二阶线性PDE标准型

二阶方程的分类

重点：二阶方程的特征和分类，学会辨别方程的类型并且化为标准型。

考虑两个自变量的线性偏微分方程

$$ au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_x+eu_y+gu=f $$

其中$a,b,c,d,e,g$和$f$均为$x,y$的已知函数。且在$xoy$平面上的某个区域$\Omega$内具有二阶连续偏导数。假设在$\Omega$内的每一点处，$a,b,c$都不同时为0。

考虑$\Delta=b^2-ac$的判别式，在点$P(x_0,y_0)$的邻域内，特征方程可以写为：

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{a},\frac{dy}{dx}=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{a} $$

然后做自变量替换：

$$ \begin{cases} \xi=\varphi(x,y)\\ \eta=\psi(x,y) \end{cases} $$

则方程变成如下形式：

$$ A\frac{\partial^2{u}}{\partial{\xi^2}}+2B\frac{\partial^2{u}}{\partial{\xi}\partial{\eta}}+C\frac{\partial^2{u}}{\partial{\eta^2}}+{\cdots}=F $$

而这里的判别式为$\Delta'=B^2-AC$，两者通过自变量替换有如下关系：

$$ \Delta'=J^2\Delta $$

这个$J$表示自变量替换的雅可比行列式

$$ J=\begin{vmatrix} \varphi_x & \varphi_y \\ \psi_x & \psi_y \end{vmatrix} $$

利用判别式的符号在可逆自变量替换下的不变性，我们对方程做分类。

在点$(x_0,y_0)$处为双曲型pde，指的是$\Delta(x_0,y_0)>0$。

在点$(x_0,y_0)$处为抛物型pde，指的是$\Delta(x_0,y_0)=0$。

在点$(x_0,y_0)$处为椭圆型pde，指的是$\Delta(x_0,y_0)<0$。

双曲+椭圆=混合型，双曲+抛物=退化双曲型，椭圆+抛物=退化椭圆型。

根据上述法则，我们分别给出双曲、抛物、椭圆PDE的标准型：

我们假设方程的系数都是常数，也即$a,b,c,d,e,g$都是常数，由于$\Delta=b^2-ac$是常数，所以方程在区域中所有点处都是同一类型的。

（1）双曲型，当$\Delta>0$时，其特征线是两族不同的实曲线：

$$ \begin{cases} \varphi(x,y)=y-\lambda_1{x}=c_1\\ \psi(x,y)=y-\lambda_2{x}=c_2 \end{cases} $$

其中$\lambda_1=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{a},\lambda_2=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{a}$，且$c_1,c_2$为任意常数。

然后我们利用这两族实特征线，可以做可逆自变量变换：

$$ \begin{cases} \xi=\varphi(x,y)=y-\lambda_1{x}\\ \eta=\psi(x,y)=y-\lambda_2{x} \end{cases} $$

这时方程就会变成

$$ u_{\xi\eta}=Du_{\xi}+Eu_{\eta}+Gu+F(\xi,\eta) $$

其中$D,E,G$都是常数，于是这个形式称为双曲型方程的第一标准型，如果引入新的自变量变换

$$ \overline{x}=\xi+\eta,\overline{y}=\xi—\eta $$

就饿可以化为

$$ u_{\overline{x}\overline{x}}-u_{\overline{y}\overline{y}}=D_1u_{\overline{x}}+E_1u_{\overline{y}}+G_1u+F_1(\overline{x},\overline{y}) $$

其中$D_1,E_1,G_1$都是常数，这就称为双曲型方程的第二标准型。

（2）抛物型，当$\Delta=0$，于是$\lambda_1=\lambda_2=\frac{b}{a}$，这时仅有一族特征线：

$$ \varphi(x,y)=y-\frac{b}{a}x=c $$

取可逆自变量替换：

$$ \xi=\varphi(x,y)=y-\frac{b}{a}x,\eta=\psi(x,y)=y $$

于是方程化为了：

$$ u_{\eta\eta}=D_2u_{\xi}+E_2u_{\eta}+G_2u+F_2(\xi,\eta) $$

其中$D_2,E_2,G_2$都是常数，称为抛物型方程的标准型。

（3）椭圆型，$\Delta<0$，这时没有实特征曲线，于是

$$ \lambda_1=\alpha+i\beta,\lambda_2=\alpha-i\beta $$

且$\alpha=\frac{b}{a},\beta=\frac{\sqrt{-\Delta}}{a}$，于是我们找到一个实的变换：

$$ \overline{\xi}=\frac{1}{2}(\xi+\eta),\overline{\eta}=\frac{1}{2i}(\xi-\eta) $$

于是得到可逆自变量替换：

$$ \begin{cases} \overline{\xi}=y-\frac{b}{a}x\\ \overline{\eta}=-\frac{\sqrt{ac-b^2}}{a}x \end{cases} $$

于是方程化为

$$ u_{\overline{\xi}\overline{\xi}}+u_{\overline{\eta}\overline{\eta}}=D_3u_{\overline{\xi}}+E_3u_{\overline{\eta}}+G_3u+F_3(\overline{\xi},\overline{eta}) $$

其中$D_3,E_3,G_3$均为常数，我们称之为椭圆型方程的标准型。

双曲型方程

$$ u_{xx}-2\cos{x}u_{xy}-(3+\sin^2{x})u_{yy}-y-u_y=0 $$

解：首先知道$b=-\cos{x},a=1,c=-(3+\sin^2{x})$，于是判别式$b^2-ac=\cos^2x+3+\sin^2{x}=4>0$，故是双曲型方程，考虑其特征值

$$ \lambda_1=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{a}=-\cos{x}-2,\lambda_2=-\cos+2 $$

于是特征方程为：

$$ \frac{dy}{dx}=-\cos{x}{\pm}2 $$

所以

$$ y=-\sin{x}{\pm}2x+c $$

令

$$ \begin{cases} \xi=y+\sin{x}+2x\\ \eta=y+\sin{x}-2x \end{cases} $$

于是我们得到：

$$ \xi_x=\cos{x}+2,\xi_{y}=1,\xi_{xx}=-\sin{x},\xi_{xy}=0,\xi_{yx}=0,\xi_{yy}=0\\ \eta_{x}=\cos{x}-2,\eta_y=1,\eta_{xx}=-\sin{x},\eta_{xy}=0,\eta_{yx}=0,\eta_{yy}=0 $$

于是

$$ u_{x}=(\cos{x}+2)u_{\xi}+(\cos{x}-2)u_{\eta}\\ u_y=u_{\xi}+u_{\eta} $$

$$ \begin{aligned} u_{xx}=&-\sin{x}u_{\xi}+(\cos{x}+2)[(\cos{x}+2)u_{\xi\xi}+(\cos{x}-2)u_{\xi\eta}]\\ +&(-\sin{x})u_{\eta}u_{\eta}+(\cos{x}-2)[(\cos{x}+2)u_{\eta\xi}+(\cos{x}-2)u_{\eta\eta}]\\ u_{xy}=&(\cos{x}+2)[u_{\xi\xi}+u_{\xi\eta}]+(\cos{x}-2)[u_{\eta\xi}+u_{\eta\eta}]\\ u_{yy}=&u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta} \end{aligned} $$

把上述各式代入原方程，可以得到：

$$ -16u_{\xi\eta}-[y+\sin{x}][u_{\xi}+u_{\eta}]=0 $$

又因为

$$ y+\sin{x}=\frac{\xi+\eta}{2} $$

于是

$$ u_{\xi\eta}+\frac{\xi+\eta}{32}[u_{\xi}+u_{\eta}]=0 $$

这是双曲型方程。

抛物型方程

$$ \tan^2{x}u_{xx}-2y\tan{x}u_{xy}+y^2u_{yy}+\tan^3{x}u_x=0 $$

这里$a=\tan^2{x},b=-y\tan{x},c=y^2$，于是判别式$b^2-ac=y^2\tan^2x-y^2\tan^2x=0$。于是是抛物型方程。

我们直接计算特征值（只有一个）

$$ \lambda=\frac{b}{a}=\frac{-y}{\tan{x}} $$

于是特征方程为

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{-y}{\tan{x}} $$

积分得到：

$$ \frac{dy}{y}=-\frac{1}{\tan{x}}dx\\ \frac{dy}{y}=-\frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx\\ \ln(y)=-\frac{1}{sinx}d{\sin{x}}=\ln(\sin{x}^{-1}) $$

$$ y\sin{x}=c $$

令

$$ \begin{cases} \xi=y\sin{x}\\ \eta=y \end{cases} $$

则有

$$ \xi_{x}=y\cos{x},\xi_y=\sin{x},\xi_{xy}=\cos{x},\xi_{yx}=\cos{x},\xi_{xx}=-y\sin{x},\xi_{yy}=0\\ \eta_{x}=0,\eta_y=1,\eta_{xy}=0=\eta_{yx},\eta_{xx}=0=\eta_{yy} $$

于是有

$$ u_{x}=y\cos{x}u_{\xi}\\ u_y=\sin{x}u_{\xi}+u_{\eta} $$

$$ u_{xx}=-y\sin{x}u_{\xi}+(y\cos{x})[(y\cos{x})u_{\xi\xi}]\\ u_{xy}=\cos{x}u_{\xi}+y\cos{x}[\sin{x}u_{\xi\xi}+u_{\xi\eta}]\\ u_{yy}=\sin{x}[\sin{x}u_{\xi\xi}+u_{\xi\eta}]+\sin{x}u_{\eta\xi}+u_{\eta\eta} $$

将上述代入方程中，可以得到：

$$ y^2u_{\eta\eta}-2y\sin{x}u_{\xi}=0 $$

也即

$$ u_{\eta\eta}-\frac{2\xi}{\eta^2}-\eta_{\xi}-0 $$

椭圆方程

$$ y^2u_{xx}+2xyu_{xy}+2x^2u_{yy}+y-u_y=0 $$

解：$b=xy,a=y^2,c=2x^2$，则判别式为$x^2y^2-2x^2y^2=-x^2y^2{\le}0$，于是方程除了零点为椭圆型方程。

其特征值

$$ \lambda_1=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{a}=\frac{xy-ixy}{y^2},\lambda_2=\frac{xy+ixy}{y^2} $$

于是特征方程：

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{y^2}(xy{\pm}ixy)=\frac{x}{y}{\pm}{i}\frac{x}{y} $$

也即

$$ y^2=x^2{\pm}i{x}^2+C $$

令

$$ \begin{cases} \xi=x^2-y^2\\ \eta=x^2 \end{cases} $$

则

$$ \begin{cases} \xi_x=2x,\xi_y=-2y,\xi_{xy}=\xi_{yx}=0,\xi_{xx}=2,\xi_{yy}=-2\\ \eta_x=2x,\eta_y=0,\eta_{xy}=\eta_{yx}=0,\eta_{xx}=2,\eta_{yy}=0 \end{cases} $$

则

$$ u_{x}=2xu_{\xi}+2xu_{\eta}\\ u_y=-2yu_{\xi} $$

于是

$$ u_{xx}=2u_{\xi}+2x(2xu_{\xi\xi}+2xu_{\xi\eta})+2u_{\eta}+2x(2xu_{\eta\xi}+2xu_{\eta\eta})\\ u_{xy}=2x(-2yu_{\xi\xi})+2x(-2yu_{\eta\xi})\\ u_{yy}=-2u_{\xi}+(-2y)(-2yu_{\xi\xi}) $$

代入上式进入原方程得到：

$$ 4x^2y^2u_{\xi\xi}+4x^2y^2u_{\eta\eta}-4x^2u_{\xi}+2y^2u_{\eta}=0 $$

也即

$$ u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}+\frac{1}{\xi-\eta}u_{\xi}+\frac{1}{2\eta}u_{\eta}=0 $$