索伯列夫空间

Author：怪使
发布时间：February 11, 2020
1292views
No comments
1652 words
Categories： Haim

Haim

索伯列夫空间与在一维边值问题的变分公式。

8.1 动机

考虑下面的问题：给定$f{\in}C([a,b])$，找到一个函数$u$满足

$$ \begin{cases} -u^{''}+u=f，于[a,b]\\ u(a)=u(b)=0 \end{cases}\tag{1} $$

一个（1）的经典解（或者说强解）是一个在$[a,b]$上的$C^2$函数在通常意义下满足（1）。

用$\varphi{\in}C^1([a,b])$乘以问题（1），然后分部积分，我们得到

$$ \int^b_au'\varphi'+\int^b_au\varphi=\int^b_af\varphi,{\forall}\varphi{\in}C^1([a,b]),\varphi(a)=\varphi(b)=0\tag{2} $$

注意到（2）有意义，只要$u{\in}C^1([a,b])$即可。于是我们可以说$C^1$函数$u$满足（2）称为问题（1）的弱解。

下面的操作是对于偏微分方程的变量逼近的一些主要步骤：

A步骤：弱解精确的记号。这个部分涉及索伯列夫空间，是我们的基础工具。

B步骤：弱解的存在性和唯一性，这是由变分方法——拉克丝-密格拉蒙定理。

C步骤：弱解可以被证明是$C^2$阶的，也就是正则化结果。

D步骤：说明任何弱解在$C^2$是经典解，也即得到经典解。

完成步骤$D$是简单的，仅需对（2）分部积分，即可有：

$$ \int^b_a(-u^{''}+u-f)\varphi=0,{\forall}\varphi{\in}C^1([a,b]),\varphi(a)=\varphi(b)=0 $$

因此

$$ \int^b_a(-u^{''}+u-f)\varphi=0,{\forall}\varphi{\in}C_c^1((a,b)) $$

于是（见推论4.15）有$-u^{''}+u=f$，在$(a,b)$几乎处处成立。因此在$[a,b]$上成立。因为$u{\in}C^2([a,b])$。

8.2 索伯列夫空间$W^{1,p}(I)$

令$I=(a,b)$为开区间，可能无界。且令$p{\in}\mathbb{R}$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。

定义

索伯列夫空间$W^{1,p}(I)$定义如下：

$$ W^{1,p}(I)=\left\{u{\in}L^p(I);{\exists}g{\in}L^p(I),s.t.\int_Iu{\varphi^{'}=-\int_Ig{\varphi}},{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I)\right\} $$

可以看到索伯列夫空间是对有紧支集且一次可导的连续函数$\varphi$，在$L^p$空间中的两个函数，有一个积分的关系。（很像分部积分）

特别地，我们区分出一个特别地索伯列夫空间

$$ H^1(I)=W^{1,2}(I) $$

也即上述的$u,g{\in}L^2$。

于是对于$u{\in}W^{1,p}(I)$，我们定义$u'=g$。而这个就是所谓的弱导数了。

注：我们称$\varphi$为试验函数。我们同样可以用$C_c^{\infty}(I)$作为试验函数的选取空间。因为$\varphi{\in}C_c^1(I)$，则$\rho_n*\varphi{\in}C_c^{\infty}(I)$对于$n$足够大，且$\rho_n*\varphi{\to}\varphi$是在$C^1$的。

记号

索伯列夫空间$W^{1,p}(I)$装备范数

$$ \|u\|_{W^{1,p}}=\|u\|_{L^p}+\|u'\|_{L^p} $$

或者，有时，如果$1<p<\infty$，则可以有等价范数$(\|u\|^p_{L^p}+\|u'\|^p_{L^p})^{1/p}$。

空间$H^1$装备内积为

$$ (u,v)_{H^1}=(u,v)_{L^2}+(u',v')_{L^2}=\int^b_a(uv+u'v') $$

且与其相关的范数为

$$ \|u\|_{H^1}=(\|u\|^2_{L^2}+\|u'\|^2_{L^2})^{1/2} $$

命题8.1

空间$W^{1,p}(I)$是一个巴拿赫空间，对于$1{\le}p{\le}\infty$。对于$1<p<\infty$，该空间是自反的；且对于$1{\le}p<\infty$，该空间是可分的。而$H^1$空间则是一个可分的希尔伯特空间。

该命题告诉我们在什么条件下，索伯列夫空间都是巴拿赫空间，什么情况下该空间自反？可分。特殊空间有最好性质。

证明如下：

（1）证明空间$W^{1,p}(I)$是一个巴拿赫空间：也就是证明其中的柯西列收敛到该空间的某个元素。

令$(u_n)$为在$W^{1,p}(I)$中的一个柯西列；则$(u_n)$和$(u^{'}_n)$是在$L^p$中的柯西列（由定义）。于是$u_n$在$L^p$收敛到某个极限$u$；$u^{'}_n$在$L^p$中收敛到某个极限$g$。我们有

$$ \int_Iu_n{\varphi}=-\int_Iu^{'}_n{\varphi},{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

且对上述取极限则有

$$ \int_Iu{\varphi}=-\int_Ig\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

（这一步说明了极限$u$在$W^{1,p}(I)$索伯列夫空间中）因此$u{\in}W^{1,p}(I),u'=g$，且有$\|u_n-u\|_{W^{1,p}}{\to}0$。

（2）这里要说明空间是自反的。（用一个等距同构去做桥梁）

显然，乘积空间$E=L^p(I){\times}L^p(I)$是自反的。算子$T:W^{1,p}{\to}E$定义为$Tu=[u,u']$是一个从$W^{1,p}$到$E$的等距映射。因为$W^{1,p}(I)$是巴拿赫空间，$T(W^{1,p})$是$E$的一个闭子空间。于是$T(W^{1,p})$是自反的（见命题3.20）。最终可以知道$W^{1,p}(I)$也是自反的。

（3）这里要证明空间是可分的。

显然，乘积空间$E=L^p(I){\times}L^p(I)$是可分的。因此$T(W^{1,p})$是可分的（见命题3.25），最终知道$W^{1,p}(I)$也是可分的。

注意到对于（1）的证明，我们实际上当$1<p{\le}\infty$，知道$u_n{\to}u$在$L^p$中，且$\|u_n^{'}\|_{L^p}$有界即可证明$u{\in}W^{1,p}$。

定理8.2

令$u{\in}W^{1,p}(I)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$，且$I$有界或者无界。则存在一个函数$\widetilde{u}{\in}C(\overline{I})$使得

$$ u=\widetilde{u}{\;}a.e.{\;}on{\;}I $$

且

$$ \widetilde{u}(x)-\widetilde{u}(y)=\int^x_yu'(t)dt,{\forall}x,y{\in}\overline{I} $$

这个定理告诉我们可以找到在闭区间上的连续函数逼近这个索伯列夫空间中的函数，并且该连续函数有牛顿-莱布尼茨公式成立。

为了证明定理8.2，我们需要用到下述引理。

引理8.1

令$f{\in}L^1_{loc}(I)$为使得

$$ \int_If{\varphi}^{'}=0,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I)\tag{3} $$

则存在一个常数$C$，使得$f=C$在$I$上几乎处处成立。

引理重点在结果上，可以做到函数几乎处处等于一个常数。

证明：固定一个函数$\psi{\in}C_c(I)$使得$\int_I\psi=1$。对于任意函数$w{\in}C_c(I)$，存在$\varphi{\in}C_c(I)$使得

$$ \varphi^{'}=w-(\int_Iw){\psi} $$

事实上，函数$h=w-(\int_Iw){\psi}$是连续的，在$I$上有紧支集，且$\int_Ih=0$。因此$h$有一个（唯一的）在$I$上的初始的紧支集。我们从（3）可以推出

$$ \int_If[w-(\int_Iw)\psi]=0,{\forall}w{\in}C_c(I) $$

也即

$$ \int_I[f-(\int_If\psi)]w=0,{\forall}w{\in}C_c(I) $$

于是（由推论4.24），则有$f-(\int_If\psi)=0$在$I$上几乎处处成立。也即$f=C$在$I$上几乎处处成立，其中$C=\int_If\psi$。

引理8.2

令$g{\in}L^1_{loc}(I)$；对于在$I$中固定点$y_0$，设

$$ v(x)=\int^x_{y_0}g(t)dt,x{\in}I $$

则$v{\in}C(I)$且

$$ \int_Iv{\varphi}^{'}=-\int_Ig{\varphi},{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

证明：我们有

$$ \begin{align*} \int_Iv{\varphi}^{'}&=\int_I[\int^x_{y_0}g(t)dt]{\varphi^{'}(x)}dx\\ &=-\int^{y_0}_adx\int_x^{y_0}g(t)\varphi^{'}(x)dt+\int^b_{y_0}dx\int^x_{y_0}g(t)\varphi^{'}(x)dt \end{align*} $$

由富比尼定理

$$ \begin{align*} \int_Iv{\varphi}^{'}&=\int^{y_0}_ag(t)dt\int_a^{t}\varphi^{'}(x)dx+\int^b_{y_0}g(t)dt\int^b_{t}\varphi^{'}(x)dx\\ &=-\int_Ig(t)\varphi(t)dt \end{align*} $$

两个引理证明完毕，我们接下来证明定理8.2：

证明：固定在$I$中的点$y_0$且设$\widetilde{u}(x)=\int^x_{y_0}u^{'}(t)dt$。由引理8.2我们有

$$ \int_I\widetilde{u}\varphi'=-\int_Iu'\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

因此$\int_I(u-\widetilde{u})\varphi^{'}=0,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I)$。于是从引理8.1知道$u-\widetilde{u}=C$在$I$上几乎处处成立。函数$\widetilde{u}(x)=\widetilde{u}(x)+C$具有所需要的性质。

命题8.3

令$u{\in}L^p$，其中$1<p{\le}\infty$。下列性质是等价的：

（1）$u{\in}W^{1,p}$。

（2）存在一个常数$C$使得

$$ |\int_Iu{\varphi}^{'}|{\le}C\|{\varphi}\|_{L^{p'}(I)},{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

更甚者，我们可以得到$C=\|u'\|_{L^p(I)}$在（2）中。

证明：

（1）推出（2），这是显然的。（一个柯西-施瓦茨即可）

（2）推出（1）。线性泛函

$$ \varphi{\in}C_c^1(I){\mapsto}\int_Iu{\varphi}' $$

定义在$L^p$的一个稠密子空间上（因为$p'<\infty$）且对于$L^{p'}$的范数是连续的。因此用哈恩-巴拿赫定理，可以将其延拓到定义在$L^p$上的有界线性泛函$F$。再由里斯表示定理（定理4.11与4.14），则存在$g{\in}L^p$使得

$$ \left \langle F,\varphi \right \rangle=\int_Ig{\varphi},{\forall}\varphi{\in}L^{p'} $$

特别地

$$ \int_Iu{\varphi'}=\int_Ig{\varphi},{\forall}\varphi{\in}C_c^1 $$

且因此$u{\in}W^{1,p}$。

注：当$p=1$时，由（1）可以推出（2），但是反之不真。这个例子：假设$I$有界，函数$u$满足（1）且$p=1$，即$W^{1,1}(I)$的函数被称为抽象连续函数，特征性质为：

（AC）${\forall}{\varepsilon>0},{\exists}\delta>0$使得对任意不相交区间$(a_k,b_k){\subset}I$有限序列，使得$\sum|b_k-a_k|<\delta$，我们有$\sum|u(b_k)-u(a_k)|<\varepsilon$。

另一方面，函数$u$满足（2）其中$p=1$被称为有界变量函数；这些函数的特征为不一样的：

（1）存在两个在$I$上的有界非递减函数的不同（很可能是不连续的）

（2）他们是函数$u$满足性质：

（BC）存在一个常数$C$使得：对所有在$I$中的$t_0<t_1<{\cdots}<t_k$，有

$$ \sum^{k-1}_{i=0}|u(t_{i+1})-u(t_i)|{\le}C $$

（3）他们是函数$u{\in}L^1(I)$有分布导数一个有界测度。

命题8.4

一个在$L^{\infty}(I)$函数$u$属于$W^{1,\infty}(I)$当且仅当存在一个常数$C$，使得

$$ |u(x)-u(y)|{\le}C|x-y|,对a.e.x,y{\in}I $$

这个告诉我们对于一个在$L^{\infty}(I)$的函数怎么判断它确实是属于$W^{1,\infty}$。

证明：如果$u{\in}W^{1,\infty}(I)$，我们应用定理8.2则推出

$$ |u(x)-u(y)|{\le}\|u'\|_{L^{\infty}}|x-y|对a.e.x,y{\in}I $$

反之，令$\varphi{\in}C_c^1(I)$。对于$h{\in}\mathbb{R}$，其中$|h|$足够小，则我们有

$$ \int_I[u(x+h)-u(x)]{\varphi(x)}dx=\int_Iu(x)[\varphi(x-h)-\varphi(x)]dx $$

这些积分仅当$h$足够小有意义，因为$\varphi$是在$I$的紧子集上有支撑。

用在$u$上的假设，我们得到

$$ |\int_Iu(x)[\varphi(x-h)-\varphi(x)]dx|{\le}C|h|\|\varphi\|_{L^1} $$

用$|h|$除，且令$h{\to}0$，则有

$$ |\int_I{u}{\varphi'}|{\le}C\|{\varphi}\|_{L^1},{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

我们现在可以用命题8.3，且总结出$u{\in}W^{1,\infty}$。

命题8.4的$L^p$版本如下：

命题8.5

令$u{\in}L^p(\mathbb{R})$，其中$1<p<\infty$。下列性质等价：

（1）$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$。

（2）存在一个常数$C$使得对所有的$h{\in}\mathbb{R}$，

$$ \|{\tau_h}u-u\|_{L^p(\mathbb{R})}{\le}C|h| $$

更甚者，可以取到$C=\|u’\|_{L^p(\mathbb{R})}$在（2）中。

回忆一下$(\tau_hu)(x)=u(x+h)$。

证明：（1）推出（2）（这个蕴含当$p=1$时仍旧有效）。由定理8.2我们有：对于所有在$\mathbb{R}$中的$x,h$。

$$ u(x+h)-u(x)=\int^{x+h}_xu'(t)dt=h\int^1_0u'(x+sh)ds $$

因此

$$ |u(x+h)-u(x)|{\le}|h|\int^1_0|u'(x+sh)|ds $$

应用赫尔德不等式，我们得到

$$ |u(x+h)-u(x)|^p{\le}|h|^p\int^1_0|u'(x+sh)|^pds $$

于是有：

$$ \begin{align*} \int_{\mathbb{R}}|u(x+h)-u(x)|^pdx&{\le}|h|^p\int_{\mathbb{R}}dx\int^1_0|u'(x+sh)|^pds\\ &{\le}|h|^p\int^1_0ds\int_{\mathbb{R}}|u'(x+sh)|^pdx \end{align*} $$

但是对于$0<s<1$，

$$ \int_{\mathbb{R}}|u'(x+sh)|^pdx=\int_{\mathbb{R}}|u'(y)|^pdy $$

于是可以推出（2）

（2）推出（1）：令$\varphi{\in}C^1_c(\mathbb{R})$。对所有$h{\in}\mathbb{R}$，我们有

$$ \int_{\mathbb{R}}[u(x+h)-u(x)]\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}}u(x)[\varphi(x-h)-\varphi(x)]dx $$

用赫尔德不等式且（2）可以得到

$$ |\int_{\mathbb{R}}[u(x+h)-u(x)]\varphi(x)dx|{\le}C|h|\|\varphi\|_{L^{p'}(\mathbb{R})} $$

且因此

$$ |\int_{\mathbb{R}}u(x)[\varphi(x-h)-\varphi(x)]dx|{\le}C|h|\|\varphi\|_{L^{p'}(\mathbb{R})} $$

除以$|h|$，且令$h{\to}0$，则可得到

$$ |\int_{\mathbb{R}}u{\varphi'}|{\le}C\|{\varphi}\|_{L^{p'}(\mathbb{R})} $$

我们可以再次用命题8.3，于是得到$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$。

因为一些重要的基本分析算子都是对定义在$\mathbb{R}$上的函数有意义的，因此可以延拓函数$u{\in}W^{1,p}(I)$到函数$\overline{u}{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$是非常有用的。下面的结果会指出这一点。

定理8.6

延拓算子：令$1{\le}p{\le}\infty$。则存在一个有界线性算子$P:W^{1,p}(I){\to}W^{1,p}(\mathbb{R})$。称为一个延拓算子，满足下面的性质：

（1）$Pu_{|I}=u,{\forall}u{\in}W^{1,p}(I)$。

（2）$\|Pu\|_{L^p(\mathbb{R})}{\le}C\|u\|_{L^p(I)},{\forall}u{\in}W^{1,p}(I)$。

（3）$\|Pu\|_{W^{1,p}(\mathbb{R})}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(I)},{\forall}u{\in}W^{1,p}(I)$。

其中$C$只依赖于$|I|{\le}\infty$。

证明：从$I=(0,\infty)$的情形开始，我们给出由映像给出的延拓

$$ (Pu)(x)=u^*(x)=\begin{cases} u(x){\quad}if{\;}x{\ge}0\\ u(-x){\quad}if{\;}x<0 \end{cases} $$

成立，显然我们有

$$ \|u^*\|_{L^p(\mathbb{R})}{\le}2\|u\|_{L^p(I)} $$

设

$$ v(x)=\begin{cases} u'(x){\quad}if{\;}x>0\\ -u'(-x){\quad}if{\;}x<0 \end{cases} $$

我们容易检验$v{\in}L^p(\mathbb{R})$且

$$ u^*(x)-u^*(0)=\int^x_0v(t)dt,{\forall}x{\in}\mathbb{R} $$

于是$u^*{\in}W^{1,p}$且$\|u^*\|_{W^{1,p}(\mathbb{R})}{\le}2\|u\|_{W^{1,p}(I)}$。

现在考虑为一个有界区间的情形；不失一般性，我们可以取$I=(0,1)$。固定一个函数$\eta{\in}C^1(\mathbb{R}),0{\le}\eta{\le}1$，使得

$$ \eta(x)=\begin{cases} 1{\quad}if{\;}x<1/4\\ 0{\quad}if{\;}x>3/4 \end{cases} $$

给定一个在$(0,1)$上的函数$f$设

$$ \widetilde{f}(x)=\begin{cases} f(x){\quad}if{\;}0<x<1\\ 0{\quad}if{\;}x>1 \end{cases} $$

我们需要下面的引理。

引理8.4

令$u{\in}W^{1,p}(I)$。则

$$ {\eta}\widetilde{u}{\in}W^{1,p}(0,\infty)且({\eta}\widetilde{u})'={\eta'}\widetilde{u}+\eta{\widetilde{u'}} $$

证明：令$\varphi{\in}C_c^1((0,\infty))$，则

$$ \begin{align*} \int^{\infty}_0\eta{\widetilde{u}\varphi'}&=\int^1_0{\eta}u\varphi'=\int^1_0u[(\eta\varphi)'-\eta'\varphi]\\ &=-\int^1_0u'{\eta}\varphi-\int^1_0u{\eta}'\varphi {\quad}因为\eta{\varphi}{\in}C_c^1((0,1))\\ &=-\int^{\infty}_0(\widetilde{u'}\eta+\widetilde{u}\eta')\varphi \end{align*} $$

定理8.6的证明，得出结论。给定$u{\in}W^{1,p}(I)$，记

$$ u={\eta}u+(1-\eta)u $$

函数$\eta{u}$是首先由$\eta{\widetilde{u}}$延拓到$(0,\infty)$（考虑到引理8.3）且由映射延拓到$\mathbb{R}$。在这个方式上我们获得一个函数$v_1{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$延拓$\eta{u}$且使得

$$ \|v_1\|_{L^p(\mathbb{R})}{\le}2\|u\|_{L^p(I)},\|v_1\|_{W^{1,p}(\mathbb{R})}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}({I})} $$

（其中$C$依赖于$\|{\eta}'\|_{L^{\infty}}$）

用同样的方式对$(1-\eta)u$加工，也就是，首先延拓$(1-\eta)u$到$(-\infty,1)$由0在$(-\infty,0)$且然后由映射延拓到$\mathbb{R}$（这次关于点1而不是0）。在这个方式下我们得到一个函数$v_2{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$延拓$(1-\eta)$且满足

$$ \|v_2\|_{L^p(\mathbb{R})}{\le}2\|u\|_{L^p(I)},\|v_2\|_{W^{1,p}(\mathbb{R})}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(I)} $$

则$Pu=v_1+v_2$满足定理的条件。

$C^1$函数的重要性质对于$W^{1,p}$函数依旧是真的。

定理8.7

稠密：令$u{\in}W^{1,p}(I)$，其中$1{\le}p<\infty$。则存在一个在$C_c^{\infty}(\mathbb{R})$中的序列$(u_n)$，使得在$W^{1,p}(I)$中$u_{n|I}{\to}u$。

这个定理告诉我们在索伯列夫空间中的元素，可以用有紧支集的连续函数序列来逼近。

注：一般地，没有在$C_c^{\infty}(I)$中的序列，使得在$W^{1,p}(I)$中使得$u_n{\to}u$。这与在$L^p$空间中截然不同，回忆其对于任意函数$u{\in}L^p(I)$，存在一个在$C_c^{\infty}(I)$中的序列$(u_n)$，使得在$L^p$中有$u_n{\to}u$（简推论4.23）。

证明：我们假设$I=\mathbb{R}$，另外，在$W^{1,p}(\mathbb{R})$中延拓$u$到其空间内的一个函数，由定理8.6。我们用一下卷积的基本操作（使得函数为$C^{\infty}$）和截断（适得他具有紧支集）

卷积

我们需要下列引理：

引理8.4

令$p{\in}L^1(\mathbb{R})$且$v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则$p*v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$且$(p*v)'=p*v'$。

这个引理告诉我们一个索伯列夫空间元素与$L^p$空间元素，其卷积是在索伯列夫空间，且给出其求导法则。

证明：

首先，假设$p$有紧支集，我们已经知道（由定理4.15）：有$p*v{\in}L^p(\mathbb{R})$。令$\varphi{\in}C_c^1(\mathbb{R})$，从命题4.16和4.20，我们有

$$ \int(p*v)\varphi'=\int{v}(\check{p}*{\varphi'})=\int{v}(\check{p}*\varphi)'=-\int{v'}(\check{p}*\varphi)=-\int(p*v')\varphi $$

于是有

$$ p*v{\in}W^{1,p}且(p*v)'=p*v' $$

如果$p$没有紧支集，则从$C_c(\mathbb{R})$导出一个序列$(p_n)$，使得在$L^1(\mathbb{R})$中$p_n{\to}p$（见推论4.23）。从上述讨论中，我们有

$$ p_n*v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})且(p_n*v)'=p_n*v' $$

但是在$L^p(\mathbb{R})$中$p_n*v{\to}p*v$且在$L^p(\mathbb{R})$中$p_n*v'{\to}p*v'$（由定理4.15）。我们总结得到

$$ p*v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})且(p*v)'=p*v' $$

截断

固定一个函数$\xi{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R})$使得$0{\le}\xi{\le}1$且

$$ \xi(x)=\begin{cases} 1{\quad}if{\;}|x|<1\\ 0{\quad}if{\;}|x|{\ge}2 \end{cases} $$

定义序列

$$ \xi_n(x)=\xi(x/n)，对n=1,2,{\cdots}\tag{4} $$

于是容易由控制收敛定理知道，如果一个函数$f$属于$L^p(\mathbb{R})$，其中$1{\le}p<\infty$，则在$L^p(\mathbb{R})$中$\xi_nf{\to}f$。

总结

取定一列磨光算子序列$(p_n)$，我们断言序列$u_n=\xi(p_n*u)$在$W^{1,p}(\mathbb{R})$中收敛到$u$。首先，我们有$\|u_n-u\|_p{\to}0$。事实上，记

$$ u_n-u=\xi_n((p_n*u)-u)+(\xi_nu-u) $$

且因此

$$ \|u_n-u\|_p{\le}\|p_n*u-u\|_p+\|\xi_nu-u\|_p{\to}0 $$

下一步，由引理8.4，我们有

$$ u_n'=\xi_n'(p_n*u)+\xi_n(p_n*u') $$

因此

$$ \begin{align*} \|u_n'-u'\|_p&{\le}\|\xi_n'(p_n*u)\|_p+\|\xi_n(p_n*u')-u'\|_p\\ &{\le}\frac{C}{n}\|u\|_p+\|p_n*u'-u'\|_p+\|\xi_nu'-u'\|_p{\to}0 \end{align*} $$

其中$C=\|\xi'\|_{\infty}$。

下面的结果是一个关于索伯列夫不等式的一个重要雏形（也被称为索伯列夫嵌入）

定理8.8

存在一个常数$C$（仅仅依赖于$|I|{\le}\infty$）使得

$$ \|u\|_{L^{\infty}(I)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(I)},{\forall}u{\in}W^{1,p}(I),{\forall}1{\le}p{\le}\infty\tag{5} $$

用另外的话说，$W^{1,p}(I){\subset}L^{\infty}(I)$配对连续单射，对于$1{\le}p{\le}\infty$。更甚者，如果$I$是有界的则：

$$ 单射W^{1,p}(I){\subset}C(\overline{I})是紧的，对于1<p{\le}\infty,\tag{6} $$

$$ 单射W^{1,1}(I){\subset}L^q(I)是紧的，对于1{\le}q<\infty,\tag{7} $$

证明：我们由对$I=\mathbb{R}$的证明（5）开始；一般情形则可以由延拓定理（定理8.6）得到。令$v{\in}C_c^1(\mathbb{R})$；如果$1{\le}p{\le}\infty$设$G(s)=|s|^{p-1}s$。函数$w=G(v)$属于$C_c^1(\mathbb{R})$且

$$ w'=G'(v)v'=p|v|^{p-1}v' $$

因此，对于$x{\in}\mathbb{R}$，我们有

$$ G(v(x))=\int^x_{-\infty}p|v(t)|^{p-1}v'(t)dt $$

且，由赫德尔不等式

$$ |v(x)|^p{\le}p\|v\|^{p-1}_p\|v'\|_p $$

于是我们可以推导出

$$ \|v\|_{\infty}{\le}C\|v\|_{W^{1,p}},{\forall}v{\in}C_c^1(\mathbb{R})\tag{8} $$

其中$C$是一个常数（与$p$无关）

现在由稠密性表明。令$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$；存在一个序列$(u_n){\subset}C_c^1(\mathbb{R})$使得在$W^{1,p}(\mathbb{R})$中$u_n{\to}u$（由定理8.7）。应用（8），我们可以看到$(u_n)$是一个在$L^{\infty}(\mathbb{R})$中的柯西列。因此在$L^{\infty}(\mathbb{R})$中$u_n{\to}u$，且我们得到（5）。

对于（6）的证明：令$\mathcal{H}$为在$W^{1,p}(\mathbb{R})$的单位球，其中$1<p{\le}\infty$。对于$u{\in}\mathcal{H}$我们有

$$ |u(x)-u(y)=|\int^x_yu'(t)dt|{\le}\|u'\|_p|x-y|^{1/p'}{\le}|x-y|^{1/p'},{\forall}x,y{\in}I $$

于是从Ascoli-Arzela定理（定理4.25）知道$\mathcal{H}$有一个在$C(\overline{I})$上的紧闭包。

对于（7）的证明：令$\mathcal{H}$为在$W^{1,1}(I)$上的单位球。令$P$为定理8.6的延拓算子，且设$\mathcal{F}=P(\mathcal{H})$，于是$\mathcal{H}=\mathcal{F}_{|I}$。我们证明$\mathcal{H}$有在$L^q(I)$上的紧闭包（对于$1{\le}q<\infty$）应用定理4.26。显然，$\mathcal{F}$在$W^{1,1}(\mathbb{R})$中有界。因此，$\mathcal{F}$也在$L^q(\mathbb{R})$上有界，因为它是在$L^1(\mathbb{R})$与$L^{\infty}(\mathbb{R})$上都有界的。我们现在可以检验第4章节的条件（22）。也即

$$ \lim_{h{\to}0}\|{\tau_h}f-f\|_q=0,一致in{\;}f{\in}\mathcal{F} $$

由命题8.5 我们有，对于任意$f{\in}\mathcal{F}$，

$$ \|{\tau_h}f-f\|_{L^1{(\mathbb{R})}}{\le}|h|\|f'\|_{L^1(\mathbb{R})}{\le}C|h| $$

因为$\mathcal{F}$是$W^{1,1}(\mathbb{R})$的一个有界子集。因此

$$ \|{\tau_h}f-f\|^q_{L^q(\mathbb{R})}{\le}(2\|f\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})})^{q-1}\|{\tau_hf-f}\|_{L^1(\mathbb{R})}{\le}C|h| $$

且最终

$$ \|{\tau_h}f-f\|_{L^q(\mathbb{R})}{\le}C|h|^{1/q} $$

其中$C$与$f$无关。因为$q{\neq}\infty$，于是需要的条件都能满足。

注：单射$W^{1,1}(I){\subset}C(\overline{I})$是连续的，但是即便$I$是一个有界区间，该单射也不是紧的。反例看练习8.2。

且单射$W^{1,p}(I){\subset}L^{\infty}(I)$是连续的，但是非紧，反例看练习8.4。

注：令$I$为一个有界区间，令$1{\le}p{\le}\infty$且令$1{\le}q{\le}\infty$。从定理8.2与（5）可以知道范数

$$ \||u\||=\|u'\|_p+\|u\|_q $$

是与$W^{1,p}(I)$的范数等价的。

推论8.9

假设$I$是一个无界区间且$u{\in}W^{1,p}(I)$，其中$1{\le}p<\infty$。则

$$ \lim_{x{\in}I\\|x|{\to}\infty}u(x)=0\tag{9} $$

证明：从定理8.7存在一个在$C_c^1(\mathbb{R})$中的序列$(u_n)$使得在$W^{1,p}(I)$中$u_{n|I}{\to}u$。于是从（5）可以知道$\|u_n-u\|_{L^{\infty}(I)}{\to}0$。我们可以从此推出（9）。事实上，给定$\varepsilon>0$，我们取到$n$足够大，使得$\|u_n-u\|_{L^{\infty}(I)}<\varepsilon$，对于$|x|$足够大，$u_n(x)=0$（因为$u_n{\in}C_c^1(\mathbb{R})$）且因此$|u(x)|<\varepsilon$。

推论8.10

乘积的导数：令$u,v{\in}W^{1,p}(I)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则

$$ uv{\in}W^{1,p}(I) $$

且

$$ (uv)'=u'v+uv'\tag{10} $$

更甚者，分部积分公式成立：

$$ \int^x_yu'v=u(x)v(x)-u(y)v(y)-\int^x_yuv',{\forall}x,y{\in}\overline{I}\tag{11} $$

证明：首先回忆$u{\in}L^{\infty}$（由定理8.8）且因此$uv{\in}L^p$。为了说明$(uv)'{\in}L^p$，让我们从$1{\le}p<\infty$的情况开始。令$(u_n)$与$(v_n)$为$C_c^1(\mathbb{R})$中的序列，使得在$W^{1,p}(I)$中$u_{n|I}{\to}u$且$v_{n|I}{\to}v$。因此在$L^{\infty}(I)$中$u_{n|I}{\to}u$且$v_{n|I}{\to}v$（再次用定理8.8）。于是在$L^{\infty}(I)$中$u_nv_{n|I}{\to}uv$，且在$L^p(I)$中，我们有

$$ (u_nv_n)'=u'_nv_n+u_nv'_n{\to}u'v+uv'在L^p(I)中 $$

于是$uv{\in}L^{\infty}(I)$且$u'v+uv'{\in}L^{\infty}(I)$。它可以验证

$$ \int_Iuv{\varphi'}=-\int_I(u'v+uv')\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

对于这个，固定一个有界开区间$J{\subset}I$使得$supp{\;}\varphi{\subset}J$。因此$u,v{\in}W^{1,p}(J)$对于所有$p<\infty$且从上述讨论中，我们知道

$$ \int_Juv{\varphi'}=-\int_J(u'v+uv')\varphi $$

也就是

$$ \int_Iuv{\varphi'}=-\int_I(u'v+uv')\varphi $$

推论8.11

组成结构的导数：令$G{\in}C^1(\mathbb{R})$为使得$G(0)=0$且令$u{\in}W^{1,p}(I)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则

$$ G{\circ}u{\in}W^{1,p}(I)且(G{\circ}u)'=(G'{\circ}u)u' $$

证明：令$M=\|u\|_{\infty}$。因为$G(0)=0$，则存在一个常数$C$使得$|G(s)|{\le}C|s|$对于所有的$s{\in}[-M,+M]$。因此$|G{\circ}u|{\le}C|u|$。于是$G{\circ}u{\in}L^p(I)$。同样地，$(G'{\circ}u)u'{\in}L^p(I)$。这足够验证

$$ \int_I(G{\circ}u)\varphi'=-\int_I(G'{\circ}u)u'\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I)\tag{12} $$

首先假设$1{\le}p<\infty$。则存在一个从$C_c^1(\mathbb{R})$中的序列$(u_n)$，使得在$W^{1,p}(I)$中$u_{n|I}{\to}u$且在$L^{\infty}(I)$也一样。因此在$L^{\infty}(I)$中$(G{\circ}u_n)_{|I}{\to}G{\circ}u$，且在$L^p(I)$中$(G'{\circ}u_n)u'_{n|I}{\to}(G'{\circ}u)u'$。显然（由对于$C^1$函数的水平法则），我们有

$$ \int_I(G{\circ}u_n)\varphi'=-\int_I(G'{\circ}u_n)u'_n\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

从这里我们可以导出（12）。而对于$p=\infty$只需要像在推论8.10的证明中用一样的步骤。

结语

本节主要讲述了索伯列夫空间的引入，定义，性质。同时说明了索伯列夫空间中函数与$L^p$空间的关系并且介绍了延拓算子，将在区间上的索伯列夫空间延拓到整个实数轴上。同时说明了对于索伯列夫空间与带有紧支集的连续函数空间的关系，稠密性。最后讲述了索伯列夫嵌入：索伯列夫空间与连续函数空间与$L^p$空间的嵌入。最后讲述乘积导数与组成导数的具体情况。

Last modification：February 11th, 2020 at 06:07 pm

如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏

索伯列夫空间

怪使 • 2020 年 02 月 11 日

Haim

索伯列夫空间与在一维边值问题的变分公式。

8.1 动机

考虑下面的问题：给定$f{\in}C([a,b])$，找到一个函数$u$满足

$$ \begin{cases} -u^{''}+u=f，于[a,b]\\ u(a)=u(b)=0 \end{cases}\tag{1} $$

一个（1）的经典解（或者说强解）是一个在$[a,b]$上的$C^2$函数在通常意义下满足（1）。

用$\varphi{\in}C^1([a,b])$乘以问题（1），然后分部积分，我们得到

$$ \int^b_au'\varphi'+\int^b_au\varphi=\int^b_af\varphi,{\forall}\varphi{\in}C^1([a,b]),\varphi(a)=\varphi(b)=0\tag{2} $$

注意到（2）有意义，只要$u{\in}C^1([a,b])$即可。于是我们可以说$C^1$函数$u$满足（2）称为问题（1）的弱解。

下面的操作是对于偏微分方程的变量逼近的一些主要步骤：

A步骤：弱解精确的记号。这个部分涉及索伯列夫空间，是我们的基础工具。

B步骤：弱解的存在性和唯一性，这是由变分方法——拉克丝-密格拉蒙定理。

C步骤：弱解可以被证明是$C^2$阶的，也就是正则化结果。

D步骤：说明任何弱解在$C^2$是经典解，也即得到经典解。

完成步骤$D$是简单的，仅需对（2）分部积分，即可有：

$$ \int^b_a(-u^{''}+u-f)\varphi=0,{\forall}\varphi{\in}C^1([a,b]),\varphi(a)=\varphi(b)=0 $$

因此

$$ \int^b_a(-u^{''}+u-f)\varphi=0,{\forall}\varphi{\in}C_c^1((a,b)) $$

于是（见推论4.15）有$-u^{''}+u=f$，在$(a,b)$几乎处处成立。因此在$[a,b]$上成立。因为$u{\in}C^2([a,b])$。

8.2 索伯列夫空间$W^{1,p}(I)$

令$I=(a,b)$为开区间，可能无界。且令$p{\in}\mathbb{R}$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。

定义

索伯列夫空间$W^{1,p}(I)$定义如下：

$$ W^{1,p}(I)=\left\{u{\in}L^p(I);{\exists}g{\in}L^p(I),s.t.\int_Iu{\varphi^{'}=-\int_Ig{\varphi}},{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I)\right\} $$

可以看到索伯列夫空间是对有紧支集且一次可导的连续函数$\varphi$，在$L^p$空间中的两个函数，有一个积分的关系。（很像分部积分）

特别地，我们区分出一个特别地索伯列夫空间

$$ H^1(I)=W^{1,2}(I) $$

也即上述的$u,g{\in}L^2$。

于是对于$u{\in}W^{1,p}(I)$，我们定义$u'=g$。而这个就是所谓的弱导数了。

记号

索伯列夫空间$W^{1,p}(I)$装备范数

$$ \|u\|_{W^{1,p}}=\|u\|_{L^p}+\|u'\|_{L^p} $$

或者，有时，如果$1<p<\infty$，则可以有等价范数$(\|u\|^p_{L^p}+\|u'\|^p_{L^p})^{1/p}$。

空间$H^1$装备内积为

$$ (u,v)_{H^1}=(u,v)_{L^2}+(u',v')_{L^2}=\int^b_a(uv+u'v') $$

且与其相关的范数为

$$ \|u\|_{H^1}=(\|u\|^2_{L^2}+\|u'\|^2_{L^2})^{1/2} $$

命题8.1

该命题告诉我们在什么条件下，索伯列夫空间都是巴拿赫空间，什么情况下该空间自反？可分。特殊空间有最好性质。

证明如下：

（1）证明空间$W^{1,p}(I)$是一个巴拿赫空间：也就是证明其中的柯西列收敛到该空间的某个元素。

$$ \int_Iu_n{\varphi}=-\int_Iu^{'}_n{\varphi},{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

且对上述取极限则有

$$ \int_Iu{\varphi}=-\int_Ig\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

（这一步说明了极限$u$在$W^{1,p}(I)$索伯列夫空间中）因此$u{\in}W^{1,p}(I),u'=g$，且有$\|u_n-u\|_{W^{1,p}}{\to}0$。

（2）这里要说明空间是自反的。（用一个等距同构去做桥梁）

（3）这里要证明空间是可分的。

显然，乘积空间$E=L^p(I){\times}L^p(I)$是可分的。因此$T(W^{1,p})$是可分的（见命题3.25），最终知道$W^{1,p}(I)$也是可分的。

注意到对于（1）的证明，我们实际上当$1<p{\le}\infty$，知道$u_n{\to}u$在$L^p$中，且$\|u_n^{'}\|_{L^p}$有界即可证明$u{\in}W^{1,p}$。

定理8.2

令$u{\in}W^{1,p}(I)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$，且$I$有界或者无界。则存在一个函数$\widetilde{u}{\in}C(\overline{I})$使得

$$ u=\widetilde{u}{\;}a.e.{\;}on{\;}I $$

且

$$ \widetilde{u}(x)-\widetilde{u}(y)=\int^x_yu'(t)dt,{\forall}x,y{\in}\overline{I} $$

这个定理告诉我们可以找到在闭区间上的连续函数逼近这个索伯列夫空间中的函数，并且该连续函数有牛顿-莱布尼茨公式成立。

为了证明定理8.2，我们需要用到下述引理。

引理8.1

令$f{\in}L^1_{loc}(I)$为使得

$$ \int_If{\varphi}^{'}=0,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I)\tag{3} $$

则存在一个常数$C$，使得$f=C$在$I$上几乎处处成立。

引理重点在结果上，可以做到函数几乎处处等于一个常数。

证明：固定一个函数$\psi{\in}C_c(I)$使得$\int_I\psi=1$。对于任意函数$w{\in}C_c(I)$，存在$\varphi{\in}C_c(I)$使得

$$ \varphi^{'}=w-(\int_Iw){\psi} $$

事实上，函数$h=w-(\int_Iw){\psi}$是连续的，在$I$上有紧支集，且$\int_Ih=0$。因此$h$有一个（唯一的）在$I$上的初始的紧支集。我们从（3）可以推出

$$ \int_If[w-(\int_Iw)\psi]=0,{\forall}w{\in}C_c(I) $$

也即

$$ \int_I[f-(\int_If\psi)]w=0,{\forall}w{\in}C_c(I) $$

于是（由推论4.24），则有$f-(\int_If\psi)=0$在$I$上几乎处处成立。也即$f=C$在$I$上几乎处处成立，其中$C=\int_If\psi$。

引理8.2

令$g{\in}L^1_{loc}(I)$；对于在$I$中固定点$y_0$，设

$$ v(x)=\int^x_{y_0}g(t)dt,x{\in}I $$

则$v{\in}C(I)$且

$$ \int_Iv{\varphi}^{'}=-\int_Ig{\varphi},{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

证明：我们有

$$ \begin{align*} \int_Iv{\varphi}^{'}&=\int_I[\int^x_{y_0}g(t)dt]{\varphi^{'}(x)}dx\\ &=-\int^{y_0}_adx\int_x^{y_0}g(t)\varphi^{'}(x)dt+\int^b_{y_0}dx\int^x_{y_0}g(t)\varphi^{'}(x)dt \end{align*} $$

由富比尼定理

$$ \begin{align*} \int_Iv{\varphi}^{'}&=\int^{y_0}_ag(t)dt\int_a^{t}\varphi^{'}(x)dx+\int^b_{y_0}g(t)dt\int^b_{t}\varphi^{'}(x)dx\\ &=-\int_Ig(t)\varphi(t)dt \end{align*} $$

两个引理证明完毕，我们接下来证明定理8.2：

证明：固定在$I$中的点$y_0$且设$\widetilde{u}(x)=\int^x_{y_0}u^{'}(t)dt$。由引理8.2我们有

$$ \int_I\widetilde{u}\varphi'=-\int_Iu'\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

命题8.3

令$u{\in}L^p$，其中$1<p{\le}\infty$。下列性质是等价的：

（1）$u{\in}W^{1,p}$。

（2）存在一个常数$C$使得

$$ |\int_Iu{\varphi}^{'}|{\le}C\|{\varphi}\|_{L^{p'}(I)},{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

更甚者，我们可以得到$C=\|u'\|_{L^p(I)}$在（2）中。

证明：

（1）推出（2），这是显然的。（一个柯西-施瓦茨即可）

（2）推出（1）。线性泛函

$$ \varphi{\in}C_c^1(I){\mapsto}\int_Iu{\varphi}' $$

$$ \left \langle F,\varphi \right \rangle=\int_Ig{\varphi},{\forall}\varphi{\in}L^{p'} $$

特别地

$$ \int_Iu{\varphi'}=\int_Ig{\varphi},{\forall}\varphi{\in}C_c^1 $$

且因此$u{\in}W^{1,p}$。

（AC）${\forall}{\varepsilon>0},{\exists}\delta>0$使得对任意不相交区间$(a_k,b_k){\subset}I$有限序列，使得$\sum|b_k-a_k|<\delta$，我们有$\sum|u(b_k)-u(a_k)|<\varepsilon$。

另一方面，函数$u$满足（2）其中$p=1$被称为有界变量函数；这些函数的特征为不一样的：

（1）存在两个在$I$上的有界非递减函数的不同（很可能是不连续的）

（2）他们是函数$u$满足性质：

（BC）存在一个常数$C$使得：对所有在$I$中的$t_0<t_1<{\cdots}<t_k$，有

$$ \sum^{k-1}_{i=0}|u(t_{i+1})-u(t_i)|{\le}C $$

（3）他们是函数$u{\in}L^1(I)$有分布导数一个有界测度。

命题8.4

一个在$L^{\infty}(I)$函数$u$属于$W^{1,\infty}(I)$当且仅当存在一个常数$C$，使得

$$ |u(x)-u(y)|{\le}C|x-y|,对a.e.x,y{\in}I $$

这个告诉我们对于一个在$L^{\infty}(I)$的函数怎么判断它确实是属于$W^{1,\infty}$。

证明：如果$u{\in}W^{1,\infty}(I)$，我们应用定理8.2则推出

$$ |u(x)-u(y)|{\le}\|u'\|_{L^{\infty}}|x-y|对a.e.x,y{\in}I $$

反之，令$\varphi{\in}C_c^1(I)$。对于$h{\in}\mathbb{R}$，其中$|h|$足够小，则我们有

$$ \int_I[u(x+h)-u(x)]{\varphi(x)}dx=\int_Iu(x)[\varphi(x-h)-\varphi(x)]dx $$

这些积分仅当$h$足够小有意义，因为$\varphi$是在$I$的紧子集上有支撑。

用在$u$上的假设，我们得到

$$ |\int_Iu(x)[\varphi(x-h)-\varphi(x)]dx|{\le}C|h|\|\varphi\|_{L^1} $$

用$|h|$除，且令$h{\to}0$，则有

$$ |\int_I{u}{\varphi'}|{\le}C\|{\varphi}\|_{L^1},{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

我们现在可以用命题8.3，且总结出$u{\in}W^{1,\infty}$。

命题8.4的$L^p$版本如下：

命题8.5

令$u{\in}L^p(\mathbb{R})$，其中$1<p<\infty$。下列性质等价：

（1）$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$。

（2）存在一个常数$C$使得对所有的$h{\in}\mathbb{R}$，

$$ \|{\tau_h}u-u\|_{L^p(\mathbb{R})}{\le}C|h| $$

更甚者，可以取到$C=\|u’\|_{L^p(\mathbb{R})}$在（2）中。

回忆一下$(\tau_hu)(x)=u(x+h)$。

证明：（1）推出（2）（这个蕴含当$p=1$时仍旧有效）。由定理8.2我们有：对于所有在$\mathbb{R}$中的$x,h$。

$$ u(x+h)-u(x)=\int^{x+h}_xu'(t)dt=h\int^1_0u'(x+sh)ds $$

因此

$$ |u(x+h)-u(x)|{\le}|h|\int^1_0|u'(x+sh)|ds $$

应用赫尔德不等式，我们得到

$$ |u(x+h)-u(x)|^p{\le}|h|^p\int^1_0|u'(x+sh)|^pds $$

于是有：

$$ \begin{align*} \int_{\mathbb{R}}|u(x+h)-u(x)|^pdx&{\le}|h|^p\int_{\mathbb{R}}dx\int^1_0|u'(x+sh)|^pds\\ &{\le}|h|^p\int^1_0ds\int_{\mathbb{R}}|u'(x+sh)|^pdx \end{align*} $$

但是对于$0<s<1$，

$$ \int_{\mathbb{R}}|u'(x+sh)|^pdx=\int_{\mathbb{R}}|u'(y)|^pdy $$

于是可以推出（2）

（2）推出（1）：令$\varphi{\in}C^1_c(\mathbb{R})$。对所有$h{\in}\mathbb{R}$，我们有

$$ \int_{\mathbb{R}}[u(x+h)-u(x)]\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{R}}u(x)[\varphi(x-h)-\varphi(x)]dx $$

用赫尔德不等式且（2）可以得到

$$ |\int_{\mathbb{R}}[u(x+h)-u(x)]\varphi(x)dx|{\le}C|h|\|\varphi\|_{L^{p'}(\mathbb{R})} $$

且因此

$$ |\int_{\mathbb{R}}u(x)[\varphi(x-h)-\varphi(x)]dx|{\le}C|h|\|\varphi\|_{L^{p'}(\mathbb{R})} $$

除以$|h|$，且令$h{\to}0$，则可得到

$$ |\int_{\mathbb{R}}u{\varphi'}|{\le}C\|{\varphi}\|_{L^{p'}(\mathbb{R})} $$

我们可以再次用命题8.3，于是得到$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$。

定理8.6

延拓算子：令$1{\le}p{\le}\infty$。则存在一个有界线性算子$P:W^{1,p}(I){\to}W^{1,p}(\mathbb{R})$。称为一个延拓算子，满足下面的性质：

（1）$Pu_{|I}=u,{\forall}u{\in}W^{1,p}(I)$。

（2）$\|Pu\|_{L^p(\mathbb{R})}{\le}C\|u\|_{L^p(I)},{\forall}u{\in}W^{1,p}(I)$。

（3）$\|Pu\|_{W^{1,p}(\mathbb{R})}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(I)},{\forall}u{\in}W^{1,p}(I)$。

其中$C$只依赖于$|I|{\le}\infty$。

证明：从$I=(0,\infty)$的情形开始，我们给出由映像给出的延拓

$$ (Pu)(x)=u^*(x)=\begin{cases} u(x){\quad}if{\;}x{\ge}0\\ u(-x){\quad}if{\;}x<0 \end{cases} $$

成立，显然我们有

$$ \|u^*\|_{L^p(\mathbb{R})}{\le}2\|u\|_{L^p(I)} $$

设

$$ v(x)=\begin{cases} u'(x){\quad}if{\;}x>0\\ -u'(-x){\quad}if{\;}x<0 \end{cases} $$

我们容易检验$v{\in}L^p(\mathbb{R})$且

$$ u^*(x)-u^*(0)=\int^x_0v(t)dt,{\forall}x{\in}\mathbb{R} $$

于是$u^*{\in}W^{1,p}$且$\|u^*\|_{W^{1,p}(\mathbb{R})}{\le}2\|u\|_{W^{1,p}(I)}$。

现在考虑为一个有界区间的情形；不失一般性，我们可以取$I=(0,1)$。固定一个函数$\eta{\in}C^1(\mathbb{R}),0{\le}\eta{\le}1$，使得

$$ \eta(x)=\begin{cases} 1{\quad}if{\;}x<1/4\\ 0{\quad}if{\;}x>3/4 \end{cases} $$

给定一个在$(0,1)$上的函数$f$设

$$ \widetilde{f}(x)=\begin{cases} f(x){\quad}if{\;}0<x<1\\ 0{\quad}if{\;}x>1 \end{cases} $$

我们需要下面的引理。

引理8.4

令$u{\in}W^{1,p}(I)$。则

$$ {\eta}\widetilde{u}{\in}W^{1,p}(0,\infty)且({\eta}\widetilde{u})'={\eta'}\widetilde{u}+\eta{\widetilde{u'}} $$

证明：令$\varphi{\in}C_c^1((0,\infty))$，则

定理8.6的证明，得出结论。给定$u{\in}W^{1,p}(I)$，记

$$ u={\eta}u+(1-\eta)u $$

$$ \|v_1\|_{L^p(\mathbb{R})}{\le}2\|u\|_{L^p(I)},\|v_1\|_{W^{1,p}(\mathbb{R})}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}({I})} $$

（其中$C$依赖于$\|{\eta}'\|_{L^{\infty}}$）

$$ \|v_2\|_{L^p(\mathbb{R})}{\le}2\|u\|_{L^p(I)},\|v_2\|_{W^{1,p}(\mathbb{R})}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(I)} $$

则$Pu=v_1+v_2$满足定理的条件。

$C^1$函数的重要性质对于$W^{1,p}$函数依旧是真的。

定理8.7

稠密：令$u{\in}W^{1,p}(I)$，其中$1{\le}p<\infty$。则存在一个在$C_c^{\infty}(\mathbb{R})$中的序列$(u_n)$，使得在$W^{1,p}(I)$中$u_{n|I}{\to}u$。

这个定理告诉我们在索伯列夫空间中的元素，可以用有紧支集的连续函数序列来逼近。

卷积

我们需要下列引理：

引理8.4

令$p{\in}L^1(\mathbb{R})$且$v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则$p*v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})$且$(p*v)'=p*v'$。

这个引理告诉我们一个索伯列夫空间元素与$L^p$空间元素，其卷积是在索伯列夫空间，且给出其求导法则。

证明：

首先，假设$p$有紧支集，我们已经知道（由定理4.15）：有$p*v{\in}L^p(\mathbb{R})$。令$\varphi{\in}C_c^1(\mathbb{R})$，从命题4.16和4.20，我们有

$$ \int(p*v)\varphi'=\int{v}(\check{p}*{\varphi'})=\int{v}(\check{p}*\varphi)'=-\int{v'}(\check{p}*\varphi)=-\int(p*v')\varphi $$

于是有

$$ p*v{\in}W^{1,p}且(p*v)'=p*v' $$

如果$p$没有紧支集，则从$C_c(\mathbb{R})$导出一个序列$(p_n)$，使得在$L^1(\mathbb{R})$中$p_n{\to}p$（见推论4.23）。从上述讨论中，我们有

$$ p_n*v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})且(p_n*v)'=p_n*v' $$

但是在$L^p(\mathbb{R})$中$p_n*v{\to}p*v$且在$L^p(\mathbb{R})$中$p_n*v'{\to}p*v'$（由定理4.15）。我们总结得到

$$ p*v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R})且(p*v)'=p*v' $$

截断

固定一个函数$\xi{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R})$使得$0{\le}\xi{\le}1$且

$$ \xi(x)=\begin{cases} 1{\quad}if{\;}|x|<1\\ 0{\quad}if{\;}|x|{\ge}2 \end{cases} $$

定义序列

$$ \xi_n(x)=\xi(x/n)，对n=1,2,{\cdots}\tag{4} $$

于是容易由控制收敛定理知道，如果一个函数$f$属于$L^p(\mathbb{R})$，其中$1{\le}p<\infty$，则在$L^p(\mathbb{R})$中$\xi_nf{\to}f$。

总结

取定一列磨光算子序列$(p_n)$，我们断言序列$u_n=\xi(p_n*u)$在$W^{1,p}(\mathbb{R})$中收敛到$u$。首先，我们有$\|u_n-u\|_p{\to}0$。事实上，记

$$ u_n-u=\xi_n((p_n*u)-u)+(\xi_nu-u) $$

且因此

$$ \|u_n-u\|_p{\le}\|p_n*u-u\|_p+\|\xi_nu-u\|_p{\to}0 $$

下一步，由引理8.4，我们有

$$ u_n'=\xi_n'(p_n*u)+\xi_n(p_n*u') $$

因此

$$ \begin{align*} \|u_n'-u'\|_p&{\le}\|\xi_n'(p_n*u)\|_p+\|\xi_n(p_n*u')-u'\|_p\\ &{\le}\frac{C}{n}\|u\|_p+\|p_n*u'-u'\|_p+\|\xi_nu'-u'\|_p{\to}0 \end{align*} $$

其中$C=\|\xi'\|_{\infty}$。

下面的结果是一个关于索伯列夫不等式的一个重要雏形（也被称为索伯列夫嵌入）

定理8.8

存在一个常数$C$（仅仅依赖于$|I|{\le}\infty$）使得

$$ \|u\|_{L^{\infty}(I)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(I)},{\forall}u{\in}W^{1,p}(I),{\forall}1{\le}p{\le}\infty\tag{5} $$

用另外的话说，$W^{1,p}(I){\subset}L^{\infty}(I)$配对连续单射，对于$1{\le}p{\le}\infty$。更甚者，如果$I$是有界的则：

$$ 单射W^{1,p}(I){\subset}C(\overline{I})是紧的，对于1<p{\le}\infty,\tag{6} $$

$$ 单射W^{1,1}(I){\subset}L^q(I)是紧的，对于1{\le}q<\infty,\tag{7} $$

$$ w'=G'(v)v'=p|v|^{p-1}v' $$

因此，对于$x{\in}\mathbb{R}$，我们有

$$ G(v(x))=\int^x_{-\infty}p|v(t)|^{p-1}v'(t)dt $$

且，由赫德尔不等式

$$ |v(x)|^p{\le}p\|v\|^{p-1}_p\|v'\|_p $$

于是我们可以推导出

$$ \|v\|_{\infty}{\le}C\|v\|_{W^{1,p}},{\forall}v{\in}C_c^1(\mathbb{R})\tag{8} $$

其中$C$是一个常数（与$p$无关）

对于（6）的证明：令$\mathcal{H}$为在$W^{1,p}(\mathbb{R})$的单位球，其中$1<p{\le}\infty$。对于$u{\in}\mathcal{H}$我们有

$$ |u(x)-u(y)=|\int^x_yu'(t)dt|{\le}\|u'\|_p|x-y|^{1/p'}{\le}|x-y|^{1/p'},{\forall}x,y{\in}I $$

于是从Ascoli-Arzela定理（定理4.25）知道$\mathcal{H}$有一个在$C(\overline{I})$上的紧闭包。

$$ \lim_{h{\to}0}\|{\tau_h}f-f\|_q=0,一致in{\;}f{\in}\mathcal{F} $$

由命题8.5 我们有，对于任意$f{\in}\mathcal{F}$，

$$ \|{\tau_h}f-f\|_{L^1{(\mathbb{R})}}{\le}|h|\|f'\|_{L^1(\mathbb{R})}{\le}C|h| $$

因为$\mathcal{F}$是$W^{1,1}(\mathbb{R})$的一个有界子集。因此

$$ \|{\tau_h}f-f\|^q_{L^q(\mathbb{R})}{\le}(2\|f\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})})^{q-1}\|{\tau_hf-f}\|_{L^1(\mathbb{R})}{\le}C|h| $$

且最终

$$ \|{\tau_h}f-f\|_{L^q(\mathbb{R})}{\le}C|h|^{1/q} $$

其中$C$与$f$无关。因为$q{\neq}\infty$，于是需要的条件都能满足。

注：单射$W^{1,1}(I){\subset}C(\overline{I})$是连续的，但是即便$I$是一个有界区间，该单射也不是紧的。反例看练习8.2。

且单射$W^{1,p}(I){\subset}L^{\infty}(I)$是连续的，但是非紧，反例看练习8.4。

注：令$I$为一个有界区间，令$1{\le}p{\le}\infty$且令$1{\le}q{\le}\infty$。从定理8.2与（5）可以知道范数

$$ \||u\||=\|u'\|_p+\|u\|_q $$

是与$W^{1,p}(I)$的范数等价的。

推论8.9

假设$I$是一个无界区间且$u{\in}W^{1,p}(I)$，其中$1{\le}p<\infty$。则

$$ \lim_{x{\in}I\\|x|{\to}\infty}u(x)=0\tag{9} $$

推论8.10

乘积的导数：令$u,v{\in}W^{1,p}(I)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则

$$ uv{\in}W^{1,p}(I) $$

且

$$ (uv)'=u'v+uv'\tag{10} $$

更甚者，分部积分公式成立：

$$ \int^x_yu'v=u(x)v(x)-u(y)v(y)-\int^x_yuv',{\forall}x,y{\in}\overline{I}\tag{11} $$

$$ (u_nv_n)'=u'_nv_n+u_nv'_n{\to}u'v+uv'在L^p(I)中 $$

于是$uv{\in}L^{\infty}(I)$且$u'v+uv'{\in}L^{\infty}(I)$。它可以验证

$$ \int_Iuv{\varphi'}=-\int_I(u'v+uv')\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

对于这个，固定一个有界开区间$J{\subset}I$使得$supp{\;}\varphi{\subset}J$。因此$u,v{\in}W^{1,p}(J)$对于所有$p<\infty$且从上述讨论中，我们知道

$$ \int_Juv{\varphi'}=-\int_J(u'v+uv')\varphi $$

也就是

$$ \int_Iuv{\varphi'}=-\int_I(u'v+uv')\varphi $$

推论8.11

组成结构的导数：令$G{\in}C^1(\mathbb{R})$为使得$G(0)=0$且令$u{\in}W^{1,p}(I)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则

$$ G{\circ}u{\in}W^{1,p}(I)且(G{\circ}u)'=(G'{\circ}u)u' $$

$$ \int_I(G{\circ}u)\varphi'=-\int_I(G'{\circ}u)u'\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I)\tag{12} $$

$$ \int_I(G{\circ}u_n)\varphi'=-\int_I(G'{\circ}u_n)u'_n\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(I) $$

从这里我们可以导出（12）。而对于$p=\infty$只需要像在推论8.10的证明中用一样的步骤。

Haim

8.1 动机

8.2 索伯列夫空间$W^{1,p}(I)$

定义

记号

命题8.1

定理8.2

引理8.1

引理8.2

命题8.3

命题8.4

命题8.5

定理8.6

引理8.4

定理8.7

卷积

引理8.4

截断

总结

定理8.8

推论8.9

推论8.10

推论8.11

结语