$中的每一点都下半连续。

一个函数$F:X{\to}[-\infty,+\infty)$是在$y{\in}X$处上半连续的(u.s.c)：指的是如果对于任意序列$(y_n)$在$X$中收敛到$y$，

$$ \varlimsup_{n{\to}\infty}F(y_n){\le}F(y) $$

函数$F$是上半连续的如果它在$X$中的每一点都上半连续。

注解：一个函数$F:X{\to}\mathbb{R}$是在$y{\in}X$处连续当且仅当$F$在$y$处上半连续且下半连续。

命题1.3.7

令$X$为一个紧的度量空间且令$F:X{\to}(-\infty,+\infty]$为一个下半连续的函数。则$F$是下有界的，且存在$y{\in}Y$使得

$$ F(y)=\min_XF $$

证明：令$(y_n){\subset}X$为一个极小化序列。则有一个子序列$(y_{n_k})$收敛到$y$（紧性质）。我们得到

$$ F(y){\le}\lim_{k{\to}\infty}F(y_{n_k})=\inf_XF $$

因此$y$在$X$上为$F$的极小化点。

当$X$不是紧的，则需要更为精巧的技巧解决。

定理1.3.8

(Ekeland’s variational principle)：令$X$为一个完备度量空间且令$F:x{\to}(-\infty,+\infty]$为一个下半连续函数使得$c=\inf_XF{\in}\mathbb{R}$。假设$\varepsilon>0$且$z{\in}X$使得

$$ F(z){\le}\inf_XF+\varepsilon $$

则存在$y{\in}X$使得：

（a）$F(y){\le}F(z)$。

（b）$d(y,z){\le}1$。

（c）对于任意$x{\in}X{\backslash}\left\{y\right\},F(y)-{\varepsilon}d(x,y)<F(x)$。

证明：让我们归纳地定义一个序列$(y_n)$。我们取定$y_0=z$且

$$ y_{n+1}{\in}S_n=\left\{x{\in}X:F(x){\le}F(y_n)-\varepsilon{d(y_n,x)}\right\} $$

使得

$$ F(y_{n+1})-\inf_{S_n}F{\le}\frac{1}{2}\left[F(y_n)-\inf_{S_n}F\right]\tag{*} $$

因为对于任意$n$，

$$ \varepsilon{d(y_n,y_{n+1})}{\le}F(y_n)-F(y_{n+1}) $$

我们得到

$$ c{\le}F(y_{n+1}){\le}F(y_n){\le}F(y_0)=F(z) $$

且对任意$k{\ge}n$，

$$ {\varepsilon}d(y_n,y_k){\le}F(y_n)-F(y_k)\tag{**} $$

因此

$$ \lim_{n{\to}\infty\\k{\ge}n}d(y_n,y_k)=0 $$

因为$X$是完备的，柯西序列$(y_n)$收敛到$y{\in}K$。因为$F$是下半连续的，我们有

$$ F(y){\le}\lim_{n{\to}\infty}F(y_n){\le}F(z) $$

于是从$(**)$得到对于任意$n$，

$$ {\varepsilon}d(y_n,y){\le}F(y_n)-F(y) $$

特别地，对于任意$n,y{\in}S_n$，且对于$n=0$，

$$ {\varepsilon}d(z,y){\le}F(z)-F(y){\le}c+\varepsilon-c=\varepsilon $$

最终，假设

$$ F(x){\le}F(y)-{\varepsilon}d(x,y) $$

事实上$y{\in}S_n$蕴含着$x{\in}S_n$。由$(*)$，我们有

$$ 2F(y_{n+1})-F(y_n){\le}\inf_{S_n}F{\le}F(x) $$

于是

$$ F(x){\le}\lim_{n{\to}\infty}F(y_n){\le}F(x) $$

我们总结出$x=y$，因为

$$ {\varepsilon}d(x,y){\le}F(y)-F(x)=0 $$

定义1.3.9

令$X$为一个集合，一个函数$F_j:X{\to}(-\infty,\infty],j{\in}J$集族（指标集，未必可数）的上映像，定义为

$$ \left(\sup_{j{\in}J}F_j\right)(x)=\sup_{j{\in}J}F_j(x) $$

命题1.3.10

一族下半连续函数集族的上映像在一个度量空间上一点在该点是下半连续的。

证明：令$F_j:X{\to}(-\infty,+\infty]$是一族在$y$处的下半连续函数。由命题1.1.5，我们有，对于任意序列$(y_n)$收敛到$y$，

$$ \begin{aligned} \sup_jF_j(y)&{\le}\sup_j\varliminf_{n{\to}\infty}F_j(y_n)=\sup_j\sup_k\inf_mF_j(y_{m+k})\\ &{\le}\sup_k\inf_m\sup_jF_j(y_{m+k})=\varliminf_{n{\to}\infty}\sup_jF_j(y_n) \end{aligned} $$

因此$\sup_jF_j$是在$y$处下半连续的。

命题1.3.11

两个下半连续函数在一个度量空间上一点的和在该点是下半连续的。

证明：令$F,G:X{\to}(-\infty,+\infty]$为在$y$点下半连续的函数。由命题1.1.10，我们有对于任意序列$(y_n)$收敛到$y$，

$$ F(y)+G(y){\le}\varliminf_{n{\to}\infty}F(y_n)+\varliminf_{n{\to}\infty}G(y_n){\le}\varliminf_{n{\to}\infty}(F(y_n)+G(y_n)) $$

因此$F+G$为在$y$处下半连续的。

命题1.3.12

该命题指出下半连续性和函数下水平集拓扑的性质，这里下水平集定义为$\left\{F>t\right\}=\left\{x{\in}X|F(x)>t\right\}$。$F$是下半连续的等价于对于任意$t{\in}\mathbb{R},\left\{F>t\right\}$是$\mathbb{R}$上开集。

令$F:X{\to}(-\infty,+\infty]$。下列性质是等价的：

（a）$F$是下半连续的。

（b）对于任意$t{\in}\mathbb{R},\left\{F>t\right\}=\left\{x{\in}X:F(x)>t\right\}$是开集。

证明：

下面推出上面（反证法）：假设$F$不是下半连续的。则存在一个序列$(x_n)$在$X$中收敛到$x$，所以有

$$ \varliminf_{n{\to}\infty}F(x_n)<F(x) $$

所以存在$t{\in}\mathbb{R}$使得

$$ \varliminf_{n{\to}\infty}F(x_n)<t<F(x),x{\in}\left\{F>t\right\} $$

但是$x_n{\to}x$，因此对于任意$r>0,B(x,r){\not\subset}\left\{F>t\right\}$，所以$\left\{F>t\right\}$不是开集（这与（b）矛盾）。

上面推出下面（反证法）：假设$\left\{F>t\right\}$不是开集。则存在一个序列$(x_n)$在$X$中收敛到$x$，使得对于任意$n$，

$$ F(x_n){\le}t<F(x) $$

因此$\varliminf_{n{\to}\infty}F(x_n)<F(x)$，于是$F$在$x$处不是下半连续的。

定理1.3.13

令$X$为一个完备的度量空间且令$(F_j:X{\to}\mathbb{R})_{j{\in}J}$为一族下半连续函数，使得对于任意$x{\in}X$，

$$ \sup_{j{\in}J}F_j(x)<+\infty\tag{*} $$

则存在一个$X$中的非空开子集$V$使得

$$ \sup_{j{\in}J}\sup_{x{\in}V}F_j(x)<+\infty $$

证明：由于命题1.3.10，函数$F=\sup_{j{\in}J}F_j$是下半连续的。上面的命题蕴含着：对于任意$n,U_n=\left\{F>n\right\}$是开集。由$(*),\bigcap^{\infty}_{n=1}U_n=\varnothing$。贝尔定理蕴含着$n$的存在性，使得$U_n$不是稠密的。但是则$\left\{F{\le}n\right\}$包含一个非空开子集$V$。

这里多说几句：$F$是下半连续的，所以对任何$n,U_n=\left\{F>n\right\}$是开集。如果每个$U_n$都是稠密的，则由贝尔定理，它们的交集是稠密的，所以非空。但是由定理的条件推出${\cap}_nU_n$是空集。所以存在$n$，使得$U_n$不是稠密的。也即$\overline{U_n}{\neq}X$，但是$\overline{U_n}$是闭集，它的余集$V$是开集，在$V$上，$F{\le}n$，也即$\sup_VF{\le}n$。最后，由于命题1.1.5有

$$ \sup_{j{\in}J}\sup_{x{\in}V}F_j(x)=\sup_VF{\le}n $$

定义1.3.14

$A{\subset}X$的特征函数定义为

$$ \begin{aligned} \chi_A(x)&=1,{\quad}x{\in}A,\\ &=0,{\quad}x{\in}X{\backslash}A \end{aligned} $$

推论1.3.15

令$X$为一个度量空间且$A{\subset}X$。则

$$ A是开集{\iff}\chi_A是下半连续的，A是闭集{\iff}\chi_A是上半连续的 $$

定义1.3.16

（点和集合之间的距离）令$S$为一个度量空间$X$的一个非空子集。定义在$X$上的$x$到$S$的距离为$d(x,S)=\inf_{s{\in}S}d(x,s)$。

命题1.3.17

函数“到$S$的距离”是在$X$上一致连续的。

证明：令$x,y{\in}X$且$s{\in}S$。因为$d(x,s){\le}d(x,y)+d(y,s)$，我们得到

$$ d(x,S){\le}\inf_{s{\in}S}(d(x,y)+d(y,s))=d(x,y)+d(y,S) $$

我们由对称性归纳得到$|d(x,S)-d(y,S)|{\le}d(x,y)$。

定义1.3.18

（两个度量空间的距离）令$Y$和$Z$为一个度量空间上的子集。从$Y$到$Z$的距离定义为

$$ d(Y,Z)=\inf\left\{d(y,z):y{\in}Y,z{\in}Z\right\} $$

命题1.3.19

令$Y$为一个紧子集且令$Z$为一个度量空间$X$的闭子集，使得$Y{\cap}Z=\varnothing$，则$d(Y,Z)>0$。

证明：（反证法）假设$d(Y,Z)=0$。则存在序列$(y_n){\subset}Y$和$(z_n){\subset}Z$使得$d(y_n,z_n){\to}0$。由逼近，如果需要，对一个子序列，我们可以假设$y_n{\to}y$。但是则有$d(y,z_n){\to}0$且$y{\in}Y{\cap}Z$。这就导出了矛盾。