基础拓扑学5

连通性

定义:一个拓扑空间是连通的:$(X,\tau),X{\neq}\varnothing$,若$X$不能分解为两个非空的不相交的开集之并,则称拓扑空间$X$是连通的。

例子

$E^1$是连通的。

证明:用反证法:$E^1=A{\cup}B,A{\cap}B=\varnothing$,那么我们考虑$c=\sup\left\{x{\in}A|x<b\right\}$,那么我们有

$$ b{\ge}c{\ge}a $$

若$c{\in}A$,于是有$\varepsilon>0,(c-\varepsilon,\varepsilon+c){\subset}A,A{\cap}B=\varnothing$,于是乎则$(c-\varepsilon,\varepsilon+c){\cap}B=\varnothing$,这个与$c$的定义相矛盾,于是$c$不在$A$中,那么$c{\in}B$,而这样的话就会出现$(c-\varepsilon_1,\varepsilon_1+c){\subset}B$,而进一步又有下面的结论:$(c-\varepsilon_1,\varepsilon_1+c){\cap}A=\varnothing$,于是乎这个和$c$的存在性矛盾,则推出$E^1$是连通的。

命题(连通的等价条件)

若$X$连通,则相当于:

  1. $X$不能分解为两个不相交的非空的闭集之并(闭集与开集是对偶的概念)。
  2. $X$不含既开又闭的非空的真子集。
  3. 设$A{\subset}X,A$既开又闭,则可推出$A=\varnothing$或者是$A=X$。

同胚下保持连通性不变

有$X{\cong}Y$的情况下,若$X$是连通的,则$Y$是连通的。

证明:首先有$f:X{\to}Y$是一一在上的连续开映射,于是同时也有$f^{-1}:Y{\to}X$中,取$Y=A{\cup}B$均为开集,则可以推出$X=f^{-1}(A){\cup}f^{-1}(B),f^{-1}(A){\cap}f^{-1}(B)]=\varnothing$,则$f^{-1}(A)=\varnothing$或者$f^{-1}(A)=X$。进一步有$A=\varnothing$或者$A=X$。

应用的例子

$S^1{\subset}E^2$,但是与$E^1$不同胚。

反证法:设$S^1{\cong}E^1$,则可以推出$f:S^1{\backslash}(1,0){\cong}E^1{\backslash}f(0,1)$。而后者连通性显然,前者与$R$同胚,而后者则是两条射线,显然不同胚。

单连通可以用拓扑语言刻画

对于$S^2=E^2{\cup}\left\{\infty\right\}$,而$U$为连通的。则有以下的命题:

$U$单连通的充分必要条件是$U$与$S^2{\backslash}P^{-1}(U)$都连通。

黎曼映射定理

$U{\subseteq}E^2$是单连通的开区域,一定可以全纯同胚于单位开圆盘$D^2$。

这个定理很深刻了揭示了单连通的分类情况:必定为$S^2,C=E^2,D^2$这三种,当然从黎曼几何的曲率来分类也可以。

连通空间在连续映射下的像依旧连通

证明:$X$连通,那么也就是任意$A{\subset}f(X)$,设$A$既开又闭,则推出$f^{-1}(A)$既开又闭,于是因为$X$连通,可以推出$f^{-1}(A)$要么是空集要么是全集,于是通过连续映射则有$A$是空集,要么$A$是全集$f(X)$。

例子

$S^1{\subset}E^2$连通

证明:$f:E^1{\to}S^1$,仅需取特殊的映射函数$t{\to}(cost,sint)=e^{it}$,则可以做到。因为$E^1$是连通的,而这个映射是连续的,根据连通空间在连续映射下的像依旧连通,于是$S^1$是连通的。

$A{\subset}E^1$,为$E^1$的连通子集,其充要条件为:$A$为区间。

证明:先证明充分性:首先有区间四种:$(a,b),(a,b],[a,b),[a,b]$。一种一种看待,首先对于$(a,b){\cong}E^1$,这个显然通过同胚保持连通性质可以证明,接下来对于$(a,b],[a,b){\cong}[0,\infty)$,我们仅需取到特殊映射$f:x{\to}|x|$,则这个映射连续性显然,而后者连通,于是前者也连通。对于闭区间$[a,b]$,当$a=b$时,也就是单点集,那么集合中只有空集和它自己,显然是连通集。而对于$[a,b]{\cong}[0,1]$,因为$f((-1,1))=[0,1]$,还是用到之前的连续映射,于是可以推出闭集也是连通的。

接下来证明必要性:设$A$不是区间,则存在$a>b>c$,而$c,a{\in}A,b{\notin}A$。于是乎

$$ A=((-\infty,b){\cap}A){\cup}((b,\infty){\cap}A) $$

而这个是不连通的。因为分解为了两个不相交的开集之并

介值定理的成立

$f:X{\to}E^1$连续,而$X$是连通的空间,那么显然有$f(X)$是个区间,而这样就可以推出介值定理:任意的$a,b{\in}f(X),\forall c{\in}(a,b)$,存在$x{\in}X,f(x)=c$。

为了证明下面的覆盖继承连通定理,需要引入一个引理。

引理

$X_0{\subset}X$,$X_0$是既开又闭的集合,而$A{\subset}X,A$连通,则可以推出:$A{\cap}X_0=\varnothing$或者$A{\subset}X_0$。

证明:$A=(A{\cap}X_0){\cup}(A{\backslash}(A{\cap}X_0))$,这俩集合都是既开又闭的,又因为$A$是连通的,故而有结论。

覆盖继承连通定理

设$X$有一个连通覆盖$\mathcal{U}$,意思是指$\forall U{\in}{\mathcal{U}}$连通,且有${\bigcup}_{U{\in}\mathcal{U}}U=X$。

再设$A{\subset}X$是连通子集,且对于$\forall U{\in}{\mathcal{U}}$,有$A{\cap}U{\neq}\varnothing$,则$X$是连通的。

证明:设$B$是$X$的既开又闭的子集,则推出$B{\cap}A{\neq}\varnothing$,如果不是则用$B^c$进行下列操作,于是有$A{\subset}B$(引理可证),而对于$\forall U{\in}{\mathcal{U}}$,有$A{\cap}U{\neq}\varnothing$,则$U{\cap}B{\neq}\varnothing$,因为$U$是连通集合,于是又用一次引理,可以知道$U{\subset}B$,进一步则由任意性有${\bigcup}_{U{\in}\mathcal{U}}U{\subset}B$,于是有$X{\subset}B$,于是则$B=X$。

乘积空间的连通性

$X,Y$是连通的,则其乘积空间$X{\times}Y$也是连通的。

证明:$X,Y$连通,考虑子族集$\mathcal{U}=\left\{X{\times}\left\{y\right\}|y{\in}Y\right\}$,则$\mathcal{U}$为$X{\times}Y$的一个连通覆盖。而取到$A=\left\{x\right\}{\times}Y$,取得固定点$x$,于是有$A{\cap}U_y=(x,y){\neq}\varnothing$,于是由上述定理可以推出$X{\times}Y$连通。

例子应用

$E^n$连通,$T^n=S^1{\times}\cdots{\times}S^1$是连通的。

$E^n{\backslash}0=S^1{\backslash}(0,\infty)$是连通的。

$E^1{\backslash}y=(-\infty,y){\cup}(y,\infty)$非连通。

命题

设$A{\subset}X$是连通子集,而$\overline{A}=X$,则$X$是连通的。

证明:设$X$不连通,$X=C{\cup}D,C,D$是开集,$C{\cap}D=\varnothing$。而$\overline{A}=C{\cup}D$,于是$A{\cap}C=\varnothing,A{\cap}D=\varnothing$。从而可以知道$A{\subset}C,A{\subset}D$,而这样推出$A$是空集,矛盾。

连通分支

定义:$A{\subset}X$是连通子集,$A{\neq}\varnothing$,且任取$B{\subset}X,A{\subset}B,B$连通,则可以推出$A=B$,于是$A$为$X$的一个连通分支。

连通分支实际上就是指的极大连通子集。

命题

有拓扑空间$(X,\tau)$,对于$\forall A{\subset}X$是连通子集,且$A{\neq}\varnothing$,则$A$包含在唯一的一个连通分支内。有$X={\cup}_{\lambda{\in}\Lambda}X_{\lambda}$,而$X_{\lambda}$为$X$的连通分支。

证明:

$A$连通,考虑考虑子族集$\mathcal{U_A}=\left\{U{\subset}X|U连通且A{\subset}U\right\}$,则有$X_A={\cup}_{u{\in}U_A}U{\subset}X$,是连通的。由覆盖定理可得。

于是对于任意的$X_A{\subset}B$,则$A{\subset}B$可以进一步有:$B{\subset}X_A$,则有$B=X_A$是极大的,于是唯一性得证。$X={\cup}_{x{\in}X}x$。

连通分支是闭集

$A$连通的充要条件是$\overline{A}$连通,且可以推出连通分支一定是闭集。

例子:

$$ l_1=\left\{(x,y)|x=0\right\},l_2=\left\{(x,y)|y=0\right\},l_3=\left\{(x,y)|x=y\right\} $$

而$X=l_1{\cup}l_2{\ncong}Y=l_1{\cup}l_2{\cup}l_3$

证明容易就是通过去掉某个点$f:X{\backslash}0{\cong}Y{\backslash}f(0)$。

容易从图像看到两个的连通分支不同,于是显然不同胚。

连通分支何时为开集

若$\forall x{\in}X$,存在连通邻域,则$X$的连通分支均为开集

证明,任意$A$的连通分支,对于任意的$x{\in}A$,则有一个开邻域$U,x{\in}U$,且$U$连通,则推出$U{\cap}A$,从而由覆盖定理推出$U{\subset}A$,于是$A$为开集。

局部连通

定义:拓扑空间$(X,\tau)$,$x{\in}X$,$x$的一个邻域基$N_x$,是$x$的一些邻域之集,满足$x$的任意邻域都包含$N_x$的某个邻域。

指的是:任意$B$为$x$的一个邻域,则存在$U{\in}N_x,U{\subset}B$。

$N_x$中元素个数为可数个,称为可数邻域基。

定义:$(X,\tau)$为局部连通指的是:任意$x{\in}X$,$x$的所有连通邻域构成一个$x$的邻域基。

指的是:任何$B{\subset}X$,$x$的邻域,存在$U$为$x$的连通邻域,$U{\subset}B$。

连通不一定局部连通!

反例:拓扑学家的正弦曲线。

局部连通的连通分支是开集

证明:$X$是局部连通的,$A{\subset}X$是连通分支,任意$x{\in}A{\subset}X$,则有$U{\subset}X$是连通开集,$x{\in}U$,$U{\cap}A=\varnothing$,$U{\subset}A$,则$A$是开集。

道路连通。

首先定义什么是道路?

定义:$a:[0,1]{\to}X$连续,而$a(0)=x,a(1)=y$。称为从$x$到$y$的道路。

赋予一定的道路运算:逆道路,乘积道路,点道路。

道路是一个等价关系,而生成的等价类是一个道路分支。

定义:$(X,\tau)$道路连通,是指:任意的$x,y{\in}X$,存在$X$中从$x$到$y$的道路$a$。

道路连通子集:指的是子集自身是道路连通的。

道路连通的连续映像也是道路连通的。

一个连续函数与道路的复合即可证明。

接下来的定理:

道路连通覆盖定理与乘积空间道路连通定理,基本与之前的连通一致。

道路连通是连通的

取到连通覆盖,用连通覆盖定理可证。

连通未必道路连通

拓扑学家的正弦曲线。

局部道路连通

定义:$(X,\tau)$为局部道路连通指的是:任意$x{\in}X$,$x$的所有道路连通邻域构成一个$x$的邻域基。

指的是:任何$B{\subset}X$,$x$的邻域,存在$U$为$x$的道路连通邻域,$U{\subset}B$。

命题

$X$局部道路连通,$X$的道路分支为连通分支,既开又闭。特别地,当$X$连通时,则$X$道路连通。

Last modification:October 25th, 2019 at 08:16 pm
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