谱定义

我们本节的目的是理解连续谱的定义。于是我们首先要理解正则算子。

正则算子

设$X,Y$是两个赋范线性空间，设$B$是线性算子，$D(B){\subset}X,R(B){\subset}Y$。如果逆算子$B^{-1}$存在，且$R(B)=Y$且$B^{-1}$是有界线性算子，则称$B$为正则算子。

我们记忆一下：设$X,Y$为两个赋范线性空间，设$B$为线性算子，$D(B){\subset}X,R(B)=Y$，若逆算子$B^{-1}$存在且是有界线性算子，则称$B$是正则算子。也即关键信息是：满射，逆算子存在且有界。

（反过来思考）显然有$B$为$B^{-1}$从$Y$到$D(B)$的逆算子，那么根据逆算子定理，$B$是否为有界线性算子？这其实是不对的，因为逆算子定理要求其定义域与值域都是Banach空间，但是正则算子的定义中并没有要求是Banach空间。所以逆算子定理条件不满足，$B$不要求一定是有界的也能符合正则算子的定义。但是其逆算子必须是有界线性算子。另外因为线性算子的定义，$D(B)$一定是线性子空间，而不仅仅是$X$的子集。

正则点

设$X$为复的线性空间，$B$是$X$的线性子空间$D(B)$到$X$中的线性算子，又设${\lambda}$是一个复数，如果$({\lambda}I-B)$是正则算子，即${\lambda}I-B$是$D(B)$到$X$上一对一的线性算子，而且它的逆算子$({\lambda}I-B)^{-1}$是$X$到$X$中的有界线性算子，那么称${\lambda}$是$B$的正则点。

首先这个定义告诉我们正则点实际上是一个复数，对应的正则算子是$({\lambda}I-B)$，而不是$B$。

另外看到对于正则算子的解释：正则算子是定义域到$X$上的算子，它的逆算子是到$X$中的算子。“上”指的是满射，“中”则指的是可以小于线性空间$X$。这里指出，正则点是要求了$({\lambda}I-B)$是满射，而对于$B$则无要求是满射。

对于复数$\lambda$的讨论

下面我们考虑一下，对于任何一个复数${\lambda}$，就对应一个线性算子$({\lambda}I-B)$。如果该算子是正则的，则${\lambda}$称之为正则点。如果不是正则算子，那么就有下面几种可能：

一，可能$({\lambda}I-B)$不可逆，也就是存在至少一个非零元素$x$，使得$({\lambda}I-B)x=0$，那么这时候线性算子$({\lambda}I-B)$就不存在逆算子，这时的${\lambda}$称之为谱点。也就是特征值点。

二，可能$({\lambda}I-B)$可逆，但是不是正则算子，也就是可能$({\lambda}I-B)$不是满射，或者其逆算子不是有界的。

总结一下，对于任何一个复数${\lambda}$，对应的线性算子$({\lambda}I-B)$，只能有下面四种情况：

（1）$({\lambda}I-B)$不可逆，也即存在非零元素，使得$({\lambda}I-B)x=0$，那么对应的$\lambda$称为特征值谱点。

（2）$({\lambda}I-B)$可逆且为满射，并且逆算子是有界的，那么对应的${\lambda}$称为正则点。

（3）$({\lambda}I-B)$可逆且为满射，但是其逆算子不是有界的，那么对应的${\lambda}$称之为非特征值谱点。

（4）$({\lambda}I-B)$可逆但是不是满射，那么对应的$\lambda$称之为非特征值谱点。

这里给出第（4）种情况的一个例子，就是不是满射：比如$ctg\alpha,\alpha{\in}(-\infty,\infty)$，显然$ctg\alpha$取值为$(-\pi/2,\pi/2)$，该函数就不是实数域上的满射函数。当然该函数不是线性函数，这里只是为了说明不是满射。

现在对于任何一个线性算子，可以将整个复数域中的复数划分为上述四种情况中的点，这是因为任何一个复数对应一个线性算子$({\lambda}I-B)$，而该算子可以将$D(B)$中所有元素映射到$X$空间。

于是就有了下面的概念。

第（2）中情况中得到的所有正则点的集合称之为正则集或者预解集，记为$p(B)$。

而第（1）（3）（4）种情况对应的复数为谱点，所有的谱点的集合称之为谱集，也即复数域上除去正则集剩下的复数集合就是谱集，或者会直接称之为谱，记为$\sigma(B)$。

可以对谱再细划分：

那就是对所有特征值谱点的集合称之为点谱（不可逆的情况），记为$\sigma_p(B)$。

所有非特征值谱点的集合称之为连续谱（非满射或逆算子不是有界的情况），记为$\sigma_c(B)$。

上述划分最后称为：预解集（2）+谱点（点谱（1）+连续谱（3，4））

另一种划分

而这个谱点还可以做另一种划分，分为近似谱点和剩余谱点。

近似谱点：设$A$是赋范线性空间$X$到$X$的有界线性算子，${\lambda}$是一个复数，如果存在一列单位向量$x_n{\in}X$，使得$({\lambda}I-A)x_n{\to}0$，就称${\lambda}$是$A$的近似谱点。$A$的近似谱点全体记为$\sigma_a(A)$。

所谓的剩余谱点：就是非近似谱点的谱点，记为$\sigma_r(A)$。也就是

$$ \sigma_a(A){\cup}\sigma_r(A)=\sigma(A) $$

也就是近似谱点会包括特征值谱点，因为特征值对应的特征向量可以看做一列单位向量，而这个是满足近似谱点的定义的，当然除了包含特征值外，一定还包含连续谱中的一些点。实际上，从$({\lambda}I-A)x_n{\to}0$，可以立刻发现$({\lambda}I-A)^{-1}$是无界的，也就是说近似谱点包含的是（1）（3）对应的谱点集合。这么说：对应（3）的谱点是属于近似谱点的，也就是剩余谱点包含的是（4）。

于是这种划分为：预解集（2）+近似谱点（1，3）+剩余谱点（4）

但是这里还要注意：近似谱点是只有有界线性算子才有的概念！而一般的正则点和谱点是一般线性算子都有的概念。（所以有界无界要分清楚）

我们这么记忆：不是预解集就是谱集，而谱集中的点称为谱点，谱集也称为谱，它又分为点谱和连续谱，而这个命名是因为特征点是可数的，有可数个点组成的谱，因此为点谱。而非特征值谱点是不可数的，因此是连续谱。谱点是与正则点相对应的概念，而点谱是和连续谱相对应的概念。谱点重在点上，而点谱重在谱上。

最后补充

最后强调一下预解集和谱本来是线性算子的概念，后来推广到具有幺元的复Banach代数，于是就有了该代数中元素的正则点，谱点等概念。将线性变换看做线性变换集合中的元素。这里面特别要小心的是复Banach代数中元素对应的是$\mathfrak{B}(X{\to}X)$中的线性算子（$X$为Banach空间）。于是需要小心一点：预解集和谱的性质，只有有界线性算子才有，不是有界线性算子是没有的，也就是不能用到谱半径的计算，对于预解算子的展开式。还需要注意的是，如果要使用这些性质，则必须满足Banach空间才行。

还有正则点和谱点都是线性算子在同一个复的线性空间才具有的概念，是$X{\to}X$的线性算子。