基础拓扑学8
同伦与基本群
思想
首先这个概念是来自于庞加莱，庞加莱使用了基本群工具来刻画不同胚的各个拓扑图形的性质。
拓扑不变量，通过群这个代数工具，可以展现出来。
而基本群实际上对应的就是同论群（不可交换的运算），而对于可以交换的运算，则是同调群，对应的是上同调群。
graph LR
A[拓扑空间] -->|连续f|B[拓扑空间]-->|连续g|C[拓扑空间]-->|连续gof|A同理则有：
graph LR
A[群] -->|f*|B[群]-->|g*|C[群]-->|g*f*|A首先我们给出庞加莱的大概思想：通过刻画一个等价条件就是同伦，取定$P$点，考虑起点与终点均为$P$的道路的全体，再模掉这个同伦条件，从而成为一个集合，在这个集合上给出乘法运算（复合映射），从而成为基本群。
例子
圆盘$D,{\pi}_1(D)=\left\{e\right\}$，圆盘上所有道路都坍缩为一点。
圆环$S,{\pi}_1(S)=Z$,也就是整数自由循环群。
一些后面的讲述内容与框架
基本群保持了同胚不变，同伦则是取环道（闭道路），从而形成环道类，对上面定义乘法，从而形成1阶同伦群，而同伦不变性：$a$与$\widetilde{a}$等价（指的是形变下变为同一条道路）
然后我们用基本群来研究拓扑不变性质，最后举一些计算基本群的例子与应用。（van-Kanpen定理）
在$S$上$a$可以连续性变到$\widetilde{a}$，其中$a:S^1{\to}S$连续，$\widetilde{a}:S^1{\to}S$连续。
映射的同伦
定义$X,Y$为拓扑空间，$C(X,Y)=\left\{f:X{\to}Y|f连续\right\}$。设$f,g{\in}C(X,Y)$，若存在一个连续映射$H(x,t):X{\times}I{\to}Y$，使得$\forall{x},H(X,0)=f(x),H(X,1)=g(x)$，则称$f$与$g$同伦。
$H$称为从$f$到$g$的伦移（同伦），$h_t:X{\to}Y,x{\mapsto}H(x,t)$称为切片，${\eta}_x:[0,1]{\to}Y,t{\mapsto}{\eta}_x(t)=H(x,t)$，其中$\eta_x$称为$H$在$x$处的踪。
从这里可以看出如果要确定一个同伦，可以从切片角度看，或者从踪角度看待。
例子
$Y{\subset}E^n$，或者说是一个凸子集，则有直线伦移（同伦）：$f(x){\to}g(x),h_t:(1-t)f(x)+tg(x)$。这表示将$f(x)$匀速移动到$g(x)$。并且满足$H$是连续的与两个性质。
$f,g{\in}C(X,Y)$，设$f(x){\neq}-g(x),{\forall}x$，其中
$$ H(x,t)=\frac{(1-t)f(x)+tg(x)}{\|(1-t)f(x)+tg(x)\|} $$
这是一个中心投影，所以要去掉对径点，这是因为每个道路都是单位化到一条弧上。
$S^1,f(x):X{\to}S^1,g(x)=-f(x)={\tau}{\circ}f(x):X{\to}S^1{\subset}C$，其中$\tau:S^1{\to}S^1$。
$$ f(x){\simeq}_Hg(x) $$
其中$H(x,t)=e^{i{\pi}t}f(x)$是定向的，$H(x,0)=f(x),H(x,1)=-f(x)=g(x)$。
$S^n$做不到，$S^2$对径映射是反定向的，于是有$f(x)$与${\tau}{\circ}f(x)$不同伦，其中$\tau:S^2{\to}S^2$是反定向的，不存在同伦将正定向变为反定向，所以$S^n$做不到，可以用同调证明。
同伦是$C(X,Y)$上的一个等价关系
- $f{\simeq}_Hf$。
- $f{\simeq}_Hg{\Rightarrow}g{\simeq}_Hf$。
- $f{\simeq}_Hg,g{\simeq}_Hh{\Rightarrow}f{\simeq}_Hh$
证明很简单：1，$H(x,t)=f(x)$是连续的，并且$H(x,0)=f(x),H(x,1)=f(x)$。
2，$f{\simeq}_Hg$，也就是存在$H(x,t)$连续，$H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)$，令$\widetilde{H}(x,t)=H(x,1-t)$即可。
3，$f{\simeq}_Hg,g{\simeq}_Hh$，定义
$$ \widetilde{H}(x,t)=\begin{cases}H(x,2t),t{\in}[0,\frac{1}{2}]\\G(x,2t),t{\in}[\frac{1}{2},1]\end{cases} $$
则$\widetilde{H}(x,t)$连续，于是有$f{\simeq}_{\widetilde{H}}h$。
映射类
$C(X,Y)$中的映射按同伦关系划分等价类，每个等价类称为一个映射类，对于$\forall{f}{\in}(X,Y),<f>$为映射类。
$$ [X,Y]=\left\{<f>|f{\in}C(X,Y)\right\} $$
当然有$[X,Y]{\neq}{\varnothing}$，因为必然有常值映射存在：$c:X{\to}Y,c(x)=y_0{\in}Y,\forall{x},<c>{\in}[X,Y]$。
若$f{\in}<c>$，则称$f$为零伦。
例子：$[X,E^n]=\left\{<c>\right\}$。
同伦与复合映射
$X{\to}Y{\to}Z$，这是一个复合映射，在复合映射下同伦保持。
$g{\simeq}_H{\widetilde{g}}:X{\to}Y,f{\simeq}_{G}{\widetilde{f}}:Y{\to}Z$，则有$f{\circ}g{\simeq}{\widetilde{f}}{\circ}{\widetilde{g}}$。
证明：$\widetilde{H}(x,t)=G(H(x,t),t)$，$\widetilde{H}(x,0)=G(H(x,0),0)=G(g(x),0)=f{\circ}g(x)$。
同理有$\widetilde{H}(x,1)=\widetilde{f}{\circ}{\widetilde{g}}(x)$
同伦与商映射相容
首先给出俩商映射$p:X{\to}\widetilde{X},q:Y{\to}\widetilde{Y}$，则同伦$H:X{\times}[0,1]{\to}Y$与商映射是相容的。
首先给出存在性：${\forall}x_1,x_2{\in}X,t{\in}I,p(x_1)=p(x_1)$，$q(H(x_1,t))=q(H(x_2,t))$，则存在${\widetilde{H}}:{\widetilde{X}{\times}I}{\to}\widetilde{Y}$，且$q(H(x,t))=\widetilde{H}(p(x),t)$。
证明：$\widetilde{H}$存在，而连续性质由存在性与商映射性质推出。
例子：$p:[0,1]{\to}S^1,u{\to}e^{2\pi{i}u}$，是一个将[0,1]区间变为圆周的一个映射。
而$H:[0,1]{\times}[0,1]{\to}X,(u,t){\to}H(u,t)$，若$\forall{t}{\in}[0,1],H(0,t)=H(1,t)$，则$H$可以决定一个同伦$\widetilde{H}:S^1{\times}[0,1]{\to}X$。
例子：$C(S^1,X){\backslash}{~}=\left\{<c>\right\}$，且$C(S^1,\widetilde{X})$中映射类个数大于1个。
1，$C(S^n,X)$是一个n维同伦群。
相对同伦
$A{\subset}X,f,g{\in}C(X,Y)$，若存在一个同伦，$H:f{\simeq}g$，满足$\forall{a}{\in}A,H(a,t)=f(a)=g(a)$，则称$f$与$g$是相对于$A$同伦，记为$H:f{\simeq}g{\quad}{rel}A$。
复合相对同伦
$f,\widetilde{f}{\in}C(X,Y){\quad}relA,g\widetilde{g}{\in}C(Y,Z){\quad}relB$，$A{\subset}X,B{\subset}Y$且$f(A){\subset}B$，则$g{\circ}f{\simeq}\widetilde{g}{\circ}\widetilde{f}{\quad} rel A$。
例子举一个定端同伦。
