Haim4

这一章节主要讲述$L^p$空间。

令$(\Omega,\mathcal{M},\mu)$给定了一个可测空间，也即：$\Omega$是一个集合且
（1）$\mathcal{M}$是一个在$\Omega$中的$\sigma-$代数，也即：$\mathcal{M}$是一个关于$\Omega$中的子集列使得：

（a）$\varnothing{\in}\mathcal{M}$。

（b）$A{\in}\mathcal{M}\Rightarrow{A^c}{\in}\mathcal{M}$。

（c）$\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n{\in}\mathcal{M}$无论${\forall}n,A_n{\in}\mathcal{M}$。

也就是空集，任意集合在里面其补集在里面，可数并集在里面。

（2）$\mu$是一个测度，即为$\mu:\mathcal{M}{\to}[0,\infty]$满足

（a）$\mu(\varnothing)=0$，

（b）任意不相交的$\mathcal{M}$的可数集族$(A_n)$，有

$$ \mu(\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n)=\bigcup^{\infty}_{n=1}\mu(A_n) $$

可数可加性质。

$\mathcal{M}$中的集族被称为可测集。有时我们用$|A|$代替$\mu(A)$。

（c）$\Omega$是$\sigma-$有限的，也即，存在一个在$\mathcal{M}$中的可数集族$(\Omega_n)$，使得

$$ \Omega=\bigcup^{\infty}_{n=1}\Omega_n且{\forall}n,\mu(\Omega_n)<\infty $$

集合$E{\in}\mathcal{M}$且$\mu(E)=0$被称为零测集。我们宣称这个性质称为几乎处处:（对于任何$x{\in}\Omega$）如果除了一个零测集，在$\Omega$上都发生。

我们假设读者对可测函数与可积函数$f:\Omega{\to}\mathbb{R}$的记号都很熟悉。我们给定空间$L^1(\Omega,\mu)$或者更为简单地记为$L^1(\mu)$，为可积函数组成的空间。

我们将会经常用$\int{f}$代替$\int_{\Omega}fd{\mu}$，我们将会用记号

$$ \|f\|_{L^1}=\|f\|_1=\int_{\Omega}|f|d{\mu}=\int|f| $$

和往常一样，我们说明两个函数几乎处处相等。我们回忆下面的事实。

4.1 有关积分的一些结果

定理4.1

单调收敛定理，Beppo Levi：令$(f_n)$为在$L^1$中的序列满足：

（1）$f_1{\le}f_2{\le}{\cdots}{\le}f_n{\le}f_{n+1}{\le}{\cdots}a.e.$于$\Omega$。

（2）$\sup_n\int{f_n}<\infty$.

则$f_n(x)$在$\Omega$上几乎处处收敛与一个有限的极限，我们记为$f(x)$；函数$f{\in}L^1$且$\|f_n-f\|_1{\to}0$。

定理4.2

控制收敛定理，Lebesgue：令$(f_n)$为在$L^1$中的序列满足：

（1）$f_n(x){\to}f(x)$几乎处处在$\Omega$上。

（2）存在一个函数$g{\in}L^1$使得对于所有的$n$，有$|f_n(x)|{\le}g(x)$在$\Omega$上几乎处处成立。

则函数$f{\in}L^1$且$\|f_n-f\|_1{\to}0$。

定理4.3

法图引理：令$(f_n)$为在$L^1$中的序列满足：

（1）对于任何$n$，$f_n{\ge}0$几乎处处成立。

（2）$\sup_n\int{f_n}<\infty$。

对于所有的$x{\in}\Omega$，我们设$f(x)=\lim\inf_{n{\to}\infty}f_n(x){\le}+\infty$。则$f{\in}L^1$且

$$ \int{f}{\le}\underset{n{\to}\infty}{\lim\inf}\int{f_n} $$

一个最基本的例子就是在$\Omega=\mathbb{R}^N,\mathcal{M}$包含勒贝格可测集且$\mu$为在$\mathbb{R}^N$上的勒贝格测度。

记号

我们定义$C_c(\mathbb{R}^N)$为所有在$\mathbb{R}^N$上带有紧支集的连续函数组成的空间，也即：

$$ C_c(\mathbb{R}^N)=\left\{f{\in}C(\mathbb{R}^N);f(x)=0,{\forall}x{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}K,K为紧集\right\} $$

定理4.3

稠密性：空间$C_c(\mathbb{R}^N)$在$L^1(\mathbb{R}^N)$中稠密，也即：

$$ {\forall}f{\in}L^1(\mathbb{R}^N),{\forall}\varepsilon>0,{\exists}f_1{\in}C_c(\mathbb{R}^N),s.t.\|f-f_1\|{\le}\varepsilon $$

令$(\Omega_1,\mathcal{M}_1,\mu_1)$且$(\Omega_2,\mathcal{M}_2,\mu_2)$为两个可测空间，为$\sigma-$有限的。可以定义在一个标准方式上，可测空间$(\Omega,\mathcal{M},\mu)$构造在笛卡尔积$\Omega=\Omega_1{\times}\Omega_2$上。

这个定理告诉我们：带有紧支集的连续函数在$L^1$里稠密。

定理4.4

Tonelli：令$F(x,y):\Omega_1{\times}\Omega_2{\to}\mathbb{R}$为一个可测函数满足：

（1）$\int_{\Omega_2}|F(x,y)|d{\mu_2}<\infty$对于$x{\in}\Omega$几乎处处成立

（2）$\int_{\Omega_1}d{\mu_1}\int_{\Omega_2}|F(x,y)|d{\mu_2}<\infty$。

则$F{\in}L^1(\Omega_1{\times}\Omega_2)$。

这告诉我们单边有限，且其累次可测积分有限，则该函数在笛卡尔积的$L^1$空间里。

定理4.5

Fubini富比尼定理：假设$F{\in}L^1(\Omega_1{\times}\Omega_2)$。则对于几乎处处$x{\in}\Omega_1,F(x,y){\in}L^1_y(\Omega_2)$且$\int_{\Omega_2}F(x,y)d{\mu_2}{\in}L^1_x(\Omega_1)$。类似地，对于几乎处处$y{\in}\Omega_2,F(x,y){\in}L^1_x(\Omega_1)$且$\int_{\Omega_1}F(x,y)d{\mu_1}{\in}L^1_y(\Omega_2)$。

更甚者，有

$$ \int_{\Omega_1}d{\mu_1}\int_{\Omega_2}F(x,y)d{\mu_2}= \int_{\Omega_2}d{\mu_2}\int_{\Omega_1}F(x,y)d{\mu_1}= \int\int_{\Omega_1{\times}\Omega_2}F(x,y)d{\mu_1}d{\mu_2} $$

4.2 $L^p$空间的定义与基本性质

定义

令$p{\in}\mathbb{R}$其中$1<p<\infty$，我们设置

$$ L^P(\Omega)=\left\{f:\Omega{\to}\mathbb{R};f是可测的且|f|^p{\in}L^1(\Omega)\right\} $$

其中

$$ \|f\|_{L^p}=\|f\|_p=[\int_{\Omega}|f(x)|^pd{\mu}]^{1/p} $$

我们之后将会检验$\|{\;}\|_p$是一个范数。

定义

我们设

$$ L^{\infty}(\Omega)=\left\{f:\Omega{\to}\mathbb{R}|f可测且存在一个常数C,s.t.|f(x)|{\le}C,a.e.在\Omega上\right\} $$

其中

$$ \|f\|_{L^{\infty}}=\|f\|_{\infty}=\inf\left\{C;|f(x)|{\le}C,a.e.于\Omega\right\} $$

下面的注解暗示了$\|{\;}\|_\infty$是一个范数。

注：

如果$f{\in}L^{\infty}$则我们有

$$ |f(x)|{\le}\|f\|_{\infty}{\quad}a.e.于\Omega $$

事实上，存在一个序列$C_n$使得$C_n{\to}\|f\|_{\infty}$且对任何$n,|f(x)|{\le}C_n,a.e.于\Omega$。因此$|f(x)|{\le}C_n$对于所有$x{\in}\Omega{\backslash}E_n$，其中$|E_n|=0$。我们设$E=\cup^{\infty}_{n=1}E_n$，于是$|E|=0$且

$$ |f(x)|{\le}C_n,{\forall}n,{\forall}x{\in}\Omega{\backslash}E $$

于是有$|f(x)|{\le}\|f\|_{\infty},{\forall}x{\in}\Omega{\backslash}E$。

记号

令$1{\le}p{\le}\infty$；我们由$p'$给出共轭指数

$$ \frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1 $$

定理4.6

赫尔德不等式：假设$f{\in}L^p$且$g{\in}L^{p'}$，其中$1{\le}p{\le}\infty$，则$fg{\in}L^1$且

$$ \int|fg|{\le}\|f\|_p\|g\|_{p'} $$

证明：当$p=1,p=\infty$时这是显然的，因此我们假设$1<p<\infty$。我们回忆Young不等式：

$$ ab{\le}\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{p'}b^{p'},{\forall}a{\ge}0,{\forall}b{\ge}0 $$

该不等式是关于函数$log$在$(0,\infty)$的凹性的简单结果：

$$ log(\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{p'}b^{p'}){\ge}\frac{1}{p}log(a^p)+\frac{1}{p'}log(b^{p'})=log(ab) $$

我们有

$$ |f(x)g(x)|{\le}\frac{1}{p}|f(x)|^p+\frac{1}{p'}|g(x)|^{p'},a.e.x{\in}\Omega $$

于是$fg{\in}L^1$且

$$ \int|fg|{\le}\frac{1}{p}\|f\|^P_p+\frac{1}{p'}\|g\|^{p'}_{p'} $$

用${\lambda}f({\lambda}>0)$代替$f$，于是有

$$ \int|fg|{\le}\frac{{\lambda}^{p-1}}{p}\|f\|^p_p+\frac{1}{{\lambda}p'}\|g\|^{p'}_{p'} $$

取定${\lambda}=\|f\|^{-1}_p\|g\|^{p'/p}_p$（于是我们可以把右侧的式子最小化，得到赫尔德不等式）

注：记住下面关于赫尔德不等式的推广形式是很有用的：

假设$f_1,f_2,{\cdots},f_k$是函数使得

$$ f_i{\in}L^{p_i},1{\le}i{\le}k,\frac{1}{p}=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+{\cdots}+\frac{1}{p_k}{\le}1 $$

则其乘积$f=f_1f_2{\cdots}f_k$属于$L^p$且有

$$ \|f\|_p{\le}\|f_1\|_{p_1}\|f_2\|_{p_2}{\cdots}\|f_k\|_{p_k} $$

特别地，如果$f{\in}L^p{\cap}L^q$，其中$1{\le}p{\le}q{\le}\infty$，则$f{\in}L^r$，对于所有的$r,p{\le}r{\le}q$，且下面的插值不等式成立：

$$ \|f\|_r{\le}\|f||_{p}^{\alpha}\|f\|_{q}^{1-\alpha},\frac{1}{r}=\frac{\alpha}{p}+\frac{1-\alpha}{q},0{\le}\alpha{\le}1 $$

赫尔德不等式联系了两个共轭$L^p$函数与其乘积，并且给出其乘积的估计。

定理4.7

$L^p$是一个向量空间且$\|{\;}\|_p$是对任意$p,1{\le}p{\le}\infty$来说，是一个范数。

证明：当$p=1,p=\infty$的情况是显然的，因此我们假设$1<p<\infty$且令$f,g{\in}L^p$。我们有

$$ |f(x)+g(x)|^p{\le}(|f(x)|+|g(x)|)^p{\le}2^p(|f(x)|^p+|g(x)|^P) $$

因此，$f+g{\in}L^p$。另一方面，

$$ \|f+g\|^p_p=\int|f+g|^{p-1}|f+g|{\le}\int|f+g|^{p-1}|f|+\int|f+g|^{p-1}|g| $$

但是$|f+g|^{p-1}{\in}L^{p'}$，且由于赫尔德不等式，我们有

$$ \|f+g\|^p_p{\le}\|f+g\|^{p-1}_p(\|f\|_p+\|g\|_p) $$

也即：

$$ \|f+g\|_p{\le}\|f\|_p+\|g\|_p $$

定理4.8

费舍尔-里斯(Fischer-Riesz)：$L^p$为一个巴拿赫空间，对于任意$p,1{\le}p{\le}\infty$。

证明：我们分开$p=\infty$与$1{\le}p<\infty$这两个情况。

情况1：$p=\infty$。令$(f_n)$为在$L^{\infty}$中的柯西列。给定一个整数$k{\ge}1$，存在一个整数$N_k$使得$\|f_m-f_n\|_{\infty}{\le}\frac{1}{k}$，对于任意$n,m{\ge}N_k$。因此存在一个零测集$E_k$使得

$$ |f_m(x)-f_n(x)|{\le}\frac{1}{k},{\forall}x{\in}\Omega{\backslash}E_k,{\forall}n,m{\ge}N_k $$

于是我们令$E=\bigcap_kE_k$，于是$E$为零测集且我们可以看到，对于所有的$x{\in}\Omega{\backslash}E$，序列$f_n(x)$是在$\mathbb{R}$中为柯西列。因此对于所有的$x{\in}\Omega{\backslash}E$，有$f_n(x){\to}f(x)$。对上述式子取极限，当$m{\to}\infty$时，则我们得到

$$ |f(x)-f_n(x)|{\le}\frac{1}{k},{\forall}x{\in}\Omega{\backslash}E_k,{\forall}n{\ge}N_k $$

综上我们有$f{\in}L^{\infty}$且$\|f-f_n\|_{\infty}{\le}\frac{1}{k},{\forall}n{\ge}N_k$；因此在$L^{\infty},f_n{\to}f(x)$

情况2：$1{\le}p<\infty$。令$f_n(x)$为在$L^p$中的柯西列。为了证明它足够说明有一个子序列在$L^p$中收敛。我们取到一个子序列$(f_{n_k})$使得

$$ \|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p{\le}\frac{1}{2^k},{\forall}k{\ge}1 $$

【一个步骤如下：取定$n_1$使得$\|f_m-f_n\|_p{\le}\frac{1}{2},{\forall}m,n{\ge}n_1$；然后取定$n_2{\ge}n_1$使得$\|f_m-f_n\|_p{\le}\frac{1}{2^2},{\forall}m,n{\ge}n_2$依此类推】我们断言$f_{n_k}$在$L^p$中收敛。为了简化记号，我们用$f_k$来代替$f_{n_k}$于是我们有

$$ \|f_{k+1}-f_k\|_p{\le}\frac{1}{2^k},{\forall}k{\ge}1\tag{6} $$

令

$$ g_n(x)=\sum^n_{k=1}|f_{k+1}(x)-f_k(x)| $$

于是

$$ \|g_n\|_p{\le}1 $$

由单调收敛定理的结果，$g_n(x)$趋于一个有限的极限，称为$g(x),a.e.$于$\Omega$，其中$g{\in}L^p$。另一方面，对于$m{\ge}n{\ge}2$我们有

$$ |f_m(x)-f_n(x)|{\le}|f_m(x)-f_{m-1}(x)|+{\cdots}+|f_{n+1}(x)-f_n(x)|{\le}g(x)-g_{n-1}(x) $$

于是在$\Omega$上几乎处处，$f_n(x)$为一个柯西列且收敛到一个有限的极限，称为$f(x)$。

我们有几乎处处在$\Omega$上，

$$ |f(x)-f_n(x)|{\le}g(x),n{\ge}2\tag{7} $$

且特别地有$f{\in}L^p$。最后，我们由控制收敛定理得到，$\|f_n-f\|_p{\to}0$，因为$|f_n(x)-f(x)|^p{\to}0$几乎处处成立且$|f_n-f|^p{\le}g^p{\in}L^1$。

定理4.9

令$(f_n)$为在$L^p$中的一个序列，且令$f{\in}L^p$为使得$\|f_n-f\|_p{\to}0$。则存在子序列$(f_{n_k})$且一个函数$h{\in}L^p$使得

（1）$f_{n_k}(x){\to}f(x)$几乎处处在$\Omega$上成立

（2）$|f_{n_k}(x)|{\le}h(x),{\forall}k$几乎处处在$\Omega$上成立

证明：当$p=\infty$时，结论显然成立。因此我们假设$1{\le}p<\infty$。因为$(f_n)$为一个柯西列，我们回到定理4.8的证明且取定一个子序列$(f_{n_k})$由$(f_k)$生成，满足（6），使得$f_k(x)$几乎处处趋于一个极限$f^*(x)$，其中$f^*{\in}L^p$。更甚者，由（7），我们有$|f^*(x)-f_k(x)|{\le}g(x),{\forall}k$几乎处处于$\Omega$上成立，其中$g{\in}L^p$。由控制收敛定理，我们知道$f_k{\to}f^*$在$L^p$上成立，且因此$f=f^*$几乎处处成立。另外，我们也有$|f_k(x)|{\le}|f^*(x)|+g(x)$，于是得到第二个结论。