Haim3

本节主要讲述：弱拓扑，自反空间，可分空间，一致凸性。

3.6可分空间

定义：我们称呼一个度量空间$E$是可分的：如果它存在一个子集$D{\subset}E$是可数的且稠密的。（存在可数稠密子集）

分析中很多重要的空间是可分的。显然，有限维空间是可分的。我们将会在第四章看到，$L^p$与$l^p$空间是可分的（其中$1<p<\infty$）。当然$C(K)$空间也是，在紧度量空间$K$上的连续函数组成的空间是可分的。最后，$L^{\infty},l^{\infty}$不是可分空间。

命题3.25

令$E$是一个可分度量空间且令$F{\subset}E$为任意子集。则$F$是可分的。（可分度量空间的子集是可分的）

证明：令$(u_n)$为在$E$上的一个可数稠密子集。令$(r_m)$为任意正数序列使得$r_m{\to}0$。取任意点$a_{m,n}{\in}B(u_n,r_m){\cap}F$，这个集合无论如何不会是空集。集合$(a_{m,n})$是在$F$中可数稠密的。

定理3.26

令$E$为一个巴拿赫空间使得$E^*$是可分的。则$E$是可分的。（对偶空间可分，则原空间可分）

注意：反之不成立，在第四章中我们将看到$E=L^1$是一个可分空间，但是其对偶空间$E^*=L^{\infty}$不是可分的。

证明：令$(f_n)_{n{\ge}1}$为在$E^*$中可数稠密的。因为

$$ \|f_n\|=\sup_{x{\in}E\\\|x\|{\le}1}\left \langle f_n,x \right \rangle $$

我们可以找到某个$x_n{\in}E$，使得

$$ \|x_n\|{\le}1且\left \langle f_n,x_n \right \rangle{\ge}\frac{1}{2}\|f_n\| $$

我们给出$L_0$向量空间，是由$(x_n)_{n{\ge}1}$生成的（遍历$\mathbb{Q}$），也即：$L_0$包含了所有以$\mathbb{Q}$中元素$(x_n)_{n{\ge}1}$为系数的有限线性组合。我们断定$L_0$是可数的。事实上，对于任意整数$n$，令$\Lambda_n$为由遍历$\mathbb{Q}$元素$(x_k)_{1{\le}k{\le}n}$生成的向量空间。显然，$\Lambda_n$为可数的，且更甚者$L_0=\bigcup_{n{\ge}1}\Lambda_n$。

我们给出$L$向量空间，是由$(x_n)_{n{\ge}1}$生成的（遍历$\mathbb{R}$）。当然，$L_0$是$L$的一个稠密子集。我们断定$L$是$E$的一个稠密子集——且这个能完成证明（$L_0$将会成为$E$中的稠密可数子集）令$f{\in}E^*$为一个连续线性泛函在$L$消逝；考虑推论1.8，我们必须证明$f=0$。给定$\varepsilon>0$，则存在某个整数$N$，使得$\|f-f_N\|<\varepsilon$。我们有

$$ \frac{1}{2}\|f_N\|{\le}\left \langle f_N,x_N \right \rangle=\left \langle f_N-f,x_N \right \rangle<\varepsilon $$

（因为$\left \langle f,x_N \right \rangle=0$）。于是$\|f\|{\le}\|f-f_N\|+\|f_N\|<3\varepsilon$。因此$f=0$。

推论3.27

令$E$为一个巴拿赫空间，则

【$E$是自反的且可分的】$\iff$【$E^*$是自反的且可分的】

对偶空间与原空间自反与可分的互推。

证明：我们已经知道（推论3.21和定理3.26）

【$E^*$是自反的且可分的】$\Rightarrow$【$E$是自反的且可分的】

反过来，如果$E$是自反的且可分的，则$E^{**}=J(E)$；因此$E^*$是自反的且可分的。

可分性是密切联系弱拓扑的可度量化性质的。让我们回忆一个拓扑空间$X$是可度量化的：如果$X$上的一个度量可以诱导出$X$上的拓扑。

定理3.28

令$E$为一个可分的巴拿赫空间，则$B_{E^*}$是在弱$*$拓扑$\sigma(E^*,E)$中可度量化的。反之，如果$B_{E^*}$是在$\sigma(E^*,E)$中可度量化的，则$E$是可分的。

下面给出一个对偶的叙述。

定理3.29

令$E$为一个巴拿赫空间使得$E^*$是可分的。则$B_E$是在弱拓扑$\sigma(E,E^*)$中可度量化的。

定理3.28的证明：令$(x_n)_{n{\ge}1}$为一个$B_E$的可数稠密子集。对任意$f{\in}E^*$，设

$$ [f]=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{2^n}|\left \langle f,x_n \right \rangle | $$

显然，$[\quad]$是在$E^*$上的一个范数，且$[f]{\le}\|f\|$。令$d(f,g)=[f-g]$为相关的度量。我们将要证明在$B_{E^*}$上的$d$诱导的拓扑和限制在$B_{E^{**}}$上的拓扑$\sigma(E^*,E)$相同。

（1）令$f_0{\in}B_{E^*}$且令$V$为关于$\sigma(E^*,E)$的$f_0$的一个邻域。我们必须找到某个$r>0$使得

$$ U=\left\{f{\in}B_{E^*};d(f,f_0)<r\right\}{\subset}V $$

和往常一样，我们假设$V$的形式为

$$ V=\left\{f{\in}B_{E^*};|\left \langle f-f_0,y_i \right \rangle |<\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k\right\} $$

其中$\varepsilon>0$且$y_1,y_2,{\cdots},y_k{\in}E$。不失一般性，我们可以假设$\|y_i\|{\le}1$对任意$i=1,2,{\cdots},k$。对任意$i$存在某个整数$n_i$使得

$$ \|y_i-x_{n_i}\|<\frac{\varepsilon}{4} $$

（因为集合$(x_n)_{n{\ge}1}$在$B_E$中是稠密的）

取定$r>0$足够小

$$ 2^{n_i}r<\frac{\varepsilon}{2},{\forall}i=1,2,{\cdots},k $$

我们断定对这样的$r,U{\subset}V$。事实上，如果$d(f,f_0)<r$，我们有

$$ \frac{1}{2^{n_i}}|\left \langle f-f_0,x_{n_i} \right \rangle |<r,{\forall}i=1,2,{\cdots},k $$

且因此，${\forall}i=1,2,{\cdots},k$，

$$ |\left \langle f-f_0,y_i \right \rangle |=|\left \langle f-f_0,y_i-x_{n_i} \right \rangle+\left \langle f-f_0,x_{n_i} \right \rangle |<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} $$

于是$f{\in}V$。

（2）令$f_0{\in}B_{E^*}$。给定$r>0$。我们必须找到某个关于$\sigma(E^*,E)$中$f_0$的邻域$V$使得

$$ V{\subset}U=\left\{f{\in}B_{E^*};d(f,f_0)<r\right\} $$

我们取定$V$为

$$ V=\left\{f{\in}B_{E^*};\left \langle f-f_0,x_i \right \rangle <\varepsilon,{\forall}i=1,2,{\cdots},k\right\} $$

其中$\varepsilon$与$k$被取定使得$V{\subset}U$。对于$f{\in}V$，我们有

$$ \begin{align*}d(f,f_0)&=\sum^k_{n=1}\frac{1}{2^n}|\left \langle f-f_0,x_n \right \rangle |+\sum^{\infty}_{n=k+1}\frac{1}{2^n}|\left \langle f-f_0,x_n \right \rangle |\\&=\varepsilon+2\sum^{\infty}_{n=k+1}\frac{1}{2^n}=\varepsilon+\frac{1}{2^{k-1}}\end{align*} $$

因此，它足够取到$\varepsilon=\frac{r}{2}$且$k$足够大使得$\frac{1}{2^{k-1}}<\frac{r}{2}$。

（加星号）反之，假设$B_{E^*}$是在$\sigma(E^*,E)$中可度量化的且令我们证明$E$是可分的。设

$$ U_n=\left\{f{\in}B_{E^*};d(f,0)<1/n\right\} $$

且令$V_n$为在$\sigma(E^*,E)$中0的一个邻域，使得$V_n{\subset}U_n$。我们可以假设$V_n$具有形式

$$ V_n=\left\{f{\in}B_{E^*};|\left \langle f,x \right \rangle |<\varepsilon_n,{\forall}x{\in}\Phi_n\right\} $$

其中$\varepsilon>0$且$\Phi_n$为$E$中的一个有限子集。设

$$ D=\bigcup^{\infty}_{n=1}\Phi_n $$

于是$D$是可数的。

我们断言由$D$生成的向量空间是在$E$中稠密的（这个暗示$E$是可分的）。事实上，假设$f{\in}E^*$是使得$\left \langle f,x \right \rangle =0,{\forall}x{\in}D$。于是$f{\in}V_n,{\forall}n$且因此$f{\in}U_n,{\forall}n$，于是$f=0$。

定理3.29的证明：这个证明暗示

【$E^*$可分】$\Rightarrow$【$B_E$在$\sigma(E,E^*)$中是可度量化的】

完全和上面是一样的，仅仅需要改变$E$与$E^*$即可。反过来的证明是更精细的。

注意：在无限维空间弱拓扑$\sigma(E,E^*)$（或弱$*$拓扑$\sigma(E^*,E)$）是不可度量化的。特别地，由$E^*$中范数$[\;]$诱导出来的拓扑与弱$*$拓扑一致。

推论3.30

令$E$为一个可分巴拿赫空间且令$(f_n)$为一个在$E^*$上的有界序列。则存在一个子序列$(f_{n_k})$在弱$*$拓扑$\sigma(E^*,E)$中收敛。

证明：不失一般性，我们假设对所有$n,\|f_n\|{\le}1$。集合$B_E$是紧的且对$\sigma(E^*,E)$是可度量化的（由定理3.16与3.28），于是结论就能够给出来。

我们现在转到定理3.18的证明：

令$M_0$为由$x_n$生成的向量空间且$M=\overline{M}_0$。显然，$M$是可分的（可见定理3.26的证明）。更甚者，$M$是自反的（由命题3.20）。于是$B_M$是紧的且在弱拓扑$\sigma(M,M^*)$可度量化的。因为$M^*$是可分的（我们这里用推论3.27和定理3.29）。因此我们可以找到一个子序列$(x_{n_k})$在$\sigma(M,M^*)$中收敛，且因此$(x_{n_k})$也在弱$\sigma(E,E^*)$中收敛（和命题3.20的证明一致）。

3.7 一致凸空间

定义

一个巴拿赫空间被称为一致凸，如果${\forall}\varepsilon>0,{\exists}\delta>0$使得

$$ [x,y{\in}E,\|x\|{\le}1,\|y\|{\le}1且\|x-y\|>\varepsilon]{\Rightarrow}[\|\frac{x+y}{2}\|<1-\delta] $$

一致凸性是一个单位球的集合性质：如果我们在单位球中改变长度$\varepsilon>0$，则它的中点留在一个半径$(1-\delta)$的球，对于某个$\delta>0$。特别地，单位球面肯定无法包含任意线性分割。

例子1：令$E=\mathbb{R}^2$。其范数$\|x\|_2=[|x_1|^2+|x_2|^2]^{1/2}$是一致凸的，而当范数$\|x\|_1=|x_1|+|x_2|$和范数$\|x\|_{\infty}-\max(|x_1|,|x_2|)$则不是一致凸的。这个由一个单位球开始可以简单看到。

例子2：我们可以在第4，5章看到，$L^p$空间是一致凸的，对于$1<p<\infty$。且希尔伯特空间也是一致凸的。

定理3.31

Milman-Pettis：任意一致凸巴拿赫空间是自反的。

注意：一致凸是关于范数的一个几何性质；一个与之等价的范数不必是一致凸的。另一方面，自反性是一个拓扑性质：一个自反空间对于一个等价范数是等价的。一个值得注意的关于定理3.31的特征，一个几何性质推出一个拓扑性质。一致凸性经常被用于证明自反性；但是不是最终的工具-有许多奇怪的自反空间，允许没有一致凸的等价范数。

证明：令$\xi{\in}E^{**}$，其中$\|\xi\|=1$。我们必须证明$\xi{\in}J(B_E)$。因为$J(B_E)$是在$E^{**}$的强拓扑中是闭的。足够证明

$$ {\forall}\varepsilon>0,{\exists}x{\in}B_E,s.t.\|\xi-J(x)\|{\le}\varepsilon\tag{7} $$

固定$\varepsilon>0$且令$\delta>0$为一致凸性的模。取定某个$f{\in}E^*$使得$\|f\|=1$且

$$ \left \langle \xi,f \right \rangle>1-(\delta/2)\tag{8} $$

（这是可能的，因为$\|\xi\|=1$）。设

$$ V=\left\{\eta{\in}E^{**};|\left \langle \eta-\xi,f \right \rangle |<\delta/2\right\} $$

于是$V$是关于拓扑$\sigma(E^{**},E^*)$中$\xi$的一个邻域。因为$J(B_E)$是在$B_{E^{**}}$装备拓扑$\sigma(E^{**},E^*)$中稠密（引理3.4）。我们知道$V{\cap}J(B_E){\neq}\varnothing$且因此存在某个$x{\in}B_E$，使得$J(x){\in}V$。我们断言$x$满足（7）

假设，反证法：$\|\xi-J(x)\|>\varepsilon$，也即：$\xi{\in}(Jx+\varepsilon{B_{E^{**}}})^c=W$。集合$W$也是在拓扑$\sigma(E^{**},E^*)$中$\xi$的一个邻域。（因为$B_{E^{**}}$在$\sigma(E^{**},E^*)$中是闭的）。再次用到定理3.4，我们知道$V{\cap}W{\cap}J(B_E){\neq}\varnothing$，即为：存在某个$y{\in}B_E$使得$J(y){\in}V{\cap}W$。记$J(x),J(y){\in}V$，我们获得

$$ |\left \langle f,x \right \rangle -\left \langle \xi,f \right \rangle |<\delta/2 $$

与

$$ |\left \langle f,y \right \rangle-\left \langle \xi,f \right \rangle |<\delta/2 $$

两个不等式相加导致

$$ 2\left \langle \xi,f \right \rangle<\left \langle f,x+y \right \rangle +\delta{\le}\|x+y\|+\delta $$

结合（8），我们得到

$$ \|\frac{x+y}{2}\|>1-\delta $$

于是（由一致凸性）有$\|x-y\|{\le}\varepsilon$；这是荒谬的，因为$J(y){\in}W$（即为$\|x-y\|>\varepsilon$）。

我们总结关于一致凸空间的一个有用的性质

命题3.22

假设$E$是一个一致凸巴拿赫空间。令$(x_n)$为在$E$中的一个序列，使得$x_n\rightharpoonup{x}$弱收敛于$\sigma(E,E^*)$且

$$ \lim\sup\|x_n\|{\le}\|x\| $$

则$x_n{\to}x$强收敛。

证明：我们假设$x{\neq}0$（除此之外结论是显然的）

$$ {\lambda}_n=\max(\|x_n\|,\|x\|),y_n={\lambda}_n^{-1}x_n,y=\|x\|^{-1}x $$

于是${\lambda}_n{\to}\|x\|$且$y_n\rightharpoonup{y}$弱收敛于$\sigma(E,E^*)$。于是

$$ \|y\|{\le}\lim\inf\|(y_n+y)/2\| $$

（可见命题3.5的（3））。另一方面，$\|y\|=1$且$\|y_n\|{\le}1$，于是事实上，$\|(y_n+y)/2\|{\to}1$。我们可以从一致凸推断出$\|y_n-y\|{\to}0$且因此$x_n{\to}x$强收敛。