8.5 极大值原理
这里是一个非常有用的性质称为极大值原理。
定理8.19
令$f{\in}L^2(I)$，其中$I=(0,1)$且令$u{\in}H^2(I)$为下面的狄利克雷问题的解
$$ \begin{cases} -u''+u=f{\quad}on{\;}I\\ u(0)=\alpha,u(1)=\beta \end{cases}\tag{32} $$
则我们有，对于任意$x{\in}I$，
$$ \min\left\{{\alpha},{\beta},\inf_If\right\}{\le}u(x){\le}\max\left\{\alpha,\beta,\sup_If\right\}\tag{33} $$
这个定理实则告诉我们对于狄利克雷问题解的估计。
证明（用斯坦帕斯基截断方法）：我们有
$$ \int_Iu'v'+\int_Iuv=\int_Ifv,{\forall}v{\in}H^1_0(I)\tag{34} $$
固定任意函数$G{\in}C^1(\mathbb{R})$使得
（1）$G$在$(0,+\infty)$上严格递增。
（2）$G(t)=0$对于$t{\in}(-\infty,0]$。
设$K=\max\left\{{\alpha},{\beta},\sup_If\right\}$且假设$K<\infty$。我们会说明在$I$上$u{\le}K$。函数$v=G(u-K)$属于$H^1(I)$且甚至属于$H^1_0(I)$。因为
$$ u(0)-K=\alpha-K{\le}0且u(1)-K=\beta-K{\le}0 $$
将$v$代入（34），我们得到
$$ \int_Iu'^2G'(u-K)+\int_IuG(u-K)=\int_IfG(u-K) $$
这也就是
$$ \int_Iu'^2G'(u-K)+\int_I(u-K)G(u-K)=\int_I(f-K)G(u-K) $$
但是$(f-K){\le}0$且$G(u-K'){\ge}0$，从这里于是有$(f-K)G(u-K){\le}0$，且因此
$$ \int_I(u-K)G(u-K){\le}0 $$
因为$tG(t){\ge}0,{\forall}t{\in}\mathbb{R}$。上述不等式意味着$(u-K)G(u-K)=0{\;}a.e.$。于是$u{\le}K{\;}a.e.$，且因此在$I$上任何地方，因为$u$是连续的，$u$的下界可以用$-u$的上界获得。
注：当$f{\in}C(\overline{I})$，则$u{\in}C^2(\overline{I})$且可以用一个特殊的方法建立（33）：对于极大值原理的经典的方法。令$x_0{\in}\overline{I}$为一个$u$可以在$\overline{I}$上取到其极大值的点。如果$x_0=0$或者如果$x_0=1$，结果是明显的。另外的，$0<x_0<1$则有$u'(x_0)=0,u''(x_0){\le}0$。从方程（33）于是有
$$ u(x_0)=f(x_0)+u''(x_0){\le}f(x_0){\le}K $$
且因此在$I$上$u{\le}K$。
下面是一些关于定理8.19立刻能得到的结果。
推论8.20
令$u$为问题（34）的解。
（1）如果在${\partial}I$上$u{\ge}0$且如果在$I$上$f{\ge}0$，则在$I$上$u{\ge}0$。
（2）如果在${\partial}I$上$u=0$且如果$f{\in}L^{\infty}(I)$，则$\|u\|_{L^{\infty}(I)}{\le}\|f\|_{L^{\infty}(I)}$。
（3）如果在$I$上$f=0$，则$\|u\|_{L^{\infty}(I)}{\le}\|u\|_{L^{\infty}({\partial}I)}$。
对于诺伊曼条件的情况我们有类似的结论。
命题8.21
令$f{\in}L^2(I)$，其中$I=(0,1)$且令$u{\in}H^2(I)$为下面的问题的解
$$ \begin{cases} -u''+u=f{\quad}on{\;}I\\ u'(0)=u'(1)=0 \end{cases} $$
则我们有，对于任意$x{\in}\overline{I}$，
$$ \inf_{I}f{\le}u(x){\le}\sup_If\tag{35} $$
这个命题告诉我们对于诺伊曼条件解的估计。
证明：我们有
$$ \int_Iu'v'+\int_Iuv=\int_Ifv,{\forall}v{\in}H^1(I)\tag{36} $$
代入$v=G(u-K)$到（36），其中$K=\sup_If$且和上面一样的函数$G$。然后步骤和在定理8.19中的一样即可证明。
注：如果$f{\in}C(\overline{I})$，则$u{\in}C^2(\overline{I})$和我们可以建立（35）用和上面注一样的方式。注意到如果$u$可以在${\partial}I$上取到它的极大值，在0点，则$u''(0){\le}0$（用映射延拓$u$到0的左侧，并且用到事实$u'(0)=0$）。
注：令$f{\in}L^2(\mathbb{R})$且令$u{\in}H^2(\mathbb{R})$为下面问题的解
$$ \begin{cases} -u''+u=f{\quad}on{\;}\mathbb{R}\\ u(x){\to}0{\quad}as{\;}|x|{\to}\infty \end{cases} $$
在练习8中讨论的一样，则我们有，对于所有的$x{\in}\mathbb{R}$，
$$ \inf_{\mathbb{R}}f{\le}u(x){\le}\sup_{\mathbb{R}}f $$
8.6本征函数与谱分解
下面是一个基本结果
定理8.22
令$p{\in}C^1(\overline{I})$，其中$I=(0,1)$且$p{\ge}\alpha>0$在$I$上；令$q{\in}C(\overline{I})$。则存在一个实数序列$(\lambda_n)$且一个$L^2(I)$的希尔伯特基$(e_n)$，使得$e_n{\in}C^2(\overline{I}),{\forall}n$且
$$ \begin{cases} -(pe'_n)'+qe_n={\lambda}_ne_n{\quad}on{\;}I\\ e_n(0)=e_n(1)=0 \end{cases}\tag{37} $$
更甚者，当$n{\to}+\infty$时，${\lambda_n}{\to}+\infty$。
这个定理告诉我们有一个基与实数序列可以满足方程。
我们称$(\lambda_n)$为微分算子$Au=-(pu')'+qu$带有狄利克雷边界条件的本征值，且$(e_n)$为相关的本征函数。
证明：我们总可以假设$q{\ge}0$，如果不是，取到任意常数$C$，使得$q+C{\ge}0$，接近于在（37）中用${\lambda_n}+C$代替$\lambda_n$。对于任意$f{\in}L^2(I)$，存在唯一一个$u{\in}H^2(I){\cap}H^1_0(I)$满足
$$ \begin{cases} -(pu')'+qu=f{\quad}on{\;}I\\ u(0)=u(1)=0 \end{cases}\tag{38} $$
用$T$表示算子$f{\mapsto}u$为一个算子从$L^2(I)$到$L^2(I)$上。
我们断言$T$是自伴的且紧的。首先，紧致性，因为（38）我们有
$$ \int_Ipu'^2+\int_Iqu^2=\int_Ifu $$
且因此${\alpha}\|u'\|_{L^2}^2{\le}\|f\|_{L^2}\|u\|_{L^2}$。于是$\|u\|_{H^1}{\le}C||f\|_{L^2}$，其中$C$是一个常数仅依赖于$\alpha$。这个可以被写为
$$ \|Tf\|_{H^1}{\le}C\|f\|_{L^2},{\forall}f{\in}L^2(I) $$
因为从$H^1(I)$到$L^2(I)$的单射是紧的（因为$I$有界），我们推导出$T$是一个紧算子从$L^2(I)$到$L^2(I)$。下一步，我们要证明是自伴的，也即
$$ \int_I(Tf)g=\int_If(Tg),{\forall}f,g{\in}L^2(I) $$
事实上，设$u=Tf$且$v=Tg$，我们有
$$ -(pu')'+qu=f\tag{39} $$
且
$$ -(pv')'+qv=g\tag{40} $$
用$v$乘以（39）且用$v$乘以（40）然后积分，我们得到
$$ \int_Ipu'v'+\int_Iquv=\int_Ifv=\int_Igu $$
而这正是所需要的结论。
最后，我们注意到
$$ \int_I(Tf)f=\int_Iuf=\int_Ip{u'}^2+qu^2{\ge}0,{\forall}f{\in}L^2(I) $$
且有$N(T)=\left\{0\right\}$，因为$Tf=0$意味着$u=0$，所以$f=0$。
应用定理6.11，我们知道$L^2(I)$有一个希尔伯特基$(e_n)_{n{\ge}1}$是由$T$的本征向量组成带有本征值$(\mu_n)_{n{\ge}1}$。我们有$\mu_n>0,{\forall}n$（由(41)$\mu_n{\ge}0$且$\mu_n{\neq}0$，因为$N(T)=\left\{0\right\}$）。我们也知道$\mu_n{\to}0$。记下$Te_n=\mu_ne_n$，我们得到
$$ \begin{cases} -(pe'_n)'+qe_n={\lambda_n}e_n{\quad}{\lambda_n}=1/{\mu_n}\\ e_n(0)=e_n(1)=0 \end{cases} $$
另外，我们有$e_n{\in}C^2(\overline{I})$，因为$f={\lambda_n}e_n{\in}C(\overline{I})$（事实上，$e_n{\in}C^{\infty}(\overline{I})$如果$p,q{\in}C^{\infty}(\overline{I})$）。
例子：如果$p{\equiv}1$且$q{\equiv}0$我们有
$$ e_n(x)=\sqrt{2}sin(n\pi{x})且{\lambda_n}=n^2{\pi}^2,n=1,2,{\cdots} $$
注：对于同样的微分算子，其本征值与本征函数会随着边界条件不同而改变。
注：假设$I$是有界的是在说明算子$T$的紧致性是有用的。当$I$不是有界的，则定理8.22的结论一般是不真的。
补充部分
1，一些更为深刻的不等式：
让我们介绍一些涉及索伯列夫范数的有用不等式：
（1）庞加莱-Wirtinger不等式
（2）Hardy不等式
（3）Gagliardo-Nirenberg不等式
2.希尔伯特-施密特算子
- Strum-Liouville 算子的谱性质
