基础拓扑学5
连通性
定义：一个拓扑空间是连通的：$(X,\tau),X{\neq}\varnothing$，若$X$不能分解为两个非空的不相交的开集之并，则称拓扑空间$X$是连通的。
例子
$E^1$是连通的。
证明：用反证法：$E^1=A{\cup}B,A{\cap}B=\varnothing$，那么我们考虑$c=\sup\left\{x{\in}A|x<b\right\}$，那么我们有
$$ b{\ge}c{\ge}a $$
若$c{\in}A$，于是有$\varepsilon>0,(c-\varepsilon,\varepsilon+c){\subset}A,A{\cap}B=\varnothing$，于是乎则$(c-\varepsilon,\varepsilon+c){\cap}B=\varnothing$，这个与$c$的定义相矛盾，于是$c$不在$A$中，那么$c{\in}B$，而这样的话就会出现$(c-\varepsilon_1,\varepsilon_1+c){\subset}B$，而进一步又有下面的结论：$(c-\varepsilon_1,\varepsilon_1+c){\cap}A=\varnothing$，于是乎这个和$c$的存在性矛盾，则推出$E^1$是连通的。
命题（连通的等价条件）
若$X$连通，则相当于：
- $X$不能分解为两个不相交的非空的闭集之并（闭集与开集是对偶的概念）。
- $X$不含既开又闭的非空的真子集。
- 设$A{\subset}X,A$既开又闭，则可推出$A=\varnothing$或者是$A=X$。
同胚下保持连通性不变
有$X{\cong}Y$的情况下，若$X$是连通的，则$Y$是连通的。
证明：首先有$f:X{\to}Y$是一一在上的连续开映射，于是同时也有$f^{-1}:Y{\to}X$中，取$Y=A{\cup}B$均为开集，则可以推出$X=f^{-1}(A){\cup}f^{-1}(B),f^{-1}(A){\cap}f^{-1}(B)]=\varnothing$，则$f^{-1}(A)=\varnothing$或者$f^{-1}(A)=X$。进一步有$A=\varnothing$或者$A=X$。
应用的例子
$S^1{\subset}E^2$，但是与$E^1$不同胚。
反证法：设$S^1{\cong}E^1$，则可以推出$f:S^1{\backslash}(1,0){\cong}E^1{\backslash}f(0,1)$。而后者连通性显然，前者与$R$同胚，而后者则是两条射线，显然不同胚。
单连通可以用拓扑语言刻画
对于$S^2=E^2{\cup}\left\{\infty\right\}$，而$U$为连通的。则有以下的命题：
$U$单连通的充分必要条件是$U$与$S^2{\backslash}P^{-1}(U)$都连通。
黎曼映射定理
$U{\subseteq}E^2$是单连通的开区域，一定可以全纯同胚于单位开圆盘$D^2$。
这个定理很深刻了揭示了单连通的分类情况：必定为$S^2,C=E^2,D^2$这三种，当然从黎曼几何的曲率来分类也可以。
连通空间在连续映射下的像依旧连通
证明：$X$连通，那么也就是任意$A{\subset}f(X)$，设$A$既开又闭，则推出$f^{-1}(A)$既开又闭，于是因为$X$连通，可以推出$f^{-1}(A)$要么是空集要么是全集，于是通过连续映射则有$A$是空集，要么$A$是全集$f(X)$。
例子
$S^1{\subset}E^2$连通
证明：$f:E^1{\to}S^1$，仅需取特殊的映射函数$t{\to}(cost,sint)=e^{it}$，则可以做到。因为$E^1$是连通的，而这个映射是连续的，根据连通空间在连续映射下的像依旧连通，于是$S^1$是连通的。
$A{\subset}E^1$，为$E^1$的连通子集，其充要条件为：$A$为区间。
证明：先证明充分性：首先有区间四种：$(a,b),(a,b],[a,b),[a,b]$。一种一种看待，首先对于$(a,b){\cong}E^1$，这个显然通过同胚保持连通性质可以证明，接下来对于$(a,b],[a,b){\cong}[0,\infty)$，我们仅需取到特殊映射$f:x{\to}|x|$，则这个映射连续性显然，而后者连通，于是前者也连通。对于闭区间$[a,b]$，当$a=b$时，也就是单点集，那么集合中只有空集和它自己，显然是连通集。而对于$[a,b]{\cong}[0,1]$，因为$f((-1,1))=[0,1]$，还是用到之前的连续映射，于是可以推出闭集也是连通的。
接下来证明必要性：设$A$不是区间，则存在$a>b>c$，而$c,a{\in}A,b{\notin}A$。于是乎
$$ A=((-\infty,b){\cap}A){\cup}((b,\infty){\cap}A) $$
而这个是不连通的。因为分解为了两个不相交的开集之并
介值定理的成立
$f:X{\to}E^1$连续，而$X$是连通的空间，那么显然有$f(X)$是个区间，而这样就可以推出介值定理：任意的$a,b{\in}f(X),\forall c{\in}(a,b)$，存在$x{\in}X,f(x)=c$。
为了证明下面的覆盖继承连通定理，需要引入一个引理。
引理
$X_0{\subset}X$，$X_0$是既开又闭的集合，而$A{\subset}X，A$连通，则可以推出：$A{\cap}X_0=\varnothing$或者$A{\subset}X_0$。
证明：$A=(A{\cap}X_0){\cup}(A{\backslash}(A{\cap}X_0))$，这俩集合都是既开又闭的，又因为$A$是连通的，故而有结论。
覆盖继承连通定理
设$X$有一个连通覆盖$\mathcal{U}$，意思是指$\forall U{\in}{\mathcal{U}}$连通，且有${\bigcup}_{U{\in}\mathcal{U}}U=X$。
再设$A{\subset}X$是连通子集，且对于$\forall U{\in}{\mathcal{U}}$，有$A{\cap}U{\neq}\varnothing$，则$X$是连通的。
证明：设$B$是$X$的既开又闭的子集，则推出$B{\cap}A{\neq}\varnothing$，如果不是则用$B^c$进行下列操作，于是有$A{\subset}B$（引理可证），而对于$\forall U{\in}{\mathcal{U}}$，有$A{\cap}U{\neq}\varnothing$，则$U{\cap}B{\neq}\varnothing$，因为$U$是连通集合，于是又用一次引理，可以知道$U{\subset}B$，进一步则由任意性有${\bigcup}_{U{\in}\mathcal{U}}U{\subset}B$，于是有$X{\subset}B$，于是则$B=X$。
乘积空间的连通性
$X,Y$是连通的，则其乘积空间$X{\times}Y$也是连通的。
证明：$X,Y$连通，考虑子族集$\mathcal{U}=\left\{X{\times}\left\{y\right\}|y{\in}Y\right\}$，则$\mathcal{U}$为$X{\times}Y$的一个连通覆盖。而取到$A=\left\{x\right\}{\times}Y$,取得固定点$x$，于是有$A{\cap}U_y=(x,y){\neq}\varnothing$，于是由上述定理可以推出$X{\times}Y$连通。
例子应用
$E^n$连通，$T^n=S^1{\times}\cdots{\times}S^1$是连通的。
$E^n{\backslash}0=S^1{\backslash}(0,\infty)$是连通的。
$E^1{\backslash}y=(-\infty,y){\cup}(y,\infty)$非连通。
命题
设$A{\subset}X$是连通子集，而$\overline{A}=X$，则$X$是连通的。
证明：设$X$不连通，$X=C{\cup}D,C,D$是开集，$C{\cap}D=\varnothing$。而$\overline{A}=C{\cup}D$，于是$A{\cap}C=\varnothing,A{\cap}D=\varnothing$。从而可以知道$A{\subset}C,A{\subset}D$，而这样推出$A$是空集，矛盾。
连通分支
定义：$A{\subset}X$是连通子集，$A{\neq}\varnothing$，且任取$B{\subset}X,A{\subset}B,B$连通，则可以推出$A=B$，于是$A$为$X$的一个连通分支。
连通分支实际上就是指的极大连通子集。
命题
有拓扑空间$(X,\tau)$，对于$\forall A{\subset}X$是连通子集，且$A{\neq}\varnothing$，则$A$包含在唯一的一个连通分支内。有$X={\cup}_{\lambda{\in}\Lambda}X_{\lambda}$，而$X_{\lambda}$为$X$的连通分支。
证明：
$A$连通，考虑考虑子族集$\mathcal{U_A}=\left\{U{\subset}X|U连通且A{\subset}U\right\}$，则有$X_A={\cup}_{u{\in}U_A}U{\subset}X$，是连通的。由覆盖定理可得。
于是对于任意的$X_A{\subset}B$，则$A{\subset}B$可以进一步有：$B{\subset}X_A$，则有$B=X_A$是极大的，于是唯一性得证。$X={\cup}_{x{\in}X}x$。
连通分支是闭集
$A$连通的充要条件是$\overline{A}$连通，且可以推出连通分支一定是闭集。
例子：
$$ l_1=\left\{(x,y)|x=0\right\},l_2=\left\{(x,y)|y=0\right\},l_3=\left\{(x,y)|x=y\right\} $$
而$X=l_1{\cup}l_2{\ncong}Y=l_1{\cup}l_2{\cup}l_3$
证明容易就是通过去掉某个点$f:X{\backslash}0{\cong}Y{\backslash}f(0)$。
容易从图像看到两个的连通分支不同，于是显然不同胚。
连通分支何时为开集
若$\forall x{\in}X$，存在连通邻域，则$X$的连通分支均为开集
证明，任意$A$的连通分支，对于任意的$x{\in}A$，则有一个开邻域$U，x{\in}U$，且$U$连通，则推出$U{\cap}A$，从而由覆盖定理推出$U{\subset}A$，于是$A$为开集。
局部连通
定义：拓扑空间$(X,\tau)$，$x{\in}X$，$x$的一个邻域基$N_x$，是$x$的一些邻域之集，满足$x$的任意邻域都包含$N_x$的某个邻域。
指的是：任意$B$为$x$的一个邻域，则存在$U{\in}N_x,U{\subset}B$。
$N_x$中元素个数为可数个，称为可数邻域基。
定义：$(X,\tau)$为局部连通指的是：任意$x{\in}X$，$x$的所有连通邻域构成一个$x$的邻域基。
指的是：任何$B{\subset}X$，$x$的邻域，存在$U$为$x$的连通邻域，$U{\subset}B$。
连通不一定局部连通！
反例：拓扑学家的正弦曲线。
局部连通的连通分支是开集
证明：$X$是局部连通的，$A{\subset}X$是连通分支，任意$x{\in}A{\subset}X$，则有$U{\subset}X$是连通开集，$x{\in}U$，$U{\cap}A=\varnothing$，$U{\subset}A$，则$A$是开集。
道路连通。
首先定义什么是道路？
定义：$a:[0,1]{\to}X$连续，而$a(0)=x,a(1)=y$。称为从$x$到$y$的道路。
赋予一定的道路运算：逆道路，乘积道路，点道路。
道路是一个等价关系，而生成的等价类是一个道路分支。
定义：$(X,\tau)$道路连通，是指：任意的$x,y{\in}X$，存在$X$中从$x$到$y$的道路$a$。
道路连通子集：指的是子集自身是道路连通的。
道路连通的连续映像也是道路连通的。
一个连续函数与道路的复合即可证明。
接下来的定理：
道路连通覆盖定理与乘积空间道路连通定理，基本与之前的连通一致。
道路连通是连通的
取到连通覆盖，用连通覆盖定理可证。
连通未必道路连通
拓扑学家的正弦曲线。
局部道路连通
定义：$(X,\tau)$为局部道路连通指的是：任意$x{\in}X$，$x$的所有道路连通邻域构成一个$x$的邻域基。
指的是：任何$B{\subset}X$，$x$的邻域，存在$U$为$x$的道路连通邻域，$U{\subset}B$。
命题
$X$局部道路连通，$X$的道路分支为连通分支，既开又闭。特别地，当$X$连通时，则$X$道路连通。