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8.4 一些边界问题的例子

考虑问题

$$ \begin{cases} -u''+u=f{\quad}on{\;}I=(0,1)\\ u(0)=u(1)=0 \end{cases}\tag{14} $$

其中$f$是一个给定的函数(例如在$C(\overline{I})$中或者更一般地在$L^2(I)$中)。边界条件$u(0)=u(1)=0$被称为(同构)狄利克雷边界条件。

定义

问题(14)的一个经典解是一个函数$u{\in}C^2(\overline{I})$满足在通常意义下的(14)。问题(14)的一个弱解是一个函数$u{\in}H^1_0(I)$满足

$$ \int_I{u'v'}+\int_I{uv}=\int_I{fv},{\forall}v{\in}H^1_0(I)\tag{15} $$

让我们“付出行动”在节8.1指出的程序

步骤A:任何经典解是一个弱解。由分部积分这是显然的。(在推论8.10中是合理的)

步骤B:一个弱解的存在性与唯一性。这是下面结果的主题。

命题8.15

给定任意$f{\in}L^2(I)$存在一个问题(15)的唯一解$u{\in}H^1_0$。更甚者,$u$可以由下面的操作取得

$$ \min_{v{\in}H^1_0}\left\{\frac{1}{2}\int_I(v'^2+v^2)-\int_Ifv\right\} $$

这是狄利克雷原理。

证明:我们应用拉克丝-密格拉蒙定理(推论5.8)对希尔伯特空间$H=H^1_0(I)$带有双线性形式

$$ a(u,v)=\int_Iu'v'+\int_Iuv=(u,v)_{H^1} $$

且有线性泛函$\varphi:v{\mapsto}\int_Ifv$。即可得到结果。

注:给定$F{\in}H^{-1}(I)$我们可以从里斯表示定理(定理5.5)知道,存在唯一一个$u{\in}H^1_0(I)$使得

$$ (u,v)_{H^1}=\left \langle F,v \right \rangle_{H^{-1},H^1_0},{\forall}v{\in}H^1_0 $$

则映射$F{\mapsto}u$为从$H^{-1}$到$H^1_0$上的里斯-费舍尔同构映射。函数$u$是在(15)的意义下,关于问题(14)的弱解。

步骤C和D。弱解的正则化,经典解的修复

首先,注意到如果$f{\in}L^2$和$u{\in}H^1_0$是关于问题(14)的弱解,则$u{\in}H^2$。事实上,我们有

$$ \int{u'v'}=\int_I(f-u)v,{\forall}v{\in}C_c^1(I) $$

且因此$u'{\in}H^1$(由$H^1$的定义和因为$f-u{\in}L^2$),也即:$u{\in}H^2$。更甚者,如果我们假设$f{\in}C(\overline{I})$,则弱解$u$属于$C^2(\overline{I})$。事实上,$(u')'{\in}C(\overline{I})$且因此$u'{\in}C^1(\overline{I})$。关于从一个弱解$u{\in}C^2(\overline{I})$到一个经典解的篇幅已经在8.1节中指出。

注:如果$f{\in}H^k(I)$,其中$k{\ge}1$为整数。容易验证(15)的解$u$属于$H^{k+2}(I)$。

上述形容的方法是极其灵活的且可以适用于多元问题。我们经常遇到的许多例子指明了这一点。在这些问题的解决上,具体说明函数空间和找到恰当的弱表达是极其重要的。

例子1(不均匀狄利克雷状况):考虑问题

$$ \begin{cases} -u''+u=f,{\quad}on{\;}I=(0,1)\\ u(0)=\alpha,u(1)=\beta \end{cases}\tag{16} $$

其中${\alpha,\beta}{\in}\mathbb{R}$给定且$f$为一个给定的函数。

命题8.16

给定${\alpha,\beta}{\in}\mathbb{R}$和$f{\in}L^2(I)$,存在唯一一个函数$u{\in}H^2(I)$满足(16)。更甚者,$u$可以由下面操作获得

$$ \min_{v{\in}H^1(I)\\v(0)=\alpha,v(1)=\beta}\left\{\frac{1}{2}\int_I(v'^2+v^2)-\int_Ifv\right\} $$

如果,另外有$f{\in}C(\overline{I})$,则$u{\in}C^2(\overline{I})$。

证明:我们给出两个可能的接近:

方法1

固定任意光滑函数$u_0$使得$u_0(0)=\alpha$和$u_0(1)=\beta$。得到一个新的未知的$\widetilde{u}=u-u_0$。则$\widetilde{u}$满足

$$ \begin{cases} -\widetilde{u}''+\widetilde{u}=f+u_0''-u_0{\quad}on{\;}I\\ \widetilde{u}(0)=\widetilde{u}(1)=0 \end{cases} $$

我们转而对$\widetilde{u}$处理之前的问题。

方法2

考虑在空间$H^1(I)$上的闭凸集

$$ K=\left\{v{\in}H^1(I);v(0)=\alpha,v(1)=\beta\right\} $$

如果$u$是问题(16)的一个经典解,我们有

$$ \int_Iu'(v-u)'+\int_Iu(v-u)=\int_If(v-u),{\forall}v{\in}K $$

则特别地

$$ \int_Iu'(v-u)'+\int_Iu(v-u){\ge}\int_If(v-u),{\forall}v{\in}K\tag{17} $$

我们现在可以引入斯坦帕基亚定理(定理5.6):存在唯一一个函数$u{\in}K$满足(17)且,更甚者,$u$可以由下面操作获得

$$ \min_{v{\in}K}\left\{\frac{1}{2}\int_I(v'^2+v^2)-\int_Ifv\right\} $$

为了修复问题(16)的一个经典解,设在(17)中$v=u{\pm}w$,其中$w{\in}H^1_0$且得到

$$ \int_Iu'w'+\int_Iuw=\int_Ifw,{\forall}w{\in}H^1_0 $$

这个意味着$u{\in}H^2(I)$。如果$f{\in}C(\overline{I})$,在同构的情况下相同的论据表明$u{\in}C^2(\overline{I})$。
例子2(Sturm-Liouville问题):考虑下面的问题

$$ \begin{cases} -(pu')'+qu=f{\quad}on{\;}I=(0,1)\\ u(0)=u(1)=0 \end{cases}\tag{18} $$

其中$p{\in}C^1(\overline{I}),q{\in}C(\overline{I})$且$f{\in}L^2(I)$给定,其中

$$ p(x){\ge}\alpha>0,{\forall}x{\in}I $$

如果$u$是问题(18)的一个经典解,我们有

$$ \int_Ipu'v'+\int_Iquv=\int_Ifv,{\forall}v{\in}H^1_0(I) $$

我们用$H^1_0(I)$作为函数空间和

$$ a(u,v)=\int_Ipu'v'+\int_Iquv $$

作为在$H^1_0$上的对称连续双线性模式。如果在$I$上$q{\ge}0$,由庞加莱不等式这个形式是强制的(命题8.13)。因此,由拉克丝-密格拉蒙定理,存在唯一一个$u{\in}H^1_0$使得

$$ a(u,v)=\int_Ifv,{\forall}v{\in}H^1_0(I)\tag{19} $$

更甚者,$u$可以由以下操作获得

$$ \min_{v{\in}H^1_0(I)}\left\{\frac{1}{2}\int_I(pv'^2+qv^2)-\int_Ifv\right\} $$

容易从(19)知道$pu'{\in}H^1$;因此(由推论8.10)$u'=(1/p)(pu'){\in}H^1$且因此$u{\in}H^2$。最终,如果$f{\in}C(\overline{I})$,则$pu'{\in}C^1(\overline{I})$,所以$u'{\in}C^1(\overline{I})$。也即,$u{\in}C^2(\overline{I})$。步骤D给出了并且我们总结出$u$是问题(18)的一个经典解。

现在考虑更为一般的问题:

$$ \begin{cases} -(pu')'+ru'+qu=f,{\quad}on{\;}I=(0,1)\\ u(0)=u(1)=0 \end{cases}\tag{20} $$

在$p,q,f$上的假设和上述一致,且$r{\in}C(\overline{I})$。如果$u$是问题(20)的一个经典解我们有

$$ \int_Ipu'v'+\int_Iru'v+\int_Iquv=\int_Ifv.{\forall}v{\in}H^1_0 $$

我们用$H^1_0(I)$作为我们的函数空间且

$$ a(u,v)=\int_Ipu'v'+\int_Iru'v+\int_Iquv $$

作为双线性连续模式。而这个模式是非对称的。在某种情况下是强制的,例如:

(1)如果$q{\ge}1$且$r^2<4{\alpha}$。

(2)或者如果$q{\ge}1$且$r{\in}C^1(\overline{I})$,其中$r'{\le}2$;这里我们用事实

$$ \int{ru'v}=-\frac{1}{2}\int{r'v^2},{\forall}v{\in}H^1_0 $$

然后我们可以应用拉克丝-密格拉蒙定理,但是这个不能直接联系最小化问题。这个技巧允许我们修复一个对称栓修改双线性模式。引入一个原始的$R$关于$r/p$且设$\xi=e^{-R}$。乘上$\xi$之后,方程(20)可以被写为,

$$ -{\xi}pu''-\xi{p'u'}+\xi{ru'}+\xi{qu}={\xi}f $$

或者(因为${\xi'}p+{\xi}r=0$)

$$ -({\xi}pu')'+\xi{qu}=\xi{f} $$

在$H^1_0$上定义对称连续双线性模式

$$ a(u,v)=\int_I{\xi}pu'v'+\int_I{\xi}quv $$

当$q{\ge}0$,这个模式是强制的,且因此存在唯一一个$u{\in}H^1_0$使得

$$ a(u,v)=\int_I{\xi}fv,{\forall}v{\in}H^1_0 $$

更甚者,$u$可以由以下操作得到

$$ \min_{v{\in}H^1_0(I)}\left\{\frac{1}{2}\int_I({\xi}pv'^2+{\xi}qv^2)-\int_I{\xi}fv\right\} $$

容易验证$u{\in}H^2$且如果$f{\in}C(\overline{I})$,则$u{\in}C^2(\overline{I})$是问题(20)的一个经典解。

例子3(均匀的诺伊曼状态)考虑问题

$$ \begin{cases} -u''+u=f,{\quad}on{\;}I=(0,1)\\ u'(0)=u'(1)=0 \end{cases}\tag{21} $$

命题8.17

给定$f{\in}L^2(I)$,则存在唯一一个函数$u{\in}H^2(I)$满足(21)。更甚者,$u$可以由于以下操作获得

$$ \min_{v{\in}H^1(I)}\left\{\frac{1}{2}\int_I(v'^2+v^2)-\int_I{fv}\right\} $$

如果,另外有$f{\in}C(\overline{I})$,则$u{\in}C^2(\overline{I})$。

证明:如果$u$是问题(21)的一个经典解,我们有

$$ \int_I{u'v'}+\int_I{uv}=\int_I{fv},{\forall}v{\in}H^1(I) $$

我们用$H^1(I)$作为我们的函数空间:因为$u(0)$和$u(1)$是前置未知的,则没有点在$H^1_0$中像上述一样起作用。我们应用拉克丝-密格拉蒙定理,其中双线性模式$a(u,v)=\int_Iu'v'+\int_Iuv$且线性泛函$\varphi:v{\mapsto}\int_Ifv$。在这种方式下我们得到唯一一个函数$u{\in}H^1(I)$满足(22)。从(22)有,和上述一样,$u{\in}H^2(I)$。再次用(22)我们得到

$$ \int_I(-u''+u-f)v+u'(1)v(1)-u'(0)v(0)=0,{\forall}v{\in}H^1(I)\tag{23} $$

在(23)由取$v{\in}H^1_0$开始,得到$-u''+u=f$几乎处处成立。回到(23),则保有

$$ u'(1)v(1)-u'(0)v(0)=0,{\forall}v{\in}H^1(I) $$

因为$v(0)$和$v(1)$是任意的,我们推出$u'(0)=u'(1)=0$。

例子4(非均匀诺伊曼状态):考虑问题

$$ \begin{cases} -u''+u=f{\quad}on{\;}I=(0,1)\\ u'(0)=\alpha,u'(1)=\beta \end{cases}\tag{24} $$

其中$\alpha,\beta{\in}\mathbb{R}$且$f$是一个给定的函数。

命题8.18

给定任意函数$f{\in}L^2(I)$且$\alpha,\beta{\in}\mathbb{R}$,则存在唯一一个函数$u{\in}H^2(I)$满足(24),更甚者,$u$可以由以下获得

$$ \min_{v{\in}H^1(I)}\left\{\frac{1}{2}\int_I(v'^2+v^2)-\int_Ifv+\alpha{v(0)-\beta{v(1)}}\right\} $$

如果另外有$f{\in}C(\overline{I})$,则$u{\in}C^2(\overline{I})$。

证明:如果$u$是问题(24)的一个经典解,我们有

$$ \int_I{u'v'}+\int_I{uv}=\int_I{fv-\alpha{v(0)}+\beta{v(1)}},{\forall}v{\in}H^1(I) $$

我们用$H^1(I)$作为我们的函数空间且我们应用拉克丝-密格拉蒙定理,对于双线性模式$a(u,v)=\int_I{u'v'}+\int_I{uv}$且线性泛函

$$ \varphi:v{\mapsto}\int_I{fv}-\alpha{v(0)}+\beta{v(1)} $$

这个线性泛函是连续的(由定理8.8)。则步骤和例子3一样证明$u{\in}H^2(I)$且有$u'(0)=\alpha$和$u'(1)=\beta$。

例子5(混合边界状态)考虑问题

$$ \begin{cases} -u''+u=f{\quad}on{\;}I=(0,1)\\ u(0)=0,u'(1)=0 \end{cases}\tag{25} $$

如果$u$是问题(25)的一个经典解我们有

$$ \int_I{u'v'}+\int_I{uv}=\int_Ifv,{\forall}v{\in}H^1(I),v(0)=0\tag{26} $$

最合适的起作用的空间是

$$ H=\left\{v{\in}H^1(I);v(0)=0\right\} $$

装备上$H^1$的内积。剩下的部分留给读者练习。

例子6(robin边界状况):考虑问题

$$ \begin{cases} -u''+u=f{\quad}on{\;}I=(0,1)\\ u'(0)=ku(0),u(1)=0 \end{cases}\tag{27} $$

其中$k{\in}\mathbb{R}$是给定的。

如果$u$是问题(27)的一个经典解,我们有

$$ \int_I{u'v'}+\int_I{uv}+ku(0)v(0)=\int_Ifv,{\forall}v{\in}H^1(I),v(1)=0 $$

最合适的空间应用拉克丝-密格拉蒙定理是希尔伯特空间

$$ H=\left\{v{\in}H^1(I);v(1)=0\right\} $$

装备上$H^1$的内积。双线性模式

$$ a(u,v)=\int_I{u'v'}+\int_Iuv+ku(0)v(0) $$

是对称且连续的。如果$k{\ge}0$,则是强制的。

例子7(周期边界状态)考虑问题

$$ \begin{cases} -u''+u=f{\quad}on{\;}I=(0,1)\\ u(0)=u(1),u'(0)=u'(1) \end{cases}\tag{28} $$

如果$u$是问题(28)的一个经典解,我们有

$$ \int_I{u'v'}+\int_Iuv+\int_Ifv,{\forall}v{\in}H^1(I),v(0)=v(1)\tag{29} $$

最合适的空间应用拉克丝-密格拉蒙定理是希尔伯特空间

$$ H=\left\{v{\in}H^1(I);v(0)=v(1)\right\} $$

对双线性模式$a(u,v)=\int_Iu'v'+\int_Iuv$。当$f{\in}L^2(I)$我们得到一个关于问题(28)的解$u{\in}H^2( I)$。如果另外有$f{\in}C(\overline{I})$,则这个解是经典解。

例子8(一个在$\mathbb{R}$上的边值问题)考虑问题

$$ \begin{cases} -u''+u=f{\quad}on{\;}\mathbb{R}\\ u(x){\to}0{\quad}当|x|{\to}\infty \end{cases} $$

其中$f$是在$L^2(\mathbb{R})$中给定的。一个问题(30)的经典解是一个函数$u{\in}C^2(\mathbb{R})$满足(30)在通常意义下。一个问题(30)的弱解是一个函数$u{\in}H^1(\mathbb{R})$满足

$$ \int_{\mathbb{R}}u'v'+\int_{\mathbb{R}}uv=\int_{\mathbb{R}}fv,{\forall}v{\in}H^1(\mathbb{R}) $$

我们首先证明任意经典解$u$是一个弱解,首先让我们检验$u{\in}H^1(\mathbb{R})$。取定一个截断函数的序列$(\xi_n)$在定理8.7的证明中。用$\xi_nu$乘以(30)然后分部积分,我们得到:

$$ \int_{\mathbb{R}}u'(\xi_nu'+\xi’_nu)+\int_{\mathbb{R}}\xi_nu^2=\int_{\mathbb{R}}\xi_nfu $$

从这里我们能推断出:

$$ \int_{\mathbb{R}}\xi_n(u'^2+u^2)=\int_{\mathbb{R}}\xi_nfu+\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}\xi_n''u^2\tag{31} $$

但是

$$ \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}\xi_n''u^2{\le}\frac{C}{n^2}\int_{n<{|x|}<2n}u^2,C=\|\xi''\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})} $$

且当$n{\to}\infty$时$\frac{1}{n^2}\int_{n<|x|<2n}u^2{\to}0$。因为当$|x|{\to}\infty$时$u(x){\to}0$。插入不等式

$$ \int_{\mathbb{R}}\xi_nfu{\le}\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}\xi_nu^2+\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}\xi_nf^2 $$

在(31)中,我们可以看到$\int{\xi_n}(u'^2+u^2)$当$n{\to}\infty$时仍旧有界。且因此$u{\in}H^1(\mathbb{R})$。

假设$u$是问题(30)的一个经典解,我们有

$$ \int_{\mathbb{R}}u'v'+\int_{\mathbb{R}}uv=\int_{\mathbb{R}}fv,{\forall}v{\in}C_c^1(\mathbb{R}) $$

由稠密性(且因为$u{\in}H^1(\mathbb{R})$)这个对于任意$v{\in}H^1(\mathbb{R})$都成立。因此$u$是问题(30)的一个弱解。

为了获得一个弱解的存在性与唯一性,应用拉克丝-密格拉蒙定理对于希尔伯特空间$H^1(\mathbb{R})$是足够的。容易验证弱解$u$属于$H^2(\mathbb{R})$且更甚者$f{\in}C(\mathbb{R})$,则$u{\in}C^2(\mathbb{R})$。我们总结(用推论8.9):给定$f{\in}L^2(\mathbb{R}){\cap}C(\mathbb{R})$,问题(30)有唯一一个经典解(更甚者其属于$H^2(\mathbb{R})$)。

注:问题

$$ \begin{cases} -u''=f{\quad}on{\;}\mathbb{R}\\ u(x){\to}0{\quad}as{\;}|x|{\to}\infty \end{cases} $$

不能由前面的工具得到,因为双线性模式$a(u,v)=\int{u'v'}$在$H^1(\mathbb{R})$不是强制的。事实上,这个问题没有解即便$f$是具有紧支集的光滑函数。

注:另一方面,同样的方法可以应用到问题

$$ \begin{cases} -u''+u=f{\quad}on{\;}I=(0,+\infty)\\ u(0)=0且u(x){\to}0当x{\to}+\infty \end{cases} $$

其中$f{\in}L^2(0,+\infty)$是给定的。

Last modification:February 11th, 2020 at 06:11 pm
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