开映像定理与其应用

开映像定理

设$X,Y$是巴拿赫空间，有界线性算子$\Lambda:X{\to}Y$是满射，则存在$\delta>0$，使得

$$ {\Lambda}(B_X(0,1)){\supset}{\delta}B_Y(0,1)=B_Y(0,\delta)\\ B_X(0,1)=\left\{x{\in}X;\|x\|_X{\le}1\right\} $$

（开映像定理将开集映为开集）

证明分为两步：

断言1：在定理条件下，$\exists{\delta}>0$，使得$\overline{\Lambda(B_X(0,1))}{\supset}2{\delta}B_Y(0,1)$。

证明断言1：$\forall{y}{\in}Y$，因为$\Lambda$是满射，故$\exists{x}{\in}X$，使得$y=\Lambda{x}$，若$\|x\|<k$，则$y{\in}B_X(0,k)=k{\Lambda}B_x(0,1)$。因为是连续线性算子。令$X_n=\overline{n{\Lambda}B_X(0,1)}$，而$Y={\bigcup}^{\infty}_{n=1}X_n$，由Baire定理，则${\exists}n_0$，使得$intX_{n_0}{\neq}\varnothing$，而实际上根据连续性，就是$int{\overline{\Lambda{B_X(0,1)}}}{\neq}\varnothing$。设$y_0$是$\overline{{\Lambda}B_X(0,1)}$中的内点，则存在$\delta>0$，使得$B_Y(y_0,4\delta){\subset}\overline{B_X(0,1)}$。

这里$-y_0$也是$\overline{{\Lambda}B_X(0,1)}$的内点，因为是对称凸集。也就是

$$ y_0=n_0{\Lambda}x,-y_0=n_0{\Lambda}-x_0,而x,-x{\in}B_X(0,1){\Longrightarrow}-y_0{\in}\overline{{\Lambda}B_X(0,1)} $$

$$ B_Y(0,4\delta)=B_Y(y_0,4\delta)-y_0{\subset}\overline{{\Lambda}B_X(0,1)}+\overline{{\Lambda}B_X(0,1)} $$

于是有$B_Y(0,4\delta){\subset}2\overline{{\Lambda}B_X(0,1)}$，进一步有

$$ \overline{{\Lambda}B_X(0,1)}{\supset}B_Y(0,2\delta)=2{\delta}B_Y(0,1) $$

断言2：若$\Lambda:X{\to}Y$，满足$\overline{\Lambda(B_X(0,1))}{\supset}2{\delta}B_Y(0,1)$，则$B_Y(0,\delta){\subset}{\Lambda}B_X(0,1)$。

证明：要证${\forall}y{\in}B_Y(0,\delta),{\exists}x{\in}B_X(0,1)$，使得$\Lambda{x}=y$。

由满足的条件，我们就可以取${\forall}\varepsilon>0,{\exists}x{\in}X,\|x\|<\frac{1}{2}$，使得$\|y-{\Lambda}x\|<\varepsilon$。

取到$\varepsilon=\frac{\delta}{2}$，取${\exists}x_1$，使得$\|y-{\Lambda}x_1\|<\frac{\delta}{2}$。用$y-{\Lambda}x_1$代替前面的$y$，于是$\exists{x_2},\|x_2\|<\frac{1}{4}$，使得$\|y-{\Lambda}x_1-{\Lambda}x_2\|<\frac{\delta}{4}$，继续上面的步骤取法，这样下去。$\exists{x_n},\|x_n\|<\frac{1}{2^n}$，使得$\|y-{\Lambda}x_1-{\Lambda}x_2-{\cdots}-{\Lambda}x_n\|<\frac{\delta}{2^n}$。且有$\sum^{\infty}_{n=1}\|x_n\|$是收敛的，于是我们取$x:=\sum^{\infty}_{n=1}x_n$，由于$\Lambda$是连续的，故$y={\Lambda}x$。

故此证明完毕。

巴拿赫（逆算子）定理

$X,Y$是巴拿赫空间，$\Lambda:X{\to}Y$是既单又满的有界线性算子，则${\exists}\delta>0$，使得$\|{\Lambda}x\|{\ge}\delta\|x\|,{\forall}x{\in}X$，也就是$\Lambda^{-1}$是$Y$到$X$上的一个有界线性算子。

证明：取$\delta$为开映像定理中的，结合$\Lambda$是既单又满的。

若$\|{\Lambda}x\|<\delta,\|x\|<1$，则其逆否命题，$\|x\|{\ge}1,\|{\Lambda}x\|{\ge}\delta$。

$\Lambda^{-1}$的定义如下：若$y={\Lambda}x$，则令$x={\Lambda}^{-1}y$，且${\Lambda}^{-1}$是线性算子。

$$ {\Lambda}^{-1}(\beta_1y_1+\beta_2y_2)=\beta_1{\Lambda}^{-1}y+\beta_2{\Lambda}^{-1}y_2 $$

设$y_1=\Lambda{x_1},y_2=\Lambda{x_2}$，则有

$$ \beta_1y_1+\beta_2y_2=\beta_1{\Lambda}x_1+\beta_2{\Lambda}x_2={\Lambda}(\beta_1x_1+\beta_2x_2) $$

而由$\Lambda^{-1}$定义可以知道

$$ {\Lambda}^{-1}(\beta_1y_1+\beta_2y_2)=\beta_1x_1+\beta_2x_2=\beta_1{\Lambda}^{-1}y+\beta_2{\Lambda}^{-1}y_2 $$

对于${\forall}x{\in}X,x{\neq}0$，则有

$$ \|\frac{x}{\|x\|}\|=1,\|{\Lambda}\frac{x}{\|x\|}\|{\ge}\delta,\|{\Lambda}x\|{\ge}\delta\|x\|\\ \|y\|{\ge}\delta\|{\Lambda}^{-1}y\|{\Rightarrow}\|{\Lambda}^{-1}y\|{\le}\frac{1}{\delta}\|y\|,\|{\Lambda}^{-1}\|{\le}\frac{1}{\delta} $$

$L^1$函数的傅立叶系数

首先我们对${\forall}f{\in}L^1(T),\hat{f}:\mathbb{Z}{\to}\mathbb{C}$，其中$\hat{f}$定义如下：

$$ \hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(t)e^{-int}dt{\quad}(n{\in}\mathbb{Z}) $$

断言：${\forall}f{\in}L^1(T)$，当$|n|{\to}\infty,\hat{f}(n){\to}0$。

证明：由于$C(T)$稠于$L^1(T)$(定理3.14)，三角多项式（有限个$\left\{e^{int}\right\}^{\infty}_{-\infty}$的线性组合）稠于$C(T)$(定理4.25)。

${\forall}{\varepsilon}<0,f{\in}L^1(T),{\exists}g{\in}C(T)$与三角多项式$P$，使得$\|f-g\|_1<\varepsilon,\|g-P\|_{\infty}<\varepsilon$。而$L^1(T)$的范数是

$$ \|f\|_1=\frac{1}{2\pi}|f(t)|dt,\|g-P\|_1{\le}\|g-P\|_1<\varepsilon $$

推出$\|f-P\|_1<2\varepsilon$，因为$P$是一个三角多项式，当$|n|$足够大，且超过$P$的阶次时，有

$$ P(t)=\sum^N_{k=-N}c_ke^{ikt},\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}P(t)e^{-int}dt=0 $$

$$ |\hat{f}(n)|=|\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\left\{f(t)-P(t)\right\}e^{-int}dt|{\le}\|f-P\|_1<2{\varepsilon} $$

也就是$|n|{\to}\infty,\hat{f}(n){\to}0$。

接下来我们的问题是：若$\left\{a_n\right\}$为一个复数序列，当$|a_n|{\to}\infty$，有$a_n{\to}0$。是否存在$f{\in}L^1(T)$，使得$\hat{f}(t)=a_n$？

设$C_0=\left\{\varphi:\mathbb{Z}{\to}C;\varphi(x){\to}0,n{\to}{\pm}\infty\right\}$，也就是$\left\{c_n\right\}^{+\infty}_{-\infty},c_n{\to}0,n{\to}{\pm}\infty$。

$$ \|\varphi\|_{\infty}=\sup\left\{|\varphi(n)|:n{\in}\mathbb{Z}\right\} $$

则$(C_0,\|{\cdot}\|_{\infty})$为巴拿赫空间。实际上，如果规定${Z}$的每个子集都为开集，则$Z$是一个局部紧的豪斯多夫空间，则$C_0=C_0(Z)$。

不是满射

映射$f{\to}\hat{f}$是$L^1(T)$到$C_0$内一个单的有界线性变换。

证明：定义$\Lambda:f{\mapsto}\hat{f},\Lambda$是线性变换，前面断言：$n{\to}{\pm}\infty,\hat{f}(n){\to}0$。从而$\Lambda:L^1(T){\to}\Lambda(L^1(T)){\subset}C_0$，由于

$$ \hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(t)e^{-int}dt{\quad}(n{\in}\mathbb{Z}) $$

$|\hat{f}(n)|{\le}\|f\|_1{\Rightarrow}\|{\Lambda}\|{\le}1$，令$f=1,|\hat{f}(0)|=1$，故此$\|{\Lambda}\|=1$。

下面证明$\Lambda$是单射，设$f{\in}L^1(T)$，若${\Lambda}f=0$，即$\hat{f}(n)=0$，对${\forall}n{\in}\mathbb{Z}$。

当$g$为任一三角多项式时，

$$ \frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(t)g(t)=0\tag{*} $$

由定理4.25与控制收敛定理，对于${\forall}g{\in}C(T)$，三角多项式在连续函数中稠密，然后控制收敛直接把极限取进去，从而（*）式也成立。由鲁津定理（连续函数逼近可测函数）的推论与控制收敛定理，（*)式对于任何一个可测函数$g$也成立。从而由定理1.39（b）

$$ \int^{\pi}_{-\pi}|f(t)|dt=0{\Rightarrow}f(t)=0(a.e.) $$

从而可以证明$\Lambda$为单射。

证明不是满射：反证法，若$\Lambda$为满射，$\Lambda(L^1(T))=C_0$，由定理5.10（巴拿赫定理），$\exists{\delta}>0$，使得对${\forall}f{\in}L^1(T)$，有$\|\hat{f}\|_{\infty}{\ge}\|f\|_1$，由5.11节定义的

$$ D_n(t)=\sum^{n}_{k=-n}e^{ikt}=\frac{sin(n+\frac{1}{2})t}{sin\frac{t}{2}} $$

有$D_n(t){\in}L^1(T),\|D_n\|_{\infty}=1$，因为

$$ \hat{D_n}(k)=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}D_n(t)e^{-ikt}dt $$

而当$n{\to}\infty$时，$\|D_n\|_1{\to}\infty$，因此不存在$\delta>0$，使得$\|\hat{D_n}\|_{\infty}{\ge}\delta\|D_n\|_1$，对${\forall}n{\in}\mathbb{Z}$成立，于是这个反例告诉我们不是满射。

闭图像定理

首先定义图像：对于$\Lambda:X{\to}Y$的线性算子。

$$ G(\Lambda)=\left\{(x,\Lambda{x}),{\forall}x{\in}X\right\}{\subset}X{\times}Y $$

定理：设$X$与$Y$为巴拿赫空间，$\Lambda:X{\to}Y$为一个线性算子，若$G(\Lambda)$为$X{\times}Y$上的闭集，则$\Lambda$是连续的。

要证明这个定理需要用到开映像定理的推论：

若$X$是赋范线性空间，其上赋予两个范数$\|{\cdot}\|_1,\|{\cdot}\|_2$，若存在$c>0$使得$\|{\cdot}\|_1{\le}c\|{\cdot}\|_2$，且$(X,\|{\cdot}\|_1)$与$(X,\|{\cdot}\|_2)$均为巴拿赫空间，则${\exists}C>0$，使得$\|{\cdot}\|_2{\le}C\|{\cdot}\|_1$。

这个推论的证明仅需用到：$i:X{\to}X$，然后用一下巴拿赫（逆算子）定理即可。

证明闭图像定理：在$X$上考虑两个范数

$$ \|x\|_1=\|x\|_X+\|{\Lambda}x\|_Y,\|x\|_2=\|x\|_X $$

则有$\|x\|_2{\le}\|x\|_1$，而用到开映射的推论我们有$\|x\|_1{\le}C\|x\|_2$，于是可以推出

$$ \|x\|_X+\|{\Lambda}x\|_Y{\le}C\|x\|_X,\|{\Lambda}x\|_Y{\le}(c-1)\|x\|_X\\\|{\Lambda}\|{\le}C-1 $$

于是则有$\Lambda$连续，也就是闭图像推出这个线性算子是连续的。